电路微分方程解法
§6-1 二阶电路的微分方程
北京邮电大学电子工程学院 2021年1月
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二阶电路的结构形式
第 2
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同时含有一个电容元件和一个电感元件的二阶动态 电路有两种最简单的结构形式，即RLC并联电路和 RLC串联电路。我们先从RLC并联电路着手进行研 究，RLC串联电路的特性可根据对偶性得出。
如下图所示RLC并联电路，根据KCL可列出方程：
iL (t)is来自这是一个二阶常系数线性微分方程，如果电容和电 感元件的初始状态不为零，即uC (0 ) 0，iL (0 ) 0 ， 则解上述方程将得到电路的全响应。
X
is (t)ε(t)
iR
iL
iC
R
L
C
iR (t) iL (t) iC (t) is (t)
X
二阶电路的微分方程
第 3
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iR (t) iL (t) iC (t) is (t)
将元件的VCR带入上式，并以电感电流作为状态变 量，整理后可得：
LC
d2iL (t) dt 2
L R
diL (t) dt
第八章_RLC电路与常微分方程的解法_郑大昉汇编
R C
2L
(8-30)
若： 1, 称过阻尼; 若： 1, 称临界阻尼; 若： 1, 称阻尼振荡;
其解如图示:
因此对其数值计算的要求也更高.
欧拉方法 上述方程的一般形式:
dQ
dt
f
(Q, I ,t)
dI
dt
g(Q, I ,t)
Q(t0 ) Q0
I (t0 ) I0
对上述RLC充电电路: Q0 0, I0 0
注意:RLC电路中,
f (Qn , In , tn ) In
g (Qn ,
In , tn )
1 L
(Va
Qn C
InR)
(8-48)
(8-49) (8-50) (8-51) (8-52) (8-53) (8-54) (8-55)
本章(第8次)作业
如图示的 RLC电路. 已知:
Va 5伏特， R 2欧姆， C 1法拉， L 4亨利，
t
Q(t0 ) Q0 I (t0 ) I0
dQn01 dt
f
(Qn01,
I
0 n1
,
tn
)
I
0 n1
dI
0 n1
dt
g(Qn01, In01,tn )
1 L
(Va
Qn01 C
In01R)
Q0 n1
,
I
0 n1
, 由欧拉法预测出.
(8-37)
(8-38) (8-39)
改进的欧拉方法 进一步地,改进的欧拉方法为:
In
dIn dt
g(Qn, In,tn )
1 L
(Va
Qn C
InR)
(8-34)
(8-35) (8-36)
电路微分方程
电路微分方程电路微分方程是电子工程领域中的一个重要概念。
它已经成为电子系统的一个基础性概念，它的研究使电子元件能够准确地表示并分析电路系统的运动状态，从而提高电子系统的性能。
电路微分方程是一种描述任何电路的分析工具。
它是将电路的性能与时间变化的参数结合起来，从而用微分方程的形式来表达这些参数。
与模拟电路系统相比，数字电路系统由于其特殊性，因此不适合用微分方程来表示。
因此，电路微分方程也可以被称为模拟电路的微分方程。
电路微分方程的形式是受信号的特性影响的，因此它可以有效地应用于模拟信号的分析。
电路微分方程的形式可以很容易地计算，这使得它比其他数学分析方式更容易使用。
电路微分方程可用于描述不同类型的电路系统，比如高通滤波器、低通滤波器、乘法器、反相器等。
电路微分方程主要通过三个方面来实现分析：信号分析，信号时间响应分析以及稳定性分析。
信号分析是指分析电路系统处理信号的功能。
信号时间响应分析是指检查电路系统处理输入信号的输出信号的时间变化过程。
稳定性分析是检查电路系统是否具有稳定性。
电路微分方程的研究为电子领域的工程应用带来了非常大的帮助。
它可以用来准确地分析电路的运动状态，并且可以提高电子系统的性能。
电路微分方程的研究也使得现代电子系统可以更好地实现小型化、高效化和高效率化。
准备分析电路微分方程时，应该着重于研究电路的功能，确定电路的结构，然后根据电路的特性构造微分方程模型，最后运用微分方程求解电路中参数或者电路的行为。
电路微分方程的研究在很大程度上改变了电路系统的分析和设计，是电子领域中的重要概念和工具，对现代电子产品的运行性能产生了显著的影响。
正是由于电路微分方程的研究，才使得电子系统功能更加全面，更加稳定。
电路的暂态过程常微分方程分析
3、LCR 电路
L
C 1
R
电路图如右图所示：
2
1 当开关打到 1 时： ○
L∗ 即： L∗
2 当开关打到 2 时： ○
������������ ������ + ������������ + = ������ ������������ ������
������ 2 ������ ������������ ������ + ������ ∗ + = ������ ������������ 2 ������������ ������ ������������ ������ + ������������ + = 0 ������������ ������
L∗ 即： L∗
������ 2 ������ ������������ ������ + ������ ∗ + =0 2 ������������ ������������ ������
������ 2 ������ ������
方程的解取决于阻尼度λ =
.
利用 LCR 电路的变化性质，可用于无线电信号发射端，信号过滤，实现音箱的立体声效 果等。
三、 总结 以上讨论的三种电路的常微分解看似并不起眼， 但是它们在电子电路中却有着极其重要 的意义。
四、 参考资料 1、 吴泽华、陈治中、黄正东，浙大出版社， 《大学物理》中册； 2、 赵凯华，陈熙谋，高等教育出版社， 《电磁学》 ；
解得方程的通解为：i = ������ + C ∗ ������ −������ ������ 初值条件������0 = 0，代入得，i = (1 − ������ −������ ������ );
微分电路模型
微分电路模型
微分电路模型是一种用来描述电子电路中微分方程行为的数学模型。
它基于欧姆定律和基尔霍夫定律，使用微分方程来描述电流和电压的变化。
在微分电路模型中，电压源和电流源被表示为微分方程的输入，而电阻、电感和电容等元件则表示为微分方程的参数。
根据这些微分方程，可以推导出电路中电压和电流的变化规律。
微分电路模型中最常见的方程是电压-电流关系的欧姆定律，
即V = IR，其中V是电压，I是电流，R是电阻。
对于电感元件，其电流和电压之间的关系可以用微分方程Ldi/dt = V来描述，其中L是电感的自感系数。
对于电容元件，其电流和电压之间的关系可以用微分方程
Cdv/dt = I来描述，其中C是电容的电容量。
通过将这些微分方程组合在一起，并结合基尔霍夫定律，可以建立起整个电路的微分方程模型。
这个模型可以用来分析电路中的电流和电压的变化情况，从而对电路的行为进行预测和优化。
微分电路模型在电子工程中具有广泛的应用，例如在电路设计、信号处理和功率电子等领域中。
它为电路分析和设计提供了强有力的数学工具，帮助工程师们更好地理解和优化电路的性能。
二阶电路微分方程
二阶电路微分方程电路是电子学的基础，而二阶电路微分方程是描述电路中电压和电流随时间变化的重要工具。
本文将通过生动、全面的方式，详细介绍二阶电路微分方程的相关知识，并提供一些指导意义。
首先，我们需要了解什么是二阶电路和微分方程。
二阶电路是指电路中含有二阶导数的电压和电流成分的电路。
而微分方程是描述函数导数与函数自身之间关系的方程。
在电路中，我们通过电压源和电流源来驱动电路元件，如电阻、电容和电感等。
这些元件在电路中的组合形成了各种各样的电路结构，包括LC电路、RL电路和RC电路等。
当电路中的元件数量增多，结构复杂度增加时，我们需要使用二阶微分方程来描述电路的动态行为。
二阶电路微分方程的一般形式为：\[L\frac{{d^2q(t)}}{{dt^2}}+R\frac{{dq(t)}}{{dt}}+\frac{{ 1}}{{C}}q(t)=V(t)\]其中，\(L\)代表电感的值，\(R\)代表电阻的值，\(C\)代表电容的值，\(q(t)\)代表电路中的电荷，\(V(t)\)代表电路中的电压源。
这个微分方程描述了二阶电路中电路元件之间的电压和电流的动态变化关系。
通过求解这个微分方程，我们可以获得电路中电压和电流随时间的变化规律。
解二阶电路微分方程的方法有多种，常见的有物理方法、拉普拉斯变换方法和复数方法等。
不同的方法适用于不同的电路结构和求解要求。
在解法选择上，我们可以根据实际情况和数学技巧进行抉择。
在实际应用中，求解二阶电路微分方程可以帮助我们分析电路的稳定性、频率响应和系统动态特性等。
通过对电路的动态行为进行研究，我们可以优化电路设计、改善电路性能，甚至可以实现系统的自动控制和信号处理等功能。
总结起来，二阶电路微分方程是分析电路动态行为的重要工具。
通过求解这些微分方程，我们可以了解电路中电压和电流的变化规律，并在实际应用中进行电路设计和性能优化。
因此，对于电子工程师和电路设计者来说，掌握二阶电路微分方程的求解方法和应用技巧是非常重要的。
电路微分方程解法
下面给出过阻尼、临界阻尼、欠阻尼三种情况下电路方程的响应曲线,可以瞧出,三种情况下的稳态值相同。
另外,我们再给出衰减振荡(欠阻尼)与等幅振荡(零阻尼)情况下的响应曲线示意图。
7
一、定义
所谓“二阶电路的冲激响应”。实际上就是零状态的二阶电路在冲激源的作用下所产生的响应,即为二阶电路在冲激源作用下,建立一个初始状态后产生的零输入响应。
第七章
用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路,二阶电路中至少含有两个储能元件——当然含有两个储能元件的电路并不一定为二阶电路,比如两个电容(电感)串(并)联情况。
重点:
1．电路微分方程的建立
2．特征根的重要意义
3．微分方程解的物理意义
难点:
1．电路微分的解及其物理意义
2．不同特征根的讨论计算
7
一、二阶齐次微分方程的通解形式
电容电压虽然为零,但其变化率不为零( , ),电路中的电流从I0逐渐减小,电容在电流的作用下被充电(电压的极性与以前不同),当电感中的电流下降到零的瞬间,能量再度全部存储在电容中,电容电压又达到,只就是极性与开始相反。
之后电容又开始放电,此时电流的方向与上一次电容放电时的电流方向相反,与刚才的过程相同,能量再次从电场能转化为电磁能,直到电容电压的大小与极性与初始情况一致,电路回到初始情况。
由此可见, 与 均为随着时间衰减的指数函数,电路的响应为非振荡响应。其中当电流的变化率为零的时刻 时电流达到最大值。
而:
3.过阻尼时的响应曲线
二、临界阻尼情况
1.临界阻尼的条件
当 ,即 ( )时,特征根 、 为相等的负实数p;此时固有频率为相等的负实数,
2.临界阻尼时的响应
当方程的特征根相同时, ,然后可以按照初值求取待定系数;也可以利用非振荡放电过程的解,令 ,取极限得出。
关于RLC二阶电路的分析方法——电路的微分方程与初始条件(精)
关于RLC 二阶电路的分析方法——电路的微分方程与初始条件
由两个独立储能元件组成的电路，其过渡过程的特征性用二阶微分方程描述，故称为二阶电路。
RLC 串联电路，是典型的二阶电路。
通过对它的分析来明确二阶电路过渡过程的基本概念和分析方法，着重讨论RLC 串联电路的放电过程，即电路的固有响应也就是零输入响应。
也介绍RLC 串联电路的充电过程，即零状态响应和完全响应。
1．电路的微分方程与初始条件
如图4-5所示RLC 串联二阶电
路，0≥t 时以电容电压C u 为变
量描述动态过程特性的微分方程
是图 4-5 RLC 串联二阶电路 022=++C C C u dt du RC dt u d LC
过渡过程中电容电压C u 随时间变化的规律，就是微分方程的解。
方程的求解，需有如下两个初始条件：
)0(C u
C i dt du u L t C C )
0()0(0=='=
只要知道电路的两个初始状态)0(C u 和)0(L i ，按上式便可得出初始条件)0(C u 和)0(C u '。
于是，RLC 串联电路的放电过程的C u ，就是满足上述初始条件齐次微分方程的解；充电过程的C u ，就是满足初始条件非齐次微分方程的解。
+-
C u。
RLC串联电路的微分方程解
2．组成: • 方框图 • 信号流线(带箭头线段) • 分支点 • 相加点
3.意义：
（1）根据方框图可了解系统中信号的传递过程 和各环节之间的联系。 （2）利用方框图的等效化简，可求出输出与输 入间的传递函数。
4．绘制
先绘各部分的方框图，再按信号传递关系连接
解：简化
系统传递函数
C(s) G1 (s)G2 (s) G2 (s)G3 (s) R(s) 1 G1 (s)G2 (s)H (s)
梅逊公式
n
G(s) C(s) k1 Pk k
R(s)
为特征式，且 1 Li Li Lj Li Lj Lz ...
dt
uo
(t)
ui
(t)
dt
dt
uo(t)
【例2-2】 弹簧 – 质量 – 阻尼器组成的机械位移 系统的微分方程 解: (1)设外力为输入量 ，质量块的位移量为输出量 (2) 列写微分方程，根据牛顿定律:
F(t) FB (t) FK (t) ma
FB (t)
f
dy(t) dt
FK (t) Ky(t)
G(s) C(s) 1 R(s) Ts 1
特点： 含一个储能元件，对突变的输入其输出不能 立即复现，输出无振荡。
3、 积分环节
c(t)
1
r(t
)dt
dc(t) r(t) K
dt
s
G(s) C(s) 1
R(s) s
特点： 输出量与输入量的积分成正比例，当输入
电路一阶微分方程的求解
3.3
y3
y2
y1
y(t3)
一
阶
微
y(t2)
分 方
y(t1)
程
的
求
h
h
h
解
0
t0
t1
t2
t3
欧拉法的几何意义：过点A0（t0，y0），A1（t1，y1），…，A n （t n，y n ），斜率分别为f（t0，y0），f（t1，y1），…，f（tn， y n）所连接的一条折线，所以欧拉法亦称为欧拉折线法。
程 的 求
n = 0，1，2，… 解得yk+1 ，
解
其中yk+1(0) = yk + hf (tk，yk).（结合前
向欧拉法，预报）
3.3
例2. 应用后向欧拉法解初值问题
y' 2 y t 2e t ,1 t 2, y(1) 0 t
取步长h=0.1，并把计算结果与精确解比较
一
解：据后向欧拉法 yn＋1
0 0.444282775 1.106855535 2.040960612 3.308409773 4.980911323 7.141585856 9.886697539
y(tn )
0 0.345919876 0.866642536 1.607215079 2.620359552 3.967666295 5.720961527 7.963873479
一 阶
则原微分方程化为：
微
分
方
y(tk1 ) h
y(tk )
y'(tk1 )
程 的
求 解
其近似值：
yk1 yk y'k1 h 欧拉隐式公式
3.3 后向欧拉法的几何意义：
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第七章 二阶电路用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件——当然含有两个储能元件的电路并不一定为二阶电路，比如两个电容（电感）串（并）联情况。
◆ 重点：1． 电路微分方程的建立 2． 特征根的重要意义 3． 微分方程解的物理意义◆ 难点：1． 电路微分的解及其物理意义 2． 不同特征根的讨论计算7.0 知识复习一、二阶齐次微分方程的通解形式0'''=++cy by ay ，其特征方程为：02=++c bp ap ，特征根：aac b a b p 44222,1-±-=。
当特征方程有不同的实根1p 、2p 时，t p t p e A e A y 2121+= 当特征方程有相同的实根p 时，pt e t A A y )(21+=当特征方程有共轭的复根ω±δ-=j p 2,1时，)sin cos (21)(t A t A e e y t t j ω+ω==δ-ω+δ-二、欧拉公式β+β=βsin cos j ej2)sin()()(j e e t t j t j β+ω-β+ω-=β+ωβ-β=β-sin cos j ej2)cos()()(β+ω-β+ω+=β+ωt j t j e e t 7.1 二阶电路的零输入响应7.1.1 二阶电路中的能量振荡在具体研究二阶电路的零输入响应之前，我们以仅仅含电容与电感的理想二阶电路（即R=0，无阻尼情况）来讨论二阶电路的零输入时的电量及能量变化情况。
+ U 0C L _-_C L+(d)图8-1 LC 电路中的能量振荡设电容的初始电压为0U ，电感的初始电流为零。
在初始时刻，能量全部存储于电容中，电感中没有储能。
此时电流为零，电流的变化率不为零（0≠==dt di Lu u L C ，0≠∴dtdi），这样电流将不断增大，原来存储在电容中的电能开始转移，电容的电压开始逐渐减小。
当电容电压下降到零时，电感电压也为零，此时电流的变化率也就为零，电流达到最大值I 0，此时电场能全部转化为电磁能，存储在电感中。
电容电压虽然为零，但其变化率不为零（00≠===dt du C I i i C L C ，0≠∴dtduC ），电路中的电流从I 0逐渐减小，电容在电流的作用下被充电（电压的极性与以前不同），当电感中的电流下降到零的瞬间，能量再度全部存储在电容中，电容电压又达到，只是极性与开始相反。
之后电容又开始放电，此时电流的方向与上一次电容放电时的电流方向相反，与刚才的过程相同，能量再次从电场能转化为电磁能，直到电容电压的大小与极性与初始情况一致，电路回到初始情况。
上述过程将不断重复，电路中的电压与电流也就形成周而复始的等幅振荡。
可以想象，当存在耗能元件时的情况。
一种可能是电阻较小，电路仍然可以形成振荡，但由于能量在电场能与电磁能之间转化时，不断地被电阻元件消耗掉，所以形成的振荡为减幅振荡，即幅度随着时间衰减到零；另一种可能是电阻较大，电容存储的能量在第一次转移时就有大部分被电阻消耗掉，电路中的能量已经不可能在电场能与电磁能之间往返转移，电压、电流将直接衰减到零。
7.1.2 二阶电路的微分方程二阶电路如下，其中电容电压的初始值为0)0()0(U u u C C ==-+，电感电流的初始值为0)0()0(==-+L L i i 。
图8-2 R 、L 、C 串联的二阶电路根据该电路列写电路方程为0=++-L R C u u u其电路电流为：dtdu Ci C-= 因此：dtdu RC Ri u C R -==，22dt u d LC dt diL u C R -==所以，电路方程为：022=++C CC u dtdu RC dt u d LC7.1.3 二阶电路微分方程的求解方程022=++C C C u dtdu RC dt u d LC 的特征方程为012=++RCp LCp 。
特征根为： LC L R L R p 1222-⎪⎭⎫⎝⎛±-= 其中：LC L R L R p 12221-⎪⎭⎫⎝⎛+-= LC L R L R p 12222-⎪⎭⎫⎝⎛--= 由特征根的性质（不等的实数、相等的实数或共轭的复数）就可以确定通解的具体形式。
再据电路的初始条件即可得出通解中的待定系数。
7.1.4 二阶电路特征根的讨论分别讨论特征根的情况。
一、过阻尼情况——非振荡放电过程 1．过阻尼的条件当LC L R 122>⎪⎭⎫⎝⎛，即C L R 2>（C L R 42>）时，特征根1p 、2p 为不相等的负实数。
此时固有频率为不相等的负实数， 2．过阻尼时的响应当特征根为不相等的实数时，方程的解的形式为t p t p C e A e A t u 2121)(+=其中：LC L R L R p 12221-⎪⎭⎫⎝⎛+-= LC L R L R p 12222-⎪⎭⎫⎝⎛--= 而dtdu C i C=，CI dt du t C0-=+=，且电路的初始条件，0)0(I i L =+，有 而0)0(U u C =+，0)0()0(==+-L L i i同时dtdu Ci C=，0000=-=-=+=CC I dt du t C因此，初始条件为：0)0(U u C =+，00=+=t C dtdu代入电路方程t p t p C e A e A t u 2121)(+=中，就可以解出其中的待定系数，得出)()(1221210t p t p C e p e p p p U t u --=)()()()(212121021210t p t p t p t p C L e e p p L U e e p p p p CU dt du Ct i --=--=-= 由此可见，)(t u C 和)(t i L 均为随着时间衰减的指数函数，电路的响应为非振荡响应。
其中当电流的变化率为零的时刻m t 时电流达到最大值。
02121=-=t p t p Le p e p dtdi 而：1221ln 1p p p p t m -=3．过阻尼时的响应曲线图8-3 非振荡放电过程的响应曲线二、临界阻尼情况 1．临界阻尼的条件当LC L R 122=⎪⎭⎫⎝⎛，即C L R 2=（C L R 42=）时，特征根1p 、2p 为相等的负实数p ；此时固有频率为相等的负实数，2．临界阻尼时的响应当方程的特征根相同时，pt C e t A A t u )()(21+=，然后可以按照初值求取待定系数；也可以利用非振荡放电过程的解，令α-=-==→LRp p p 221，取极限得出。
非振荡放电过程的解为：)()(*1221210t p t p C e p e p p p U t u --=，令α-=-==→LRp p p 221，取极限，根据罗必塔法则：)1()()()(lim )(0102122210111212t e U te p e U dp p p d dp e p e p d U t u t t p t p t p t p p p C α+=-=--=α-→tC L te LU dt du Ct i α-=-=0)( 由此可见，)(t u C 和)(t i L 也为随着时间衰减的指数函数，仍然为非振荡响应。
其中α=1m t 3．临界阻尼时的响应曲线临界阻尼时响应曲线的变化规律与过阻尼时的情况类似。
t三、欠阻尼情况 1．欠阻尼的条件当LC L R 122<⎪⎭⎫⎝⎛，即C L R 2<（C L R 42<）时，特征根1p 、2p 为一对共轭复数，其实部为负数。
2．欠阻尼时的响应令LR2=α，2221⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ωL R LC ，则微分方程的特征根ω+α-=j p 1，ω-α-=j p 2。
如图所示，设ω与α及0ω之间存在三角关系即 220ω+δ=ω，αω=βarctg则 βω=αcos 0，βω=ωsin 0。
根据欧拉公式：β+β=βsin cos j ej2)sin()()(j e e t t j t j β+ω-β+ω-=β+ωβ-β=β-sin cos j ej2)cos()()(β+ω-β+ω+=β+ωt j t j e e t 可将特征根写为：β-ω-=j e p 01，βω-=j e p 02因此：[]tj j t j j t p t p C e e e e j U e p e p p p U t u )(0)(00212102)()(12ω-α-β-ω+α-βω+ω-ω-=--=)sin(200)()(00β+ωωω=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ωω=α-β+ω-β+ωα-t e U j e e e U tt j t j tt e LU dt t du Ct i t i tcC L ωω=-==α-sin )()()(0 由此可见，)(t u C 和)(t i L 均为幅值随着时间按指数规律衰减的振荡函数，电路的响应为衰减振荡响应。
3．欠阻尼时的响应曲线4．无阻尼的情况无阻尼情况是欠阻尼的一种特殊情况。
当0=R 时，0=α，LC 10=ω=ω，2π=β，此时的响应为)2sin()(00π+ω=t U t u Ct LCU t L U t i L 00000sin sin )(ω=ωω=由此可见，)(t u C 和)(t i L 均为正弦函数，其幅值不随时间衰减，电路的响应为等幅振荡响应，称为系统的固有频率，当二阶电路的激励为同频率的正弦函数时，称此时电路发生了谐振，其物理意义类似于机械系统的共振。
7.2 二阶电路的阶跃响应与冲激响应7.2.1 二阶电路的阶跃响应一、定义二阶电路在阶跃激励下的零状态响应，称为阶跃响应。
(t )L 图8-7 RLC 串联的二阶电路的阶跃响应电路二、求解的步骤二阶电路的阶跃响应的求取类似于一阶电路的阶跃响应的求取方法。
其步骤为 1．计算电路的初始值)0(+L i 、+0dt di L)0(+C u 、+0dtdu C2．列写电路微分方程根据KCL 或KVL 定理列写将电路方程，将其整理成有关电容电压或电感电流（状态变量）的二阶微分方程。
3．计算电路方程的特解因为是阶跃响应，所以电路方程的特解为常数A ，且A 可以根据初始值最后确定为阶跃激励的强度。
4．计算电路方程的通解而电路方程的通解为齐次方程的解，因此根据其特征方程求得电路方程得特征根为s 当s 为两个不相等的实数1p 、2p 时，t p t p e A e A y 2121+= 当s 为两个相同的实根p 时，pt e t A A y )(21+=当s 为两个共轭的复根1p 、2p 时，ω±α-=j p 2,1时，)sin cos (21)(t A t A e e y t t j ω+ω==α-ω+α。