2018届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列(不等式选讲)

2018届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列之不等式选讲不等式选讲为高考选考内容之一。

一道解答题，满分10分，考查难度定位中等偏易，是考生容易突破的一道题目，主要考查解绝对值不等式，根据给定条件求参数的取值范围，用基本不等式研究代数式的最值及不等式证明的比较法、综合法、分析法等，交汇考查集合的概念、绝对值的概念、函数的概念、函数的图像与性质、二次不等式、基本不等式等.下面从学生存在的主要问题剖析出发，提出相应的教学对策。

一、存在的问题及原因分析 （一）绝对值不等式求解技能掌握不到位【例题1】(2017高考全国Ⅰ卷23）已知函数4)(2++-=ax x x f ，11)(-++=x x x g ．（Ⅰ）当1=a 时，求不等式)()(x g x f ≥的解集；【解析】（Ⅰ）当1=a 时，)()(x g x f ≥等价于2411x x x x -++≥++- ①.当1-<x 时，①等价于0432≤--x x ，此时不等式无解； 当11≤≤-x 时，①等价于022≤--x x ，从而11≤≤-x ； 当1>x 时，①等价于042≤-+x x ，从而21711+-≤<x . 所以()()f x g x ≥解集1x x ⎧⎪-<≤⎨⎪⎪⎩⎭.【评析】本题主要的易错点在于分类后的“整合”.其一是“整合”错误，误以为得到解集为所分类各不等式解集的交集.另一是没有进行“整合”，认为解集为三种情况：当1-<x 时，原不等式的解集为{}41≤≤-x x ；当11≤≤-x 时，原不等式的解集为{}21≤≤-x x ；当1>x 时，原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+-≤≤--21712171x x ，错因在于与因参数对解集的影响而分类讨论的问题混淆，对解绝对值不等式的基本原理认识不到位所致.（二）不能对条件进行正确的等价转化【例题2】(2017高考全国Ⅰ卷23）已知函数()24f x x ax =-++，()11g x x x =++-．（Ⅱ）若不等式)()(x g x f ≥的解集包含]1,1[-，求a 的取值范围．【解析】（Ⅱ）不等式)()(x g x f ≥的解集包含]1,1[-等价于)()(x g x f ≥在]1,1[-上恒成立， 即242x ax -++≥在]1,1[-恒成立，即220x ax --≤在]1,1[-恒成立，所以()()2211201120a a ⎧-⋅-⎪⎨----⎪⎩≤≤，解得11a -≤≤，故a 取值范围是]1,1[-． 【评析】本题主要考查不等式解集的概念、绝对值的意义、函数图像与性质等基础知识. 解答中的主要问题在于题意的理解与问题的等价转化. 不能将条件“不等式)()(x g x f ≥的解集包含]1,1[-”等价转化为“不等式)()(x g x f ≥在]1,1[-上恒成立”的问题来处理，反映出学生对于解集的概念理解还不透彻，导致对“解集包含]1,1[-”的含义不理解.【例题3】（2017高考全国Ⅲ卷23）已知函数21)(--+=x x x f .（Ⅱ）若不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围.【解析】（Ⅱ）原式等价于存在x R ∈，使2()f x x x m -+≥成立，即 2max [()]f x x x m -+≥设2()()g x f x x x =-+由已知得 2223,1()31,123,2x x x g x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪=-+--<<⎨⎪-++≥⎩当1x ≤-时，22111()3()(1)524=-+-=---≤-=-g x x x x g ， 当21<<-x 时，22355()31()244=-+-=--+≤g x x x x ， 当2≥x 时，1)2(413)21(3)(22=≤+--=++-=g x x x x g ，综上述得45)(max =x g ，故m 的取值范围为]45,(-∞. 【评析】本题主要考查不等式解集的概念、绝对值的意义、二次函数区间上最值等基础知识. 解答中的主要问题还是在题意的理解与问题的等价转化. 错点一，将“不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空”等价转化为max ()f x ≥)2f x x x m ≥-+解集非空，忽略了右边的代数式也是随着x 的变化而变化，左右两边的x 表示的是同一个数；错点二，将“不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空”等价转化为“min ()m g x ≤”，错在对“解集非空”的理解上. 所谓“解集非空”即存在x 使得不等式()2f x x x m ≥-+成立，等价于存在x 使得不等式212x x x x m +---+≥成立，等价于2max (12)x x x x m +---+≥即可.（三）不等式证明思路不清，无法迅速找到切合题意的证明方法.【例题3】（2017高考全国Ⅱ卷23）已知2,0,033=+>>b a b a ，证明： （Ⅰ）4))((55≥++b a b a ； （Ⅱ）2≤+b a ．【解析】（Ⅰ）655655))((b b a ab a b a b a +++=++()()a ba b ab a b =+-++233334424)(4222≥-+=b a ab（Ⅱ）因为33223()33a b a a b ab b +=+++()()()()ab a b a b a b a b =+≤=+2323+3+3+2++244所以()3+8≤a b ，因此a+b ≤2.【评析】本题主要考查证明不等式的基本方法、均值不等式及其应用. 难点在于寻找突破口，如何发现欲证不等式左边的代数式与已知条件之间的联系，从而迅速寻得解题思路. （四）知识掌握不到位，无法优选算法化简求解过程【例题4】（2014高考全国Ⅱ卷24）设函数()f x =1(0)x x a a a++->（Ⅰ）证明：()f x ≥2；【解析】法一：因为0a >，所以12,11(),112.x a x a a f x a x a aa x a x a a ⎧+-≥⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪--+≤-⎪⎩当x a ≥时，1()2f x x a a =+-为增函数，所以1()()2f x f a a a≥=+≥， 当1x a a -<<时，1()2f x a a=+≥， 当1x a ≤-时，1()2f x x a a =--+为减函数，所以11()()2f x f a a a≥-=+≥ 综上述得()2f x ≥成立.法二：因为111x x a x a x a a a a++-=++-≥+，又0a >所以1()2f x a a≥+≥. 【评析】法二根据绝对值不等式的性质直接证得结论，相比法一快捷明了.本题的主要问题在于对绝对值不等式的性质掌握不到位，导致无法快速求解.二、解决问题的思考与对策 （一）强化绝对值不等式的求解训练高考全国卷从2007年起，除了2014年外每年都涉及绝对值不等式求解问题的考查，应加强这一方面的专项训练，让学生熟练掌握零点分段法解绝对值不等式的方法、步骤，做到既能正确分类，又能合理整合，准确快捷解答，同时注意引导学生对求解过程等价性的关注.【例题5】（2007年高考全国课标卷24）设函数()214f x x x =+--． （I ）解不等式()2f x >；【解析】（Ⅰ）1521()334254x x f x x x x x ⎧---⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪+⎪⎩， ，， ，， ．≤≥当12x ≤-时，原不等式可化为52x -->，解得7x <-，此时原不等式的解是7x <-；当142x -<<时，原不等式可化为332x ->，解得53x >，此时原不等式的解是543x <<；当4x ≥时，原不等式可化为52x +>，解得3x >-，此时原不等式的解是4x ≥；综上可知，原不等式的解集为5(,7)(,)3-∞-+∞U（二）加强对不等式“恒成立”、“能成立”、“恰成立”几种模型的识别及求解能力.不等式“恒成立”、“能成立”、“恰成立”是高考的常见模型，解决问题的关键是对其进行恰当的等价转换，并借助函数与方程思想，数形结合思想，利用函数图象、函数最值等来解决问题.复习教学中可通过一题多变强化对上述各种模型的识别，掌握其解决方案.【例题6】(2017高考全国Ⅰ卷23）已知函数()24f x x ax =-++，()11g x x x =++-．（II ）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，求a 的取值范围．【解析】（II ）不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-等价于()()f x g x ≥在[]1,1-上恒成立，即242x ax -++≥在[]11-，恒成立．即220x ax --≤在[]11-，恒成立． 则只须()()2211201120a a ⎧-⋅-⎪⎨----⎪⎩≤≤，解得11a -≤≤．故a 取值范围是[]11-，． 【变式一】已知函数()24f x x ax =-++，()11g x x x =++-．若存在]1,1[-∈x 使得不等式()()f x g x ≥成立，求a 的取值范围．【解析】存在]1,1[-∈x 使得不等式()()f x g x ≥成立，等价于存在]1,1[-∈x 使得不等式242x ax -++≥成立，即存在]1,1[-∈x 使得220x ax --≤，等价于]1,1[-∈x 时0)2(min 2≤--ax x .所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--≤≤-0481212a a 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-->02112a a 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-<02112a a 解得22≤≤-a 或2>a 或2-<a 所以满足条件的a 的取值范围是R .【变式二】已知函数()24f x x ax =-++，()11g x x x =++-．是否存在实数a 的值，使得不等式()()f x g x ≥的解集为[]1,1-，若存在，求a 的取值范围；若不存在说明理由．【解析】由242x ax -++≥的解集为[]1,1-，即220x ax --≤的解集为[]1,1-，得220x ax --=的两根为-1,1，即⎩⎨⎧=--=-+021021a a 方程无解，所以不存在实数a 的值，使得不等式()()f x g x ≥的解集为[]1,1-.（三）关注均值不等式、绝对值不等式性质的应用均值不等式、绝对值不等式性质在求最值、证明不等式等方面都有很重要的作用. 应用均值不等式或绝对值不等式性质求最值时，均应注意等号成立的条件是否具备，仅当等号成立的条件具备时方可应用其求最值，这也是用均值不等式或绝对值不等式性质求最值的一个易错点，应提醒学生关注.【例题7】（2014高考全国课标Ⅰ卷24)若,0,0>>b a 且ab ba =+11 （Ⅰ）求33b a +的最小值；（Ⅱ）是否存在b a ,,使得632=+b a ？并说明理由.11a b =+≥,得2ab ≥,且当a b ==,故33332b a b a ≥+,且当a b ==,∴33a b +的最小值为.（Ⅱ）由623a b =+≥32ab ≤，又由(Ⅰ)知2ab ≥，二者矛盾， 所以不存在,a b ,使得236a b +=成立. 【例题8】已知函数()21f x x =-，x R ∈. （Ⅰ）解不等式()1f x x <+；（Ⅱ）若对于x ，y R ∈，有113x y --≤，1216y +≤求证：()1f x <. 【解析】（Ⅰ）()1f x x <+等价于|21|1x x -<+，即210211x x x -⎧⎨-<+⎩≥或210121x x x -<⎧⎨-<+⎩求得02x <<，故不等式()1f x x <+的解集为(0,2)．（Ⅱ）1|1|3x y --≤Q ，1|21|6y +≤， ∴()|21|f x x =-=|2(1)(21)|x y y --++|2(1)||21|x y y --++≤112136⋅+<≤ 三、典型问题剖析 （一）含绝对值不等式的求解【例题9】【2013课标全国Ⅰ，文24】 已知函数()|21||2|,() 3.f x x x a g x x =-++=+ （Ⅰ）当2a =-时，求不等式()g()f x x <的解集； （Ⅱ）设1a >-，且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围． 【解析】（Ⅰ）法一：当2a =-时，()g()f x x <等价于|21||22|3x x x -+-<+ ①. 当12x ≤时，①等价于21223x x x -+-+<+，从而102x <≤； 当112x <≤时，①等价于21223x x x --+<+，从而112x <≤； 当1x >时，①等价于21223x x x -+-<+，从而12x <<； 综上述知，原不等式的解集为{|02}.x x <<法二：当2a =-时，不等式()g()f x x <化为|21||22|30.x x x -+---< 设函数y |21||22|3x x x =-+---，则15,,212,1,236, 1.x x y x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当(0,2)x ∈时，0y <.所以原不等式的解集是{|02}.x x <<（Ⅱ）当1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()1f x a =+. 不等式()g()f x x <化为13a x +≤+. 所以2x a >+对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立． 故22a a -≥-，即43a ≤，从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.【评析】对于含绝对值的不等式的求解方法一般采用零点分段法，其解题步骤大致为：①求零点；②分区间、去绝对值号；③分别解各区间上所得不等式；④取所得结果的并集. 注意在分段时不要遗漏区间的端点值．也可以采用图像法，通过作出函数图像，利用数形结合的思想求解.【例题10】2016课标1卷已知函数321)(--+=x x x f . （Ⅰ）在右图中画出)(x f y =的图像； （Ⅱ）求不等式1)(>x f 的解集. 【解析】（Ⅰ）4,1,3()32,1,234 2.x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩)(x f y =的图像如图所示.（Ⅱ）由()f x 的表达式及图像，当()1f x =时，可得x =1或x =3；当()1f x =-时，可得13x =或5x =，故()1f x >的解集为{}13x x <<；()1f x <-的解集为153x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或 所以1)(>x f 的解集为11353x x x x ⎧⎫<<<>⎨⎬⎩⎭或或.【评析】本题的关键在于能准确作出函数的图像才能通过图像判断不等式的解集. （二）给定条件，求参数的取值范围【例题11】(2012高考全国课标卷24)已知函数()2f x x a x =++- （Ⅰ）当3a =-时,求不等式()3f x ≥的解集；（Ⅱ）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2],求a 的取值范围。