厦门大学2013级高等数学经管类A期中试卷含答案

一、解答题（共76分）1、计算下列各题：（每题6分，共30分）（1）22212lim()12xnn n n n n n n→+++++++++;解：因为22222121212121n n nn n n n n n n n n n n n++++++≤+++≤++++++++++，即22222(1)12(1)2()122(1)n n n n nn n n n n n n n n n n n++≤+++≤++++++++++.而22(1)(1)1lim lim2()2(1)2n nn n n nn n n n n→∞→∞++==++++，故222121lim()122xnn n n n n n n→+++=++++++.（2）设()f x=，求常数A与k使得当0x→时()f x与kAx是等价无穷小.解00()o s s i n l i m l i ms)k kx x xf xAx Ax→→→==11cos arcsinlim2kxx x xAx→-+=因为当0x→时，211cos~2x x-，2arcsin~x x x，故231cos arcsin~2x x x x-+，故2k=，322A=，于是，2k=，34A=.（3）求函数1(2cos)(01)1xxy x xx-=++<<+的导数。

解l n(2c o s)21e a r c1x xxyx+-=++，于是，2s i n2(2c o s)[l n(2c o s)]2c o s(1))xx xy x xx x'=+⋅+--++.厦门大学《一元微积分（A）》课程期中试卷＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业经管类高数A期中试卷试卷类型：（A卷）（4）求函数()y y x =由参数方程sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩所确定，求π2d d t yx =及222d d t y x π=。

解：d sin d 1cos y t x t=-，故π2d 1d t yx ==；22222d cos (1cos )sin 11d (1cos )1cos (1cos )y t t t x t t t --=⋅=----，故22π2d 1d t yx ==-. （5）设2()(1)cos f x x x x =++，求(10)(0)f .解：(10)210π9π1098π()(1)cos()10(21)cos()2cos()2222f x x x x x x x ⨯=++++⨯+++⨯+， 则 (10)(0)19089f=-+=. 2、(8分)求函数22ln ||32x x y x x -⋅=-+的间断点，并判断其类型（说明理由）。

解：因为202ln ||lim 32x x x x x →-⋅=∞-+，故0x =为函数22ln ||32x x y x x -⋅=-+的第二类间断点（无穷间断点）；由于222ln ||lim ln 232x x x x x +→-⋅=-+，222ln ||lim ln 232x x x x x -→-⋅=--+，所以，2x =为函数22ln ||32x x y x x -⋅=-+的第一类间断点（跳跃间断点）；而2112ln ||(2)ln(11)limlim 132(2)(1)x x x x x x x x x x →→-⋅-⋅+-==--+--，故2x =为函数22ln ||32x x y x x -⋅=-+的第一类间断点（可去间断点）.3、(6分)设()y y x =是由方程22e 2xy x y y +-=所确定的隐函数，求曲线()y y x =在点(0,2)处的切线方程和法线方程。

解 对方程22e2xyx y y +-=两边关于x 求导数，则有22e e ()0xyxyx yy y y y xy '''+--+=，令0x =，2y =，则有4(0)3y '=，于是所求切线斜率43k =. 于是，所求切线方程为423y x -=，即4360x y -+=，法线方程为324y x -=-，即3480x y +-=.4、（8分）设1e ,0(),0sin ,0e 1x x a x f x b x xx -⎧⎪+>⎪==⎨⎪⎪<-⎩, 试问（1）,a b 为何值时，()f x 在(,)-∞+∞内连续？（2）()f x 在0x =处是否可导? 解 只须考虑()f x 在0x =处的连续性和可导性. （1）为使()f x 在0x =处连续，则有 0lim ()lim ()(0)x x f x f x f +-→→==， 即 1a b ==. （2）101e 1(0)lim 0xx f x+-+→+-'==， 2000sin 1sin e 1sin e 1e 1(0)lim lim lim (e 1)x x x x x x x xx x f x x x ----→→→--+-+-'===- 00cos e sin e 1lim lim 222x x x x x x x --→→---===-. 故()f x 在0x =处不可导.5、（8分）讨论函数2()e xf x x -=的单调性，并求出该函数在实数范围内的极值和最值.解 2()(2)e (2)e xxf x xx x x --'=-=-，令()0f x '=，得0x =或2x =.函数22()e x f x x -=在(,0)-∞及(2,)+∞上单调减少，在(0,2)上单调增加. 于是，函数22()e x f x x -=在0x =处取得极小值，极小值为(0)0f =，在2x =处取得极大值，极大值为2(2)4e f -=.由于lim ()x f x →-∞=+∞，而lim ()0x f x →+∞=，因此，函数()f x 没有最大值，在0x =处取得最小值0.6、（8分）设函数()f x 在0x =处连续，且0()lim2e 1x x f x →=-，求：（1）(0)f '；（2）20(tan sin )lim ln(1)x f x x x x →-+.解：因为函数()f x 在0x =处连续，故0()(0)lim ()lim(e 1)0e 1xx x x f x f f x →→==⋅-=-.（1）00()()e 1(0)limlim 2e 1x x x x f x f x f x x→→-'==⋅=-； （2）2200(tan sin )(tan sin )tan sin limlim ln(1)tan sin ln(1)x x f x x f x x x xx x x x x x →→---=⋅+-+ 3300tan sin tan (1cos )(0)lim 2lim 1x x x x x x f x x →→-⋅-'===.7、（8分）设0x，n x =（2,3,n =），证明数列{}n x 收敛，并求极限lim n n x →∞；解1：1n x ==先用归纳法证明：1(2,3,)n n x x n ->=1n x <<事实上，0x，111x =<且10x x =>=. 假设结论对n k =11k k x x ->>>，那么1n k =+时，111k x +=<，1k x +=>且10k k x x +-=>，即1k k x x +>.故数列{}n x 单调增加，且有上界，于是极限lim n n x →∞存在，设lim n n x a →∞=.由n x =两边取极限，得a =a =n x >lim n n x →∞=解2：显然对任意的正整数1,n n x ≥≥，且11n x ==≤，即{}n x 有界。

此数列的递归函数()f x =()0,1f x x '=>≤≤，故{}n x单调，所以{}n x 单调有界，故lim n n x →∞存在，不妨记此极限为a，由n x =两边取极限，得a =12a ±=，因为n x >1lim 2n n x →∞=二、应用题（第一小题8分，第二小题10分，共18分）1、设商品需求量Q 是价格p 的单调减函数()Q Q p =，其需求价格弹性的绝对值222||192p dQ p Q dp p η==-，（1）设R 为总收益函数，证明：(1)dR Q dpη=-；（2）求6p =时总收益对价格的弹性，并说明其经济意义。

解 （1）因为商品需求量Q 是价格p 的单调减函数，于是d 0d Q p <，即d d p Q Q p η=-，因此，d d Q Q p pη=-. 由R pQ =可得d d (1)d d R QQ p Q Q Q p pηη=+=-=-. （2）总收益对价格的弹性为22d 12(1)11d 192p R p Q R p Q pηη=-=-=--，于是当6p =时，总收益对价格的弹性为236710.53851923613⨯-=≈-.其经济意义是：当6p =时，价格上涨1%时，总收益增加0.5385%.2、在椭圆22221x y a b+=的第一象限部分上求一点P ，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形的面积最小。

解：过椭圆上任意点00(,)x y 的切线斜率0()y x '满足0002222()0x y y x a b '+=，则2002()b x y x a y '=-， 0(0)y ≠，切线方程为200020()b x y y x x a y -=--. 分别令0y =与0x =，求得,x y 轴上的截距为：2200,b a y x y x ==，于是该切线与椭圆及两坐标轴所围图形的面积为：2200011()24a b S x ab x y π=-其中0y ==，代入得3001(),(0,)4S x ab x a π=∈.问题是求：31()(0)4S x ab x a π=-<<的最小值，此问题又与求函数222()()f x x a x =-在闭区间[0,]a 上最大值等价。

由223()2()20f x x a x x '=--=，得2220a x -=，即 0,02x x a x ===（舍去），注意到0(0)()0,()0f f a f x ==>，故02x a =是()f x 在[0,]a 上最大值点，因此(,)22a b 即为所求的点P .三、证明题（6分）设()f x 是二阶可导的函数, (0)0,f =令2()(sin 1)()F x x f x =-，证明：在(0,)2π内至少存在一点ξ，使得()0F ξ''=。