3.1量纲分析法
量纲分析法PPT课件
堪德
摩尔N
其他所有物理量的单位都由这7个基本量复合得到。
量纲齐次原则
引力常数 k 的量纲 [k] =[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2
对无量纲量，[]=1(=L0M 0T 0)
量纲齐次原则 等式两端的量纲一致
量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系
单摆运动示例
例:单摆运动 求摆动周期 t 的表达式
[ t ] L 0 M T0 1
[
m
]
L0M
1T
0
[
l
]
L1M
0T
0
[ g ] L 1 M 0 T 2
(L0M0T1)y1(L0M1T0)y2(L1M0T0)y3 (L1M0T2)y4 L0M0T0
LM T L M T y 3 y 4 y 2 y 1 2 y 4
0 00
y3
y 4
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T s = 1,2,…, m-r
m-r 个无量纲量
y1 ( 1 / 2,1 / 2,0, 1,0,0)T y2 ( 0, 2, 0, 0,1,0)T y3 ( 1, 3, 1, 0,0,1)T
m
q ysj
s
j
j 1
而且存在一个未定的函数关系：
l
假设：1、不考虑空气阻力；
2、忽略地球自转对单摆运动的影响；
m
3、摆线是刚体，在摆动中无形变；
4、摆轴部分没有摩擦。
mg
在这样的假设条件下，与单摆运动有关的物理量分别有：
t、m、l、g、
单摆运动的规律由公式 F(t, l, m, g, ) = 0 给出。
假设物理量 t, m, l, g 之间有关系式
量纲分析法
量纲分析法量纲分析法是科学研究和工程实践中一种常用的方法，用于简化和分析复杂的物理方程。
通过引入合适的量纲和无量纲量，可以减少物理方程的数量和复杂性，从而更容易理解和应用。
量纲是衡量物理量的属性，可以理解为物理量的尺度或单位。
常见的量纲有长度、质量、时间、温度等。
在科学领域，量纲的统一是一项基本原则，它要求所有参与物理方程运算的物理量必须具有相同的量纲。
例如，在牛顿定律中，质量的量纲是质量，加速度的量纲是长度除以时间的平方，力的量纲是质量乘以加速度。
无量纲量是指除去量纲后的物理量。
通过合适的变量代换和无量纲化操作，可以将含有多个物理量的复杂方程转化为只涉及少数几个无量纲量的简化形式。
这样做的好处是降低了方程的复杂性，使得我们可以更清晰地理解和研究方程的行为。
量纲分析法的基本思想是通过量纲的统一和无量纲化的技巧，将物理方程从具体的数值问题转化为一般的函数关系问题。
这样一来，可以用较少的实验和计算来研究和验证一类问题的特性，从而节省时间和资源。
量纲分析法在研究新领域的物理学问题、模拟和优化工程设计等方面发挥了重要作用。
量纲分析法的步骤通常包括以下几个方面：第一步是选择物理量，并通过其量纲建立物理方程。
在建立方程时，需要确保所选物理量之间的关系是正确的，并符合基本的物理定律。
第二步是确定主要影响因素，即哪些物理量对方程起主导作用。
对于复杂的问题，这一步可能会需要经验和专业知识的支持。
第三步是进行量纲分析，即将方程中的各个物理量转化为无量纲形式。
这一步需要根据物理量的量纲关系进行变量代换和无量纲化运算。
第四步是根据无量纲方程进行简化和分析。
通过缩小问题的数量级和去除复杂的单位，我们可以更容易地理解方程，并得到问题的一般解。
第五步是进行数值模拟和实验验证。
通过选择合适的数值和实验条件，我们可以验证和应用无量纲方程，并得到具体问题的解。
总的来说，量纲分析法是一种简化和分析物理方程的有效方法。
通过量纲的统一和无量纲化的技巧，我们可以将复杂的问题转化为一般的函数关系问题，从而更容易理解和应用。
量纲分析法的6个应用案例
量纲分析法的6个应用案例《量纲分析法的6个应用案例》一、量纲分析法的概述量纲分析法是一种常用的基于数字的法则，它通过分析概念的大小，可以用来评价和比较植物多样性和空间分布，形成植物的生物多样性的全局视图。
一般来说，它把样地的多样性指数划分为不同的量纲，按照瞬时时刻、地质学空间大小和植物多样性3个量纲进行比较，是一种快速、有效的生物多样性分析方法，它可以用来监测植物景观的空间分布特征和植物群落的生态结构分布,从而为生物资源保护提供决策依据。
二、量纲分析法的6个应用案例1、监测植物景观空间分布量纲分析法可以用来监测植物景观的空间分布特征，这样可以帮助决策者分析出植物景观的变化特征，应用量纲分析研究植物景观的空间分布特征可以加快决策和管理行动。
例如，tockstead研究了在美国佛罗里达州特拉孜罗湖地区植物景观空间分布特征，通过量纲分析法，发现了植物多样性的空间分布特征，有助于管理者构建有效的景观管理模式。
2、分析植物群落的生态结构特征量纲分析法还可以用来分析植物群落的生态结构特征，可以在表面上显示出植物群落的生态结构特征，从而帮助决策者分析植物群落的生态学演化过程。
例如，朱哥尔研究了意大利北部地区植物群落的生态结构特征，发现植物群落的生态结构特征是多样性和空间差异之间的动态平衡，具有很强的群落结构.3、识别保护地的实用性量纲分析法还可以用来识别保护地的实用性，可以帮助决策者比较保护地的功能，从而制定有效的数量和质量控制措施，有助于保护受过度利用的植物群落。
例如，马萨里斯研究了挪威西北部湖泊和河流植物群落的变化，发现量纲分析结果表明，该地区湖泊和河流植物景观是一种有效的物种多样性保护工具。
4、研究植物多样性的变化趋势量纲分析法可以用来研究植物多样性的变化趋势，帮助决策者正确识别植物种类的多样性状况和变化趋势，从而为保护生物资源提供重要参考。
例如，卢森伯格研究了新西兰维多利亚湖流域不同植物群落的多样性变化趋势，发现通过量纲分析法可以清楚地观察到植物群落的多样性变化和发展趋势，这有助于在管理过程中有效增强生物多样性的可持续性。
量纲分析法
量纲分析法量纲分析法是一种工程数学方法，用于处理含有多个变量的物理问题。
这种方法非常有用，因为在实际应用中，我们通常需要考虑许多不同的变量和参数，这些参数可能具有不同的单位和量纲，使得问题变得复杂和难以处理。
利用量纲分析法，可以将各个参数转换为无量纲形式，从而简化问题并提高计算精度。
1. 什么是量纲首先，我们需要明确什么是量纲。
量纲是一个物理量所具有的度量属性，通常包括基本量纲，比如长度、时间、质量、电流等等。
每个量纲都有一个标准单位，比如米、秒、千克、安培等等。
通过组合不同的基本量纲和单位，我们可以得到其他物理量的单位和量纲。
比如速度可以表示为长度/时间，加速度可以表示为长度/时间^2。
在处理物理问题时，量纲是非常重要的，因为它们决定了各个物理量之间的关系和单位的选择。
2. 如何运用量纲分析法量纲分析法是一种基于量纲的数学方法，用于研究变量之间的关系和有效参数的数量。
在使用这种方法时，我们需要将所有涉及的物理量和参数转换为无量纲形式，然后通过比较各个无量纲参量的数量级和变化趋势来分析问题。
这种方法可用于许多不同的物理问题，例如流体力学、热传递、电路分析等等。
下面我们以流体力学为例来讲解量纲分析法的应用过程。
首先，我们考虑一个典型的流体力学问题：水从一根直管中流出的速度是多少？公司设计师可以运用以下方程式解决此题: v = (P1 - P2) / ρL其中v是水的速度，P1和P2是入口和出口处的压力，ρ是水的密度，L是管道长度。
我们观察到这个公式涉及四个参数，每个参数都有自己的单位和量纲。
在使用量纲分析法时，我们需要将它们都转换为无量纲形式。
我们可以定义以下五个无量纲参量：F1 = v L / νF2 = (P1 - P2) / (0.5ρv^2)F3 = D / LF4 = ε/ D其中，ν是水的动力粘度，D是管道的直径，ε是管道壁面粗糙度。
这里表示F1 代表惯性力，F2 代表压力力，F3 代表管道长度比，F4 代表管道细度等无量纲参量。
数学建模3.1量纲分析法
[q j ] X i ,
aij i 1
n
j 1,2, , m
A {aij }nm
m=6, n=3
rank A = 3
Ay=0 有m-r=3个基本解
s = 1,2,…, m-r
m-r 个无量纲量
y1 ( 1 / 2,1 / 2,0, 1, 0, 0) T y 2 ( 0, 2, 0, 0, 1, 0) y ( 1, 3, 1, 0, 0, 1)T 3
s qj
j 1
m
y sj
为得到差 p 的显式表达式 F=0
1 ( 2 , 3 )
1 v 2 1 p 2 lv 1 1 2 1 3 l v g
未定
v gl : Froude number
p v 2 ( 2 , 3 ) v 2 ( 2 , 3 ),
f , s , l , v, , g
~模型船的参数(均已知) 注意：二者的相同
f1 , s1 , l1 , v1 , 1 , g1
~原型船的参数 (f1未知，其他已知)
f l g ( 1 , 2 )
3
f1 l13 g1 1 ( 1, 2 ) v1 s1 1 , 2 2 l1 g1l1
l t g
l t 2 g
t m l g
1 2
3
为什么假设这种形式
设p= f(x,y,z)
x,y,z的量纲单 位缩小a,b,c倍
对 x,y,z的两组测量值x1,y1,z1 和x2,y2,z2， p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )
量纲分析法
量纲分析法3、量纲分析法量纲分析是20世纪初提出的, 在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。
3.1 量纲齐次原则与Pi定理许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来。
例如在动力学中，把长度l, 质量和时间的tm量纲作为基本量纲，记为,1,2,,,,; 而速度的量纲可表示为. v,LT,f,MLT,,,,,,l,L,m,M,t,Tv，力f在国际单位制中，有7个基本量:长度、质量、时间、电流、温度、光强度和物质的,量，它们的量纲分别为L、M、T、I、、J、和N;称为基本量纲。
任一个物理量q的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积，,,,,,,, ,,q,LMTI,NJ量纲齐次性原则:用数学公式表示一个物理定律时，等式两端必须保持量纲一致。
量纲分析就是在保证量纲一致的原则下，分析和探求物理量之间关系;先看一个具体的例子，再给出量纲分析的一般方法。
l例3—1: 单摆运动，质量为的小球系在长度为的线的一端，线的另一端固定，小m球偏离平衡位置后，在重力作用下做往复摆动，忽略阻力，求摆动周期的表达式。
mgtt,m,l,g解:在这个问题中有关的物理量有设它们之间有关系式,,,312t,,mlg ---------------(3.1) 1其中为待定常数，入为无量纲的比例系数，取(3(1)式的量纲表达式有 ,,,,,23,,,,，,,2,,1232331T,MLT 整理得: --------------(3.2) ,,,,,,,,t,mlg 由量纲齐次原则应有,,0,1,,,，,0 ---------------(3.3) ,23,,2,,13,11l,,0,,,,,,,,解得: 代入(3(1)得 -------(3.4) t,,123g22(3.4)式与单摆的周期公式是一致的下面我们给出用于量纲分析建模的 Buckingham Pi定理，定理:设n个物理量之间存在一个函数关系 x,x,？？,x12n--------------(3.5) ，，fx,x,？？,x,012n为基本量纲，m,n。
量纲分析法
量纲数 j j n k , n，并代入变量的量纲组成量纲关系式。
如在该问题中，有：
4 h A1 d A2 A3
5
g B1
d B2 B3
步骤 5：对量纲关系式中的每一个基本量纲令等式两边的幂
量纲分析法
一、量纲
1. 量纲的定义 是用来描述物体或系统物理状态的可测量性质，如长度、质量、速度、 加速度。 2. 基本量纲
彼此无关的量纲，如长度、质量和时间。 3. 导出量
最终要用基本量纲的组合来确定的量纲，如速度、加速度、动量等。 国际单位制中基本量纲为：
[L]、[t]、[M]、[T]。
二、量纲分析法—π定理
为无量纲的量，所以有
ML1T 2 L x LT 1 y ML3 z M z Lx y3zT y
z 1, y 2, x 0
p
2
同理有，分别有：
ML1T 1 L x4 LT 1 y4 ML3 z4 M L T z4 x4 y4 3z4 y4
2
2g
hf
P
g
2
g
f 1 , l , Re d d
莫迪图
hf
Re ， l
dd
2
2g
例题： 在层流情况下，流过一小等边三角形截面的孔（边长为 b
，孔长为 L )的体积流量 Q 为动力粘性系数 、单位长度上的压降
p / L 及 b 的函数。试将此关系写成无因次式。在其他条件不变的
z4 1, y4 1, x4 1
4
3.1量纲分析法
t = λm l g
α1 α 2
α1 α2
1
α3
(1)
l m
α1, α2, α3 为待定系数，λ为无量纲量 为待定系数，
(1)的量纲表达式 的量纲表达式
[t ] = [ m ] [l ] [ g ] 2α α α +α T =M L T
α3
3 2
3
mg 对比
π s = ∏qj
j =1
m
ysj
为得到阻力 f 的显式表达式
π = g l v 1 π 2 = l 2 s π = g 1l 3 ρ 1 f 3 π 3 = ψ (π1,π 2 ) F=0
1 2 1 2
f = l gρψ(π1,π2 ),
3
v s π1 = , π2 = 2 l gl
3.1 物 理 量 的 量 纲
量纲分析法建模
动力学中 基本量纲 M, L, T 导出量纲
质量 m的量纲记 M=[m] 的量纲记 长度 l 的量纲记 L=[l] 时间 t 的量纲记 T=[t] 速度 v 的量纲 [v]=LT-1 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 力 f 的量纲 [f]=MLT-2
ψ 未定
3.2 量纲分析在物理模拟中的应用
例: 航船阻力的物理模拟 通过航船模型确定原型船所受阻力 3 ′ ′ f1 = l13g1ρ1ψ (π1,π 2 ) f = l gρψ (π1,π 2 ) 可得原 已知模 型船所 π = v , π = s 型船所 π1 = v1 , π 2 = s1 ′ ′ 2 1 2 2 受阻力 l1 g1l1 受阻力 l gl
T
πs = ∏qj
j=1
m
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x K
dy ry 1 y dt
rt , t 时间无量纲化
dy y 1 y d
简化后的模型不含参数！便于理论分析和数值求解。
例2：简化三次方程
az bz cz d 0, a 0
3 2
b b 令x z (z与 a 具有相同的量纲！ ) 3a
3
未定
Fr 3
对方程组Ay=0选择符合要求的基础解系
3.2 量纲分析在物理模拟中的应用
例: 航船阻力的物理模拟
通过航船模型确定原型船所受阻力 3 3 , 3 ) f l ( 2 f l g ( 2 , 3 ) 1 1 g1 1 可得原 已知模 s v s v 1 1 型船所 型船所 , , 2 3 2 2 3 2 l 受阻力 g1l1 l 受阻力 gl 1
s qj
j 1
m
ysj
1 fg 1l 3 1 2 l s 2 1 1 2 2 g l v 3
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价 为得到阻力 f 的显式表达式
F(1, 2 ,3 ) = 0与 (g,l,,v,s,f) = 0 等价
v v w
3
w
k Aa
3.4: 思路与步骤
专业分析软件
一. 层次分析法简介
层次分析法(AHP: Analytic Hierarchy Process) 是美国著名的运筹学家T.L.Saaty等人于20世纪70年代提出的一 种决策方法。其主要特点是按照思维、心理的规律把决策过程层 次化、数量化，合理地将定性问题定量化处理。
x px q 0
3
3ac b2 27a 2 d 2b3 9abc p ,q 3a 2 27a3
卡丹公式（Cardano's Formula ）
xk
k 1 3
令
，
q 2 2 p 3 3
2 i q q 1 k 3 , k 1, 2, 3. e 3 2 2
W (w1 , w2 ,..., wn )T 称为权向量.
层次分析法的基本步骤
1. 建立层次结构模型 深入分析问题，将有关各因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次。同一层 诸因素从属于上一层的因素或对上一层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到 下层因素的作用.同一层的因素之间应尽量独立。 2. 构造成对比较矩阵 从层次结构模型的第2层开始，对于从属于(或影响及)上一层每个因素的同一层因 素，用成对比较法和1-9比较尺度构造成对比较矩阵，直到最下层。
单摆运动中 T, m, l, g 的一般表达式
f (T , m, l , g ) 0
T m l g k
y1 y2 y3 y4
y1~y4 为待定常数, k为无量纲量
T M L
y1 y2 y3
[T ] M 0 L0T 1 1 0 0 [ m] M L T 0 1 0 [ l ] M LT 0 1 2 [ g ] M LT
3. 计算相对权向量并做一致性检验 （层次单排序）
对于每个成对比较阵，计算最大特征根及对应的权向量，并做一致性检验。 若不能通过检验，则重新构造。 4. 计算组合权向量并做组合一致性检验
二. 层次分析法的基本步骤
例1:(假日旅游) 有P1,P2,P3三个旅游地供选择, 假如选择的标准和依据有:景色,费用, 饮食, 居住和旅途.
3.3 无量纲化方法
无量纲化方法是用数学工具研究物理问题的常用方法，通过选择恰当的变换可以 减少参数，简化某些数学问题。
例1：简化常微分方程
y
dx x rx 1 r,K为正参数 dt K
x->y 变量无量纲化
x具有量纲，且 与 K 量纲相同 t具有量纲，且 与 1/r 量纲相同
量纲齐次原则
描述物理规律的表达式每一项必须具有相同的量纲
1 2 S (t ) S0 vt at 2
动力学物理量的量纲
质量 m的量纲记 M=[m] 长度 l 的量纲记 L=[l] 时间 t 的量纲记 T=[t] 速度 v 的量纲 [v]=LT-1 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 力 f 的量纲 [f]=MLT-2 万有引力常数 G 的量纲 [G] =M-1L3T-2 对无量纲量，[]=1(=M0L0T0)
f , s, l , v, , g
~模型船的参数(均已知) 注意：二者的相同
f1 , s1 , l1 , v1 , 1 , g1
~原型船的参数 (f1未知，其他已知)
1 1,
2 2
l1 f1 l
3
3 f1 l1 1 ( 1 ) 3 f l
作业
P60 2，4
•利用无量纲化思想将下面的数学模型参数数量减到最少 （a~e, 均为正参数,a>e）：
dx x [( a e ) by ] dt dy y[(c e) dx] dt
3.1 量纲分析法与无量纲化思想
量纲分析(Dimensional Analysis)是20世纪初提出的, 在物理领域中建立 数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐 次原则，确定各物理量之间的关系。它是一种数学分析方法，通过量纲分析， 可以正确地分析各变量之间的关系，简化试验和便于成果整理。 在国际单位制中，有7个基本量：质量、长度、时间、电流、热力学温度、 发光强度和物质的量，它们的量纲（Dimension）分别为 M、L、T、I、 、J、 和N；称为基本量纲。 任何一个物理量q的量纲都可以表示成基本量纲的幂的乘积。 无量纲化 (Dimensionless) 是根据量纲分析思想，恰当地选择特征尺度， 将有量纲量化为无量纲量达到减少模型参数，简化模型的效果。
( f , g , l , , v, s) 0
[f] = MLT-2 ,[g] = LT-2, [l] = L, [] = ML-3, [v] = LT-1,, [s] = L2,
1 0 0 1 0 0 M L A 1 1 1 3 1 2 T 2 2 0 0 1 0
y2 0 y3 y4 0 y 2y 0 1 4
LT
T
2 y4
M 0 L0T 0
M L
y
T 1 T 2
y2
y3 y4
y1 2 y4
M LT
0 0
0
基本解
( y1 , y2 , y3 , y4 ) (1, 0, 1 2, )
Tl g k
1
2
q1, q2, , qm 的量纲可以用基本量纲表示为
[q j ] X i ,
aij i 1
n
j 1,2,, m
定义量纲矩阵
A aij
n m
若 rank A r , 线性方程组 Ay
0 有 m-r 个基本解，记作
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T , s = 1,2,…, m-r 则
AHP方法发展简介
1972年，Saaty为美国科学基金会研究根据工业部门贡献分配电力问题。初步形 成了AHP理论的核心，即很多复杂系统可以简化为有序的递阶层次结构，决策问 题通常表现为一组方案优先顺序的排列问题，而这种排序又可以通过简单的两两 比较形式导出。 1972年和1975年内部出版《用于排序和计划的特征根分配模型》和《层次和排序 ——特征根分析》。 1977年Saaty在第一届国际数学建模会议上发表《无结构决策问题的建模——层 次分析理论》。从此AHP开始引起人们的注意。 1980年Saaty出版了AHP的专著，全面系统地论述AHP的原理、应用及数学基础 。随后他又陆续写出两本侧重论述AHP应用的著作，即1981年出版的《排序的逻 辑》（与L.G.Vargas合著）和1982年出版的《领导者的决策》。 近年来，Saaty和近百位学者在发展AHP的理论和推广AHP在各类问题的应用方 面完成了许多工作。AHP后被推广为ANP：Analytic Network Process网络
1 fg 1l 3 1 2 l s 2 1 1 2 2 g l v 3
F=0
隐函数定理
1 ( 2 , 3 )
s v 2 2 ,3 l gl
v gl : Froude number
f l g ( 2 , 3 ),
f
结论：按一定尺寸比例造模型船，量测 f， 可算出 f1 ~ 物理模拟
量纲分析法的评注
• 物理量的选取 (…) = 0中包括哪些物理量是至关重要的 • 基本量纲的选取
基本量纲个数n; 选哪些基本量纲
• 基本解的构造 有目的地构造 Ay=0 的基本解 • 方法的普适性 • 结果的局限性 不需要特定的专业知识 函数F和无量纲量未定
m1m2 f G 2 r
动力学中 基本量纲 M, L, T 导出量纲
量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系 例：求单摆运动周期 T 的表达式
设物理量 T, m, l, g 之间有关系式 l
f (T , m, l , g ) 0
假设等价于无量纲量关系式
T 2
l g
m
mg
F (k ) 0
[q j ] X i ,
aij i 1
n
j 1,2,, m
A {aij }nm
m=6, n=3
f g l v s
f (q1 , q2 ,, qm ) 0
rank A = r Ay=0 有m-r个基本解