哈六中高二数学(理)期末试题及答案
黑龙江省哈尔滨市第六中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
哈尔滨市第六中学2018-2019学年度上学期期末考试高二理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.命题“任意实数,都有”的否定是（）A. 对任意实数,都有B. 不存在实数,使C. 对任意非实数,都有D. 存在实数,使【答案】D【解析】【分析】全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意实数x，都有”的否定是：“存在实数,使”．故选：D．【点睛】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系．2.已知复数，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的性质即可得出．【详解】复数z，则的共轭复数的虚部为．故选：B．【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题:①若，则；②若，，则；③若，则；④若，则；则真命题为（）A. ①②B. ③④C. ②D. ②④【答案】C【解析】【分析】根据空间线面位置关系逐一判断即可．【详解】①若n∥α，则α内的直线m可能与n平行，也可能与n异面，故①错误；②m∥α，过m的平面与α交于n，则m∥n，∵m⊥β，∴n⊥β，∵n⊂α，∴α⊥β，故②正确；③因为若α⊥β，m⊂β，则m与α的位置关系不确定，故m与α可能相交，可能平行，也可能是m⊂α，故③错误；④以直三棱柱为例，棱柱的任意两个侧面都与底面垂直，但侧面不平行，故④错误．故选：C．【点睛】本题考查两个平面平行的判定和性质，平面与平面垂直的性质，线面垂直的性质，线面平行的性质，注意考虑特殊情况．4.若的展开式中各项系数和为64，则其展开式中含项的系数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意令x＝1，则2n＝64，解得n，再利用通项公式即可得出．【详解】由题意令x＝1，则2n＝64，解得n＝6．∴的通项公式为：T r+1（3x）6﹣r（﹣1）r36﹣r，令6-2，解得r＝4．∴含项的系数为32＝135．故选：C．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.已知复数，若复数对应的点在复平面内位于第四象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部大于0，虚部小于0，求得答案【详解】z2a+（1﹣a）i，若复数z对应的点在复平面内位于第四象限，则，解得：a＞1，故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．6.哈尔滨市冰雪节期间，5名游客到三个不同景点游览，每个景点至少有一人，至多两人，则不同的游览方法共有（）种.A. 90B. 60C. 150D. 125【答案】A【解析】【分析】把5名游客分为三组，其中两组是2人，一组是一人，然后全排即可.【详解】第一步：把5名游客分为三组，其中两组是2人，一组是一人，共种;第二步：把三组进行全排列，共有种，∴不同的游览方法有15×6＝90种．故选：A【点睛】排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．7.如图，在三棱锥中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，．若是棱上的点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过作AC的垂线为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与所成角的余弦值．【详解】以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过作AC的垂线为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB＝4，AA1＝6，E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE＝B1E，∴A1（4，0，6），E（2，2，3），A（4，0，0），（﹣2，2，﹣3），（-4，0，6），设异面直线与所成角所成角为θ，则cosθ．∴异面直线A1E与AF所成角的余弦值为．故选：A．【点睛】求空间两条异面直线所成角的大小是立体几何中最为常见的基本题型之一。
黑龙江省哈尔滨市第六中学高二下学期期末考试数学(理)试题
绝密★启用前黑龙江省哈尔滨市第六中学高二下学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．复数等于（）A. B. C. D. 0【答案】D【解析】分析：直接由复数的除法运算得到结果即可.详解：故答案为：D.点睛：本题考查了复数的运算法则,考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.2．设集合小于7的正整数，，，则为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先用列举法写出U，B，根据交集、补集的意义直接求解即可．详解：U={1，2，3，4，5，6}，对于B，解+1≤0可得2＜x≤5，又由x∈N，则B={3，4，5}C U B={1，2，6}，A={1，2，5}则A∩（C U B）={1，2}，故选：C．点睛：本题主要考查集合的表示方法，集合元素的性质，及集合的运算，是简单的基础题，注意集合的运算顺序：先求补，再求交．3．设命题P ：,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤，则错误！未找到引用源。
是（ ） A. ,()n N f n N ∀∉∈且()f n n ≤ B. ,()n N f n N ∀∈∉或()f n n > C. 00,()n N f n N ∃∈∉且00()f n n > D. 00,()n N f n N ∃∈∉或00()f n n > 【答案】D 【解析】试题分析：命题的否定既要否定条件，又要否定结论，故选D 考点：命题的否定4．已知函数，则不等式的解集为 ( ) A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：根据分段函数，分别解不等式，再求出并集即可．详解：由于，当x ＞0时，3+log 2x ≤5，即log 2x ≤2=log 24，解得0＜x ≤4， 当x ≤0时，x 2﹣x ﹣1≤5，即（x ﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x ≤0， ∴不等式f （x ）≤5的解集为[﹣2，4]， 故选：B ．点睛：本题考查了分段函数以及不等式的解法和集合的运算，分段函数的值域是将各段的值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的.5．若实数满足，则关于的函数图象的大致形状是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：先化简函数的解析式，函数中含有绝对值，故可先去绝对值讨论，结合指数函数的单调性及定义域、对称性，即可选出答案．详解：∵，∴f（x）=（）|x﹣1|其定义域为R，当x≥1时，f（x）=（）x﹣1，因为0＜＜1，故为减函数，又因为f（x）的图象关于x=1轴对称，对照选项，只有B正确．故选：B．点睛：本题考查指数函数的图象问题、考查识图能力，属于基础题．一般给出函数表达式求函数图像的问题，可以从函数的定义域入手，值域入手，检验式子和图像是否一致，也可以考查函数的对称性和特殊点.6．已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意可先判断出在（0，+∞）上单调递增，根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，从而可比较2﹣a2与a 的大小，解不等式可求a的范围详解：∵在（0，+∞）上单调递增又∵f（x）是定义在R上的奇函数根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增∴f（x）在R上单调递增∵f（2﹣a2）＞f（a）∴2﹣a2＞a解不等式可得，﹣2＜a＜1故选：C．点睛：本题主要考查了奇函数在对称区间上的单调性相同（偶函数对称区间上的单调性相反）的性质的应用，一元二次不等式的求解，属于基础试题.偶函数，比较函数值大小时，比较的是距离对称轴的，离轴越远函数值越大或者越小.7．现有4名教师参加说课比赛，共有4道备选题目，若每位教师从中有放回地随机选出一道题目进行说课，其中恰有一道题目没有被这4位教师选中的情况有( )A. 288种B. 144种C. 72种D. 36种【答案】B【解析】试题分析：从4题种选一道作为不被选中的题有4种，从4位教师中选2位，这两位是选同样题目的有246C=种，被选中两次的题目有3种方案，剩下的两位教师分别选走剩下的2题，共4632=144⨯⨯⨯种.考点：排列组合.8．已知（）是函数的一个零点，若，，则( )A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】分析：在同一坐标系中作出函数y=1nx与y=的图象，由图可得结论．详解：令 f（x）=lnx﹣=0，从而有lnx=，此方程的解即为函数f（x）的零点，在同一坐标系中作出函数y=1nx与y=的图象，由图可得f（a）＜0，f（b）＞0，故选：D．点睛：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化与数形结合的数学思想，构造两个函数的交点问题求解，对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个不是常函数，注意让不是常函数的式子尽量简单一些。
2017-2018学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二数学上期末考试(理)试题(含答案)
哈尔滨市第六中学2017-2018学年度上学期期末考试高二理科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色的签字笔书写, 字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1.下列选项叙述错误的是（ ）A ． 若p q ∨为真命题，则p 、q 均为真命题B ．命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”C ．若命题:p x R ∀∈，210x x ++≠，则:p x R ⌝∃∈，210x x ++=D ．“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件2.已知口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，若摸出红球的概率是0.42，若摸出白球的概率是0. 28，则摸出黑球的概率是（ ） A ． 0.42 B ． 0.28 C ．0.3 D ． 0.73. 已知,,l m n 是三条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题为真命题的是 （ ） A ．若l m ⊥，l n ⊥，m α⊂，n α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，α∥β，m β⊂，则l m ⊥ C ．若l ∥m ，m α⊂，则l ∥α D ．若l α⊥，αβ⊥，m β⊂，则l ∥m4.有四个面积相等的游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖,若想增加中奖机会，则应选择的游戏盘是（ ）5. 执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为16，则输入的自然数n 的最小值等于（ ）A ． 7B ．8C ．9D ．106．福利彩票“双色球”中红色球由编号为01,02…33的33个球组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下）第1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为（ ）A ．23B ．20C ．06D ． 177 .已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为3，过2F 的直线l 交椭圆C 于A 、C 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为（ ）A ．22132x y += B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y +=8．为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是x 甲、x 乙，则下列说法正确的是（ ）A ．x x >甲乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B ．x x >甲乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C ． x x <甲乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D ．x x <甲乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛9.如图，111A B C ABC -是直三棱柱，BCA ∠为直角，点1D 、1F 分别是11A B 、11AC 的中点，若1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是（ ） A． B．2 CD10．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）ABCD11．三棱锥ABC P -的四个顶点均在半径为2平面⊥PAB 平面ABC，则三棱锥ABC P -的体积的最大值为（A ． 4B ．C ． 3D ．12.双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点为21,F F ，A 是其右顶点，过2F 作x 轴的垂线与双曲线的一个交点为,P G 是21F PF ∆的重心，若021=⋅F F GA ，则双曲线的离心率是（ ） A ．2 B ．2C ．3D ． 3 二、填空题13．某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名.现用分层抽样的方法从这70名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了8名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数为_______________.俯视图14. 双曲线)0(122≠=-mn ny m x 的离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为________________.15.若双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是_____________.16. 已知ABC ∆中，=9AB ，=15AC ，120BAC ∠=，ABC ∆所在平面外一点P 到此三角形三个顶点的距离都是14，则点P 到平面ABC 的距离是_____________.三、解答题17.某公司的管理者通过公司近年来科研费用支出x （百万元）与公司所获得利润y （百万元）的散点图发现，y 与x 之间具有线性相关关系，具体数据如下表所示：（1）求y 关于x 的回归直线方程；（2）若该公司的科研投入从2011年开始连续10年每一年都比上一年增加10万元，预测2017年该公司可获得的利润约为多少万元？（注：线性回归直线方程系数公式^1122211()()()n niii ii i nni i i i x x y y x y nx yb x x x nx====---⋅==--∑∑∑∑，^^a yb x =-.）18.某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[)160,180,[)180,200,[)200,220,[)220,240,[)240,260,[)260,280,[]280,300分组的频率分布直方图如下图: (1)求直方图中的x 的值；(2)估计月平均用电量的众数和中位数；(3)从月平均用电量在[)220,240,[)240,260,[)260,280,[]280,300内的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,求从月平均用电量在[)220,240内的用户中应抽取多少户?19. 如图，三棱锥P ABC -中， ,,PC AC BC 两两垂直，1,BC PC ==， 2AC =，,,E F G分别是,,AB AC AP 的中点.（1）证明：平面//GEF 平面PCB ； （2）求直线PF 与平面PAB 所成角的正弦值.20．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1 x cos y sin ϕϕ=+=⎧⎨⎩（ϕ参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()sin 3ρθθ+=. （1）求C 的极坐标方程； （2）射线11:2OM πθθθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ， 求OP OQ ⋅的范围.21.如图所示三棱柱111C B A ABC -中，⊥1AA 平面ABC ，四边形ABCD 为平行四边形，CD AD 2=，CD AC ⊥.（Ⅰ）若AC AA =1,求证：⊥1AC 平面CD B A 11； （Ⅱ）若D A 1与1BB 所成角的余弦值为721，求二面角11C D A C --的余弦值.22.已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 在x 轴上，离心率e =Q 在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若斜率为k (0)k ≠的直线n 交椭圆C 于A 、B 两点，且OA k 、k 、OB k 成等差数列，点(1,1)M ，求ABM S ∆的最大值.答案13. 6 14. 15. 16. 717. (1)经计算可得,,,,,故所求的回归直线的方程为(2)由题可知道2017年时科研投入为2.3百万元,故可预测该公司所获得的利润约为(百万元)答: 可预测该公司所获得的利润约为450万元.18．(1)由直方图的性质可得,得(2) 众数的估计值是,设中位数为由得(3)月平均用电量为的用户有(户),月平均用电量为的用户有(户),月平均用电量为的用户有(户),月平均用电量为的用户有(户),抽取比例为,所以从月平均用电量在内的用户中应抽取(户).19. (1)分别是的中点, 又平面,平面,所以平面,平面,,即平面平面.(2) 以为坐标原点，分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系,,,,,则面的法向量，设与面所成角为,则与面所成角的正弦值为.20．（1）圆的普通方程是，又，所以圆的极坐标方程是.（2）设，则有，设，且直线的方程是，则有所以因为，所以.21.（1）略（2）设为与所成的角以C为坐标原点，分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系面的法向量，面的法向量二面角的余弦值为22. (1)设椭圆方程为，由题意知，…①，…②联立①②解得，，所以椭圆方程为(2)由题意可知，直线的斜率存在且不为，故可设直线的方程为满足，消去得．，且，．因为直线的斜率依次成等差数列，所以，，即，又，所以，即．联立易得弦AB的长为又点M到的距离所以平方再化简得时S取最大值。
黑龙江省哈尔滨市第六中学高二数学下学期期末考试试题理(2021年整理)
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哈尔滨市第六中学2017-2018学年度下学期期末考试高二理科数学试卷考试说明:本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷(非选择题)两部分，满分150分,考试时间120分钟．（1)答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2)选择题必须使用2B 铅笔填涂， 非选择题必须使用0。
5毫米黑色的签字笔书写， 字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效; (4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的 1．复数ii i 1313+-+等于（ ） A.i -3 B.i 2- C 。
i 2 D 。
0 2．设集合{U =小于7的正整数}，{}5,2,1=A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤+-=N x x xB ,0123，则)(B C A U 为（ ) A ．{}5,2,1 B ．{}5,1 C ．{}2,1 D ．{}5,2 3．设命题P ：,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤，则p ⌝是( ）A 。
,()n N f n N ∀∉∈且()f n n ≤B 。
黑龙江省哈尔滨市第六中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学(理)试题 (解析版)
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨六中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．若p是真命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．￢p是真命题D．￢q是真命题2．已知抛物线准线方程为x＝﹣2，则其标准方程为（）A．x2＝8y B．x2＝﹣8y C．y2＝8x D．y2＝﹣8x3．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是它们所在线段的中点，则满足A1F∥平面BD1E的图形个数为（）A．0B．1C．2D．34．方程表示椭圆的充要条件是（）A．m∈（﹣4，﹣1）B．m∈（﹣4，﹣1）∪（﹣1，2）C．m∈（﹣4，2）D．（﹣1，+∞）5．已知椭圆C：（a＞b＞0）经过点（1，b），且C的离心率为，则C的方程是（）A．B．C．D．6．如图，点M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱CD的中点，则异面直线AM与BC1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．7．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β8．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．9．过双曲线的右焦点F（1，0）作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±2x D．y＝±2x10．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（）A．B．C．D．11．如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A﹣BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中不正确的是（）A．平面ACD⊥平面ABD B．AB⊥CDC．平面ABC⊥平面ACD D．AD⊥平面ABC12．抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A、B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝60°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．B．C．1D．2二、填空题（共4小题）.13．某四面体的三视图如图所示，三个三角形均为直角三角形，则该四面体的体积是．14．若双曲线的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4所截得的弦长为2，双曲线C的离心率为．15．世界四大历史博物馆之首卢浮宫博物馆始建于1204年，原是法国的王宫，是法国文艺复兴时期最珍贵的建筑物之一，以收藏丰富的古典绘画和雕刻而闻名于世，卢浮宫玻璃金字塔为正四棱锥，且该正四棱锥的高为21米，底面边长为30米，是华人建筑大师贝聿铭设计的．若玻璃金字塔五个顶点恰好在一个球面上，则该球的半径为米．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ＝时，S为等腰梯形③当CQ＝时，S与C1D1的交点R满足④当时，S为四边形⑤当CQ＝1时，S的面积为三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或解题步骤）17．（10分）已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）＝，圆C的参数方程为（其中θ为参数）．（1）求直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程；（2）若椭圆的参数方程为（φ为参数），过圆C的圆心且与直线l垂直的直线l′与椭圆相交于两点A，B，求|CA|•|CB|．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC ＝CB＝．（1）证明：BC1∥平面A1CD；（2）求二面角D﹣A1C﹣E的余弦值．19．（12分）已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，M（3，t）是抛物线上一点，且|MF|＝4．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）直线l与抛物线C交于A，B两点，若•＝﹣4（O为坐标原点），则直线l 是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由．20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数），直线l的方程是x+2y﹣1＝0，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线OM：θ＝α（其中0＜α＜π）与圆C交于O、P，射线OQ：θ＝α+与直线l交于点Q，若|OP|•|OQ|＝6，求α的值．21．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为四边形，AC⊥BD，BC＝CD，PB＝PD，平面PAC⊥平面PBD，AC＝2，∠PCA＝，PC＝4．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）若四边形ABCD中，∠BAD＝120°，AB⊥BC，是否在PC上存在一点M，使得直线BM与平面PBD所成的角的正弦值为，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．22．（12分）已知椭圆的方程为+＝1（a＞b＞0），其离心率e＝，且短轴的一个端点与两焦点组成的三角形面积为，过椭圆上的点P作y轴的垂线，垂足为Q，点E满足＝，设点E的轨迹为曲线Γ．（1）求曲线Γ的方程；（2）若直线l与曲线Γ相切，且交椭圆于A、B两点，C（﹣1，0），D（1，0），记△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，求S1S2的最大值．参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．若p是真命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．￢p是真命题D．￢q是真命题解：∵p是真命题，q是假命题，∴p∧q是假命题，选项A错误；p∨q是真命题，选项B错误；￢p是假命题，选项C错误；￢q是真命题，选项D正确．故选：D．2．已知抛物线准线方程为x＝﹣2，则其标准方程为（）A．x2＝8y B．x2＝﹣8y C．y2＝8x D．y2＝﹣8x解：根据题意，要求抛物线准线方程为x＝﹣2，设其标准方程为y2＝2px，则有＝﹣2，解可得：p＝4，则抛物线的方程为y2＝8x，故选：C．3．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是它们所在线段的中点，则满足A1F∥平面BD1E的图形个数为（）A．0B．1C．2D．3解：①中，平移A1F至D1F′，可知D1F′与面BD1E只有一个交点D1，则A1F与平面BD1E不平行；②中，由于AF∥DE，而AF⊄平面BDE，DE⊂平面BDE，故A1F∥平面BD1E；③中，平移A1F至D1F′，可知D1F′与面BD1E只有一个交点D1，则A1F与平面BD1E不平行；故选：B．4．方程表示椭圆的充要条件是（）A．m∈（﹣4，﹣1）B．m∈（﹣4，﹣1）∪（﹣1，2）C．m∈（﹣4，2）D．（﹣1，+∞）解：方程表示椭圆的充要条件是，解得：m∈（﹣4，﹣1）∪（﹣1，2）．故选：B．5．已知椭圆C：（a＞b＞0）经过点（1，b），且C的离心率为，则C的方程是（）A．B．C．D．解：由题可知，，解得，∴椭圆的方程为．故选：A．6．如图，点M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱CD的中点，则异面直线AM与BC1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．解：如图，连接AD1，∵AB＝C1D1，AB∥C1D1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，则AD1∥BC1，则∠D1AM为异面直线AM与BC1所成角，连接D1M．设正方体的棱长为2，则，．∴cos∠．即异面直线AM与BC1所成角的余弦值是．故选：A．7．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β解：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A错误；选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．故选：D．8．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解：设P（m，n），＝（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）＝m2﹣c2+n2，∴m2+n2＝2c2，n2＝2c2﹣m2①．把P（m，n）代入椭圆得b2m2+a2n2＝a2b2②，把①代入②得m2＝≥0，∴a2b2≤2a2c2，b2≤2c2，a2﹣c2≤2c2，∴≥．又m2≤a2，∴≤a2，∴≤0，故a2﹣2c2≥0，∴≤．综上，≤≤，故选：C．9．过双曲线的右焦点F（1，0）作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±2x D．y＝±2x解：由右焦点F（1，0），∴﹣＝1，∴y＝±b，∴|AB|＝2b，∵△AOB的面积为，∴×2b×1＝，且a2+b2＝1，解得a＝，b＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，即y＝±2x，故选：B．10．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（）A．B．C．D．解：如图，连接BD1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由AD＝AA1＝1，AB＝2，得，，则＝，设点E到平面ACD1的距离为h，则B到平面ACD1的距离为2h，由，得，解得h＝．故选：C．11．如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A﹣BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中不正确的是（）A．平面ACD⊥平面ABD B．AB⊥CDC．平面ABC⊥平面ACD D．AD⊥平面ABC解：对于A，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BD⊥CD，∴CD⊥平面ABD，∴平面ACD⊥平面ABD，即A正确；对于B，CD⊥平面ABD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥CD，即B正确；对于C，∵AB⊥AD，AB⊥CD，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD，即C正确；对于D，若AD⊥平面ABC，则AD⊥AC，与CD⊥AD矛盾，故选：D．12．抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A、B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝60°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．B．C．1D．2解：设|AF|＝a，|BF|＝b，由抛物线定义，得AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|在梯形ABPQ中，∴2|MN|＝|AQ|+|BP|＝a+b．由余弦定理得，|AB|2＝a2+b2﹣2ab cos60°＝a2+b2﹣ab配方得，|AB|2＝（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2＝（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．∴≤1，即的最大值为1．故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．某四面体的三视图如图所示，三个三角形均为直角三角形，则该四面体的体积是8．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥；如图所示：所以：．故答案为：8．14．若双曲线的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4所截得的弦长为2，双曲线C的离心率为2．解：双曲线的一条渐近线方程设为bx﹣ay＝0，圆（x﹣2）2+y2＝4的圆心为（2，0），半径r＝2，可得圆心到渐近线的距离为d＝，则2＝2，化为3a2＝b2＝c2﹣a2，即4a2＝c2，e＝，解得e＝2．故答案为：2．15．世界四大历史博物馆之首卢浮宫博物馆始建于1204年，原是法国的王宫，是法国文艺复兴时期最珍贵的建筑物之一，以收藏丰富的古典绘画和雕刻而闻名于世，卢浮宫玻璃金字塔为正四棱锥，且该正四棱锥的高为21米，底面边长为30米，是华人建筑大师贝聿铭设计的．若玻璃金字塔五个顶点恰好在一个球面上，则该球的半径为米．解：如图所示，设球半径为R，底面中心为O'且球心为O，∵正四棱锥P﹣ABCD中AB＝30，PO′＝21，∴AO'＝AB＝15，OO'＝PO'﹣PO＝21﹣R．∵在Rt△AOO'中，AO2＝AO'2+OO'2，∴R2＝（15）2+（21﹣R）2，解之得R＝，故答案为：．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是①②③⑤（写出所有正确命题的编号）①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ＝时，S为等腰梯形③当CQ＝时，S与C1D1的交点R满足④当时，S为四边形⑤当CQ＝1时，S的面积为解：如图当CQ＝时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP＝QD1＝＝，故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确；由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，即可得截面为四边形APQM，故①正确；③当CQ＝时，如图，延长DD1至N，使D1N＝，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R＝C1Q：D1N＝1：2，故可得C1R＝，故③正确；④由③可知当＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故④错误；⑤当CQ＝1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1＝AF，可知截面为APC1F为菱形，故其面积为AC1•PF＝＝，故⑤正确．故答案为：①②③⑤．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或解题步骤）17．（10分）已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）＝，圆C的参数方程为（其中θ为参数）．（1）求直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程；（2）若椭圆的参数方程为（φ为参数），过圆C的圆心且与直线l垂直的直线l′与椭圆相交于两点A，B，求|CA|•|CB|．解：（1）直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）＝，根据转换为直角坐标方程为x+y﹣1＝0．圆C的参数方程为（其中θ为参数）转换为直角坐标方程为x2+（y+2）2＝4．（2）椭圆的参数方程为（φ为参数），转换为直角坐标方程为，把直线的方程转换为参数方程为（t为参数），代入，得到，所以|CA||CB|＝|．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC ＝CB＝．（1）证明：BC1∥平面A1CD；（2）求二面角D﹣A1C﹣E的余弦值．解：（1）证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点，又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF，∵DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD；（2）由AA1＝AC＝CB＝，可得AB＝2，则AC2+BC2＝AB2，即AC⊥BC，又∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴以点C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面A1CD的一个法向量为，则，计算可取；同理可得平面A1CE的一个法向量，∴，∴二面角D﹣A1C﹣E的余弦值为．19．（12分）已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，M（3，t）是抛物线上一点，且|MF|＝4．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）直线l与抛物线C交于A，B两点，若•＝﹣4（O为坐标原点），则直线l 是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由．解：（Ⅰ）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0），准线方程为x＝﹣，则|MF|＝3+＝4，解得p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x；（Ⅱ）设直线l的方程为x＝ny+t，与抛物线y2＝4x联立，可得y2﹣4ny﹣4t＝0，设A（，y1），B（，y2），则y1y2＝﹣4t，由•＝+y1y2＝﹣4t＝﹣4，解得t＝2，则直线l的方程为x＝ny+2，直线l恒过定点（2，0）．20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数），直线l的方程是x+2y﹣1＝0，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线OM：θ＝α（其中0＜α＜π）与圆C交于O、P，射线OQ：θ＝α+与直线l交于点Q，若|OP|•|OQ|＝6，求α的值．解：（Ⅰ）∵直线l的方程是x+2y﹣1＝0，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴直线l的极坐标方程为ρcosθ+2ρsinθ﹣1＝0，即．∵曲线C的参数方程为（φ为参数），∴圆C的直角坐标方程为（x﹣3）2+y2＝9，∴圆C的极坐标方程为ρ＝6cosθ．（Ⅱ）由题意得|OP|＝6cosα，|OQ|＝＝，则＝6，解得tanα＝1，又∵0＜α＜π，∴α＝．21．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为四边形，AC⊥BD，BC＝CD，PB＝PD，平面PAC⊥平面PBD，AC＝2，∠PCA＝，PC＝4．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）若四边形ABCD中，∠BAD＝120°，AB⊥BC，是否在PC上存在一点M，使得直线BM与平面PBD所成的角的正弦值为，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．解：（1）证明：设AC∩BD＝O，连接PO∵BC＝CD，AC⊥BD，∴O为BD中点，∵PB＝PD，∴PO⊥BD，∵平面PAC⊥平面PBD，平面PAC∩平面PBD＝PO，∴BD⊥平面PAC，∵PA⊂平面PAC，∴PA⊥BD，在△PCA中，由余弦定理得PA2＝PC2+AC2﹣2PC•AC•cos30°，即PA2＝16+12﹣2×＝4，∴PA2+AC2＝PC2，∴PA⊥AC，∵BD∩AC＝O，BD⊂平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD．（2）以A为原点，AB为x轴，在平面ABCD中过A作AB的垂线为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），P（0，0，2），B（，0，0），C（，3，0），D（﹣，，0），＝（，0，﹣2），＝（﹣，，﹣2），设PC上存在一点M，使得直线BM与平面PBD所成的角的正弦值为，且＝λ，则，设M（a，b，c），则（a，b，c﹣2）＝λ（﹣a，3﹣b，﹣c），∴a＝，b＝，c＝，∴M（，，），＝（，，），设平面PBD法向量为＝（x，y，z），则，取x＝2，得＝（2，2，），∵直线BM与平面PBD所成的角的正弦值为，∴|cos＜＞|＝＝，解得λ＝1，∴PC上存在一点M，使得直线BM与平面PBD所成的角的正弦值为，且＝1．22．（12分）已知椭圆的方程为+＝1（a＞b＞0），其离心率e＝，且短轴的一个端点与两焦点组成的三角形面积为，过椭圆上的点P作y轴的垂线，垂足为Q，点E满足＝，设点E的轨迹为曲线Γ．（1）求曲线Γ的方程；（2）若直线l与曲线Γ相切，且交椭圆于A、B两点，C（﹣1，0），D（1，0），记△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，求S1S2的最大值．解：（1）由题意得，解得，∴椭圆方程为+y2＝1，设E（x，y），P（x0，y0），Q（0，y0），∵，∴x0＝2x，y0＝y，把P（x0，y0）代入椭圆方程得：x2+y2＝1，∴点E的轨迹曲线Γ的方程为：x2+y2＝1；（2）由题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y＝kx+m，∵l与圆相切，∴，得m2＝1+k2；由消去y得，（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0由△＞0得k≠0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，，∴＝＝＝，∴S1S2＝＝＝＝＝＝≤（当且仅当k＝时取等号），综上，S1S2的最大值为．。
黑龙江省哈尔滨市第六中学2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题理(含解析)
哈尔滨市第六中学2018-2019学年度下学期期末考试高二理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.已知全集U =R ，集合2{|20},{|2}A x x x B x x =-<=<，则（） A. ()R B C A R ⋂=B. ()R B C A ⋂=∅C. A B A ⋃=D.A B A =I【答案】D 【解析】 【分析】首先解出集合A ，B ，由集合基本运算的定义依次对选项进行判定。
【详解】由题可得{}|02A x x =<<，{}|-22B x x =<<； 所以{}|02A B x x A ⋂=<<=，则D 选项正确； 故答案选D【点睛】本题考查一元二次方程、绝对值不等式的解法以及集合间基本运算，属于基础题。
2.给定下列两个命题：①“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分不必要条件；②“x R ∀∈，都有0x e x +>”的否定是“0x R ∃∈，使得000xe x +≤”， 其中说法正确的是（） A. ①真②假 B. ①假②真 C. ①和②都为假 D. ①和②都为真 【答案】D 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的定义对①进行判断，由全称命题的否定是特称命题对②进行判断，从而得到答案。
【详解】对①，“p q ∧”为真，则命题p ，q 都真，“p q ∨”为真，则命题p ，q 至少一个为真，所以“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分不必要条件，①为真命题；对②，全称命题的否定是特称命题，所以“x R ∀∈，都有0x e x +>”的否定是“0x R ∃∈，使得000xe x +≤”， ②为真命题； 故答案选D【点睛】本题考查命题真假的判定，属于基础题。
3.若函数()f x 的定义域为[2,8]，则函数(2)()ln(2)f xg x x =-的定义域为（）A. (2,4]B. (2,3)(3,4]UC. [1,4]D.[1,3)(3,4]⋃【答案】B 【解析】 【分析】由抽象函数的定义域，对数的真数大于零，分母不为零，列出不等式，从而求出()g x 的定义域。
黑龙江省哈尔滨市第六中学2019-2020学年高二上学期期末考试试题 数学(理) 含答案
黑龙江省哈尔滨市第六中学2019-2020学年高二上学期期末考试试题数学（理）一.选择题（每题5分，共60分）1、某兴趣小组有男生20人，女生10人，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生，其中说法正确的为（ ）①该抽样可能是系统抽样；②该抽样可能是简单随机抽样；③该抽样一定不是按性别的分层抽样； ④本次抽样中每个人被抽到的概率都是15； A ．②③④ B ．②③ C ．①②③ D ．③④2、现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率；先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1、2、3表示没有击中目标， 4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数 ：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 （ ）A ．0.4B ．0.45C ．0.5D ．0.553、从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营，规定男、女同学至少各有1人参加，则选法总数应为（ ）A ．2101517C C CB ．2101517AC C C ．4547412C C C --D ．)(241614261517C C C C C C ++ 4、下列说法错误的是A ．若直线a //平面α，直线b //平面α，则直线a 不一定平行于直线bB ．若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面βC ．若平面α平面β，则α内一定不存在直线平行于平面β D ．若平面α平面γ，平面β平面γ，=l αβ，则l 一定垂直于平面γ5、已知展开式中第5项与第9项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）A ．142B ．132C ．122D ．1126、已知圆锥的表面积为9π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为 （ ）A ．1B ．3C ．2D ．27、已知抛物线2:=C y x 的焦点为F ，()00,A x y 是C 上一点，若09||8AF x =，则0x 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．88、已知双曲线一条渐近线方程为34y x =，则双曲线方程可以是 （ ） A ．22134y x -= B ．22134x y -= C ．221169y x -= D ．221169x y -=9、设随机变量),1(~2σN X ，其正态分布密度曲线如图所示，且9544.0)31(=≤<-X P ，那么向正方形OABC 中随机投掷40000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为 （ ） （附：若随机变量),1(~2σN X ，则9544.0)22(=+≤<-σμσμX P ， 6826.0)(=+≤<-σμσμX P )A ．26348B ．28112C ．24152D ．3015610、2623)(21)x x x （---的展开式中，含3x 项的系数为 （ ） A ．348 B ．88 C ．232- D ．612-11、已知四面体ABCD 外接球的球心O 恰好在AD 上，等腰直角三角形ABC 的斜边AC 为2，23DC =，则这个球的表面积为 （ ）A ．254π B ．8π C ．12π D ．16π 12、小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A ={4个人去的景点彼此互不相同}，事件B ={小赵独自去一个景点}，则(|)P A B =（ ）A ．59 B ．49 C ．13 D ．29二.填空题（每题5分，共20分）13、设随机变量X 服从二项分布，且期望()3E X =，其中13p =，则方差()3+5D X =______．14、某几何体的三视图如下图所示，此几何体的体积为______．15、已知点P 是椭圆2222+1(0)x y a b a b =>>上的一点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，已知∠F 1PF 2=60°，且|PF 1|=3|PF 2|，则椭圆的离心率为______．16、如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，12AA =，2AB BC ==90ABC ∠=︒，外接球的球心为O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点．有下列判断，其中正确的序号是______．①直线AC 与直线1C E 是异面直线；②1A E 一定不垂直于1AC ；③三棱锥1E AAO -的体积为定值； ④1AE EC +的最小值为23．三.解答题（共70分）17、（10分）40名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）根据频率分布直方图求出样本数据的中位数 （保留小数点后两位数字）和众数；（3）从成绩在[)70,50的学生中任选3人，求这3人的成绩都在[)70,60中的概率．18、（12分）某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是43，甲、丙二人都 没有击中目标的概率是112，乙、丙二人都击中目标的概率是13．甲乙丙是否击中目标相互独立． （1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；（2）设甲、乙、丙三人中击中目标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．19、（12分）在三棱锥BCD A -中，⊥AB 平面BCD ，2==DC BC ，︒=∠90BCD ， F E ，分别为AD AC ，上的动点，且EF //平面BCD ，二面角A CD B --为︒60．（1）求证：⊥EF 平面ABC ；（2）若AC BE ⊥，求直线BF 与平面ACD 所成角的正弦值．20、（12分）某网站用“100分制”调查一社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取10名， 以下茎叶图记录了他们的幸福度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）；若幸福度不低于 95分，则称该人的幸福度为“极幸福”．（1）从这10人中随机选取3人，记X 表示抽到“极幸福”的人数，求X 的分布列及数学期望；（2）以这10人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的数学期望和方差．21、（12分）在平面四边形ACPE 中（图1），D 为AC 的中点，24====AE PD DC AD ，，且AC PD AC AE ⊥⊥，，现将此平面四边形沿PD 折起，使得二面角C PD A --为直二面角， 得到一个多面体，B 为平面ADC 内一点，且ABCD 为正方形（图2），H G F ，，分别为 PC EB PB ，，的中点．（1）求证：平面FGH //平面ADPE ；（2）在线段PC 上是否存在一点M ，使得平面FGM 与平面PEB 所成二面角的余弦值为630？ 若存在，求出线段PM 的长，若不存在，请说明理由．22、（12分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>62y x 上，若直线l 与椭圆交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为1k ，直线OQ 的斜率为2k ．（1）求该椭圆的方程． （2）若1213k k ，试问OPQ ∆的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．1-6 CACCDB 7-12BDAADD13. 18 14. 8 15. 16. ①③④17.（1）（2）77.14，75 （3）0 1 2 318. （1）（2）19.0 1 2 320.（1）（2）21. （2）22. （1）（2）。
黑龙江省哈六中20xx学年高二数学下学期期末考试试卷理.doc
黑龙江省哈六中 2020 学年高二数学下学期期末考试试卷理考试时间： 120 分钟 满分： 150 分一、选择题：（每题 5分共 60分）1．设全集为 R ，集合 A{ x | x 2 9 0}, B { x | 1 x 5} ，则 A I (C R B)( )A.( 3,0)B.( 3, 1]C.( 3, 1)D.( 3,3)2．若“ 0 x 1xa xa 20 ”的充分不必要条件，则实数a的取值范围”是“是 ()A.,0 U 1,B.1,0C.1,0D.,10,3．执行如右下图所示的程序框图，若输出i 的值为 2 ，则输入 x 的最大值是 ()A. 5B. 6C. 11D. 224．若直线的参数方程为x 1 2t为参数 ) ，则直线的斜率为 ( )y2 (t4tA.1B. 1C. 2D. 2223次，一旦发球成功，5．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球则停止发球，否则一直发到3 次为止．设某学生一次发球成功的概率为p p0 ，发球次数为 X ，若 X 的数学期望 E X1.75 ，则 p 的取值范围是 ( )A.0,7B. 0,1C.7,1D.1,11221226．已知函数f ( x) x ln x ax 有两个极值点，则实数 a 的取值范围是 ( )A.,0B. 0,1C. 0,1D. 0,27．如右图， 设抛物线yx 2 1B ，设抛物的顶点为 A ，与 x 轴正半轴的交点为线与两坐标轴正半轴围成的区域为M ，随机往 M 内投一点P ， 则点 P 落在AOB 内的概率是 ( )A.5B.4C.3D.265438．已知函数 f ( x)ax 3 3x 2 1，若 f (x) 存在唯一的零点 x 0 ，且 x 00 ，则 a 的取值范围是A. 2,B. 1,C. , 2D.,19. 在极坐标系中, 直线cos 12cos 相交于A,B 两点, O为极点,则与曲线2AOB 的大小为（）A. B. C.2 D.33 610．哈六中 15 届高二有840名学生 , 现采用系统抽样方法, 抽取 42 人做问卷调查 , 将 840人按 1,2,L ,840 随机编号, 则抽取的 42 人中,编号落入区间481,720 的人数为（）A. 111 B. 12 C. 13 D.1411．下列值等于的定积分是（）1xdx 1 C. 2 1dx D. 1 1dxA. B. (x 1)dx0 0 0 2 0212. 设D是函数y f ( x) 定义域内的一个子区间，若存在 x0 D ，使 f ( x0 ) x0，则称 x0是f (x) 的一个“开心点”，也称 f (x) 在区间 D 上存在开心点.若函数 f ( x) ax2 2x 2a 32 在区间3,3 上存在开心点，则实数 a 的取值范围是（）2A. ( ,0)1C.3D.3 1B. ,0 ,0 ,44 14 14二、填空题（每题5分共 20分）13. 已知集合M { y | y x 2 } ， N { y | x2 y 2 2}，则 M N 。
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哈尔滨市第六中学2015-2016学年度上学期期末考试高二理科数学一.选择题(共12题,每题5分)1．复数i iz +=1（其中i 为虚数单位）的虚部是( ) A ．21- B ．i 21 C ．21D ．i 21-2. 已知121:≥-x p , 1:<-a x q .若q 是p 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是( ) A ．(2,3] B ．[2,3] C ．(2,3) D ．(,3]-∞3. 某单位业务人员、管理人员、后勤服务人员人数之比依次为15:3:2．为了了解该单位职员的某种情况，采用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中业务人员人数为30，则此样本的容量n 为（ ） A.20 B.30 C ．40 D ．80 4．已知直线⊥l 平面α,直线⊂m 平面β,给出下列命题： ①l ⇒⊥βα∥m ； ②α∥m l ⊥=β； ③α⇒⊥m l ∥β④l ∥βα⊥⇒m ；其中正确命题的序号是( )A ．①②③ B．②③④ C．①③ D．②④5. 下列说法正确的是（ ）A. 命题“若sin sin x y =，则x y =”的逆否命题为真命题B.“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C. 命题“2,10x R x x ∃∈++<”的否定是“2,10x R x x ∀∈++<” D. 命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若12≠x ，则1x ≠” 6．设随机变量δ服从正态分布()7,3N ，若()()22-<=+>a p a p δδ，则a =( ）A ．1B ．2C ．3D ．47．如右图，已知K 为如图所示的程序框图输出结果，二项式nK x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．78．先后掷骰子（骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次落在水平桌面后，记正面朝上 的点数分别为y x ,，设事件A 为“y x +为偶数”，事件B 为“y x ,中有偶数，且y x ≠”，则概率()A B P =( )A ．12B ．13C ．14D ．259．已知()821x +展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则ab=( ) A ．1285 B ．2567C ．5125D ．1287 10．有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花不同的摆放种数是( ) A ．1 2 B ．24 C ．36 D ．4811. 甲、乙两名运动员的5次测试成绩如右图所示. 设21,s s 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差, 21,x x 分别 表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（ ） A. 21x x =,21s s < B. 21x x =，21s s > C.21x x >，21s s > D.21x x =，21s s =12．已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，34=SA ，2=AB ，4=AC ，︒=∠60BAC ，则球O 的表面积为( )A ．4πB ．12πC ．16πD ．64π二.填空题(共4题,每题5分)13．袋中有大小相同的红色、白色球各一个，每次任取一个，有放回地摸3次，3次摸到的红球比白球多1次的概率为___________________． 14. 设n 为正整数,n n f 131211)(++++= ，经计算得25)8(,2)4(,23)2(>>=f f f ，3)16(>f , 27)32(>f ，……观察上述结果，对任意正整数n ，可推测出一般结论是____________ . 15. 向面积为S 的ABC ∆内任投一点P ，则PBC ∆的面积小于3S的概率为 . 16．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，5,4,3===AB BC AC ，点D 是线段AB 上的一点，且︒=∠901CDB ，CD AA =1，则点1A 到平面CD B 1的距离为_______.三.解答题(共6题,共70分) 17. (本小题满分10分)某个体服装店经营某种服装，在某周内获纯利润y （元）与该周每天销售这种服装件数x 之间有如下一组数据：x 3 4 5 6 7 8 9 y 66 697381899091已知77211280,3487ii i i i xx y ====∑∑.(1)求,x y ； （2）求纯利润ˆy与每天销售件数x 之间的回归方程. 甲 茎 乙 5 7 1 6 8 8 8 223 6 7(参考公式：x b y a xn xyx n yx b ni ini ii -=--=∑∑==,1221)18.（本小题满分12分）我国新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在0-50为优秀，各类人群可正常活动.环保局对我市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到本的空气质量指数频率分布直方图，如图. (1) 求a 的值；(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；(3) 如果空气质量指数不超过15，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取3天的数值，其中达到“特优等级”的天数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥. (1) 证明：1AC AB =；(2)若1AC AB ⊥，o 160CBB ∠=，AB BC =, 求二面角111A A B C --的余弦值.20．(本小题满分12分)组别 理科文科性别男生女生男生女生空气质量指数频率 组距0.0320.020 0.018O 5 15 25 35 45 a人数 4 4 3 11分，每选出一名女生则给其所在小组记2分，若要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有． (Ⅰ)求理科组恰好记4分的概率；(Ⅱ)设文科男生被选出的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．21．(本小题满分12分)如图是某几何体的直观图与三视图的侧视图、俯视图. 在直观图中，AE BN =2,M 是 ND 的中点. 侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示. （1）在答题纸上的虚线框内画出该几何体的正视图，并标上数据； （2）求证：EM ∥平面ABC ；（3）试问在边BC 上是否存在点G ，使GN ⊥平面NED . 若存在，确定点G 的位置；若不存在， 请说明理由.22.（本小题满分12分）设直线)1(:+=x k y l 与椭圆)0(3222>=+a a y x 相交于B A ,两个不同的点，与x 轴相交于点C ，记O 为坐标原点.（1）证明：222313kk a +>； （2）若2=, 求△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程.高二理科数学答案 一.选择题CACDD CBBAB BD 二.填空题 13.83 14.()222+≥n f n 15.95 16.3三.解答题17.(1)86.797559,6≈==y x (2)75.4419==b 36.5114719≈=a18.(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101a +++⨯=， ……………1分解得0.03a =. ……………2分 （2）解：50个样本中空气质量指数的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯= ……………3分由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为24.6. …………4分 （3）解：利用样本估计总体，该年度空气质量指数在(]5,15内为“特优等级”，且指数达到“特优等级”的概率为0.2，则⎪⎭⎫⎝⎛51,3~B ξ ………5分ξ的取值为0,1,2,3， ………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ∴ξ的分布列为：……11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ………12分 （或者13355E ξ=⨯=） 19. (Ⅰ)连结1BC ，交1B C 于O ，连结AO ．因为侧面11BB C C 为菱形，所以1B C 1BC ⊥，且O 为1B C 与1BC 的中点．又1AB B C ⊥，所以1B C ⊥平面ABO ，故1B C AO⊥又 1B O CO =，故1AC AB = ……… 4分（Ⅱ）因为1AC AB ⊥且O 为1B C 的中点，所以COAO =又因为BC AB =，所以BOA BOC ∆≅∆.ξ 0 1 2 3P64125 48125 12125 1125故OB OA ⊥，从而OB OA ,,1OB 两两互相垂直．以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，OB 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系xyz O -． 因为0160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形．又BC AB =，则3A ⎛ ⎝，()1,0,0B ，13B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭133AB ⎛= ⎝， 1131,0,,A B AB ⎛== ⎝ 1131,B C BC ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭设(),,n x y z =是平面的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00111B A n AB n ， 即33030y x ⎧=⎪⎪=⎪⎩所以可取(1,3,3n = 设m 是平面的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001111C B B A ， 同理可取(1,3,3m =则71cos =⋅>=⋅<mn ，所以二面角111A A B C --的余弦值为17. 12分20. 解：(Ⅰ) 33106P =（4分） (Ⅱ) 由题意得0,1,2,3ξ=，于是ξ的分布列为ξ123P564242524241084248424（只写出正确分布列表格的扣4分） ξ的数学期望为()106E ξ=（12分） 21.（1）正视图如图所示.（注：不标中间实线扣1分）………………2分 （2）证明：俯视图和侧视图，得︒=∠90CAB ， 3=DC ,2==AB CA ，2=EA ，1=BN ，⊥EA 平面ABC , NB DC EA ////.取BC 的中点F ，连接FM 、EM ，则EA DC FM ////，且()221=+=DC BN FM …4分 ∴FM 平行且等于EA , ∴四边形EAFM 是平行四边形， ∴EM AF //，又AF ⊆平面ABC ，∴EM ⊆平面ABC .…………………………7分（3）解，以A 为原点，以A C的方向为x 轴的正方向，AB 的方向为y 轴正方向，的方向为z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有A （0，0，0），E （0，0，2），B （0，2，0）， D （－2，0，3），N （0，2，1），C （－2，0，0）. 设ND =（－2，－2，2），NE =（0，－2，1），CB =（2，2，0），CN =（2，2，1）.假设在BC 边上存在点G 满足题意，(2,2,0),[0,1],(2,2,1)(2,2,0)(22,22,1).04410,,,882003[0,1].4CG CB GN CN CG GN NE GN NED GN ND λλλλλλλλλλλ==∈=-=-=--⎧⋅=-++=⎧⎪⊥∴⎨⎨-++=⋅=⎩⎪⎩=∈设则平面即解之得∴边BC 上存在点D ，满足CB CG 43=时，GN ⊥平面NED ………………12分22. (I ）解：依题意，直线l 显然不平行于坐标轴，故.11)1(-=+=y kx x k y 可化为 将x a y x y k x 消去代入,311222=+-=， 得.012)31(222=-+-+a y k y k①由直线l 与椭圆相交于两个不同的点3)31(,0)1)(31(4422222>+>---=∆a ka kk 整理得，即.313222k k a +>… 5分 （II ）解：设).,(),,(2211y x B y x A 由①，得221312k ky y +=+因为212,2y y CB AC -==得，代入上式，得.31222k ky +-= ……………8分 于是，△OAB 的面积 ||23||||21221y y y OC S =-⋅=23||32||331||32=≤+=k k k k 其中，上式取等号的条件是.33,132±==k k 即由.33,312222±=+-=y k k y 可得 将33,3333,3322=-=-==y k y k 及这两组值分别代入①，均可解出.52=a 所以，△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是.5322=+y x ………12分。