2018年高中数学第29课时直线与圆的方程的应用综合刷题增分练新人教A版必修2
学练考高中数学4.2.3直线与圆的方程的应用课件新人教A版必修2
(4)转化为具体问题，做出解答．
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► 知识点二 利用直线与圆的方程解决平面几何问题 平面解析几何的基本思想方法是利用平面直角坐标系，把
点用____坐__标_____表示，直线、圆等用__方__程_______表示，并 用__代__数______方法研究几何问题，这就是人们常说的“坐标 法”，这种方法与平面几何中的综合法以及将来要学习的向 量法都可以建立联系，另外还可以推广到空间去解决立体几 何问题．
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4.2.3 │ 新课导入
新课导入
【导入】 情境导入
一艘轮船在沿直线返回港口的途中(tú zhōnɡ)，接到气象台的 台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半 径长为30 km的圆形区域(假设台风中心不移动)．已知港口位于 台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否 会受到台风的影响？ 解决这个问题的本质是什么？你有什么办法判断轮船航线是否 经过台风圆域？
4．2.3 直线(zhíxiàn)与圆的方 程的应用
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4.2.3 │ 三维目标(mùbiāo)
三维目标
【知识与技能】 (1)理解掌握直线(zhíxiàn)与圆的方程在实际生活中的应用． (2)会用“数形结合”的数学思想解决问题． 【过程与方法】 用坐标法解决几何问题的步骤： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何 元素，将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论． 【情感、态度与价值观】 让学生通过观察图形，理解并掌握直线(zhíxiàn)与圆的方程的应用，培 养学生分析问题与解决问题的能力．
高中数学人教A版必修二课后练习28 直线与圆的方程的应用
高中数学人教A版必修二课后练习28直线与圆的方程的应用题组1：夯实基础1.直线y＝kx+3与圆(x－3)2+(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2√3，则k的取值范围是() A．[－34，0]B．(－∞，－34]∪[0，+∞)C．[－√33，√33]D．[－23，0]解析：圆心的坐标为(3，2)，且圆与x轴相切.当|MN|＝2√3时，弦心距最大，由点到直线的距离公式得√1+k2≤1，解得k∈[－34，0].答案：A2.直线√3x+y－2√3＝0截圆x2+y2＝4得到的劣弧所对的圆心角为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：∵圆心到直线的距离为d＝2√32＝√3，圆的半径为2，∴劣弧所对的圆心角为60°.答案：C3.已知圆O:x2+y2＝4与圆C:x2+y2－6x+6y+14＝0关于直线l对称，则直线l的方程是()A．x－2y+1＝0 B．2x－y－1＝0C．x－y+3＝0 D．x－y－3＝0解析：圆x2+y2＝4的圆心是O(0，0)，圆x2+y2－6x+6y+14＝0的圆心是C(3，－3)，所以直线l是OC的垂直平分线.又直线OC的斜率k OC＝－1，所以直线l的斜率k＝1，OC的中点坐标是(32，－32)，所以直线l的方程是y+32＝x－32，即x－y－3＝0.答案：D4.圆x2+y2－4x+6y－12＝0过点(－1，0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则m－n＝()A．10－2√7B．5－√7C．10－3√3D．5－3√22解析：圆的方程可化为(x－2)2+(y+3)2＝25，圆心(2，－3)到(－1，0)的距离为√(0+3)2+(－1－2)2＝3√2<5.∴最大弦长为直径，即m＝10，最小弦长为以(－1，0)为中点的弦，即n＝2√52－(3√2)2＝2√7.∴m－n ＝10－2√7.答案：A5.圆x 2+y 2＝4上与直线l :4x －3y +12＝0距离最小的点的坐标是( ) A ．(85，65) B ．(85，－65) C ．(－85，65)D ．(－85，－65)解析：圆的圆心(0，0)，过圆心与直线4x －3y +12＝0垂直的直线方程为3x +4y ＝0.3x +4y ＝0与x 2+y 2＝4联立可得x 2＝6425，所以它与x 2+y 2＝4的交点坐标是(－85，65)，(85，－65).又圆上一点与直线4x －3y +12＝0的距离最小，所以所求的点的坐标为(－85，65).答案：C6.若直线x －2y －3＝0与圆C :(x －2)2+(y +3)2＝9交于E ，F 两点，则△ECF 的面积为__________. 解析：圆心C (2，－3)到直线x －2y －3＝0的距离为d ＝5√5√5，又知圆C 的半径长为3，∴|EF |＝2√32－(√5)2＝4，∴S △ECF ＝12·|EF |·d ＝12×4×√5＝2√5.答案：2√57.若☉O :x 2+y 2＝5与☉O 1:(x －m )2+y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________.解析：两圆圆心分别为O (0，0)，O 1(m ，0)，且√5<|m |<3√5.又易知OA ⊥O 1A ，∴m 2＝(√5)2+(2√5)2＝25， ∴m ＝±5，∴|AB |＝2×√5×2√55＝4.答案：48.已知点P (x ，y )在圆x 2+y 2－6x －6y +14＝0上. (1)求kk 的最大值和最小值；(2)求x 2+y 2+2x +3的最大值与最小值.解(1)圆x 2+y 2－6x －6y +14＝0即为(x －3)2+(y －3)2＝4，可得圆心为C (3，3)，半径为r ＝2.设k ＝kk ，即kx －y ＝0， 则圆心到直线的距离d ≤r ，即√1+k2≤2，平方得5k 2－18k +5≤0， 解得9－2√145≤k ≤9+2√145. 故kk 的最大值是9+2√145，最小值为9－2√145. (2)x 2+y 2+2x +3＝(x +1)2+y 2+2表示点(x ，y )与A (－1，0)的距离的平方加上2.连接AC ，交圆C 于B ，延长AC ，交圆于D ，可得AB 为最短，且为|AC |－r ＝√16+9－2＝3； AD 为最长，且为|AC |+r ＝5+2＝7， 则x 2+y 2+2x +3的最大值为72+2＝51，x2+y2+2x+3的最小值为32+2＝11.9.有一种大型商品，A，B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每千米的运费A地是B地的两倍，若A，B两地相距10千米，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点?解以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如图所示.设A(－5，0)，则B(5，0).在坐标平面内任取一点P(x，y)，设从A地运货到P地的运费为2a元/千米，则从B地运货到P地的运费为a元/千米.若P地居民选择在A地购买此商品，则2a√(k+5)2+k2<a√(k－5)2+k2，整理得(k+253)2+y2<(203)2.即点P在圆C:(k+253)2+y2＝(203)2的内部.也就是说，圆C内的居民应在A地购物.同理可推得圆C外的居民应在B地购物.圆C上的居民可随意选择A，B两地之一购物.题组2：难点突破1.已知点A(－1，1)和圆C:(x－5)2+(y－7)2＝4，一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是() A．6√2－2 B．8C．4√6D．10解析：易知点A关于x轴对称点A'(－1，－1)，A'与圆心(5，7)的距离为√(5+1)2+(7+1)2＝10.故所求最短路程为10－2＝8.答案：B2.直线y＝x+b与曲线x＝√1－k2有且仅有一个公共点，则实数b的取值范围是()A．b＝√2B．－1<b≤1或b＝－√2C．－1≤b≤1D．以上都不正确解析：如图，作半圆的切线l1和经过端点A，B的直线l3，l2，由图可知，当直线y＝x+b为直线l1或位于l2和l3之间(包括l3，不包括l2)时，满足题意.∵l1与半圆相切，∴b ＝－√2；当直线y ＝x +b 位于l 2时，b ＝－1； 当直线y ＝x +b 位于l 3时，b ＝1. ∴b 的取值范围是－1<b ≤1或b ＝－√2. 答案：B3.已知x +y +1＝0，则√(k +2)2+(k +3)2的最小值是__________.解析：√(k +2)2+(k +3)2表示点(x ，y )与点(－2，－3)之间的距离，又点(x ，y )在直线x +y +1＝0上，故最小值为点(－2，－3)到直线x +y +1＝0的距离，即d ＝|－2－3+1|√2＝2√2. 答案：2√24.已知直线ax +y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2+(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝______________.解析：圆心C (1，a )到直线ax +y －2＝0的距离为d ＝|k +k －2|√k 2+1.因为△ABC 为等边三角形，所以|AB |＝|BC |＝2，所以|k +k －2|√k 2+12+12＝22，解得a ＝4±√15.答案：4±√155.已知圆C :x 2+y 2+2x +ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l :x －y +2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝__________.解析：由题意可知，直线x －y +2＝0过圆心(－1，－k2)，所以－1－(－k2)+2＝0，a ＝－2.答案：－26.某高速公路隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成(如图所示).已知隧道总宽度AD 为6√3 m ，行车道总宽度BC 为2√11 m ，侧墙面高EA ，FD 为2 m ，弧顶高MN 为5 m .(1)建立适当的直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程.(2)为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m .请计算车辆通过隧道的限制高度是多少.解(1)以EF 所在直线为x 轴，以MN 所在直线为y 轴，以1 m 为单位长度建立直角坐标系xOy ，则E (－3√3，0)，F (3√3，0)，M (0，3)，由于所求圆的圆心在y 轴上，所以设圆的方程为(x －0)2+(y －b )2＝r 2，因为F ，M 在圆上，所以{(3√3)2+k 2＝k 2，02+(3－k )2＝k 2，解得b ＝－3，r 2＝36，所以圆的方程为x 2+(y +3)2＝36. (2)设限高为h ，作CP ⊥AD ，交圆弧于点P ，则|CP |＝h +0.5，将P 的横坐标x ＝√11代入圆的方程，得(√11)2+(y +3)2＝36，得y ＝2或y ＝－8(舍)，所以h ＝|CP |－0.5＝(y +|DF |)－0.5＝(2+2)－0.5＝3.5(m).所以车辆通过隧道的限制高度是3.5米.7.在Rt△ABO中，∠BOA＝90°，|OA|＝8，|OB|＝6，点P为它的内切圆C上任一点，求点P到顶点A，B，O的距离的平方和的最大值和最小值.解如图所示，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，则A(8，0)，B(0，6)，内切圆C的半径r＝12×6×81 2×(6+8+10)＝2.∴圆心坐标为(2，2).∴内切圆C的方程为(x－2)2+(y－2)2＝4.设P(x，y)为圆C上任一点，点P到顶点A，B，O的距离的平方和为d，则d＝|PA|2+|PB|2+|PO|2＝(x－8)2+y2+x2+(y－6)2+x2+y2＝3x2+3y2－16x－12y+100＝3[(x－2)2+(y－2)2]－4x+76.∵点P(x，y)在圆上，∴(x－2)2+(y－2)2＝4.∴d＝3×4－4x+76＝88－4x.∵点P(x，y)是圆C上的任意点，∴x∈[0，4].∴当x＝0时，d max＝88；当x＝4时，d min＝72.。
高中数学第二章直线和圆的方程 圆与圆的位置关系课后提能训练新人教A版选择性必修第一册
第二章 2.5 2.5.2A级——基础过关练1．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是( )A．内切B．相交C．外切D．外离【答案】B【解析】将两圆化成标准方程分别为x2＋y2＝1,(x－2)2＋(y＋1)2＝9,可知圆心距d＝5．由于2＜d＜4,所以两圆相交．2．圆C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与C2：x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有( )A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】r1＝2,r2＝3,圆心距d＝5,由于d＝r1＋r2,所以两圆外切,故公切线有3条．3．已知圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－2ax＋a2－1＝0内切,则a等于( )A．1 B．－1C．±2 D．±1【答案】D【解析】圆C2：(x－a)2＋y2＝1,因为两圆内切,所以|C1C2|＝r1－r2＝2－1＝1,即|a|＝1,故a＝±1．4．圆C1：x2＋y2－2x－6y＋1＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的公切线有( ) A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】圆C1：x2＋y2－2x－6y＋1＝0化为(x－1)2＋(y－3)2＝9,圆心C1(1,3),半径为r1＝3,圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0化为(x＋2)2＋(y＋1)2＝4,圆心C2(－2,－1),半径r2＝2．因为|C1C2|＝－2－12＋－1－32＝5＝r1＋r2,所以两圆外切．作出两圆图象如图,所以圆C1：x2＋y2－2x－6y＋1＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的公切线有3条．5．(2021年九江模拟)圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为( )A ． 5B ． 6C ．2 5D ．2 6【答案】C【解析】x 2＋y 2＝50与x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0作差,得两圆公共弦所在的直线方程为2x ＋y －15＝0．圆x 2＋y 2＝50的圆心(0,0)到2x ＋y －15＝0的距离d ＝35,因此公共弦长为2522－352＝25．6．两圆x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2－3＝0与x 2＋y 2＋2bx ＋2by ＋2b 2－1＝0公共弦长的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】两圆相交弦所在直线的方程为x ＋y ＋a ＋b －1a －b＝0,所以弦长为23－⎝⎛⎭⎪⎪⎫a －b ＋1a －b 22,所以当|a －b |＝1时,弦长最大,最大值为2． 7．(多选)已知圆C 1：x 2＋y 2＝r 2,圆C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)交于不同的A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,下列结论正确的有( )A ．a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0B ．2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2C ．x 1＋x 2＝aD ．y 1＋y 2＝2b【答案】ABC【解析】由题意,由圆C 2的方程可化为C 2：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2＝0,两圆的方程相减可得直线AB 的方程为2ax ＋2by －a 2－b 2＝0,即2ax ＋2by ＝a 2＋b 2．分别把A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点代入,得2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2,2ax 2＋2by 2＝a 2＋b 2．两式相减,得2a (x 1－x 2)＋2b (y 1－y 2)＝0,即a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0,所以A,B 正确．由圆的性质可得,线段AB与线段C 1C 2互相平分,所以x 1＋x 2＝a ,y 1＋y 2＝b ,所以C 正确,D 不正确．故选ABC ．8．若曲线C 1：x 2＋y 2＝5与曲线C 2：x 2＋y 2－2mx ＋m 2－20＝0(m ∈R )相交于A ,B 两点,且两曲线在A 处的切线互相垂直,则m 的值是________．【答案】±5【解析】由已知可得圆C 1的圆心C 1(0,0),半径r 1＝5,圆C 2的圆心C 2(m,0),半径r 2＝25,|C 1C 2|2＝r 21＋r 22,即m 2＝25,故m ＝±5．9．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ,B 两点,则线段AB 的中垂线方程为________．【答案】x ＋y －3＝0【解析】AB 的中垂线即为圆C 1,圆C 2的连心线C 1C 2所在的直线,又因为C 1(3,0),C 2(0,3),C 1C 2的方程为x ＋y －3＝0,即线段AB 的中垂线方程为x ＋y －3＝0．10．(2022年哈尔滨期末)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝36－m ,其中m ∈R ． (1)如果圆C 与圆x 2＋y 2＝1外切,求m 的值；(2)如果直线x ＋y －3＝0与圆C 相交所得的弦长为45,求m 的值． 解：(1)圆C 的圆心为(3,4),半径为36－m ,若圆C 与圆x 2＋y 2＝1外切,故两圆的圆心距等于两圆半径之和, 故32＋42＝1＋36－m ,解得m ＝20． (2)圆C 的圆心到直线x ＋y －3＝0的距离为d ＝||3＋4－31＋1＝22,由垂径定理,得⎝⎛⎭⎪⎫4522＝(36－m )2－d 2,解得m ＝8． B 级——能力提升练11．若圆(x －a )2＋(y －a )2＝4上总存在两点到原点的距离为1,则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，22 B ．()－22，－2∪()2，22 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，322D ．(－∞,－322∪(2,＋∞),【答案】C【解析】根据题意知,圆(x －a )2＋(y －a )2＝4与圆x 2＋y 2＝1相交,两圆圆心距为d ＝a 2＋a 2＝2|a |,所以2－1＜2|a |＜2＋1,解得22＜|a |＜322．所以－322＜a ＜－22,22＜a ＜322． 12．(多选)(2022年石家庄模拟)已知圆C 1：(x －1)2＋(y －3)2＝11与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0,则下列说法正确的是( )A ．若圆C 2与x 轴相切,则m ＝2B ．若m ＝－3,则圆C 1与圆C 2相离C ．若圆C 1与圆C 2有公共弦,则公共弦所在的直线方程为4x ＋(6－2m )y ＋m 2＋2＝0 D ．直线kx －y －2k ＋1＝0与圆C 1始终有两个交点, 【答案】BD【解析】因为C 1：(x －1)2＋(y －3)2＝11,C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4,所以若圆C 2与x 轴相切,则有|m |＝2,故A 错误；当m ＝－3时,|C 1C 2|＝1＋12＋3＋32＝210＞2＋11,两圆相离,故B 正确；由两圆有公共弦,两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程4x ＋(6－2m )y ＋m 2－2＝0,故C 错误；直线kx －y －2k ＋1＝0过定点(2,1),而(2－1)2＋(1－3)2＝5＜11,故点(2,1)在圆C 1：(x －1)2＋(y －3)2＝11内部,所以直线kx －y －2k ＋1＝0与圆C 1始终有两个交点,故D 正确．故选BD ．13．两圆x 2＋y 2＝16与(x －4)2＋(y ＋3)2＝r 2(r ＞0)在交点处的切线互相垂直,则r ＝________．【答案】3【解析】设一个交点为P (x 0,y 0),则x 20＋y 20＝16,(x 0－4)2＋(y 0＋3)2＝r 2,所以r 2＝41－8x 0＋6y 0.因为两切线互相垂直,所以y 0x 0·y 0＋3x 0－4＝－1,所以3y 0－4x 0＝－16.所以r 2＝41＋2(3y 0－4x 0)＝9,所以r ＝3.,14.已知相交两圆C 1：x 2＋y 2＝4,圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4,公共弦所在直线的方程为__________,公共弦的长度为__________．【答案】x ＝1 2 3【解析】如图,联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x －22＋y 2＝4，两式作差可得公共弦所在直线的方程为x ＝1.将x ＝1代入x 2＋y 2＝4,解得y ＝±3,l ＝|y 1－y 2|＝2 3.15．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程．解：方法一,由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0，两式相减,得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －2＝0，x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，解得两圆交点坐标为(－1,2),(5,－6)． 因为所求圆以公共弦为直径, 所以圆心C 是公共弦的中点(2,－2), 半径为125＋12＋－6－22＝5.所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.方法二,由方法一可知公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ为参数)．可求得圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12λ－1221＋λ，－16λ－221＋λ.因为圆心C 在公共弦所在直线上,所以4·－12λ－1221＋λ＋3·－16λ－221＋λ－2＝0,解得λ＝12.所以圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0.。
高中数学人教A版必修2直线和圆的综合问题课后练习一含解析
（同步复习精讲辅导）北京市2014-2015学年高中数学 直线和圆的综合问题课后练习一（含解析）新人教A 版必修2设直线l 经过点P (3,4)，圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4.若直线l 与圆C 交于两个不同的点，则直线l 的斜率的取值范围为( )． A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1918，＋∞ B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1716，2720 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2120，＋∞ D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2720，2917 题1已知m ∈R ，直线l ：m y m mx 4)1(2=+-和圆C ：0164822=++-+y x y x ． (1)求直线l 斜率的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？题2已知圆22630x y x y ++-+=上的两点P 、Q 关于直线k x －y ＋4＝0对称，且OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，求直线PQ 的方程． 题3在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2=16上有且只有四个点到直线3x -4y +c =0的距离为2，则实数c 的取值范围为 ． 题4过点A (11, 2)作圆x 2+y 2-2x +4y +1=0的弦，则弦长为整数的弦共有（ ）． A ．4条 B ．7条 C ．8条 D ．11条 题5如果圆(x ＋3)2＋(y －1)2＝1关于直线l ：mx ＋4y －1＝0对称，则直线l 的斜率为( )．A ．4B ．－4C ．14D ．－14题6过点（0，1）引x 2+y 2-4x +3=0的两条切线，这两条切线夹角的余弦值为________．题7过点（2，1）的直线中，被圆x 2+y 2-2x -4y =0截得的弦长最短的直线方程为 ． 题8 若直线1x ya b+=通过点P （1，1），（a ＞0，b ＞0），则（ ） A ．a +b ≤4 B ．a +b ≥4 C ．ab ＜4 D ．ab ＞4 题9在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)且斜率为k 的直线与圆相交于不同的两点A 、B ． (1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA OB +u u u r u u u r 与PQ u u u u r共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由． 题10在坐标平面内，与点A （1，3）的距离为2，且与点B （3，1）的距离为32的直线共有______条．课后练习详解题1答案：C ．详解：由题意，设直线l 的方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0．又直线l 与圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝4交于两个不同的点，所以圆心到直线的距离小于圆的半径长，即|5－2k |k 2＋1＜2，解得k ＞2120．所以直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫2120，＋∞，答案选C ．题2答案：（1）[－12，12]；（2）不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段弧．详解：(1)直线l 的方程可化为y ＝m m 2＋1x －4mm 2＋1，直线l 的斜率k ＝m m 2＋1，因为|m |≤12(m 2＋1)，所以|k |＝|m |m 2＋1≤12，当且仅当|m |＝1时等号成立．所以，斜率k 的取值范围是[－12，12]．(2)不能．由(1)知l 的方程为y ＝k (x －4)，其中|k |≤12．圆C 的圆心为C (4，－2)，半径r ＝2，圆心C 到直线l 的距离为d ＝21＋k2， 由|k |≤12，得d ≥45＞1，即d ＞r2．从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于2π3．所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段弧．题3答案：y ＝－12x ＋32或y ＝－12x ＋54．详解：由P 、Q 关于直线kx －y ＋4＝0对称知直线kx －y ＋4＝0过已知圆的圆心(－12，3)，则k ＝2，直线PQ 的斜率k PQ ＝－12．设直线PQ 的方程为y ＝－12x ＋b ，P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则P 、Q 两点的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋b x 2＋y 2＋x －6y ＋3＝0的解，消去y ，得54x 2＋(4－b )x ＋b 2－6b ＋3＝0，故x 1＋x 2＝－ 4(4－b )5， ①x 1x 2＝4(b 2－6b ＋3)5， ②由OP ⊥OQ ⇒x 1x 2＋y 1y 2＝0⇒x 1x 2＋(－12x 1＋b )·(－12x 2＋b )＝0，54x 1x 2－b 2(x 1＋x 2)＋b 2＝0，将①，②代入得b ＝32或b ＝54． 所以直线PQ 的方程为y ＝－12x ＋32或y ＝－12x ＋54．题4答案：-10＜c ＜10．详解：圆x 2+y 2=16的圆心为O ，半径等于4，圆心到直线的距离5||c d =， 要使圆x 2+y 2=16上有且只有四个点到直线3x -4y +c =0的距离为2，应有245||-<=c d ，即-10＜c ＜10． 题5答案：B ．详解：圆x 2+y 2-2x +4y +1=0的标准方程是：（x -1）2+（y +2）2=22， 圆心（1，-2），半径r =2，过点A （11，2）的最短的弦长大于0， 最长的弦长为4，只有一条，还有长度为1，2，3的弦长，各2条， 所以共有弦长为整数的1+2×3=7条．故选B ． 题6答案：D ．详解：依题意，得直线mx ＋4y －1＝0经过点(－3,1)，所以－3m ＋4－1＝0．所以m ＝1，故直线l 的斜率为－14，选D ．题7 答案：53cos =α． 详解：设切线的方程为y -1=kx ，即kx -y +1=0．由切线的性质可得，圆心（2，0）到直线kx -y +1=0的距离11|12|22=++=k k d ，0=k 或43k =-，设两直线的夹角为α，则20πα≤≤，由直线的夹角公式可得，)34(01340tan -⨯-+=α， 因为925cos 1tan 122==+αα，cos α＞0，所以53cos =α． 题8答案：x -y -1=0．详解：∵圆x 2+y 2-2x -4y =0的圆心为C （1，2） ∴设A （2，1），得AC 的斜率12112-=--=AC K ，∵直线l 经过点A （2，1），且l 被圆x 2+y 2-2x -4y =0截得的弦长最短 ∴直线l 与经过点A （2，1）的直径垂直的直线由此可得，直线l 的斜率为K =1，因此，直线l 方程为y -1=x -2，即x -y -1=0 故答案为：x -y -1=0． 题9 答案：B ． 详解：因为直线1x ya b+=通过点P （1，1）， 所以111=+ba ，又因为a ＞0，b ＞0， 由基本不等式可得1111224b aa b a b a b a b+=++=+++≥+=()()当且仅当a =b =2时，取等号，故选B ． 题10答案：（1）－34<k <0；（2）没有符合题意的常数k ．详解：(1)圆(x －6)2＋y 2＝4的圆心Q (6,0)，半径r ＝2，设过P 点的直线方程为y ＝kx ＋2，根据题意得|6k ＋2|1＋k 2<2，∴4k 2＋3k <0，∴－34<k <0． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA OB +u u u r u u u r＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，将y ＝kx ＋2代入x 2＋y 2－12x ＋32＝0中消去y 得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0，∵x 1，x 2是此方程两根，∴则x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k2，又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4＝－4k (k －3)1＋k2＋4， P (0,2)，Q (6,0)，∴PQ u u u u r＝(6，－2)，向量OA OB +u u u r u u u r 与PQ u u u u r共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)， ∴8(k －3)1＋k 2＝－6k ·4(k －3)1＋k 2＋24，∴k ＝－34，由(1)知k ∈(－34，0)，故没有符合题意的常数k ．题11答案：1．详解：以A （1，32为半径作圆A ，以B （3，1）为圆心，以32圆B ．∵|AB 22(13)(31)22322-+-==， ∴两圆内切，公切线只有一条．故答案为：1．。
高中数学人教A版必修2《直线和圆的综合问题》课后练习二(含解析)
（同步复习精讲辅导）北京市-高中数学 直线和圆的综合问题课后练习二（含解析）新人教A 版必修2题1已知直线l ：y =x +m 与半圆C ：x 2+y 2=4（y ≥0）有两个公共点，则实数m 的取值范围是____________．题2已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R ．若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；题3过原点的直线与圆044222=+--+y x y x 相交所得弦的长为2，则该直线的方程为__________．题4在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2=4上恰有两个点到直线4x -3y +c =0的距离为1，则实数c 的取值范围是 ．题5已知点P 是半径为5的⊙O 内的一个定点，且OP =3，则过点P 的所有弦中，弦长为整数的弦共有多少条（ ）．A ．2条B ．3条C ．4条D ．5条题6圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )．A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞)题7从原点向圆x 2+y 2-12y +27=0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为 ．题8已知圆C ：（x -3）2+（y -4）2=4和直线l ：kx -y -4k +3=0．（1）求证：不论k 取什么值，直线和圆总相交；（2）求k 取何值时，圆被直线截得的弦最短，并求最短弦的长．题9若直线ax +by =2经过点M （cos α，sin α），则（ ）．A ．422≤+b aB ． 422≥+b aC ．41122≤+b aD ．41122≥+b a题10若直线b x y -=与曲线212+-=y x ，有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围为 ．题11如图，在平面内，两条直线l 1，l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，若p 、q 分别是点M 到直线l 1，l 2的距离，则称（p ，q ）为点M 的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（1，1）的点共有 个．课后练习详解题1 答案：222<≤m ．详解：当直线y =x +m 与圆相切时，由题意可得2||2m =， ∴22=m 或22-=m (舍去），当直线y =x +m 过A （-2，0）时，m =2，此时y =x +2过（0，2）点结合图形可得，直线l ：y =x +m 与半圆C ：x 2+y 2=4（y ≥0）有两个公共点时，222<≤m ．题2答案：(x －2)2＋y 2＝8．详解：依题意，点P 的坐标为(0，m )．因为MP ⊥l ，所以0－m 2－0×1＝－1， 解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)．从而圆的半径r ＝|MP |＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．题3答案：2x －y ＝0．详解：设所求直线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0．由于直线kx －y ＝0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于12－(22)2＝0， 即圆心位于直线kx －y ＝0上．于是有k －2＝0，即k ＝2，因此所求直线方程是2x －y ＝0．题4答案：（-15，-5）∪（5，15）．详解：由已知可得：圆半径为2，圆心为（0，0）故圆心（0，0）到直线4x -3y +c =0的距离为5||c d =， 如图中的直线m 恰好与圆有3个公共点，此时d =OA =2-1，直线n 与圆恰好有1个公共点，此时d =OB =2+1=3，当直线介于m 、n 之间满足题意．故要使圆x 2+y 2=4上恰有两个点到直线4x -3y +c =0的距离为1，只需d 大于1小于3，即35||1<<c ， 解得：-15＜c ＜-5，或5＜c ＜15故c 的取值范围是：（-15，-5）∪（5，15）．题5答案：C ．详解：如图，过P 作弦AB ⊥OP ，交⊙O 于A 、B ，连接OA ；Rt△OAP 中，OP =3，OA =5；根据勾股定理，得AP =4；∴AB =2AP =8；故过点P 的弦的长度都在8～10之间；因此弦长为8、9、10；当弦长为8、10时，过P 点的弦分别为弦AB 和过P 点的直径，分别有一条；当弦长为9时，根据圆的对称性知，符合条件的弦应该有两条；故弦长为整数的弦共有4条．故选C ．题6答案：A ．详解：由题得圆心(1，－3)，且(－2)2＋62－4·5a ＞0，即a ＜2．由圆心在直线上，可得b ＝－2，∴a －b ＜4，所以选A ．题7答案：60°． 详解：设原点为O ，圆心为P （0，6），半径是PA =3，切点为A 、B ，则OP =6，在Rt△AOP 中，∠AOP=30°，所以则这两条切线的夹角的大小为60°．题8答案：（1）省略；（2）k =1，22．详解：（1）证明：由直线l 的方程可得y -3=k （x -4），则直线l 恒通过定点（4，3），把（4，3）代入圆C 的方程，得（4-3）2+（3-4）2=2＜4，所以点（4，3）在圆的内部，所以直线l 与圆C 总相交．（2）设圆心到直线l 的距离为d ，则22211d k k ==+-+（），又设弦长为L ，则2222Lr d =+）（， 即222221)224-4(1)322111L k k k k k k +==-+=-≥+++(（）， ∴当k =1时，22L min 2=）（，∴22L min =，所以圆被直线截得最短的弦长为22．题9答案：B ．详解：直线ax +by =2经过点M （cos α，sin α），∴a cos α+b sin α=2，∴a 2+b 2=(a 2+b 2)(cos 2α+sin 2α)≥(a cos α+b sin α)2=4，（当且仅当cos sin a b αα=时等号成立）故选B ．题10 答案：)223[+，．详解：因为曲线212+-=y x ，所以（x -2）2+y 2=1（x ≥2）， 表示圆心为（2，0），半径为1的右半圆．圆心（2，0），到直线x -y -b =0的距离为12|2|=-=b d 解得22+=b 或2-2=b （舍去），当直线y =x -b 过点B （2，-1）时，直线与圆有两个交点，此时b =3．所以要使直线y =x -b 与曲线212+-=y x 有两个不同的公共点， 所以223+<≤b ，即实数b 的取值范围为)223[+，． 故答案为：)223[+，．题11答案：4．详解：到l1的距离是1的点，在与l1平行且与l1的距离是1的两条直线上；到l2的距离是1的点，在与l2平行且与l2的距离是1的两条直线上；以上四条直线有四个交点，故“距离坐标”是（1，1）的点共有4个．故答案为：4．。
高中数学 (知识导学+例题解析+达标训练)4.2.3 直线与圆的方程的应用 新人教A版必修2
4·2·3 直线与圆的方程的应用一、知识导学：1、理解直线与圆、圆与圆的位置关系的几何性质；2、利用平面直角坐标系解决直线与圆、圆与圆的位置关系的有关问题；3、会用“数形结合”的数学思想解决问题，理解用坐标法解决几何问题的步骤。
二、基础知识回顾：1、判断两条直线1l 、2l 的位置关系：通过解方程组确定交点坐标。
已知两条直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A ， （1）1l 与2l 相交______________________⇔⇔； （2）1l 与2l 平行______________________⇔⇔； （3）1l 与2l 重合______________________⇔⇔。
2距离及应用条件 公式及说明两点间的距离已知两点111(,)P x y ，222(,)P x y 1、公式：____________________；2、原点(0,0)O 与任一点(,)P x y 的距离d =_______________。
点到直线的距离 已知点00(,)P x y ， 直线:0l Ax By C ++=1、公式：____________________；2、当A=0或B=0时，公式仍成立；3、原点(0,0)O 到直线l 的距离d =____。
两条平行线间的距离1l ：10Ax By C ++=，2l ：20Ax By C ++=，1、转化为点到直线的距离求解；2、公式：___________________。
3、圆的标准方程：_________________________________。
它表示以___________为圆心，以___________为半径的圆。
4、圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=。
配方得__________________________________________。
（1）当2240D E F +->时，表示以________为圆心，以________为半径的圆； （2）当2240D E F +-=时，表示一个点______________； （3）当2240D E F +-<时，它不表示任何图形。
新教材高考数学第二章直线和圆的方程章末复习练习含解析新人教A版选择性必修第一册
章末复习一、两直线的平行与垂直 1．判断两直线平行、垂直的方法(1)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1＝k 2⇔l 1∥l 2. (2) 若直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1⇔l 1⊥l 2. (讨论两直线平行、垂直不要遗漏直线斜率不存在的情况)2．讨论两直线的平行、垂直关系，可以提升学生的逻辑推理素养． 例1 (1)已知A ⎝⎛⎭⎪⎫1，－a ＋13，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－13，C (2－2a ，1)，D (－a ，0)四点，若直线AB 与直线CD 平行，则a ＝________.答案 3解析 k AB ＝－13＋a ＋130－1＝－a3，当2－2a ＝－a ，即a ＝2时，k AB ＝－23，CD 的斜率不存在．∴AB 和CD 不平行；当a ≠2时，k CD ＝0－1－a －2＋2a ＝12－a.由k AB ＝k CD ，得－a 3＝12－a，即a 2－2a －3＝0.∴a ＝3或a ＝－1.当a ＝3时，k AB ＝－1，k BD ＝0＋13－3＝－19≠k AB ，∴AB 与CD 平行．当a ＝－1时，k AB ＝13，k BC ＝1＋134＝13，k CD ＝1－04－1＝13，∴AB 与CD 重合．∴当a ＝3时，直线AB 和直线CD 平行．(2)若点A (4，－1)在直线l 1：ax －y ＋1＝0上，则l 1与l 2：2x －y －3＝0的位置关系是________． 答案 垂直解析 将点A (4，－1)的坐标代入ax －y ＋1＝0， 得a ＝－12，则12·l l k k ＝－12×2＝－1，∴l 1⊥l 2. 反思感悟 一般式方程下两直线的平行与垂直：已知两直线的方程为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 1，B 1不同时为0)，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2，B 2不同时为0)，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且C 1B 2－C 2B 1≠0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.跟踪训练1 (1)已知直线l 1：ax －3y ＋1＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________． 答案 －3(2)已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，若l 1∥l 2，则m ＝________. 答案 －1解析 因为直线x ＋my ＋6＝0与(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0平行，所以⎩⎪⎨⎪⎧1×3－m m －2＝0，2m ≠6m －2，解得m ＝－1.二、两直线的交点与距离问题1．两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题． 2．两直线的交点与距离问题，培养学生的数学运算的核心素养．例2 (1)若点(1，a )到直线y ＝x ＋1的距离是322，则实数a 的值为( )A ．－1B ．5C ．－1或5D ．－3或3答案 C解析 ∵点(1，a )到直线y ＝x ＋1的距离是322，∴|1－a ＋1|2＝322，即|a －2|＝3，解得a ＝－1或a ＝5，∴实数a 的值为－1或5.(2)过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解 设l 1与l 的交点为A (a ，8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a ，2a －6)在l 2上， 代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0， 解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 反思感悟跟踪训练2 (1)设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是关于x 的方程x 2＋x －2＝0的两个实数根，则这两条直线之间的距离为( ) A ．2 3 B. 2 C ．2 2 D.322答案 D解析 根据a ，b 是关于x 的方程x 2＋x －2＝0的两个实数根，可得a ＋b ＝－1，ab ＝－2， ∴a ＝1，b ＝－2或a ＝－2，b ＝1，∴|a －b |＝3， 故两条直线之间的距离d ＝|a －b |2＝32＝322.(2)已知直线l 过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且点P (0,4)到直线l 的距离为2，则这样的直线l 的条数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即直线l 过点(1,2)．设点Q (1,2)，因为|PQ |＝1－02＋2－42＝5＞2，所以满足条件的直线l 有2条．故选C.方法二 依题意，设经过直线l 1与l 2交点的直线l 的方程为2x ＋3y －8＋λ(x －2y ＋3)＝0(λ∈R )，即(2＋λ)x ＋(3－2λ)y ＋3λ－8＝0.由题意得|12－8λ＋3λ－8|2＋λ2＋3－2λ2＝2，化简得5λ2－8λ－36＝0，解得λ＝－2或185，代入得直线l 的方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0，故选C.三、直线与圆的位置关系 1．直线与圆位置关系的判断方法(1)几何法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径长为r .若d <r ，则直线和圆相交；若d ＝r ，则直线和圆相切；若d >r ，则直线和圆相离．(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ.Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ>0⇔直线与圆相交；Δ<0⇔直线与圆相离． 2．研究直线与圆的位置关系，集中体现了直观想象和数学运算的核心素养． 例3 已知直线l ：2mx －y －8m －3＝0和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋12y ＋20＝0. (1)m ∈R 时，证明l 与C 总相交；(2)m 取何值时，l 被C 截得的弦长最短？求此弦长． (1)证明 直线的方程可化为y ＋3＝2m (x －4)， 由点斜式可知，直线恒过点P (4，－3)．由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0， 所以点P 在圆内，故直线l 与圆C 总相交． (2)解 圆的方程可化为(x －3)2＋(y ＋6)2＝25.如图，当圆心C (3，－6)到直线l 的距离最大时，线段AB 的长度最短．此时PC ⊥l ，又k PC ＝－3－－64－3＝3，所以直线l 的斜率为－13，则2m ＝－13，所以m ＝－16.在Rt△APC 中，|PC |＝10，|AC |＝r ＝5. 所以|AB |＝2|AC |2－|PC |2＝215.故当m ＝－16时，l 被C 截得的弦长最短，最短弦长为215.反思感悟 直线与圆问题的类型(1)求切线方程：可以利用待定系数法结合图形或代数法求得．(2)弦长问题：常用几何法(垂径定理)，也可用代数法结合弦长公式求解． 跟踪训练3 已知圆C 关于直线x ＋y ＋2＝0对称，且过点P (－2, 2)和原点O . (1)求圆C 的方程；(2)相互垂直的两条直线l 1，l 2都过点A (－1, 0)，若l 1，l 2被圆C 所截得的弦长相等，求此时直线l 1的方程．解 (1)由题意知，直线x ＋y ＋2＝0过圆C 的圆心，设圆心C (a ，－a －2)． 由题意，得(a ＋2)2＋(－a －2－2)2＝a 2＋(－a －2)2， 解得a ＝－2.因为圆心C (－2,0)，半径r ＝2， 所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝4.(2)由题意知，直线l 1，l 2的斜率存在且不为0， 设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k，所以l 1：y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0，l 2：y ＝－1k(x ＋1)，即x ＋ky ＋1＝0.由题意，得圆心C 到直线l 1，l 2的距离相等， 所以|－2k ＋k |k 2＋1＝|－2＋1|k 2＋1，解得k ＝±1， 所以直线l 1的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0. 四、圆与圆的位置关系1．圆与圆的位置关系：一般利用圆心间距离与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系． 2．圆与圆的位置关系的转化，体现直观想象、逻辑推理的数学核心素养． 例4 已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y －5＝0与圆C 2：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋7＝0. (1)证明圆C 1与圆C 2相切，并求过切点的两圆公切线的方程； (2)求过点(2, 3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．解 (1)把圆C 1与圆C 2都化为标准方程形式，得(x ＋2)2＋(y －2)2＝13，(x －4)2＋(y ＋2)2＝13.圆心与半径长分别为C 1(－2,2)，r 1＝13；C 2(4，－2)，r 2＝13.因为|C 1C 2|＝－2－42＋2＋22＝213＝r 1＋r 2，所以圆C 1与圆C 2相切．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4x －4y －5＝0，x 2＋y 2－8x ＋4y ＋7＝0，得12x －8y －12＝0，即3x －2y －3＝0，就是过切点的两圆公切线的方程． (2)由圆系方程，可设所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －5＋λ(3x －2y －3)＝0.点(2, 3)在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝43.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －5＋43(3x －2y －3)＝0，即x 2＋y 2＋8x －203y －9＝0.反思感悟 两圆的公共弦问题(1)若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0. (2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．跟踪训练4 (1)已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ， B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________． 答案 x ＋y －3＝0解析 AB 的中垂线即为圆C 1、圆C 2的连心线C 1C 2. 又C 1(3,0)，C 2(0,3)， 所以C 1C 2所在直线的方程为x ＋y －3＝0.(2)已知圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2y －4＝0. ①求证：两圆相交；②求两圆公共弦所在直线的方程．①证明 圆C 1的方程可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆C 2的方程可化为x 2＋(y －1)2＝5， ∴C 1(2，－1)，C 2(0,1)，两圆的半径均为5， ∵|C 1C 2|＝2－02＋－1－12＝22∈(0,25)，∴两圆相交．②解 将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程， (x 2＋y 2－4x ＋2y )－(x 2＋y 2－2y －4)＝0，即x －y －1＝0.1．(2019·天津改编)设a ∈R ，直线ax －y ＋2＝0和圆x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0相切，则a 的值为________． 答案 34解析 由已知条件可得圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，其圆心为(2,1)，半径为2，由直线和圆相切可得|2a －1＋2|a 2＋1＝2，解得a ＝34. 2．(2017·北京改编)在平面直角坐标系中，点A 在圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0上，点P 的坐标为(1，0)，则||AP 的最小值为________． 答案 1解析 x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0， 即(x －1)2＋(y －2)2＝1， 圆心坐标为C (1,2)，半径长为1. ∵点P 的坐标为(1,0)，∴点P 在圆C 外． 又∵点A 在圆C 上，∴|AP |min ＝|PC |－1＝2－1＝1.3．(2017·天津改编)已知点C 在直线l ：x ＝－1上，点F (1,0)，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A . 若∠FAC ＝120°，则圆的方程为________________． 答案 (x ＋1)2＋(y －3)2＝1解析 由圆心C 在l 上，且圆C 与y 轴正半轴相切，可得点C 的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO ＝90°.又因为∠FAC ＝120°， 所以∠OAF ＝30°，所以|OA |＝3， 所以点C 的纵坐标为 3.所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.4．(2019·江苏改编)如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB (AB 是圆O 的直径)．规划在公路l 上选两个点P ，Q ，并修建两段直线型道路PB ，QA .规划要求：线段PB ，QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径．已知点A ，B 到直线l 的距离分别为AC 和BD (C ，D 为垂足)，测得AB ＝10，AC ＝6，BD ＝12(单位：百米)．(1)若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；(2)在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由． 解 (1)如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H .以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 因为BD ＝12，AC ＝6，所以OH ＝9，直线l 的方程为y ＝9，点A ，B 的纵坐标分别为3，－3. 因为AB 为圆O 的直径，AB ＝10， 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝25.从而A (4,3)，B (－4，－3)，直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为－43，直线PB 的方程为y ＝－43x －253.所以P (－13,9)，|PB |＝－13＋42＋9＋32＝15.所以道路PB 的长为15(百米)．(2)①若P 在D 处，取线段BD 上一点E (－4,0)，则EO ＝4<5， 所以P 选在D 处不满足规划要求．②若Q 在D 处，连接AD ，由(1)知D (－4,9)，又A (4,3)， 所以线段AD ：y ＝－34x ＋6(－4≤x ≤4)．在线段AD 上取点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，154，因为|OM |＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1542<32＋42＝5，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径． 因此Q 选在D 处也不满足规划要求． 综上，P 和Q 均不能选在D 处．。
人教A版高中数学选修一第二章《直线和圆的方程》提高训练题 (20)(含答案解析)
18．一条斜率不为0的直线 ，令 ，则直线l的方程可表示为 .现光线沿直线l射到x轴上的点 ，反射后射到y轴上的点 ，再经反射后沿直线 射出.若 和 中 和y的系数相同，则下列结论正确的是（）
A．
B．
C．
D．
19．已知曲线C的方程为 ，圆 ，则（）
A．C表示一条直线
B．当 时，C与圆M有3个公共点
（2）已知点P（a，b），过P点分别作两圆切线，若切线长相等，求a，b关系；
（3）是否存在定点M（m，n），使过点M有无数对相互垂直的直线l1，l2满足l1⊥l2，且它们分别被圆O、圆O1所截得的弦长相等？若存在，求出所有的点M；若不存在，请说明理由．
【答案与解析】
1．D
【解析】
先把面积表示出来，判断出 最小时，四边形 的面积最小，从而求出当PC⊥直线 时，求出 ，即可求得.
， ，
又 ，所以 ，所以 ．
故选：C．
关键点点睛：本题考查圆上两动点 与直线上动点 间的“距离”的最小值问题，解题关键是取 中点 ，把 用 表示，这样 两动点转化为一个动点 ，求得 点轨迹，利用直线与圆的位置关系求解即可．
圆 的圆心坐标为 ，
该圆心到原点的距离为 ，半径为 ，
要想圆 上存在点 ，使得 ，
说明圆 和圆 有公共点，
因此有 ，因为 ，所以 ，
故选：B
关键点睛：把问题转化为两个圆有公共点是解题的关键.
8．C
【解析】
取 中点 ，求出 点轨迹方程， ，转化求 点到直线 上点的距离的最小值，由此计算可得．
设 是 中点，因为 ，所以 ，即 在以原点为圆心， 为半径的圆上，
选修一第二章《直线和圆的方程》提高训练题 (20)
一、单选题
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29课时 直线与圆的方程的应用 课时目标．会用数学建模的思想方法解决一些实际问题． ，圆心到直线的距离d ，直线被圆截得的弦长公式： 对应的曲线是( )
得x 2＋y 2＝4(y ≤0)，它表示的图形是圆：(x －3)2＋(y －3)2
＝4相交于⎨⎪⎧x －2＋y －2
＝x －y ＋2＝0
，x 2＝3，∴A (1,3)，B (3,5)
(3,3)，∴→(－2,0)→
y＝3－4x－x2与直线y
该直线，如图．结合图象分析，可知当直线向左上方平移到过点
－x2都有公共点；当直线向右下方平移到与以点为半径的圆相切的过程中的任何位置时，相应的直线与曲线
(0,3)的直线方程是y＝x＋3
－2＋－2＝
是圆(x＋y2＝
________m.
处，则由已知，得A(6，－2)，设圆C
(6，－2)代入，得r＝10，所以圆
′后，设A′(x0，－3)(x0＞0)．将
后，水面宽为2x0＝251 m.
2＝0，⊙O′的方程是x2＋
处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
以台风中心为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示．
1(y≥0)，直线2x
如图，要使直线与曲线有两个公共点，则直线过点(1,0)
(1,0)时，c＝－2；
，所以c的取值范围是
中，设直线y＝3
－n的零点x0∈
y2＝n2相切．
，n＝4.
，得x＝log34－1∈
3,3)发出，射到x轴上，被。