(全面突破)高考数学最新一轮复习 必考题型巩固提升 5.2平面向量基本定理及其坐标表示学案

5.2平面向量基本定理及其坐标表示
考情分析
1．考查平面向量基本定理的应用． 2．考查坐标表示下向量共线条件． 基础知识
1．平面向量基本定理
如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中不共线的向量e 1，e 2叫表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则
a ＋
b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 2
1.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝x 2－x 1
2
＋y 2－y 1
2
.
3．平面向量共线的坐标表示
设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b 共线． 注意事项
1.向量坐标与点的坐标的区别：
在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →
＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点
A 的坐标与a 的坐标统一为(x ，y )，但应注意其表示形式的区别，如点A (x ，y )，向量a ＝OA
→
＝(x ，y )．
当平面向量OA →平行移动到O 1A 1→时，向量不变，即O 1A 1→＝OA →＝(x ，y )，但O 1A 1→
的起点O 1和终点A 1的坐标都发生了变化．
2.(1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．
(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2
，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0. 题型一 平面向量基本定理的应用
【例1】设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a 、b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .
解析：∵e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)， ∴⎩⎪⎨
⎪⎧
m －n ＝1，
2m ＋n ＝1，
∴m ＝23，n ＝－1
3
.
答案：23 －1
3
【训练1】 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若AD →＝xAB →＋yAC →
，则x ＝________，
y ＝________.
解析 以AB 所在直线为x 轴，以A 为原点建立平面直角坐标系如图，
令AB ＝2，则AB →＝(2,0)，AC →
＝(0,2)，过D 作DF ⊥AB 交AB 的延长线于F ，由已知得DF ＝BF ＝3，则AD →
＝(2＋3， 3)．
∵AD →＝xAB →＋yAC →
，∴(2＋3，3)＝(2x,2y )．
即有⎩⎨
⎧
2＋3＝2x ，3＝2y ，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋3
2，y ＝32
.
另解：AD →＝AF →＋FD →＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋32AB →＋32AC →，
所以x ＝1＋32，y ＝3
2
. 答案 1＋
32 32
题型二 平面向量的坐标运算
【例2】已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( ) A ．－12a ＋3
2b
B.12a －32b C ．－32a －1
2
b
D ．－32a ＋12
b
解析：设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)．
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
－1＝λ＋μ，2＝λ－μ.∴⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝1
2，μ＝－3
2
.
∴c ＝12a －3
2b .
答案：B
【变式2】 在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →
＝( )． A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5)
D ．(2,4)
解析 由题意得BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(AC →－AB →)－AB →＝AC →－2AB →
＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)． 答案 B
题型三 平面向量共线的坐标运算
【例3】设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．
解析：设a ＝(x ，y )，x ＜0，y ＜0，则x －2y ＝0且x 2
＋y 2
＝20，解得x ＝4，y ＝2(舍去)，或者x ＝－4，y ＝－2，即a ＝(－4，－2)．
答案：(－4，－2)
【变式3】已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )．
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－7
3，－79
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫73，79
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－7
9
，－73
解析 设c ＝(m ，n )，
则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)．
∵(c ＋a )∥b ，∴－3×(1＋m )＝2×(2＋n )，又c ⊥(a ＋b )， ∴3m －n ＝0，解得m ＝－79，n ＝－7
3.
答案 D
重难点突破
【例4】在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →误．＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →
＝________.
解析 由题意画出图形如图所示，取一组基底{AB →，AC →}，结合图形可得AD →＝12(AB →＋AC →)，BE →
＝
AE →－AB →＝23
AC →－AB →，
∴AD →·BE →＝12(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →－AB →＝13AC →2
－
12AB →2－16AB →·AC →＝13－12－16cos 60°＝－1
4. 答案 －14
巩固提高
1．设平面向量a ＝(－1,0)，b ＝(0,2)，则2a －3b ＝( ) A ．(6,3) B ．(－2，－6)
C ．(2,1)
D ．(7,2)
解析：2a －3b ＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)． 答案：B
2．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( ) A ．－2 B ．0 C ．1
D ．2
解析：∵a ＋b ＝(3,1＋x )，4b －2a ＝(6,4x －2)， 又a ＋b 与4b －2a 平行，
∴3(4x －2)＝6(1＋x )，解得x ＝2. 答案：D
3．已知a ，b 是不共线的向量，AB ＝λa ＋b ，AC ＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A 、B 、
C 三点共线的充要条件为( )
A ．λ＋μ＝2
B ．λ－μ＝1
C ．λμ＝－1
D ．λμ＝1
解析：∵A 、B 、C 三点共线，∴存在实数t ，满足AB ＝t AC ，即λa ＋b ＝ta ＋μtb ，又a ，b 是不共线的向量，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝t ，1＝μt ，
∴λμ＝1.
答案：D
4．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF ＝( )
A.14a ＋1
2b B.23a ＋13b C.12a ＋1
4
b
D.13a ＋23
b 解析：由已知得DE ＝1
3EB ，
又△DEF ∽△BEA ， ∴DF ＝13
AB .
即DF ＝13DC .∴CF ＝2
3CD ，
∴CF ＝23CD ＝2
3(OD －OC )
＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －12a ＝13b －1
3
a ， ∴AF ＝AC ＋CF ＝a ＋13
b －1
3a
＝23a ＋1
3b . 答案：B
5．已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC ＝13AB ，DA ＝－1
3BA ，求点C ，D 的坐标和CD
的坐标．
解：设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 由题意得AC ＝(x 1＋1，y 1－2)，AB ＝(3,6)，
DA ＝(－1－x 2,2－y 2)，BA ＝(－3，－6)．
因为AC ＝13 AB ，DA ＝－1
3BA ，
所以有⎩⎪⎨
⎪⎧
x 1＋1＝1y 1－2＝2
和⎩⎪⎨⎪⎧
－1－x 2＝1，
2－y 2＝2，
解得⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 1＝0，y 1＝4，
⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＝－2，y 2＝0.
所以点C ，D 的坐标分别是(0,4)，(－2, 0)，
从而CD＝(－2，－4)．。