数学教师讲解习题的四种境界
说题的步骤
说题的步骤
说题步骤主要有如下几步:
第一步,说题目的来源、背景和前后知识的联系,说命题立意。
指明试题属于哪一能力层级立意,是了解、理解、掌握、常识性介绍哪一层面的,所考查的知识能力,是低阶思维还是高阶思维,试题在整个试卷中的难易程度是较易的还是适中的还是偏难的,重点是要区分哪个群体的学生——如果有试卷的区分度等相关统计数据更好了。
第二步,说知识考点。
主要是分析考试大纲。
分析试题是怎样体现考纲要求的,反过来说明考纲对这个问题是如何要求的。
试题所要考查知识点属于哪种类型的知识,哪些是学生熟悉的,哪些是学生不熟悉的,学生现有的知识发展区是什么,有待提高的发展区是什么。
第三步,说如何分析讲解。
这是说题过程中最重要的一个环节,教师明确讲题的基本方法,具体操作流程,如:说题目大致意思。
数学学习：数学题求解的三个不同境界
数学学习：数学题求解的三个不同境界境界一：先不求最快，但求准确解读：这个境界是学生想学好数学必须要先到达的境界，好多学生自认为聪明，总想快快做完，得到老师的认可，这个小小的愿望老师可以理解，但是一味的图快，难免正确率下降，得不偿失，这是学习数学的大忌。
很多学生难达到这一点，原因是有的小聪明的学生往往犯了眼高手低的毛病，对所学知识没有真正深入掌握，浮于知识的表面，所以准确率低下，而对自己定位太高（也是受家庭的影响，在家里就是说一不二的主，唯我独尊型的人物），所以不能正视自己的缺点。
如果你此境界过了，我保证150分的数学卷，你不会低于120分（80%）。
境界二：在准确的前提下，提高做题速度解读：要想达到此境界，先过前一境界，然后积累知识到一定境界，所谓量变到一定程度导致质变，解释一下，不是让你泡到题海里做题，这个方法事倍功半，效率极低，最好是上课跟随老师的思路，优秀的教师往往善于剖析做题的心路历程，如何入手？那个地方是切入点？这要学生和老师的思维一定同步共振，进行思维对话。
作为一份试卷来讲，提高速度的一个很重要的战场是选择填空题，在数学卷里，这一部分占了76分，什么概念？一半的分值还多一分，如何提高选择填空的做题速度呢？三个字：巧、快、准。
其中三者之间，巧字首当其冲，数学的选择题有且只有一个答案，可以有排除法、特殊值验证法、数形结合法、直接法、经验法等等，这要积累，当达到对高中知识掌握的易如反掌的程度时，提高速度才是可能。
如果你此境界过了，我保证150分的数学卷，你不会低于135分（90%）。
境界三：准确速度没问题，就追求完美解读：还是那句话，先依次过前两个境界，才能谈这个境界。
这个境界就是在没有不会做的数学题了，那么就关注书写的步骤的连贯、简洁，逐步完善一些做题的细枝末节问题，使得一个雕塑的艺术品更加完美。
当然，这问题的训练不是等到最后才关注，这个能力的培养其实在一开始学数学时老师就渗透，不过这个方面在开始阶段不是重点，开始的重点是如何讲理论搞懂、弄明白、会用理论解决问题。
不同的习题设计 不同的境界
不同的习题设计不同的境界义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐的发展。
新课标指出，小学数学教学，就是要让学生通过亲身参与生动具体的数学学习活动（包括解题活动），在获取数学知识，形成相关技能的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面都能得到进步和发展。
那么，如何在课堂教学过程中体现新课标的精神，如何卓有成效地启发引导，促进学生思维活动的持续发展，我是从习题设计中实践探索的。
一、练习形式要具有多样性和趣味性课改伊始，我在教学三年级上册：“混合运算”后，出示了这样一组巩固练习题：80-18×4 （603-596）×314 650÷5-115650+308×4 876-67×4 304÷8×5 （218+86）×8 496×4×5 300÷2÷6 练习完了这一组题后，我紧接着又出示了另一组同样形式的混合运算练习题，学生埋头于这些题目中，苦苦地与混合运算“奋战”着。
反思：虽然计算能力的培养离不开适度的练习，但如果像上面这样，让学生自始至终进行形式单一的练习，只会使学生产生厌倦心理，如果一味地进行高密度的练习，学生注意力很难集中，练习的效果也是低效的。
我痛苦着、挣扎着、思索着，我为何不在练习形式的多样性和趣味性方面下功夫呢？在多样化上下功夫，增强练习的游戏性、挑战性和趣味性，达到寓学于乐，寓练于乐，不是最佳境界吗？于是，我又尝试着重新设计了下面一组巩固练习题：1、填空有加法，又有乘法，先算（），再算（）；有加法，又有除法，先算（），再算（）；只含有乘除法或只含有加减法，要（），在混合运算中，有小括号的，要先算（）。
2、先说说下面2题的运算顺序，再计算58－23+9 50－（25＋7）3、我是森林小医生（改错）4、我是智慧星（在下面的数中添上十、－、×、÷和（ ），使算式成立）。
讲题的四种境界
讲题的四种境界江西省临川二中黄金声（344100）讲题，是数学课堂的主旋律之一，如何讲题，是老师们必须面临的课题.笔者经十余年的探索、积累，于2003年第一次提出了“讲题的四种境界”的理念，又经近几年的思考、归纳，试图通过本文从更深层次诠释、丰富这一独创理念，并期待得到同行的指点.一、什么是“讲题的四种境界”？第一种境界：就题讲题，把题目讲清（达成目标：一听就能懂）第二种境界：发散试题的多种解(证)法，拓展解题思路，把题目讲透（达成目标：一点就能透）第三种境界：理清试题的诸多变化，以求探源奠基，把题目讲活（达成目标：一时忘不了）第四种境界：探究试题之数学思想方法，以能力培养为终极目标，做试题的主人（达成目标：一用真有效）二、“讲题的四种境界”理念的基本内容与诠释1.会解题≠会讲题会解题：针对自己存在的问题，结合自己的知识水平和能力水平，对试题所反映的信息进行处理.其目的是为了求得自己的理解，并能顺利地讲完此题.讲题后情景①教师：我明明讲得很清楚，可学生还是说不懂！－－基础太差了！？②学生：课堂上老师讲的我都懂了，为什么下来不会做题？教师：这就奇怪了，既然听懂了，怎么不会做题呢？－－悟性有问题！？③教师再讲类似题，甚至将解题的每一个步骤更详细地写出来，然后再布置学生做题.－－不信教不会（再不会就没救）！？会讲题：针对学生存在的问题，结合学生的知识水平和能力要求，对试题所反映的信息进行处理.其目的是为了让学生更好地理解、消化、运用.讲题前情景①教师认真做题②教师反思自己的做题过程：我是怎样思考的？做题过程中遇到哪些障碍？③学生在思考过程中会遇到哪些障碍？怎样讲才会使学生更容易接受？在一次习题课的课前准备时，有如下一道题引起了我的注意：题1如图，将一张长方形纸片翻折，则图中重叠部分是三角形.答案很简单：等腰三角形.由此引发了我的疑问：答案为什么不可以是钝角三角形？是等腰三角形吗？是不是随便一折都是等腰三角形？于是，我拿了一张长方形纸片动手折了起来.结果发现，重叠部分可以是钝角三角形、锐角三角形、直角三角形，但都是等腰三角形，当然，还可以折出等边三角形.如图所示：而要判断三角形形状的变化，只要抓住图中∠α的变化就轻松搞定，即：①当45＜α＜90时，△ABC是锐角三角形；②当0＜α＜45时，△ABC是钝角三角形；③当α＝45时，△ABC是等腰直角三角形，当α＝60时，△ABC是等边三角形.在讲题时，如果把这些变化融进去，不是更能体现本题的价值吗？从思想方法上看，三角形形状变化体现“分类思想”，而三角形形状发生变化的原因是由∠ 的变化引起的，这又体现了“转化思想”，还有“从特殊到一般思想”、“空间观念”、“图形的轴对称”等等.2007年1月10日和9月20日，我以“一张长方形纸片：折出你的思维”为题，分别在抚州市金溪县第二中学和赣州市崇义县横水中学上了这节课，从课后教师的点评看，反映还是不错的.这说明，我对这道填空题的探究得到了同行的肯定.2.清楚≠懂≠会清楚：是“分得开”，是教师的讲解可以使学生把事理“分开”了，但是还没有“连上”，即没有把 “分开”的东西和学生已知的、熟悉的、可接受的东西连接起来.其讲题效果达到了第一种境界或第二种境界.懂：是“连得上”，是教师的讲解能使学生把题目中所涉及的综合的、不熟悉的“知识结”分解为已知的、熟悉的、可接受的“点”，又能在这些点之间找到已知的、熟悉的、可接受的“线”.其讲题效果达到了第二种境界或第三种境界.会：是通过教师的讲解能使学生在“连得上”的基础上对相关知识进行联络、梳理、发散和拓展，从而培养了学生思维的广阔性和深刻性，并使学生具备了较强的自主探究能力.其讲题效果达到了第三种境界或第四种境界.题2 （2007·常州）已知，如图，正方形ABCD 的边长为6，菱形EFGH 的三个顶点E 、G 、H 分别在正方形ABCD 边AB 、CD 、DA 上，AH ＝2，连接CF ． （1）当DG ＝2时，求△FCG 的面积； （2）设DG ＝x ，用含x 的代数式表示△FCG 的面积；（3）判断△FCG 的面积能否等于1，并说明理由．讲题分析： 第（1）问中“DG ＝2”寓意于DG ＝AH ，即△HAE ≌△GDH ，且∠GHE ＝90°．又由菱形EFGH 可得点F （或CF ）此时位于BC 边上，由此可知，四边形（菱形）EFGH 已特殊化为正方形，所以，△FCG 的面积等于△GDH 的面积． 第（2）问中“DG ＝x ”是让菱形EFGH 一般化．由于可推知 △FCG 中，CG ＝6－x ，所以，作出CG 边上的高FM 就成为一种 必然．由图形的对称性可知，应连接GE ，通过证明△HAE ≌△FMG ， 得FM ＝AH ＝2．第（3）问是借助试题中“菱形E F G H 的两个顶点E 、G 分别在正方形A B C D 边A B 、C D 上”的限制作用．由第（2）问可知，FM ＝AH ＝2，是一个定值，则x 的大小就限制了△FCG 的面积．因为HD ＞AH ，所以HC ＞HB ，即①点E 不可能与点A 重合（x 的最小值为0，即HG 的最小值等于HD ）②点G 不能与点C 重合（即HG 的最大值等于HB ）．这样通过求出x 的值并由此求出HG （或AE ）的值就可以正确判断△FCG 的面积能否等于1了．讲题反思：1.第（1）问中证明“四边形（菱形）EFGH 为正方形”非常困难，原答案也只用同理可证△GDH ≌△FCG 模糊了事，能否消除这个逻辑性障碍？2.第（2）问中“连接GE ”是学生解题的一个难点，但这一难点的突破没有在试题（或解题）中得到暗示．同时，试题中连接CF 有些不流畅．3.研究发现：由于点F 是随着点G 、E 的位置变化而变化的，虽然点F 到DC 的距离FM ＝AH ＝2，是一个定值，但点F 到AD 的距离却在一定范围内发生变化．为了彰显本题图形背景中的核心思想“特殊～一般～特殊”，可将本题图形置于平面直角坐标系的背景中，以探究动态菱形E F G H 中点F 的位置变化为主线，改编成下题：题3 如图，正方形ABCD 的边长为6.以直线AB 为x 轴、AD 为y 轴建立坐标系.菱形EFGH 的三个顶点H 、E 、G 分别在正方形ABCD 边DA 、AB 、CD 上，已知AH ＝2. A BC DE F G H A B C D E F G H M（1）如图甲，当点F在边BC上时，求点F的坐标；（2）设DG=x.请在图乙中探索：用含x的代数式表示点F的坐标；（3）设点F的横坐标为m.问:m有无最大值和最小值？若有，请求出；若无，请直接作否定的判断，不必说明理由.(ABCD置换成矩形可以吗？平行四边形呢？梯形呢？)3.应该有＝想有＋可能有一般说来，教师不会把学生完全没有学的、学生现有知识能力水平无法企及的题目拿给学生做，那么为何有的学生却可能对题目（难题）无从下手呢？此时学生的心态是怎样的呢？教师面对这种情况又该怎样做呢？想有：人的需要、欲望、感情是普遍存在的，学生也不例外，此时教师应该尽其所能激发起学生的需要和突破难题的欲望，并使他们初步感受到这种需要所能带来的那种快感.可能有：当学生感觉到利用已有知识能做而又做不出来的时候，此时教师的启发和点拨就显得至关重要.根据本人的思考，教师的启发与点拨可从以下几方面入手：1.从学生已有知识中“启”：温故而知新，以达承前启后、承上启下的目的；2.从学生知识的盲点处“启”：盲即模糊，或遗忘，此时善意的提醒、引导就成为解决问题的必要手段；3.从知识的关键点“启”：一语点醒梦中人，顿悟、恍然大悟、大彻大悟由此产生；4.从知识的最近发展区“启”：因势利导，顺水推舟，正所谓“唯有源头活水来”；5.有时教师的一个手势、一幅表情、一点鼓励、一种暗示就会使学生冲破迷雾，思如泉涌，此时师生之思之想已如水乳交融，浑然天成.应该有：当学生取得成功后，其喜悦的心情是难以言表的，在今后的学习中，就会更加主动地去透视题目中的各种潜在因素，即使在遇到困难时，也会坚定必胜的信念，这便是教师讲题应达到的成功境界.题4（2006·安徽）如图，直线l过正方形ABCD点A、C到直线l的距离分别是 1 和 2 ,讲题分析：1.利用AB＝BC和∠ABC两个已知条件，证明△Rt AEB≌Rt△BFC，得EB＝FC.2.利用勾股定理求出正方形的边长AB讲题反思：1.正方形ABCD 的顶点D看起来是否“很孤单” ？如图1，能否求出点D到直线l的距离DG？（DG＝3）2.正方形ABCD是否“摇摇欲坠”？将图形特殊化：如图2，令AE＝CF，且ABl图1 B （G ）图2图3 图4 l 图5则AE ＝CF DG 3.观察、比较上面两题中AE 、CF 、DG 的大小，你发现了什么？（AE ＋CF ＝DG ）如图3，你能证明这个结论具有一般性吗？作AM ⊥DG 于点M ，可证：①四边形AEGM 是矩形，则AE ＝MG ；②由△ADM ≌△BCF ，可得AE ＋CF ＝DG .4.让直线 l 动起来！如图4，可证△ADE ≌△CBF ，得DE ＝BF ，即点A 、D 到直线 l 的距离之和与点B 、C 到直线 l 的距离之和相等.思考：直线 l 的位置若再发生变化，还有类似的结论吗？你能总结出一般规律吗？5.如图5，连接AC ，你能利用图形证明勾股定理吗？4.讲题的最高境界＝授之以法＋培之以能＋强之以心对应于“讲题的四种境界”，一个合格的教师，其讲题的效度大致有以下四种水平层次： 正确：内容正确熟练，进度适中切贴，板书工整得当，讲话清晰从容.易懂：外在关系注意铺垫呼应，内在联系注意区分主次，化难为易注意方式方法，关键突破注意把握时机.独到：说之以理见技巧，动之以情见门道，感之以美见艺术，启之以需见奥妙.固顶：授之以法，培之以能，强之以心.①授之以法：关注通性通法，做到深入浅出，让学生易学.②培之以能：引导数学思考，激发学习欲望，让学生想学.③强之以心：鼓励提出问题，强调自主探究，让学生会学.题5 正方形ABCD 中，M 是边AB 上任意一点（不与点B 重合），E 是AB 延长线上一点，连接DM ，作MN ⊥DM ，交∠CBE 的平分线BN 于点N .（1）如图1，当M 是AB 的中点时，求证：DM ＝MN ；（2）如图2，当M 不是AB 的中点时，（1）中的结论还成立吗？说明理由.证法探究：①作N F ⊥A E ，证R t △D A M ≌R t △M F N ；②在A D 上取一点H ，满足D H =M B ，证R t △D H M ≌R t △M B N .逆向思维：若D M =M N ，则M N ⊥D M 成立吗？类比拓展：在正多边形中，类似本题的结论是否也成立？（类比联想）问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：①如图1，两个全等正三边形的其中一边AC 完全重合，点M 是边BC 上任意一点（不与点C 重合）.若∠AMN = 60°，则AM = MN .②如图2，两个全等正方形的其中一边CD 完全重合，点M 是边BC 上任意一点（不与点C 重合）.若∠AMN = 90°，则AM = MN .A B C D E M N 图1 A B C D E M N 图2然后运用类比的思想提出了如下的命题：③如图3，两个全等正五边形的其中一边CD 完全重合，点M 是边BC 上任意一点（不与点C 重合）.若∠AMN = 108°，则AM = MN .任务要求（1）请你从①、②、③三个命题中任意选择一个进行证明；（2）请你继续完成下面的探索：①如图4，两个全等正n （n ≥3）边形其中一边CD 完全重合，点M 是边BC 上任意一点（不与点C 重合）.问：当∠AMN 等于多少度时，结论AM = M N 成立（不要求证明）？②如图5，两个全等正六边形的其中一边CD 完全重合，点M 是边BC 的中点.当∠AMN= 120°时，点N 是PC 的中点吗？说明理由.（拓展延伸）如图，正方形ABCD 与正方形CDEF 中，边CD 完全重合，连接CE .将直角三角形的直角顶点M 在直线．．BC 上滑动(不与点B 、C 重合)，其中一条直角边始终经过点A ，另一条直角边交直线．．CE 于点N .（1）如图1，顶点M 是BC 的中点.①求证：AM ＝MN ；②求证：点N 是CE 的中点.（2）设正方形的边长为1，CM ＝m . 求CNNE 的值.综上所述，教师在讲题前既要从自己做题的角度去揣摩习题，还要以学生做题的角度去思考习题，更要以命题者的角度去审视试题，只有这样，才能最大限度的挖掘习题的潜能，提高讲题的效率.能把复杂的问（习）题简单化就是完美，能把简单的问（习）题深刻化就是杰出！让我们共同努力，使自己体验讲题的快乐，让学生在倾听讲题的快乐中享受数学之美！参考文献杜和戎.讲授学〔M 〕. 华语教学出版社，2007 A B C M N P 图1 A B D N E P 图2 A B C D M NE PFG 图3 A B C D M N E P F G H I 图5 A B C D N F E 图1 A B D F E 备用图。
教学的四重境界
教学的四重境界教师的专业发展会有不同的阶段，也就表现为不同的教学境界。
根据教师对教学内容传授的情况，可以把教师的教学境界分为四重境界：人云我教阶段，人我混教阶段，自创自教阶，我说人教阶段。
教师的专业发展会有不同的阶段，也就表现为不同的教学境界。
根据教师对教学内容传授的情况，可以把教师的教学境界分为四重境界。
一、人云我教——学习积累期教师专业发展的第一个阶段是学习他人的知识与见解，按照他们的说法进行教学，大多表现为对教材的依赖，对他人教学设计（教案）的依重。
在教学中，基本上是按照他人的学说进行教授。
教学很大程度上就是把他人的观点通过自我的解说传授给学生，教师起到把他人学说或知识运输给学生的传送作用。
在这个阶段，教师也可以把学教，而且可能会赢得学生喜爱与大家的赞誉。
汤一介刚参加工作时，曾在北京市委党校工作，那是他上课就上得很好，很受学生的欢迎与大家的认同，但他所讲授的内容都是人家的内容，没有自己的思考与自己的内容。
（参见汤一介的《我的哲学之路》）可见，教学教得是否受学生喜欢有时并不与教学内容是否与教师有自己的独特见解有直接的关系。
在现实的教学中，确实有许多教师以教教材和教别人的学说为主，也安然度过了自己一生的教书生涯，而且有许多颇受学生欢迎。
这个阶段是教师教学内容发展的学习阶段、积累阶段。
从教学内容是否具有教师自主开发的内容的角度看，相比于其他发展阶段的教学境界而言，教师在不断学习他人的学说与教学内容中，积累着经验，积累着开发自我教学内容的力量。
二、人我混教——探索酝酿期随着对教学内容的熟悉和对教学革新的需求的增长，教师开始在教学中加入自己对教学开发的内容，包括教学内容和教学方式等方面。
这个时候，教学进入既教他人的东西，也教自己的东西的人我混教阶段。
这个阶段，根据所教内容中自我内容所占比例的多少，又可分为两个阶段。
一是以他人内容为主，自我内容为辅。
这个时期，他人的内容仍然占教学内容的主流，自我点滴的认识开始进入教学，然后是更多的自我认识进入教学，成为教学的组成部分。
把握好四个度,数学课堂更有效
把握好四个度，数学课堂更有效
第一，把握好难度度。
数学课堂中的难度度要适中，不宜过于简单也不宜过于困难。
如果教师在教学中选择了过于简单的题目，那么学生可能会感到无聊，认为数学很简单，从而失去对数学学习的兴趣；如果教师在教学中选择了过于困难的题目，那么学生可能会感到沮丧，产生抵触情绪，导致对数学学习的恐惧。
教师在设计课堂内容的时候，要根据学生的实际水平，把握好难度度，让学生既能够挑战自己，又能够感到有所收获。
第二，把握好深度度。
数学课堂中的深度度同样非常重要，教师需要在教学中把握好深度度，让学生在学习中不仅仅是了解表面知识，更要深入理解数学的内涵和本质。
为了把握好深度度，教师可以在教学中多引导学生思考，提出一些有启发性的问题，让学生可以通过自己的思考和探索，逐渐理解数学知识的深层含义，培养学生的数学思维能力。
第四，把握好节奏度。
数学课堂的节奏度同样非常重要，教师需要在教学中把握好节奏度，让学生在学习中不感到枯燥乏味，保持一种积极的学习状态。
为了把握好节奏度，教师可以在教学中设计一些生动有趣的教学活动，增加教学的趣味性，引起学生的兴趣和好奇心，激发学生学习的动力。
把握好四个度，数学课堂就会更加有效。
教师在数学课堂教学中要不断提高自己的教学水平，不断积累教学经验，不断探索教学方法，从而让数学课堂变得更加有效，让学生更容易理解和掌握数学知识。
希望所有的数学教师都能够把握好四个度，让数学课堂变得更加有趣，让学生在数学学习中取得更好的成绩。
漫谈数学课堂教学的四重境界
认识到不等关系来 自于生活 ， 认识到学习不等式 的 重要性 和必然性 ， 激发他们 的求知欲望 ， 从而让他 们经历 、 感受 概念形成 的过程 ， 正确抓住不等式 的 本质特征 ， 乃至形成概念。可见 ， 初中数学课堂教学
要“ 实” ， 即内容真实 、 形式朴实、 运用务实 ， 且要凸显
Ｘ
的对“ 实” 的提炼与升华 。这种 “ 虚” 是思维 ， 是情感 ， 是态度 ， 是价值 观 ， 是从课堂教学 中培养 的能力和
激发 的情感 ， 是课 堂中学生展现 的态度 ， 是我们通
过数学教学希望学生树立 的人生观 、 价值观 、 世界 观 。形而上的“ 虚” ， 虽然看不到 ， 摸不着 ， 但能够感
生 的畏难情绪 ， 增强其解决 问题的信 心和决心 。
在学以致用 ， 解决问题 的环节 中继续 以 Ｐ Ｍ２ ． ５ 社会热点 பைடு நூலகம்题 为背景 ， 用不等式表示空气质量状况
属 于各级标 准的 Ｐ Ｍ ２ ． ５日均值的范围 ， 并 把它表示 在数轴上 。同时提出， 若不采取有效措施改善环境 ， Ｐ Ｍ２ ． ５ 的 日均值增大 ， 空气质量将发生什么变化 ？ 作 为一个市民， 你认为可从哪些方面减少空气污染？ 通
教学之“ 实” 的基础上 的， 是凸显教师风格和学生学 情 的“ 不俗” 。
３ ６ 基础教育参考 ・ ２ ０ １ ３ ／ ２ ０
到成功的循环中产生 “ 顿悟” 。这样 的数学学习过 程充满观察 、 实验 、 猜想等探 索性活动 ， 有切磋 琢 磨， 有智力角逐 ， 有思维碰撞 。而且这会使学生在 原有知识基 础上 的认知逐 步增加 ， 有利 于消除学
的速度 ， 怎样表示 ｖ 与６ Ｏ 之间的关系？
做题的四种境界
• （4）若何（if）一些表示情境条件变化的问题，当条件发生变化
时，“如果”“要是”“是否”“即使”等情况下的问题
• （5）由何（where/when/who）表示问题发生的条件、
来历、起因，通常可以通过分析问题产生的情境，并由此进一步确定问题的性质以及问 题解决的方式。
例 如图，AB=AC，BD、CE分别是 AC、AB上的高，求证：BD=CE。
做（讲）题的四种境界
寇元朝
• 第一种境界：就题讲（做）题，把题目弄 清； • 第二种境界：发散试题的（多种）解法， 拓展解题思路，把题目弄透； • 第三种境界：理清试题的诸多变化，以求 探源奠基，把题目弄活； • 第四种境界：探究试题立意（即设计意 图），将试题玩弄于股掌之间，做试题的 主人.
关注知识技能，让数学复习基础化
活动二
• 如图，点O是等边△ABC内一点， ∠AOB= 110° ,∠BOC=α，将△BOC绕点C 按顺时 针方向旋转得△ADC，连接OD • 探究：当α为多少度时， △AOD△是等腰三 A 角形？
D
110°
O
B
α
C
A
D
O
B
α
C
若CB=CA
A
D
O
110 °
B
α
C
关注解决问题能力，让数学复习实践化
关于高
• 1.等腰三角形一腰上的高与腰之比为 1：2， 则顶角的度数等于 30°或 150° • 2.等腰三角形一腰上的高与腰之比为 1 ： 2 ，则顶角的度数等于 45°或 135°.
• 画图
证明:等腰三角形两底角相等
关注数学思考，让数学复习思维化
活动一
• （1）如图1在等腰△ABC中，AB=AC=5， BC=6，P点为底边的中点，PD+PE= . • （2）如图2在等腰△ABC中，若P点为底 边上任意一点，你认为PD+PE是定值吗？ 说明理由.
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5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。
”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。
8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。
9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。
讲题的四种境界讲题，是数学课堂的主旋律之一，如何讲题，是老师们必须面临的课题．笔者经十余年的探索、积累，于2003年第一次提出了“讲题的四种境界”的理念，又经近几年的思考、归纳，试图通过本文从更深层次诠释、丰富这一独创理念，并期待得到同行的指点．1 什么是“讲题的四种境界”?第一种境界：就题讲题，把题目讲清；(达成目标：一听就能懂)第二种境界：发散题目的多种解(证)法，拓展解题思路，把题目讲透；(达成目标：一点就能透)第三种境界：理清题目的诸多变化，以求探源奠基，把题目讲活；(达成目标：一时忘不了)第四种境界：探究题目之数学思想方法，以能力培养为终极目标，做题目的主人(达成目标：一用真有效)2 “讲题的四种境界”理念的基本内容与诠释2．1会解题≠会讲题会解题：针对自己存在的问题，结合自己的知识水平和能力水平，对题目所反映的信息进行处理．其目的是为了求得自己的理解，并能顺利地讲完此题．讲题后情景①教师：我明明讲得很清楚，可学生还是说不懂!——基础太差了!?②学生：课堂上老师讲的我都懂了，为什么下来不会做题?教师：这就奇怪了，既然听懂了，怎么不会做题呢?——悟性有问题!?③教师再讲类似题，甚至将解题的每一个步骤更详细地写出来，然后再布置学生做题．——不信教不会(再不会就没救)!?会讲题：针对学生存在的问题，结合学生的知识水平和能力要求，对题目所反映的信息进行处理．其目的是为了让学生更好地理解、消化、运用．讲题前情景①教师认真做题；②教师反思自己的做题过程：我是怎样思考的?做题过程中遇到哪些障碍?③学生在思考过程中会遇到哪些障碍?怎样讲才会使学生更容易接受?在一次习题课的课前准备时，有如下一道题引起了我的注意：5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。
”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。
8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。
9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。
题1 如图，将一张长方形纸片翻折，则图中重叠部分是 三角形．答案很简单：等腰三角形．由此引起了我的疑问：答案为什么不可以是钝角三角形?是等腰三角形吗?是不是随便一折都是等腰三角形?于是，我拿了一张长方形纸片动手折了起来．结果发现，重叠部分可以是钝角三角形、锐角三角形、直角三角形，但都是等腰三角形，当然，还可以折出等边三角形．如图所示：而要判断三角形形状的变化，只要抓住图中a ∠的变化就轻松搞定，即：①当︒45＜a ＜︒90时，ABC ∆是锐角三角形；②当︒0＜a ＜︒45时，ABC ∆是钝角三角形；③当a =︒45时，ABC ∆是等腰直角三角形，当a =︒60时，ABC ∆是等边三角形．在讲题时，如果把这些变化融进去，不是更能体现本题的价值吗?从思想方法上看，三角形形状变化体现“分类思想”，而三角形形状发生变化的原因是由a ∠的变化引起的，这又体现了“转化思想”，还有“从特殊到一般思想”、“空间观念”、“图形的轴对称”等等．2007年1月10日和9月20日，我以“一张长方形纸片：折出你的思维”为题，分别在抚州市金溪县第二中学和赣州市崇义县横水中学上了这节课，从课后教师的点评看，反映还是不错的．这说明，我对这道填空题的探究得到了同行的肯定．2．2 清楚≠懂≠会清楚：是“分得开”，是教师的讲解可以使学生把事理“分开”了，但是还没有“连上”，即没有把“分开”的东西和学生已知的、熟悉的、可接受的东西连接起来．其讲题效果达到了第一种境界或第二种境界．懂：是“连得上”，是教师的讲解能使学生把题目中所涉及的综合的、不熟悉的“知识结”分解为已知的、熟悉的、可接受的“点”，又能在这些点之间找到已知的、熟悉的、可接受的“线”．其讲题效果达到了第二种境界或第三种境界．5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。
”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。
8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。
9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。
会：是通过教师的讲解能使学生在“连得上”的基础上对相关知识进行联络、梳理、发散和拓展，从而培养了学生思维的广阔性和深刻性，并使学生具备了较强的自主探究能力．其讲题效果达到了第三种境界或第四种境界．题2 (2007·常州)已知，如图，正方形ABCD 的边长为6，菱形EFGH 的三个顶点E 、G、H 分别在正方形ABCD 边AB 、CD 、DA 上，2=AH ，连接CF ．(1)当2=DG 时，求△FCG 的面积；(2)设x DG =，用含x 的代数式表示△FCG 的面积；(3)判断△FCG 的面积能否等于1，并说明理由．讲题分析第(1)问中“2=DG ”寓意于AH DG =，即△HAE ≌△GDH ，且︒=∠90GHE ．又由菱形EFGH 可得点F (或CF )此时位于BC 边上，由此可知，四边形(菱形) EFGH 已特殊化为正方形．所以，△FCG 的面积等于△GDH 的面积．第(2)问中“x DG =”是让菱形EFGH 一般化．由于可推知△FCG 中，x CG -=6，所以，作出CG 边上的高FM 就成为一种必然．由图形的对称性可知，应连接GE ，通过证明△HAE ≌△FMC ，得2==AH FM ．第(3)问是借助试题中“菱形EFGH 的两个顶点E 、G 分别在正方形ABCD 边AB 、CD 上”的限制作用．由第(2)问可知，2==AH FM ，是一个定值，则x 的大小就限制了△FCG 的面积．因为HD ＞AH ，所以HC ＞HB ，即①点E 不可能与点A 重合(x 的最小值为0，即HG 的最小值等于HD )②点G 不能与点C 重合(即HG 的最大值等于HB )．这样通过求出x 的值并由此求出HG (或AE )的值就可以正确判断△FCG 的面积能否等于1了．讲题反思1 第(1)问中证明“四边形(菱形) EFGH 为正方形”非常困难，原答案也只用同理可证△GDH ≌△FCG 模糊了事，能否消除这个逻辑性障碍?2 第(2)问中“连接GE ”是学生解题的一个难点，但这一难点的突破没有在试题(或解题)中得到暗示．同时，试题中连接GF 有些不流畅．5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。
”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。
8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。
9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。
3 研究发现：由于点F 是随着点G 、E 的位置变化而变化的，虽然点F 到DC 的距离2==AH FM ，是一个定值，但点F 到AD 的距离却在一定范围内发生变化．为了彰显本题图形背景中的核心思想“特殊～一般～特殊”，可将本题图形置于平面直角坐标系的背景中，以探究动态菱形EFGH 中点F 的位置变化为主线，改编成下题：题3如图，正方形ABCD 的边长为6．以直线AB 为羽轴、AD 为y 轴建立坐标系．菱形EFGH 的三个顶点H 、E 、G 分别在正方形ABCD 边DA 、AB 、CD 上，已知2=AE ．(1)如图甲，当点F 在边BC 上时，求点F 的坐标；(2)设x DG =．请在图乙中探索：用含x 的代数式表示点F 的坐标；(3)设点F 的横坐标为m ．问：m 有无最大值和最小值?若有，请求出；若无，请直接作否定的判断，不必说明理由．(思考：正方形ABCD 可以作怎样的改变?将正方形ABCD 置换成矩形可以吗?平行四边形呢?梯形呢?)2．3 应该有=想有+可能有一般说来，教师不会把学生完全没有学的、学生现有知识能力水平无法企及的题目拿给学生做，那么为何有的学生却可能对题目(难题)无从下手呢?此时学生的心态是怎样的呢?教师面对这种情况又该怎样做呢?想有：人的需要、欲望、感情是普遍存在的，学生也不例外，此时教师应该尽其所能激发起学生的需要和突破难题的欲望，并使他们初步感受到这种需要所能带来的那种快感．5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。
”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。
8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。
9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。
可能有：当学生感觉到利用已有知识能做而又做不出来的时候，此时教师的启发和点拨就显得至关重要．根据本人的思考，教师的启发与点拨可从以下几方面人手：1 从学生已有知识中“启”：温故而知新，以达承前启后、承上启下的目的；2 从学生知识的盲点处“启”：盲即模糊，或遗忘，此时善意的提醒、引导就成为解决问题的必要手段；3 从知识的关键点“启”：一语点醒梦中人，顿悟、恍然大悟、大彻大悟由此产生；4 从知识的最近发展区“启”：因势利导，顺水推舟，正所谓“唯有源头活水来”；5 有时教师的一个手势、一副表情、一点鼓励、一种暗示就会使学生冲破迷雾，思如泉涌，此时师生之思之想已如水乳交融，浑然天成．应该有：当学生取得成功后，其喜悦的心情是难以言表的，在今后的学习中，就会更加主动地去透视题目中的各种潜在因素，即使在遇到困难时，也会坚定必胜的信念，这便是教师讲题应达到的成功境界．题4 (2006·安徽)如图，直线l 过正方形ABCD 的顶点B ，点A 、C 到直线l 的距离分别是1和2，则正方形的边长是 ．讲题分析1 利用BC AB =和︒=∠90ABC 两个已知条件，证明Rt △AEB ≌Rt △BFC ，得FC EB =．2 利用勾股定理求出正方形的边长5=AB ．讲题反思1 正方形ABC D 的顶点D 看起来是否“很孤单”如图l ，能否求出点D 到直线l 的距离DC ?(3=DC )2 正方形ABCD 是否“摇摇欲坠”?将图形特殊化：如图2，令CF AE =，且5=AB ．则210==CF AE ，10=DF ． 3 观察、比较上面两题中AE 、CF 、DG 的大小，你发现了什么?(DG CF AE =+)如图3，你能证明这个结论具有一般性吗?作DG AM ⊥于点M ，可证：5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。