同向单形到欧氏空间的等距嵌入及其应用
第八章欧氏空间
第九章欧氏空间［教学目标］1理解欧氏空间、内积、向量的长度、夹角、正交和度量矩阵的概念。
2理解正交组、正交基、标准正交基和正交矩阵的概念，理解n维欧氏空间的标准正交基的存在性和标准正交基之间过渡矩阵的性质，重点掌握施密特正交化方法。
3理解欧氏空间同构的定义和同构的充要条件。
4理解正交变换的定义及正交变换与正交矩阵的关系，掌握正交变换的几个等价条件。
5理解子空间的正交和正交补的概念，掌握正交补的结构和存在唯一性。
6理解对称变换的定义和对称变换与对称矩阵之间的关系，掌握实对称矩阵特征值的性质，重点掌握用正交变换把实对称矩阵及实二次型化为对角形和标准形的方法。
［教学重难点］欧氏空间的定义，求向量的长度和夹角的方法，施密特正交化方法，正交变换与正交矩阵的关系，用正交变换把实对称矩阵及实二次型化为对角形和标准形的方法。
［教学方法］讲授，讨论和习题相结合。
［教学时间］18学时。
［教学内容］欧氏空间的定义和性质，标准正交基，同构，正交变换，子空间，对称矩阵的标准形，向量到子空间的矩离、最小二乘法*。
[教学过程]§1 定义、性质定义1：设V 是R 上的一个线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记为),(βα，如果它具有以下性质：（1）),(),(αββα= （2）),(),(βαβαk k = （3）),(),(),(γβγαγβα+=+（4）0),(≥αα当且仅当0=α时0),(=αα。
这里R k V ∈∈,,,γβα，则V 称为欧几里得空间（简称欧氏空间） 例1、例2。
练习：394P 1（1）。
定义2：非负实数),(αα称为α的长度，记为α 性质：ααk k =单位向量：长度为1的向量。
α单位化：αα-Cauchy Буняковский不等式：βα,∀，有βαβα≤),(等号成立当且仅当βα,线性相关。
在不同内积中，-Cauchy Буняковский不等式的具体例子：例1中，22221222212211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ例2中，2121)()()()(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰⎰ba ba badx x g dx x f dx x g x f 394P 1、（2）中，∑∑∑∑∑∑======≤n j ni j i ijn j ni ji ijnj ni j i ij y y ax x ay x a 111111定义3：非零向量βα,的夹角βα,为βαβαβα),(arccos,=， πβα≤≤,0。
第八讲 欧氏空间
高等代数选讲
第八讲 欧氏空间
线性空间中，向量之间的基本运算只有加 法与数量乘法。作为几何空间的推广，可以发 现几何向量的度量性质，如长度、夹角等，在 线性空间的理论中没有得到反映。但是向量的 度量性质在许多问题（包括几何问题）有特殊 的地位。因此有必要在线性空间中引入度量的 概念，使其更接近于几何空间，并有更丰富的 内容与方法。
高等代数选讲 8、构造内积的方法 在实线性空间V 中构造内积使之构成欧氏空间，通 常采用如下两种方法： （1）直接构造：对任意 , V ，直接构造二元实 函数 , ，并验证其满足内积的四条公理。 （2）由正定矩阵确定内积：若V 为 n 维实线性空间， 任取V 的基 1 , 2 ,, n ，以及 n 阶正定矩阵A，定义： b1 b , a1 , a2 ,, an A 2 bn 其中 a11 a2 2 an n , b11 b2 2 bn n
高等代数选讲 欧氏空间证与内积有关的正交变换与对称变换在 现实生活中有着广泛而重要的应用，这两种变换在标 准正交基下分别对应着正交矩阵及实对称矩阵这两种 具有特殊性质的矩阵。要求掌握正交变换与对称变换 的概念及性质，能够运用它们与对应特殊矩阵之间的 关系解题对实对称矩阵A，要求能熟练地找到正交矩阵 T Q，使 Q AQ为对角阵，以及以另一种形式出现的同一 个问题，即用正交变换化实二次型为标准形。 将线性空间关于某个子空间进行直和分解是不唯 一的，但是欧氏空间关于某个子空间及其正交补空间 的直和分解是唯一的。欧氏空间的这种分解是很重要 的，要求掌握子空间的正交补的概念及基本性质，会 求某些子空间的正交补。
1 1 2 2 n n
高等代数选讲 （2） R mn －－对于实矩阵 A aij mn , B bij mn 内积为
欧式空间
欧氏空间(Euler space )一、 内积与欧氏空间1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间.2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且),(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈∀有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈∀有 则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数.3.内积是双线性函数.4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β则j i n j ni j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====∆=1111),(),(βα,5.称 )),(()(j i ij e e a A ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵.6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AY X '=),(βα.7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的.二、 长度与夹角1。
欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时， 2．欧氏空间中的重要不等式：① Cauchy-Буняковский不等式：对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。
，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。
相空间重构延迟时间与嵌入维数的选择
22O
北京理工大学学报
第 23 卷
真结果验证了该方法的有效性.
1 嵌入维数和延迟时间之间的关系
对于某动力系统 可以通过实验方法观测得到
一 组 单 变 量 的 时 间 序 列 { I( tz) } 通 过 式 ( 1) 构 造 一 个与原系统等价的 m 维吸引子 从而研究这个时间 序列的动力模型.
X( t) = [I( t) I( t-Zd) I( t-2Zd) I( t-3Zd)
( Department of Automatic Control9 School of Inf ormation Science and Technology9 Beijing InStitute of Technology9 Beijing 1OOO819 China)
Abstract, The relationShip of embedding dimenSion and delay time iS diScuSSed and a new concept namely the generalized embedding windowS iS put f orward. The drawback on the autocorrelation function method iS analyzed9 and the autocorrelation function method iS improved to determine the value of the generalized embedding windowS and other parameterS. The method overcomeS the defectS in the autocorrelation function method by taking into conSideration the correlation and irrelevance. Simulation reSultS proved the validity of the method.
高等代数 第7章欧式空间 7.1 欧氏空间的定义及性质
x, y
x y
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
18 2 解 cos 3 261. 非负性 当 x 0时, x 0;当 x 0时, x 0; 2. 齐次性 x x ; 3. 三角不等式 x y x y .
单位向量及n维向量间的夹角
1 当 x 1时, 称 x 为单位向量 .
2 当 x 0, y 0时, arccos
(4)[ x , x ] 0, 且当x 0时有[ x , x ] 0.
则称V（R）关于这个数积构成一个欧氏空间。这里 x,y为任意向量，k为任意实数。
数积的性质： （1）（x ,ky)=k(x , y) (2) (x , y+z )=(x , y)+( x , z ) (3) (x , )=0
欧氏空间的定义及性质
定义：设V（R）是实数域R上的线性空间，
在V（R）中定义了一个叫做数积的运算，即 有一定的法则，按照这个法则，对V（R）中 的任意两个向量x,y,都能确定R中唯一一个实 数，称之为x与y的数积，记作（x,y),如果这个 运算具有性质：
(1) ( 2) ( 3)
x, y y, x ; x, y x, y; x y, z x, z y, z ;
n (4) k i i 1
, l
i j 1 i
n
n,m ki l j ( i i 1, j 1
,
i
j
)
向量的长度及性质
定义2 令
x
x, x
2 2 2 x1 x2 xn ,
称 x 为n 维向量 x的长度 或 范数 .
定义与基本性质欧氏空间
欧氏空间的性质
完备性
在欧氏空间中，任意柯西序列都收敛，即任意两点之间的距离可 以由有限步的有限位移得到。
有限维性
欧氏空间是有限维的，其维度等于空间中独立坐标的个数。
连通性
欧氏空间是连通的，即任意两点之间都存在一条连续的路径。
欧氏空间的维度
一维欧氏空间
只有一条坐标轴。
二维欧氏空间
有两条相互垂直的坐标轴。
向量的模
欧氏空间中向量的模定义为向量长度或大小，表 示为$| vec{v} |$，计算公式为$sqrt{v_1^2 + v_2^2 + cdots + v_n^2}$。
向量的内积
欧氏空间中向量的内积定义为两个向量的点积， 表示为$vec{v} cdot vec{w}$，计算公式为 $v_1w_1 + v_2w_2 + cdots + v_nw_n$。
连续性的几何意义
在欧氏空间中，连续性意味着函数图像的每一点附近都有其他点，这些点与图像 上对应的点足够接近。
03
欧氏空间的应用
解析几何中的欧氏空间
解析几何是数学的一个重要分支，它使用代数方法研究几何对象。在解析几何中 ，欧氏空间是一个基本的、重要的概念，用于描述平面和三维空间中的点、线、 面等几何元素。
长度和半径
欧氏空间中，线段的长度和圆的 半径可以通过度量性质进行计算 。
欧氏空间的平行性
平行直线
在欧氏空间中，两条直线平行当且仅当它们的方向向量成比 例。
平行平面
在欧氏空间中，两个平面平行当且仅当它们的法向量共线。
欧氏空间的连续性
连续性定义
在欧氏空间中，如果对于任意给定的正数$epsilon$，都存在一个正数$delta$，使 得对于空间中的任意两点$P$和$Q$，只要$d(P, Q) < delta$，就有$d(f(P), f(Q)) < epsilon$，则称函数$f$在欧氏空间中是连续的。
高等代数第九章 3第三节 同构
α = x1ε 1 + x 2ε 2 + L + x nε n
令
返回
σ(α)= ( x1 , x 2 , L , x n ) ∈ R，这是V到 的一个双射 双射， 我们知道，这是 到Rn的一个双射，并且适合定义 条件1), 2)(第六章§ 上一节(3)式说明, (3)式说明 中条件1), 2)(第六章§8). 上一节(3)式说明, σ 也适合条件3) 因而σ是 到 一个同构映射， 也适合条件3)，因而 是V到Rn的一个同构映射， 条件3)， 由此可知 结论 每个n维的欧氏空间都与R 同构. 每个 维的欧氏空间都与 n同构 维的欧氏空间都与 下面来证明，同构作为欧氏空间之间的关系 下面来证明，同构作为欧氏空间之间的关系 作为欧氏空间 反身性、 具有反身性 对称性与传递性. 具有反身性、对称性与传递性 证明 首先，每个欧氏空间到自身的恒等映射显 首先，每个欧氏空间到自身的恒等映射显 欧氏空间 同构映射. 关系是 然是同构映射 这就是说，同构关系 反身的 然是同构映射 这就是说，同构关系是反身的.
返回
上页
下页
返回 上页 下页
其次， 一个同构映射， 其次，设σ是V到V′的一个同构映射，我们知 是 到 逆映射σ 也适合定义中条件 条件1), 2)( 道，逆映射 -1也适合定义中条件1), 2)(第六章 而且对于α, ∈ §8). 而且对于 ,β∈V′ ，有 (α,β)=(σ(σ-1(α)),σ(σ-1(β)))=(σ-1(α),σ-1(β)) . , , , 这就是说， 这就是说，σ-1是V′到V的一个同构映射，因而同构 的一个同构映射，因而同构 关系是对称的. 关系是对称的 第三， 分别是V到 第三，设σ,τ分别是 到V′ ，V′到V′′的同构映 , 分别是 不难证明τσ是 到 证明留给大 射. 不难证明 是V到V′′的同构映射 (证明留给大 家作练习) 因而同构关系是传递的. 同构关系 家作练习 ，因而同构关系是传递的
第七章 欧氏空间
ξη
π
2
时, cos θ = 0.即 < ξ , µ >= 0称 ξ与 η 正交 .
补充定义: 零向量与任意向量均正交. 补充定义
ξ 推广： 推广：在欧氏空间中， 与向量 η ⋯ η n 中每个向量正交.则 ξ与η1 ⋯η 的任意线性组
合也正交.即 < ξ ,η i
>= 0 ⇒< ξ , ∑ a iη i >= 0
d (iii) 三角不等式：(ξ ,η ) ≤ d (ξ , ζ ) + d (ζ ,η ). 称(i)、(ii)、(iii)为距离公理。 （iii）在解析几何中的意义是：三角形两边 之和大于第三边。
定理2 定理 如果W是欧氏空间V的一个子空间，那么
对V的内积来说，W也是一个欧氏空间。
7.2
正交基
n n
则< ξ,η >= a1b1 +⋯+ anbn , 由定理1得：
(a1b1 + ⋯+ anbn ) ≤ (a1 + ⋯an )(b1 + ⋯bn )
2 2 2 2 2
这正是大家熟知的Cauchy（柯西）不等式。
在 C [ a , b ] 中， f , g ∈ C[a, b]，规定 ∀
< f , g >= ∫ fgdx 则 ∫ a a
1）求出A 的特征根λ1 … λt是A 的不同特征根;
定义 1. 欧氏空间Ｖ中的一组两两正交的非零向量 叫Ｖ的一个正交组。如果这组向量都是单 位向量。则称为一个标准正交组。 说明： 正交组是线性无关的向量组。 ① ② 在ｎ维欧空间Ｖ中.两两正交的非零空间 . 向量个数不超过n个.在面几何中.正交的非零向量 是有两个.在空间解几中.正交的非零向量是有3个. ③特别:如果α1 ⋯α n 是n维欧氏空间Ｖ的一组正 α是 交组.则称 α1 ⋯α为V的一个正交基.如果 α1 ⋯ n n n维欧氏空间V的标准正交基.则称为V的一个标准正 交基.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
１ 引 言
众所 周 知 ，将预 给棱 长 的单 形嵌 入 ｎ维 欧 氏空 间 Ｅ 的 问题 ，是距 离几 何最 经 典 的问 题 之 一 ．这 一 问题 首先 由 Ｆｅｈｔ 出而被 Ｍｅｇｒ圆满 解决 ， Ｍｅｇｒ 找到 构成 竹维 单 ｒｃｅ 提 ｎｅ ｎｅ所
形 的充分必要条件是，预给的 ｎｎ４ １ ２ （ ） 条棱长满足一组具有行列式形式的不等式组，这 － ／ 个广为人知的嵌入定理通常被称为单形构造性定理． １８ 年 ，杨路和张景 中 ［］ ９０ １ 给出了 ６ 单 形 构造 性定 理 的一个 简 单证 明．在 距离 几何 最 经典 的专 著 ＴｈｏｙａｄＡ ｐｉ ｔ ｎ ｆ ｅｒ ｎ ｐ ｌａｉ ｓｏ ｃ ｏ Ｄｓａｃ ｏ ｔｙ》 ［ 中花 了主要 的篇 幅用于讨 论各 式各 样 的嵌 入 问题 ．杨路 和张 景 中在 ｉ ｎｅ ｔ Ｇｅｍｅｒ ７ ］ 文 献 ［ — １ 中分 别讨 论 了预给 二面 角的单 形嵌 入 Ｅ １ ２］ ７ ”的充分必 要条 件 ，非 欧双 曲几何 的等 角 嵌入 ，有限 点集在 伪欧 空 间的等长 嵌入 ，等距嵌 入 的几 何 判准与 歪 曲映象 ，初等 图形 在欧 氏空 间的 实现 问题 等 问题 ．另外还 有诸 多 的文 献讨 论 预给几 何 体到 各种 几何 空 间 的等距 嵌 入 问题 ，它至今 仍然是 一个 十分 有趣 的 ，有意 义 的研 究课题 ． 这 些各 式各 样 的几何 等 距嵌 入 问题 的讨 论仅仅 局限 于单个 几何 体 的嵌 入 ，包 括讨 论微 分 拓扑 中流形 到各 种几 何 空间嵌 入 （ 或浸入 ） 问题也 是如 此 ．在 实际 中，我们 常常 要考虑 等 两个或者以上的几何体 同时嵌入给定的几何空间以满足实际的需要．那么对于满足什么几 何 度量关 系 的两个 几何 体能 否 同时嵌入 给 定 的几 何 空 间呢 ？具体地 对 于两个 礼维 单形是 否 可 以 同时嵌 入 礼维欧 氏空 间 Ｅ 的呢 ？前 一 问题 过于 广泛，对于 后者我 们 的回答 是肯 定 的． 其 问题 的具 体 提法 是 ：预 给 （ ｎ＋１ ） 个两 个单 形 的顶 点之 间 的距离 ，当 它们满 足 什么样 的 ２０ ， Ａ（ ： ４９２０８ ８ ５ ９ —２ ２ ）１
程
数学物理学报
同向单形到欧氏空间的等距嵌人及其应 用
杨 定华
（ 四川师范大学数学与软件科学学院 成都 ６ ０ ６ ） １ ０ ６
摘要： 该文利用矩阵的方法 ， 获得了两个同向的 礼维单形同时等距嵌入 Ｅ”维欧 氏空间的一个
收稿 日期：２ ０ —１０ ； ０ ６ ０ —８ 修订 日期 ： ０ ８０ —５ ２ ０ — ３１
Ｅ— ａｉ：ｙａ ｇｄ ｎ ｕａ ｍ ｌ ｎ ｉ ｇｈ ＠ｙａ ｏｏ．ｏｒ ． ｎ；ｙ ｎｇ ｎｇ ａ＠ｍ ｓ ｃ ｎ ｈ ｃｎ ｃ ａ ｄｉ ｈｕ ｎ．ｏｒ
基金项 目：国家 ９ ３ ７ 计划基金 （０４ Ｂ １０ ３ ２０ Ｃ ３８ ０）、四川省教育厅 自然科学重点基 金 （７ Ａ０７ 资助 ０Ｚ ８）
几何不等式 ，它们蕴含近期诸 多文献 的主要结果 ．
关键词：欧 氏空间；同 向单形；等距嵌入 ；广义度 量加；几何不等式．
Ｍ Ｒ（０ ０ 主题分类 ：１ ０ 中图分类号： ８ 文献标识码： ２０） ５Ｋ ５ ０１４ Ａ 文章编号 ：０３３９ （０８０—１—９ １０—９８２０ ）５ ４０ ９
命题 在给定的直角坐标系下， ｎ维欧氏空间 Ｅ 的任意两个 ｎ维单形 Ｅ Ａ 和 ｒ Ａ） （） （ 之 间存在 唯一 的一个 线性 变换 ，使 得 它们 的对应 点一 一对应 ． 如果记 Ｅ Ａ ｛ ｏＡ ， ， ） ｒ Ａ ） ， ；… ， ） ７维欧氏空间 Ｅ （ ） Ａ ， １… 和 （ ＝｛ Ａ ， 是 ７ ， “中的 任意两个 ｎ维单形，则上述命题也可以表述为：存在一个 ∈Ｒ × ｎ 和一个唯一的 竹阶实矩 阵 Ａ∈Ｒ （ 一个正交 相似 变换 ） 除去 使得 对每 个 ＝ ０１… ， ， ，， 几 有
Ｎ． ｏ ５
杨定华：同向单形到欧氏空间的等距嵌入及其应用
９５ １
条 件时 ，在 ｎ维欧 氏空 间 Ｅ 中存在 这样 的两个 ｎ维单 形 ？在本 文 中，我 们应用 Ｓｌｅｔｒ ｙｖｓｅ— Ｂｕ ｎｈ ｌ 列 式公 式 ，解决 这 个全 新 的几何 等 距嵌 入 问题 ，推 广 了距 离几 何 中著名 的单 ｌｍｅｔａ 行 形 构造性 定理 ，获得 了两 个 同向的 ｎ维单形 同时等距 嵌入 ｎ维 欧氏空 间 Ｅ 的 一个 充分必 要 条件是 ：对于 预给 （ 他＋１ ） 两个 单形 的顶 点之 间的距 离 ，满 足一组 具有行 列式 形式 的不 个 等式组 ｄｔ ） ， ｅ（ ＜０ 作为它的一个直接应用，我们给出了两组等数量的有限点集合到 ｎ维 Ａｋ 欧 氏空 间 ”中等距嵌 入 的一个 充分 必要 条件 ，它 们蕴 含近期 诸多 文献 的主 要结果 ． 事 实上 ，由线性代 数理 论容 易得 到
充分必要条件是 ： 对于预给 （＋１ ｎ ） 个距离， 满足一组具有行列式形式的不等式组 ｄｔ△ ） ， ｅ（ ＜０
由此可以得 到两组等数量的有限点集合到 Ｅ 维欧 氏空间中等长嵌入 的一个充分必要条件． 然 后利用杨路和张景 中引进的代 数方法，应用广义等距嵌入定理 ， 出了关于两组 两个完全 同向 提 的 札维单形 “ 广义度量加”的概念， 并且证 明了涉及 “ 广义度量加”的一个几何不等式， 它推广 了杨路和张景 中关于 Ａｌｘ ｎ ｅ 猜想 的结果．同时我们将杨路和张景 中关于 Ｎｅ ｂ ｒ－ ｅ ｏ ｅａ ｄｒ ｕ ｅｇＰ ｄ ｅ 不等式的高维推广形式推广到两组两个完全 同向的 礼维单形 中，获得了涉及四个单形的一类