力的平衡习题课

4.如图1-26所示，教室里同一块小黑板用相同的细绳按四种方式悬挂着，其中α则每根细绳所受的拉力中，数值最 大的是（ ） A．甲图 B．乙图 C．丙图 D．丁图

〔例4〕如图1-23所示为曲柄压榨结构示意图，A处作用一水平力F，OB是竖直线，若杆和活塞的重力不计，两杆AO、AB的长度相同，当OB的尺寸为200cm，A到OB的距离为10cm ，货物M所受的压力为多少？

〔解析〕力F的作用效果是对AB、AO两杆产生沿杆的方向的压力F1、F2，如图1-24，而F1的作用效果是对M产生水平的推力F’和竖直向下的压力N，如图4-2，由图可得tanα=100/10=10 F1=F2=F/2COSα 而N=F1sinα=Ftanα/2=5F 〔反思〕此题对F的两次分解，都是按力的实际作用效果进行的，因此力的分解不能随心所欲。

【例8】某压榨机的结构示意图如图,其中B为固定铰链,若在A处作用于壁的力F,则由于力F的作用，使滑块C压紧物块D，设C与D光滑接触，杆的重力不计，求物体D受到的压力大小是F的几倍？（滑块重力不计） 解析：力F的作用效果是对AC、AB杆产生沿两杆的方向的力F1、F2，力F1产生对C的向左的力和向下的压力。由图可知tanα=100/10=10，F1=F2=F/2cosα，N=F1sinα=Fsinα/2cosα=5F。

甲乙丙丁

α α β

图1-26

）а F F1

F2

F1 F’ N α

图1-24 A

Ba

F

图1-25

0ABM

F

图1-23

F2 F

F1

B 10 100 F A 100 C 图1-2 1、用平衡条件解题的常用方法 (1）力的三角形法 物体受同一平面内三个互不平行的力作用平衡时，这三个力的矢量箭头首尾相接，构成一个矢量三角形；反之，若三个力矢量箭头首尾相接恰好构成三角形，则这三个力的合力必为零．利用三角形法，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识可求得未知力． （2）力的合成法 物体受三个力作用而平衡时，其中任意两个力的合力必跟第三个力等大反向，可利用力的平行四边形定则，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解． （3）正交分解法 将各个力分别分解到X轴上和y轴上，运用两坐标轴上的合力等于零的条件，多用于三个以上共点力作用下的物体的平衡．值得注意的是，对x、y方向选择时，尽可能使落在x、y轴上的力多；被分解的力尽可能是已知力，不宜分解待求力．

〔例1〕如图1-19用绳AC和BC吊起一个物体，它们与水平方向的夹角分别为300和600，若AC绳能承受的最大拉力为100N，BC绳能承受的最大拉力为150N ，则要使两条绳都不断，物体的重力不应超过多少？

答案：重力G不能超过33200N。 〔例2〕如图1-16三段不可伸长的细绳OA，OB，OC能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一重物，如所示，其中OB是水平的，A端，B端固定，若逐渐增大C端所挂物体的质量，则最先断的绳是（ ） A、必定是OA B、必定是OB C、必定是OC D、可能是OB，也可能是OC

10.如图1-29所示，支架自重不计，且α=30O角，在O点悬挂一个重为100N的物体，求： (1)OA杆的拉力 (2)OB杆的压力

【例1】重为G的木块与水平地面间的动摩擦因数为μ，一人欲用最小的作用力F使木板做

OABO

C 图1-16

ABO

C 图1-16

30060

0AB

CD图1-19

30060

0AB

CD图1-19

α G

AO

B图1-29

α G

AO

B图1-29 fmgx

NθF

y

mgFαminFF1

2

R

匀速运动，则此最小作用力的大小和方向应如何？ 解析 取物块为研究对象，在与水平面夹θ角斜向右上方的拉力F作用下，物块沿水平面向右做匀速直线运动，此时，物块的受力情况如图所示，建立起水平向右为x轴正方向、竖直向上为y轴正方向的直角坐标系，沿两坐标轴方向列出平衡方程为 Fcosθ－f=0 Fsinθ+N－mg=0. 考虑到动摩擦力f与正压力N间的关系，又有 f=μN. 由上述三个方程消去未知量N和f，将F表示为θ的函数，得 F=μmg/（cosθ+μsinθ），

对上述表达式作变换，又可表示为 F=21)cos(mg， 其中tanα=μ.

由此可知，当θ=arctanμ时，拉力F可取得最小值 Fmin=μmg/21. 其实，此例题可用“几何方法”分析求解：对物块做匀速直线运动时所受的四个力来说，重力mg的大小、方向均恒定；拉力F的大小和方向均未确定；由于支持力N与动摩擦力f的比值是确定的，做其合力R的大小未确定而方向是确定的（与竖直线夹α角），于是，把N与f合成为一个力R，物块所受的四个力即可等效地视为三个力R、mg和F，而这三个力的矢量关系可由图来表示。 由图便很容易得出结论：当拉力F与水平面夹角为 α=tg—1μ时，将取得最小

值 Fmin=mgsinα=21mg 说明：力的三角形法与正交分解法是解决共点力平衡问题的最常见的两种解法．前者适于三力平衡问题，简捷、直观．后者适于多力平衡问题，是基本的解法，但有时有冗长的演算过程，因此要灵活地选择解题方法． 〔例3〕.如图1-14所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其圆心，碗的内表面及碗口是个光滑的，一根细绳挂在碗口上，线的两端分别系有质量为m1, m2的小球，它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹角为θ=600，

两个小球的质量比12mm为（ ）

A．33 B．32 C．23 D．22 5.如图1-47所示，一个物体A恰好静止于斜面上。现用一竖直向下的外力F作用于A，下列说法中正确的是 A．物体A所受的摩擦力可能减小 B．物体A对斜面的压力可能保持不变

O α

m1 m2 图1-14

FAө 图1-47 C．不管F怎样增大，物体A总保持静止 D．当F增大到某一值时，物体可能沿斜面下滑 〔拓展〕图1-38中OA、OC、AC、BC都是细绳，其中BC恰成水平，其延长线交OA于中点D，α=30°，β=60°。物体所受重力G=300N，那么，AO绳中的拉力T1= N；OC绳中的拉力T2= N；AC绳中的拉力T3= N；BC绳中的拉力T4= N。 答案: T3=T1=173N T2=300 N T4=346N

【例8】如图所示，轻杆AB和BC组成一个固定的三角形支架，重力不计的滑轮用轻绳OB系在B点，跨过滑轮的轻绳一端系一重物G＝100 N，另一端在拉力FT作用下使物体匀速上升，求两根轻杆所受的力（忽略滑轮的摩擦） 解析：选滑轮为研究对象，建立直角坐标，根据平衡条件有： X方向：FTcos300－Tcosθ=0 Y方向：Tsin－FTsin300－G=0

因为物体匀速上升，所以FT=G，代入解得θ=600，T=G3 再以B点为研究对象，画出受力图，建立坐标。 X方向：Tcos600＋FBCcos450－FABcos300=0 Y方向：FBCsin450－T sin600－FABsin300=0

将T=G3代入得FBC=669N，FAB=646N 根据牛顿第三定律知杆AB所受拉力为646N，杆BC所受的压力为669N。 试题展示 2、动态平衡问题的分析 在有关物体平衡问题中，存在着大量的动态平衡问题，所谓动态平衡问题是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢的变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态．解动态问题的关键是抓住不变量，依据不变的量来确定其他量的变化规律，常用的分析方法有解析法和图解法． 解析法的基本程序是：对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出应变物理量与自变物理量的一般函数关系式，然后根据自变量的变化情况及变化区间确定应变物理量的变化情况 图解法的基本程序是：对研究对象在状态变化过程中的若干状态进行受力分析，依据某一参量的变化（一般为某一角度），在同一图中作出物体在若干状态下的平衡力图（力的平行四边形或力的三角形），再由动态的力的平行四边形或三角形的边的长度变及角度变化确某些力的大小及方向的变化情况，分析此类问题时用图解法比较简单。注意：三个力作用下物体平衡时，用几何值原理求某一个力的最小值，即当一个力的大小，方向都不变，另一个力方向不变，那么第三个力的方向垂直于另一个力的方向时，有最小值。 〔例3〕重力为G的物体系在两根等长的细绳OA，OB上，轻绳A端，B端挂在半圆形支架上，如图1-20所示，若固定A端的位置，将绳OB的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直位置GC的过程中，则：（ ） A.OB绳的拉力先增大后减小

G

A

B

C

O图1-20

300 300 450 G

0

A C

B

X Y FBC

FAB T

600 450 300

CB

AG

ODβ

α

图1-38