中心差分解两点边值问题
期末数值分析重点总结
期末数值分析重点总结第一部分：数值逼近（Approximation）数值逼近是数值分析的基础，主要研究如何利用有限的计算资源得到逼近数学问题的有效算法。
数值逼近的主要内容包括多项式逼近、插值和最小二乘等。
1. 多项式逼近多项式逼近是指用一个多项式函数来逼近给定函数的值。
通过选择合适的多项式次数和插值点，可以使得多项式逼近误差最小化。
其中最常用的方法是最小二乘法，它可以通过最小化残差来得到最佳的多项式逼近。
多项式逼近在信号处理、图像处理和计算机图形学等领域中有广泛的应用。
2. 插值插值是指通过已知数据点的函数值来估计在其他点的函数值。
常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
拉格朗日插值通过构造一个满足插值条件的多项式来逼近给定函数。
牛顿插值则利用差商的概念来构造插值多项式。
插值方法在数值微分和数值积分中有广泛的应用。
3. 最小二乘最小二乘是一种在一组离散数据点上拟合曲线的方法。
通过最小化数据点与拟合曲线之间的欧几里得距离，可以得到最佳拟合曲线。
最小二乘法可以用于曲线拟合、参数估计和数据关联等问题。
第二部分：数值解方程（Numerical Solution of Equations）数值解方程是数值分析的重要内容之一，研究如何通过数值计算来求解非线性方程组和线性方程组。
数值解方程的主要方法有迭代法、常微分方程数值解和偏微分方程数值解等。
1. 迭代法迭代法是求解非线性方程组的常用方法之一。
通过不断迭代逼近方程的根，可以得到方程组的数值解。
常用的迭代法有牛顿迭代法和弦截法。
迭代法在计算机辅助设计、优化和数据分析等领域中有广泛的应用。
2. 常微分方程数值解常微分方程数值解研究如何通过数值计算来求解常微分方程。
常微分方程数值解的主要方法有Euler方法、Runge-Kutta方法和线性多步法等。
常微分方程数值解在物理学、工程学和生物学等领域中有广泛的应用。
3. 偏微分方程数值解偏微分方程数值解研究如何通过数值方法来求解偏微分方程。
江苏省苏州市吴中学、吴江、相城区2024届八年级数学第一学期期末监测模拟试题含解析
江苏省苏州市吴中学、吴江、相城区2024届八年级数学第一学期期末监测模拟试题 注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．分式2232-x x y 中的x 、y 同时扩大2倍，则分式值（ ）A ．不变B ．是原来的2倍C ．是原来的4倍D ．是原来的122．如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=40°，则∠2=（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°3．点（2，-3）关于原点对称的点的坐标是（ ）A ．（-2，3）B ．（2，3）C ．（-3，-2）D ．（2，-3） 4．已知264x kx ++是完全平方式，则常数k 等于（ ）A ．8B ．±8C ．16D ．±165．已知三角形的两边长分别为3cm 和8cm ，则这个三角形的第三边的长可能是( )A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．13cm6．如图，在正方形网格中，线段A ′B ′是线段AB 绕某点逆时针旋转角α得到的，点A ′与A 对应，则角α的大小为（）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°7．人体中红细胞的直径约为0.000 007 7m ，将数0.000 007 7用科学记数法表示为（ ）A ．7.7×-510B ．-70.7710⨯C ．-67.710⨯D ．-77.710⨯8．到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）A ．三条角平分线的交点B ．三边中线的交点C ．三边上高所在直线的交点D ．三边的垂直平分线的交点9．如图1，甲、乙两个容器内都装了一定数量的水，现将甲容器中的水匀速注入乙容器中．图2中的线段AB ，CD 分别表示容器中的水的深度h(厘米)与注入时间t(分钟)之间的函数图象．下列结论错误的是( )A ．注水前乙容器内水的高度是5厘米B ．甲容器内的水4分钟全部注入乙容器C ．注水2分钟时，甲、乙两个容器中的水的深度相等D ．注水1分钟时，甲容器的水比乙容器的水深5厘米10．长为12、6、5、2的四根木条，选其中三根为边组成三角形，共有（ ）选法A ．4种B ．3种C ．2种D ．1种二、填空题(每小题3分,共24分)11．比较大小：7 _______ 3（填“˃”或“=”或“<”）．12．若点P 关于x 轴的对称点为P1（2a+b, －a+1），关于y 轴对称点的点为P2（4－b,b+2），则点P 的坐标为13．繁昌到南京大约150千米，由于开通了高铁，动车的的平均速度是汽车的2.5倍，这样乘动车到南京比坐汽车就要节省1.2小时，设汽车的平均速度为x 千米/时，根据题意列出方程_____．14．如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP 1=P 1P 2=P 2P 3=…=P 13P 14=P 14A ，则∠A 的度数是 ．15．若4a 2+b 2﹣4a +2b +2=0，则ab =_____．16．若2m =a ，32n =b ，m ，n 为正整数，则22m+15n = （结果用含a 、b 的式子表示）17．如图，已知ABC ∆中，ABC ∠45=︒，F 是高AD 和BE 的交点，4CD =，则线段DF 的长度为_____．18．一组数据3，4，x ，6，7的平均数为5.则这组数据的方差是______．三、解答题(共66分)19．（10分）某校在八年级开展环保知识问卷调查活动，问卷一共10道题，每题10分，八年级（三）班的问卷得分情况统计图如下图所示：（1）扇形统计图中，a 的值为 ________．（2）根据以上统计图中的信息，求这问卷得分的众数和中位数分别是多少分？（3）已知该校八年级共有学生600人，请估计问卷得分在80分以上（含80分）的学生约有多少人？20．（6分）某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园，准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的9块小长方形，如图所示，计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价210元，请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？21．（6分）化简分式222442342a a a a a a-+-÷--+，并在0、1、1-、2、2-中选一个你喜欢的数作为a 的值，求代数式的值22．（8分）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图.乙槽中有一圆柱形铁块放在其中(圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上)，现将甲槽中的水匀速注人乙槽.甲、乙两个水槽中水的深度()(),y cm y cm 甲乙与注水时间x (分钟)之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题:（1）图2中折线ABC 表示 槽中的水的深度与注水时间的关系，线段DE 表示 槽中的水的深度与注水时间的关系(填“甲”或“乙”)，点B 的纵坐标表示的实际意义是 ；（2）当04x ≤≤时，分别求出y 甲和y 乙与x 之间的函数关系式；（3）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水深度相同？（4）若乙槽底面积为36平方厘米(壁厚不计) ，求乙槽中铁块的体积．23．（8分）根据记录，从地面向上11km 以内，每升高1km ，气温降低6℃；又知在距离地面11km 以上高空，气温几乎不变．若地面气温为m （℃），设距地面的高度为x （km ）处的气温为y （℃）（1）写出距地面的高度在11km 以内的y 与x 之间的函数表达式；（2）上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安途中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞机外气温为－26℃时，飞机距离地面的高度为7km,求当时这架飞机下方地面的气温；小敏想，假如飞机当时在距离地面12km 的高空，飞机外的气温是多少度呢？请求出假如当时飞机距离地面12km 时，飞机外的气温．24．（8分）如图，D ，E 分别是等边三角形ABC 边BC 、AC 上的一点，且BD CE =，连接AD 、BE 相交于点O ．（1）求证：ABD BCE ∆∆≌；（2）求AOE ∠的度数．25．（10分）在平面直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点的坐标分别为()()()2,4,0,4,2,1--A B C ，DEF ∆与ABC ∆关于x 轴对称，A 与,D B 与,E C 与F 对应.（1）在平面直角坐标系中画出ABC ∆；（2）在平面直角坐标系中作出DEF ∆，并写出D E F 、、的坐标.26．（10分）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 是直线BC 上一点.(1)如图1，若2AC BC ==，点D 是BC 边的中点，点M 是线段AB 上一动点，求CMD ∆周长的最小值.(2)如图2，若4AC =，8BC =，是否存在点D ，使以A ，D ，B 为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直按写出线段CD 的长度：若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B 【解题分析】试题解析：∵分式2232x x y-中的x ，y 同时扩大2倍， ∴分子扩大4倍，分母扩大2倍，∴分式的值是原来的2倍．故选B ．2、B【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠3＝∠1，再根据平角等于180°列式计算即可得解．【题目详解】解：∵直尺对边互相平行，∴∠3＝∠1＝40°，∴∠2＝180°−40°−90°＝50°．故选：B ．【题目点拨】本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．3、A【分析】根据关于原点对称点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案． 【题目详解】解：在平面直角坐标系中，关于原点对称的两点横坐标和纵坐标均满足互为相反数，∴点（2，-3）关于原点对称的点的坐标是（-2，3）．故选A ．【题目点拨】本题考查了关于原点对称点的坐标，熟练掌握坐标特征是解题的关键．4、D【分析】根据完全平方公式：()2222a b a ab b ±=±+，即可求出k 的值．【题目详解】解：∵264x kx ++是完全平方式，∴()2222226488168x kx x kx x x x ++=++±±+==∴k= ±16 故选D ．【题目点拨】此题考查的是根据完全平方式，求一次项中的参数，掌握两个完全平方公式的特征是解决此题的关键．5、C【题目详解】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可知第三边应大于5且小于11，故选C6、C【题目详解】分析：先根据题意确定旋转中心，然后根据旋转中心即可确定旋转角的大小．详解：如图，连接A′A，BB′，分别A′A，BB′作的中垂线，相交于点O.显然，旋转角为90°，故选C．点睛：考查了旋转的性质，解题的关键是能够根据题意确定旋转中心，难度不大．先找到这个旋转图形的两对对应点，连接对应两点，然后就会出现两条线段，分别作这两条线段的中垂线，两条中垂线的交点就是旋转中心.7、C【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【题目详解】0.0000077=7.7×10﹣6，故答案选C.8、D【分析】根据垂直平分线的性质定理的逆定理即可做出选择．【题目详解】∵到一条线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，∴到三角形三个顶点距离相等的点是三边的垂直平分线的交点，故选：D．【题目点拨】本题考查了线段垂直平分线，理解线段垂直平分线的性质的逆定理是解答的关键．9、D【解题分析】根据题意和函数图象，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【题目详解】解：由图可得，注水前乙容器内水的高度是5厘米，故选项A正确，甲容器内的水4分钟全部注入乙容器，故选项B正确，注水2分钟时，甲容器内水的深度是20×＝10厘米，乙容器内水的深度是：5+（15﹣5）×＝10厘米，故此时甲、乙两个容器中的水的深度相等，故选项C正确，注水1分钟时，甲容器内水的深度是20﹣20×＝15厘米，乙容器内水的深度是：5+（15﹣5）×＝7.5厘米，此时甲容器的水比乙容器的水深15﹣7.5＝7.5厘米，故选项D 错误，故选：D ．【题目点拨】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10、D【分析】根据题目给的四根木条进行分情况讨论，利用三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解．【题目详解】解：选其中三根为边组成三角形有以下四种选法：12、6、5，12、6、2，12、5、2，6、5、2；能组成三角形的有：6、5、2只有一种．故选：D ．【题目点拨】本题主要考查的三角形的形成条件，正确的运用三角形的形成条件，把题目进行分类讨论是解题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、＜【分析】利用平方法即可比较． 【题目详解】解：∵27)7=，239=，7＜9， 73<，故答案为：＜．【题目点拨】本题主要考查了无理数的大小比较．掌握平方法比较实数大小的方式是解题关键．12、（2a+b,b+2）【解题分析】答案应为（-9，-3）解决此题，先要根据关于x 轴的对称点为P 1（2a+b ，-a+1）得到P 点的一个坐标，根据关于y 轴对称的点P 2（4-b ，b+2）得到P 点的另一个坐标，由此得到一个方程组，求出a 、b 的值，即可得到P 点的坐标．解：∵若P 关于x 轴的对称点为P 1（2a+b ，-a+1），∴P 点的坐标为（2a+b ，a-1），∵关于y 轴对称的点为P 2（4-b ，b+2），∴P 点的坐标为（b-4，b+2），则2a b b 4{a 1b 2+=--=+， 解得a 2{b 5=-=-． 代入P 点的坐标，可得P 点的坐标为（-9，-3）．13、150150 1.22.5x x=+． 【分析】设汽车的平均速度为x 千米/时，则动车的平均速度为2.5x ，根据题意可得：由乘动车到南京比坐汽车就要节省1.2小时，列方程即可．【题目详解】设原来火车的平均速度为x 千米/时，则动车运行后的平均速度为1.8x ， 由题意得，150150 1.22.5x x=+． 故答案为：150150 1.22.5x x =+． 【题目点拨】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．14、12°．【解题分析】设∠A=x ，∵AP 1=P 1P 2=P 2P 3=…=P 13P 14=P 14A ，∴∠A=∠AP 2P 1=∠AP 13P 14=x ．∴∠P 2P 1P 3=∠P 13P 14P 12=2x ，∠P 2P 3P 4=∠P 13P 12P 10=3x ，……，∠P 7P 6P 8=∠P 8P 9P 7=7x ．∴∠AP 7P 8=7x ，∠AP 8P 7=7x ．在△AP 7P 8中，∠A+∠AP 7P 8+∠AP 8P 7=180°，即x+7x+7x=180°．解得x=12°，即∠A=12°．15、﹣0.5【分析】利用完全平方公式进行因式分解得到2个完全平方式，通过平方的非负性质推导出，n 个非负项相加为0，则每一项为0.【题目详解】解：∵2244220a b a b +-++=，∴()()222110a b -++=，∴21010a b -=⎧⎨+=⎩解得1,12a b ==-， ∴12ab =-． 故答案为：12-． 【题目点拨】利用完全平方公式因式分解，通过平方非负的性质为本题的关键.16、23a b【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加【题目详解】原式=215253232322(2)(2)(2)(32)m n m n m n a b ⨯=⨯=⨯=．故答案为23a b考点：同底数幂的计算17、1【分析】根据90ADC ∠=︒和45ABC ∠=︒得出ABD △为等腰直角三角形，从而有BD AD =，通过等量代换得出∠=∠EBC CAD ，然后利用ASA 可证BDF ADC ≅，则有DF CD =．【题目详解】AD BC ⊥90ADB ADC ∴∠=∠=︒45ABC ∠=︒∴ABD △为等腰直角三角形BD AD ∴=BE AC ⊥90BEC ∴∠=︒90EBC C ∴∠+∠=︒90CAD C ∠+∠=︒EBC CAD ∠∠∴=在BDF 和ADC 中，EBC CAD BD ADBDA ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()BDF ADC ASA ∴≅4DF CD ∴==故答案为：1．【题目点拨】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定方法及性质是解题的关键． 18、2 【分析】先根据平均数的公式121()n x x x x n =+++ 求出x 的值，然后利用方差的公式2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++- 计算即可． 【题目详解】∵3，4，x ，6，7的平均数为5，∴346755x ++++= 解得5x =2222221[(35)(45)(55)(65)(75)]25s ∴=⨯-+-+-+-+-= 故答案为：2【题目点拨】本题主要考查平均数与方差，掌握平均数与方差的求法是解题的关键．三、解答题(共66分)19、（1）14%；（2）90分，85分；（3）420【分析】（1）利用60分的百分比a 等于1减去其他部分的百分比即可得到；（2）先计算得出调查的总人数，找到这组数据从低到高排列的第25、26个得分，即可即可得到中位数； （3）用600乘以80分及以上的百分比即可得到答案.【题目详解】（1）120%30%20%16%14%a ＝﹣﹣﹣﹣＝；（2）①问卷得分的众数是90分，②问卷调查的总人数为： 714%50÷=（人），第25、26个人的得分分别为80分、90分，问卷得分的中位数是8090852+=（分）； （3）600(20%30%20%)⨯++=6000.7420⨯=（人）答：估计问卷得分在80分以上（含80分）的学生约有420人.【题目点拨】此题考查数据的整理计算，能正确计算部分的百分比，求数据的总数，中位数，利用样本的数据计算总体的对应数据.20、要完成这块绿化工程，预计花费75600元．【分析】设小长方形的长为x 米，宽为y 米，根据大长方形周长为76米，小长方形宽的5倍等于长的2倍，据此列方程组求解，然后求出面积，最终求得花费．【题目详解】设小长方形的长为x 米，宽为y 米，由题意得，522(22)76y x x x y =⎧⎨++=⎩， 解得：104x y =⎧⎨=⎩， 则大长方形的长为20米，宽为18米，面积为：20×18=360平方米，预计花费为：210×360=75600(元)，答：要完成这块绿化工程，预计花费75600元．【题目点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据图形，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．21、a -3当a =1时，原式=-2【分析】先将分式进行约分，再将除法转化为乘法进行约分，代值时，a 的取值不能使原式的分母，除式为0.【题目详解】解：原式=(2)(2)(2)(2)a a a a --+-÷2(2)a a a -+-3 =22a a -+⨯(2)2a a a +--3 =a -3当a =1时，原式=1-3=-2.【题目点拨】本题考查了分式的化简求值.关键是根据分式混合运算的顺序解题，代值时，字母的取值不能使分母，除式为0.22、（1）乙；甲；乙槽中圆柱形铁块的高度是14厘米；（2）y 甲=-2x+12，y 乙=3x+2；（3）注水2分钟；（4）84cm 3【分析】（1）根据题目中甲槽向乙槽注水可以得到折线ABC 是乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，点B 表示的实际意义是乙槽内液面恰好与圆柱形铁块顶端相平；（2）根据题意分别求出两个水槽中y 与x 的函数关系式即可；（3）根据（2）中y 与x 的函数关系式，令y 相等即可得到水位相等的时间；（4）用水槽的体积减去水槽中水的体积即可得到铁块的体积；【题目详解】解：（1）由题意可得：∵乙槽中含有铁块，∴乙槽中水深不是匀速增长，∴折线ABC 表示乙槽中水深与注水时间的关系，线段DE 表示甲槽中水深与注水时间的关系，由点B 的坐标可得：点B 的纵坐标表示的实际意义是：乙槽中圆柱形铁块的高度是14厘米；故答案为：乙；甲；乙槽中圆柱形铁块的高度是14厘米；（2）设线段AB 、DE 的解析式分别为：y 甲=k 1x+b 1，y 乙=k 2x+b 2，∵AB 经过点（0，2）和（4，14），DE 经过（0，12）和（6，0），∴1112414b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：1132k b =⎧⎨=⎩， 2221260b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：22212k b =-⎧⎨=⎩， ∴当04x ≤≤时， y 甲=-2x+12，y 乙=3x+2；（3）由（2）可知：令y 甲=y 乙，即3x+2=-2x+12，解得x=2，∴当2分钟时两个水槽水面一样高．（4）由图象知：当水槽中没有没过铁块时4分钟水面上升了12cm ，即1分钟上升3cm ，当水面没过铁块时，2分钟上升了5cm ，即1分钟上升2.5cm ，设铁块的底面积为acm 2，则乙水槽中不放铁块的体积为：2.5×36cm 3， 放了铁块的体积为3×（36-a ）cm 3，∴1×3×（36-a ）=1×2.5×36， 解得a=6，∴铁块的体积为：6×14=84（cm 3）．【题目点拨】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题，解题的关键是理解题意，学会构建方程或方程组解决问题.23、 (1)y ＝m －6x ；(2)当时飞机距地面12km 时，飞机外的气温为－50℃【分析】(1)根据从地面向上11km 以内，每升高1km ，气温降低6℃即可写出函数表达式；(2)将x ＝7，y ＝－26代入(1)中的解析式可求得当时地面的气温；根据地面气温以及飞机的高度利用(1)中的解析式即可求得飞机距离地面12km 时，飞机外的气温.【题目详解】(1) ∵从地面向上11km 以内，每升高1km ，气温降低6℃，地面气温为m(℃)，距地面的高度为x(km)处的气温为y(℃)，∴y 与x 之间的函数表达式为：y ＝m －6x(0≤x ≤11)；(2)将x ＝7，y ＝－26代入y ＝m －6x ，得－26＝m －42，∴m ＝16，∴当时地面气温为16℃；∵x ＝12＞11，∴y ＝16－6×11＝－50(℃)，假如当时飞机距地面12km 时，飞机外的气温为－50℃.【题目点拨】本题考查了一次函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系是解题的关键.24、（1）见解析；（2）60AOE =︒∠【分析】（1）根据等边三角形的性质，三条边都相等、三个内角都是60︒，即可根据边角边定理判定出ABD BCE ∆∆≌． （2）根据全等三角形的性质、三角形的外角定理进行转化即可得出AOE ∠的度数．【题目详解】（1）证明：∵ABC ∆是等边三角形∴AB BC =，ABC C ∠=∠在ABD ∆和BCE ∆中AB BC ABD C BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ABD BCE SAS ∆∆≌（2）解：∵ABD BCE ∆∆≌∴CBE BAD ∠=∠∵60CBE ABE ABC ∠+∠=∠=︒∴60AOE BAD ABE ∠=∠+∠=︒【题目点拨】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定以及性质、三角形的外角定理等知识点，较为基础．25、（1）详见解析；（2）图详见解详， ()()()2,4,0,4,2,1---D E F【分析】（1）根据三点的坐标，在直角坐标系中分别标出位置即可；（2）关于x 轴对称的点的坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数，从而可得出D 、E 、F 的坐标．【题目详解】（1）如图所示：（2）如图所示：()()()2,4,0,4,2,1---D E F【题目点拨】考查了坐标与图形性质、轴对称作图，解答本题的关键是正确的找出三点的位置，另外要掌握关于x 轴对称的点的坐标的特点．26、（1）15+；（2）存在，CD =1或8或58或458．【分析】（1）本小题是典型的“将军饮马”问题，只要作点C 关于直线AB 的对称点E ，连接BE 、DE ，DE 交AB 于点M ，如图1，则此时CMD ∆的周长最小，且最小值就是CD+DE 的长，由于CD 易求，故只要计算DE 的长即可，由轴对称的性质和等腰直角三角形的性质可得BE=BC =2，∠DBE =90°，然后根据勾股定理即可求出DE ，问题即得解决；（2）由于点D 是直线BC 上一点，所以需分三种情况讨论：①当AB=AD 时，如图4，根据等腰三角形的性质求解即可；②当BD=BA 时，如图5，根据勾股定理和等腰三角形的定义求解；③当DA=DB 时，如图6，设CD =x ，然后在直角△ACD 中根据勾股定理求解即可．【题目详解】解：（1）作点C 关于直线AB 的对称点E ，连接BE 、DE ，DE 交AB 于点M ，连接CM ，如图1，则此时CMD ∆的周长最小．∵90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点D 是BC 边的中点，∴∠CBA =45°，BD=CD =1，∵点C 、E 关于直线AB 对称，∴BE=BC =2，∠EBA =∠CBA =45°，∴∠DBE =90°， ∴2222215DE BE BD =+=+=．∴CMD ∆的周长的最小值=CD+DE =15+；（2）由于点D 是直线BC 上一点，所以需分三种情况讨论：①当AB=AD 时，如图4，此时CD=CB =8；②当BD=BA 时，如图5，在直线BC 上存在两点符合题意，即D 1、D 2，∵22224845AB AC BC =+=+=，∴1458CD =-，2458CD =+；③当DA=DB 时，如图6，此时点D 为线段AB 的垂直平分线与直线BC 的交点，设CD =x ，则BD=AD =8－x ，在直角△ACD 中，根据勾股定理，得：()22248x x +=-，解得：x =1，即CD =1．综上，在直线BC上存在点D，使以A，D，B为顶点的三角形是等腰三角形，且CD=1或8或458或58．【题目点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质、两线段之和最小、等腰三角形的性质和勾股定理等知识，属于常考题型，正确分类、熟练掌握上述基本知识是解题的关键．。
两点边值差分算法
while(scanf("%lf",&B)&&B&&n)
{
h=(B-A)/(n+1);
b[1]=(exp(A+1.5*h)+exp(A+0.5*h))/(h*h)+(A+h)*(A+h);
c[1]=2.0*(A+h)/h-exp(A+1.5*h)/(h*h);
n为10时最大误差：0.000937
误差2-范数e[0]：0.000696
输入划分区间的点数n(输入0结束程序）：
20
输入区间左端点的值A：
0
1
xi u(x)的准确值差分法得到的近似值u(i)误差err[i]
0.047619 1.048771 1.048961 0.000190
0.095238 1.099921 1.100161 0.000240
}
a[n]=-exp(A-0.5*h+n*h)/(h*h)-2*(A+n*h)/h;
b[n]=(exp(A+0.5*h+n*h)+exp(A-0.5*h+n*h))/(h*h)+(A+n*h)*(A+n*h);
f[1]=(h*h+(2.0*A+4.0)*h+A*A+4.0*A-2.0*exp(A+h))*exp(A+h)+
void catchup() //用追赶法解对角占优的三对角线方程组
2n阶方程两点边值问题正解的存在性
（ ） Ｖ （） 一 “”（） … ， ，２ ， ，４ ￡ ‘ ｆ ， ２ ｒ （） ３
２０ （ ）一 ２ １ 一 ０ Ｖ （ ） 一 ＂ （ ） 一 ０， ， （） ，４ Ｏ ０ １ ４ … ２ （ ）＝ ， （ ） 一 ０ ２ ０ ２ １ ． （） ４
（）一 （ １ ” ‘ 。（ ） ￡ 一 ）一“ ’ｆ ．
（ １ ｚ ≤ 艿时． 一 ） ２２
２ 准 备 工 作
设 厂 ［ ，］ × Ｈ — Ｒ连续 ， Ｊ １ ， ：ｏ １ × 记 一－ ｏ １， ］对式（）令 １，
一
（２ Ｆ ）对 Ｖｔ － ｏ １ ， Ｅ ｔ ，３ ３届， ， ， ｒ ≥ ０ … Ｉ２ 满足
＋ ＋． ＞，ｃ ｏ得 刍 ． １ ≥使 ． ＋ 及
当 ０ ≤ Ｌ ≤ ， ≤ 一 ｚ ≤ ， ， ≤ ｚ ０ ２ … ０
（ １’ ｚ，２ 一 ） ２ ≤ 时． Ｌ
（４ Ｆ ）对 Ｖｔ Ｅ ，３ ｊ ， ， ， ｚ ０ 足 ∈ ｏ１， 恳 … 岛 ≥ 满
＋ ＋ ＋ ＜，ｃ ｏ得 叁 … 譬 １ ≥使 ： 及
ｆ（， ２ … ，＂ ）≤ 岛 一 ｔｚ， ， ３ ２ ５ ２
２ 阶 方 程 两 点 边 值 问题 正 解 的 存 在 性
许 尔伟 。 尹 雪娟 。 毛 耀 忠 ， ，
（．西北师范大学 数学与信息科学学院 ， １ 甘肃 兰州 ７０ ７ ；．兰州城市学 院 数学学院 ， ３０ ０ ２ 甘肃 兰州 ７０７ ； ３ ０ ０
３ ．兰州城市学院 体育学院 ， 甘肃 兰州 ７ ０ ７ ） ３ ０ ０
摘
要： 察 了 ２ 考 阶 方程 两 点 边 值 问题
（ １ｎ ‘ ｆ ｆ ｔ“ ￡， （） … ，‘ 一 ）“ （）一 （，（） ￡， “ 一
中心差分解两点边值问题
Lhui
(
p
i
1
(ui
)
x
)
x
qiui
fi
2
~
ui ui ui , i I h
…………（2.1）
其中 u i 满足
~
而 u i 满足
(ui ) 0, i Ih , u0 u0, uN uN xx
…………（2.2）
~
~
~
Lh ui fi Lh ui , i Ih ,u0 u N 0
.
.
Ri (u) Lhu(xi ) Lhui Lh (u(xi ) ui )
…………（1.10）
当网格均匀，即 hi h(i 1, 2, , N ) 时差分方程（1.9）简化为
Lhui
1 h2
[
p
i
1
ui1
2
(
p i
1 2
p i
1
)ui
2
p
i
1
ui1
]
ri
2
ui1 ui1 2h
qiui
Lhu(xi )
hi
2 hi1
[
p
i
1
2
u(xi1) u(xi ) hi1
p
i
1
2
u(xi ) u(xi1)] hi
…………（1.9）
hi
ri hi1
[u ( xi 1 )
u(
xi 1 )]
qiu ( xi
)
fi
i=1,2,…,N-1，
u0 , uN
由方程（1.7）（1.9），截断误差 Ri (u) 可表示为
…………（2.3）
~
先估计 u h ，由
数值方法——两点边值问题
数值方法13——两点边值问题
1. 打靶法
打靶法的积分过程是从x1到x2，并且努力使积分结果在积分的终点和边界条件匹配。
在一个边界x1上选择了所有因变量的值，这些值必须和该边界的边界条件保持一致。
而另一个边界x2上的因变量依赖于随机猜测的参数。
在迭代过程中，渐渐地接近真实值，就像打靶一样。
打靶法适合于解震荡的很厉害的情况，精确地运用了多维全局收敛Newton-Raphs on，设法零化n2个变元的n2个函数，这些函数通过从x1到x2积分N个微分方程得到。
1. 打靶法
打靶法的积分过程是从x1到x2，并且努力使积分结果在积分的终点和边界条件匹配。
在一个边界x1上选择了所有因变量的值，这些值必须和该边界的边界条件保持一致。
而另一个边界x2上的因变量依赖于随机猜测的参数。
在迭代过程中，渐渐地接近真实值，就像打靶一样。
打靶法适合于解震荡的很厉害的情况，精确地运用了多维全局收敛Newton-Raphs on，设法零化n2个变元的n2个函数，这些函数通过从x1到x2积分N个微分方程得到。
2. 对拟合点打靶
有时，由于错误严重的起始条件，初始解从x1到x2要碰到某些不可计算的，或是灾难性的结果。
拟合点打靶首先从x1积分到x1和x2之间的一个点x f，然后再从x2反向积分到x f。
3. 松弛法
松弛法用了另外一种逼近方法，微分方程由覆盖积分限的一系列有限个差分方程来替代，试验解由各个网格点上的因变量的值组成，并不满足所需的有限个差分方程和边界条件。
迭代调整所有在网格上的值，使他们满足各个联系的差分方程，也满足边界条件。
适用于解平滑的情况，需要良好的初始预测值。
由两点边值问题谈数值计算方法
方法 ， 文从 有 限差分 方 法和有 限元方 法讨论 入手 ， 本
求ｕ ＥＶ， Ｕ＝ａｕｖ ＝ｆｖ ， ｖ 强解 Ｕ一 即 （ ，） （）Ｖ ＥＶ，
定 是 后面 的弱解。
于是 Ｕ ａｕｖ ＝ ｕｖ ｘ 『ｌ【 ｖ ＝ （，） 砧 ｄ ＝６ｒ ， ＥＶ ｆ ）Ｖ ｄ
术创 新 大 门的钥匙 。这就 使得 社会 对其成 员数 学能
弱形式方程｛（） ＯＵ（） ０ ｕＯ ＝ ， Ｏ ＝
ｔ（ ） ， Ｏ ＝０ ｖ Ｏ ＝０ ｖ（ ）
力 的要 求不 断提 高 ， 期望 涌现 出更 多数学基 础扎 实、
两边对方程进行积分 一ｏ＂ｄ＝ ｆｘＶ Ｓ ． ｖｘ ￣ｖ ，ｖ ｌ ｕ ｄ ｕｖ ｘ ｕ ３＝ ｆ ｘ ｄ一［， ｏ ￣ｖ ｖ￣ ａ 于是变为求 ｕ ， ＝ （，） 砧 ＝ ｆｘ ＥＶ Ｕ ａｕｖ ＝ ｕｖｄ ￣ｖ ｘ ｄ
Ｖｖ Ｖ ∈
创新能力较强、 知识 面宽广、 综合 素质佳 的数学人 才。随着计算机技术 的飞速发展， 由于在 生命科 也
学 、 学 、 理 、 学 、 制、 化 物 力 控 经济 等领 域 有 不少 现 象
（（ ，） 于 ｕｖ双 线 性且 对称 ， ａｕｖ关 ， ｖ＝｛ＥＬ ， ｖ ２ｏ ｒ
・
４０ ・
维普资讯
由 两 点边 值 问题 谈 数 值 计 算 方 法
若ｗ ＃Ｏ则 一定 ｊ一个 区间， ｘ，１ ｃ［ ，］ 使 Ｗ ［ｏＸ］ ０ １ ，
（ ） ０或 ｗ ｘ ＜０ Ｘ＞ （）
假 设 Ｉ Ｎ １ ＞ ＩＮＩ 一 Ｕ Ｉ Ｕ
＝
两 边 问 ｉ０ 点 界 题－ｕ ｕ＂ （
ｆ
两点边值问题的解法
两点边值问题的解法
两点边值问题是数学中常遇到的问题，其解法有很多种，下面是其中一种常见的解法：
1. 分离变量法：将微分方程中的变量分离出来，得到一个只含有一个变量的微分方程，然后求解这个微分方程，得到通解。
2. 特征方程法：对于一些特定类型的微分方程，可以通过求解特征方程来得到通解。
3. 积分因子法：通过引入积分因子，将微分方程转化为一个全微分方程，然后求解这个全微分方程，得到通解。
4. 数值解法：对于一些复杂的微分方程，无法得到解析解，可以使用数值方法来求解，例如有限差分法、有限元法等。
以上是常见的两点边值问题的解法，具体的解法需要根据具体的问题来选择。
在实际应用中，需要根据问题的特点和要求选择合适的解法。
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一．题目用中心差分格式计算如下两点边值问题()()()()()sin 121sin 11,12(1)0,(2)2x xd due x x u x e x x x x x x dx dx u u ⎧⎛⎫-+++=-++++-<<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪==⎩已知其精确解为()(1)u x x x =-二．理论作为模型，考虑两点边值问题：(())()(),d du du Lu p x r q x u f x a x b dx dx dx=-++=<<…………（1.1） (),()u a u b αβ==…………（1.2）假定1min [,],()0,,,[,],,p C a b p x p r q f C a b αβ∈≥>∈是给定的常数。
1. 建立差分格式 （1）.区域网格剖分 首先取1N +个节点：01,i N a x x x x b =<<<<<=将区间[,]I a b =分成N 个小区间：1:,1,2,.i i i I x x x i N -≤≤=于是得到区间I 的一个网格剖分。
记1i i i h x x -=-，称max i ih h =为网格最大步长。
用h I 表示网格内点1x ，2x ，，1N x -的集合，h I -表示内点和界点0,N x a x b ==的集合。
取相邻节点1,i i x x -的中点1121()(1,2,,)2i i i xx x i N --=+=，称为半整数点。
则由节点013112222N i N a x x x xxx b --=<<<<<<=又构成[,]a b 的一个网格剖分，称为对偶剖分。
（2）.微分方程的离散，建立相应差分格式用差商代替微商，将方程（1.1）在内点i x 离散化.注意对充分光滑的u ，由Taylor 展式有2211121()()[][]()2i i i i i i i i u x u x h h du d uO h h h dx dx+-++--=+++………（1.3）23311113222233132()()()[][]()24[][]()1.424i i i i i i i i i i u x u x h du d up x p p O h h dx dx h du d upp O h dx dx------=++=++⋯⋯⋯⋯（）23311113122()()()[][]()24i i i i i i i u x u x h du d u p x p p O h h dx dx +++++-=++………（1.5）由（1.5）减（1.4），并除以12i i h h ++，得 111111223211131222321123()()()()2[()()]2([][])[]()12[()][()][]()412i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i u x u x u x u x p x p x h h h h h h du dud u p p p O h h h dx dx dx h h h h d du d du d u p p p O h dx dx dx dx dx+-+-++++-+++---+-=-+++--=+++…………（1.6）令1122(),(),(),(),i i i i i i i i pp xr r x q q x f f x --====则由（1.3）（1.6）知，边值问题的解()u x 满足方程：11111122111()()()()2()[][()()]()()i i i i h i i i i i i i ii i i i i i i i u x u x u x u x L u x p p h h h h r u x u x q u x f R u h h +-+-+++-+--≡--++-+=++ …………（1.7）其中23221232111()()([()][][])()4122i i i i i i d du d u d uR u h h p p r O h dx dx dx dx+=--+-+…………（1.8） 为差分算子h L 的截断误差，舍去()i R u ，便得逼近边值问题（1.1）（1.2）的差分方程：11111122111()()()()2()[][()()]()i i i i h i i i i i i i ii i i i ii i u x u x u x u x L u x p p h h h h r u x u x q u x f h h +-+-+++-+--≡--++-+=+…………（1.9）i=1,2,…,N-1，0,N u u αβ==由方程（1.7）（1.9），截断误差()i R u 可表示为()()(())i h i h i h i i R u L u x L u L u x u =-=- …………（1.10）当网格均匀，即(1,2,,)i h h i N ==时差分方程（1.9）简化为11111111222221[()]2i i h i i i i i i i i i i i i u u L u p u p p u p u r q u f h h +-+-++---=--++++= …………（1.11）这相当于用一阶中心差商，二阶中心差商依次代替（1.1）的一阶微商和二阶微商的结果。
这个方程就是中心差分格式。
截断误差为：2322232111()([()][][])()4122i i i i d du d u d uR u h p p r O h dx dx dx dx=-+-+…………（1.12） 所以截断误差按0||()||h R u 或||()||h c R u 的阶为2()O h 。
在本题中，()xp x e =，()0r x =，()sin 1q x x x =++，()()()()21sin 11xf x e x x x x x =-++++-0α=，2β=因为r=0方程（1.11）的系数对角矩阵是三对角矩阵。
我们可以用消元法或迭代法求解方程组（1.1）（1.2）式（1.11）用方程组展开：323111*********21111112222222113113212222222111[()]111[()]111[()]k k k k k k k k k N N N N N N N N N p u p p q u p u f h h h p u p p q u p u f h h h p u p p q u p u fh h h +-++----------⎧-+++-=⎪⎪⎪⎪⎪-+++-=⎨⎪⎪⎪⎪-+++-=⎪⎩323111112222222131132112222222111[()]111[()]N N N N N N N N p u p p q u f p h h h p p q u p u f p h h h αβ--------⎧-+++=+⎪⎪⇒⎨⎪++-=+⎪⎩写成矩阵形式为：311322222155332222222222553232221222231312222211()000111()0011100()11000()N N N N N N N N N N N p p q p h h u p p p q p h h h u u p p p q p u h h h p p p q h h -----------⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭++--++--++--++112222112211N N N f p h f f f p h αβ---⎛⎫+ ⎪⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪+ ⎪⎝⎭2.收敛性分析根据（1.10）我们引进误差()i i i e u x u =-则误差函数()h i i e x e =满足下列差分方程：0()1,2,,10h i i N L e R u i N e e =⎧=-⎨==⎩于是收敛性及收敛速度的估计问题，就归结到通过右端()i R u （截断误差）估计误差函数h e 的问题。
由（1.12）我们知，有lim ||()||0h h R u →=从而差分方程满足相容条件。
若引进记号1,()i i i xi xi v v v v h ----==，1,1()i i i x i x i v v v v h ++-==，1,()i i i x i x iv vv v h∧∧+--==，11()2i i i h h h -+=+，0112h h -=，12N N h h -=设min 0p c =则可将（1.9）改写为12(())h i i i i i i x xL u pu q u f -∧-=-+=将差分解i u 表成~,h i i i u u u i I --=+∈ …………（2.1）其中i u -满足00()0,,,i N h N xxu i I u u u u -∧---=∈== …………（2.2）而~i u 满足~~~0,,0i i N h i h h L u f L u i I u u -=-∈== …………（2.3）先估计~h u ，由~~~~200||()||(,)(,)(,)h h h h h h h h h h h I h I h I xc u f L u u f u L u u ---≤-=- …………（2.4）据差分格林公式~~~(,)((),())(,)h h h h h h h h h h I h I h I xxL u u p u u q u u -----=+再利用柯西不等式，有常数1c 使~~1020|(,)|[||()||||||]||()||h h h h h h h I xxL u u c u c u u -----≤+ …………（2.5）将不等式（2.6）用于（2.5）右端，则~1201000001||()||||||||()||||||h h h h x x c c u f u u c c c -----≤++ …………（2.6）解差分方程（2.2，易得）0()N i i u u u x a u b a--=-+- 从而00||()||||h N xu u u --=-00|||||||||)hh i N i I u u u u ---∈≤≤+这样，10|||||||)h N u u u -≤+ …………（2.7）利用范数1||||h u -，从（2.7）推出12011001||()||||||||||h h h x c c u f u c c ----+≤+ …………（2.8）因为~~00||||||()||2h h x b a u u --≤因此~~~100~0121100||||||||||()||(1)||()||21(1)[||||||||]2h h h xh x h h u u u b au c c b a f u c c ----≤+-≤++-≤++ …………（2.9）联结（2.1）（2.7）及（2.9）即得差分解的先验估计：~1111120||||||||||||||||(||||)h h h h N u u u M f M u u --≤+≤++ …………（2.10）其中1012201(1),2(1)]2b aM c c c b a M c -=++-=++不等式（2.10）说明差分解连续依赖于右端和边值，因此差分格式（1.11）关于右端及边值稳定.根据定理1.1 ： 若边值问题的解u 充分光滑，差分方程按||||R 满足相容条件且关于右端稳定，则差分解h u 按||||收敛到边值问题的解，且有和||()||h R R u 相同的收敛阶。