选修4_2矩阵与变换1、2
人教版高中数学选修4-2课件：2.4逆变换与逆矩阵
解：(1)设矩阵 A 的逆矩阵为 B＝ca db，
则13
2 a 4 c
b d
a＋2c＝1， ＝10 01，得b3＋ a＋2d4＝ c＝00，，
3b＋4d＝1，
a＝－2， b＝1， 解得c＝32， d＝－12，
－2 1
所以 B＝3 2
－12.
(2)设直线 l 上任一点 P(x，y)经过 B 对应变换变为点 P(x′，y′)，
2.4 逆变 换与 逆矩 阵
2.4.1 逆矩 阵的 概念
理解教材 新知
把握热点 考向
应用创新 演练
考点一 考点二
2.4
逆变换与逆矩阵
2．4.1 逆矩阵的概念
1．逆矩阵的定义 对于二阶矩阵A、B，若有_A_B__＝__B_A_＝ ___E_，则称A是可逆 的，B称为A的逆矩阵，记为A－1.
2．逆矩阵的性质 (1)若二阶矩阵 A、B 均可逆，则_A__B_也可逆，且_(_A_B_)_－_1_＝__B_ _－_1A__－_1_. (2)已知 A、B、C 为二阶矩阵且 AB＝AC，若 A 存在逆矩阵， 则_B__＝__C_.
求满足 AXB＝C 的矩阵 X.
[思路点拨] 由 AXB＝C 得 X＝A－1CB－1，从而求解．
[精解详析] ∵A－1＝－23 －12，
B－1＝－21 －32，
∴X＝A－1CB－1＝－23
－2 0 1 1
1
2
0 －1
＝－12
－3
2
2 －1
－23＝－10
01.
－3 2
此种题型要特别注意左乘还是右乘相应的逆矩 阵，若位置错误，则得不到正确结果，原因是矩阵 乘法并不满足交换律．
11＝－223
2 1－
人教A版高中数学选修4-2 第四讲 一 变换的不变量与矩阵的特征向量 课件(共32张PPT)
量.
∴齐次线性方程组②有非零解的充分必 要条件为它的系数矩阵的行列式等于0.
即： λ－a －c
－b λ－d = 0.
记：f
(λ)
=
λ－a －c
－b λ－d
= λ2－(a + d )λ + ad－bc = 0.
③
（其中 f (λ) 称为矩阵A的特征多项式, f (λ) = 0
称为矩阵A的特征方程）
解得： λ = λ1 ,λ2 .
则 ξ 满足①式,所以ξ是矩阵A的一个特征向
量.
∴齐次线性方程组③有非零解的充分必
要条件为它的系数矩阵的行列式等于0.
即：
λ－2 －1
－2 λ－3 = 0
∴(λ－2)(λ－3)－(－2)(－1) = 0.
Ⅰ. 把 λ1 = 1 代入方程组③,得： 令y=－1,则x=2.
解得：λ1 = 1，λ2 = 4. －x－2 y = 0,
2.是否存在向量,使得该向量在这个线性 变换的作用下有某种“不变性” ?
对于伸缩变换ρ：
x′ y′ =
1 0
0 2
x y
研究其“不变量”
从几何直观上
只有x轴和平行于y轴的直线在ρ的作用
下保持不变.
伸缩变换只把形如 α =
k1 0
0 ，β =
k2
的向
量变为与自身共线的向量 α =
k1 0
，2β =
思考
矩阵A的属于特 征值λ的特征向量有 几个呢?
∵
ξ1
=
1 0
是矩阵A的属于特征值λ=1的
特征向量
∴
10
1
1
=1
02 0
0
∵ 1 0 k1 = 1 k1
北师大版高中数学选修4-2矩阵与变换矩阵变换的性质
列行变变换换：： AAcriicrjjBB
EAiEjAij BB
AAcriikkBB AAcriikkcrjjBB
EAiE(ki ()kA) BB
AEEijj(ik()kA)B B
如：
1 0 0 a11 a12 a13 E23(k)A 0 1 k a21 a22` a23
这表明，只经过初等行变换便可将A化成单位矩阵。
用初等变换求逆矩阵
1.用初等变换求逆矩阵
设A是n阶可逆矩阵则A-1 也可逆。 从而存在初等阵P1，P2，…,Ps
使 A1 P1P2 Ps
由 A-1A=E; A-1E= A-1;
得 : P1P2…PsA=E
P1P2…PsE=A-1
结论: 若经过一系列初等行变换将A化成单位矩阵
1 2 1 0 1 0
A
E
1
2
1
0 1 0 r1r2 2
1
0 1 0 0
0 1 2 0 0 1
0 1 2 0 0 1
1 2 1 0 1 0
1 2 1 0 1 0
r2 2r10 3 2 1 2 0 r2 r30 1 2 0 0 1
，使
A=P1P2…Pk.
因初等阵是可逆矩阵,且可逆阵的积还是可逆阵，所
以A可逆。
必要性：设A是可逆阵，所以R(A)=n
A经初等变换可以化成单位矩阵E，从而经有限次初等
变换可以将E变成A，
存在有限个初等阵P1，P2，…,Pl，Pl+1，…,Pk，使 A= P1P2…PlEPl+1…Pk，
即
A= P1P2…Pk，
E时，则施行同样的一系列的初等行变换就把单位矩
2014年人教A版选修4-2课件 1. 逆变换与逆矩阵
问题1. 在直角坐标系 xOy 平面内, 对任意向量 a 作旋转变换 R30, 你能否找到一个变换 s, 使 s · (R30a) =a, 或 R30· (s a)=a? y
a
x
3 1 3 -1 2 2 2 2 , 存在二阶矩阵 对于二阶矩阵 , 3 3 - 1 1 2 2 2 2 使得 3 1 3 -1 3 -1 3 1 2 2 2 2= 2 2 2 2 =E . 2 3 1 3 1 3 - 1 3 - 1 2 2 2 2 2 2 2 2 问题2. 从问题 1 中, 你得到一个什么结论? 从中 有什么猜想? 已知一个变换, 是否存在一个变换, 使它与已知 变换的复合变换是一个恒等变换? 已知一个矩阵, 是否存在一个矩阵, 使它与已知 矩阵的乘积是一个单位矩阵? 为解决以上问题, 下面再看一个例题.
如图, 向量 a 作 30 旋转变换 后得 a. 如果将 a 作 -30 旋转变换后 O 就又回到了向量 a. 即 3 1 3 -1 2 x 2 x 2 2 y = y . 1 3 3 - 1 2 2 2 2
R-30
问题1. 在直角坐标系 xOy 平面内, 对任意向量 a 作旋转变换 R30, 你能否找到一个变换 s, 使 s · (R30a) =a, 或 R30· (s a)=a? y
一般地, 设 是一个线性变换, 如果存在线性 变换 s, 使得 s· =· s =I, 则称变换 可逆, 并且 称 s 是 的逆变换. 用矩阵的语言叙述为: 设 A 是一个二阶矩阵, 如果存在二阶矩阵 B, 使得 BA=AB=E2, 则称矩阵 A 可逆, 或称矩阵 A 是可逆矩阵, 并且称 B是 A 的逆矩阵.y y O源自ax kya
高中课标课程选修4-2《矩阵与变换》教学参考四 伸缩变换及其在有关面积求解中的应用
高中课标课程选修4-2《矩阵与变换》教学参考(四)伸缩变换及其在有关面积求解中的应用李云杰1陈清华21福建福清第三中学(350315)2福建师范大学数学与计算机科学学院(350007)通过变换(诸如全等、相似、平移、伸缩、旋转等)对几何图形进行分类，是几何学研究的重要内容，揭示在不同变换下几何图形的不变性质或不变量是研究这类问题的基本思想方法.在几何学中，我们已经接触过几类变换，这些变换为研究几何问题提供了方便，下面以伸缩变换为例谈变换思想的应用.1伸缩变换与仿射变换1.1仿射变换的定义与性质平面上的点之间的一个变换111213212223''x a x a y a y a x a y a =++=++，111221220a a a a =≠,叫做仿射变换，仿射变换的逆变换也是仿射变换.仿射变换的图形不变性有①同素性：点变为点，线变为线；②结合性：把共线点变为共线点，把不共线变为不共线点；③平行性：把平行的直线变为平行直线，把相交直线变为相交直线；④共线三点的简单比不变.仿射变换的不变量是指两平行线段之比、两个封闭图形的面积之比.例1(2007年高考江苏卷第10题)在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域{(,)B x y x y =+|(,)x y }A ∈的面积为()A ．2B ．1C ．12D ．14解析：本题实质是以仿射变换思想为背景，求一封闭图形区域经过仿射变换后图形区域的面积.仿射变换u x y v xy=+=对应的行列式1111的绝对值是2，先做出区域A ，求出区域A 的面积是1/2，故区域B 的面积是1212×=.故选B.评注：本题的解法摆脱线性规划的禁锢，利用了“两个三角形面积之比是仿射不变量”，居高临下，让人耳目一新.1.2伸缩变换的定义伸缩变换是中学几何中常提到的一种变换，其代数表达式为'1'2,x k x y k y==，表示将每个点的横坐标变为原来的1k 倍，纵坐标变为原来的2k 倍，其中1k ，2k 均为非零常数.一般的伸缩变换我们用矩阵1200k k 来表示，其中120k k ≠.伸缩变换实质是特殊的仿射变换.2伸缩变换的性质众所周知，椭圆的许多性质可以利用圆进行类比发现.利用伸缩变换将椭圆方程变换为圆的方程，从而研究它的一些性质.即若椭圆方程2222:x y C a b +=1，在伸缩变换100/a b作用下，得到的圆方程为222:C x y a ′+=．这样，圆的方程和椭圆的方程可以相互转化．由椭圆变为圆，除了满足以上仿射变换的性质外，还可进一步细化为如下几个不变性质：1.二次曲线在变换后的次数保持不变；2.变换前直线与椭圆的位置关系与变换后直线与圆的位置关系不变；3.椭圆上的线段长或圆弧长的比值与变换后圆上的线段长或圆弧长的比值不变；4.两条平行(重合)或相交的直线在变换后仍是两条平行(重合)或相交的直线；5.同一条直线(或平行直线)上的线段比值在变换前后不变；2008年第6期福建中学数学116.一条直线的像仍是一条直线，且若原直线的斜率为k ，则变换后的直线斜率为a kb .3伸缩变换在有关面积求解中的应用湘教版选修4-2《矩阵与变换》P 57的定理3为:定理：线性变换将平面上所有的图形的面积放大或缩小同一个倍数，这个倍数就是变换所对应矩阵的行列式的绝对值.即若椭圆方程22221x y a b +=在伸缩变换100/a b作用下，变换后圆的方程为222x y a +=，则变换后的多边形(内接多边形、外切多边形等)面积为原来的/a b.因此，解决椭圆的一些问题可以转化为圆的相关问题去解决，特别是有关椭圆的最值问题，解题思路显得新颖、简捷.3.1证明有关椭圆的性质如果要证明的图形性质是属于图形的仿射性，就可以利用该图形的仿射等价图形来代替该图形加以证明，这体现了“由此及彼”的变换思想，从而为数学的解题提供了新的思维方式．例2(阿波罗尼定理)以椭圆的任意一对共轭半径为邻边的平行四边形的面积为定值.证明：设椭圆O ′:22221x ya b+=是由圆O 22:x y +2a =经伸缩变换'',:(/)x x y y a b ==得到，这里的,a b 分别为椭圆的长半轴和短半轴的长.显然这两个半轴共轭，且由它们为邻边的平行四边形为矩形，其面积等于ab .设,O A O B ′′′′分别是圆的共轭半径,OA OB 在变换作用下的像，对于椭圆中任意一对共轭半径,O P O R ′′′′，设它们分别是圆的共轭半径,OP OR 的像.因为圆的共轭半径都是互相垂直的，所以在圆中以共轭半径为邻边的平行四边形都是面积相等的正方形，即O P Q R O ACB S S =.由仿射变换保持对应图形的面积比不变，所以O P Q R O AC BO PQR OA CBS S S S ′′′′′′′′=.故O Q R O B S S ′′′′′′′′==为定值 3.2计算椭圆的内接n 边形的最大面积我们说平面上的每个图形都可以用平行于坐标轴的直线近似地划分成一些很小的矩形小块的并集.整个图形的面积近似地等于这些矩形小块面积的和.既然每一小块的面积都被放大同一个倍数，整个图形也被放大同样的倍数，虽然这种划分是近似的，但是，分得越细，误差越小.无限细分，误差趋于0.进而得到椭圆的面积为ab π，甚至也可以得到椭圆的内接n 边形的最大面积.例3试证椭圆22221x y a b +=的内接n 边形的最大面积为2sin2na b n π.解析：椭圆22221x y a b +=在伸缩变换10a b 作用下，变换后圆的方程为222x y a +=．又因为内接于半径为R 的圆的一切(3)n n ≥边形中以正n 边形的面积最大，即212sin 2S nR nπ≤.由前面介绍的定理，得到21212sinsin 22bb S S na nab a a nnππ′=≤=.评注：1)当3n =时，椭圆的内接三角形的最大面积为334ab ；当4n =时，椭圆的内接四边形的最大面积为2ab ；(2)类似地，可以得到外切于椭圆22221x y a b +=的(3)n n ≥边形的最小面积为tannab nπ.3.3利用伸缩变换解竞赛题例4(2006年全国高中数学联赛福建预赛第12题)在平面直角坐标系xoy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(23,0)F ，右顶点为D (4，0).设点A 的坐标是(2，1)，过原点O 的直线交椭圆于点B 、C ，则△A BC 面积的最大值是?解析：由已知得椭圆的半长轴a =4，半焦距12福建中学数学2008年第6期P AC ab .23c =，则半短轴b =2.又椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆的标准方程为221164x y +=.而椭圆方程221164xy+=在伸缩变换','2x x y y==作用下，变为圆的方程2216x y +=，此时点(2,1)A 变为点(2,2)A ′.要求△ABC 面积的最大值问题转化为先求过原点做直径B C ′′，使△ABC ′′′面积最大.又根据圆的性质，当OA BC ′′′⊥时，点A ′到直径B C ′′的距离取到最大值，此时△AB C′′′的面积为1128228222R OA ′=××=最大.再由定理，知182422ABCA BC b S Sa ′′′==×=.故填42.4.利用伸缩变换解高考题例5(2006年高考山东文科卷)已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4.(I)求椭圆的方程；(II)直线l 过点P(0，2)且与椭圆相交于A 、B 两点，当△AOB 面积取得最大值时，求直线l 的方程.解析：(I)易求椭圆方程为22121xy+=.(II)椭圆22121x y +=在伸缩变换','2x x y y==作用下，变为圆的方程222x y +=，此时点P(0，2)在伸缩变换1002作用下变为(0,22)P ′.由题意知直线l 的斜率K 存在且0K ≠时，设直线l 的方程为2y Kx =+，则直线l ′的方程为22y kx =+1()2bK k k a ==，原点到该直线l ′的距离2221d k =+，弦长22222826222211k AB Rd k k ′′===++，故ΔA OB 面积为22211262222211AO Bk S AB d k k ′′′′′==++2222622(1)(1)k k k =++令226(0),m k m =>则2262m k +=，从而21224218612AO Bm Sm m m ′′′==≤+++，当且仅当8m m=，即22m =时，ma x 1S =，此时7k =±.所以原直线l 的斜率114(7)22b K k a ==×±=±，故所求直线方程为14240x y ±+=.高中课标课程选修4-5《不等式选讲》教学参考(二)柯西不等式杨恩彬1,2柯跃海11福建师范大学数学与计算机科学学院(350007)2福建省宁德第一中学(352100)柯西不等式是大数学家柯西在研究数学分析学的过程中发现的．柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，不仅形式优美，而且具有非常重要的应用价值．因而《普通高中数学课程标准(实验)》中将柯西不等式列入高中数学的选学内容．2008年第6期福建中学数学13。
高中数学选修4-2矩阵切变变换课件.ppt
ABC
变换成 △
ABC
的变换，其中
A(2,1)
，
。
五、小结
1．切变变换与切变变换矩阵的概念。
1 k 0 1
2． 是沿x轴方向的切变变换，x轴上的 点是不动点。
3． 是沿y轴方向的切变变换，y轴上的 点是不动点。 4．切变变换保持图形面积不变。 六、作业 课本P34. 11 课课练 第5课
三、应用
D(2, 2) C (2, 2) ， B(2,0) ， 例1．已知矩形的项点 A(2,0)， 。
1 0 1 2 1
⑴求矩形ABCD在矩阵 几何图形。
作用下变换得到的
1 ⑵求矩形ABCD在矩阵 1 2 何图形。
0 1
作用下变换得到的几
例2．如图所示，已知矩形ABCD在变换T的作用下 变成图形 ABCD，试求变换T对应的矩阵M。
试求变换对应的矩阵M，并指出矩形区域 ABCD变换过程中的不变线段。
AB C D
1 2．考虑直线 x y 2 在矩阵 1 作用下变换得到的 0 1 几何图形。
3．如图，求把△
A(2, 3) ， B(0,1) ，C（0，-1）， B(0,1)，C (0, 1)
图2
图1
问题2：仔细观察，你发现了什么
问题3：你能将问题数学化吗？
图3
图4
1．切变变换、切变变换矩阵 1 k 1 0 象由矩阵 确定的变换通常叫做切变变换， 对应的矩阵叫做切变变换矩阵。
1 k 2． 0 1 沿x轴方向的切变变换。对于原图形中的任
0 1
S
F
一块矩形材料，当它的两个侧面受到与侧面平 行的大小相等方向相反的力作用时，形状就要 发生改变，如图，这种形式的形变叫切变。
人教版高中数学选修 4-2矩阵变换 第三章 第一节 逆变换与逆矩阵
导入新课除了我们已学过的一些矩阵的性质之外还有其他性质么?知识回顾矩阵乘法的运算性质结合律(ab)c=a(bc)交换律ab=ba消去律设a≠0,若ab=a,则b=c;若ba=ca,则b=c.类比实数的乘法运算中有一条重要的运算性质：.aa a a ,a 1=1•=•10则如果 ≠把恒等变换I 和单位矩阵E 作为数1的类比对象知识与能力掌握逆矩阵的概念和简单性质过程与方法●通过线性变换理解逆矩阵的性质情感态度与价值观●培养学生提出问题,解决问题的能力重点：●逆矩阵的概念与简单性质.●逆矩阵的概念;●用线性变换的角度理解逆矩阵的简单性质.难点：探究1对于一个线性变换ρ,是否存在一个线性变换σ,使得σ·ρ=ρ·σ= I ?对于一个二阶矩阵A,是否存在一个二阶矩阵B,使得AB=BA=E?Oyx30°R －30°R 30°αα′例1 旋转变换R 30°：.y x y ,y x x 23+21=′2123=′－R －30°：.y x y ,y x x 23+21=′21+23=′－对于直角坐标系xOy 内的任意一个向量α由图可得：α′ αα有：（R 30°· R －30°）= R 30°（R －30°）= α α α同理可得：R －30°· R 30°=I∴R 30°· R －30°= I23212123－23212123－对于二阶矩阵,存在二阶矩阵,使得23212123－23212123－23212123－23212123－==E 2思考一般的旋转变换Rψ,也有相似的结论么?探究2对于切变变换、伸缩变换、反射变换等线性变换,能否找到一个线性变换,使得它们的复合变换是恒等变换I?同学们:我会了哦!你们会了么?类比书本看看答对了么?定义设ρ是一个线性变换,若存在线性变换σ,使得σρ=ρσ= I,则称变换ρ可逆,并称σ是ρ的逆矩阵.用矩阵的语言表述:设A是一个二阶矩阵,若存在二阶矩阵B,使得AB=BA=E2,则称矩阵A可逆,或A是可逆矩阵,并称B是A的逆矩阵.设A是一个二阶可逆矩阵,对于对应的线性变换为ρ,由矩阵和变换的对应关系,得到A的逆矩阵就是ρ逆变换对应的矩阵.思考是否每一个二阶矩阵都可逆?若能,请说明理由;若不能,请举例说明.答案:不是.如A =0012探究31.若一个线性变换是可逆的,则它的逆变换是唯一的么?2.若一个二阶矩阵是可逆的,则它的逆矩阵是唯一的么?以例1中的两个旋转变换为例反证法证明:假设不唯一,则存在变换R 30°的任意一个逆变换σ,使得σ R 30°= R 30°σ= I .∴对平面上任意一个向量有,α()()()()()().R I R R R R R R R I α=α=ασ•=ασ=ασ=ασ=ασ°30°30°30°30°30°30°30°30 －－－－－）（.=σ°30假设不成立－,R ∴∴逆变换是唯一的.性质1设A是一个二阶矩阵,若A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.证明：设B,B2都是A的逆矩阵,则1B1A=AB1=E2,B2A=AB2=E2.∴B=E2B1=(B2A)B1=B2(AB1）1=B2E2=B2.即：B=B2.1探究4两个可逆变换的复合变换仍可逆么?yy ,x x 2=′=′伸缩变换ρ:yx y ,y x x 23+21=′2123=′－旋转变换R 30°:它们的逆矩阵分别为:y y ,x x 21=′=′：－ρ1yx y ,y x x 23+21=′21+23=′－R －30°:任意一个平面向量: = .αy x 先经ρ·R 30°的复合变换,再经R －30°·ρ－1,最终仍得到α如图:ρOyxαR °30－R °30ρ1－()()().RR R R .I R R I R R 1°301°3011°30°30°301°30°30°301ρ=ρ=ρ•,ρ•=ρ•ρ•=ρ••ρ－－－－－－－－－且可逆即：变换）（类似：；）（∴性质2设A , B是二阶矩阵,若A,B都可逆,则AB 也可逆,且(AB)－1=B－1A－1.证明：∵(AB)(B－1A－1)=A(BB－1)A－1=AE2A－1=AA－1=E2,(B－1A－1) (AB)= B－1( AA－1)B= B－1E2B= B－1B=E2,即:(AB)(B－1A－1)=(B－1A－1)(AB)=E2∴AB可逆,且(AB)－1 = B－1A－1.课堂小结1. A是一个二阶矩阵,若存在二阶矩阵B,使,则称矩阵A可逆.得AB=BA=E22.A是一个二阶矩阵,若A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.3.A, B是二阶矩阵,若A,B都可逆,则AB也可逆,且(AB)－1=B－1A－1.教材习题答案：）伸缩变换（ρ11.：其逆变换为可逆σ,kyy ,x x =′=′yky ,x x 1=′=′：轴的反射变换）关于（ρ2x 可逆，yy ,x x －=′=′.y y ,x x －=′=′：其逆变换为ρ1201－1201）（12.其逆矩阵为可逆,10021021）（2其逆矩阵为可逆,1000）（3不可逆θθθθcos sin sin cos －θθθθcos sin sin cos －）（4其逆矩阵为可逆,()()..I I .I ,I ,.逆变换是唯一的则矩阵都是它的逆，是可逆的，设线性变换∴∴σ=σ•=σ•ρ•σ=σ•ρ•σ=•σ=σ=ρ•σ=σ•ρ=ρ•σ=σ•ρσσρ322212*********().A AA .E A A A A ,E A A A A ,A .=====41111111－－－－－－－可逆且即：则可逆设二阶矩阵∴()()()()()().A A A .E A A EA A A A A A A A ,E A A A AE A AAA A A .E A A A A ,A .211221111221111121211===========5－－－－－－－－－－－－－－也可逆且则可逆设二阶矩阵∴∴∴。
高中数学选修4-2《矩阵与变换》.2.4旋转变换
长叹
固执
可彻，曾不若孀妻弱子。虽我之死，
通
有子存焉；子又生孙，孙又生子；
子又有子，子又有孙；子子孙孙，无
穷尽
穷匮也，而山不加增，何苦而不平？”
担心什么铲不平？
河曲智叟亡以应。
没有。通“无”
译文：
北山愚公长叹一声说：“你思想顽固，顽 固到了不通事理的程度，连寡妇孤儿都不如。 即使我死了，还有儿子在呀；儿子又生孙子， 孙子又生儿子；儿子又有儿子，儿子又有孙子； 子子孙孙没有穷尽的，可是山不会增高加大， 还担心什么挖不平？”智叟没有话来回答。
“方七百里”
山的面积
“高万仞”
山的高度
“本在冀州之南，河阳之北” 地理位置
作用：衬托移山的艰难，更能突出愚公的品质。 这是故事的背景，为下文愚公移山埋下伏笔。
朗读课文，说说写了愚公移山的哪些内容。
原因： “惩山北之塞，出入之迂也”。 目的： “指通豫南，达于汉阴”。 倒土的地点： “投诸渤海之尾，隐土之北”。 具体的行动： “遂率子孙……运于渤海之尾”。
五、特殊句式 1.甚矣，汝之不惠 倒装句 2.本在冀州之南，河阳之北 省略句 3.且焉置土石 倒装句，疑问代词“焉”提前。
4.遂率子孙荷担者三夫 省略句，省略主语愚公。倒装句，定语“三 夫”后置。
5.告之于帝 倒装句，状语“于帝”后置。
6.帝感其诚 被动句，译为：天帝被他的诚心所感动。
细读感悟
年且九十 且焉置土石
且焉置土石 始一反焉
面山而居 何苦而不平 而山不加增
将近 况且
疑问代词，哪里。 加强语气
表修饰 表承接 表转折
三、古今异义 1.河阳之北 （古：山之南，水之北 2.惩山北之塞 （古：苦于 3.达于汉阴 （古：山之北，水之南