高考总复习精品教学案：概率单元
概率单元例1．1) 一个盒子装有5个白球3个黑球，这些球除颜色外，完全相同，从中任意取出两个球，求取出的两个球都是白球的概率；(2) 箱中有某种产品a 个正品，b 个次品，现有放回地从箱中随机地连续抽取3次，每次1次，求取出的全是正品的概率是（ ）A ．33b a a C C +B ．33ba a A A + C ．33)(b a a + D ．33b a a A C -(3) 某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是多少？解：（1）从袋内8个球中任取两个球共有2828=C 种不同结果，从5个白球中取出2个白球有1025=C 种不同结果，则取出的两球都是白球的概率为1452810)(==A P （2）33)(b a a + （3）73250135115=⋅=C C C P 变式训练1. 盒中有1个黑球9个白球，它们除颜色不同外，其它没什么差别，现由10人依次摸出1个球，高第1人摸出的是黑球的概率为P 1，第10人摸出是黑球的概率为P 10，则 （ ）A ．110101P P =B ．11091P P =C ．P 10＝0 D ．P 10＝P 1解：D例2. 甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n 个白球，两甲、乙两袋中各任取2个球.(1) 若n ＝3，求取到的4个球全是红球的概率；(2) 若取到4个球中至少有2个红球的概率为43，求n.解：（1）记“取到的4个球全是红球”为事件60110161)(.25222422=⋅=⋅=C C C C A P A .（2）记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B ，“取到的4个球只有1个红球”为事件B 1，“取到的4个球全是白球”为事件B 2，由题意，得)(.41431)(1B P B P =-=22112422222241212++⋅++⋅⋅=n n nn n C C C C C C C C C C )1)(2(322++=n n n )1)(2(6)1()(22224222++-=⋅=+n n n n C C C C B P n n 所以)1)(2(32)()()(221++=+=n n n B P B P B P 41)1)(2(6)1(=++-+n n n n ，化简，得7n 2－11n －6＝0，解得n ＝2，或73-=n （舍去），故n ＝2.变式训练2：在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于 （ ）A ．72B ．83C ．73D ．289解：A例3. 袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1) 取出3个小球上的数字互不相同的概率；(2) 计分介于20分到40分之间的概率.解：（1）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则32)(31012121235=⋅⋅⋅=C C C C C A P （2）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C ，则P(C)＝P(“ξ＝3”或“ξ＝4”)＝P(“ξ＝3”)＋P(“ξ＝4”)＝3013103152=+变式训练3：从数字1，2，3，4，5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，计算：① 这个三位数字是5的倍数的概率；②这个三位数是奇数的概率；③这个三位数大于400的概率.解：⑴15 ⑵35 ⑶25例4. 在一次口试中，要从20道题中随机抽出6道题进行回答，答对了其中的5道就获得优秀，答对其中的4道就可获得及格．某考生会回答20道题中的8道题，试求：（1）他获得优秀的概率是多少？（2）他获得及格与及格以上的概率有多大？解：从20道题中随机抽出6道题的结果数，即是从20个元素中任取6个元素的组合数620C ．由于是随机抽取，故这些结果出现的可能性都相等．(1)记“他答对5道题”为事件1A ，由分析过程已知在这620C 种结果中，他答对5题的结果有6518812700C C C +=种，故事件1A 的概率为()162070035.1938P A C ==(2)记“他至少答对4道题”为事件2A ，由分析知他答对4道题的可能结果为6514288128125320C C C C C ++=种，故事件2A 的概率为：()26205320751P A C ==答：他获得优秀的概率为351938，获得及格以上的概率为7.51变式训练4：有5个指定的席位，坐在这5个席位上的人都不知道指定的号码，当这5个人随机地在这5个席位上就坐时.(1) 求5个人中恰有3人坐在指定的席位上的概率；(2) 若在这5个人侍在指定位置上的概率不小于61，则至多有几个人坐在自己指定的席位上？解：（1）121)(5535==A C A P（2）由于3人坐在指定位置的概率121<61，故可考虑2人坐在指定位置上的概率，设5人中有2人坐在指定位置上为事件B ，则612)(5525==A CB P ，又由于坐在指定位置上的人越多其概率越少，而要求概率不小于61，则要求坐在指定位置上的人越少越好，故符合题中条件时，至多2人坐在指定席位上．例1. 某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21, 0.23, 0.25, 0.28，计算这个射手在一次射击中：①射中10环或7环的概率；②不够7环的概率.解：① 0.49；② 0.03．变式训练1. 一个口袋内有9张大小相同的票，其号数分别是1，2，3， ，9，从中任取2张，其号数至少有1个为偶数的概率等于 （ ）A ．59B ．49C ．518D ．1318解：D例2. 袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：（1）3只全是红球的概率．（2）3只颜色全相同的概率．（3）3只颜色不全相同的概率．（4）3只颜色全不相同的概率．解：(1)记“3只全是红球”为事件A ．从袋中有放回地抽取3次，每次取1只，共会出现33327⨯⨯=种等可能的结果，其中3只全是红球的结果只有一种，故事件A 的概率为127P(A )=．(2) “3只颜色全相同”只可能是这样三种情况：“3只全是红球”(事件A)；“3只全是黄球”(设为事件B)；“3只全是白球”(设为事件C)．故“3只颜色全相同”这个事件为A+B+C ，由于事件A 、B 、C 不可能同时发生，因此它们是互斥事件．再由于红、黄、白球个数一样，故不难得127P(B )P(C )P(A )===，故19P(A B C )P(A )P(B )P(C )++=++=．(3) 3只颜色不全相同的情况较多，如是两只球同色而另一只球不同色，可以两只同红色或同黄色或同白色等等；或三只球颜色全不相同等．考虑起来比较麻烦，现在记“3只颜色不全相同”为事件D ，则事件D 为“3只颜色全相同”，显然事件D 与D 是对立事件．181199P(D )P(D ).∴=-=-=(4) 要使3只颜色全不相同，只可能是红、黄、白各一只，要分三次抽取，故3次抽到红、黄、白各一只的可能结果有1113216C C C =种，故3只颜色全不相同的概率为62279=．变式训练2. 从装有２个红球和２个黑球的口袋内任取２个球，那么互斥而不对立的两个事件是 （ ）A ．至少有1个黑球与都是黑球B ．至少有1个黑球与至少有1个红球C ．恰有1个黑球与恰有2个黑球D ．至少有1个黑球与都是红球 解：C例3. 设人的某一特征（如眼睛大小）是由他的一对基因所决定的，以d 表示显性基因，r 表示隐性基因，则具有dd 基因的人为纯显性，具有rr 基因的人是纯隐性，具有rd 基因的人为混合性，纯显性与混合性的人都显露显性基因决定的一某一特征，孩子从父母身上各得到一个基因，假定父母都是混合性，问：①1个孩子有显性决定特征的概率是多少？②2个孩子至少有一个显性决定特征的概率是多少？ 解：①43；②1615 变式训练3. 盒中有6只灯泡，其中2只是次品，4只是正品，从其中任取两只，试求下列事件的概率：① 取到两只都是次品；② 取到两只中正品、次品各1只； ③ 取到两只中至少有1只正品． 解：⑴115 ⑵815 ⑶1415例4. 从男女学生共36名的班级中，任意选出2名委员，任何人都有同样的当选机会，如果选得同性委员的概率等于12，求男女相差几名？解: 设男生有x 名，则女生有36-x 名，选得2名委员都是男生的概率为：223613635x C x(x )C -=⨯ 选得2名委员都是女生的概率为23623636353635x C (x )(x )C ---=⨯ 以上两种选法是互斥的，又选得同性委员的概率是12得：136351363536352x(x )(x )(x )---+=⨯⨯ 解得：15x =或21x =即：男生有15名，女生有21名；或男生有21名，女生有15名．总之，男、女生相差6名．变式训练4. 学校某班学习小组共10小，有男生若干人，女生若干人，现要选出3人去参加某项调查活动，已知至少有一名女生去的概率为65，求该小组男生的人数？解：6人例1. 如图所示，用A 、B 、C 三类不同的元件连接成两个系统1N 、2N ，当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统1N 正常工作，当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有1个正常工作时系统2N 正常工作，已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为0.8、0.9、0.9，分别求系统1N 、2N正常工作时的概率．解：分别记元件A 、B 、C 正常工作为事件A 、B 、C ， 由已知条件080090090P(A ).,P(B ).,P(C ).===(Ⅰ)因为事件A 、B 、C 是相互独立的，所以，系统1N 正常工作的概率10800900900648P P(A B C )P(A )P(B )P(C )....=∙∙=∙∙=⨯⨯= 故系统1N 正常工作的概率为0.648.(Ⅱ)系统2N 正常工作的概率()()()()()()21111090010P P(A )P B C P A P B P C ,P B P B ..,⎡⎤⎡⎤=∙-∙=∙-∙⎣⎦⎣⎦=-=-=()()[]21109001008010100100800990792P C P C ..,P .......=-=-=∴=⨯-⨯=⨯=故系统正常工作的概率为0.792．变式训练1. 有甲、乙两地生产某种产品，甲地的合格率为90%，乙地的合格率为92%，从两地生产的产品中各抽取1 件，都抽到合格品的概率等于 （ ） A ．112% B ．9.2% C ．82.8% D ．0.8% 解：C例2. 箱内有大小相同的20个红球，80个黑球，从中任意取出1个，记录它的颜色后再放回箱内，进行搅拌后再任意取出1个，记录它的颜色后又放回，假设三次都是这样抽取，试回答下列问题：①求事件A ：“第一次取出黑球，第二次取出红球，第三次取出黑球”的概率； ②求事件B ：“三次中恰有一次取出红球”的概率. 解：（①12516；② 12548 变式训练2：从甲袋中摸出一个红球的概率是31，从乙袋中摸出1 个红球的概率是21，从两袋中各摸出1个球，则32等于 （ ）A ．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有1个红球的概率D ．2个球中恰好有1个红球的概率 解：C例3. 两台雷达独立工作，在一段时间内，甲雷达发现飞行目标的概率是0.9，乙雷达发现目标的概率是0.85，计算在这一段时间内，下列各事件的概率： （1）甲、乙两雷达均未发现目标； （2）至少有一台雷达发现目标； （3）至多有一台雷达发现目标 解：①0.015; ②0.985; ③0.235变式训练3：甲、乙、丙三人分别独立解一道题，甲做对的概率为12，甲、乙、丙三人都做对的概率是124，甲、乙、丙三人全做错的概率是14． （1）求乙、丙两人各自做对这道题的概率；（2）求甲、乙、丙三人中恰有一人做对这一道题的概率． 解： ①31,41或41,31；②2411 例4. 有三种产品，合格率分别为0.90，0.95和0.95，各取一件进行检验． （1）求恰有一件不合格的概率；（2）求至少有两件不合格的概率．（精确到0.01）解:设三种产品各取一件，抽到的合格产品的事件分别为A 、B 和C (Ⅰ)因为事件A 、B 、C 相互独立，恰有一件不合格的概率为 ()()()()()()()()()()()()0.900.950.050.900.050.950.100.950.950.176P A B C P A B C P A B CP A P B P C P A P B P C P A P B P C ∙∙+∙∙+∙∙=∙∙+∙∙+∙∙=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=答：恰有一件不合格的概率为0.176. (Ⅱ)解法一：至少有两件不合格的概率为()()()()220.900.0520.100.950.050.100.050.012P A B C P A B C P A B C P A B C ∙∙+∙∙+∙∙+∙∙=⨯+⨯⨯⨯+⨯=答：至少有两件不合格的概率为0.012. 解法二：三件都合格的概率为：()()()()20.900.950.812P A B C P A P B P C ∙∙=∙∙=⨯=由(Ⅰ)可知恰好有一件不合格的概率为0.176，所以至少有两件不合格的概率为()()10.17610.8120.1760.012P A B C -⎡∙∙+⎤=-+=⎣⎦答：至少有两件不合格的概率为0.012.变式训练4. 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为41，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为121，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为92.①分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；②从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率. 解：①31,41,32；②65例1. 袋子中有1个白球和2个红球．⑴ 每次取1个球，不放回，直到取到白球为止．求取球次数ξ的分布列． ⑵ 每次取1个球，放回，直到取到白球为止．求取球次数ξ的分布列．⑶ 每次取1个球，放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过5次．求取球次数ξ的分布列．⑷ 每次取1个球，放回，共取5次．求取到白球次数ξ的分布列． 解： ⑴1,2,3.ξ=()()()1312232233111,3112,3113.3P A A P A A P A ξξξ=========)2(=ξP ＝3112312=⋅A A )3(=ξP ＝3113322=⋅A A ∴所求ξ的分布列是ξ123P131313⑵ 每次取到白球的概率是13，不取到白球的概率是23，∴所求的分布列是ξ1 2 3… n… P13 2133⨯ 22133⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ …12133n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭…⑶ξ 1 2 345P 13 2133⨯ 22133⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ 32133⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ 423⎛⎫ ⎪⎝⎭⑷1~5,,3B ξ⎛⎫⎪⎝⎭∴ P ＝(ξ＝k)＝C 5k(31)k·(32)5－k，其中0,1,2,3,4,5.k = ∴所求ξ的分布列是 ξ 0 1 2345P32243802438024340243102431243变式训练1. ξ是一个离散型随机变量，其分布列为ξ-11P1212q- 2q则q ＝（ ）A ．1B ．212±C ．212+D ．212-解：D例2. 一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以ξ表示取出球的最大号码，求ξ的分布列．解：随机变量的取值为3，4，5，6从袋中随机地取3个球，包含的基本事件总数为36C ，事件“3ξ=”包含的基本事件总数为33C ，事件“4ξ=”包含的基本事件总数为1213C C ；事件“5ξ=”包含的基本事件总数为1214C C ；事件6ξ=包含的基本事件总数为1215C C ；从而有()()()()3336121336121436121536132034203510162C P C C C P C C C P C C C P C ξξξξ============∴随机变量的分布列为：ξ 3 456P12032031012变式训练2：现有一大批种子，其中优质良种占30%，从中任取2粒，记ξ为2粒中优质良种粒数，则ξ的分布列是 . 解：ξ0 1 2P 0.49 0.42 0.09例3. 一接待中心有A 、B 、C 、D 四部热线电话，已知某一时刻电话A 、B 占线的概率均为0.5，电话C 、D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有ξ部电话占线，试求随机变量ξ的概率分布. 解：ξ0 1 2 3 4P0.09 0.3 0.37 0.2 0.04变式训练3：将编号为1，2，3，4的贺卡随意地送给编号为一，二，三，四的四个教师，要求每个教师都得到一张贺卡，记编号与贺卡相同的教师的个数为ξ，求随机变量ξ的概率分布. 解：ξ124P249 248 246 241 第4课时 离散型随机变量的期望与方差1．若离散型随机变量ξ的分布列为(),i i P x P ξ==1,2,3,,,i n = .则称E ξ= 为ξ的数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．2．对于随机变量ξ，称D ξ=为ξ的方差．D ξ的算术平方根σξ= 叫做ξ的标准差．随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量取值的 ． 3．数学期望与方差产生的实际背景与初中平均数及样本方差这两个概念有关． 平均数：()12121111n n x x x x x x x n n n n=+++=+++＝n x 11⋅＋nx 12⋅＋…n x n 1⋅样本方差：()()()2222121n s x xx x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦＝nx x n x x n x x n 1)(...1)(1)(22221⋅-++⋅-+⋅- 以上两式中1n恰是1,2,,n x x x 出现的频率．这与数学期望与方差的定义式一致．4．数学期望与方差的性质：若a b ηξ=+（,ξη为随机变量），则()E E a b ηξ=+= ，()D D a b ηξ=+= ．5．服从二项分布的随机变量ξ的期望与方差：若()~,B n P ξ, 则(),1.E nP D nP P ξξ==-例1． 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．①求ξ的分布列； ②求ξ的数学期望；③求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率. 解：①②E ξ＝1③54)1()0()1(==+==≤ξξξP P P变式训练1：如果袋中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望E ξ＝ （ ） A ．34B ．125 C ．197D ．13解：B例2 抛掷两个骰子,当至少有一个5点或6点出现时,就说这次试验成功,求在30次试验中成功次数η的期望和方差.解:()~30,B P η,其中4451669P =-⨯=.所以5505420030.30.939927E D ηη=⨯==⨯⨯=变式训练2：布袋中有大小相同的4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得1分，取到一只黑球得3分，试求得分ξ的概率分布和数学期望．解：527例3 甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下表： 射手甲击中环数1ξ 8 9 10概率Pa 0.6 0.2 射手乙击中环数2ξ 8 910 概率P0.4b0.4ξ 0 1 2P51 53 51用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平． 解：10.60.20.2,10.40.40.2a b =--==--=()()()()()()1222122221121280.290.6100.29,890.2990.61090.20.480.490.2100.49,890.4990.21090.40.8,.E D E D E E D D ξξξξξξξξ=⨯+⨯+⨯==-⨯+-⨯+-⨯==⨯+⨯+⨯==-⨯+-⨯+-⨯==<∴甲乙两名射手所得环数的平均值相等，但射手甲所得环数比较集中，射手乙所得环数比较分散，射手甲射击水平较稳定．变式训练3：某商场根据天气预报来决定节日是在商场内还是在商场外开展促销活动，统计资料表明，每年五一节商场内的促销活动可获得经济效益2.5万元，商场外的促销活动如果不遇到有雨天可获得经济效益12万元，如果促销活动遇到有雨天，则带来经济损失5万元，4月30号气象台预报五一节当地有雨的概率是40%，问商场应该采取哪种促销方式？ 解：采用场外促销方式例4 某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，可造成400万元的损失，现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用．单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后，此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85．若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用，联合采用或不采用，试确定预防方案使总费用最少．（总费用＝采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值）. 解：联合甲、乙，总费用最少为81万元变式训练4：假设1部机器在1天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时，全天停止工作，若1周的5个工作日里无故障，可获得利润10万元，发生1次故障仍可获得利润5万元；发生2次故障所获利润为0；发生3次或3次以上故障就要亏损2万元，求1周的期望利润是多少？（精确到0.001）.解：用随机变量ξ表示1周5天内发生故障的天数，则ξ服从地一项分布ξ~B(5,0.2)， 从而328.08.0)0(5===ξP ，410.08.02.0)1(415=⨯==C P ξ，P(ξ＝2)＝0.205 P(ξ≥3)＝0.057设η为所获得利润，则E η＝10×0.328＋5×0.410＋0×0.205－2×0.057＝5.215（万元）1．数学期望与方差，标准差都是离散型随机变量最重要的数字特征，它们分别反映了随机变量取值的平均水平、稳定程度、集中与离散的程度．离散型随机变量的期望与方差都与随机变量的分布列紧密相连，复习时应重点记住以下重要公式与结论： 一般地，若离散型随机变量ξ的分布列为… ξ1x2x … nx… …P1P2P…n P…则期望1122n n E x P x P x P ξ=++++ ，方差()()()2221122n n D x E P x E P x E P ξξξξ=-+-++-+ ，标准差()()2,,.D E a b aE b D a b a D σξξξξξξ=+=++=若()~,B n P ξ，则,E nP D nPq ξξ==，这里1q P =-概率章节测试题一、选择题1．已知非空集合A 、B 满足A ≠⊂B ，给出以下四个命题： ①若任取x ∈A ，则x ∈B 是必然事件 ②若x ∉A ，则x ∈B 是不可能事件③若任取x ∈B ，则x ∈A 是随机事件 ④若x ∉B ，则x ∉A 是必然事件 其中正确的个数是( ) A 、1 B 、2C 、3D 、42．一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手每次射击命中的概率为（ ） A. 13 B. 23 C. 14 D. 25 3．设ξ是离散型随机变量，32)(1==x p ξ，31)(2==x p ξ，且21x x <，现已知：34=ξE ，92=ξD ，则21x x +的值为（ ） (A)35 (B)37 (C) ３ (D) 3114．福娃是北京2008年第29届奥运会吉祥物，每组福娃都由“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成．甲、乙两位好友分别从同一组福娃中各随机选择一个福娃留作纪念，按先甲选再乙选的顺序不放回地选择，则在这两位好友所选择的福娃中，“贝贝”和“晶晶”恰好只有一个被选中的概率为（ ） A ．110B ．15C ．35D ．455．（汉沽一中2008~2009届月考文9）.面积为S 的△ABC ，D 是BC 的中点，向△ABC 内部投一点，那么点落在△ABD 内的概率为 ( ) A.13B.12 C.14 D.166．（汉沽一中2008~2009届月考文9）.面积为S 的△ABC ，D 是BC 的中点，向△ABC 内部投一点，那么点落在△ABD 内的概率为 ( ) A.13B.12 C.14 D.167．在圆周上有10个等分，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率是（ ） A.51B.41C.31D.21 8．已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车的准时到站率为60%，则他在3天乘车中，此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为 （ ）A ．12536 B ．12554 C ．12581 D ．125279．甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲及格概率为54，乙及格概率为52，丙及格概率为32，则三人中至少有一人及格的概率为（ ） A ．251 B ．2524 C ． 7516 D ．755910．从集合{1, 2, 3, , 10} 中随机取出6个不同的数，在这些选法中，第二小的数为3的概率是 A.12B.13C.16D.160二、填空题11．已知离散型随机变量X 的分布列如右表．若0EX =，1DX =，则a = ，b = ．12．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为 。
概率复习课教案
１、学生独立完成。
２、教师点评。（重点点评解题的思路和方法）
第
五
部分：巩
固
练习
第
五
部分：巩
固
练习
1、“从一布袋中随机摸出1球恰是黄球的概率为 ”的意思是（）
A．摸球5次就一定有1次摸中黄球
B．摸球5次就一定有4次不能摸中黄球
请你设计出较为公平的规则。
4、某啤酒厂搞促销活动，在一箱啤酒（每箱24瓶）中
有两瓶的盖内印有“奖”字，小明的爸爸买了一箱这种品牌的啤酒，打开第一瓶酒中奖了，可又连续打开5瓶也没有奖，小明这时在剩下的啤酒中任意拿出一瓶，求小明拿出的这瓶酒中奖的概率。
6、小刚、小夏、小东三个电影迷决定通过抓阄来决定谁得仅有的一张电影票。他们准备了三张小纸片，其中一张上写了“恭喜”两字，另两张空白。抓到“恭喜”纸片的人得到电影票。刚要抓阄时，小夏又问：“谁先抓？先抓的人是否获胜的机会大？”请说明你对小夏问题的看法。
3、从生产的一批螺丝钉中抽取200个进行质量检查，结果发现有5个是次品，那么估计从中任意取一个螺丝钉，取得次品的概率是。
4、将分别标有数字1、2、3的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，随机抽取一张后又放回，洗匀后，也是背面朝上放在桌面上，再随机抽取一张，求抽到数字1和3的概率。
第1题主要考查事件的概念；第2题主要考查简单事件的概率计算方法；第3题主要考查用频率估计概率的知识；第4题主要考查借助树状图求概率的知识。
三、教学过程
教学流程的设计说明
教学环节
教学内容
设计目的
操作说明
第
一
部分：展
示
高三总复习教学案 概率
高三总复习概率一. 本周教学内容：概率二. 重点、难点：1. 了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件的概率的意义，了解等可能性事件的概率的意义，会用排列、组合的公式计算一些等可能事件的概率。
2. 了解互斥事件与独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率，会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。
三. 教学过程：（一）随机事件的概率1. 基本概念（1）随机现象：在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，叫做随机事件。
（2）随机试验：在一定条件下，对随机现象的一次观察，叫做一次随机试验（简称试验）。
（3）随机事件：在一定条件下，对随机现象进行试验的每一种可能的结果叫做随机事件（分为基本事件和复合事件）。
基本事件：在随机试验中，不能分解的事件。
例如，掷一个骰子，其结果可能出现1点，2点，3点，……，6点，可用e1，e2，e3，……e6表示。
每个结果是一个基本事件。
而出现“点数小于4”的事件B，则B＝｛e1，e2，e3｝。
e1，e2，e3中有一个发生，则事件B发生，反之事件B发生，则B中基本事件一定有一个发生，因此B是可分解的事件，是复合事件。
（4）必然事件与不可能事件必然事件：在一定条件下必然发生的事件，记作Ω，P（Ω）＝1。
不可能事件：在一定条件下必然不发生的事件，记作E，P（E）＝0。
2. 随机事件之间的关系（1）事件的包含关系：若事件A的发生必导致事件B的发生，则称事件B包含事件（2）事件的和（并）：在试验中，事件A与B至少有一个发生的事件，叫做A与B的和或并，记作A＋B或A∪B。
（3）事件的积（交）：在试验中，事件A与事件B同时发生的事件叫做事件A与B的积或交，记作A·B或A∩B。
（4）互斥事件（又称互不相容事件）：在同一试验中，事件A与B不可能同时发生，则称事件A与事件B为互斥事件（或互不相容事件），记作A·B＝ 。
必修3第三章《概率》复习课
数学
年级
高二
备课组组长
主备人
授课时间
2020年 月 日
单元
（第几单元）第三章总复习
课题
必修3第三章《概率》复习课
教材分析
随机事件的概率，随机现象的产生，频率与概率的关系与区别
课程标准
要求
通过本节课学习使学生掌握必然事件，不可能事件，确定事件，随机事件，频数与频率，概率的六种基本性质，古典概型，几何概型，互斥事件，对立事件等内容。
课前3分钟教育
课前三分钟防疫情及爱国主义教育
课型
复习课
教学目标
1、随机事件的概率；随机现象的发生；频率与概率的区别。
2、利用古典概型与几何概型可以求一些随机事件的概率；随机模拟。
教学重点
应用概率解决实际问题
教学难点
应用概率解决实际问题
教学方法
讲授法，归纳、总结、讨论、交流
学习方法
自主学习，合作学习
教学用具
教材书，课件，班班通，粉笔
课时数
2课时
设计
意图
师生
活动
师生 们共 同讨 论实 例， 提出 自己
的观 点， 老师， 学生进行 讨论。
首先
学生
们对
每一
个实
例提
出自
己的
观点，
然后
在老
师的
引导
下解
决问
题。
首先
学生
们对
每一
个实
例提
出自
己的
观点，
题。
首先第三章的有关内容与定义提问的形式来让学生想起。
（1）频率本身是随机的，在试验前___________确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同。
人教版高中数学 第三章 概率 单元复习学案
第三章 概率一：知识结构：1.随机事件的概率及概率的意义（1）必然事件： （2）不可能事件：（3）确定事件：（4）随机事件： （5）频数与频率：（6）频率与概率的区别与联系： 2. 概率的基本性质（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）互斥事件 （3）对立事件 （4）概率的基本性质3.古典概型及随机数的产生（1）古典概型的特点：（2）古典概型的概率公式： 4.几何概型及均匀随机数的产生（1）几何概型的特点： （2）几何概型的概率公式： 二：典型例题：（一）互斥事件与对立事件：例1：由经验得知，在某商场付款处排队等候付款的人数及概率如下表：(1)至多有2人排队的概率是多少? (2)至少有2人排队的概率是多少?（二）古典概型：例2：某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：(Ⅰ)求分数在[)70,80内的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段为[)80,60的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人， 求至多有1人在分数段[)80,70的概率.例3：先后掷两个均匀正方体骰子(六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6),骰子朝上的面的点数分别为X,Y, 则log X 2Y=1的概率为多少?（三）几何概型：例4：设关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=（1）若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实数根的概率；（2）若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实数根的概率.（四）均匀随机数的产生：例5：将【0，1】内的均匀随机数转化为【-3，4】内的均匀随机数，需要实施的变换是 （ ）1.*7Aa a = 1.*73B a a =+ 1.*73C a a =- 1.*4D a a =三．达标练习：一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）． 1． 从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中，任取2张，这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率为（ ）A ．51B ．52C ．103D ．1072．A 盒中有10只螺钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么103等于（ ） A ．恰有1只是坏的概率 B ．恰有2只是好的概率 C ．4个全是好的概率 D ．至多2只是坏的概率3.在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于236cm 与281cm 之间的概率为（ ）Ａ．14 Ｂ． 13 Ｃ．12 Ｄ．164. 抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是（ ）A.9991 B. 10001 C. 1000999 D. 215.从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ） A. A 与C 互斥 B. B 与C 互斥 C. 任何两个均互斥 D. 任何两个均不互斥6.甲，乙两人随意入住两间空房，则甲乙两人各住一间房的概率是（ ）A. 31. B. 41 C. 21 D.无法确定7.一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率是（ ） A.21 B. 31C. 41 D. 528. 有五条线段长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（ ） A.101 B. 103 C. 21 D. 1079.现有五个球分别记为A ，C ，J ，K ，S ，随机放进三个盒子，每个盒子只能放 一个球，则K 或S 在盒中的概率是（ ）A.101 B. 53 C. 103 D. 10910．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率( )A.12B.13C.23D.1 11．下列说法正确的有（ ）①随机事件A 的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值； ②一次实验中不同的基本事件不可能同时发生；③任意事件A 发生的概率()P A 总满足0()1P A <<；④若事件A 的概率趋近于0，即()0P A →，则事件A 是不可能事件； A ．0个 B.1个 C.2个 D.3个 二、填空题：．12.在区间(0,2)中随机地取出一个数，则这个数小于1的概率是___ ____；等于1的概率是___ _____ .13.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则至少有一枚正面朝上的概率是 .14. 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.4，甲不输的概率为0.9，则甲、乙两人下成和棋的概率为 。
必修3第三章《概率》复习课教案
一、课题：《概率》复习课二、教学目的：1、随机事件的概率；随机现象的发生；频率与概率的区别。
2、利用古典概型与几何概型可以求一些随机事件的概率；随机模拟。
三、教学重点：应用概率解决实际问题。
四、教学难点：应用概率解决实际问题。
五、教学方法：归纳、总结、讨论、交流。
六、教学过程：（一）知识梳理：1.事件（1）必然条件：在条件S 下，_________会发生的事件，叫做相对于条件S 的必然事件，简称必然事件；（2）不可能事件：在条件S 下，__________会发生的事件，叫做相对于条件S 的不可能事件，简称不可能事件；（3）确定事件：__________事件与___________事件统称为相对于条件S 的确定事件，简称确定事件；（4）随机事件：在条件S 下，___________的事件叫做相对于条件S 的随机事件，简称随机事件。
（5）_________事件与________事件统称为事件，一般用________表示。
2、概率与频率（1）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的_________，称事件A 出现的比例)(A f n 为事件A 出现的__________，显然频率的取值范围是____________。
（2）概率：在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A 发生的频率如果逐渐________在区间［0，1］中的某个______上，这个便称为事件A 的概率，用P （A ）表示，显示概率的取值范围是［0，1］，且不可能事件的概率为_________，必然事件的概率为___________。
3、正确理解频率与概率之间的关系（1）频率本身是随机的，在试验前___________确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同。
（2）概率是一个__________的数，是客观存在的，与每次试验无关。
（3）频率是概率的_____，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率。
高三复习概率辅导教案(文科数学)
课次教学计划（教案）任课教师 学科 版本 年段 辅导类型 上课时间 学生签名 数学北师大高三一对一课题概率专题复习教学目标理解古典概型、几何概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
教学策略一、知识点总结： 1．随机事件的概念在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。
（1）随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； （2）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件； （3）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件 2．随机事件的概率事件A 的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率nm总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率,记作P （A ）。
由定义可知0≤P （A ）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。
3．事件间的关系（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；（3）包含：事件A 发生时事件B 一定发生，称事件A 包含于事件B （或事件B 包含事件A ）； 4．事件间的运算（1）并事件（和事件）若某事件的发生是事件A 发生或事件B 发生，则此事件称为事件A 与事件B 的并事件。
注：当A 和B 互斥时，事件A +B 的概率满足加法公式：P （A +B ）=P （A ）+P （B ）（A 、B 互斥）；且有P （A +A ）=P （A ）+P （A ）=1。
（2）交事件（积事件）（1）古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；（2）古典概型的概率计算公式：P （A ）=总的基本事件个数包含的基本事件个数A ；一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A 由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n 个,即此试验由n 个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是n 1。
书稿：高考数学一轮复习教案word文档(文),第十一章概率
A∩ B＝ ? P(A∪B)＝ P(A)＋ P(B)＝ 1
4. 概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围： 0≤ P(A)≤ 1. (2)必然事件的概率 P(E)＝ 1. (3)不可能事件的概率 P(F )＝ 0. (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)． ②若事件 B 与事件 A 互为对立事件，则 P(A)＝ 1－P(B)．
进行分析． 解 (1)是互斥事件，不是对立事件．
原因：从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张， “抽出红桃 ” 与 “ 抽出黑桃 ” 是不可能同时发
生的，所以是互斥事件， 但是，不能保证其中必有一个发生， 这是由于还有可能抽出 “ 方
块 ” 或者 “ 梅花 ” ，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
[难点正本 疑点清源 ] 1． 频率和概率
(1) 频率与概率有本质的区别，不可混为一谈．频率随着试验次数的改变而变化，概率
却是一个常数， 它是频率的科学抽象．当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，
只要
次数足够多，所得频率就可以近似地当作随机事件的概率．
(2) 概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小；概率的定义实际上也是求一个
解
(1) 依 据 公 式
f
＝
m n，
计
算
出
表
中
乒
乓
球
优
等
品
的
频
率
依
次
是
0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.
(2)由 (1) 知，抽取的球数 n 不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频
高三数学复习教案：概率统计
高三数学复习教案：概率统计一、教学目标1.理解概率统计的基本概念，掌握概率的计算方法。
2.能够运用概率统计的方法解决实际问题。
3.提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容1.概率的基本概念与计算方法2.离散型随机变量及其分布列3.连续型随机变量及其概率密度函数4.随机变量的期望和方差5.统计量的概念与计算方法6.假设检验与置信区间三、教学重点与难点1.教学重点：概率的基本概念与计算方法，离散型随机变量及其分布列，连续型随机变量及其概率密度函数，随机变量的期望和方差。
2.教学难点：离散型随机变量分布列的求解，连续型随机变量概率密度函数的应用，随机变量期望和方差的计算。
四、教学过程第一课时：概率的基本概念与计算方法1.引入同学们，大家好！今天我们开始复习概率统计这一模块。
让我们回顾一下概率的基本概念和计算方法。
2.概念讲解（1）概率的定义：在一定条件下，某个事件发生的可能性大小。
①0≤P(A)≤1②P(∅)=0，P(S)=1③对于任意可列个两两互斥的事件A1，A2，…，有P(A1∪A2∪…)=P(A1)+P(A2)+…3.概率的计算方法（1）古典概型：若样本空间S中的每个基本事件等可能发生，则事件A的概率为：P(A)=A中基本事件数/样本空间S中基本事件数（2）条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记为P(A|B)。
根据条件概率的定义，有：P(A|B)=P(AB)/P(B)（3）乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)（4）全概率公式与贝叶斯公式4.例题讲解（1）古典概型：掷一枚硬币，求正面朝上的概率。
（2）条件概率与乘法公式：甲、乙两人比赛，甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4。
若甲先赢一局，求甲最终获胜的概率。
（3）全概率公式与贝叶斯公式：某工厂有两个车间，第一车间生产的产品占60%，第二车间生产的产品占40%。
第一车间不合格率为0.01，第二车间不合格率为0.02。
从工厂中随机抽取一件产品，发现不合格，求这件产品来自第一车间的概率。
高三数学复习教案——概率统计
概率统计【命题趋向】概率与统计是高中数学的重要学习内容，它是一种处理或然问题的方法，在工农业生产和社会生活中有着广泛的应用，渗透到社会的方方面面，概率与统计的基础知识成为每个公民的必备常识．概率与统计的引入，拓广了应用问题取材的范围，概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望的计算及应用都是考查应用意识的良好素材．在高考试卷中，概率与统计的内容每年都有所涉及，以解答题形式出现的试题常常设计成包含离散型随机变量的分布列与期望、统计图表的识别等知识为主的综合题，以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的识别及概率计算．解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化、或然与必然思想的运用．由于中学数学中所学习的概率与统计内容是最基础的，高考对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法．该部分在高考试卷中，一般是2—3个小题和一个解答题．【考点透析】概率统计的考点主要有：概率与统计包括随机事件，等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，古典概型，几何概型，条件概率，独立重复试验与二项分布，超几何分布，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望和方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布，线性回归等．【例题解析】题型1 抽样方法【例1】在1000个有机会中奖的号码（编号为000999-）中，在公证部门监督下按照随机抽取的方法确定后两位数为的号码为中奖号码，该抽样运用的抽样方法是（）A．简单随机抽样 B．系统抽样 C．分层抽样 D．以上均不对分析：实际“间隔距离相等”的抽取，属于系统抽样．解析：题中运用了系统抽样的方法采确定中奖号码，中奖号码依次为：088，188，288，388，488，588，688，788，888，988．答案B．点评：关于系统抽样要注意如下几个问题：（1）系统抽样是将总体分成均衡几个部分，然按照预先定出的规则从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的一种抽样方法．（2）系统抽样的步骤：①将总体中的个体随机编号；②将编号分段；③在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；④按事先研究的规则抽取样本．（3）适用范围：个体数较多的总体．例2（2008年高考广东卷理3）某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（）A．24B．18C．16D．12分析：根据给出的概率先求出x的值，这样就可以知道三年级的学生人数，问题就解决了．占全校学生总数的19%，解析：C 二年级女生即20000.19380x=⨯=，这样一年级和二年级学生的总数是3733773803701500+++=，三年级学生有500人，用分层抽样抽取的三年级学生应是64500162000⨯=．答案C．点评：本题考查概率统计最基础的知识，还涉及到一点分析问题的能力和运算能力，题目以抽样的等可能性为出发点考查随机抽样和分层抽样的知识．例3．（2009江苏泰州期末第2题）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[)2500,3500（元）月收入段应抽出 人．分析：实际上是每100人抽取一人，只要把区间内的人数找出来即可．解析：根据图可以看出月收入在[)2500,3500的人数的频率是()0.00050.00035000.4+⨯=，故月收入在[)2500,3500人数是100000.44000⨯=，故抽取25人．点评：本题把统计图表和抽样方法结合起来，主要目的是考查识图和计算能力．题型2统计图表问题例4（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学第2题）从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如右图：若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为A ．10B ．20C ．8D ．16分析：根据图找出视力在0.9以上的人数的频率即可．解析：B ． 视力住0.9以上的频率为(10.75.025)0.20.4++⨯=，人数为0.45020⨯=．点评：在解决频率分别直方图问题时容易出现的错误是认为直方图中小矩形的高就是各段的频率，实际上小矩形的高是频率除以组距．例5 （2009年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第13题）某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是 ；众数是 ．分析：根据茎叶图和中位数、众数的概念解决．解析：由于中位数是把样本数据按照由小到大的顺序排列起来，处在中间位置的一个（或是最中间两个数的平均数），故从茎叶图可以看出中位数是23；而众数是样本数据中出现次数最多的数，故众数也是23．点评：一表（频率分布表）、三图（频率分布直方图、频率折线图、茎叶图）、三数（众数、中位数、众数）和标准差，是高考考查统计的一个主要考点．例5（2008高考广东文11）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为[)45,55，[)[)[)55,65,65,75,75,85，[)85,95由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在[)55,75 的人数是 ．分析：找出频率即可．解析： ()200.0400.00251013⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦．点评：本题考查频率分布直方图，解题的关键是明确这个直方图上的纵坐标是频率/组距，得出生产数量在[)55,75的人数的频率．题型3 平均数、标准差（方差）的计算问题例6 （2008高考山东文9）从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100 人成绩的标准差为（ ）ABC ．3D ．85分析：根据标准差的计算公式直接计算即可．解析： 平均数是5204103302301103100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，标准差是5s ====答案B ．点评：本题考查数据组的平均数和标准差的知识，考查数据处理能力和运算能力．解题的关键是正确理解统计表的意义，会用平均数和标准差的公式，只要考生对此认识清楚，解答并不困难．例7．（中山市高三级2008—2009学年度第一学期期末统一考试理科第9题）若数据123,,,,n x x x x 的平均数5x =，方差22σ=，则数据12331,31,31,,31n x x x x ++++的平均 数为 ，方差为 ．分析：根据平均数与方差的性质解决．解析：16,18例8．（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第3题）如图是2009年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为A ． 84，4.84B ．84，1.6 C ． 85，1.6 D ．85，4解析：C题型4 用样本估计总体例8（2008高考湖南文12）从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人．解析：60 由上表得23211500023060.500-⨯=⨯=点评：考查样本估计总体的思想．题型5．线性回归分析例9．（2007高考广东）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出ｙ关于ｘ的线性回归方程y bx a =+；（3）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤；试根据（２）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？分析：本题中散点图好作，本题的关键是求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+，它既可以由给出的回归系数公式直接计算，也可以遵循着最小二乘法的基本思想――即所求的直线应使残差平方和最小，用求二元函数最值的方法解决．解析：（1）散点图如右；（2）方法一：设线性回归方程为y bx a =+，则222222222(,)(3 2.5)(43)(54)(6 4.5)42(1814)(3 2.5)(43)(54)(6 4.5)f a b b a b a b a b a a a b b b a b =+-++-++-++-=+-+-+-+-+-∴79 3.5 4.52b a b -==-时， (,)f a b 取得最小值2222(1.51)(0.50.5)(0.50.5)(1.51)b b b b -+-+-+-，即22250.5[(32)(1)]572b b b b -+-=-+，∴0.7,0.35b a ==时(),f a b 取得最小值．所以线性回归方程为0.70.35y x =+．方法二：由系数公式可知，266.54 4.5 3.566.5634.5, 3.5,0.75864 4.5x y b -⨯⨯-=====-⨯93.50.70.352a =-⨯=，所以线性回归方程为0.70.35y x =+．（3）100x =时，0.70.3570.35y x =+=，所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤．点评：本题考查回归分析的基本思想．求线性回归方程的方法一这实际上是重复了回归系数公式的推导过程，这里的另一个解决方法是对(),f a b 我们再按b 集项，即()()()()()22222,86(36133) 2.534 4.5f a b b a b a a a a =+-+-+-+-+-，而这个时候，当13336172a b -=时(),f a b 有最小值，结合上面解法中 3.5 4.5a b =-时(),f a b 有最小值，组成方程组就可以解出a ，b 的值；方法二前提是正确地使用回归系数的计算公式，一般考试中都会给出这个公式，但要注意各个量的计算；最后求出的19.65是指的平均值或者是估计值，不是完全确定的值．对于本题我们可以计算题目所给的数据组的相关系数0.9899r =，相关指数20.98R =．这说明x ，y 具有很强的线性相关性，说明解释变量对预报变量的贡献率是98%，即耗煤量的98%是来自生产量，只有约2%来自其它因素，这与我们的直观感觉是十分符合的．本题容易用错计算回归系数的公式，或是把回归系数和回归常数弄颠倒了．例10．（江苏扬州市2008-2009学年度第一学期期未调研测试第17题）为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x 、物理成绩y 进行分析．下面是该生7次考试的成绩．（1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；（2）已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．分析：成绩的稳定性用样本数据的方差判断，由物理成绩估计数学成绩由回归直线方程解决．解析：（1）12171788121001007x --+-++=+=； 69844161001007y --+-+++=+=； 2994==1427S ∴数学，2250=7S ∴物理， 从而22S S >数学物理，所以物理成绩更稳定． （2）由于x 与y 之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到497ˆˆ0.5,1000.510050994b a ===-⨯=， ∴线性回归方程为0.550y x =+．当115y =时，130x =．建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高．点评：《考试大纲》在必修部分的统计中明确指出“①会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．②了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程”．2007年广东就以解答题的方式考查了这个问题，在复习备考时不可掉一轻心．题型6 古典概型与几何概型计算问题例11 （2008高考江苏2）一个骰子连续投2次，点数和为4的概率 ． 分析：枚举基本事件总数和随机事件所包含的基本事件的个数后，根据古典概型的计算公式计算．解析：点数和为4，即()()()1,3,2,2,3,1，基本事件的总数是36，故这个概率是31369=．或是数形结合处理． 点评：古典概型的计算是一个基础性的考点，高考中除了以解答题的方式重点考查概率的综合性问题外，也以选择题、填空题的方式考查古典概型的计算．例12．（2009年福建省理科数学高考样卷第4题）如图，边长为2的正方形内有一内切圆．在图形上随机投掷一个点，则该点落到圆内的概率是A ．4πB ．4πC ．44π-D ．π分析：就是圆的面积和正方形面积的比值．解析：根据几何概型的计算公式，这个概率值是4π，答案A ． 点评：高考对几何概型的考查一般有两个方面，一是以选择题、填空题的方式有针对性地考查，二是作为综合解答题的一部分和其他概率计算一起进行综合考查． 例13．（2008高考山东文18）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者123A A A ，，通晓日语，123B B B ，，通晓俄语，12C C ，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组 成一个小组．（1）求1A 被选中的概率；（2）求1B 和1C 不全被选中的概率．分析：枚举的方法找出基本事件的总数，结合着随机事件、对立事件的概率，用古典概型的计算公式解决．解析：（1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，122131()()A B C A B C ，，，，，， 132()A B C ，，，211212221()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，222()A B C ，，， 231()A B C ，，，232()A B C ，，，311312321()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，， 322331332()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M 表示“1A 恰被选中”这一事件，则M ={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，122131132()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}事件M 由6个基本事件组成，因而61()183P M ==． （2）用N 表示“11B C ，不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“11B C ，全被选中”这一事件， 由于N ={111211311()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}，事件N 有3个基本事件组成， 所以31()186P N ==，由对立事件的概率公式得15()1()166P N P N =-=-=． 点评：本题考查古典概率、对立事件等概率的基础知识，考查分类讨论、“正难则反”等数学思想方法，考查分析问题解决问题的能力．题型7 排列组合（理科）例14．（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第9题）由0,1,2,3,4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列{}n a ,则19a =A ．2014B ．2034C ．1432D ．1430 分析：按照千位的数字寻找规律．解析：千位是1的四位偶数有123318C A =，故第19和是千位数字为2的四位偶数中最小的一个，即2014，答案A ．例15．（2009年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第17题）有3张都标着字母A ，6张分别标着数字1,2,3,4,5,6的卡片，若任取其中6张卡片组成牌号，则可以组成的不同牌号的总数等于 ．（用数字作答）分析：由于字母A 是一样的，没有区别，故可以按照含有字母A 的多少分类解决，如含有2个字母A 时，只要在6个位置上选两个位置安排字母A 即可，再在其余位置上安排数字．解析：不含字母A 的有66720A =；含一个字母A 的有156667204320C A =⨯=；含两个字母A 时，24665400C A =；含三个字母A 时，33662400C A =．故总数为7204320540024001+++=．点评：解决排列、组合问题的一个基本原则就是先对问题分类、再对每一类中的问题合理地分步，根据排列组合的有关计算公式和两个基本原理进行计算．题型8 二项式定理（理科）例15．（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第12题）已知1110(1)n n n n n ax a x a x a x a --+=++++*()n ∈N ,点列(,)(0,1,2,,)i i A i a i n =部分图象 如图所示，则实数a 的值为___________．分析：根据点列的图可以知道012,,a a a 的值，即可以通过列方程组解决．解析：由图123,4a a ==，又根据二项展开式113n n a C a na -===，()()222233(1)4222n n na na a a n n a C a a ----=====，解得13a =． 点评：本题以点列的部分图象设计了一个与二项式有关的问题，解决问题的基本出发点是方程的思想．例16（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学第4题）若23123(1)1()n n x a x a x a x x n N +-=+++++∈，且13:1:7a a =，则5a 等于A ．56B ．56-C ．35D ．35-分析：根据展开式的系数之比求出n 值． 解析：2323,n na C a C =-=-，由23:1:7a a =，得8n =，故55856a C =-=-，答案B ． 点评：解这类题目要注意展开式的系数和展开式中项的系数是区别，别把符号弄错了． 题型9 离散型随机变量的分布、期望与方差（理科的重要考点）例17．（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第19题）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放．．回．地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记x y x -+-=2ξ．（1）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；（2）求随机变量ξ的分布列和数学期望．分析：根据对随机变量ξ的规定，结合,x y 的取值确定随机变量可以取那些值，然后根据其取这些值的意义，分别计算其概率．解析：（1）x 、y 可能的取值为1、2、3，12≤-∴x ，2≤-x y ， 3≤∴ξ，且当3,1==y x 或1,3==y x 时，3=ξ． 因此，随机变量ξ的最大值为3 ．有放回抽两张卡片的所有情况有933=⨯种，92)3(==∴ξP ． （2）ξ的所有取值为3,2,1,0． 0=ξ 时，只有2,2==y x 这一种情况，1=ξ时，有1,1==y x 或1,2==y x 或3,2==y x 或3,3==y x 四种情况， 2=ξ时，有2,1==y x 或2,3==y x 两种情况．91)0(==∴ξP ，94)1(==ξP ，92)2(==ξP ． 则随机变量ξ的分布列为：因此，数学期望993929190=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ． 点评：有放回的“取卡片、取球”之类的问题，其基本事件的总数要由分步乘法计数原理解决，这是一类重要的概率模型．例18．（江苏扬州市2008-2009学年度第一学期期未调研测试加试第4题）某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为23． （1）求比赛三局甲获胜的概率；（2）求甲获胜的概率；（3）设甲比赛的次数为X ，求X 的数学期望．分析：比赛三局甲即指甲连胜三局，可以按照相互独立事件同时发生的概率乘法公式计算，也可以将问题归结为三次独立重复试验，将问题归结为独立重复试验概型；甲最后获胜，可以分为甲三局获胜、四局获胜、五局获胜三个互斥事件的概率之和；甲比赛的次数也就是本次比赛的次数，注意当三局就结束时，可能是甲取胜也可能是乙取胜等．解析：记甲n 局获胜的概率为n P ，3,4,5n =，（1）比赛三局甲获胜的概率是：333328()327P C ==； （2）比赛四局甲获胜的概率是：2343218()()3327P C ==； 比赛五局甲获胜的概率是：232542116()()3381P C ==； 甲获胜的概率是：3456481P P P ++=． （3）记乙n 局获胜的概率为'n P ，3,4,5n =．333311'()327P C ==，2343122'()()3327P C ==；23254128'()()3381P C ==；1882168107()3()4()5()27272727818127E X =⨯++⨯++⨯+=． 点评：这是一个以独立重复试验概型为基本考查点的概率试题，但这里又不是单纯的独立重复试验概型，是一个局部的独立重复试验概型和相互独立事件的结合．这类比赛型的概率试题也是一个重要的概率模型．题型11 正态分布例19.（2008高考湖南理4）设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c = ( )A ．1B ．2C ．3D ．4分析：根据正态密度曲线的对称性解决．解析：B 根据正态密度曲线的对称性，即直线1x c =+与直线1x c =-关于直线2x =对称，故1122c c ++-=，即2c =． 点评：本质是通过正态密度曲线考查数形结合的思想意识．例20（2008高考安徽理10）设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2222()(0)N μσσ>， 的密度函数图像如图所示．则有A ．1212,μμσσ<<B ．1212,μμσσ<>C ．1212,μμσσ><D ．1212,μμσσ>>分析：根据正态密度曲线的性质解决．解析：A 根据正态分布),(2σμN 函数的性质：正态分布曲线是一条关于μ=x 对称，在μ=x 处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A ．点评：考试大纲对正态分布的要求是“利用实际问题直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义”，这个考点多次出现在高考试卷中．【专题训练与高考预测】 文科部分一、选择题1．从某鱼池中捕得120条鱼，做了记号之后，再放回池中，经过适当的时间后，再从池中捕得100条鱼，若其中有记号的鱼为10条，试估计鱼池中共有鱼的条数为 （ ）A ．1000B ．1200C ．130D ．13002．已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程为y a bx =+必过点（ ） A ．()2,2 B ．()1.5,0 C ．()1,2 D ．()1.5,4 3．从2007名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2007人中剔除7人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率 （ ）A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等，且为200750D ．都相等，且为401 4．根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为：O 型50%，A 型15%，B 型30%，AB 型5%．现有一血液为A 型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为 （ ）A ．15%B ．20%C ．45%D ．65%5．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖奖券的概率是 （ ） A ．14 B ．13C ．12D ．1 6．有如下四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖．小明希望中奖，他应选择的游戏盘是（ ）二、填空题 7．归直线方程为0.50.81y x =-，则25x =时，y 的估计值为 ．8．若由一个2*2列联表中的数据计算得24.013K =，那么有 把握认为两个变量有关系．9．一工厂生产了某种产品180件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了 件产品．10．如图：M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的概率是 ．三、解答题11．一个质地均匀的正方体玩具的六个面上分别写着数字1,2,3,4,5,6，现将这个正方体玩具向桌面上先后投掷两次，记和桌面接触的面上的数字分别为,a b ，曲线:1x y C a b+=． （1）曲线C 和圆221x y +=有公共点的概率；（2）曲线C 所围成区域的面积不小于50的概率．（2）如果某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．理科部分一、选择题1．在区间[]2,2-内任取两数a ，b ，使函数()222f x x bx a =++有两相异零点的概率是（ ） A ．16 B ．14 C ．13 D ． 122．在一次实验中，测得(,)x y 的四组值分别为()1,2，()2,3，()3,4，()4,5，则y 与x 的线性回归方程可能是（ ） A ．1y x =+ B ．2y x =+ C ．21y x =+D ．1y x =- 5．向假设的三座相互毗邻的军火库投掷一颗炸弹，只要炸中其中任何一座，另外两座也要发生爆炸．已知炸中第一座军火库的概率为0.2，炸中第二座军火库的概率为0.3，炸中第三座军火库的概率为0.1，则军火库发生爆炸的概率是 （ ）A ． 0.006B ．0.4C ． 0.5D ． 0.66．从标有1237，，，，的7个小球中取出一球，记下它上面的数字，放回后再取出一球，记下它上面的数字，然后把两数相加得和，则取得的两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率是 （ ）A ．1649B ．1549C ．27D ．13497．在长为60m ，宽为40m 的矩形场地上有一个椭圆形草坪，在一次大风后，发现该场地内共落有300片树叶，其中落在椭圆外的树叶数为96片，以此数据为依据可以估计出草坪的面积约为 （ ）A ．2768mB ．21632mC ．21732mD ．2868m8．6名同学报考,,A B C 三所院校，如果每一所院校至少有1人报考，则不同的报考方法共有 （ ）A ．216种B ．540种C ．729种D ．3240种二、填空题9． 某校有高一学生400人，高二学生302人，高三学生250人，现在按年级分层抽样，从所有学生中抽取一个容量为190人的样本，应该高 学生中，剔除 人，高一、高二、高三抽取的人数依次是 ．10． 5)212(++xx 的展开式中整理后的常数项为 _____ ．11． 若x 50(1)x +展开式中最大的项是 项．三、解答题13．甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在7,8,9,10环，且每次射击成绩互不影响．射击环数的频率分布条形图如下：若将频率视为概率，回答下列问题．（1）求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上(含9环)的概率；（2）若甲、乙两运动员各自射击1次，ξ表示这2次射击中击中9环以上(含9环)的次数，求ξ的分布列及Eξ．15．袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求：（1）有放回抽样时，取到黑球的个数X的分布列；（2）不放回抽样时，取到黑球的个数Y的分布列．（1）根据表中数据，确定家庭的年收入和年饮食支出的相关关系；（2）如果某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．【参考答案】文科部分1．解析：B 根据用样本估计总体的思想，池中有记号的鱼的频率是110，故鱼池中鱼的条数是1200条．4．解析：D 过样本中心点．选D ．7．解析：C 任何个体被抽到的概率都相等，且是200750． 8．解析：D 只有O 型和A 型，根据互斥事件的概率加法得结论为65%． 9．解析：B 相当于在3张奖券中1张有奖，3人抽取，最后一人抽到中奖奖券的概率是13． 10．解析：A 选择游戏盘的原则是中奖的概率大，A 中中奖的概率是38，B 中中奖的概率是13，C 中中奖的概率是44π-，B 中中奖的概率是1π，比较大小即知． 11．解析：11.69 0.5250.8111.69⨯-=12．解析：95%13．解析：60．三条生产线的产品也组成等差数列．14．解析：12连接圆心O 与M 点，作弦MN 使090=∠MON ，这样的点有两个，分别记为12,N N ，仅当N 在不属于M 的半圆弧上取值时满足MN >，此时21180=∠ON N ，故所求的概率为2136018000=． 15．解析：基本事件的总数是36．（1）,a b1≤，即22111a b+≥，逐个检验， ()()()()()()()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,1，随机事件：曲线C 和圆221x y +=有公共点的概率包含着11个基本事件，故所求的概率是1136； （2）曲线C 所围成的区域的面积是2ab ，即求25ab ≥的概率，基本事件只能是()5,5，()5,6，()6,5，()6,6，故所求的概率是41369=． 16．解析：（1）由题意知，年收入x 为解释变量，年饮食支出y 为预报变量，作散点图（如图所示）．从图中可以看出，样本点呈条状分布，年收入和年饮食支出有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系．6x =∵， 1.83y =，1021406i i x ==∑，102135.13ii y ==∑，101117.7i i i x y ==∑， 0.172b ≈∴， 1.830.17260.798a y bx =-=-⨯=．从而得到回归直线方程为0.1720.798y x =+．（2）0.17290.798 2.346y =⨯+=万元．理科部分1．解析：D 根据题意,a b 应满足22b a >，即b a >，以(),a b 为点，在aob 平面上，结合图形可知这个概率为12． 2．解析：A 线性回归直线一定过样本中心点()2.5,3.5，故选A ．3．解析：D 设A B C ，，分别表示炸中第一、第二、第三座军火库这三个事件．则()0.2P A =，()0.3P B =，()0.1P C =．设D 表示”军火库爆炸”，则D A B C =．又A B C ，，∵彼此互斥，()()()()()0.20.30.10.6P D P A B C P A P B P C ==++=++=∴．4．解析：A 基本事件总数为7749⨯=个，而满足条件的基本事件个数为16个：(13)(22)(31)(17)(26)(35)(44)，，，，，，，，，，，，，，(53)(62)(71)(57)(66)(75)(67)(76)(77)，，，，，，，，，，，，，，，，，． 故所求事件的概率为1649．。
高一数学概率单元复习教案
必修3—第三章：概率单元复习主备：汤继源审核：韩多瑞一．复习目标：1．了解事件的分类，频率与概率的意义，掌握概率的性质；2．了解互斥事件、对立事件的概念；掌握互斥事件概率的加法公式及会用对立事件概率和为1的结论进行简单的概率计算．3．理解等可能事件的意义，理解古典概型、几何概型的特点，掌握古典概型和几何概型的概率计算；二．知识结构：三．知识要点：1．事件的分类：．2．互斥事件__ ___ 、对立事件的概念：____________________3. 概率加法公式：；4、对立事件的概率公式：．5．古典概型的概率计算公式：；几何概型的概率计算公式：．四．例题分析：例1某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，结果如下表所示：（1）计算表中进球的频率并填入表中；（2）这位运动员投篮一次，进球概率约是多少？例2 一个射手进行一次射击，指出下列事件中哪些是包含事件？哪些是互斥事件？哪些是对立事件？事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环；事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数大于5环.例3 甲、乙两人下中国象棋，已知下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，求：（1）乙不输的概率；（2）甲获胜的概率.例 4 某招呼站每天均有上、中、下等级的客车各一辆经过（开往省城）.某天，王先生准备在此招呼站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况及发车的顺序，为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好，则上第二辆，否则上第三辆，求王先生乘上上等车的概率.例5 某三件产品中有两件正品和一件次品，每次从中任取一件，连续取两次，分别在下列条件下，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.（1）每次取出产品后不放回； （2）每次取出产品后放回.例6 甲盒中有红、黑、白皮笔记本各3本，乙盒中有黄、黑、白皮笔记本各2本，从两个盒子中各任取一个笔记本，求取出的两个笔记本颜色不同的概率，并设计一种随机模拟方法，估计这个概率的近似值.例7 在1,2,3,4,5五条线路的公交车都停靠的车站上，张老师等候1,3,4路车.已知每天2,3,4,5路车经过该站的平均次数是相等的，1路车经过该站的次数是其它四路车经过该站的次数之和，若任意两路车不同时到站，求首先到站的公交车是张老师所等候的车的概率例8 如图，在三角形AOB 中,已知∠AOB=60°,OA=2，OB=5，在线段OB 上任取一点C ，求△AOC 为钝角三角形的概率.例9 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，这两艘船在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的，如果甲船停泊时间为1h ，乙船停泊时间为2h ，求甲、乙两船中任意一艘船都不需要等待码头空出才能进港的概率例10 在下图的正方形中随机撒一把豆子，如何用随机模拟的方法估计圆周率的值.例11 利用随机模拟方法计算由y=1和y=x2 所围成的图形的面积. 例12 甲、乙两人下棋，和棋的概率为 ，乙胜的概率为 ， 求： （1）甲胜的概率；（2）甲不输的概率.例13、2009年元旦某超市对交款处，排队等候付款的人数及其概率统计如下： 排队人数 0 1 2 3 4 5人以上概率 0.11 0.15 0.30 0.28 0.10 0.06（1）至多 2 人排队等候的概率；（2）至少 2 人排队等候的概率例14（2009福建卷文）袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球（I ）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；（Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率. 例15 某城市有连接8个小区A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 和市中心O 的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图.某人从道路网中随机地选择一条最短路径,1213由小区A 前往H.(1)列出此人从小区A 到H 的所有最短路径(自A 至H 依次用所经过的小区的字母表示);(2)求他经过市中心O 的概率五、巩固练习1、从长度分别为2、3、4、5、的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________2、将甲、乙两颗骰子先后各抛一次，a ，b 分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所得的点数，若把点数P(a ，b)落在不等式组 所表示的区域的事件记为A ，求P （A ） 变式 已知平面区域 若在区域 上随机找到一个点P,则点P 落在区域M 的概率为_______.3、“抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏之一.参与者只须将手上的“金币”（设“金币”的半径为1）抛向离身边若干距离的阶砖平面上，抛出的“金币”若恰好落在任何一个阶砖（边长为4的正方形）的范围内（不与阶砖相连的线重叠），便可获奖. 求抛一次金币获奖的概率？变式 有一个直径为4的圆，现将一枚直径为2的硬币投向其中，（硬币完全落在圆外的不计），则硬币完全落在圆内的概率？4、（2009•江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为5、鞋柜有3双不同的鞋，随机取出2只，试求下列事件的概率：（1）取出的鞋不成对；（2）取出的鞋都是左脚的；（3）取出的鞋都是同一只脚的；（4）取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对。