递进式输入率和服务率设定下的M／M／c模型优化及应用

第２６卷　第４期　２０１７年４月　

运　筹　与　管　理　

ＯＰＥＲＡＴＩＯＮＳ　ＲＥＳＥＡＲＣＨ　ＡＮＤ　ＭＡＮＡＧＥＭＥＮＴ　ＳＣＩＥＮＣＥ　Ｖｏ１．２６，Ｎｏ．４　

Ａｐｒ．２０１７　

递进式输入率和服务率设定下的Ｍ／Ｍ／ｃ模型优化及应用　王强强，　周伟　（１．中山大学岭南学院，广东广州５１０２７５；２．云南财经大学国际工商学院，云南昆明６５０２２１）　摘要：为了解决Ｍ／Ｍ／ｃ模型在实际运用中模拟精度不高及使用范围有限的问题，本文立足系统状态变化与输入　率和服务率的关系，通过引入输入概率和服务度，构建依赖系统状态的递进式输入率和服务率。递进式输入率和　服务率通过研究系统实际运行状况设定临界值，其中输入率分为两阶段，服务率分为三阶段。此外，结合递进式输　入率和服务率及排队论状态转移过程构建了递进式Ｍ／Ｍ／ｃ模型，并采用后确定法确定模型参数。递进式Ｍ／Ｍ／ｃ　模型是Ｍ／Ｍ／ｃ模型的扩展形式，提高了Ｍ／Ｍ／ｃ模型的模拟精度，在一定程度上拓展了模型的应用范围。最后，通　过一个生活实例验证了递进式Ｍ／Ｍ／ｃ模型的优化性和实用性。　关键词：Ｍ／Ｍ／ｃ模型；递进式输入率；递进式服务率；状态转移；后确定法　中图分类号：Ｆ２２４．３４　文章标识码：Ａ　文章编号：１００７—３２２１（２０１７）０４—００９６—０９　ｄｏｉ：１０．１２００５／ｏｒｍｓ．２０１７．００８８　

Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｍ／Ｍ／ｃ　Ｍｏｄｅｌ　Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　Ｐｒｏｇｒｅｓｓｉｖｅ　Ｉ　ｎｐｕｔ　Ｒａｔｅｓ　ａｎｄ　Ｓｅｒｖｉｃｅ　Ｒａｔｅｓ　

ＷＡＮＧ　Ｑｉａｎｇ—ｑｉａｎｇ，ＺＨＯＵ　Ｗｅｉ　（１．Ｌｉｎｇｎａｎ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｓｕｎ　Ｙａｔ—ｓｅｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ　５　１０２７５，Ｃｈｉｎａ；２．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｂｕｓｉｎｅｓｓ　Ｓｃｈｏｏｌ，　Ｙｕｎｎａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｆｉｎａｎｃｅ　ａｎｄ　Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，Ｋｕｎｍｉｎｇ　６５０２２　１，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｏ　ｉｍｐｒｏｖｅ　ｔｈｅ　ｆｉｔｔｉｎｇ　ｄｅｇｒｅｅ　ａｎｄ　ｅｘｔｅｎｄ　ｔｈｅ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｆｉｅｌｄｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｍ／Ｍ／ｃ　ｍｏｄｅｌ，ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｐｒｏｐｏ—　ｓｅｓ　ｔｈｅ　ｐｒｏｇｒｅｓｓｉｖｅ　ｉｎｐｕｔ・－ｒａｔｅ　ａｎｄ　ｓｅｒｖｉｃｅ．－ｒａｔｅ　ｄｅｐｅｎｄｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｒｅａｌ　ｓｙｓｔｅｍ　ｓｔａｔｅｓ　ｂｙ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇ　ｔｗｏ　ｎｅｗ　ｄｅｆｉｎｉ－—　ｔｉｏｎｓ，ｎａｍｅｌｙ　ｔｈｅ　ｉｎｐｕｔ　ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ａｎｄ　ｓｅｒｖｉｃｅ　ｄｅｇｒｅｅ．Ｔｈｅ　ｔｈｒｅｓｈｏｌｄｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｒｏｇｒｅｓｓｉｖｅ　ｉｎｐｕｔ—ｒａｔｅ　ａｎｄ　ｓｅｒｖｉｃｅ—　ｒａｔｅ　ａｒｅ　ｓｅｔ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ａｃｔｕａｌ　ｏｐｅｒａｔｉｎｇ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｒｅａｌ　ｓｙｓｔｅｍ　ｓｔａｔｅｓ．Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ｔｈｅ　ｐｒｏｇｒｅｓｓｉｖｅ　ｉｎｐｕｔ—　ｒａｔｅ　ａｎｄ　ｓｅｒｖｉｃｅ—ｒａｔｅ　ａｒｅ　ｄｉｖｉｄｅｄ　ｉｎｔｏ　ｔｗｏ　ｓｔａｇｅｓ　ａｎｄ　ｔｈｒｅｅ　ｓｔａｇｅｓ　ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｔｈｅｎ，ｔｈｅ　ｐｒｏｇｒｅｓｓｉｖｅ　Ｍ／Ｍ／ｃ　ｍｏｄｅｌ　ｉｓ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ　ｂｙ　ｃｏｍｂｉｎｉｎｇ　ｔｈｅ　ｐｒｏｇｒｅｓｓｉｖｅ　ｉｎｐｕｔ—ｒａｔｅ　ａｎｄ　ｓｅｒｖｉｃｅ－・ｒａｔｅ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｔｒａｎｓｉｔｉｏｎ　ｐｒｏｃｅｓｓ　ｉｎ　Ｑｕｅｕ・－　ｉｎｇ　Ｔｈｅｏｒｙ．Ｈｅｒｅ，ｗｅ　ｕｓｅ　ｔｈｅ　ａｆｔｅｒ－ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｎｇ　ｍｅｔｈｏｄ　ｔｏ　ｅｓｔｉｍａｔｅ　ｔｈｅ　ｒｅｌａｔｅｄ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｎｅｗ　ｍｏｄｅ１．Ｉｔ　ｉｓ　ｐｏｉｎｔｅｄ　ｏｕｔ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｐｒｏｇｒｅｓｓｉｖｅ　Ｍ／Ｍ／ｃ　ｍｏｄｅｌ　ｉｓ　ａｎ　ｅｘｔｅｎｄｅｄ　ｆｏｒｍ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｍ／Ｍ／ｃ　ｍｏｄｅｌ，ａｎｄ　ｃａｎ　ｂｅ　ｕｓｅ　ｔｏ　ｉｍｐｒｏｖｅ　ｔｈｅ　ｆｉｔｔｉｎｇ　ｄｅｇｒｅｅ　ａｎｄ　ｅｘｔｅｎｄ　ｔｈｅ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｆｉｅｌｄｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｍ／Ｍ／ｅ　ｍｏｄｅ１．Ｆｉｎａｌｌｙ，ａ　ｐｒａｃｔｉｃａｌ　ｅｘａｍｐｌｅ　ｉｓ　ｐｒｏｖｉｄｅｄ　ｔｏ　ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅ　ｔｈｅ　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｐｒａｃｔｉｃａｌｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｒｏｇｒｅｓｓｉｖｅ　Ｍ／Ｍ／ｃ　ｍｏｄｅ１．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｍ／Ｍ／ｃｍｏｄｅｌ；ｐｒｏｇｒｅｓｓｉｖｅ　ｉｎｐｕｔ　ｒａｔｅｓ；ｐｒｏｇｒｅｓｓｉｖｅ　ｓｅｒｖｉｃｅ　ｒａｔｅｓ；ｓｔａｔｅ　ｔｒａｎｓｉｔｉｏｎ；ａｆｔｅｒ　ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｎｇ　ｍｅｔｈ０ｄ　

０　引言　２０世纪初，丹麦工程师爱尔朗对排队中服务　时间和数量问题进行研究，预示着排队论的兴起。　经过一个多世纪的发展，如今排队论在各领域都取　得了较为重大的成果，在运筹学中具有非常重要地　位。排队论是一种解决现实随机服务系统的数学　理论和方法　’　，具有非常强的实用性，而多服务　台系统更是现实生活中最常见的。对于多服务台　排队论模型的构建，一般都是建立在所有服务台平　均输入率和平均服务率相同的假设条件下，但实际　

收稿日期：２０１５－１０—２１　．　基金项目：国家自然科学基金青年项目（７１３０１１４１）；教育部人文社会科学研究项目（１３ＹＪＣ６３０２４７）；云南省科技厅科学计划青年项目　（２０１３ＦＤ０２９）；云南省哲学社会科学规划项目（ＹＢ２０１５０８７）；云南省教育厅科学研究基金重点项目（２０１４Ｚ１００）　作者简介：王强强（１９９１一），男，江西吉安人，博士研究生，研究方向：管理科学与工程，排队论；周伟（１９８３一），男，湖南益阳人，教授，研　究方向：管理科学与工程，系统工程。　第４期　王强强，等：递进式输入率和服务率设定下的Ｍ／Ｍ／ｃ模型优化及应用　９７　上不同状态下每个服务台的平均输入率和服务率　是不相同的，这样就造成了一定的系统误差，使计　算结果有效性降低。　在有关排队论的研究方面，Ｇｕｏ等　研究了一　种具有快速传递的排队系统，该系统允许少部分人　进行快速传递，并利用ＭＡＴＬＡＢ进行仿真模拟，发　现该系统能快速收敛至最优解，同时保证了所有顾　客最大化的节约时间。在输入率和服务率的研究　方面，Ａｎｄｒｅｗｓ等　针对服务率可变排队系统进行　讨论，认为可以多个客户共享一个无线链路，同时，　将每个输入率描述为不可简化的可数马尔科夫链，　并通过设定服务规则，可以得到最佳吞吐量。　Ｈａｍｐｓｈｉｒｅ等　通过引入虚拟客户，研究具有马尔　科夫性质的服务时间，并将其推广到服务时间和间　隔时间服从非指数分布的排队系统。Ｗａｒｄ等　分　析了一个具有不耐烦顾客的繁忙交通排队系统，利　用近似奇异扩散构建一个接入控制策略，并证明了　该构建策略在弱收敛条件下能渐进最优。朱翼隽　等　研究了排队论模型在不同系统状态的下具有　两种服务率的情形，构建了系统状态转移图和微积　分方程组，求解的系统指标有一定实际意义，但忽　略了系统状态对输入率变化的影响。李继红等　研究了服务率依赖于批服务大小的两类成批服务　的排队网络，构建了批量服务排队网络模型，该模　型相对更适合于制造系统中的成批加工和质量检　测，而对于服务系统的应用性则有待探讨。Ｐａｎ—　ｄｅｌｉｓ等　通过假设指数加工时间和线性持有成　本，研究一个两级串联排队系统，能较大限度地减　少时间成本。Ｂｕｃｈｅ等¨　根据单服务台排队论模　型，建立交通拥挤极限定理，研究随时间变化的服　务率对排队论系统的影响，其中极限过程服从布朗　运动或分数布朗运动。谭畅¨　和台文志等　讨　１　１　论了顾客分别以　＝　和　＝　的可变输入　“，ｌ＝　｜，　十Ｉ　概率进入系统排队，构建新的Ｍ／Ｍ／１模型，并计　算各运行指标及相应系统的损失概率，获得了一定　１　的效果。邓春华¨　研究了顾客以　＝　＿＿的可变　ｌ十　输入率进入Ｍ／Ｍ／ｎ排队系统，同时计算出平均等　待队长、平均忙期的服务窗个数等主要运行指标，　并进行实证分析，取得了不错的效果，但更多的局　限于非繁忙排队系统，对于繁忙排队系统的模拟则　不理想。李焕¨　在文献７的基础上增加了以　＝　Ｊｃ　６为不耐烦顾客离开队伍的强度，构建了新的　Ｍ／Ｍ／ｎ排队系统，并推导出其各主要运行指标，具　有一定的创新，但没有考虑系统状态对服务率的影　响，且对于设定的参数没有给出良好的求解方法，　导致实用性不强。周强等　讨论了同时具有可变　输入率与可变服务率的Ｍ／Ｍ／１排队系统，并运用　系统状态转移图得到　氏代数方程组，从而分析　系统的平稳分布及各项指标。邹霞等¨　将文献　１５的模型推广，分别建立并讨论输入率可变且具　有两类服务率的Ｍ／Ｍ／ｎ排队模型，并通过实例验　证输入率可变且服务率呈线性增长的Ｍ／Ｍ／ｎ排　队模型的有效性。侯冬倩等针对窗口能力不等问　题，建立窗口能力不等且服务率可变的Ｍ／Ｍ／ｎ排　队模型，并针对ｎ＝２的情形进行模型构建，同时，　计算出主要运行指标，但当ｎ＞２时，模型的构建变　得异常复杂，具有一定局限性。冀云等　副将文献　１１的模型进一步推广到了输入率和服务率均可变　且窗口能力不等的Ｍ／Ｍ／２排队模型，但其同样限　制于ｎ＝２，不具有一般性。潘全如　等分析了输　入率可变，但因服务出差错而导致顾客需要重新排　队接受服务以及不同的顾客类需要不同的服务质　量等现状，建立了输入率可变、有差错服务的优先　排队模型，并计算出每一类顾客的平均逗留时间、　等待时间、队长及队列长。付馨雨等　叫以　＝１／　（　＋１），　＝　，为接受服务概率和服务率，研究　输入率和服务率都随队长变化而变化的Ｍ／Ｍ／１　模型，并推导出其平稳分布以及各项重要指标。梁　希泉等　结合上述研究及现实特性以　＝（ｃ／ｋ＋　１）。，　：（ｋ／ｃ）　为接受服务概率和服务率提高倍　数，构造随系统状态变化的输入率和服务率，从而　改进了Ｍ／Ｍ／ｃ模型，但并未给出模型中的参数ａ，　ｂ有效的求解方法，且未通过实例验证模型的正确　性及有效性。因此，本文针对输人率和服务率随系　统状态发生递进式变化展开论述。　基于以往的研究，本文利用输入率和服务率随　系统状态变化的性质，通过设定输入概率和服务　度，量化系统状态与输入率和服务率的关系，构造　递进式输入率和服务率，从而构建递进式Ｍ／Ｍ／ｃ　模型。该模型各状态下的临界值很大程度上决定　其对系统的模拟精度。因此，本文通过研究实际系　统，采用后确定法得到阶段输入率和服务率发生显　著变化的临界值及模型参数。该方法使得递进式　Ｍ／Ｍ／ｃ模型较好的克服经典Ｍ／Ｍ／ｃ模型与实际　系统联系不强问题，拓宽了应用范围，提高了模拟　精度。最后，本文将通过一个实例验证递进式Ｍ／　Ｍ／ｃ模型具有优于Ｍ／Ｍ／ｃ模型的实用范围和模拟　精度。