双等腰三角形教师版
北师大版八年级数学等腰三角形(2) (1)教案
1.1等腰三角形〔第二课时〕教学设计一、教材的地位和作用“等腰三角形〔第一课时〕〞选自《义务教育课程标准实验教科书〔北师大版〕·数学》八年级下册第一章第二节。
从图形的观察到猜测再到严谨的证明进一步研究等腰三角形的特殊性质，丰富了学生实践探究的过程体验，为开展学生数学实践探究能力提供了平台.本节课主要研究等腰三角形的特殊性质，特殊的等腰三角形〔等边三角形〕的性质，这是在已经学习了等腰三角形的性质、轴对称图形、全等三角形的知识上进行的，它既是拓展前面所学的知识，又为后面的几何证明打下更牢固的根底。
本节课是继八上《平行线的证明》后再次让学生感受了证明的必要性，深刻体验了“探索——发现——猜测——证明〞的全过程。
学生通过学习本节课的知识掌握了用综合法证明相关命题，感受了数学的严谨性，对缜密思维、探究能力的培养有着举足轻重的作用.二、学情分析在七年级下册第四章《三角形》，学生经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题；在八年级上册第七章《平行线的证明》，学生已经感受了证明的必要性，并通过平行线有关命题的证明过程，习得了一些根本的证明方法和根本标准，积累了一定的证明经验；而上一课时，学生刚刚证明了等腰三角形的性质，这为本课时拓展等腰三角形的性质、研究等腰三角形的判定定理都做了很好的铺垫。
八年级学生已经具备初步的演绎推理能力，但是完整标准的语言表达还是欠缺的。
所以在命题证明的过程中教师不仅要鼓励学生大胆表达自己的推理过程，而且要严格标准几何语言表述。
本节课需要创造时机给学生大胆做猜测，充分发挥学生的主体作用，重视知识的生成过程.三、教学目标1.进一步探究等腰三角形的特殊性质，掌握等边三角形的性质定理，并运用等边三角形的性质解决问题；2.探索——发现——猜测——证明等腰三角形中相等的线段，进一步熟悉证明的根本步骤和书写格式，体会证明的必要性；3.在图形的观察中，揭示等腰三角形对称性的本质，开展几何直观，体验数学充满着探索与创造，感受数学的严谨性.四、教学重难点重点：等腰三角形的特殊性质及等边三角形的性质；难点：等边三角形的性质及应用.五、教学关键运用观察、演绎推理来证明猜测，以全等三角形为推理工具，在交流中突破难点.六、教学方法在猜测验证、合作交流的根底上，教师先用讲授法引导学生证明性质及推理，然后用启发式教学法启发学生用相关知识解决问题、分析问题.七、教具学具准备PPT演示课件、实物展台、三角尺八、教学过程1.新知导入同学们，在上一节课的学习中，探究了等腰三角形的性质，下面请同学们答复以下问题：等腰三角形都有哪些性质呢？【设计】通过回忆等腰三角形的性质，为其特殊性质及等边三角形的性质的探究做好铺垫.2.新知探究【探究1】等腰三角形的特殊性质画一画：在等腰三角形中作两底角的角平分线、两腰上的中线、两腰上的高.图1追问1：作出的这些线段有什么关系？答案：如图1，作图观察，可以猜测：等腰三角形两底角的角平分线相等，两腰上的中线、两腰上的高相等.【学生活动】学生动手画图，并根据作图找出相等的线段，并得出猜测.【设计】通过动手操作、观察探究等活动得到猜测.追问2：你能证明猜测的结论吗？例1：证明：等腰三角形的两底角的角平分线相等.：如图2，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的角平分线.求证：BD=CE.证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB〔等边对等角〕.∵BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠1=21∠ABC ，∠2=21∠ACB. 在△BDC 和△CEB 中，∵∠ABC=∠ACB ，BC =BC ，∠1=∠2， 图2∴△BDC ≌△CEB 〔ASA 〕∴BD =CE.即等腰三角形两底角的角平分线相等.【学生活动】在教师的引导下对猜测所得出的结论进行证明，证明完成后组内交流，并认真听教师讲评.变式1：证明：等腰三角形的两腰上的中线相等.：如图3，在△ABC 中，AB =AC ， BD 和CE 是△ABC 两腰上的中线.求证：BD =CE.证明：∵AB =AC ，∴∠ABC=∠ACB 〔等边对等角〕.∵BD ，CE 分别平分AC 和AB ，∴CD=21AC ，BE=21AB ， 在△BDC 和△CEB 中， 图3 ∵CD=BE ，∠ABC=∠ACB ，BC =BC ，∴△BDC ≌△CEB 〔SAS 〕∴BD =CE.即等腰三角形两腰上的中线相等.【学生活动】学生独立完成对猜测的证明，然后组内并派小组成员分享证明过程.【设计】通过猜测、证明的过程培养学生的几何推理能力和表达能力.议一议：如图4，在等腰三角形ABC 中，点D 、E 分别在AC 和AB 上.〔1〕如果∠ABD =31∠ABC ，∠ABE =31∠ACB ，那么BD =CE 吗？如果∠ABD =41∠ABC ，∠ABE =41∠ACB 呢？由此，你可以得到什么结论？ 〔2〕如果CD =31AC ，BE =31AB ，那么BD =CE 吗？如果CD =41AC ，BE =41AB 呢？由此，你可以得到什么结论？图4结论：〔1〕在△ABC 中，如果AB =AC ， ∠ABD =n 1∠ABC ，∠ABE =n 1∠ACB ，那么BD =CE.〔2〕在△ABC 中，如果AB =AC ， CD =n 1AC ，BE =n1AB ，那么BD =CE. 【学生活动】学生口述答复并作简要证明.追问：为什么等腰三角形有这样的特殊性质？答：因为等腰三角形是轴对称图形，所以具有这样的特殊性质.【设计】通过对等腰三角形特殊性质的拓展，引导学生在图形的观察和证明的过程中揭示等腰三角形对称性的本质.变式2：证明：等腰三角形的两腰上的高相等.：如图5，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的高.求证：BD=CE.证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB〔等边对等角〕.∵BD和CE是△ABC的高，∴∠CDB=∠BEC=90°.在△BDC和△CEB中，图5∵∠ABC=∠ACB，∠CDB=∠BEC=90°，BC=CB，∴△BDC≌△CEB〔AAS〕∴BD=CE.即等腰三角形两腰上的高相等.【学生活动】学生小组讨论得出结论，并对结论进行证明，然后组内交流，最后教师点评.【探究2】等边三角形的性质思考：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？猜测：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.例2：：如图6，在△ABC中，AB=AC=BC.求证：△A=△B=△C=60°.证明：△AB=AC，△△B=△C(等边对等角).又△AC=BC，△△A =△B (等边对等角).△△A =△B =△C .在△ABC 中， 图6△△A +△B +△C ＝180°，△△A =△B =△C ＝60°.归纳：等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且每个角都等于60° 符号语言：△△ABC 是等边三角形〔或AB =AC =BC 〕，△△A =△B =△C =60°.【学生活动】学生根据等腰三角形的性质进行猜测，然后对所猜测的结论进行证明，完成后班内交流.【设计】通过猜测、验证活动让学生体会等边三角形的性质及几何语言的标准表达.3.双基稳固例1:如图7，在△ABC 中，AB =AC ，以下条件中，不能使BD =CE 的是〔 〕A. BD ，CE 分别为AC ，AB 上的高B . BD ，CE 分别为∠ABC ，∠ACB 的平分线C. ∠ABD =31∠ABC ，∠ABE =31∠ACB D . ∠ABD =∠BCE【设计】考查学生对等腰三角形特殊性质的掌握情况. 图7例2:等边△ABC 的两条角平分线BD 和CE 相交所夹锐角的度数为___________.【设计】通过角度的计算题加强学生对等边三角形的性质运用.例3:如图8，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，假设BD=BC，则∠A=____________.图8【设计】考查学生对等腰三角形性质的综合应用，利用方程思想与三角形内角和求角的度数.例4：如图9，△ABC与△BDE是等边三角形，连接AE，CD，求证：AE=CD.证明：∵△ABC与△BDE是等边三角形，∴△1=△3＝60°，AB=BC，BE=BD∴△1+△2＝△2+△3.即△ABE=△CBD.在△ABE和△CBD中，AB=BC，△ABE=△CBD，BE=BD，图9∴△ABE≌△CBD〔SAS〕∴AE=CD.【学生活动】学生先自主完成双基稳固练习，然后小组对答案并进行班级交流，教师点评.【设计】借助手拉手模型引导学生稳固等边三角形的性质，进一步训练学生标准的几何语言表达，开展几何证明能力.4.课堂小结在课堂的最后，我们一起回忆总结本节课所学的知识，同学们答复以下问题：问题1：说说等腰三角形的特殊性质？答案：〔1〕等腰三角形两底角的角平分线相等；〔2〕等腰三角形两腰上的中线相等；〔3〕等腰三角形两腰上的高相等.问题2：说说等边三角形的性质？答案：等边三角形的三个内角相等，并且每一个角都等于60°.问题3：本节课学习了哪些数学方法与数学思想？答案：特殊到一般的思想、方程思想、逻辑推理.5.变式拓展变式1：如图10，在等边△ABC中，M是AC上一点，N是BC上一点，且AM ＝BN，△MBC＝25°，AN与BM交于点O，则△MON的度数为〔〕A．110°B．105°C．90°D．85° 图10变式2：〔20xx·玉林〕如图11，△AOB=60°，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是〔〕A．平行B．相交C．垂直D．平行、相交或垂直图11 【设计】两道变式训练一方面为了检查学生对双基稳固知识的掌握情况，另一方面训练学生的发散思维，引导学生利用等腰三角形的特殊性质、等边三角形的性质解决问题，开展应用意识.6.作业布置必做作业：P7习题第2、3题，变式拓展1、2题选做作业：学案选做7.板书设计教学设计说明与反思逻辑推理是六大数学核心素养之一，逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式，是数学严谨性根本保证，是人们在数学活动中进行交流的思维品质。
等腰三角形判定教案5篇
等腰三角形判定教案5篇等腰三角形判定教案5篇本节内容的重点是三角形三边关系定理及推论.这个定理与推论不仅给出了三角形的三边之间的大小关系，更重要的是提供了判断三条线段能否组成三角形的标准;下面是小编给大家整理的等腰三角形判定教案5篇，希望大家能有所收获!等腰三角形判定教案1一、教学目标：1.使学生掌握等腰三角形的判定定理及其推论;2.掌握等腰三角形判定定理的运用;3.通过例题的学习，提高学生的逻辑思维能力及分析问题解决问题的能力;4.通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受;5.通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征.二、教学重点：等腰三角形的判定定理三、教学难点性质与判定的区别四、教学流程1、新课背景知识复习(1)请同学们说出互逆命题和互逆定理的概念估计学生能用自己的语言说出，这里重点复习怎样分清题设和结论。
(2)等腰三角形的性质定理的内容是什么?并检验它的逆命题是否为真命题?启发学生用自己的语言叙述上述结论，教师稍加整理后给出规范叙述：1.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.(简称“等角对等边”).由学生说出已知、求证，使学生进一步熟悉文字转化为数学语言的方法.已知：如图，△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC.教师可引导学生分析：联想证有关线段相等的知识知道，先需构成以AB、AC为对应边的全等三角形.因为已知∠B=∠C，没有对应相等边，所以需添辅助线为两个三角形的公共边，因此辅助线应从A点引起.再让学生回想等腰三角形中常添的辅助线，学生可找出作∠BAC的平分线AD或作BC边上的高AD等证三角形全等的不同方法，从而推出AB=AC.注意：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆.(2)不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形.(3)判定定理得到的结论是三角形是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边边和角角关系.2.推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形. 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.要让学生自己推证这两条推论.小结：证明三角形是等腰三角形的方法：①等腰三角形定义;②等腰三角形判定定理.证明三角形是等边三角形的方法：①等边三角形定义;②推论1;③推论2.3.应用举例例1.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.分析:让学生画图，写出已知求证，启发学生遇到已知中有外角时，常常考虑应用外角的两个特性①它与相邻的内角互补;②它等于与它不相邻的两个内角的和.要证AB=AC，可先证明∠B=∠C，因为已知∠1=∠2，所以可以设法找出∠B、∠C与∠1、∠2的关系.已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC.求证：AB=AC.证明：(略)由学生板演即可.补充例题：(投影展示)1.已知：如图，AB=AD，∠B=∠D.求证：CB=CD.分析：解具体问题时要突出边角转换环节，要证CB=CD，需构造一个以 CB、CD 为腰的等腰三角形，连结BD，需证∠CBD=∠CDB，但已知∠B=∠D，由AB=AD可证∠ABD=∠ADB，从而证得∠CDB=∠CBD，推出CB=CD.证明：连结BD，在中，(已知)(等边对等角)(已知)即(等角对等边)小结：求线段相等一般在三角形中求解，添加适当的辅助线构造三角形，找出边角关系.2.已知，在中，的平分线与的外角平分线交于D，过D作DE//BC交AC与F，交AB于E，求证：EF=BE-CF. 分析：对于三个线段间关系，尽量转化为等量关系，由于本题有两个角平分线和平行线，可以通过角找边的关系，BE=DE,DF=CF即可证明结论.证明： DE//BC(已知)，BE=DE,同理DF=CF. EF=DE-DF EF=BE-CF 小结：(1)等腰三角形判定定理及推论.(2)等腰三角形和等边三角形的证法.七.练习教材 P.75中1、2、3.八.作业教材 P.83 中 1.1)、2)、3);2、3、4、5.五、板书设计等腰三角形判定教案2§12.3.1.2 等腰三角形判定教学目标(一)教学知识点探索等腰三角形的判定定理.(二)能力训练要求通过探索等腰三角形的判定定理及其例题的学习，提高学生的逻辑思维能力及分析问题解决问题的能力;(三)情感与价值观要求通过对等腰三角形的判定定理的探索，让学生体会探索学习的乐趣，并通过等腰三角形的判定定理的简单应用，加深对定理的理解.从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力.教学重点等腰三角形的判定定理的探索和应用。
双等腰三角形教师版
双等腰三角形等腰三角形是几何题目中常见的基本图形，两个等腰三角形为背景的题目也屡见不鲜，多数为两个等腰三角形共点旋转，或两个等腰三角形的底在同一直线上，或两个等腰三角形的腰在同一直线上，那么有着特殊位置的两个等腰三角形会有什么结论那？共腰双等腰首先我们就一起研究一下两个共腰的等腰三角形有什么特性及其应用。
共腰双等腰是指两个等腰三角形各有一条腰在同一直线上，而剩余的腰和底不在同一直线上，那么两个等腰三角形剩余腰与腰的夹角为两个等腰三角形剩余底与底夹角的2倍。
模型一、如图，AB=AC，AD=AE，求证：∠BAD=2∠EDC。
A ∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=α，∵AD=AE，∴设∠ADE=∠AED=β，E其中两个等腰三角形的一条腰AE与AC共线，那么剩余的底DE与剩余的底BC的夹角∠EDC=β-α，B CD那么剩余的腰AB与剩余的腰AD的夹角∠BAD=∠ADC-∠ABC=2β-2α，∴∠BAD=2∠EDC。
模型一变式、①如图，AB=AC，∠BAD=2∠EDC，求证：AD=AE。
②如图，AD=AE，∠BAD=2∠EDC，求证：AB=AC。
A AE EB CD B CD模型二、如图，AB=AC=A，D求证：（1）∠CAD=2∠CBD；（2）∠BAC=2∠BDC。
∵AB=AD，∴设∠ABD=∠ADB=α，A ∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=β，其中两个等腰三角形的一条腰AB与AB共线，那么剩余的底BD与剩余的底BC的夹角∠DBC=β-α，那么剩余的腰AC与剩余的腰AD的夹角∠CAD=∠BAD-∠BAC=2β-2α，∴∠CAD=2∠CBD。
同理可证，∠∠。
BAC=2BDC模型二变式、①如图，，∠∠，求证：。
AB=AC CAD=2CBD AB=AD BCD②如图，AB=AC，∠BAC=2∠BDC，求证：AB=AC。
模型二思考、等腰△ABC与等腰△ACD也可以看成是两个共腰的等腰三角形，那么图中谁是剩余腰与腰的夹角，谁是剩余底与底的夹角，它们之间还是否满足2倍的关系？模型三、如图，AB=AC=A，D求证：（1）∠CAD=2∠CBD；（2）∠BAC=2∠BDC；（3）∠BAD=2∠BCD。
2023年暑假新八年级数学预习专题7：等腰三角形(精讲教师版)
五、含 30°的直角三角形的性质定理 在直角三角形中，如果有一个锐角是 30°，那么它所对的直角边等于斜边 的一半．
攻略 1 判定等腰三角形的方法： 1．定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；
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三、等边三角形的性质 1．三边都相等的三角形叫等边三角形． 2．等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于 60°． 注意：①每条边上的中线、高线、所对角的角平分线互相重合（三线合一） ②等边三角形也是轴对称图形，它有三条对称轴，三线合一所在的直线即 为等边三角形的对称轴，对称轴的交点是等边三角形的中心点． 3．常见有关等边三角形的旋转题图形
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2．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写 成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC 中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【注意】1．“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等， 那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底 角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”． 2．“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相 等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是 等腰三角形的判定． 攻略 2 判定等边三角形的方法： 1．定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． 2．三个角都相等的三角形是等边三角形． 3．有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形． 攻略 3 一在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边 等于斜边的一半． 【注意】1．该性质是含 30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角 形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． 2．这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． 3．该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． 4．在有些题目中，若给出的角是 15°时，往往运用一个外角等于和它不相 邻的两个内角的和将 15°的角转化后，再利用这个性质解决问题．
等腰三角形教案
学生充分讨论后，小组代表阐述猜想过程（教师刻意找教师参与过的小组的代表，他阐述的猜想过程又会引导启发其他同学）。
本次活动中，教师重点注重：
（1）学生数学语言的规范性；
（2）学生的归纳能否全面；
（3）学生在交流中表现出来的参与意识和发表个人见解的勇气。
培养学生语言转换水平，增强理性理解，体会证明的必要性，发展演绎推理水平。
14分钟
8分钟
[活动4]使用性质，解决问题
问题
（1）等腰三角形一个底角为75°,它另外两个角为___________；
等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为____________；
等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为________。
教师评判并引导学生归纳性质1的两个作用：
1求角的度数；
②将线段间的相等关系转化为角之间的相等关系。
教师用ppt演例如题1。
学生独立思考后小组讨论。
教师参与讨论，认真听取学生分析，引导学生找出角之间的关系，为了分析解答的简捷明了，引导学生设∠A=x，板书解答过程。
教师用ppt演例如题2。
学生独立思考证明，他们可能还习惯于用全等三角形。
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
性质2：三线合一．
使用格式：在△ABC中，
（1）∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=DC,∠BAD=∠CAD.
（2） ∵AB=AC,BD=DC,
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.
（3） ∵AB=AC,∠BAD=∠CAD,
∴AD⊥BC,BD=DC.
三、例题1
解：∵AB=AC，
《等腰三角形》教学设计
专题21 双等腰旋转问题(教师版)-2021年中考数学模型技巧讲义(二轮)
专题21 双等腰旋转问题【规律总结】“双等腰旋转”是旋转型全等的重要组成部分，也是初中阶段常考的重要题型.与平移、对称类似，利用全等将线段或角的位置转移，把分散的条件集中在一起，在选择题、填空题、解答题经常出现.解答这类问题的关键是掌握基本模型的结构.【基本模型】1.已知条件当中若存在两个等腰三角形其顶角顶点重合，则本身就存在双等腰旋转全等：共顶点双等腰直共顶点双等腰2.已知条件当中若只存在一个等腰三角形，可以利用“已知等腰、构造等腰”的思路构造双等腰旋转：【典例分析】例1．（2021·上海九年级专题练习）如图，在△ABC中，△ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．当AD＝BF时，△BEF的度数是（）A．45°B．60°C．62.5°D．67.5°【答案】D【分析】根据旋转的性质可得CD＝CE和∠DCE＝90°，结合∠ACB＝90°，AC＝BC，可证∠ACD∠∠BCE，依据全等三角形的性质即可得到∠CBE＝∠A＝45°，再由AD＝BF可得等腰∠BEF，则可计算出∠BEF 的度数．【详解】解：由旋转性质可得：CD＝CE，∠DCE＝90°．∠∠ACB＝90°，AC＝BC，∠∠A＝45°．∠∠ACB−∠DCB＝∠DCE−∠DCB．即∠ACD＝∠BCE．∠∠ACD∠∠BCE．∠∠CBE＝∠A＝45°．∠AD＝BF，∠BE＝BF．∠∠BEF＝∠BFE＝67.5°．故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质找出相等的线段和角，并能准确判定三角形全等，从而利用全等三角形性质解决相应的问题．例2．（2020·山西八年级期末）如图，ABC ∆和DCE ∆都是等腰直角三角形，90ACB ECD ∠=∠=︒，42EBD ∠=︒，则AEB ∠=___________度．【答案】132【分析】先证明∠BDC∠∠AEC ，进而得到角的关系，再由∠EBD 的度数进行转化，最后利用三角形的内角和即可得到答案．【详解】解：∠90ACB ECD ∠=∠=︒，∠BCD ACE ∠=∠，在BDC ∆和AEC ∆中，AC BC BCD ACE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()BDC AEC SAS ∆∆≌，∠DBC EAC ∠=∠，∠42EBD DBC EBC ︒∠=∠+∠=，∠42EAC EBC ︒∠+∠=，∠904248ABE EAB ︒︒︒∠+∠=-=，∠180()18048132AEB ABE EAB ︒︒︒︒∠=-∠+∠=-=．故答案为132【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．例3．（2021·湖北鄂州市·八年级期末）在ABC 中，AB AC =，点D 是直线BC 上一点（不与B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ，使AD AE =，DAE BAC ∠=∠，连接CE ．（1）如图，当点D 在线段BC 上，如果90BAC ∠=︒，则BCE ∠=______度．（2）设BAC α∠=，BCE β∠=．①如图，当点D 在线段BC 上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．②如图，当点D 在线段BC 的反向延长线上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由．【答案】（1）90；（2）①180αβ+=︒，理由见解析；②αβ=，理由见解析【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，由“SAS”可证∠BAD∠∠CAE ，可得∠ABC=∠ACE=45°，可求∠BCE 的度数；（2）①由“SAS”可证∠ABD∠∠ACE 得出∠ABD=∠ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论； ②由“SAS”可证∠ADB∠∠AEC 得出∠ABD=∠ACE ，再用三角形外角的性质即可得出结论．【详解】（1）∠AB=AC ，∠BAC=90°，∠∠ABC=∠ACB=45°，∠∠DAE=∠BAC ，∠∠BAD=∠CAE ，在∠BAD 和∠CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠BAD∠∠CAE （SAS ）∠∠ABC=∠ACE=45°，∠∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，故答案为：90；（2）①180αβ+=︒．理由：∠∠BAC=∠DAE ，∠∠BAC -∠DAC=∠DAE -∠DAC ．即∠BAD=∠CAE ．在∠ABD 与∠ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABD∠∠ACE （SAS ），∠∠B=∠ACE ．∠∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB ．∠∠ACE+∠ACB=β，∠∠B+∠ACB=β，∠α+∠B+∠ACB=180°，∠α+β=180°；② 当点D 在射线BC 的反向延长线上时，αβ=．理由如下：∠DAE BAC ∠=∠，∠DAB EAC ∠=∠，在∠ABD 与∠ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠△≌△ADB AEC(SAS)， ∠ABD ACE ∠=∠，∠ABD BAC ACB ∠=∠+∠，ACE BCE ACB ∠=∠+∠，∠BAC ABD ACB ∠=∠-∠，BCE ACE ACB ∠=∠-∠，∠BAC BCE ∠=∠，即αβ=．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，以及三角形外交的性质，证明∠ABD∠∠ACE 是解本题的关键．【好题演练】一、单选题1．（2020·全国八年级单元测试）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，△BAF=△CAG=90°，AB=AF ，AC=AG ．连接FG ，交DA 的延长线于点E ，连接BG ，CF ． 则下列结论：①BG=CF ；②BG△CF ；③△EAF=△ABC ；④EF=EG ，其中正确的有（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【答案】D【分析】 由题意易得FAC BAG ≌，根据全等三角形的性质可进行分析排除．【详解】解：∠BAF=∠CAG=90°，∠BAG=∠BAC+∠GAC ，∠FAC=∠FAB+∠BAC ，∴∠BAG=∠FAC ，AB=AF ，AC=AG ，∴FAC BAG ≌，∴BG=FC ，∠AGB=∠ACF ，故①正确；∠AGC=∠AGB+∠BGC ，∠GCF=∠ACF+∠GCA ，∠GCA=∠AGC ，∴∠BGC+∠FCG=∠AGC -∠AGB+∠GCA+∠ACF=90°，∴BG∠CF ，故②正确；∠FAE+∠BAD=90°，AD∠BC ，∴∠BAD+∠ABD=90°，∴∠FAE=∠ABD ，故③正确；如图，设GH 与FC 交于H 点，连接EH ，由①②③易得∠FHE=∠EHF ，所以EF=EH ， 即EF=EH=EG ，故④正确；故选D ．【点睛】本题主要考查三角形全等的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握各个知识点是解题的关键．2．（2019·北京市八一中学）如图，//AB CD ，BAC ∠与ACD ∠的平分线相交于点G ，EG AC ⊥于点E ，F 为AC 中点，GH CD ⊥于H ，FGC FCG ∠=∠．下列说法正确的是( )①AG CG ⊥；②BAG CGE ∠=∠；③AFG GFC S S ∆∆=；④若:2:7EGH ECH ∠∠=，则150AFG ∠=︒．A ．①③④B ．②③C ．①②③D ．①②③④【答案】C【分析】 根据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到90GAC GCA ∠+∠=︒从而根据三角形的内角和定理得到90AGC ∠=︒，即可判断①正确性；根据等角的余角相等可知CGE GAC ∠=∠，再由角平分线的定义与等量代换可知BAG CGE ∠=∠，即可判断②正确性；通过面积的计算方法，由等底等高的三角形面积相等，即可判断③正确性；通过角度的和差计算先求出EGH ECH ∠∠，的度数，再求出50EGF ∠=︒，再由三角形内角和定理及补角关系即可判断④是否正确．【详解】①中，∠AB ∠CD ，∠180BAC ACD ∠+∠=︒，∠∠BAC 与∠DCA 的平分线相交于点G ， ∠11121809022GAC GCA BAC ACD ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒， ∠180GAC GCA AGC ∠+∠+∠=︒，∠90AGC ∠=︒∠AG ∠CG ，则①正确；②中，由①得AG ∠CG ，∠EG AC ⊥，FGC FCG ∠=∠，∠根据等角的余角相等得CGE GAC ∠=∠，∠AG 平分BAC ∠，∠=BAG GAC ∠∠，∠BAG CGE ∠=∠，则②正确；③中，根据三角形的面积公式，∠F 为AC 中点，∠AF =CF ，∠AFG ∆与GFC ∆等底等高，∠AFG GFC S S ∆∆=，则③正确；④中，根据题意，得：在四边形GECH 中，180EGH ECH ∠+∠=︒，又∠:2:7EGH ECH ∠∠=， ∠271804018014099EGH ECH ∠=︒⨯=︒∠=︒⨯=︒，， ∠CG 平分∠ECH ， ∠1702FCG ECH ∠=∠=︒， 根据直角三角形的两个锐角互余，得20EGC ∠=︒.∠FGC FCG ∠=∠，∠70FGC FCG ∠=∠=︒，∠50EGF FGC ECG ∠=∠-∠=︒，∠EG AC ⊥，∠9040GFE EGF ∠=︒-∠=︒，∠180********AFG GFE ∠=︒-∠=︒-︒=︒，则④错误.故正确的有①②③，故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形的综合应用，涉及到三角形面积求解，三角形的内角和定理，补角余角的计算，角平分线的定义，平行线的性质等相关知识点以及等量代换等数学思想，熟练掌握相关角度的和差倍分计算是解决本题的关键.二、填空题3．（2020·内蒙古通辽市·中考真题）如图，在ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，点P在斜边AB 上，以PC 为直角边作等腰直角三角形PCQ ，90PCQ ∠=︒，则222,,PA PB PC 三者之间的数量关系是_____．【答案】PA 2+PB 2=2PC 2【分析】把AP 2和PB 2都用PC 和CD 表示出来，结合Rt∠PCD 中，可找到PC 和PD 和CD 的关系，从而可找到PA 2，PB 2，PC 2三者之间的数量关系；【详解】解：过点C作CD∠AB，交AB于点D∠∠ACB为等腰直角三角形，CD∠AB，∠CD=AD=DB，∠PA2=（AD-PD）2=（CD-PD）2=CD2-2CD•PD+PD2，PB2=（BD+PD）2=（CD+PD）2=CD2-2CD•PD+PD2，∠PA2+PB2=2CD2+2PD2=2（CD2+PD2），在Rt∠PCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2，∠PA2+PB2=2PC2，故答案为PA2+PB2=2PC2.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，关键是作出辅助线，利用三线合一进行论证.4．（2020·仪征市实验中学九年级三模）两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所示放置，直角顶点重合在点O处，AB＝13，CD＝7．保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转a（0<α<90°），如图2所示．当BD与CD在同一直线上（如图3）时，则△ABC 的面积为____．【答案】30【分析】设AO 与BC 的交点为点G ，根据等腰直角三角形的性质证∠AOC∠∠BOD ，进而得出∠ABC 是直角三角形，设AC ＝x ，BC=x+7，由勾股定理求出x ，再计算∠ABC 的面积即可．【详解】解：设AO 与BC 的交点为点G ，∠∠AOB ＝∠COD ＝90°，∠∠AOC ＝∠DOB ，在∠AOC 和∠BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∠∠AOC∠∠BOD （SAS ），∠AC ＝BD ，∠CAO ＝∠DBO ，∠∠DBO ＋∠OGB ＝90°，∠∠OGB ＝∠AGC ，∠∠CAO ＋∠AGC ＝90°，∠∠ACG ＝90°，∠CG∠AC ，设AC＝x，则BD=AC=x，BC=x+7，∠BD、CD在同一直线上，BD∠AC，∠∠ABC是直角三角形，∠AC2＋BC2＝AB2，()222713x x++=,解得x=5，即AC=5，BC=5+7=12，在直角三角形ABC中，S= 151230 2⨯⨯=，故答案为：30．【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题．三、解答题5．（2020·佳木斯市第十二中学九年级期中）在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以BC为斜边作直角三角形BCP，连接OP．（1）如图所示，易证：CP BP=+；（2）当点P的位置变换到如第二幅图和第三幅图所示的位置时，线段CP、BP、OP之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对第二幅图加以证明．【答案】（1）见解析；（2）第二幅图：BP CP =，第三幅图：BP CP +=【分析】（1）在CP 上截取CE=BP ，连接OE ，记OB 与CP 交于点F ，根据正方形的性质证明()OCE OBP SAS ≅，得到EOP △是等腰直角三角形，所以有PE =，从而证得CP CE PE BP =+=+；（2）第二幅图的证明过程类似（1）中的证明过程，在BP 上截取BE=CP ，连接OE ，记OC 与BP 交于点F ，证明()OBE OCP SAS ≅，得到OEP 是等腰直角三角形，可以证得BP CP =+；第三幅图的结论是BP CP +=，证明方法一样是构造三角形全等，由()OBE OCP SAS ≅可以证出结论．【详解】解：（1）如图，在CP 上截取CE=BP ，连接OE ，记OB 与CP 交于点F ，∠四边形ABCD 是正方形，∠OB=OC ，90BOC ∠=°，∠BP CP ⊥，∠90BOC BPC ∠=∠=︒，∠OFC PFB ∠=∠，∠OCE OBP ∠=∠，在OCE △和OBP 中，OC OB OCE OBP CE BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()OCE OBP SAS ≅，∠OE OP =，COE BOP ∠=∠，∠BOC BOE COE ∠=∠+∠，EOP BOE BOP ∠=∠+∠，∠90EOP BOC ∠=∠=︒，∠EOP △是等腰直角三角形，∠PE =，∠CP CE PE BP =+=+；（2）第二幅图：BP CP =，第三幅图：BP CP +=，证明第二幅图的结论： 如图，在BP 上截取BE=CP ，连接OE ，记OC 与BP 交于点F ，同（1）中证明()OCE OBP SAS ≅的过程证明()OBE OCP SAS ≅，同理OEP 是等腰直角三角形，∠EP =，∠BP BE EP CP =+=；第三幅图的证明过程是：如图，延长PB 至点E ，使BE=CP ，证明()OBE OCP SAS ≅，得到OEP 是等腰直角三角形，∠EP =，∠EP EB BP CP BP =+=+，CP BP =+．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和进行的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明求解，并且学会构成全等三角形的方法．6．（2020·台州市书生中学八年级期中）已知：平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，将OB绕O点顺时针转60°至OA．（1）如图1，试判定△ABO的形状，并说明理由．（2）如图1，若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边△BEG，延长GA交x轴于点P，问：AP与AO之间有何数量关系，试证明你的结论．（3）如图2，若BC△BO，BC＝BO，作BD△CO ，AC、DB交于E，补全图形，并证明：AE ＝BE+CE．【答案】（1）等边三角形，理由见解析；（2）AP＝2AO，证明见解析；（3）见解析【分析】（1）在三角形AOB中，AB=BO，∠AOB=60°，含60°的等腰三角形一定为等边三角形；（2）可通过证明∠ABG与∠OBE全等，得到∠APO＝30°，再通过含30°的直角三角形的性质可以推导AP＝2AO；（3）做辅助线在AC上截取AM＝EC，连接BM，可得AM+EM＝CE+EM，即AE＝CM，再通过边角转换证明∠ABE与∠CBM 全等，即可得到∠BEM为等边三角形，从而可证AE＝AM+EM ＝CE+BE.【详解】解：（1）如图1，∠AOB 为等边三角形，理由是：∠将绕OB 绕O 点旋转至OA∠∠AOB=60°，∠AO ＝AB∠∠AOB 为等边三角形；（2）AP ＝2AO ，理由为：证明：∠∠AOB 与∠BGE 都为等边三角形，∠BE ＝BG ，AB ＝OB ，∠EBG ＝∠OBA ＝60°，∠∠EBG+∠EBA ＝∠OBA+∠EBA ，即∠ABG ＝∠OBE ，在∠ABG 和∠OBE 中，BE BG ABG OBE AB OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ABG∠∠OBE （SAS ），∠∠BAG ＝∠BOE ＝60°，∠∠GAO＝∠GAB+∠BAO＝120°，∠∠GAO为∠AOP的外角，且∠AOP＝90°，∠∠APO＝30°在Rt∠AOP中，∠APO＝30°，则AP＝2AO．（3）补全图形，在AC上截取AM＝EC，连接BM，可得AM+EM＝CE+EM，即AE＝CM，∠∠AOB 为等边三角形，∠BOC为等腰直角三角形，∠∠OBC＝90°，∠ABO＝60°，∠D为CO的中点，∠BD平分∠OBC，即∠CBD＝∠OBD＝45°，∠∠ABD＝105°，∠ABC＝150°，∠∠BAC＝∠BCA＝15°，∠∠AEB＝15°+45°＝60°，在∠ABE和∠CBM 中，∠AB CBBAE BCMAE CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ABE∠∠CBM （SAS），∠BM＝BE，∠∠BEM为等边三角形，∠BE＝EM，∠AE＝AM+EM＝CE+BE；【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，以及做辅助线证明全等的方法，解题的关键是熟练地掌握等腰三角形的性质以及做辅助线证明全等的技巧和方法.。
第四讲 等腰三角形和直角三角形(教师版本)
第四讲等腰三角形和直角三角形✧知识要点◆等腰三角形1.定义：有两边的三角形叫做等腰三角形，其中的三角形叫做等边三角形2.等腰三角形的性质：⑴等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为⑵等腰三角形的顶角平分线、互相重合，简称为⑶等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是3.等腰三角形的判定：⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形⑵有两相等的三角形是等腰三角形，简称4.等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都都等于⑵等边三角形也是对称图形，它有条对称轴5.等边三角形的判定：⑴有三个角相等的三角形是等边三角形⑵有一个角是度的三角形是等边三角形提醒：1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质2、有一个角是直角的等腰三角形是三角形◆线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义：经过线段中点条线段且垂直这条线段的直线叫做线段的垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等判定：到一条线段两端点距离相等的点在2、平分线：性质：角平分线上的点到得距离相等判定：到角两边距离相等的◆直角三角形：1、勾股定理和它的逆定理：勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形2、勾股数，列举常见的勾股数三组、、3、直角三角形的性质：⑴直角三角形两锐角（2）在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它的对边是边的一半4、直角三角形的判定：勾股定理的逆定理外定义法：⑴有一个角是的三角形是直角三角形⑵有两个角是的三角形是直角三角形✧ 基础过关1、 2012•肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（ C ） A ．16 B ．18 C ．20 D ．16或202、 （2012•江西）等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（ B ） A ．20° B ．50° C ．60° D ．80°3、 直角三角形的两直角边分别为5、12，则斜边上的高为（ D ）（A ） 6 （B ） 8 （C ）1380 （D ） 1360✧ 典例剖析考点一：等腰三角形性质的运用例1 （2012•襄阳）在等腰△ABC 中，（1）当AB=AC 时，（2）当AB=BC 时，（3）当AC=BC 时，A ．45°B ．75°C ．45°或75°D ．60°分析：首先根据题意画出图形，注意分别从∠BAC 是顶角与∠BAC 是底角去分析，然后利用等腰三角形与直角三角形的性质，即可求得答案．考点二：线段垂直平分线例2（2012•毕节地区）如图．在Rt△ABC 中，∠A=30°，DE 垂直平分斜边AC ，交AB 于D ，E 是垂足，连接CD ，若BD=1，则AC 的长是（ ） A ．．2 C ． D ．4考点三：等边三角形的判定与性质对应训练3．（2012•湘潭）如图，△AB C 是边长为3的等边三角形，将△ABC 沿直线BC 向右平移，使B 点与C 点重合，得到△DCE，连接BD ，交AC 于F ． （1）猜想AC 与BD 的位置关系，并证明你的结论； （2）求线段BD 的长．考点四：角的平分线例4 （2012•梅州）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF= 2 ．对应训练4．（2012•常德）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，DC=2，则D 到AB 边的距离是 2 考点五：勾股定理课后练习A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对2、2012•本溪）如图在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为（ A ）A．16 B．15 C．14 D．133、（2012•荆门）如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长（ C ）A．2 B．C．D．3（2012•北京）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．DE=，，∴AC=2+1+=3+×2×（3++）。
双等腰三角形教师版
双等腰三角形等腰三角形是几何题目中常见的基本图形，两个等腰三角形为背景的题目也屡见不鲜，多数为两个等腰三角形共点旋转，或两个等腰三角形的底在同一直线上，或两个等腰三角形的腰在同一直线上，那么有着特殊位置的两个等腰三角形会有什么结论那？共腰双等腰首先我们就一起研究一下两个共腰的等腰三角形有什么特性及其应用。
共腰双等腰是指两个等腰三角形各有一条腰在同一直线上，而剩余的腰和底不在同一直线上，那么两个等腰三角形剩余腰与腰的夹角为两个等腰三角形剩余底与底夹角的2倍。
模型一、如图，AB=AC，AD=AE，求证：∠BAD=2∠EDC。
A ∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=α，∵AD=AE，∴设∠ADE=∠AED=β，E其中两个等腰三角形的一条腰AE与AC共线，那么剩余的底DE与剩余的底BC的夹角∠EDC=β-α，B CD那么剩余的腰AB与剩余的腰AD的夹角∠BAD=∠ADC-∠ABC=2β-2α，∴∠BAD=2∠EDC。
模型一变式、①如图，AB=AC，∠BAD=2∠EDC，求证：AD=AE。
②如图，AD=AE，∠BAD=2∠EDC，求证：AB=AC。
A AE EB CD B CD模型二、如图，AB=AC=A，D求证：（1）∠CAD=2∠CBD；（2）∠BAC=2∠BDC。
∵AB=AD，∴设∠ABD=∠ADB=α，A ∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=β，其中两个等腰三角形的一条腰AB与AB共线，那么剩余的底BD与剩余的底BC的夹角∠DBC=β-α，那么剩余的腰AC与剩余的腰AD的夹角∠CAD=∠BAD-∠BAC=2β-2α，∴∠CAD=2∠CBD。
同理可证，∠∠。
BAC=2BDC模型二变式、①如图，，∠∠，求证：。
AB=AC CAD=2CBD AB=AD BCD②如图，AB=AC，∠BAC=2∠BDC，求证：AB=AC。
模型二思考、等腰△ABC与等腰△ACD也可以看成是两个共腰的等腰三角形，那么图中谁是剩余腰与腰的夹角，谁是剩余底与底的夹角，它们之间还是否满足2倍的关系？模型三、如图，AB=AC=A，D求证：（1）∠CAD=2∠CBD；（2）∠BAC=2∠BDC；（3）∠BAD=2∠BCD。
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B CBB CB双等腰三角形等腰三角形是几何题目中常见的基本图形，两个等腰三角形为背景的题目也屡见不鲜，多数为两个等腰三角形共点旋转，或两个等腰三角形的底在同一直线上，或两个等腰三角形的腰在同一直线上，那么有着特殊位置的两个等腰三角形会有什么结论那？共腰双等腰首先我们就一起研究一下两个共腰的等腰三角形有什么特性及其应用。
共腰双等腰是指两个等腰三角形各有一条腰在同一直线上，而剩余的腰和底不在同一直线上，那么两个等腰三角形剩余腰与腰的夹角为两个等腰三角形剩余底与底夹角的2倍。
模型一、如图，AB=AC，AD=AE，求证：∠BAD=2∠EDC。
∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=α，∵AD=AE，∴设∠ADE=∠AED=β，其中两个等腰三角形的一条腰AE与AC共线，那么剩余的底DE与剩余的底BC的夹角∠EDC=β-α，那么剩余的腰AB与剩余的腰AD的夹角∠BAD=∠ADC-∠ABC=2β-2α，∴∠BAD=2∠EDC。
模型一变式、①如图，AB=AC，∠BAD=2∠EDC，求证：AD=AE。
②如图，AD=AE，∠BAD=2∠EDC，求证：AB=AC。
模型二、如图，AB=AC=AD，求证：（1）∠CAD=2∠CBD；（2）∠BAC=2∠BDC。
∵AB=AD，∴设∠ABD=∠ADB=α，∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=β，其中两个等腰三角形的一条腰AB与AB共线，那么剩余的底BD与剩余的底BC的夹角∠DBC=β-α，那么剩余的腰AC与剩余的腰AD的夹角∠CAD=∠BAD-∠BAC=2β-2α，∴∠CAD=2∠CBD。
同理可证，∠BAC=2∠BDC。
模型二变式、①如图，AB=AC，∠CAD=2∠CBD，求证：AB=AD。
②如图，AB=AC，∠BAC=2∠BDC，求证：AB=AC。
模型二思考、等腰△ABC与等腰△ACD也可以看成是两个共腰的等腰三角形，那么图中谁是剩余腰与腰的夹角，谁是剩余底与底的夹角，它们之间还是否满足2倍的关系？BFFCBF 模型三、如图，AB=AC=AD ，求证：（1）∠CAD=2∠CBD ；（2）∠BAC=2∠BDC ；（3）∠BAD=2∠BCD 。
∵AB=AD ，∴设∠ABD=∠ADB=α， ∵AB=AC ，∴设∠ABC=∠ACB=β，其中两个等腰三角形的一条腰AB 与AB 共线，那么剩余的底BD 与剩余的底BC 的夹角∠DBC=β+α， 那么剩余的腰AC 与剩余的腰AD 的夹角∠CAD=2β+2α， ∴∠CAD=2∠CBD 。
同理可证∠BAC=2∠BDC ；∠BAD=2∠BCD 。
模型二与模型三都可以看成点A 为△BCD 的外心。
模型一、二、三中两个等腰三角形不光共腰，它们还共点，那是不是一定要满足共点这个条件那？ 模型四、如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，等腰△DEF 中，DE=DF ，图中AB 与DE 共线，那么剩余的腰或底在图中没有交点，就需要我们找到剩余的腰或底所在直线，进而找到剩余腰与腰的夹角和剩余底与底的夹角， 通过前面的方法可证∠CPF=2∠FQC 。
典型例题赏析例1：如图，Rt △ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别是BC 、AC 边上一点，连接AD 、DE ，若∠BAD=2∠CDE ，CD=4，AE=24，求AC 的长。
例1解析：由AB=AC 和∠BAD=2∠CDE ，可得AD=AE=24， 解△ACD ，可得AC=。
例2：如图，正方形ABCD ，过点A 作∠EAF=90°，两边分别交直线BC 于点E ，交线段CD 于点F ，G 为AE 中点，连接BG ，过点G 作BG 的垂线交对角线AC 于点H ，连接HF ，若CH=3AH ，请你探究HF 与AF 之间的数量关系.例2解析：由BG 是直角三角形ABE 的斜边中线，得BG=AG ，由正方形ABCD ，得∠BAC=45°，题中已知∠BGH=90°得∠BGH=2∠BAH ，GAAA由模型二的变式可得GH=GB ，为接下来固定图形起到了至关重要的作用，设AH=k ，CH=3k ，BC=，连接BH ，得，由△GBH 为等腰直角三角形，得GB=GH=2k ，，AB=，得k ，由△ADF ≌△ABE ，k ，，k ，解△CFH ，得，得FH.例3：如图，在菱形ABCD 的对角线AC 上取点E ，连接BE ，使∠BEC=60°，在CD 边上取点F ，连接EF ，且∠CEF=21∠ABE ，若CF=4，CE=16，求AE 的长.例3解析：本题由菱形构成，菱形四条边相等，所以不缺少等腰三角形，但是∠CEF=21∠ABE 这个条件不知如何使用。
连接DE ，△ABE ≌△ADE ，∠ABE=∠ADE ，由DA=DC ，∠CEF=21∠ADE ，得DE=DF ，设EO=k ，BE=2k ，DE=DF=2k ，DC=BC=2k+4，CO=16-k ，，勾股△BOC ，得k=5，AE=6。
例4：在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线AB 的解析式为3yx =-+.（1）求抛物线解析式；（2）P 为线段OA 上一点（不与O 、A 重合），过P 作PQ ⊥x 轴交抛物线于Q ，连接AQ ，M 为AQ 中点，连接PM ，过M 作MN ⊥PM 交直线AB 于N ，若点P 的横坐标为t ，点N 的横坐标为n ，求n 与t 的函数关系； （3）在（2）的条件下，连接QN AE ，求t 为何值时，MN ∥AE.A共腰双等腰部分NC例4解析：有已知可容易得（1）答案223y x x =-++。
（2）∠BAO=21∠NMP ，MA=MP ，得MN=MP ，得△NMP 为等腰直角三角形，过M 作x 轴的垂线，，设点P （t ，0）,Q(t ，223t t -++)，过N NFM MG=21322t t -++，由M 点，212t t -++所以n =OG-NF=21122t t -。
（3）MN=MP=MQ ，得∠NQP=21∠NMP=45°，∠NHQ=∠AHP=45°，得∠QNH=90°，得EQ ⊥AB ，MN ∥AE ，由M 为AQ 的中点，得N 为EQ 的中点，得AN 垂直平分EQ ，得AQ=AE ，∠EAO=∠AEB-90°=(45°+∠AEQ)-90°=∠AEQ-45° 又∵∠AQP=∠AQE-45°，∴∠EAO=∠AQP ，∠EOA=∠QPA=90°，△APQ ≌△OEA ，AO=PQ=3，由Q(t ，223t t -++)，得2233t t -++=，10t =（舍），22t =。
强化训练习题1、如图：在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别是BC 、AC 边上一点，且AD=AE ，∠BAD=68°，求∠CDE 的度数.（3）共腰双等腰部分PC DBBA2、如图，在△ABC 中，∠ABC=∠C ，D 、E 分别在CB 、AB 的延长线上，连接AD 、DE ，且∠E=∠ADE ，若∠BDE=50°，求∠DAC 的度数.3、如图，在△ABC 中，线段BC 的垂直平分线交AB 于点F ，垂足为E ，D 为EF 上一点，连接AD 、BD 、CD ，若△ACD 为等边三角形，EF=2，求BF 的长.4、如图，在四边形ABDC 中，连接AD 、BC ，AB=BC=BD ， ∠DAC 的正切值为31，若AB=5，求CD 的长.5、如图，在菱形ABCD 中，tan ∠DAB=34，AE=AB ， AH ⊥BE 于点H ，连接DE 交AH 于点G ，连接BG ，BG=10，求BE 的长.CBACACB C6、如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC=60°，点E是AC边的中点，D为BC上一点，若BA=BD，求sin ∠ADE的值.7、已知，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90º，D是AC的中点，E为AC垂直平分线上的动点，连接CE，过E作EF⊥CE，垂足为E，射线EF交直线AB于F，若AC=4，四边形BCEF的面积为4.5时，求AF的长.8、如图，在四边形ABCD中，连接AC、BD，AC=AD=BC，∠ABC=60°，AD=，CD=BD的长.9、如图，等边△ABC中， D为直线BC下方一点，BDC=90°，将点C 沿直线BD折叠得到点E，连接DE、AE，交射线DB于点F.（1）求证：∠AEC=30°；（2）请你猜想AE、CE、BF之间的数量关系，并证明你的结论.10、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O在AB边上，OB=OC，点D在OC的延长线上，连接AD，点E在AD上，OE交AC于点F，OE=OC，∠ABC=∠CAD+30°，若OF=4，DE=3，求OD的长.答案：1、∠CDE=68°2、∠DAC=100°3、BF=44、5、BE=6、sin ∠ADE=127、AF=AF=8、BD=8 9、（1）略；（2CE+BF=AE 10、OD=7共底双等腰接下来我们就一起研究一下两个共底的等腰三角形有什么特性及其应用。
共底双等腰是指两个等腰三角形的底在同一直线上，而剩余的腰不在同一直线上，那么两个等腰三角形腰与腰的夹角等于两个等腰三角形剩余腰与腰的夹角。
模型一、如图，AB=AC ，BD=DE ，（1）求证：∠ABD=∠CDE ；（2）延长ED 交AB 于F ，求证：∠BDC=∠BFE 。
证明：（1）∵AB=AC ，∴设∠ABC=∠ACB=α，∵DB=DE ，∴设∠DBE=∠DEB=β， 其中两个等腰三角形的底BC 与BE 共线，那么腰AB 与腰BD 的夹角∠ABD=∠ABC-∠DBE=α-β，EB EB E那么剩余的腰AC 与剩余的腰DE 的夹角∠CDE=∠ACB-∠DEB=α-β， ∴∠ABD=∠CDE 。
（2）∵AB=AC ，∴设∠ABC=∠ACB=α，∵DB=DE ，∴设∠DBE=∠DEB=β， 其中两个等腰三角形的底BC 与BE 共线，那么腰AB 与腰DE 的夹角∠BFE=180°-∠ABC-∠DEB=180°-α-β，那么剩余的腰AC 与剩余的腰BD 的夹角∠BDC=180°-∠ACB-∠DBE=180°-α-β， ∴∠BDC=∠BFE 。
模型一变式、①如图，AB=AC ，∠ABD=∠CDE ，求证：BD=DE 。
②如图，BD=DE ，∠ABD=∠CDE ，求证：AB=AC 。
模型二、如图，点D 为射线CA 上一点，点E 为BC 上一点，AB 交DE 于F ，若AB=AC ，DB=DE ， 求证：（1）∠ABD=∠CDE ；（2）∠BDC=∠BFE 。