一次函数和反比例函数_有答案

【例1】 两个反比例函数1k y x =
和()2120k
y k k x
=>>在第一象限内的图象如图所示，动点P
在1k y x =的图象上，PC x ⊥轴于点C ，
交2k y x
=的图象于点A ，PD y ⊥轴于点D ，交2k
y x
=的图象于点B ．
⑴求证：四边形PAOB 的面积是定值；
⑵当23PA PC =时，求
DB BP 的值；
【例2】 如图，点A 、B 在反比例函数k
y x
=
(0k >)的图象上，且点A 、B 的横坐标分别为a 和2a (0a >)AC x ⊥轴，垂足为C ，AOC ∆的面积为2． （1）求反比例函数的解析式；
（2）若点(a -，1y )，(2a -，2y )也在反比例函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小；
（3）求AOB ∆的面积．
y=
k 2x
y=k 1x
P
D
y
x
O
C
B
A
x
y
O
C
B
A
【例3】 已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图
所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)k
y k x
=>的图
象与AC 边交于点E ．
（1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；
（2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？
（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
x
y
F
E
C
B
A
O
【例4】 如图，点()1A m m +，
，()31B m m +-，都在反比例函数k
y x
=的图象上． （1）求m k ，的值； （2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A B M N ，，，为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式．
y
x
O
B
A
【例5】如图，已知反比例函数
12
y
x
=的图象和一次函数7
y kx
=-的图象都经过点()2
P m，．①求这个一次函数的解
析式；②如果等腰梯形ABCD的顶点A B
，在这个一次函数图象上，顶点C D
，在这个反比例函数图象上，两底AD，BC与y轴平行，且A和B的横坐标分别为a和2
a+，求a的值。

【例6】 反比例函数2k
y x
=
和一次函数21y x =-，其中一次函数图像经过()a b ，
，()1a b k ++，两点． （1）求反比例函数的解析式；
（2）求出两函数的交点A 的坐标．在x 轴上是否存在点P ，使AOP ∆为等腰三角形？若存在，把符合条件的点P 的坐标都求出来；若不存在，请说明理由．
【例7】 如图，已知反比例函数12k y x =
的图象与一次函数2y k x b =+的图象交于A B ，两点，()1122A n B ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，
，，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在x 轴上是否存在点P ，使AOP ∆为等腰三角形？若存在，请你直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．
y
x
A
B O
a
【例8】 将直线y x =向左平移1个单位长度后得到直线a ，如图，直线a 与反比例函数()1
0y x x
=
>的图象相交于A ，与x 轴相交于B ，则22OA OB -=_____________．
C
B A O
x
y
【例9】 如图，直线y kx b =+与反比例函数()0k y x x
=
<′
的图象相交于点A 、点B ，与x 轴交于点C ，其中点A 的坐标为()24-，
，点B 的横坐标为4-． （1）试确定反比例函数的关系式； （2）求AOC ∆的面积．
【例10】 如图甲，点（１，２）在函数k
y x
=
（0x >）的图象上，矩形ＡＢＣＤ的边ＢＣ在x 轴上，点Ｅ是对角线ＢＤ的中点，函数k
y x
=
（0x >）的图象又经过点Ａ、Ｅ，点Ｅ的横坐标为m 。

（１）求k 的值； （２）用含m 的代数式表示Ｂ、Ｄ两点的坐标； （３）当45ABD ∠=时，求直线ＢＤ的解析式；
（４）在（３）的条件下，延长ＤＡ交y 轴于点Ｆ，连接ＦＣ。

若在ＡＢ与ＣＤ之间的这段双曲线上有一动点Ｐ，过点Ｐ作PG y ⊥轴于点Ｇ，交线段ＦＣ于点Ｍ，过点Ｐ作PH x ⊥轴于点Ｈ，交线段ＦＣ于点Ｎ（如图乙），问CM FN
⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是请说明理由。

（图甲） （图乙）
【例11】 已知函数k
y x
=
的图象上有一点(),P m n ，且,m n 是关于x 的方程2244680x ax a a -+--=的两个实数根，其中a 是使方程有实数根的最小整数，求函数k
y x
=的解析式。

解：
【例12】 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，
学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y 随时间x （分钟）的变化规律如下图所示（其中AB 、BC 分别为线段，CD 为双曲线的一部分）：
（1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
（2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
【例13】 下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如
图）：将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上，边
OA 与函数x
y 1
=
的图象交于点P ，以P 为圆心、以2OP 为半径作弧交图象于点R ．分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM 得到∠MOB ，则∠MOB =3
1
∠AOB ．
（1）帕普斯的方法究竟是如何证明的呢？请写出证明过程
x
B
H
O R
S
M
Q
P
A y
（2）你能三等分一个钝角吗？（用文字简要说明）
【例14】 如图，已知Rt ABC ∆的顶点A 是一次函数y x m =+与反比例函数m
y x
=
的图像在第一象限内的交点，且3AOB S ∆=．
（1）该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如能确定，请写出它们的解析式；如不能确定，请说明理由． （2）如果线段AC 的延长线与反比例函数的图像的另一支交于D 点，过
D 作D
E x ⊥轴于E ，那么ODE ∆的面积与AOB ∆的面积的大小关系能否确定？
（3）请判断AOD ∆为何特殊三角形，并证明你的结论．
解析1设A （P,P+m ）易知OC=m ，故S △ABC=1/2（p+m ）^2=3①又p+m=m/p ②，由①②得m=6/1+√6，故它们的解析式都可以确定。

1. 由反比例函数性质：OE*DE=AB*AB,所以△ODE 的面积与△AOB 的面积相等。

2. 联立方程组y=x+m,y=m/x ，得x^2+mx-m=0，易知X1=P,故X2=-P-m ，所以BE=AB ，DE=OB=P ，所以
三角形△ODE≌△AOB，所以OA=OD ，所以△AOD 为等腰三角形。

【例15】 如图所示，设反比例函数1
y x
=
的两支为12C C ，，正三角形PQR 三个顶点位于此反比例函数的图象上． （1）求证：P Q R ，，不能都在反比例函数的同一支上．
（2）设()1P -，-1在2C 上，Q R 、在1C 上，求顶点Q R ，的坐标．
R
Q
P C 2
C 1
O x
y
y=x
y x
O C 1
C 2
P
Q R
习题
O E C B x
A
y
D
1、已知直线3y x =+的图象与x y 、轴交于A B 、两点，直线l 经过原点，与线段AB 交于点C ，把AOB ∆的面积分为2:1的两部分，求直线l 的解析式。

2、如图，在x 轴上有五个点，它们的横坐标依次为12345，，，，．分别过这些点作x 轴的垂线与三条直线y ax =，()1y a x =+，()2y a x =+相交，其中0a >，则图中阴影部分的面积是_________．
解析：图中相当于一个5×5的三角形。

原因很简单，
(a+2)x-(a+1)x=x
(a+1)x-ax=x
所以，阴影从后向前为，下底为5上底为4的梯形，接着下底为4上底为3的梯形…… 最后面积为，5×5/2=12.5
所以，67.5a=12.5，
a=5/27
x
x
3、如图，在直角梯形ABCD 中，45C ∠=︒，上底3AD =，下底5BC =，P 是CD 上任意一点，若PC 用x 表示，四边形ABPD 的面积用y 表示．。