2020学年新教材高中数学第1章集合与常用逻辑术语1.3集合的基本运算第2课时补集教学案新人教A版必修第一册

第2课时补集(教师独具内容) 课程标准：1.在具体情境中，了解全集的含义，理解补集的含义，能求给定(全集的)子集的补集.2.能用Venn图表达集合的补集．教学重点：1.补集的含义(自然语言、符号语言、图形语言).2.会求集合的补集.3.能进行简单的“并”“交”“补”混合运算．教学难点：1.求补集及补集思想的应用.2.“子”“并”“交”“补”的综合问题.【知识导学】知识点一全集一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集(universe set)，通常记作U.注意：可以认为是将要研究的问题限定在一个范围内进行，这个范围以外的问题不在我们研究的范围以内，这时就有理由将所研究的这个范围视为全集．全集不是固定不变的，是相对于研究的问题而言的，如在整数范围内研究问题，Z是全集；在实数范围内研究问题，R 是全集；若只讨论大于0小于5的实数，可选{x|0<x<5}为全集．通常也把给定的集合作为全集．知识点二补集自然语言：对于一个集合A，由全集U中□01不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作∁U A.符号语言：∁U A＝□02{x|x∈U，且x∉A}．图形语言：【新知拓展】1．求补集是集合的一种运算，其运算结果是一个集合(补集的定义就是告诉我们这个集合中的元素是什么)，这种运算有两个前提，一是必须有全集，二是求补集的这个集合必须是全集的子集．2．集合的补集运算与实数的减法运算可进行类比不同，差也不同一样)．3．根据补集的定义，容易看出的性质∁U A⊆U，∁U U＝∅，∁U∅＝U，A∪(∁U A)＝U，A∩(∁U A)＝∅，∁U(∁U A)＝A.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设全集是U，集合A⊆U，若x是U中的任一元素，则要么x∈A，要么x∈∁U A，二者必居其一且只具其一．( )(2)全集没有补集．( )(3)同一个集合，对于不同的全集，其补集也不相同．( )(4)负整数集的补集是自然数集．( )(5)设全集为U，则对于任意集合A，只要A⊆U，则等式“A∪(∁U A)＝U”都成立．( )答案(1)√(2)×(3)√(4)×(5)√2．做一做(1)设集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,2}，B＝{2,4}，则∁U(A∪B)＝( )A．{2} B．{3}C．{1,2,4} D．{1,4}(2)已知三个集合U，A，B之间的关系如图所示，则(∁U B)∩A＝( )A．{3} B．{0,1,2,4,7,8}C．{1,2} D．{1,2,3}答案(1)B (2)C题型一求给定集合的补集及集合的混合运算例1 (1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁U B)＝( )A．{2,5} B．{3,6}C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}(2)设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则∁R(A∪B)＝________，(∁R A)∩B＝________.[解析] (1)∵∁U B＝{2,5,8}，∴A∩(∁U B)＝{2,5}，故选A.(2)∵A∪B＝{x|2<x<10}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．∵∁R A＝{x|x<3或x≥7}，∴(∁R A)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．[答案] (1)A (2){x|x≤2或x≥10}{x|2<x<3或7≤x<10}金版点睛关于集合的运算要牢记法则，仔细分析各集合中的元素：(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解．另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn图来求解，这样处理相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错．(2)如果所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解．(3)对于混合运算，要类比实数的加、减运算：谁在前头先算谁，有括号的先算括号．[跟踪训练1](1)已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A ＝{9}，则A＝( )A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}(2)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集∁U A为( )A．{x∈R|0<x<2} B．{x∈R|0≤x<2}C．{x∈R|0<x≤2} D．{x∈R|0≤x≤2}答案(1)D (2)C解析(1)根据题意易得3∈A,9∈A.若5∈A，则5∉B(否则5∈A∩B)，从而5∈∁U B，则(∁UB)∩A＝{5,9}，与题中条件矛盾，故5∉A.同理1∉A,7∉A，故A＝{3,9}．(2)借助数轴，如图易得∁U A＝{x∈R|0<x≤2}．题型二探究补集的一些运算律例2 试探究∁U(A∩B)与(∁U A)∪(∁U B)之间的关系．[解] 先通过具体例子探究它们之间的关系．不妨令U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,4,7}，B＝{1,3,7,8}．易知A∩B＝{1,7}，∁U(A∩B)＝{2,3,4,5,6,8}．∁U A＝{3,5,6,8}，∁U B＝{2,4,5,6}，(∁U A)∪(∁U B)＝{2,3,4,5,6,8}，显然有∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．下面给出证明：先证∁U(A∩B)⊆(∁U A)∪(∁U B)，设x∈∁U(A∩B)，则x∉(A∩B)．分三种情况：①x∈A，且x∉B；②x∉A，且x∈B；③x∉A，且x∉B.从而可以推出：①x∈∁U B；②x∈∁U A；③x∈∁U A，且x∈∁U B.综上可知，x∈(∁U A)∪(∁U B)，∴∁U(A∩B)⊆(∁U A)∪(∁U B)．再证(∁U A)∪(∁U B)⊆∁U(A∩B)，设x∈(∁U A)∪(∁U B)，则x∈∁U A或x∈∁U B，即x∉A或x∉B，即x∉A∩B，于是x∈∁U(A∩B)，∴(∁U A)∪(∁U B)⊆∁U(A∩B)．根据集合相等的定义，从而有∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )． 金版点睛对于一些探究性问题，可以先通过具体实例发现结论(或寻找探究方向)，然后给出证明，这是一种由特殊到一般的推理方法；本例用到证明集合相等的常用方法(即A ⊆B ，且B ⊆A ⇔A ＝B ).[跟踪训练2] 试探究∁U (A ∪B )与(∁U A )∩(∁U B )之间的关系． 解 ∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．用Venn 图表示∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )有：题型三 补集思想的应用例3 已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋2m ＋6＝0，x ∈R }，B ＝{x |x <0，x ∈R }，若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围．[解] ∵A ∩B ≠∅，∴A ≠∅.设全集U ＝{m |Δ＝(－4)2－4(2m ＋6)≥0}＝{m |m ≤－1}． 若A ∩B ＝∅，则方程x 2－4x ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1x 2＝2m ＋6≥0⇒－3≤m ≤－1，∵{m |－3≤m ≤－1}关于U 的补集为{m |m <－3}， ∴实数m 的取值范围为m <－3. 金版点睛对于一些比较复杂、比较抽象，条件和结论之间关系不明确，难以从正面入手的数学问题，在解题时应从问题的反面入手探求已知和未知的关系，这样能化难为易、化隐为显，从而将问题解决，这就是“正难则反”的解题策略，也是处理问题的间接原则的体现.,这种“正难则反”策略运用的就是补集思想，而已知全集U ，求子集A ，若直接求A 有困难，可先求∁U A ，再由∁U (∁U A )＝A ，求A 即可.[跟踪训练3] 已知集合A ＝{x |x 2＋2x ＋3m －5＝0}，B ＝{x |x >0)，若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围．解 设全集U ＝{m |Δ＝4－4(3m －5)≥0}＝{m |m ≤2}，若方程x 2＋2x ＋3m －5＝0的两根均为非正，则⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1x 2＝3m －5≥0⇒53≤m ≤2. ∵集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪ 53≤m ≤2在U 中的补集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <53， ∴实数m 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <53.1．设集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则∁U (A ∩B )等于( ) A ．{2,3} B ．{1,4,5} C ．{4,5} D ．{1,5}答案 B解析 集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，所以A ∩B ＝{2,3}，∁U (A ∩B )＝{1,4,5}，故选B.2．集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．{x |x >1} B ．{x |x ≥1} C ．{x |1<x ≤2} D ．{x |1≤x ≤2}答案 D解析 由补集的概念和已知条件可得：∁R B ＝{x |x ≥1}，又根据交集的定义可知A ∩(∁R B )＝{x |1≤x ≤2}，故选D.3．已知全集U ＝{1,2，a 2－2a ＋3}，A ＝{1，a }，∁U A ＝{3}，则实数a 等于( ) A ．0或2B ．0C．1或2 D．2答案 D解析根据题意，得a2－2a＋3＝3，且a＝2，解得a＝2，故选D.4．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩(∁I M)＝∅，则M∪N＝( ) A．M B．NC．I D．∅答案 A解析由N∩(∁I M)＝∅，知N与∁I M没有公共元素，依据题意画出Venn图，如图所示，可得N⊆M，所以M∪N＝M.5．设A，B，U均为非空集合，且满足A⊆B⊆U，则下列各式中错误的是( )A．(∁U A)∪B＝U B．(∁U A)∪(∁U B)＝UC．A∩(∁U B)＝∅D．(∁U A)∩(∁U B)＝∁U B答案 B解析解法一：令A＝{1}，B＝{1,2}，U＝{1,2,3}，检验四个选项可知，B错误．故选B.解法二：根据A⊆B⊆U画出Venn图，如图所示，易知A，C，D正确．∵(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)，而由A⊆B，知∁U(A∩B)＝∁U A≠U，故B错误．。