概率论与数理统计模拟的题目一及问题详解

概率论与数理统计模拟题一一、 单项选择题（每小题3分，共30分）1、设,,A B C 是随机事件，且AB C ⊂，则（ ）。

(A)C AB ⊂ (B) AC ⊂且B C ⊂(C)C AB ⊂ (D) A C ⊂或B C ⊂2、某工厂生产某种圆柱形产品，只有当产品的长度和直径都合格时才算正品，否则就为次品，设A 表示事件“长度合格”，B 表示事件“直径合格”，则事件“产品不合格”为（ ）。

(A)AB (B) AB (C)AB (D) AB 或AB3、已知()0.6,()0.8,()0.6P A P B P B A ===，则()P A B =（ ）。

(A)0.4 (B) 0.5 (C)0.6 (D) 0.74、在下述函数中，可以作为某随机变量的分布函数的为（ ）。

(A)21()1F x x =+ (B) 11()arctan 2F x x π=+(C)1(1),0()20, 0xe x F x x -⎧->⎪=⎨⎪≤⎩(D) ()()x F x f x dx -∞=⎰，其中()1f x d x +∞-∞=⎰5、设连续型随机变量X 的概率密度和分布函数分别为()f x 和()F x ，则（ ）。

(A)0()1f x ≤≤ (B)()()P X x F x == (C)()()P X x F x =≤ (D) ()()P X x f x ==6、设随机变量~(0,1)X N ，则方程2240t Xt ++=没有实根的概率为（ ）。

(A)1)1(2-Φ (B))2()4(ΦΦ- (C))2()4(---ΦΦ (D))4()2(ΦΦ- 7、设二维离散型随机变量(,)X Y 的联合分布律为已知事件{0}X =与{1}X Y +=相互独立，则（ ）。

(A)0.2,0.3a b == (B)0.4,0.1a b == (C)0.3,0.2a b == (D)0.1,0.4a b == 8、设随机变量X 在区间(,)a b 上服从均匀分布，即(,)XU a b ，则DX =（ ）。

(A) 2()12b a - (B) 2()12b a + (C) 2()3a b + (D) 2()3b a -9、设,X Y 是方差均大于零的随机变量，则下列命题中不正确的事（ ）。

（A ）,X Y 不相关的充要条件是cov(,)0X Y = （B ） ,X Y 不相关的充要条件是()E X Y EX EY +=+ （C ） ,X Y 不相关的充要条件是()D X Y DX DY ±=+ （D ） ,X Y 不相关的充要条件是()()D X Y D X Y +=- 10、设~(0,1) , ~(0,1)X N Y N ，则（ ）。

(A)X Y +服从正态分布 (B) 22X Y +服从正态分布(C) 22, X Y 都服从2χ-分布 (D) 22XY 服从F -分布二、填空题（每小题3分，共30分）1、设随机事件,A B 互不相容，且(),()P A p P B q ==，则()P AB = 。

2、设q B P p A P ==)(,)(，且B A ,相互独立，则()P A B -= 。

3、从1,2,3,4,5,6这六个数字中等可能地有放回地连续抽取4个数字，则事件“取得4个数字完全不同”的概率为 。

4、设随机变量X 的分布函数为()arctan F x A B x =+，则常数A = ，B = 。

5、设在三次独立试验中，事件A 发生的概率相等。

若已知事件A 至少出现一次的概率等于1927，则事件A 在一次试验中出现的概率为 。

6、设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间(0,1)上的均匀分布，则22(1)P X Y +≤= 。

7、设(,)~(1,1;4,4;0)X Y N ，则(1,1)P X Y ≤≤= 。

8、设随机变量X 服从参数为p 的01-分布，即~(1,)X B p ，则2(31)E X += 。

9、设总体~(72,100)X N ，为使样本均值X 大于70的概率不小于90%，问样本容量n 至少为 （已知(1.29)0.90Φ=）？10、设总体X 服从参数为(01)p p <<的01-分布，12,,,n X X X 为总体X 的样本，则DX = 。

三、解答题（每小题10分，共40分）1、某工厂有4个车间生产同一种产品，其产量分别占总产量的15%，20%，30%，35%，各车间的次品率分别为0.05，0.04，0.03，0.02，现从出厂产品中任取一件，求 （1）取出的产品是次品的概率； （2）若取出的产品是次品，它是一车间生产的概率。

2、设随机变量X 的分布函数为0, 11,124()3, 2341, 3x x F x x x <-⎧⎪⎪-≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩证明：随机变量X 的分布律为3、设随机变量,X Y 的分布律分别为且(0)1P XY ==，（1）求,X Y 的联合分布律；（2）问,X Y 是否独立，为什么？ 4、 设总体~[,]X U a b ，其中,a b 为未知参数，12,,,n X X X 为来自总体X 的一个样本，求参数,a b 的最大似然估计量。

模拟题一参考答案一、 单项选择题（每小题3分，共30分）1、解 应选（A ）。

由于AB C ⊂，因此C AB A B ?U ，故选（A ）。

2、解 应选（C ）。

由于AB 表示事件“产品合格”，因此AB 表示事件“产品不合格”，故选（C ）。

3、解 应选（D)。

由于()()()()()1()P AB P B P AB P B A P A P A -==- 因此()()(1())()0.80.40.6P AB P B P A P B A =--=-⨯从而()0.80.24()10.30.7()0.8P AB P A B P B -===-= 故选（D)。

4、解 应选B 。

由于在选项（A ）中，()01F +∞=≠，在选项（C ）中，1()12F +∞=≠，在选项（D ）中，取1, 12()2, 340, x f x x -≤≤⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩其他则()1f x dx +∞-∞=⎰，但当12x <<时，()10F x x =-<，因此选项A 、C 、D 都不正确，故选B 。

5、解 应选（C ）。

由于{}{}X x X x =⊂≤，因此，由概率的单调性及分布函数的定义，得()()()P X x P X x F x =≤≤=故选（C ）。

6、解 应选（A ）。

22( 240 )(4160)P t Xt P X ++==-<“方程没有实根”2(4)(22)P X P X =<=-<<(2)(2)2(2)1ΦΦΦ=--=-故选（A ）。

7、解 应选（B ）。

由0.40.11a b +++=，得0.5a b +=由于事件{0}X =与{1}X Y +=相互独立，且(0)0.4P X a ==+(1)(0,1)(1,0)P X Y P X Y P X Y a b +====+===+(0,1)(0,1)P X X Y P X Y a =+=====因此(0,1)(0)(1)(0.4)()a P X X Y P X P X Y a a b ==+===+==++所以0.42a a +=从而0.4,0.1a b ==故选（B ）。

8、解 应选(A )。

由于X 在区间(,)a b 上服从均匀分布，因此X 的概率密度为1,()0, a x b f x b a⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其它因为2a bEX +=，而 2221()baEX x f x dx x dx b a+∞-∞==⋅-⎰⎰3322133b a b ab a b a -++=⋅=- 所以X 的方差为222222()()()3212b ab a a b b a DX EX EX +++-=-=-=故选(A )。

9、解 应选(B)。

由于,X Y 不相关的充要条件是cov(,)0X Y =，因此选项(A )正确；同理选项（C ）、（D ）都正确，故选(B)。

10、解 应选（C ）。

由于~(0,1), ~(0,1)X N Y N ，因此2222~(1), ~(1)X Y χχ，即22X Y 、都服从2χ分布，故选C 。

二、填空题（每小题3分，共30分）1、解 应填1p q --。

由于A 、B 互不相容，因此()()1()P AB P A B P A B ==-U U1()()()P A P B P AB =--+1()()1P A P B p q =--=--故填1p q --。

2、解 应填(1)p q -。

由于A 、B 相互独立，因此()()()()()()()P A B P A AB P A P AB P A P A P B -=-=-=-(1)p pq p q =-=-故填(1)p q -。

3、解 应填518。

样本空间基本事件总数11116666n C C C C =。

有利于所求事件发生的基本事件数111116543k C C C C =，从而所求的概率为111165431111116666518C C C C k p n C C C C === 故填518。

4、解 应填11,2A B π==。

由()02F A B π-∞=-= ()12F A B π+∞=+=解之得11,2A B π==，故填11,2A B π==。

5、解 应填13。

设事件A 在一次试验中发生的概率为p ，X 表示三次独立试验中事件A 发生的次数，则(3,)XB p ，依题意，得319(1)1(0)1(1)27P X P X p =≥=-==-- 解之，得13p =，从而事件A 在一次试验中发生的概率为13，故填13。

6、解 应填4π。

由于X 与Y 的概率密度分别为1,01()0, X x f x <<⎧=⎨⎩其它，1,01()0, Y y f y <<⎧=⎨⎩其它又X 与Y 相互独立，故(,)X Y 的联合概率密度为1,01,01(,)()()0, X Y x y f x y f x f y <<<<⎧==⎨⎩其它所以22221(1)(,)4x y P X Y f x y dxdy π+≤+≤==⎰⎰（221x y +≤含在01,01x y <<<<内的平面图形的面积），故填4π。

7、解 应填14。

由于(,)~(1,1;4,4;0)X Y N ，且0ρ=，因此~(1,4)X N ，~(1,4)Y N ，且,X Y 相互独立， 从而111(1,1)(1)(1)224P X Y P X P Y ≤≤=≤≤=⨯=故填14。