微积分8-1

)
若加括号后级数收敛,则原级数收敛; B 若加括号后级数收敛,则原级数收敛; 若加括号后级数发散,则原级数发散; C 若加括号后级数发散,则原级数发散; D 若 E 若
∑u
n =1 ∞ n =1
∞
∞
n
收敛,⇒ ∑ (u2 n−1 + u2 n ) 收敛 收敛,
n =1 ∞
∞
∑u
n =1
n
发散,⇒ ∑ (u2 n−1 + u2 n ) 发散 发散,
2 性质 性质2
且若
的敛散性相同, ∑ u 与 ∑ ku 的敛散性相同,
n =1 n
n =1 n
∞
∞
∑u
n =1
∞
n
= s,
∑ ku
n =1
∞
n
= ks (k ∈ R, k ≠ 0)
3 性质 一个级数去掉或添加有限项, 性质3 一个级数去掉或添加有限项, 敛散性不变. 敛散性不变 性质4 若级数收敛, 4 性质4 若级数收敛,则添加括号后新级数 收敛,但反之不一定. 收敛,但反之不一定.
而
∞
n →∞
lim un = lim( Sn − Sn −1 ) = s − s = 0
n →∞
注意: n→∞ ③注意: i ) lim un = 0 →
1 如 ∑ n, n =1
∑u
n =1
∞
∞
n
收敛
1 lim = 0 n →∞ n
1 ∑n n =1
∞
但
1 ∑n n =1

发散
(称级数 称级数
为调和级数) 为调和级数
第八章 无穷级数
§1 常数项级数的概念和性质 本节重点: 本节重点 掌握级数收敛的充分与必要条件; 1 掌握级数收敛的充分与必要条件; 2 掌握收敛级数的性质
一、常数项级数的概念
级数的定义: 1. 级数的定义: 数列 {un } 的各项依次相加所得的表达式
∞
∑u
n=1
n
= u1 + u2 + u3 +⋯+ un +⋯
性质应用—例题分析 三 性质应用 例题分析
例1
1 1 设 ∑ un = 2, 求 ∑ ( un − n ) 2 n =1 2 n =1
1 收敛, lim ∑ (1 − u ) 收敛,求 n→∞ un n =1 n ∞ 5 1 的和. ∑ ( n(n + 1) + 2n ) 的和. n =1
∞
∞
∞
例2 设 例3 求
ii ) 若 lim un ≠ 0 ⇒ ∑ un 发散 n →∞
∞
如
n ∑ n +1 n =1
∞
n =1
发散
必要条件的用途: iii ) 必要条件的用途: 用来判别级数发散; a) 用来判别级数发散; b) 用来求某类型数列极限 (求极限的另一方法) 求极限的另一方法)
∞ n! n! lim 如: n→∞ n = 0, ∵ ∑ n 收敛的(后续课讲) n n 收敛的(后续课讲) n =1
收敛, 为其和, 收敛, s 为其和,即
∑u
n =1
∞
∞
n
= s,
不存在, 若 lim Sn 不存在,则称级数∑ un 发散 n →∞ n =1
(判别级数敛散性的方法) 判别级数敛散性的方法)
若收敛,如何求和?(收敛,求和的方法) ?(收敛 ② 若收敛,如何求和?(收敛,求和的方法)
n →∞
lim Sn = s = ∑ un
n =1
∞
(求数列的极限) 求数列的极限)
4 例题分析 例1 设
∑ un 前 n
n =1
∞
项部分和为
n Sn = n +1
是否收敛? 问: ① ∑ un 是否收敛?
n =1
∞
② 若收敛,求其和; 若收敛,求其和; ③ 写出该级数 判别等比级数(几何级数) 例2 判别等比级数(几何级数)
aq n−1 = a + aq + aq 2 + ⋯ + aq n−1 + ⋯ ∑
Sn = u + u2 +⋯+ un ,⋯ 1
③ un = Sn − Sn −1 ④
∞
∑u
n =1
n
= lim Sn
n →∞
级数的收敛与发散: 3. 级数的收敛与发散:
lim ① 设级数 ∑ un,若 n→∞ S n = s (有限数),则称级数 有限数), ),则称级数
∞
∑u
n =1
∞
n =1
n
(常数项)无穷级数 常数项) 其中
un 称为该级数的一般项或通项
2. 部分和与部分和数列
部分和: ① 部分和: 数列 un 的前 n 项和 S n
Sn = u1 + u2 + ⋯ + un
② 部分和数列 {S n } (n = 1, 2, ⋯)
S1 = u1, S2 = u1 + u2 , S3 = u1 + u2 + u3,⋯,
n =1
F 若 ∑ (u2n + u2 n+1 )发散, 发散,
⇒ ∑ un
n =1
∞
发散
四、小结
常数项级数的基本概念和性质 基本审敛法
1.由定义,若 s n → s , 则级数收敛; 1.由定义, 则级数收敛; 由定义
2.当 则级数发散; 2.当 lim un ≠ 0,则级数发散;
n→ ∞
3. 收敛级数的性质
∞
1 ∑ (2n − 1)(2n + 1) n =1
∞
是否收敛?若收敛求其和 是否收敛 若收敛求其和. 若收敛求其和
二、收敛级数的基本性质
1. 性质 (级数收敛的必要条件 性质1 级数收敛的必要条件 级数收敛的必要条件)
lim ①级数∑ un 收敛 ⇒ n→∞ un = 0
n =1 ∞
∞
lim 简证: ② 简证:∵ ∑ un 收敛 ⇒ n→∞ Sn = s n =1
级数加括号后得新级数发散, 注: 级数加括号后得新级数发散,则原级 数发散. 数发散. 5 性质 若 ∑ un 与 ∑ vn均收敛 性质5 n =1 n =1
⇒ ∑ (k1un + k2vn ) 收敛 ( k1 , k 2
n =1 ∞
∞ ∞
≠ 0).
注: i ) 两个发散级数的和或差不一定发散
ii ) 一敛一散的和或差一定发散
∞
收敛, n=1 发散,分别就①② 例4 设① ∑ un 收敛,② ∑ un 发散,分别就①② n =1 两种情况讨论下列级数的敛散性
∞
i ) ∑ (un + 0.0001) ii )
n =1
∞
∑u
n =1
∞
n +1000
1 iii ) ∑ u n =1 n
∞
下列结论正确的是( 例5 下列结论正确的是( 发散级数加括号后仍发散; A 发散级数加括号后仍发散;
讨论
1 ∑n n =1
∞
假设调和级数收敛 , 其和为 s .
1 1 1 n 1 > = , ∵ s2 n − sn = + +⋯+ n+1 n+ 2 2n 2n 2
于是 lim( s2 n − sn ) = s − s = 0,
n→ ∞
1 (n → ∞) 便有 0 ≥ 2
这是不可能的 .
∴ 级数发散 .
n =1 ∞
其中 a ≠ 0, q ≠ 0 的敛散性
例3
2 判别级数 ∑ 5n n =1
∞
∞
的敛散性 的敛散性
例4 判别级数 ∑ 2 3
n =1
∞
2 n 1− n
1 是否收敛, 例5 判别级数∑ 是否收敛, n =1 n( n + 1)
若收敛求其和
1 思考:问 思考 问 ∑ n(n + 1)(n + 2) , n =1
1 ∑ n(n + 1) 收敛, 收敛, n =1
∞
1 1 1 则 1⋅ 2 + ( 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 ) + (4,5, 6, 7) + ⋯
仍收敛. 仍收敛.
(−1) n = −1 + 1 + (−1) + 1 + ⋯ (−1) n + ⋯ 发散 发散, ∑
n =1
∞
收敛. 但 (−1 + 1) + (−1 + 1) + ⋯ + ⋯ 收敛.