数学竞赛数列讲座

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四年级下册数学讲义-竞赛专题：第二讲-数列与数表(含答案解析)人教版

数列与数表知识概述1、数列：主要包括⑴递增数列(等差数列，等比数列)，等差数列为重点考察对象。

⑵周期数列；例如：1，2，4，7，1，2，4，7，1，2，4，7，…⑶复合数列；例如：1，3，2，6，3，9，4，12，5，15…⑷特殊数列；例如：斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21…2、等差数列通用公式：通项公式：第n项=首项 +（项数– 1）×公差项数公式：项数=（末项–首项）÷公差 + 1求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷23、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。

4、数表规律给出几个具体的、特殊的图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论。

具体方法和步骤是：⑴通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；⑵猜想符合规律的一般性结论；⑶验证或证明结论是否正确。

在杯赛考试中主要将图形规律与等差数列结合到一起来考察。

（1）在数列3、6、9……，201中共有多少数？（2）在数列3、6、9……，201和是多少？（3）如果继续写下去，第201个数是多少？【解析】（1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式：项数=（末项-首项）÷公差+1,便可求出。

项数=（201-3）÷3+1=67（2）求和公式=（首项+末项）×项数÷2 =（3+201）×67÷2 = 102×67 =6834（3）根据公式：末项=首项+公差⨯（项数-1）末项=3+3⨯（201-1）=603，第201个数是603添在图中的三个正方形内的数具有相同的规律，请你根据这个规律，确定出A= B = C= ；【解析】第一组（1+2）×3=9 第二组（2+3）×4=20 第三组（3+4）×5=35 由分析得：A=35，B=4，C=5.经过观察与归纳找出数与图的规律。

高中数学竞赛专题讲座---递归数列

递归数列讲座知识与方法递归（推）数列数列的表示方法大致有两类：一是通项公式；另一是递推公式．数列{}n a 的相邻几项的关系式简称为递推式．数学竞赛中遇到有关数列的问题不仅是等差、等比数列，许多是递归数列的问题．在解递归数列的问题时，有时需要根据递推关系求数列的通项，常常用到叠加法：()()()123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a ；适当时需要进行代数换元转化为常见数列的通项；有时需要用到从特殊到一般的、归纳－猜想证明方法（常常用到数学归纳法）．但也有一些题目并不要把数列的通项公式求出，而往往可根据题设所给的递推关系，得到新的、更明显的递推关系．而这时就需要综合运用其他数学知识．范例选讲1. 已知11=a ，52=a ，121211++=--+n n n n n a a a a a ，求数列{}n a 的通项公式．解：定义11=F ，02=F ， ,4,3,21=+=--n F F F n n n 由所给关系式得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-+21221111111n n n a a a ,由归纳法可得 ,2,1,111111122212=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=++n a a a n nF F n从而1112251322526211+++-=⎪⎭⎫⎝⎛=+n n nn n F F F F F na ,因此(),2,1,15132212112=-=--+++n a n n n F F F n其中 ,2,1,2512515122=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=--n F n n n 注：本题是今年冬令营的一个测试题．在解题时层层推进，比较容易找到思路．2. 证明数列knk k n n Ca 3012122⋅=∑=++都不能被5整除．解：10=a ，111=a ，又()()12232312322221222+-+=⋅=k k k．所以()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=++1212122122241n n n a ()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++=nn249122249122241．18211=+=x x c ，49212-=-=x x c ,所以()5mod 349182121----+≡-=n n n n n a a a a a ．,,10a a 除以5的余数为 ,1,1,3,2,2,1,4,4,2,3,3,4,1,1形成周期数列．()5mod 12n n a a ≡+，又前12项中没有被5整除的．∴命题得证．注：这是一个逆向运用二阶递推的例子．已知数列的通项公式无法证明所要求证的．反过来通过将数列的二阶递推关系找到，结合数列的周期性加以证明．3. 数列{}n a 满足10=a ，51=a ，() ,3,229322121=--=---na a a a n n n n ，证明n a 都是整数．解：由题意知93221212--=---n n n n a a a a ，9322211--=+-n n n n a a a a ．两式相减，有1212211323222---+-+--=-n n n n n n n n a a a a a a a a ．整理，得() ,3,23223222111=-+-+=--+-n a a a a a a n n n n n n ，将1-n 个式子联乘得11120223,223n n n a a a a a a +-+-=+-又132=a ．所以322511-+=-+n n n a a a （＊），可得()32213211--=---+n n n n a a a a ，又03201=--a a ，所以0321=---n n a a （１），由此可推知Z a n ∈．又由（＊）式推知()3223211+-=+--+n n n n a a a a ，又123201=+-a a 所以n n n n a a 262123211⋅=⋅=+---．与（１）联立可解得322-=+n n a ．注：本题已知数列的一个递推关系是分式形式的，证明＂n a 都是整数＂有一定的难度．因此通过整理变形得到数列的另一个递推公式：0321=---n n a a ．这样证明起来变得容易了．另外本题也可通过先求数列的前几项，再根据结果猜测数列满足0321=---n n a a ，再用数学归纳法加以证明．4. 求证：由31=a ，52=a 及不等式()N n n na a a n a a n n n n n ∈≥+<<-+-+-,21111可唯一确定正整数列{}n a ．解：（1）先证明3+=n n F a 是满足条件的．（{}n F 为斐波那契数列）413F a ==，413F a ==均成立． ∵12213=-F F F .当3≥k 时,()()()21221112111-------+--=+-+=-k k k k k k k k k k k k F F F F F F F F F F F F ,因为()()()()()222132212211111-----+-=--==--=-n n n n n n n n F FF F F F F F F ．若对所有N n ∈，3+=n n F a ．则验证2≥=k n 时，()123242111+++++--=-=-k k k k kk k F F F a a a ,所以k a a a k k k k <≤-≤-<-+-11211，na a a n a a k k k k k +<<-+-+-1111．存在数列{}n a ．（使{}n a 中每个3+=i i F a ）（２）下证：{}n a 唯一确定．用数学归纳法证明3+=n n F a 且22+≥n a n （＊）．3=n 时，92232371223122=+<<-=<a a a a a ．事实上由已知不等式可推得12112-+-+<<-k k k k k a k a a a k a ，因为N a ∈3，所以83=a ，同时2323+⨯≥a ．所以（＊）成立．4=n 时，1456733561122234223<=+<<-=<a a a a a ，又N a ∈4，所以134=a ．另外，2424+⨯≥a ，所以（＊）成立．设1-=k n 及()4≥=k k n 时（＊）成立．则1+=k n 时，因为()12122211212=+-≤=--+---k ka k a k a a k a k k k k k ，又⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---1212,k k k k a k a a k a 中至多只有一个整数． N a k ∈+1，且12112-+-+<<-k k k k k a k a a a k a ,所以1+k a 确定为4+k F ．且()()21222212341++≥++≥+=+==+++++k k k a a F F F a k k k k k k ．所以1+=k n 时，（＊）成立．因此{}n a 唯一确定．证毕．综合（１）（２），可发现⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+==+++33325125151n n n n F a ．注：本题用同一法证明．在证明过程中用到了数学归纳法． 5. 数列{}n a 定义如下：01=a ，12=a ，()()⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-+=--2111212121n a n n na a n n n n ()3≥n ．试求()11222211132a nC a C n a C a C a f n n n n n n n n n n ----+-++++= 的最简表达式．解：由题意知()()()2112121--+-+=+--n a n n na a n n n n ，所以()()()()!21!2!1!2121n n n a n a n a n n n n --+-+-=+--,令!n a b n n =，01=b ，212=b ．则()()!212121n n b b b n n n n --++=+--,所以()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----=-------!111!21221211n b b n b b n n n nn n ，令()!111n b b c nn n n ---=-，则121--=n n c c ，又02=c ，所以()!111n b b nn n -+=-.另一方面，()()()∑∑==--⋅-+=-+=nk k n k k kn nn a k k n n k n a Ck n f 11!!!11．令()∑=--+==nk k n n b k n kn n f g 1!1!，()()k nk k n k n n b k n kn b k n kn g g ⋅--+-⋅-+-+=-∑∑=+=+1111!1!12()()()()1121212!2!12!12-+=-=+=-⋅--+=⋅+--+-⋅-+-+=∑∑∑k kn k k nk k n k b bk n kn b k n kn b k n kn()()()()()()∑∑∑+==+=+--+--=-⋅+--+=12212!!11!!1!1!12n k knk k kn k k k n k k n k k n kn ()()()()()()[]11!111!11!111!11212+-+---=-++-=∑∑+=+=n n n n C n Cn n k kkn nk kkn()()!11!11+--=n n又342323=+=b b g ，所以()()1!2!11!1!31!21!3+-⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++=n n n n g n f n ．注：这是2000年冬令营的测试题．由已知条件比较容易根据题设的条件想到将数列{}n a 的递推关系除以!n ，从而得到{}n b 的递推关系：()!111n b b nn n -+=-．同时也应将n f 的两边同除以!n ，先求出n g 与1-n g 的关系．6. 设数列{}n a 的通项公式为()()N n a nnn ∈--=312；数列{}n b 的定义如下：20=b ，251=b ，()()N n b b b b n n n ∈--=-+12112．求证：对一切自然数n ，都有[]na nb 2=．证：我们证明更强的命题：N n b nna a n ∈+=-,22,易知数列{}n a 的特征方程是022=--x x ，所以{}n a 的递推公式是N n a a a n n n ∈+=++,212，故N a n ∈．下面用数学归纳法证明加强的命题．(1) 当1=n 时，11=a ，112225-+==b ，命题成立．(2) 假设当k n ≤时，命题成立，都有kkaa kb -+=22．当1+=k n 时，()()()[]12111211222222b b b b b k k kka a a a k k k --++=--=-----+()()1222222bkkkka a a a -++=--122)2(211112222b k k k k k k k k a a a a a a a a -+++=----+--+-+12211112222b k k k k k k a a a a a a -+++=--+++---,而()()[]kkkkk k a a 1222123121-⋅+⋅---=--()[]()1111331++-=-⋅=k k ．所以121=--k k a a ，112225222211b k k k k a a a a ==+=+-+----．所以11221++-++=k k a a k b ，当1+=k n 时命题也成立．由（１）（２）可知，加强命题成立．同时，又因为N a n ∈,所以[]na nb 2=，原命题得证．注：本题的关键在于加强命题N n b nna a n ∈+=-,22．然后用数学归纳法加以证明．在加强命题之前可通过计算数列的前几项找到规律．7. 设()m a a a A ,,,21 =是由m 个数{}m i a i ,,2,1,1,0 =∈组成的数组．定义运算S 如下：(){}m m b b b b b b A S 2124321,,,,,,-= ，其中当1=i a 时，012=-i b ，12=i b ；当0=i a 时，112=-i b ，02=i b ，m i ,,2,1 =．用()A Sn表示()()() A S S S （n 个S ）．取()1=A ．问在()()n a a aA S n221,,, =有多少对由连续两项组成的数对()1,+i i a a ，满足01==+i i a a ？解：()1=A 时，()()na a a A Sn221,,, =中满足01==+i ia a 的数对()1,+i i a a 的个数记为n f ，满足0=i a ，11=+i a 的数对()1,+i i a a 的个数记为n g ．由题意知，()A Sn中数对()0,0必由()A S n 1-中的数对()1,0经运算S而得到，而()A S n 1-中的数对()1,0必由()A S n 2-中的1或数对()0,0经运算S 而得到．由于()A Sn 2-是22-n 数组，其中有一半的项（即32-n ）为1，所以可得如下递归关系：2312---+==n n n nf g f ． ∴当n 为奇数时， =++=+=-----45323222n n n n n n f f f 3122222110253-=+++++=---n n n f当n 为偶数时，31222212153+=++++=---n n n n f f ．∴()()1n S 中，连续两项是0的数对有()[]nn 12311-+-个．注：本题是个应用题，关键在于通过题意找到递归关系．训练题1. 设{}n a 中的每一项都是正整数，并有21=a ，72=a ，()32121221≥≤-≤---n a a a n n n ．证明：自第二项开始，数列的各项都是奇数．2. 已知00=a ，11=a ，()1221>+=--n a a a n n n ．证明：n a kn k22⇒．3. 已知数列{}n a 满足：11=a ，22=a ，且212212-++=n n n a a a ，() ,2,121222==++n a a a n n n ，试求数列的通项公式．4. 设d 为正整数，求()d x x x n mod 021≡++ ，()n i dx i ≤≤<<10的解()n x x x ,,,21 的个数．。

小学奥林匹克数学竞赛数学第10讲-数列与数表

【9】
下图是1911年到1926年的公元纪年不干支纪年的对照表．请问： (1)中国近代史上的“辛亥革命”发生在公元1911年，是干支纪年的辛亥年，请问公元2049年是干支纪年的什么年? (2)21世纪的甲子年是公元纪年的哪一年? (3)“戊戌变法”发生在19世纪末的戊戌年，这一年是公元纪年的哪一年?
下节课见！
【6】
如图，将从5开始的连续自然数按规律填人数阵中，请问： (1)123应该排在第几列? (2)第2行第20列的数是多少?
第1列第2列第3列 …
5
10
15
…
6
11
16
…
7
12
17
…
8
13
18
…
9
14
19
…
【7】
如图所示，将自然数有规律地填入方格表中，请问： (1)500在第几行，第几列? (2)第100行第2列是多少?
123456
7
8
9
10 11 12 13 14 15
16
17
18
…
…
997
998
999
【Hale Waihona Puke 】如图所示，数阵中的数字是按一定规律排列的．这个数阵中第60行左起第4个数字是多少?
12345678 91011121 31415161 71819202 ………………………………………….
【9】
中国古代的纪年方法叫“干支纪年”，是在“十天干”和“十二地支”的基础上建立起来的．天干共十个，其排列顺序为：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支共十二个，其排列顺序为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．以一个天干和一个地支相配，天干在前，地支在后，每对干支表示一年．在干支纪年中，每六十年纪年方式循环一次．公元纪年则是国际通行的纪年方式．

五年级数学寒假竞赛班第4讲数列,数组

数列、数组月日姓名【知识要点】有些数列，如果我们按照一定的规律把它分成组，会发现一些非常有趣的现象。

最常见的就是自然数列的运用。

注意找准这组数与组号的联系。

【典型例题】例1 自然数1，2，3，…排成一行分组，规定第n组含有n个自然数，即（1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10），（11，12，…）（1）试问第十组的第一个数是几？（2）试求第十组中所有自然数的和。

（3）试问100这个数位于第几组？是第几个数？例2 自然数1，2，3，…按下图排成一个数阵，请回答下列问题：1 3 6 10 15 212 5 9 14 204 8 13 197 12 1811 1716（1）第1行中自左至右的第8个数是几？（2）自上至下第10行中的第8个数是几？行，从左往右数的第（）个数。

12 36 5 47 8 9 1015 14 13 12 1116 17 18 19 20 21【快乐驿站】做事不认真，不负责任，就会弄出很多错误.有人说，这一问题上就有4处错误.请问，错误在什么地方呢？随堂小测姓名成绩1．有数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…（1）试问第一个20这个数在此数列中是第几项？（2）第100项是多少？（3）求前100项的和。

12 3 6 5 4 7 8 9 10 15 14 13 12 1116 17 18 19 2021从左往右数的第（）个数。

3．自然数1，2，3，…按下图排成一个数阵，请回答下列问题：1 3 6 10 15 212 5 9 14 204 8 13 197 12 1811 1716（1）第1行中自左至右的第12个数是几？（2）自上至下第15行中的第12个数是几？12 36 5 47 8 9 1015 14 13 12 1116 17 18 19 20 21 课后作业姓名家长签字成绩1．计算：1996＋1995－1994－1993＋1992＋1991－1990－1989＋…＋4＋3－2－1，结果是。

高中数学竞赛专题讲座之二：数列

高中数学竞赛专题讲座之二：数列一、选择题部分1．（2006年江苏）已知数列{}n a 的通项公式2245n a n n =-+，则{}n a 的最大项是（B ）A ．1aB ．2aC ．3aD ．4a2．（2006安徽初赛）正数列满足()231221,10,103n n n t a a a a a n --===≥，则100lg ()a =（）A ．98B ．99C ．100D ．101 3．（2006吉林预赛）对于一个有n 项的数列P=(p 1，p 2，…，p n )，P 的“蔡查罗和”定义为s 1、s 2、…s n 、的算术平均值，其中s k =p 1+p 2+…p k (1≤k≤n )，若数列(p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为（A ） A ．2007 B ．2008 C ．2006 D ．10044．(集训试题)已知数列{a n }满足3a n+1+a n =4(n ≥1)，且a 1=9，其前n 项之和为S n 。

则满足不等式|S n -n-6|<1251的最小整数n 是（）A ．5B ．6C ．7D ．8解：由递推式得：3(a n+1-1)=-(a n -1)，则{a n -1}是以8为首项，公比为-31的等比数列， ∴S n -n=(a 1-1)+(a 2-1)+…+(a n -1)=311])31(1[8+--n =6-6×(-31)n ，∴|S n -n-6|=6×(31)n <1251，得：3n-1>250，∴满足条件的最小整数n=7，故选C 。

5．(集训试题)给定数列{x n }，x 1=1，且x n+1=nn x x -+313，则∑=20051n nx= （）A ．1B ．-1C ．2+3D ．-2+3解：x n+1=n n x x 33133-+，令x n =tan αn ，∴x n+1=tan(αn +6π), ∴x n+6=x n , x 1=1，x 2=2+3, x 3=-2-3, x 4=-1, x 5=-2+3,x 6=2-3, x 7=1，……，∴有∑===2005111n nx x。

赣县中学高中数学竞赛数列第2二讲数列的性质(二)

第2讲数列的性质（二）一、知识点介绍（一）周期性1、周期数列的定义对于数列}{n a ，若存在一个（固定的）正整数T ，对于任意整数+∈>N n N n ,均有n T n a a =+成立，则称数列}{n a 为从N 项起的周期为T 的周期数列，T 的最小值称为最小（正）周期，简称为周期。

例如：})1{(n -是以2为周期的数列；}2{sin πn 是以4为周期的周期。

当1=N 时，称}{n a 为纯周期数列；2≥N 时，称为混周期数列。

2、周期数列的性质（1）、若T 是数列}{n a 的最小正周期，'T 是它的另一个周期，则'T T ；（2）、周期数列的值域是有限集；（3）、若数列}{n a 满足：),,(11-+++=k n n n k n a a a f a ，且值域是有限集，则数列}{n a 是周期数列。

（4）、若数列}{n a 均为周期数列，则数列}{n n b a ±、}{n n b a ⋅、)0}({≠n nnb b a 也是周期数列。

（三）、模周期性1、定义：设数列}{n a 是整数数列，m 是一个固定的大于1的正整数，①、若)(mod m a b n n ≡，}1,,2,1,0{-∈m b n ，则称}{n b 是}{n a 关于m 的模数列，记作)}(mod {m a n ； ②、若)}(mod {m a n 是周期数列，则称}{n a 是关于m 的模周期数列，简称模m 周期数列。

例如：自然数列}{n 是关于模m 的周期数列。

2、模周期数列的性质①、模周期数列的值域是有限整数集；②、若)(m T T =是模周期数列的最小（正）周期，1T 是它的任一周期，则1T T ；③、若模周期数列)}(mod {1m a n 、)}(mod {2m a n 和)}(mod {m a n 的周期分别为)(1m T 、)(2m T 、)(M T ,这里],[21m m M =且21m m ≠，则)(M T =)](),([21m T m T 。

明德中学数学竞赛培训第13讲数列的推方法

第11讲数列递推方法一、知识要点(1)递推数列的定义(2)递推关系的构造：归纳、猜想数列递推公式法(3)递推方法的步骤：确定初始值建立递推关系利用递推关系二、例题剖析(1) 年初有一对兔子，一雄一雌，小兔第一个月长大，第二个月就繁殖出一雌一雄一对兔子，以后，凡成熟的一对大兔子每月都生出一雌一雄一对小兔，而小兔对也以同样的规律，第一个月长大成熟，第二个月开始每一个月生一雌一雄一对小兔，问一年后共有多少对兔子？变式1：第一个月有一对大兔，每月生个α雄兔，β个雌兔，小雌兔隔月长大后也同样生α个雄的，β个雌兔，问第n 个月后共有多少只兔子？(2) 猴子爬一个8级的楼梯，一次只能爬一级或者二级，求爬到8级阶梯的方法总数.变式2：猴子爬一个8级的楼梯，一次只能爬一级或者二级或者3级，求爬到8级阶梯的方法总数.变式3：2n ⨯棋盘用12⨯骨牌完全覆盖，有多少种不同少覆盖方式?(4)把一个圆分成n (2)n ≥个扇形，依次设为12,,,n s s s ，每一个扇形都可以用红，黄，蓝三种不同颜色之一的涂色，要求相邻的扇形颜色互不相同，问共有多少种涂色方法变式4：4个人互相传球，要求接球后马上传给别人，由甲先传球，并作第一次传球，求经过10次传球后仍回到发球人甲手中传球方式的种数.(5)平面内有n 个两两相交的圆，并且任意三个圆不经过这同一点，试问：这n 个圆把平面分成多少个区域？变式5：线段AB 上有n 个的点(异于端点A 、B)，试问：这n 个点分线段AB 可以得到多少条小线段？变式6：AOB ∠内部有n 条的经过原点O 射线(异于端点OA 、OB)，试问：这n 条射线分AOB ∠可以得到多少个小角？变式7：平面内有 n 条的直线，试问：这n 条直线最多可以把平面分成多少块？变式8：平面内有 n 条的直线，试问：这n 条直线最多可以把一个圆面分成多少块？变式9：空间中，有 n 个的平面，试问：这n 个平面最多可以把空间分成多少块？(6) 有一种用硬币下棋的游戏，棋盘上标有第0 站，第1 站，第2 站，……，第100 站，一枚棋子开始在第0 站，棋手每掷一次硬币棋子跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳动两站，若出面反面，则棋子向前跳动一站，直到棋子恰好跳到第99 站（胜利大本营）或第100 站（失败大本营）时，该游戏结束.如果硬币出现正反面的概率都是12，分别求棋子跳到第1站和跳到胜利大本营的概率.(7)（1985 年全国高中数学联赛）某足球邀请赛有16 个城市参加，每市派出甲、乙两个队.根据比赛规则，每两队之间至多赛一场，并且同一城市的两队之间不进行比赛，比赛若干天后进行统计，发现除A 市甲队外，其他各队已比赛过的场数各不相同.问A 市乙队已赛过多少场？证明你的结论.(8) （第 21 届 IMO ）如图，设 A , E 为正八边形相对的顶点，顶点 A 处有一只袋鼠，除顶点E 外，袋鼠可以从八边形的任一顶点跳到两相邻顶点中的任一个，落到顶点E 时，袋鼠就在此停止.设袋鼠从顶点A 恰好跳n 次到E 的方法数为n a ，求n a(9)（1999 年保加利亚竞赛题）求所有的自然数n 的个数，满足41023n ≤≤，使得n 在二进制下，没有连续三个数码相同(10) （2005 年俄罗斯数学奥林匹克）在2n ⨯方格表的每个方格中都写有一个正数，使得每一列中的两个数的和都等于1.证明：可自每一列中删去一个数，使得每一行中剩下的数的和都不超过14n +.(11) 已知函数167()44x f x x +=+，数列{}{},n n a b 满足110,0a b >>,1()n n a f a -=,1()n n b f b -= ①求1a 的取值范围，使得对任意的正整数n ，都有1n n a a +>；②若13a =，14b =，求证：108n n nb a <-≤.（12）（Bernoulli-Euler 装错信封问题）某人写了n 封信，并在n 个信封上写下了对应的地址和收信人的姓名，问：把所有的信都装错信封的情况共有多少种？（13）n 个人参加一次聚会，每人带来一顶帽子和一把雨伞，会后每人任取一顶帽子和一把雨伞.（1）有多少种可能，使得没有人能拿回他原来的任意一件物品？（2）有多少种可能，使得有人能拿回他原来的任意一件物品？（3）有多少种可能，使得恰好有1有拿回他原来的物品，而其余的1n -个人没有人能拿回他原来的任意一件物品？(14) （1990 年巴尔干地区数学奥林匹克）设数列{}n a 满足121,3a a ==,对一切n N ∈，有有21(3)(2)n n n a n a n a ++=+-+，求所有被11 整除的n a 的一切n 值.(15) （1992 年中国台北数学奥林匹克）设r 为正整数，定义数列{}n a 如下： 11a =，()21212rn n na n a n +++=+，求证：n a N ∈.(16)（第9届 IMO ）运动会开了n (1)n >天，发了m 个奖牌，第 1 天发出 1 个加上余下奖牌的17，第2天发出2个加上余下奖牌的17，如此继续下去，最后第n 天刚好发出n 个奖牌无剩余，问运动会开了几天？共发了多少个奖牌？(17) 2001 年保加利亚数学奥林匹克）已知数列{}n a 适合014,22a a ==且1260(2)n n n a a a n ---+=≥，证明：存在两个正整数数列{}{},n n x y 满足27(0)n n n ny a n x y +=≥-.三、习题演练1.过平面内两点A 、B 分别有,m n 直线，问这m n +条直线最多可将平面分成多少部分.2.设圆O 中有任意的ABC ∆，取弧AB 、BC 、CA 的中点1,11,A B C ，得到一个内接111A B C ∆；又取弧1,11111,,CA B B C C A 的中点222,,A B C ，又得到一个内接222A B C ∆;那么当n 趋向无穷大时，n n n A B C ∆的形状如何变化？3．求1,2,3,,n 的排列中满足()1p i i -≤(对任意的i )的排列p 的个数n a 通项.4. 求1,2,3,,n 的圆排列中满足()1p i i -≤(对任意的i )的排列p 的个数n a 通项.5.设n x =(n 个根号），(1)求出数列{}n x 的通项公式(2)求证：12124n n x x -->-.6.设1P 是正ABC ∆的边AB 上一点，从1P 向边BC 上作垂线，垂足为1Q ，从1Q 向边作CA 垂线，垂足为1R ，从1R 向边AB 作垂线，垂足为2P ，如此继续下去，得点n P ，当n 趋向于无穷大时，问n P 点无限接近于哪一个点？7．如图所示，有4种不同的颜色，要给图中的1n +个区域涂色，要求相邻的两个区域的颜色互不相同，求共有多少种涂色方法.8.设数列{}n a 满足11a =，111()2n n na a n N a +=+∈(,1)N n N n ∈>.。

数学精品课高中数学竞赛辅导公开课解析数列与递推关系

数学精品课高中数学竞赛辅导公开课解析数列与递推关系数列与递推关系是高中数学竞赛中的重要考点之一。

在这节数学精品课的辅导公开课中，我们将深入解析数列与递推关系，帮助同学们更好地掌握相关知识，并在竞赛中取得优异成绩。

一、数列的概念与分类1.1 数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一组数字或对象。

通常用字母表示，如a₁、a₂、a₃，其中下标表示该数字或对象在数列中的位置。

1.2 数列的分类数列可以分为等差数列、等比数列和其他特殊数列。

1.2.1 等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之差恒定的数列。

其通项公式为an = a₁ + (n-1)d，其中a₁为首项，d为公差，n为项数。

1.2.2 等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之比恒定的数列。

其通项公式为an = a₁ * r^(n-1)，其中a₁为首项，r为公比，n为项数。

1.2.3 其他特殊数列除了等差数列和等比数列，还存在其他特殊数列，如斐波那契数列、递增数列等。

二、递推关系的求解递推关系是数列中的一种重要性质，根据已知项与后一项的关系，可以推导出数列中的其他项。

2.1 递推关系的定义递推关系是指数列中每一项与前一项之间的关系。

通常用递推公式表示，如an = an-1 + d，其中an-1表示前一项，d为公差。

2.2 递推关系的求解方法求解递推关系需要根据已知的条件，逐步推导出数列的后续项。

常见的求解方法包括直接法、差分法和通项法等。

2.2.1 直接法直接法是通过观察数列中的规律，根据已知的条件得出数列的递推关系。

这种方法适用于递增或递减规律明显的数列。

2.2.2 差分法差分法是通过计算数列中相邻项之差来确定数列的递推关系。

通过多次差分，可以得出数列的递推公式。

2.2.3 通项法通项法是通过求解数列的通项公式，进而推导出数列的递推关系。

这种方法适用于等差数列和等比数列。

三、常见数列问题的解析在数学竞赛中，常常会出现与数列与递推关系相关的问题。

下面我们通过实例来解析一些常见的数列问题。

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高中数学竞赛专题讲座之——数列一、选择题部分1．（2006年江苏）已知数列{}n a 的通项公式2245n a n n =-+，则{}n a 的最大项是（B ）A ．1aB ．2aC ．3aD ．4a2．（2006安徽初赛）正数列满足()231221,10,103n n n t a a a a a n --===≥，则100lg ()a =（）A ．98B ．99C ．100D ．101 3．（2006吉林预赛）对于一个有n 项的数列P=(p 1，p 2，…，p n )，P 的“蔡查罗和”定义为s 1、s 2、…s n 、的算术平均值，其中s k =p 1+p 2+…p k (1≤k≤n )，若数列(p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为（A ） A ．2007 B ．2008 C ．2006 D ．10044．(集训试题)已知数列{a n }满足3a n+1+a n =4(n ≥1)，且a 1=9，其前n 项之和为S n 。

5．(集训试题)给定数列{x n }，x 1=1，且x n+1=nn x x -+313，则∑=20051n nx= （）A ．1B ．-1C ．2+3D ．-2+3解：x n+1=n n x x 33133-+，令x n =tan αn ，∴x n+1=tan(αn +6π), ∴x n+6=x n , x 1=1，x 2=2+3,x 3=-2-3, x 4=-1, x 5=-2+3, x 6=2-3, x 7=1，……，∴有∑===2005111n nx x。

故选A 。

6．（2006陕西赛区预赛）已知数列{}{}n n a b 、的前n 项和分别为n A ，n B 记(1)n n n n n n n C a B b A a b n =⋅+⋅-⋅>则数列{n C }的前10项和为（C ）A ．1010AB + B ．10102A B + C ．1010A B ⋅D7．（2006年浙江省预赛）设)(n f 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比15101051146411*********如14321)123(222=++=f 。

记)()(1n f n f =，))(()(1n f f n f k k =+，，⋯=,3,2,1k 则)2006(2006f ＝（D ）A ．20B ．4C ．42D ．145解：将40)2006(=f 记做402006→，于是有→→→→→→→→→→→164204214589583716402006 从16开始，n f 是周期为8的周期数列.故.145)16()16()16()2006(48250420042006====⨯+f f f f 正确答案为D 。

二、填空题部分1．数列{}n a 的各项为正数,其前n项和n S满足)1(21nn n a a S +=,则n a 2．（200 6天津）已知d c b a ,,,都是偶数，且d c b a <<<<0，90=-a d ，若c b a ,,成等差数列，d c b ,,成等比数列，则d c b a +++的值等于 194 ．3．（2006吉林预赛）如图所示，在杨辉三角中斜线上方的数所组成的数列1，3，6，10，…，记这个数列前n 项和为S(n)，则)(lim 3n S n n +∞→=________.4．（2006年江苏）等比数列{}n a 的首项为12020a =，公比12q =-．设()f n 表示这个数列的前n 项的积，则当n = 12 时， ()f n 有最大值．5．在x 轴的正方向上，从左向右依次取点列 {},2,1,=j A j ，以及在第一象限内的抛物线x y 232=上从左向右依次取点列{} ,2,1,=k B k ，使k k k A B A 1-∆（ ,2,1=k ）都是等边三角形，其中0A 是坐标原点，则第2005个等边三角形的边长是 2005.【解】：设第n 个等边三角形的边长为n a 。

则第n 个等边三角形的在抛物线上的顶点n B 的坐标为（2121nn a a a a ++++- ， ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-223121n n a a a a ）。

再从第n 个等边三角形上，我们可得n B 的纵坐标为n n n a a a 232122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-。

从而有⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=-22323121n n n a a a a a ，即有 2211212n n n a a a a a ++++=- 。

由此可得221212n n n a a a a a +=+++ （1）以及 211121212---+=+++n n n a a a a a （2）（1）－（2）即得 ))((21)(21111---+-+-=n n n n n n n a a a a a a a .变形可得 0))(1(11=+----n n n n a a a a .由于01≠+-n n a a ，所以 11=--n n a a 。

在（1）式中取n ＝ 1，可得 2112121a a =，而01≠a ，故11=a 。

因此第2005个等边三角形的边长为 20052005=a 。

6．(2005年浙江)已知数列n x ，满足n x x n n n +=++1)1(, 且21=x ，则2005x =!20051!2005+.【解】：由 n x x n n n +=++1)1(，推出 1111+-=-+n x x n n 。

因此有 )!1(12)1()1(1)1()1(1)1(11111211+=-+-==-+-=+-=+-=---+n n n n x n n n x n n x n x x n n n n .即有 1)!1(11++=+n x n 。

从而可得 !20051!20052005+=x 。

7．(2005全国)记集合},4,3,2,1,|7777{},6,5,4,3,2,1,0{4433221=∈+++==i T a a a a a M T i 将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（）A ．43273767575+++B ．43272767575+++C ．43274707171+++D ．43273707171+++解：用p k a a a ][21 表示k 位p 进制数，将集合M 中的每个数乘以47，得32123412347{777|,1,2,3,4}{[]|,1,2,3,4}.i i M a a a a a T i a a a a a T i '=⋅+⋅+⋅+∈==∈= M '中的最大数为107]2400[]6666[=。

在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400-2004=396。

而=10]396[7]1104[将此数除以47，便得M 中的数.74707171432+++故选C. 8．（2004 全国）已知数列012,,,...,,...,n a a a a 满足关系式10(3)(6)18,3n n a a a +-+==且，则1ni o ia =∑的值是_________________________。

解：设1111,0,1,2,...,(3)(6)18,n n n nb n a b b +==-+=则即1111113610.2,2()333n n n n n n b b b b b b +++--=∴=++=+ 故数列1{}3n b +是公比为2的等比数列，11001111112()2()2(21)33333n n n n n n b b b a +++=+=+=⨯∴=-。

()112001112(21)1(21)(1)2333213n nn ni n i i o i i i b n n a +++===⎡⎤-==-=-+=--⎢⎥-⎣⎦∑∑∑。

9．（2005四川）设t s r ,,为整数，集合}0,222|{r s t a a t s r <<≤++=中的数由小到大组成数列}{n a ： ,14,13,11,7，则=36a 131 。

解：∵t s r ,,为整数且r s t <<≤0，∴r 最小取2，此时符合条件的数有122=C3=r ，t s ,可在2,1,0中取，符合条件有的数有323=C 同理，4=r 时，符合条件有的数有624=C5=r 时，符合条件有的数有1025=C 6=r 时，符合条件有的数有1526=C 7=r 时，符合条件有的数有2127=C因此，36a 是7=r 中的最小值，即131********=++=a三、解答题部分 1．（200 6天津）已知数列}{n a 满足p a =1，12+=p a ，20212-=+-++n a a a n n n ，其中p 是给定的实数，n 是正整数，试求n 的值，使得n a 的值最小．【解】令n n n a a b -=+1， ,2,1=n 由题设20212-=+-++n a a a n n n ，有201-=-+n b b n n ，且11=b ………5分于是)20()(11111∑∑-=-=+-=-n i n i i i i b b，即)1(2)]1(21[1---+++=-n n n b b n ． ∴12)40)(1(+--=n n b n ．（※） …………………10分又p a =1，12+=p a ，则21123172012a a p a a a <<-=-+-=． ∴当n a 的值最小时，应有3≥n ，1+≤n n a a ，且1-≤n n a a ．即01≥-=+n n n a a b ，011≤-=--n n n a a b ． …………………… 15分由（※）式，得⎩⎨⎧-≤--≥--2)41)(2(2)40)(1(n n n n 由于3≥n ，且*N n ∈，解得⎩⎨⎧≤≥4040n n ，∴当40=n 时，40a 的值最小． …………………………………………… 20分2．（2006陕西赛区预赛）(20分)已知sin(2)3sin αββ+=,设tan ,tan x y αβ==,记()y f x =.（1）求()f x 的表达式; 221)(x x x f +=（2）定义正数数列2*111{};,2()()2n n n n a a a a f a n N +==⋅∈。