高中数学竞赛专题之数列
数列经典题目(竞赛专题)
当an · an+1 为偶数时, 当an · an+1 为奇数时.
证明, 对每个 n ∈ N∗ , 都有 an ̸= 0. 13. (奥地利 − 波兰,1980) 设数列 {an } 满足 |ak+m − ak − am | p, q ∈ N∗ , 都有 ap aq 1 1 − < + . p q p q 14. (苏联莫斯科,1972) 将 0 和 1 之间所有分母不超过 n 的分数都写成既约形式, 再按递增顺序排成一 a c 列. 设 和 是其中任意两个相邻的既约分数, 证明 b d |bc − ad| = 1. 15. (波兰,1978) 对给定的 a1 ∈ R, 用下列方式定义数列 a1 , a2 , · · · : 对 n ∈ N∗ , ( ) 1 an − 1 , 当an ̸= 0时, an an+1 = 2 0, 当a ̸= 0时,
2), x1 = a, x2 = b, 记 Sn = x1 + x2 + · · · + xn , 则下列结 ) (B) x100 = −b, S100 = 2b − a; (D) x100 = −a, S100 = b − a . 1 时,xn+2 等于 xn xn+1 的个位数, 则 x1998 等于 . . . . ( (C) 6; (D) 8 . 2), 则数列的通项公式为 an = . )
的每一项都是整数, 其中 n ∈ N∗ . 并求所有使 an 被 3 整除的 n ∈ N∗ . 19. (捷克,1978) 证明, 数列 bn = ( √ )n ( √ )n 3+ 5 3− 5 − −2 2 2
的每一项都是自然数, 其中 n ∈ N∗ , 并且当 n 为偶数或奇数时分别具有 5m2 或 m2 的形式, 其中 m ∈ N∗ .
全国高中数学竞赛试题
1、已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+2n+1，则a5的值为多少？A、15B、16C、31D、32解析：根据递推关系，逐步计算可得：a2=a1+21+1=4，a3=a2+22+1=9，a4=a3+23+1=16，a5=a4+24+1=31。
（答案：C）2、在三角形ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若a=2，b=3，cosC=(√5)/5，则sinA的值为多少？A、(√5)/5B、(2√5)/5C、(3√5)/5D、(4√5)/5解析：利用余弦定理c²=a²+b²-2ab*cosC，求得c=√5。
再利用正弦定理sinA/a=sinC/c，结合sin²C+cos²C=1，求得sinA=(2√5)/5。
（答案：B）3、若复数z满足(1-i)z=2+2i，其中i为虚数单位，则复数z的模为多少？A、2B、√2C、2√2D、4解析：由(1-i)z=2+2i，得z=(2+2i)/(1-i)=(2+2i)(1+i)/(1-i²)=2i(1+i)/2=2i-2，所以|z|=√((-2)²+2²)=2√2。
（答案：C）4、已知向量a=(1,2)，b=(2,1)，c=(1,n)，若(a+2b)⊥c，则n的值为多少？A、-9B、-7C、7D、9解析：由向量加法得a+2b=(5,4)，由向量垂直得(a+2b)·c=0，即5+4n=0，解得n=-5/45/4=-9/44=-9。
（答案：A）5、设集合A={x|x²-4x+3<0}，B={x||x-3|≤1}，则A∩B等于多少？A、{x|1<x≤2}B、{x|2≤x<3}C、{x|1<x<3}D、{x|2<x≤4}解析：解不等式x²-4x+3<0得1<x<3，所以A={x|1<x<3}；解不等式|x-3|≤1得2≤x≤4，所以B={x|2≤x≤4}；因此A∩B={x|2≤x<3}。
高中数学竞赛数列专题
高中数学竞赛数列专题摘要：一、高中数学竞赛数列专题简介1.高中数学竞赛背景2.数列专题在竞赛中的重要性3.数列专题的主要内容二、等差数列与等比数列1.等差数列的概念与性质2.等差数列的通项公式与求和公式3.等比数列的概念与性质4.等比数列的通项公式与求和公式三、常见的数列类型1.质数数列2.斐波那契数列3.几何数列4.调和数列四、数列的性质与应用1.数列的递推关系2.数列的极限与无穷数列3.数列在实际问题中的应用五、高中数学竞赛数列专题的备考策略1.掌握基础知识2.熟练运用公式与性质3.分析与解决问题的方法与技巧4.模拟试题与真题训练正文：高中数学竞赛数列专题涵盖了丰富的知识点，旨在培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
为了更好地应对数列专题的挑战，我们需要对这一专题有全面的了解，包括基本概念、公式、性质以及实际应用等方面。
首先，高中数学竞赛的背景为选拔优秀的学生参加各类数学竞赛，如全国青少年数学竞赛、国际奥林匹克数学竞赛等。
在这些竞赛中，数列专题具有很高的出现频率和重要性，因此，对这一专题的掌握程度对竞赛成绩有着直接影响。
数列专题的主要内容包括等差数列与等比数列、常见的数列类型、数列的性质与应用等方面。
等差数列与等比数列是数列的基本类型，它们在数学竞赛中占据重要地位。
等差数列具有以下性质：任意两项之差相等；等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，求和公式为Sn=n/2(2a1+(n-1)d)。
等比数列具有以下性质：任意两项之比相等；等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)，求和公式为Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。
在高中数学竞赛中，还常遇到一些常见的数列类型，如质数数列、斐波那契数列、几何数列和调和数列等。
这些数列具有独特的性质和规律，需要我们熟练掌握其定义、公式和性质。
数列的性质与应用方面，我们需要了解数列的递推关系、极限与无穷数列，以及数列在实际问题中的应用。
递推关系是指数列的通项公式可以通过已知的前几项求得。
高中数学竞赛5数列部分参考答案
全国高中数学联赛试题分类汇编5.数列部分参考答案2019B 8.◆答案：5★解析：设{}n a 的公差为d ．由条件知12k a a a +=（k 是某个正整数），则()1121a d a k d +=+-，即()12k d a -=，因此必有2k ≠，且12a d k =-． 这样就有()111112n n a a n d a a k -=+-=+-，而此时对任意正整数n ，()()()()1211111222n n n n n a a a na d a n k d --⎡⎤+++=+=+--+⎢⎥⎣⎦，确实为{}n a 中的一项．因此，仅需考虑使()12|k a -成立的正整数k 的个数．注意到20193673=⨯，易知2k -可取1,1,3,673,2019-这5个值，对应得到5个满足条件的等差数列．2019B 二、★证明：由条件可知4k ≥，且3212112kk k k d d d d d d d d -----=--……………10 分 易得11,k d d n ==，12k nd d -=，23k nd d -=，代入上式得3222123nn d d d n n d d d d --=--， 即()()2232231d d d d -=-，由此可知3d 是完全平方数．由于2d p =是n 的最小素因子，3d 是平方数，故只能23d p =． ………………30 分 从而序列21321,,,k k d d d d d d ----为232121,,,,k k p p p p p p p ------，即12,,,k d d d为211,,,,k p p p -，而此时相应的n 为1k p -.综上可知，满足条件的n 为所有形如a p 的数，其中p 是素数，整数3a ≥．………40分。
2018A 8、◆答案：80★解析：记{}2,11∈-=+i i i a a b （9,,2,1 =i ），则有92111012b b b a a a +++=-= ① 7655825432b b b a a a a b b b ++=-=-=++②下面用t 表示432,,b b b 中2的项数。
数学竞赛试题及答案高中生
数学竞赛试题及答案高中生试题一：代数问题题目：已知\( a, b \) 是方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \) 的两个实根，求 \( a^2 + 5a + 6 \) 的值。
解答：根据韦达定理，对于方程 \( x^2 + bx + c = 0 \)，其根\( a \) 和 \( b \) 满足 \( a + b = -b \) 和 \( ab = c \)。
因此，对于给定的方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \)，我们有 \( a + b =-5 \) 和 \( ab = 6 \)。
由于 \( a \) 是方程的一个根，我们可以将 \( a \) 代入方程得到 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。
所以 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。
试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，已知直角边长分别为 3 厘米和 4 厘米，求斜边的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度 \( c \) 可以通过直角边 \( a \) 和 \( b \) 计算得出，公式为 \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)。
将给定的边长代入公式，我们得到 \( c = \sqrt{3^2 + 4^2} =\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) 厘米。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项 \( a_1 = 3 \)，公差 \( d = 2 \)，求第 10 项 \( a_{10} \) 的值。
解答：等差数列的通项公式为 \( a_n = a_1 + (n - 1)d \)，其中\( n \) 是项数。
将给定的值代入公式，我们得到 \( a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 2 = 3 + 9 \times 2 = 3 + 18 = 21 \)。
试题四：组合问题题目：从 10 个不同的球中选取 5 个球，求不同的选取方式有多少种。
高中数学竞赛讲义（五）──数列
⾼中数学竞赛讲义（五）──数列⾼中数学竞赛讲义（五）──数列⼀、基础知识定义1 数列，按顺序给出的⼀列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和⽆穷数列两种，数列{a n}的⼀般形式通常记作a1, a2, a3,…，a n或a1, a2, a3,…，a n…。
其中a1叫做数列的⾸项，a n是关于n的具体表达式，称为数列的通项。
定理1 若S n表⽰{a n}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，a n=S n-S n-1.定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有a n+1-a n=d（常数），则{a n}称为等差数列，d叫做公差。
若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：S n=；3）a n-a m=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，则a n+a m=a p+a-q；5）对任意正整数p, q，恒有a p-a q=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B⾄少有⼀个不为零，则{a n}是等差数列的充要条件是S n=An2+Bn.定义3 等⽐数列，若对任意的正整数n，都有，则{a n}称为等⽐数列，q叫做公⽐。
定理3 等⽐数列的性质：1）a n=a1q n-1；2）前n项和S n，当q1时，S n=；当q=1时，S n=na1；3）如果a, b, c成等⽐数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等⽐中项；4）若m+n=p+q，则a m a n=a p a q。
定义4 极限，给定数列{a n}和实数A，若对任意的>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|a n-A|<，则称A为n→+∞时数列{a n}的极限，记作定义5 ⽆穷递缩等⽐数列，若等⽐数列{a n}的公⽐q满⾜|q|<1，则称之为⽆穷递增等⽐数列，其前n项和S n的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）。
数学精品课高中数学竞赛辅导公开课解析数列与递推关系
数学精品课高中数学竞赛辅导公开课解析数列与递推关系数列与递推关系是高中数学竞赛中的重要考点之一。
在这节数学精品课的辅导公开课中，我们将深入解析数列与递推关系，帮助同学们更好地掌握相关知识，并在竞赛中取得优异成绩。
一、数列的概念与分类1.1 数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一组数字或对象。
通常用字母表示，如a₁、a₂、a₃，其中下标表示该数字或对象在数列中的位置。
1.2 数列的分类数列可以分为等差数列、等比数列和其他特殊数列。
1.2.1 等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之差恒定的数列。
其通项公式为an = a₁ + (n-1)d，其中a₁为首项，d为公差，n为项数。
1.2.2 等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之比恒定的数列。
其通项公式为an = a₁ * r^(n-1)，其中a₁为首项，r为公比，n为项数。
1.2.3 其他特殊数列除了等差数列和等比数列，还存在其他特殊数列，如斐波那契数列、递增数列等。
二、递推关系的求解递推关系是数列中的一种重要性质，根据已知项与后一项的关系，可以推导出数列中的其他项。
2.1 递推关系的定义递推关系是指数列中每一项与前一项之间的关系。
通常用递推公式表示，如an = an-1 + d，其中an-1表示前一项，d为公差。
2.2 递推关系的求解方法求解递推关系需要根据已知的条件，逐步推导出数列的后续项。
常见的求解方法包括直接法、差分法和通项法等。
2.2.1 直接法直接法是通过观察数列中的规律，根据已知的条件得出数列的递推关系。
这种方法适用于递增或递减规律明显的数列。
2.2.2 差分法差分法是通过计算数列中相邻项之差来确定数列的递推关系。
通过多次差分，可以得出数列的递推公式。
2.2.3 通项法通项法是通过求解数列的通项公式，进而推导出数列的递推关系。
这种方法适用于等差数列和等比数列。
三、常见数列问题的解析在数学竞赛中，常常会出现与数列与递推关系相关的问题。
下面我们通过实例来解析一些常见的数列问题。
高联数列题知识点总结归纳
高联数列题知识点总结归纳数列是数学中常见的概念，它是按照一定的规律排列的一系列数的集合。
而高联数列题，则是在高中数学中常见的考点之一，也是让许多学生感到头疼的难题。
本文将对高联数列题中的常见知识点进行总结归纳，供大家参考。
一、等差数列等差数列是最基本的数列之一，其特点是数列中的每一项与前一项之间的差值恒定。
在高联数列题中，常见的等差数列题包括求首项、公差、第n项以及前n项和等。
1.1 首项对于一个等差数列，首项即数列的第一项，通常用字母a表示。
求解首项的方法包括已知数列的公差和第n项，以及已知数列的前n项和等。
1.2 公差公差是等差数列的两个相邻项之间的差值，通常用字母d表示。
1.3 第n项第n项是等差数列中的第n个数，通常用字母an表示。
求解第n项的方法包括已知数列的首项和公差，以及已知数列的前n项和等。
1.4 前n项和前n项和是指等差数列中前n个数的和，通常用Sn表示。
求解前n项和的方法包括利用求和公式以及已知数列的首项、公差和项数。
二、等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之间的比值恒定。
在高联数列题中，常见的等比数列题包括求首项、公比、第n项以及前n项和等。
2.1 首项对于一个等比数列，首项即数列的第一项，通常用字母a表示。
求解首项的方法包括已知数列的公比和第n项，以及已知数列的前n项和等。
2.2 公比公比是等比数列中的两个相邻项之间的比值，通常用字母q表示。
2.3 第n项第n项是等比数列中的第n个数，通常用字母an表示。
求解第n项的方法包括已知数列的首项和公比，以及已知数列的前n项和等。
2.4 前n项和前n项和是指等比数列中前n个数的和，通常用Sn表示。
求解前n项和的方法包括利用求和公式以及已知数列的首项、公比和项数。
三、递推数列递推数列是指数列中的每一项都可以由前一项或前几项推知的数列。
在高联数列题中，常见的递推数列题包括给出递推关系式求解数列的通项公式，以及根据数列的特点进行推理和求解等。
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高中数学竞赛专题之数列一、数列的性质等差数列与等比数列是中学阶段的两种重要数列，也是各年高考、竞赛的重点，现将它们的主要性质及内容对照讨论如下：性质1：若 ,,,,21n a a a 是等差（等比）数列，那么 ,,,,kj i j i i a a a ++仍是等差（等比）数列。
性质2：若}{n a 为等差数列，且∑∑===kl lk l l ji 11，那么∑∑===kl j k l i llaa 11（脚标和相同则对应的项的和相同）；若}{n a 为等比数列，且∑∑===kl lkl lji 11，那么l l j kl i k l a a 11===ππ（脚标和相同则对应的项的积相同）。
性质3：若}{n a 为等差数列，记 ,,,,1)1(1211∑∑∑=-+=+====ki k m i m k i k i ki i a S a Sa S ，那么}{m S 仍为等差数列，}{n a 为等比数列，记 ,,,,)1(11211k m i kl m k i k l i k l a P a P a P -+=+=====πππ，那么}{m P 仍为等比数列。
性质4：若}{n a 为等比数列，公比为q ，且|q|〈1，则qa S n n -=∞→1lim 1。
例1、若}{n a 、}{n b 为等差数列，其前n 项和分别为n n T S ,，若132+=n nT S n n ， 则=∞→nn n b a lim（ ）A.1 B.36C. 32D.94 例2、等差数列}{n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项的和为（ ）A.130B. 170C. 210D.260例3、}{n a 、}{n b 为等差数列，其前n 项和分别为n n T S ,，若331313++=n n T S n n （1）求2828a b 的值， （2）求使n n a b 为整数的所有正整数n 。
例4、在等差数列}{n a 中，若010=a ，则有等式),19(,192121N n n a a a a a a n n ∈<+++=+++- 成立，类比上述性质，相应地：在等比数列}{n b 中，若19=b ，则有等式 成立。
例5、一个正数，其小数部分、整数部分和其本身成等比数列，则该数为 。
例6、设1,,2,110|.0{(21===n i n n a n i a a a a n M ，或只取位纯小数十进制）}，n T 是n M 的元素个数，n S 是所有元素的和，则=∞→nnn T S lim。
例7、设A={1,2,…n},n S 是A 的所有非空真子集元素的和，n B 表示A 的子集个数，求nn n B n S 2lim∞→的值。
例8、设数列}{n a 的前n 项和为),2,1(,12 =-=n a S n n ，数列}{n b 满足),2,1(,,311 =+==+k b a b b k k k ，求数列}{n b 的前n 项和。
方法：首先找出}{n a 的通项式，在找出}{n b 的通项式例9、设}{n a 为等差数列，}{n b 为等比数列，且)(,,,21233222211a a a b a b a b <===，又12)(lim 21+=+++∞→n n b b b ，试求}{n a 的通项公式。
例10、设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，且)(),1(23N n a S n n ∈-=，数列}{n b 的通项式为34+=n b n ，（1）求数列}{n a 的通项公式，（2）若},,,{},,,{2121 n n b b b a a a d ∈，则称d 为数列}{n a 与}{n b 的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列}{n d ，证明：}{n d 的通项公式为)(,312N n d n n ∈=+。
例11、)4(2≥n n 个正数排成n 行n 列：,11a ,12a ,13a n a 1 ,21a ,22a 23a n a 2,1n a ,2n a ,3n a nn a其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比相等，已知163,81,1434224===a a a ，求11a +22a ++33a +nn a 的值。
作业：1、将正奇数集合{1，3，5，…}由小到大按n 组有(2n-1)个奇数进行分组：{1}、{3，5，7}、{9，11，13，15，17}….，则1991位于 组中。
2、在等差数列}{n a 中，公差0≠d ，412a a a 与是的等比中项，已知数列,,,,,,2131kn k k a a a a a 成等比数列，求数列}{n k 的通项公式。
3、设正数数列}{n a 满足32,122++=+=n n n n n a a b a S ，（1）求数列}{n a 的通项公式，（2）设)(22222mn b a n m b a M n m n m +-+++=，试求M 的最小值。
二、数学归纳法数学归纳法在一定程度上考察了以下能力：（1）从整体上直接领悟数学对象本质的能力； （2）从数学问题、数式结构、数式关系中洞察对象本质的能力；（3）从解题思路和问题结果中领悟数学本质的能力。
第一数学归纳法：设)(n T 是一个关于自然数n 的命题，满足以下条件：（1）)1(T 是成立的，（2）假设)(k T 成立能推出)1(+k T 成立，则命题对一切自然数n 都成立。
第二数学归纳法：设)(n T 是一个关于自然数n 的命题，满足以下条件：（1）)1(T 是成立的，（2）假设)1(T ，)2(T ，…)(k T 成立能推出)1(+k T 成立，则命题对一切自然数n 都成立。
解题思维过程：尝试——观察——归纳、猜想——证明，即从特殊关系中概括一般规律，建立猜想，给出严格证明。
解题策略：从数学问题、数式结构、数式关系、解题思路和问题结果等特征去思考问题。
例1、已知对任意自然数n ，有2113)(0∑∑===>nj j nj jn a aa 且，求证n a n = （1989年高中）例2、用n S 表示n 2,3,2,1 的各数的最大奇数因子之和，求证：)24(31+=nn S例3、设}{n a 是正数数列且满足)1(21nn n a a S +=，求数列}{n a 的通项公式。
方法：尝试——观察——归纳、猜想——证明例4、已知数列}{n x 满足：11=x ，当1≥n 时，有))(1(32(413221123121+--++++=++++n n n n n n x x x x x x n x nx x x x x x x ），试求数列}{n x 的通项公式。
方法：尝试——观察——归纳、猜想——证明例5、一个数列}{n V 定义如下：)1(,)2(,25,2121110≥--===-+n V V V V V V n n n ，证明：对于自然数n ，有])1(2[312][n nn V --=。
这里][n V 表示不超过n V 的最大整数。
（IMO18-6）方法：变化形式例6、设数列}{n a 满足：a a a a a nn +=+=+1,111，这里10<<a ，求证：对所有的自然数n ，有1>n a 。
（1977年加拿大数学奥林匹克）例7、已知n a a a ,,21是n 个正数且满足121=n a a a ， 求证：nn a a a 322221≥++⋅+）（）（）（例8、已知 a, b 是正实数，且满足111=+ba ，试证：对每一个自然数n ，有 1222)(+-≥--+n n n n nb a b a三、递推数列，热点问题是求递推数列的通项公式1、转化：最常见的转化为等差（等比）数列的通式和求和类型：（1）b aa a n n +=-1，化归成)(1λλ+=+-n n a a a 型；（2）n n n b d ca a ⋅+=+1，化归成)(11--+=+n n n n b a c b a λλ型；（3）r b d ca a n n n +⋅+=-1，化归成)(11u b a c u b a n n n n ++=++--λλ型； （4）d cn pa a n n ++=-1，化归成])1([1u n a p u n a n n +-+=++-λλ型； （5）cda ca a n n n +=--11，化归成c da a n n +=-111型；（6）21--+=n n n qa pa a 型例1、、已知数列}{n x 满足：11=x ， 2111)1(4,-+=>++-n n n n n n x x x x x x 且，试求数列}{n x 的通项公式。
方法：开方转化成等差数列的形式例2、设数列}{n a 满足：43,111+==+n n a a a ，求}{n a 的通项公式。
例3、设数列}{n a 满足：),2,1(,1,11221 =+===++n a a a a a n n n ，求2004a 。
例4、设数列}{n a 满足：n a a n a n n +=+=+11)1(,1，求2005a 。
2、变换（代换）：三角代换、代数代换 例1、已知11011,2---+==n n n a a a a ，求n a 。
方法：观察特点，联想到正切公式例2、数列}{n a 满足：)24141(161,111n n n a a a a +++==+，求n a 方法：含根式，通过代换转化为不含根式的递推式例3、设n a a a ,,21满足关系式3,18)6)(301==+-+a a a n n 且（，则=∑=ni ia 01方法：倒数关系不易求解，通过代换转化为熟悉的形式例4、给定正整数n 和正数M ，对于满足条件：M a a n ≤++2121的所有等差数列n a a a ,,21，试求1221++++++=n n n a a a S 的最大值。
方法：根据特点，三角代换3、特征方程及特征根求解递推式对于二阶线性递推数列数列}{n x 满足：012=++++n n n bx ax x ..（1）其中b a ,为常数，若有等比数列}{n x 满足等式（1），则x 必满足相应的方程：0)(2=++=b ax x x f …….（2），称此方程（2）为（1）的特征方程。
数列}{n x 的通项公式与特征方程的根有如下关系：当042>-b a 时，方程（2）有两个不相同的实数根21,q q ，则数列}{1n q 、}{2nq 均是（1）的解，并且对任意常数21,c c 有}{2211n nq c q c +也是（1）的解（通解），21,c c 由初值确定。