等差数列及前n项和
等差数列的前n项和 课件
典例导悟
类型一 等差数列前n项和公式的基本运算 [例1] 分别按等差数列{an}的下列要求计算： (1)已知a1 005＝411，求S2 009； (2)已知d＝2，S100＝10 000，求an.
[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①a1＋a2 009＝2a1 005；②an＝a1＋(n－1)d. 解答本题要紧扣等差数列的求和公式的两种形式，利 用等差数列的性质解题．
[解] (1)∵a1＋a2 009＝2a1 005，
∴S2
009＝2
009a1＋a2 2
009＝2
009a1
005＝2
009×411＝49.
(2)由S100＝100a1＋
100×100－1 2
×2＝10
000，解得a1
＝1.
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
[点评] a1，n，d称为等差数列的三个基本量，an和Sn 都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，n，d，an，Sn中 可知三求二．即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知 三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立 得方程(组)求解，这种方法是解决数列问题的基本方法， 在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的 运用．
(2)当已知首项a1，末项an，项数n时用公式Sn＝
na1＋an 2
求和，用此公式时，有时要结合等差数列的性
质．
(3)当已知首项a1，公差d及项数n时，用公式Sn＝na1＋ nn－2 1d求和．
4．数列前n项和Sn与通项an的关系是怎样的？
提示：∵Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an， ∴Sn－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1(n≥2)． 在n≥2的条件下，把上面两式相减可得an＝Sn－Sn－ 1(n≥2)，当n＝1时，a1＝S1，所以an与Sn有如下关系： an＝SS1n， －nS＝ n－11，，n≥2.
等差数列前n项和的性质及应用
密码学：等差数列 前n项和公式可用于 设计密码算法和加 密方案
计算机图形学：等差数 列前n项和公式可用于 生成等差数列曲线，用 于计算机图形学中的渲 染和动画制作
定义：等差数 列中，任意两 项的差为常数
公式： Sn=n/2*(a1+a
n)
推导：利用等 差数列的定义， 将前n项和展开，
得到 Sn=na1+n(n-
算法优化：通过减少重复计算和利用已知值来加速计算过程，从而提高了算法的效率。
应用场景：等差数列前n项和的优化算法在数学、物理、工程等领域有广泛的应用， 尤其在处理大规模数据时具有显著优势。
计算等差数列前n项和的最小 值
求解等差数列中项的近似值
判断等差数列是否存在特定性 质
优化等差数列前n项和的计算 过程
,a click to unlimited possibilities
汇报人：
01
02
03
04
05
06
等差数列前n项和 是数列中前n个数 的和，记作Sn。
等差数列前n项和的 公式为：Sn = n/2 * (a1 + an)，其中a1为 首项，an为第n项。
等差数列前n项和 的性质包括对称性、 奇偶性、线性关系 等。
等差数列前n项和的定义：一个数列， 从第二项起，每一项与它的前一项的 差都等于同一个常数，这个数列就叫 做等差数列。
等差数列前n项和的性质1：若 m+n=p+q，则S_m+S_n=S_p+S_q。
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等差数列前n项和的公式： S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)，其中a_1 是首项，d是公差。
等差数列及其前n项和-高考数学复习
目录索引
1
2
强基础
固本增分
知识梳理
1.等差数列的有关概念
定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于
__________,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列
同一个常数
an+1-an=d(n∈N*,d为常数)
的_______,通常用字母d表示.定义表达式为____________________
13.5尺,芒种日晷长为2.5尺,则一年中立春到夏至的日晷长的和为( C )
A.58.5尺
B.59.5尺
C.60尺
D.60.5尺
解析 设冬至日晷长为a1尺,小寒日晷长为a2尺,以此类推芒种日晷长为a12
尺,
因此a1=13.5,a12=2.5.设相邻两个节气晷长的变化量为d,所以有
2.5=13.5+(12-1)d⇒d=-1.立春日晷长为a4=13.5+3×(-1)=10.5(尺),
微思考在等差数列{an}中,通项an是关于n的一次函数吗?前n项和Sn是关于
n的二次函数吗?
提示 an不一定是关于n的一次函数,事实上,在等差数列{an}中,an=kn+b
(k,b∈R),当k=0,即数列为常数列时,an不是关于n的一次函数.
Sn不一定是关于n的二次函数,当公差不为0时,Sn=An2+Bn(A,B为常数,且
解得
101 + 45 = 40,
= -2,
所以 an=a1+(n-1)d=15-2n.
②由已知得
(1 + )
Sn=
2
=
(13+15-2)
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4．(2023·全国乙理，10,5 分)已知等差数列{an}的公差为23π，集合 S
＝{cos an|n∈N*}.若 S＝{a，b}，则 ab＝( B )
A.－1
B．－12
C．0
D．12
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[解析] 由题意，得 an＝a1＋(n－1)·23π，又 S＝{cos an|n∈N*}＝{a， b}，∴cos a1≠cos a2，但 cos a1＝cos a3，即 cos a1＝cosa1＋43π，∴a1＋ a1＋43π＝2kπ(k∈Z)，∴a1＝－23π＋kπ(k∈Z).不妨取 k＝1，则 a1＝π3，a2＝ π3＋23π，则 S＝12，－1＝{a，b}，∴ab＝－1×12＝－12.故选 B.
即 aa11＋＋d2＝d＝－－3，2，
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解得ad1＝＝1－，4， ∴a5＝a1＋4d＝0，Sn＝na1＋nn－2 1d＝－4n＋n2－2 n＝12(n2－9n)＝12 n－922－881， ∵n∈N*，∴n＝4或5时，Sn取得最小值，最小值为－10.
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5．在遇到三个数成等差数列时，可设其为a－d，a，a＋d；四个数 成等差数列时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d或a－d，a，a＋d，a ＋2d.
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双基自测 题组一 走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这 个数列是等差数列.( × ) (2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( √ ) (3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( × ) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an ＋an＋2.( √ )
等差数列及其前n项和(讲义及答案)
n n mn k k +m k +2m等差数列及其前 n 项和（讲义）知识点睛一、数列的概念与简单表示方法 1. 数列的概念按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的一般形式可以写成a 1 ，a 2 ，a 3 ，…，a n ，…，简记为{a n }． 2. 数列的表示方法（1） 列表法 （2） 图象法 （3） 公式法①通项公式 ②递推公式 3. 数列的性质（1） 递增数列 （2） 递减数列 （3） 常数列 （4） 摆动数列二、 等差数列 1. 等差数列的概念如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示．（1） 等差中项（2） 等差数列的通项公式： a n = a 1 + (n -1)d ．2. 等差数列的性质（1） 通项公式的推广： a = a + (n - m )d (m ，n ∈ N *) ． （2） 若{a }是等差数列，且k +l = m + n (k ，l ，m ，n ∈ N *) ， 则a k +a l = a m + a n ．（3） 若{a }是等差数列，则a ， a ， a ，… (k ，m ∈ N *) 组成公差为 md 的等差数列．（4） 若{a n }是等差数列，则{λa n + c }也是等差数列．1n n n（5） 若{a }，{b }是等差数列，则{p a + qb } (n ∈ N * ) 也是等 nnnn差数列． 三、 等差数列的前 n 项和1. 我们称a 1 + a 2 + a 3 +… + a n 为数列{a n }的前 n 项和，用 S n 表示，即S n = a 1 + a 2 + a 3 +… + a n ．等差数列{a n }的前 n 项和公式（1） 已知a ， a ，n 时， S = n (a 1 + a n ) ．1 n n2（2） 已知a 1 ， n ，d 时， S n 推导过程：倒序相加法 2. 等差数列各项和的性质= na 1 + n (n -1) d ．2（1） S m ， S 2m ， S 3m 分别是{a n } 的前 m 项，前 2m 项，前 3m 项的和，则S m ， S 2m - S m ， S 3m - S 2m 成等差数列．（2） 两个等差数列{a n }，{b n }的前 n 项和 S n ， T n 之间的关系 为 a n b n = S2n -1 ． T 2n -1（3） 数列{a }的前 n 项和S = An 2 + Bn ( A ，B ∈ R ) 是{a }为等差数列的等价条件．（4） 等差数列{a n }前 n 项和的最值：当d > 0 时，{a n }为递增数列，且当a 1 < 0 时，前 n 项和S n 有最小值；当d < 0 时，{a n }为递减数列，且当a 1 > 0 时，前 n 项和S n 有最 大值．2n +1 n n n -1n +1 n n n -1精讲精练1. 下面六个结论中：①数列若用图象表示，从图象看是一系列孤立的点； ②数列的项数是无限的； ③数列的通项公式是唯一的； ④数列不一定有通项公式；⑤数列 1，2，3，…不一定是递增的；⑥数列看作函数，其定义域为正整数集或它的有限子集{1，2，…，n } ．其中正确的是（ ）A ．①②④⑥ C ．①③④⑤B ．①④⑤⑥ D ．①②⑥2. 数列-1，7，-13，19，…的通项公式a n = （）A ． 2n -1 C ． (-1)n 6n - 5B ． -6n + 5 D ． (-1)n (6n - 5)3. 数列 1，3，6，10，15，…的递推公式是（）A. a = a + n ，n ∈ N *B. a = a + n ，n ∈ N *，n ≥ 2C. a = a + n -1，n ∈ N * D. a = a + n -1，n ∈ N *4. 在等差数列{a n } 中， a 1 + a 5 = 10 ， a 4 = 7 ，则数列{a n } 的公差是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．435. 已知等差数列{a n } 满足a 1 + a 2 + a 3 +…+ a 101 = 0 ，则有（）A ． a 1 + a 101 > 0 C ． a 3 + a 99 = 0B ． a 2 + a 100 < 0 D ． a 51 = 516.在等差数列{a n } 中，S n 是其前 n 项和，且a 4 = 9 ，a 9 = -6 ，则 S n 取最大值时 n 的值为（ ） A ．6 或 7B ．7 或 8C ．5 或 6D ．8 或 97.已知等差数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，若 2a 6 = a 8 + 6 ，则 S 7 = （ ）A ．49B ．42C ．35D ．2448.已知一个等差数列共有 10 项，其偶数项之和是 15，奇数项之和是 12．5，则它的首项与公差分别是（ ） A ．0．5，0．5B ．0．5，1C ．0．5，2D ．1，0．59.设等差数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S 3 = 12 ， S 6 = 42 ，则 a 10 + a 11 + a 12 =（ ）A ．156B ．102C ．66D ．4810. 设数列{a n } ，{b n } 都是等差数列，若a 1 + b 1 = 7 ， a 3 + b 3 = 21，则a 5 + b 5 = ．5n n +1 11. 已知正项数列{a n }满足：a 1=1，a 2=2， 2a 2 = a 2 2n -1 (n ∈ N * ，n ≥ 2) ，则通项公式a n = ．12. 两个等差数列{a n } 和{b n } 的前 n 项和分别是S n 和T n ，若 S n = 2n + 3 ，则 a 9 = ．T n 3n -1 b 9回顾与思考6+ a【参考答案】1．B 2．D 3．B 4．B 5．C 6．A 7．B 8．A9．C 10．35 1112．37507。
等差数列及其前n项和的知识点
第二节等差数列及其前n项和[备考方向要明了]考什么怎么考1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.1.以选择题的形式考查等差数列的基本量及等差数列性质的简单应用，如2012年辽宁T6，北京T10，江西T12等．2.以解答题的形式考查等差数列的概念、等差数列的判定、通项公式、前n项和公式以及等差数列的性质等，如2012年陕西T17等.[归纳·知识整合]1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为a n－a n－1＝d(常数)(n∈N*，n≥2)或a n＋1－a n＝d(常数)(n∈N*)．2．等差数列的通项公式若等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则其通项公式为a n＝a1＋(n－1)d.亦可以用数列中的第m项a m与公差d表示为a n＝a m＋(n－m)d.[探究] 1.已知等差数列{a n}的第m项为a m，公差为d，则其第n项a n能否用a m与d 表示？提示：能，a n＝a m＋(n－m)d.3．等差中项若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝a＋b2.4．等差数列的前n项和公式S n＝na1＋n(n－1)2d＝n(a1＋a n)2.[探究] 2.等差数列前n 项和公式的推导运用了什么方法？ 提示：倒序相加法．3．等差数列前n 项和公式能否看作关于n 的函数，该函数是否有最值？提示：当d ≠0时，S n 是关于n 的且常数项为0的二次函数，则(n ，S n )是二次函数图象上的一群孤立的点，由此可得：当d >0时，S n 有最小值；当d <0时，S n 有最大值．5．等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ， 特别：若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p .(2)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd . (3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．[自测·牛刀小试]1．(2012·重庆高考)在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则{a n }的前5项和S 5＝( ) A ．7 B ．15 C ．20D ．25解析：选B 数列{a n }的公差d ＝5－12＝2，则a 1＝－1，a 5＝7，可得S 5＝15.2．(2012·辽宁高考)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( ) A ．58 B ．88 C ．143D ．176解析：选B 因为{a n }是等差数列，所以a 4＋a 8＝2a 6＝16⇒a 6＝8，则该数列的前11项和为S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6＝88.3．(教材习题改编)在等差数列{a n }中，若a 4＋a 5＝15，a 7＝15，则a 2的值为( ) A ．－3 B ．0 C ．1D ．2解析：选B 由题意知，a 2＋a 7＝a 4＋a 5，所以a 2＝a 4＋a 5－a 7＝0.4．(教材习题改编)已知两个数列x ，a 1，a 2，a 3，y 与x ，b 1，b 2，y 都是等差数列，且x ≠y ，则a 2－a 1b 2－b 1的值为________． 解析：∵a 2－a 1＝14(y －x )，b 2－b 1＝13(y －x )，∴a 2－a 1b 2－b 1＝34. 答案：345．(教材习题改编)有两个等差数列2,6,10，…，190及2,8,14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：两个等差数列的公共项为2,14,26，…即新数列的首项为2，公差为12. 故a n ＝2＋(n －1)×12＝12n －10. 答案：12n －10等差数列的判定与证明[例1] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＝－2S n S n －1(n ≥2)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求S n 和a n .[自主解答] (1)证明： ∵当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝－2S n S n －1，① ∴S n (1＋2S n －1)＝S n －1.由上式，若S n －1≠0，则S n ≠0. ∵S 1＝a 1≠0，由递推关系知S n ≠0(n ∈N *)， 由①式得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，其中首项为1S 1＝1a 1＝2，公差为2.(2)∵1S n ＝1S 1＋2(n －1)＝1a 1＋2(n －1)，∴S n ＝12n.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝－12n(n－1)，当n＝1时，a1＝S1＝12不适合上式，∴a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n＝1，－12n(n－1)，n≥2.若将条件改为“a1＝2，S n＝S n－12S n－1＋1(n≥2)”，如何求解．解：(1)证明：∵S n＝S n－12S n－1＋1，∴1S n＝2S n－1＋1S n－1＝1S n－1＋2.∴1S n－1S n－1＝2.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n是以12为首项，以2为公差的等差数列．(2)由(1)知1S n＝12＋(n－1)×2＝2n－32，即S n＝12n－32.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝12n－32－12n－72＝－2⎝⎛⎭⎫2n－32⎝⎛⎭⎫2n－72；当n＝1时，a1＝2不适合a n，故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2(n＝1)，－2⎝⎛⎭⎫2n－32⎝⎛⎭⎫2n－72(n≥2).———————————————————等差数列的判定方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数； (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立； (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q ； (4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .注意：在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．1．已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． 解：(1)证明：∵a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1， ∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1⎝⎛⎭⎫2－1a n －1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a n －1＝－52，∴数列{b n }是以－52为首项，以1为公差的等差数列．(2)由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7，设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，72和⎝⎛⎭⎫72，＋∞上为减函数． 故当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3.等差数列基本量的计算[例2] (1)已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于( ) A ．－1B ．1C ．3D ．7(2)(2012·广东高考)已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________. (3)(2012·北京高考)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________；S n ＝________.[自主解答] (1)两式相减，可得3d ＝－6，d ＝－2.由已知可得3a 3＝105，a 3＝35，所以a 20＝a 3＋17d ＝35＋(－34)＝1.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a 3＝(a 1＋d )2－4，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，1＋2d ＝(1＋d )2－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝±2.由于等差数列{a n }是递增的等差数列，因此⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(3)设等差数列的公差为d ，则2a 1＋d ＝a 1＋2d ，把a 1＝12代入得d ＝12，所以a 2＝a 1＋d＝1，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝14n (n ＋1)．[答案] (1)B (2)2n －1 (3)1 n (n ＋1)4———————————————————等差数列运算问题的通法等差数列的通项公式及前n 项和公式中，共涉及五个量，知三可求二，如果已知两个条件，就可以列出方程组求解，体现了用方程思想解决问题的方法．如果利用等差数列的性质、几何意义去考虑也可以．2．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d (n ≥1，n ∈N *)．由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3， 解得d ＝－2.从而，a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.进而由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35， 即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7为所求结果.等差数列前n 项和的最值[例3] 已知在等差数列{a n }中，a 1＝31，S n 是它的前n 项和，S 10＝S 22， (1)求S n ；(2)这个数列的前多少项和最大，并求出这个最大值． [自主解答] (1)∵S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10， S 22＝a 1＋a 2＋…＋a 22，又S 10＝S 22，∴a 11＋a 12＋…＋a 22＝0， 即12(a 11＋a 22)2＝0，即a 11＋a 22＝2a 1＋31d ＝0.又a 1＝31，∴d ＝－2.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝31n －n (n －1)＝32n －n 2.(2)法一：由(1)知，S n ＝32n －n 2＝－(n －16)2＋256， ∴当n ＝16时，S n 有最大值256. 法二：由(1)知，⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝31＋(n －1)·(－2)＝－2n ＋33≥0，a n ＋1＝31＋n ·(－2)＝－2n ＋31≤0(n ∈N *)， 解得312≤n ≤332，∵n ∈N *，∴n ＝16时，S n 有最大值256.若将“a 1＝31，S 10＝S 22”改为“a 1＝20，S 10＝S 15”，则n 为何值时，S n 取得最大值？ 解：法一：∵a 1＝20，S 10＝S 15， ∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，解得d ＝－53.∴a n ＝20＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－53＝－53n ＋653. ∴a 13＝0，即当n ≤12时，a n >0，n ≥14时，a n <0. ∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为 S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130.法二：同法一求得d ＝－53.∴S n ＝20n ＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－53＝－56n 2＋1256n ＝－56⎝⎛⎭⎫n －2522＋3 12524. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值， 且最大值为S 12＝S 13＝130. 法三：同法一得d ＝－53.又由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或13时，S n 有最大值， 且最大值为S 12＝S 13＝130.——————————————————— 求等差数列前n 项和的最值的方法(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解；(2)通项公式法：求使a n ≥0(a n ≤0)成立时最大的n 值即可．一般地，等差数列{a n }中，若a 1>0，且S p ＝S q (p ≠q )，则①若p ＋q 为偶数，则当n ＝p ＋q2时，S n 最大； ②若p ＋q 为奇数，则当n ＝p ＋q －12或n ＝p ＋q ＋12时，S n 最大．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12>0，S 13<0. (1)求公差d 的取值范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中，哪一个最大，并说明理由． 解：(1)设数列首项为a 1，公差为d ，由题意可得，⎩⎨⎧S 12＝12a 1＋12×12×(12－1)d >0，S13＝13a 1＋12×13×(13－1)d <0.将a 1＝a 3－2d ＝12－2d 代入，得⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d >0，3＋d <0，即－247<d <－3.(2)法一：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝(12－2d )n ＋n (n －1)2d ＝d 2n 2－⎝⎛⎭⎫52d －12n ，其中－247<d <－3.由二次函数知识可得S 6最大．法二：∵a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12＋(n －3)d ，由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋(n －3)d ≥0，12＋(n －2)d ≤0.∴－12d ＋2≤n ≤－12d ＋3.而－247<d <－3， ∴112<n <7.∴n ＝6. ∴前6项和S 6最大．法三：由S 13＝13a 7<0，S 12＝6(a 6＋a 7)>0，∴a 7<0，a 6>0.∴前6项和S 6最大．等差数列性质的应用[例4] (1)(2013·江门模拟)等差数列{a n }前17项和S 17＝51，则a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13等于( )A ．3B ．6C ．17D ．51(2)等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则前9项的和S 9等于( ) A ．66 B ．99 C ．144D ．297[自主解答] (1)由于S 17＝a 1＋a 172×17＝17a 9＝51，所以a 9＝3.根据等差数列的性质a 5＋a 13＝a 7＋a 11，所以a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13＝a 9＝3.(2)由等差数列的性质及a 1＋a 4＋a 7＝39，可得3a 4＝39，所以a 4＝13.同理，由a 3＋a 6＋a 9＝27，可得a 6＝9.所以S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 4＋a 6)2＝99.[答案] (1)A (2)B ———————————————————在等差数列有关计算问题中，结合整体思想，灵活应用性质，可以减少运算量，达到事半功倍的效果.4．(1)(2013·山西四校联考)在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝3，a 18＋a 19＋a 20＝87，则此数列前20项的和等于( )A ．290B ．300C ．580D ．600(2)(2012·江西高考)设数列{a n }，{b n }都是等差数列．若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________.解析：(1)选B 依题意得3(a 1＋a 20)＝90，即a 1＋a 20＝30，数列{a n }的前20项的和等于20(a 1＋a 20)2＝300. (2)法一：设数列{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，因为a 3＋b 3＝(a 1＋2d 1)＋(b 1＋2d 2)＝(a 1＋b 1)＋2(d 1＋d 2)＝7＋2(d 1＋d 2)＝21，所以d 1＋d 2＝7.所以a 5＋b 5＝(a 3＋b 3)＋2(d 1＋d 2)＝21＋2×7＝35.法二：∵2a 3＝a 1＋a 5,2b 3＝b 1＋b 5， ∴a 5＋b 5＝2(a 3＋b 3)－(a 1＋b 1) ＝2×21－7＝35. 答案：351个技巧——利用等差数列的性质妙设项若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d ；若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．2种选择——等差数列前n 项和公式的选择等差数列前n 项和公式有两个，如果已知项数n 、首项a 1和第n 项a n ，则利用S n ＝n (a 1＋a n )2，该公式经常和等差数列的性质结合应用．如果已知项数n 、首项a 1和公差d ，则利用S n ＝na 1＋n (n －1)d2，在求解等差数列的基本运算问题时，有时会和通项公式结合使用．3个结论——等差数列前n 项和S n 的几个结论(1)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ，则①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；②S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1. (2)若等差数列{a n }的项数为奇数2n ＋1，则①S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；②S 奇S 偶＝n ＋1n .(3)在等差数列{a n }中，若a 1>0，d <0，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值S m ；若a 1<0，d >0，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .4种方法——等差数列的判断方法①定义法；②等差中项法；③通项公式法；④前n 项和公式法.数学思想——整体思想在数列中的应用利用整体思想解数学问题，就是从全局着眼，由整体入手，把一些彼此独立但实际上紧密联系的量作为一个整体考虑的方法．有不少数列题，其首项、公差无法确定或计算繁琐，对这类问题，若从整体考虑，往往可寻得简捷的解题途径．[典例] (2013·盐城模拟)设等差数列{a n }的前n 项和S n ＝m ，前m 项和S m ＝n (m ≠n )则它的前m ＋n 项的和S m ＋n ＝________.[解析] 法一：设{a n }的公差为d ， 则由S n ＝m ，S m ＝n ，得⎩⎪⎨⎪⎧S n＝na 1＋n (n －1)2d ＝m ， ①S m＝ma 1＋m (m －1)2d ＝n . ②②－①得(m －n )a 1＋(m －n )(m ＋n －1)2·d ＝n －m ，∵m ≠n ，∴a 1＋m ＋n －12d ＝－1.∴S m ＋n ＝(m ＋n )a 1＋(m ＋n )(m ＋n －1)2d＝(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋m ＋n －12d ＝－(m ＋n )．法二：设S n ＝An 2＋Bn (n ∈N *)，则⎩⎪⎨⎪⎧Am 2＋Bm ＝n ， ③An 2＋Bn ＝m ， ④③－④得A (m 2－n 2)＋B (m －n )＝n －m . ∵m ≠n ，∴A (m ＋n )＋B ＝－1. ∴A (m ＋n )2＋B (m ＋n )＝－(m ＋n )， 即S m ＋n ＝－(m ＋n )．[答案] －(m ＋n ) [题后悟道]1．本题的两种解法都突出了整体思想，其中法一把a 1＋m ＋n －12d 看成了一个整体，法二把A (m ＋n )＋B 看成了一个整体，解起来都很方便．2．整体思想是一种重要的解题方法和技巧，这就要求学生要掌握公式，理解其结构特征．3．本题的易错点是，不能正确运用整体思想的运算方法，不能建立数量间的关系，导致错误．[变式训练]1．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，则a nb n ＝( )A.23 B.2n －13n －1 C.2n ＋13n ＋1D.2n －13n ＋4解析：选B a n b n ＝2a n 2b n ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2n －1＝S 2n －1T 2n －1＝2(2n －1)3(2n －1)＋1＝2n －13n －1.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知其前6项和为36，S n ＝324，最后6项的和为180(n >6)，求该数列的项数n 及a 9＋a 10.解：由题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝36， a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＋a n －4＋a n －5＝180， ∴6(a 1＋a n )＝36＋180＝216. ∴a 1＋a n ＝36.又S n ＝324，∴n (a 1＋a n )2＝324，即n ＝2×32436＝18.∴a 9＋a 10＝a 1＋a 18＝36.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．已知{a n }是等差数列，且a 3＋a 9＝4a 5，a 2＝－8，则该数列的公差是( )A ．4B ．14C ．－4D ．－14解析：选A 因为a 3＋a 9＝4a 5，所以根据等差数列的性质可得a 6＝2a 5.所以a 1＋5d ＝2a 1＋8d ，即a 1＋3d ＝0.又a 2＝－8，即a 1＋d ＝－8，所以公差d ＝4.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17＝a ，则a 2＋a 9＋a 16等于( ) A.a 17 B.4a17 C.3a 17D ．－3a 17解析：选C ∵S 17＝(a 1＋a 17)×172＝a ，∴17a 9＝a ，a 9＝a 17.∴a 2＋a 9＋a 16＝3a 9＝3a17.3．(2013·秦皇岛模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k＝24，则k ＝( )A ．8B ．7C ．6D ．5 解析：选D 依题意得S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝2a 1＋(2k ＋1)d ＝2(2k ＋1)＋2＝24，解得k ＝5.4．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99.以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18解析：选B ∵a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99， ∴3a 3＝105,3a 4＝99，即a 3＝35，a 4＝33. ∴a 1＝39，d ＝－2，得a n ＝41－2n . 令a n >0且a n ＋1<0，n ∈N *，则有n ＝20.5．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 1＝1，S 4S 2＝4，则S 6S 4的值为( )A.94 B.32 C.53D ．4解析：选A 由等差数列的性质可知S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，由S 4S 2＝4得S 4－S 2S 2＝3，则S 6－S 4＝5S 2，所以S 4＝4S 2，S 6＝9S 2，S 6S 4＝94.6．(2013·玉溪模拟)数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11解析：选B 因为{b n }是等差数列，且b 3＝－2，b 10＝12， 故公差d ＝12－(－2)10－3＝2.于是b 1＝－6，且b n ＝2n －8(n ∈N *)，即a n ＋1－a n ＝2n －8.所以a 8＝a 7＋6＝a 6＋4＋6＝a 5＋2＋4＋6＝…＝a 1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．等差数列{a n }中a 1＝1，前n 项和S n 满足S 4S 2＝4，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：设公差为d ，则由S 4S 2＝4得4a 1＋6d 2a 1＋d ＝4.又∵a 1＝1，∴d ＝2.∴S n ＝na 1＋n (n －1)d2＝n ＋n (n －1)＝n 2.答案：n 28．已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若n >1且a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，S 2n －1＝38，则n 等于________．解析：∵2a n ＝a n －1＋a n ＋1， 又a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，∴2a n －a 2n ＝0，即a n (2－a n)＝0. ∵a n ≠0，∴a n ＝2.∴S 2n －1＝2(2n －1)＝38，解得n ＝10. 答案：109．(2013·南京模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若(a 2－1)3＋2 012(a 2－1)＝1，(a 2 011－1)3＋2 012·(a 2 011－1)＝－1，则下列四个命题中真命题的序号为________．①S 2 011＝2 011；②S 2 012＝2 012；③a 2 011<a 2；④S 2 011<S 2.解析：由f (x )＝x 3＋2 012 x 为奇函数，f ′(x )＝3x 2＋2 012>0，f (1)＝2 013>1知f (1)>f (a 2－1)，故a 2－1<1即a 2<2又f (a 2－1)＝－f (a 2 011－1)＝1，故a 2 011<a 2，a 2－1＝(a 2 011－1)即a 2＋a 2 011＝2，S 2 012＝a 1＋a 2 0122×2 012＝2 012，S 2 011＝S 2 012－a 2 012＝2 012－(2－a 2＋d )＝2 010＋a 1>a 1＋a 2＝S 2，又假设S 2 011＝2 011，则a 1＝1，a 2 011＝1矛盾．综上，正确的为②③. 答案：②③三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1； (2)求d 的取值范围．解：(1)由题意知S 6＝－15S 5＝－3，a 6＝S 6－S 5＝－8，所以⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8，解得a 1＝7.所以S 6＝－3，a 1＝7. (2)因为S 5S 6＋15＝0，所以(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0.故(4a 1＋9d )2＝d 2－8，所以d 2≥8. 故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2.11．已知等差数列{a n }中，公差d >0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝S n n ＋c (n ∈N *)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题设，知{a n }是等差数列，且公差d >0，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 3＝45，a 1＋a 5＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧ (a 1＋d )(a 1＋2d )＝45，a 1＋(a 1＋4d )＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4. 故a n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)由b n ＝S nn ＋c ＝n (1＋4n －3)2n ＋c ＝2n ⎝⎛⎭⎫n －12n ＋c .∵c ≠0，∴可令c ＝－12，得到b n ＝2n .∵b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)， ∴数列{b n }是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差数列．12．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n 满足关系式2S n ＝S n －1－⎝⎛⎭⎫12n －1＋2(n ≥2，n 为正整数)，a 1＝12.(1)令b n ＝2n a n ，求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)在(1)的条件下，求S n 的取值范围．解：(1)由2S n ＝S n －1－⎝⎛⎭⎫12n －1＋2，得2S n ＋1＝S n －⎝⎛⎭⎫12n ＋2，两式相减得2a n ＋1＝a n ＋⎝⎛⎭⎫12n ， 上式两边同乘以2n 得2n ＋1a n ＋1＝2n a n ＋1，即b n ＋1＝b n ＋1，所以b n ＋1－b n ＝1，故数列{b n }是等差数列，且公差为1.又因为b 1＝2a 1＝1，所以b n ＝1＋(n －1)×1＝n .因此2n a n ＝n ，从而a n ＝n ·⎝⎛⎭⎫12n.(2)由于2S n ＝S n －1－⎝⎛⎭⎫12n －1＋2，所以2S n －S n －1＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1，即S n ＋a n ＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1. S n ＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1－a n ，而a n ＝n ·⎝⎛⎭⎫12n ，所以S n ＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1－n ·⎝⎛⎭⎫12n ＝2－(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫12n . 所以S n ＋1＝2－(n ＋3)·⎝⎛⎭⎫12n ＋1，且S n ＋1－S n ＝n ＋12n ＋1＞0.所以S n ≥S 1＝12，又因为在S n ＝2－(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫12n 中，(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫12n ＞0，故S n ＜2， 即S n 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，2.1．已知数列{a n }的通项公式a n ＝pn 2＋qn (p ，q ∈R ，且p ，q 为常数)． (1)当p 和q 满足什么条件时，数列{a n }是等差数列？ (2)求证：对任意实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }是等差数列．解：(1)a n ＋1－a n ＝[p (n ＋1)2＋q (n ＋1)]－(pn 2＋qn )＝2pn ＋p ＋q ，要使{a n }是等差数列，则2pn ＋p ＋q 应是一个与n 无关的常数，所以2p ＝0，即p ＝0.故当p ＝0时，数列{a n }是等差数列． (2)证明：∵a n ＋1－a n ＝2pn ＋p ＋q ， ∴a n ＋2－a n ＋1＝2p (n ＋1)＋p ＋q .而(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2p 为一个常数， ∴{a n ＋1－a n }是等差数列．2．设{a n }是一个公差为d (d ≠0)的等差数列，它的前10项和S 10＝110，且a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)证明a 1＝d ；(2)求公差d 的值和数列{a n }的通项公式． 解：(1)证明：因a 1，a 2，a 4成等比数列， 故a 22＝a 1a 4.而{a n }是等差数列，有a 2＝a 1＋d ，a 4＝a 1＋3d .于是(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，即a 21＋2a 1d ＋d 2＝a 21＋3a 1d ，化简得a 1＝d .(2)由条件S 10＝110和S 10＝10a 1＋10×92d ，得到10a 1＋45d ＝110.由(1)，a 1＝d ，代入上式得55d ＝110， 故d ＝2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n .因此，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ＝1,2,3，…)．3．已知{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n 等于多少？解：由已知得，{a n }是首项为正，公差为负的递减等差数列． 由a 11a 10<－1得a 10＋a 11<0且a 10>0，a 11<0， ∴S 20＝20(a 1＋a 20)2＝20(a 10＋a 11)2＝10(a 10＋a 11)<0.而S 19＝19a 10>0， ∴S n 取最小正值时n ＝19.4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .求数列{a n }与{b n }的通项公式．解：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋2n －2(n －1)2－2(n －1)＝4n ， 又a 1＝S 1＝4，故a n ＝4n .当n ≥2时，由b n ＝T n －T n －1＝2－b n －2＋b n －1， 得b n ＝12b n －1，又T 1＝2－b 1，即b 1＝1， 故b n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1＝21－n.。
各有千秋,难分伯仲——等差数列前n项和公式的五种形式及应用
各有千秋,难分伯仲——等差数列前n项和公式的五种
形式及应用
一、定义：
等差数列（Arithmetic Sequence）是指一组数满足相邻两项之差均为常数的数列。
它是有序数列中最为常见的类型，而且它在数学中有着重要的应用。
二、公式：
等差数列的前n项和公式有五种形式，即：
1. 极差法：Sn = n*a + [(n-1)*d]/2；
2. 等比数列的和公式：Sn = a*(1-rn) / (1-r)；
3. 通项法：Sn = n/2(a+l)；
4. 等差前n项和公式：Sn = n/2(2a+(n-1)d)；
5. 首项和末项乘积法：Sn = n/2(a×l)。
三、应用：
1. 等差数列可以用于说明几何形体的对称性，如三角形、正方形和正多边形。
2. 等差数列可以用于推断和解决实际问题，如求解时间与距离的关系等。
3. 等差数列可以用于衡量某一事物的递增规律或趋势，如检测股价的波动趋势、记账的收入支出趋势等。
4. 等差数列可以用于估算一组数据的平均值，如计算某一时间段内股票的平均价格、计算某一地区的平均气温等。
5. 等差数列可以用于表达函数的性质，如线性函数y=ax+b、抛物线函数y=ax2+bx+c等。
等差数列的前N项和公式
等差数列的前N项和公式等差数列是指数列中任意两个相邻项之差保持不变的数列。
前N项和指的是数列前N项之和。
首先，我们来推导等差数列的通项公式。
设等差数列的第一项为a1，公差为d，第n项为an。
根据等差数列的定义可知，第2项为a2 = a1 + d，第3项为a3 = a1 + 2d，以此类推，第n项为an = a1 + (n-1)d。
我们可以把等差数列展开，得到：a1,a1+d,a1+2d,a1+3d,...,a1+(n-2)d,a1+(n-1)d将这些项相加，得到：S=(a1+a1+d+a1+2d+a1+3d+...+a1+(n-2)d+a1+(n-1)d)我们可以将等差数列中的每一项按照公差d进行分组，得到：S=(a1+a1+(n-1)d)+(a1+d+a1+(n-2)d)+(a1+2d+a1+(n-3)d)+...+(a1+(n-2)d+a1+d)+(a1+(n-1)d+a1)根据等差数列的恒等差性质，每一组中的两项之和都等于2a1+(n-1)d。
因此，上式可以进一步化简为：S=n(2a1+(n-1)d)这就是等差数列的前N项和公式，也被称为等差数列求和公式。
为了更好地理解该公式，我们可以举一个具体的例子。
假设有一个等差数列：2,5,8,11,14，求前四项的和。
首先，确定已知量：a1=2(第一项)d=5-2=3(公差)n=4(前四项)代入前N项和公式，可得：S=4(2+(4-1)3)=4(2+3*3)=4(2+9)=4*11=44因此，2,5,8,11的和为44除了使用前N项和公式，我们还可以利用等差数列的性质进行计算。
等差数列可以通过两种方法计算前N项的和：方法一：逐项相加。
通过将每一项相加，可以得到等差数列的前N项和。
在大多数情况下，这种方法适用于较小的N。
方法二：首项加末项乘N除以2、由于等差数列的第一项和最后一项之和等于N，将这两项相加，并乘以N除以2，即可得到前N项和。
这个方法适用于所有的等差数列。
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等差数列及前n 项和
题型一 等差数列的判定或证明
例1 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1 (n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1
a n －1 (n ∈
N *)．
(1)求证：数列{b n }是等差数列；
(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．
变式训练1已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝S n －1
2S n －1＋1
(n ≥2)，a 1＝2.
(1) 求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫
1S n 是等差数列；(2)求a n 的表达式．
题型二 等差数列的基本量的计算
例2 设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.
(1) 若S 5＝5，求S 6及a 1；(2)求d 的取值范围．
变式训练2 (2011·福建)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．
题型三 等差数列的前n 项和及综合应用
例3 (1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值；
(2) 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25，求数列{|a n |}的前n 项和．
变式训练3 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1<0，S 2 009＝0. (1)求S n 的最小值及此时n 的值； (2)求n 的取值集合，使a n ≥S n .
课后练习
一、选择题
1．设数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a6＝2且S5＝30，则S8等于() A．31 B．32 C．33 D．34
2．数列{a n}为等差数列，a10＝33，a2＝1，S n为数列{a n}的前n项和，则S20－2S10等于() A．40 B．200 C．400 D．20
3．(2011·大纲全国)设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S k＋2－S k＝24，则k等于() A．8 B．7 C．6 D．5
二、填空题
4．(2011·辽宁)S n为等差数列{a n}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝________.
5．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.
6．等差数列{a n}的前n项和为S n，且6S5－5S3＝5，则a4＝________.
三、解答题
7．在等差数列{a n}中，已知a2＋a7＋a12＝12，a2·a7·a12＝28，求数列{a n}的通项公式．
8．已知数列{a n}的通项公式a n＝pn2＋qn (p、q∈R，且p、q为常数)．
(1)当p和q满足什么条件时，数列{a n}是等差数列；
(2)求证：对任意实数p和q，数列{a n＋1－a n}是等差数列．。