第十八章《平行四边形》专题一点通(1)
人教版数学八年级下册第十八章《18.1.1 平行四边形的性质》课件
规律方法
应用平行四边形性质的关注点
(1)平行四边形提供了线段的相等及平行关系， 也提供了角的相等、互补关系，为证明线段的 相等、角的相等、三角形的全等提供了条件。 (2)两条对角线互相平分，可用来证明线段相等 以及解决中点、倍分问题。 (3)两条对角线把平行四边形分成4个三角形， 它们的面积都相等，且相对的两个三角形全等。
18.1.1 平行四边形的性质
知识回顾
1.定义 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2.性质 边：平行四边形的两组对边分别平行且相等 角：平行四边形的两组对角分别相等
归纳总结
平行四边形的性质3: 平行四边形的对角线互相平分.
几何表述:
∵▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,
∴OA=OC,OB=OD.
课堂小结
A
D
O
B
C
变式2：在平行四边形ABCD中，AB＝5，则 对角线AC、BD的长度不可能为（ ） A．10，10 B．2，4 C．6，8 D．5，12
A
D
O
B
C
变式3：在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O． 若AC＝16，BD＝10，则AD的长度的取值范围（ ） A．AD＞3 B．3＜AD＜13 C．AD＜3 D．AD＞13
A
D
O
B
C
例2、如图,在▱ABCD中，AB=10,AD=8,AC⊥BC. 求BC,CD,AC,OA的长,以及▱ABCD的面积.
奇思妙想
一位饱经苍桑的老人,经过一辈子的辛勤劳动, 到晚年的时候,终于拥有了一块平行四边形的土地, 由于年迈体弱,他决定把这块土地分给他的四个孩子, 如下图所示.同学们,你认为老人这样分合理吗? 为什么?
例1、已知▱ABCD的周长为60cm，对角线AC、 BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长 长5cm，求这个平行四边形各边的长．
人教版八年级数学下册知识点第十八章《平行四边形》
第十八章平行四边形【思维导图】【平行四边形】(1)平行四边形的定义与表示定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
表示：平行四边形用“□”表示。
2)符号“□”必须与表示顶点的字母同时使用，不能单独使用。
的顺序依次排列。
点拨：1)在用“□”表示平行四边形时， 应把表示顶点的字母按顺时针或逆时针边形。
平行四边形ABCD 记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。
如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ∥BC ，那么四边形ABCD 是平行四(2)平行四边形的基本元素如图，在□ABCD 中，邻边：AD 和AB ，AD 和DC ，DC 和BC ，BC 和AB对边：AB 和DC ，AD 和BC邻角：∠BAD 和∠ADC ，∠ADC 和∠DCB ，∠DCB 和∠ABC ，∠ABC 和∠BAD 对角：∠BAD 和∠BCD ，∠ABC 和∠ADC对角线：AC 和BD【平行四边形的性质】性质1：平行四边形的对边相等几何语言：如图1，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AD=BC性质2：平行四边形的对角相等几何语言：如图1，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A=∠C ，∠B=∠D下面证明性质1和2证明：如图2，连接AC。
∵AD∥BC，AB∥CD∴∠1=∠2，∠3=∠4.又∵AC=CA，∴△ABC≌△CDA∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠4=∠2+∠3，即∠BAD=∠BCD性质3：平行四边形的对角线互相平分几何语言：如图3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=0C=1/2AC，OB=OD=1/2BD【典例】(中考)在□ABCD中，下列结论一定正确的是(）A.AC⊥BDB.∠A+∠B=1800C.AB=ADD.∠A≠∠C解析：平行四边形的对角线互相平分但不一定垂直，所以选项A错误；@简单初中生平行四边形的邻角互补，所以选项B正确；平行四边形的对边相等但邻边不一定相等，所以选项C错误；平行四边形的对角相等，所以∠A=∠C，所以选项D错误。
人教版初中数学第十八章平行四边形知识点
第十八章平行四边形18.1 平行四边形平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形用“□”表示，读作“平行四边形”.平行四边形ABCD记作“□ABCD”.18.1.1 平行四边形的性质平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.例、已知：□ABCD求证：AD=BC，AB=DC；∠A=∠C，∠B=∠D.AD CD AD BC证明：连接AC，//,//∴∠=∠∠=∠12,34又AC是△ABC和△CDA的公共边，∴△ABC≌△CDA，AD CB AB CD B D∴==∠=∠,,平行四边形性质1：平行四边形的两组对边分别相等.平行四边形性质2：平行四边形的两组对角分别相等.例、已知：如图：□ABCD的对角线AC、BD相交于点O.求证：OA=OC，OB=OD.证明：四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC，AD∥BC.∴∠1=∠2，∠3=∠4.∴△AOD≌△COB（ASA）.∴OA=OC，OB=OD.平行线之间的距离定义：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.平行线之间的距离特征1：平行线之间的距离处处相等.平行线之间的距离特征2：夹在两条平行线之间的平行线段相等.平行四边形性质3：平行四边形的两条对角线互相平分.例、如图，□ABCD中，BD⊥AB，AB=12cm，AC=26cm，求AD、BD长．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO=CO=21AC ，OB=OD ． ∵BD ⊥AB ，∴在Rt △A BO 中，AB=12cm ，AO=13cm ．∴BO=522=-AB AO ．∴BD=2B0=10cm ．∴在Rt △ABD 中，AB=12cm ，BD=10cm ．∴AD=61222=+BD AB (cm)．例、如图，在□ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△AOB 的周长为25，AB=12，求对角线AC 与BD 的和.解：∵△AOB 的周长为25，∴OA+BO+AB=25，又AB=12，∴AO+OB=25-12=13，∵平行四边形的对角线互相平分，∴AC+BD=2OA+2OB=2(0A+OB)=2×13=2618.1.2 平行四边形的判定平行四边形判定1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.平行四边形判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.平行四边形判定3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.平行四边形判定4：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.平行四边形判定5：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.例、 如图，在□ABCD 中，已知点E 和点F 分别在AD 和BC 上，且AE=CF ，连结CE 和AF ，试说明四边形AFCE 是平行四边形.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD//BC ，∵点E 在AD 上，点F 在BC 上，∴AE//CF ，又∵AE=CF ，∴四边形AFCE 是平行四边形.例、如图，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AF=CE ，DF=BE ，DF ∥BE ．求证：（1）△AFD ≌△CEB ．（2）四边形ABCD 是平行四边形．解：（1）∵DF ∥BE ， ∴∠AFD ＝∠CEB ． 又∵AF=CE ， DF=BE ，∴△AFD ≌△CEB ．（2）由(1)△AFD ≌△CEB 知AD=BC ，∠DAF ＝∠BCE ， ∴AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．例、如图，平行四边形ABCD 中，E 、F 为边AD 、BC 上的点，且AE=CF ，连结AF 、EC 、BE 、DF 交于M 、N ，试说明：MFNE 是平行四边形．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ， AD ∥BC又∵AE=CF ，∴ED=FB ，四边形AFCE 是平行四边形∴AF ∥EC ．同理：BE ∥FD ．∴四边形MFNE 是平行四边形．18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形矩形定义1：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形矩形定义2：有三个角是直角的四边形叫做矩形矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线. 矩形性质1：矩形的四个角都是直角.矩形性质2：矩形的对角线相等且互相平分.直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半矩形判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形.矩形判定2：有三个角是直角的四边形是矩形.矩形判定3：对角线相等的平行四边形是矩形.N M F E A B C D例、如图，已知AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE，求证：四边形BCED是矩形．证明：在△ABD和△ACE中，，，AB AC AD AE BAD CAE==∠=∠∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，又DE=BC，∴四边形BCED为平行四边形.在△ACD和△ABE中，∵AC=AB，AB=AE，∠=∠+∠=∠+∠=∠，CAD CAB BAD CAB CAE BAE∴△ADC≌△AEB∴CD=BE∴四边形BCED为矩形18.2.2 菱形菱形定义1：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形定义2：四条边都相等的四边形叫做菱形.菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是对角线所在的直线.菱形性质1：菱形的四条边都相等.菱形性质2：菱形的对角线互相垂直平分.菱形性质3：菱形的每一条对角线平分一组对角.菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半.推广：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半.菱形判定1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.菱形判定2：四条边都相等的四边形是菱形.菱形判定3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.菱形判定4：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形.18.2.3 正方形正方形定义1：有一组邻边相等的矩形叫做正方形.正方形定义2：有一个角是直角的菱形叫做正方形.正方形定义3：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线和对角线所在的直线.正方形性质1：正方形的四个角都是直角.正方形性质2：正方形的四条边都相等.正方形性质3：正方形的两条对角线互相垂直平分且相等.正方形判定1：有一组邻边相等的矩形是正方形.正方形判定2：有一个角是直角的菱形是正方形.正方形判定3：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.正方形判定4：对角线垂直平分且相等的四边形是正方形.例、如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ＝8 cm ，BD ＝6 cm ， DH ⊥AB 于H ，求：DH 的长. ∵四边形ABCD 是菱形， 1AC BD OA OC AC 4cm OB OD 3cm 2∴⊥=====，，，∴AB=5cm ，ABCD S AC BD AB DH ∴=⋅=⋅菱形，4.82AC BDDH cm AB ⋅∴==．例、已知：如图，菱形ABCD 的周长为16 cm ，∠ABC ＝60°，对角线AC 和BD相交于点O ，求AC 和BD 的长.解：∵菱形ABCD 的周长为16cm ，060ABC ∠=∴AB=BC=4cm ，△ABC 是等边三角形，∴AC=4cm ，∵AC ，BD 互相垂直平分，∴OA=2224223OB cm ∴=-=43BD cm ∴=例、如图，在正方形ABCD 中，P 为对角线BD 上一点，PE ⊥BC ，垂足为E ， PF ⊥CD ，垂足为F ，求证：EF ＝AP证明：连接PC ，∵PE ⊥BC ，PF ⊥CD ，四边形ABCD 是正方形，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°，∴四边形PECF 是矩形，∴PC=EF ，∵P 是正方形ABCD 对角线上一点，∴AD=CD ，∠PDA=∠PDC ，在△PAD 和△PCD 中， AD ＝CD ，∠PDA ＝∠PDC ，PD ＝PD ，∴△PAD ≌△PCD ，∴PA=PC ，∴EF=AP ，例、在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ， DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F. 试说明:DE=DF解：∵AB=AC ，∠B=∠C∵DE ⊥ AB ，DF ⊥ AC∴∠DEB ≌DFC= 90°∵D 是BC 的中点∴BD=DC∴△BDE ≌△CDF∴DE=DF.例、如图，ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，EF ∥AB 交AD 于F ， 试问：四边形ABEF 是什么图形吗？请说明理由.解：四边形ABEF 是菱形．理由：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∵EF ∥AB ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AE 平分∠BAD ， A B C DE F∴∠BAE=∠FAE，∵AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴▱ABEF是菱形．。
新人教版八年级下册第十八章平行四边形全章知识点
名师总结优秀知识点新人教版八年级下册第十八章平行四边形全章知识点要点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2．性质：（ 1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形 .3．面积：S平行四边形底高4．判定：边：（ 1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．角：（ 4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．边与角：（ 6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线：（ 7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等.要点二、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2．性质：（ 1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形 .3．面积：S矩形＝长宽４．判定：（ 1)有一个角是直角的平行四边形是矩形.（ 2）对角线相等的平行四边形是矩形.（ 3）有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中， 30 度角所对应的直角边等于斜边的一半．要点三、菱形1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2．性质：（ 1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形 .对角线对角线3．面积：S菱形＝底高＝24．判定：（ 1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（ 2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；名师总结优秀知识点（ 3）四边相等的四边形是菱形.要点四、正方形1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形 .3．面积：S正方形 = 边长×边长＝1×对角线×对角线24．判定：（ 1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.要点五、。
2022年人教版八下数学第十八章《平行四边形》核心归纳《附答案
人教版八下数学第十八章单元核心考点归纳一、选择题1.在四边形ABCD中, AD=BC, 要使四边形ABCD是平行四边形, 那么还应满足( )A．∠A+∠C=180∘B．∠B+∠D=180∘C．∠A+∠B=180∘D．∠A+∠D=180∘2.在平行四边形ABCD中, AB=3, BC=4, 连接AC, BD, 当平行四边形ABCD的面积最大时,以下结论正确的有( )① AC=5；② ∠BAD+∠BCD=180∘；③ AC⊥BD；④ AC=BD．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④3.对于四边形ABCD, 给出以下6组条件：① ∠A=90∘, ∠B=∠C=∠D；② ∠A=∠B=90∘, ∠C=∠D；③ ∠A=∠B=∠C=∠D；④ ∠A=∠B=∠C=90∘；⑤ AC=BD；⑥ AB∥CD, AD∥BC．其中能得到“四边形ABCD是矩形〞的有( )A．1组B．2组C．3组D．4组4.在菱形ABCD中, 对角线AC, BD相交于点O, 以下结论：① AC⊥BD；② OA=OB；③∠ADB=∠CDB；④ △ABC是等边三角形, 其中一定成立的是( )．A．①②B．③④C．②③D．①③5.四边形ABCD的对角线AC, BD互相垂直, 那么以下条件能判定四边形ABCD为菱形的是( )A．BA=BC B．AC, BD互相平分C．AC=BD D．AB∥CD6.四边形ABCD中, AC=BD, AC⊥BD, E, F, G, H分别是AD, AB, BC, CD的中点, 那么四边形EFGH是( )A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形二、填空题7.在平行四边形ABCD中, BM是∠ABC的平分线, 交边AD于点M, 且MD=2, 平行四边形ABCD的周长是16, 那么AM等于．8.平行四边形ABCD中, ∠A+∠C=200∘, 那么∠B的度数是．9.如图, 平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O, AB⊥AC．假设AB=4, AC=6,那么BD的长是．10.如图, 在四边形ABCD中, 对角线AC, BD相交于点E, ∠CBD=90∘, BC=4, BE=ED=3,AC=10, 那么四边形ABCD的面积为．11.在矩形ABCD中, AC, BD交于点O, ∠BOC=120∘, AB=5, 那么BD=, BC=．12.菱形的周长为40cm, 一条对角线长为16cm, 那么这个菱形的面积是．13.如图, 延长正方形ABCD的边BC至点E, 使CE=AC, 那么∠AFC=度．14.如图, 在正方形ABCD外侧, 作等边三角形ADE, AC, BE相交于点F, 那么∠BFC为度．15.如图, 正方形ABCD中, E是AD上一点, F是AB延长线上点, DE=BF．点G, H分别在边AB, CD上, 且GH=3√5, GH交EF于点M, 假设∠EMH=45∘, 那么EF的长为．16.如图, 平行四边形ABCD的对角线AC, BD相交于点O, 点E, F分别是线段AO, BO的中点,假设AC+BD=24cm, △OAB的周长是18cm, 那么EF=cm．17.矩形ABCD中, 对角线AC, BD交于点O, AE⊥BD于点E, 假设OE:ED=1:3, AE=√3, 那么BD的长是．18.正方形ABCD的边长为4, E为平面内任意一点, 连接DE, 过点D作DE的垂线, 在垂线上取DG=DE, 当点B, D, G在一条直线上时, 假设DG=√2, 那么CE的长为．三、解答题19.如图, 平行四边形ABCD中, BD是它的一条对角线, 过A, C两点作AE⊥BD, CF⊥BD, 垂足分别为E, F, 延长AE, CF分别交CD, AB于M, N．(1) 求证：四边形CMAN是平行四边形．(2) DE=4, FN=3, 求BN的长．20.如图, 在平行四边形ABCD中, E, F分别是AB, CD的中点, 连接AF, CE．(1) 求证：△BEC≌△DFA；(2) 连接AC, 当CA=CB时, 判断四边形AECF是什么特殊四边形, 并说明理由．21.如图, 在矩形ABCD中, 对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M, 与BD相交于点O, 与BC相交于点N, 连接BM, DN．(1) 求证：四边形BMDN是菱形；(2) 假设AB=8, AD=16, 求MD的长．22.如图, 在△ABC中, AB=AC, AD⊥BC于点D, 点P是AD的中点, 延长BP交AC于点AC．N．求证：AN=1323.如图, 在△ABC中, 点D, E, F分别是AB, BC, CA的中点, AH是边BC上的高．(1) 求证：四边形ADEF是平行四边形；(2) 求证：∠DHF=∠DEF．答案一、选择题1. 【答案】C2. 【答案】B【解析】根据题意得, 当平行四边形ABCD的面积最大时, 四边形ABCD为矩形, ∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=90∘, AC=BD．∴AC=√32+42=5．①正确, ②正确, ③不正确, ④正确．应选B．3. 【答案】D4. 【答案】D5. 【答案】B6. 【答案】D二、填空题7. 【答案】38. 【答案】80°9. 【答案】1010. 【答案】2411. 【答案】10；5√312. 【答案】96cm2【解析】∵周长是40cm,∴边长是10cm．如下列图：AB=10cm, AC=16cm．根据菱形的性质, AC⊥BD, AO=8cm,∴BO=6cm, BD=12cm．∴面积S=12×16×12=96〔cm2〕．13. 【答案】112.514. 【答案】6015. 【答案】3√1016. 【答案】3【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=12AC, OB=12BD,∵AC+BD=24cm,∴OA+OB=12cm,∵△OAB的周长是18cm, ∴AB=6cm,∵点E, F分别是线段AO, BO的中点,∴EF=12AB=3cm．17. 【答案】4或8√5518. 【答案】√10或√26三、解答题19. 【答案】(1) ∵AE⊥BD, CF⊥BD,∴AE∥CF．又四边形ABCD是平行四边形,∴CM∥AN.∴四边形CMAN是平行四边形．(2) ∵四边形CMAN是平行四边形,∴CM=AN.∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB.∴BN=DM.∵∠FBN=∠EDM, ∠BFN=∠DEM=90∘,∴△BFN≌△DEM.∴BF=DE.∵DE=4, FN=3,∴BF=4.∴BN=5．20. 【答案】(1) ∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD, ∠B=∠D, BC=AD．∵E, F分别是AB, CD的中点,∴BE=DF．∴△BEC≌△DFA(SAS)．(2) 四边形AECF是矩形．理由如下：∵AE=12AB, CF=12CD, AB=CD,∴AE=CF．∵AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形．当CA=CB时, CE⊥AB,∴∠AEC=90∘．∴四边形AECF是矩形．21. 【答案】(1) 证△MOD≌△NOB, OM=ON即可．(2) 设BM=DM=x, 那么AM=16−x,∴82+(16−x)2=x2,∴x=10,∴MD=10．22. 【答案】取CN的中点E, 取BN的中点F,证平行四边形ENFD,△APN≌△DPF即可．23. 【答案】(1) ∵点D, E, F分别是中点,∴DE∥AC, DE=12AC, EF∥AB, EF=12AB,∴四边形ADEF为平行四边形．(2) 连接DF．∵AH是边BC上的高,∴∠AHB=90∘, ∠AHC=90∘．∵点D, F是AB, CA的中点,∴DH=12AB, FH=12AC．∵DE=12AC, EF=12AB．∴DH=EF, FH=DE．∵DF=FD,∴△DHF≌△FED．∴∠DHF=∠FED．附第16章二次根式第一卷〔选择题〕评卷人得分一．选择题〔共10小题, 总分值20分, 每题2分〕1．〔2分〕〔2021秋•黄石期末〕以下运算正确的选项是〔〕A．+＝B．2×3＝6C．〔x2〕5＝x10D．x5•x6＝x30 2．〔2分〕〔2021秋•沈北新区校级期末〕a＜0, b≠0, 化简二次根式的结果是〔〕A．a B．﹣a C．a D．﹣a3．〔2分〕〔2021秋•乐亭县期末〕+2＝b+8, 那么的值是〔〕A．±3B．3C．5D．±54．〔2分〕〔2021秋•东莞市校级期中〕以下计算正确的选项是〔〕A．2a+3a＝6a B．〔﹣3a〕2＝6a2C．3﹣＝2D．〔x﹣y〕2＝x2﹣y25．〔2分〕〔2021•呼伦贝尔〕实数a在数轴上的对应点位置如下列图, 那么化简|a﹣1|﹣的结果是〔〕A．3﹣2a B．﹣1C．1D．2a﹣36．〔2分〕〔2021春•福州期末〕a＝2021×2021﹣2021×2021, b＝, c＝, 那么a, b, c的大小关系是〔〕A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．〔2分〕〔2021•浙江自主招生〕假设x2+y2＝1, 那么的值为〔〕A．0B．1C．2D．38．〔2分〕〔2021春•兴县期末〕以下计算正确的选项是〔〕A．＝2B．+＝C．×＝D．÷＝29．〔2分〕〔2021春•同安区期中〕如图, 在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片, 那么图中空白局部的面积为〔〕A．〔8﹣4〕cm2B．〔4﹣2〕cm2C．〔16﹣8〕cm2D．〔﹣12+8〕cm210．〔2分〕〔2021秋•永嘉县期中〕把四张形状大小完全相同的小长方形卡片〔如图①〕不重叠地放在一个底面为长方形〔长为cm, 宽为4cm〕的盒子底部〔如图②〕, 盒子底面未被卡片覆盖的局部用阴影表示．那么图②中两块阴影局部的周长和是〔〕A．4cm B．16cm C．2〔+4〕cm D．4〔﹣4〕cm第二卷〔非选择题〕评卷人得分二．填空题〔共9小题, 总分值18分, 每题2分〕11．〔2分〕〔2021•建湖县三模〕使二次根式有意义的x的取值范围是．12．〔2分〕〔2021秋•炎陵县期末〕计算：＝, ＝．13．〔2分〕〔2021秋•江北区校级期末〕, 且0＜x＜1, 那么＝．14．〔2分〕〔2021春•石城县期中〕假设x为整数, 且满足|x|＜π, 那么当也为整数时, x的值可以是．15．〔2分〕〔2021春•太湖县期末〕假设最简二次根式与是同类二次根式, 那么a+b ＝．16．〔2分〕〔2021春•灵宝市校级月考〕已化简的和是同类二次根式, 那么a+b ＝．17．〔2分〕〔2021秋•宜兴市期中〕假设m＝, 那么m5﹣2m4﹣2021m3＝．18．〔2分〕a为实数, 且与都是整数, 那么a的值是．19．〔2分〕计算〔﹣2〕2﹣2﹣1+〔1﹣〕0+＝．x＝+1, 那么＝．评卷人得分三．解答题〔共9小题, 总分值62分〕20．〔4分〕〔2021秋•南海区校级期末〕化简：﹣×﹣〔〕〔2﹣〕．21．〔8分〕〔2021秋•成都期末〕〔1〕计算：〔﹣2〕×﹣6；〔2〕解方程组：．22．〔6分〕〔2021秋•金川区校级期末〕：x＝+1, y＝﹣1, 求代数式x2+2xy+y2的值．23．〔6分〕〔2021秋•沿河县期末〕在进行二次根式化简时, 我们有时会碰上如, , 一样的式子, 其实我们还可以将其进一步化简：以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：〔1〕请用不同的方法化简；〔2〕化简：．24．〔6分〕〔2021秋•梁平区期末〕张亮同学在作业本上做了这么一道题：“当a＝■时, 试求a+的值〞, 其中■是被墨水弄污的, 张亮同学所求得的答案为．〔1〕请你计算当a＝5时, 代数式a+的值；〔2〕是否存在数a, 使得a+的值为；〔3〕请直接判断张亮同学的答案是否正确．25．〔6分〕〔2021春•德城区校级月考〕x＝+, y＝﹣, 求：〔1〕+的值；〔2〕2x2+6xy+2y2的值．26．〔8分〕〔2021春•兴县期末〕阅读材料：小明在学习二次根式后, 发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方, 如：3+2＝〔1+〕2, 善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝〔m+n〕2〔其中a、b、m、n均为整数〕, 那么有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2, b＝2mn．这样小明就找到了一种把局部a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决以下问题：〔1〕当a、b、m、n均为正整数时, 假设a+b＝〔m+n〕2, 用含m、n的式子分别表示a、b, 得a＝, b＝；〔2〕试着把7+4化成一个完全平方式．〔3〕假设a是216的立方根, b是16的平方根, 试计算：．27．〔9分〕〔2021春•商州区期中〕阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化, 例如：①＝＝；②＝＝＝+1等运算都是分母有理化．根据上述材料,〔1〕化简：〔2〕计算：+++…+．28．〔9分〕〔2021春•邗江区校级月考〕阅读理解题：学习了二次根式后, 你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方, 如3+2＝〔1+〕2, 我们来进行以下的探索：设a+b＝〔m+n〕2〔其中a, b, m, n都是正整数〕, 那么有a+b＝m2+2n2+2mn, ∴a＝m+2n2, b＝2mn, 这样就得出了把类似a+b的式子化为平方式的方法．请仿照上述方法探索并解决以下问题：〔1〕当a, b, m, n都为正整数时, 假设a﹣b＝〔m﹣n〕2, 用含m, n的式子分别表示a, b, 得a＝, b＝；〔2〕利用上述方法, 找一组正整数a, b, m, n填空：﹣＝〔﹣〕2〔3〕a﹣4＝〔m﹣n〕2且a, m, n都为正整数, 求a的值．。
八年级数学下册第十八章平行四边形知识汇总笔记(带答案)
八年级数学下册第十八章平行四边形知识汇总笔记单选题1、如图，在▱ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AB =2，则▱ABCD 的周长为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12答案：C分析：在平行四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，则四边形ABCD 为菱形，根据菱形的性质求周长． 解：∵在▱ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∴四边形ABCD 为菱形，∴四边形ABCD 的周长＝4×2＝8．故选C ．小提示：本题考查了菱形的判定定理，注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形，④对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．2、如图，点A ，B 的坐标分别为A(2,0),B(0,2)，点C 为坐标平面内一点，BC =1，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，则OM 的最大值为（ ）A ．√2+1B ．√2+12C ．2√2+1D ．2√2−12答案：B分析：如图所示，取AB 的中点N ，连接ON ，MN ，根据三角形的三边关系可知OM ＜ON+MN ，则当ON 与MN共线时，OM= ON+MN最大，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形的中位线即可解答．解：如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大，∵A(2,0),B(0,2)，则△ABO为等腰直角三角形，∴AB=√OA2+OB2=2√2，N为AB的中点，∴ON=12AB=√2，又∵M为AC的中点，∴MN为△ABC的中位线，BC=1，则MN=12BC=12，∴OM=ON+MN=√2+12，∴OM的最大值为√2+12故答案选：B．小提示：本题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，解题的关键是确定当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大．3、如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E为CB上一动点（不与点C重合），将△CDE沿DE所在直线折叠，点C的对应点C'恰好落在AE上，则CE的长是（）A．√2B．1C．2D．√3答案：B分析：由矩形的性质得出∠B=∠C=90°，AD=BC=5，CD=AB=3，由折叠的性质得C'D=CD=3，C'E=CE，由勾股定理得出AC'，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，AD=BC=5，CD=AB=3，由折叠的性质得：C'D=CD=3，C'E=CE，∠DC'E=∠C=90°，∴∠AC'D=90°，∴AC'=√AD2−C′D2=4，设CE=C'E=x，在Rt△ABE中，BE=5-x，AE=x+4，由勾股定理得：（5-x）2+32=（x+4）2，解得：x=1，故选：B．小提示：本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．4、如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE= 5，BE=13，则EF2的值是（）A ．128B ．64C ．32D ．144答案：A分析：13和5为两条直角边长时，求出小正方形的边长8，即可利用勾股定理得出EF 2的长．解：根据题题得：小正方形的边长等于BE -AE ，∵AE =5，BE =13，∴小正方形的边长=13-5=8，∴EF 2=82+82=128．故选：A小提示：本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．5、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，对角线AC 与BD 相交于点O ，DE ⊥AC ，垂足为E ，AE ＝3CE ，则DE 的长为（ ）A ．√3cmB ．2cmC ．2√2cmD ．2√3cm答案：D分析：由矩形的性质得出OA ＝OD ＝OC ，再根据线段垂直平分线的性质得出OD ＝CD ，最后根据勾股定理计算，即可得到答案．∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝12AC ，OD ＝12BD ，AC ＝BD ，CD ＝AB ＝4cm ，∴OA ＝OD ＝OC ，∵DE⊥AC，AE＝3CE，AE+CE=2OC∴OE＝CE=1OC，∠DEA＝90°，2∴OD＝CD＝4cm，∴OC＝OD＝CD＝4cm，∴OE＝CE=1OC＝2cm2∴DE=√OD2−OE2=2√3cm故选：D．小提示：本题考查了矩形、垂直平分线、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、垂直平分线的性质，从而完成求解．6、某街区街道如图所示，其中CE垂直平分AF,AB//CD,BC//DF．从B站到E站有两条公交线路；线路1是B→D→A→E，线路2是B→C→F→E，则两条线路的长度关系为（）A．路线1较短B．路线2较短C．两条路线长度相等D．两条线路长度不确定答案：C分析：由于路线1的路程为BD＋DA＋AE，路线2的路程为BC＋CF＋FE，将问题变为比较它们的大小这一数学问题．解：这两条路线路程的长度一样．理由如下：延长FD交AB于点G．∵BC∥DF，AB∥DC，∴四边形BCDG是平行四边形，∴DG＝CB．∵CE垂直平分AF，∴FE＝AE，DE∥AG，∴FD＝DG，∴CB＝FD．又∵BC∥DF，∴四边形BCFD是平行四边形．∴CF＝BD．①∵CE垂直平分AF，∴AE＝FE，FD＝DA．②∴BC＝DA．③路线1的长度为：BD＋DA＋AE，路线2的长度为：BC＋CF＋FE，综合①②③，可知路线1路程长度与路线2路程长度相等．故选C．小提示：本题是一个图形在交通方面的应用题，解此类图形应用题的关键是建立合理的数学模型，并利用图形知识来解决这一模型，从而解决实际问题．考查线段的垂直平分线的性质，平行四边形判定与性质，中位线等知识．7、如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是矩形的是( )A．AB+BC=AC B．AB= AD C．OA= OD D．∠ABC+∠ADC=180°答案：B分析：由勾股定理的逆定理证得∠ABC=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断A；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断B；根据对角线相等的平行四边形是矩形可判断C；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断D．解：A．∵AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°，∴▱ABCD为矩形，故本选项不符合题意；B．∵AB=AD，∴▱ABCD为菱形，故本选项符合题意；C．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵OA=OD，∴AC=BD，∴▱ABCD是矩形，故本选项不符合题意；D．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴▱ABCD为矩形，故本选项不符合题意；故选：B．小提示：本题考查了矩形的判定定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键．8、如图，在平行四边形ABCD中，AD=3，CD=2．连接AC，过点B作BE//AC，交DC的延长线于点E，连接AE，交BC于点F．若∠AFC=2∠D，则四边形ABEC的面积为（）A．√5B．2√5C．6D．2√13答案：B分析：先证明四边形ABEC为矩形，再求出AC，即可求出四边形ABEC的面积．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=∠ABC，∵BE//AC，∴四边形ABEC为平行四边形，∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC，∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，∴∠ABF=∠BAF，∴AF=BF，∴2AF=2BF，即BC=AE，∴平行四边形ABEC是矩形，∴∠BAC=90°，∴AC =√BC 2−AB 2=√32−22=√5,∴矩形ABEC 的面积为AB ·AC =2√5．故选：B小提示：本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟知相关定理，证明四边形ABEC 为矩形是解题关键．9、在▱ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，要使四边形ABCD 是菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是（ ）A ．AO =COB ．AO =BOC ．AO ⊥BOD ．AB ⊥BC答案：C分析：根据菱形的判定分析即可；∵四边形ABCD 时平行四边形，AO ⊥BO ，∴▱ABCD 是菱形；故选C ．小提示：本题主要考查了菱形的判定，准确分析判断是解题的关键．10、如图所示，在矩形纸片ABCD 中，AB =3,BC =6，点E 、F 分别是矩形的边AD 、BC 上的动点，将该纸片沿直线EF 折叠．使点B 落在矩形边AD 上，对应点记为点G ，点A 落在M 处，连接EF 、BG 、BE,EF 与BG 交于点N ．则下列结论成立的是（ ）①BN =AB ；②当点G 与点D 重合时EF =3√52； ③△GNF 的面积S 的取值范围是94≤S ≤72；④当CF =52时，S △MEG =3√134．A ．①③B ．③④C ．②③D ．②④答案：D分析：①根据题意可知四边形BFGE 为菱形，所以EF ⊥BG 且BN=GN ，若BN=AB ，则BG=2AB=6，又因为点E 是AD 边上的动点，所以3<BG<3√5．从而判断①不正确；②如图，过点E 作EH ⊥BC 于点H ，再利用勾股定理求解即可；③当点E 与点A 重合时，△GNF 的面积S 有最小值94，当点G 与点D 重合时△GNF 的面积S 有最大值4516．故94<S <4516． ④因为CF =52，则EG=BF=6-52=72．根据勾股定理可得ME=√(72)2−(62)2=√132，从而可求出△MEG 的面积． 解：①根据题意可知四边形BFGE 为菱形，∴EF ⊥BG 且BN=GN ，若BN=AB ，则BG=2AB=6，又∵点E 是AD 边上的动点，∴3<BG<3√5．故①错误；②如图，过点E 作EH ⊥BC 于点H ，则EH=AB=3，在Rt △ABE 中AE 2+AB 2=(AD −AE )2即AE 2+32=(6−AE )2解得：AE=94，∴BF=DE=6-94=154．∴HF=154-94=32．在Rt △EFH 中EF =√EH 2+FH 2 =3√52； 故②正确；③当点E 与点A 重合时，如图所示，△GNF 的面积S 有最小值=14S 正方形ABFG =14×3×3 =94， 当点G 与点D 重合时△GNF 的面积S 有最大值=14S 菱形EBFG =14×154×3=4516． 故94<S <4516．故③错误．④因为CF =52，则EG=BF=6-52=72．根据勾股定理可得ME=√(72)2−(62)2=√132 ， ∴S △MEG =12×√132×3=3√134． 故④正确．故选D ．小提示：本题考查了矩形的性质和判定，菱形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质等知识，掌握相关知识找到临界点是解题的关键．填空题11、如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 的交点为O ，矩形的长、宽分别为7cm 、4cm ，EF 过点O 分别交AB 、CD 于E 、F ，那么图中阴影部分面积为___cm 2．答案：7分析：先根据矩形的性质可得OA=OC,AB∥CD，S▭ABCD=28cm2，再根据平行线的性质可得∠OAE=∠OCF,∠OEA=∠OFC，然后根据三角形全等的判定定理证出△AOE≅△COF，根据全等三角形的性质可得S△AOE=S△COF，由此即可得．解：∵四边形ABCD是矩形，且长、宽分别为7cm、4cm，∴OA=OC,AB∥CD，S▭ABCD=7×4=28(cm2)，∴∠OAE=∠OCF,∠OEA=∠OFC，在△AOE和△COF中，{∠OAE=∠OCF∠OEA=∠OFCOA=OC，∴△AOE≅△COF(AAS)，∴S△AOE=S△COF，则图中阴影部分面积为S△AOE+S△DOF=S△COF+S△DOF=S△COD=14S▭ABCD=7cm2，所以答案是：7．小提示：本题考查了矩形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．12、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，AD=4，CD=2，那么∠A=____度．答案：30分析：过点D作DE⊥AB于E，取A、D的中点F，连接EF，根据角平分线性质求出DE=CD=2，然后通过证明△EFD是等边三角形得出∠EDF=60°，由三角形内角和定理即可求解．证明：过点D作DE⊥AB于E，取A、D的中点F，连接EF，则∠DEA=90°，∵AD=4，∴DF=1AD=2,2∵EF是R t△AED的中线，∴EF=1AD=2，2∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD=2，∴DE=CD=2，∴DF=EF=DE，∴△EFD是等边三角形，∴∠EDF=60°，∴∠A=180°−90°−∠EDF=90°−60°=30°所以答案是：30．小提示：本题考查了三角形内角和定理、角平分线性质的应用及直角三角形斜边上的中线，解题的关键是做辅助线证明△EFD是等边三角形，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．13、如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2时，则菱形的边长为____cm．答案：13分析：连接BD、AC、EF，BD与AC交于点O，由题意易得B、E、F、D在同一条直线上，则有AC⊥BD，EF⊥AC，OA=OC，OB=OD，AC=EF，然后根据菱形和正方形的面积及勾股定理可进行求解．解：连接BD、AC、EF，BD与AC交于点O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形、四边形AECF是正方形，∴点B、E、F、D在同一条直线上，∴AC⊥BD，EF⊥AC，OA=OC，OB=OD，AC=EF，∵菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，∴S菱形ABCD =12BD⋅AC=120，S正方形AECF=12AC2=50，∴AC=10cm，BD=24cm，∴OA=5cm，OB=12cm，在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB=√AO2+OB2=13cm，故答案为13．小提示：本题主要考查菱形与正方形的性质，熟练掌握菱形与正方形的性质是解题的关键．14、如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A 作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝3，CG＝2，则CE的长为________．答案：154解：如图所示，连接EG，由旋转可知△ABF≌△ADE，∴DE=BF，AE=AF，∵AG⊥EF，∴H为EF的中点，∴AG垂直平分EF，∴EG=FG，设CE=x，则DE=5-x=BF，FG=EG=BF+BG=8-x，∵∠C=90°，∴CE2+CG2=EG2即x2+22=(8−x)2解得x=15，4∴CE的长为15，4.所以答案是：154小提示：本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，解决该题的关键是根据勾股定理列方程.15、在正方形ABCD中，AB=5，点E、F分别为AD、AB上一点，且AE=AF，连接BE、CF，则BE+CF的最小值是______．答案：5√5分析：如图所示，作D关于直线AB的对称点D′，连接D′F，DF，先证明△ABE≌△ADF得到BE=DF，则BE= D′F，从而推出当C、F、D′三点共线时，CF+D′F有最小值，即BE+CF有最小值，最小值为CD′，由此求解即可．解：如图所示，作D关于直线AB的对称点D′，连接D′F，DF，∴D′F=DF，AD′=AD，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=CD，∠ADC=90°，又∵∠FAD=∠EAB，AF=AE，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴BE=DF，∴BE=D′F，∴BE+CF=CF+D′F，∴当C、F、D′三点共线时，CF+D′F有最小值，即BE+CF有最小值，最小值为CD′，在Rt△D′DC中，CD′=√DD′2+CD2=5√5，所以答案是：5√5．小提示：本题主要考查了正方形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．解答题16、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠BDE=15°，求∠DOE；（3）在（2）的条件下，若AB=2，求△BOE的面积．答案：（1）见解析；（2）135°；（3）√3−1分析：（1）根据有三个角是直角是四边形是矩形判定即可；（2）首先根据矩形的性质得出OD=OC，然后利用角平分线的定义得出△DCE是等腰直角三角形，进而得出△OCD是等边三角形，然后可得∠OCE=30°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠COE=∠CEO=75°，最后利用∠DOE=∠COD+∠COE即可求解；（3）作OF⊥BC于F，首先根据三角形中位线的性质得出OF=1，然后利用勾股定理求出BC的长度，进而得出BE的长度，最后利用面积公式求解即可．解：（1）∵AD//BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵∠ABC=90°，∴∠BAD=90°，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形．（2）由（1）可得：AO=CO，BO=DO，AC=BD，∴OD=OC，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE=45°，∴△DCE是等腰直角三角形，∴∠DEC=45°，CD=CE，∵∠BDE=15°，∴∠DBC=∠ADB=45°-15°=30°，∴∠BDC=60°，又OD=OC，∴△OCD是等边三角形，∴OC=CD=CE，∠DCO=∠COD=60°，∴∠OCE=30°，∴∠COE=∠CEO=（180°-30°）÷2=75°，∴∠DOE=∠COD+∠COE=60°+75°=135°；（3）作OF⊥BC于F．∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=2，∠BCD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，∴AO=BO=CO=DO，∴BF=FC，∴OF=12CD=1，∵EC=CD=AB=2，∴AC=BD=4，∴BC=√42−22=2√3，∴BE=BC-CE=2√3-2，∴△BOE的面积=12BE⋅OF=12×(2√3−2)×1=√3−1．小提示：本题主要考查四边形综合，掌握矩形的判定及性质，等腰三角形的性质和勾股定理是解题的关键．17、已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．(1)如图1，若DE∥BC，求证：四边形BCDE是菱形；(2)如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．（ⅰ）求∠CED的大小；（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．答案：(1)见解析(2)（ⅰ）∠CED=60°；（ⅱ）见解析分析：（1）先根据DC=BC，CE⊥BD，得出DO=BO，再根据“AAS”证明ΔODE≌ΔOBC，得出DE=BC，得出四边形BCDE为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，得出四边形BCDE为菱形；（2）（ⅰ）根据垂直平分线的性质和等腰三角形三线合一，证明∠BEG=∠DEO=∠BEO，再根据∠BEG+∠DEO+∠BEO=180°，即可得出∠CED=180°=60°；3（ⅱ）连接EF，根据已知条件和等腰三角形的性质，算出∠GEF=15°，得出∠OEF=45°，证明OE=OF，再证明ΔBOE≌ΔCOF，即可证明结论．（1）证明：∵DC=BC，CE⊥BD，∴DO=BO，∵DE∥BC，∴∠ODE=∠OBC，∠OED=∠OCB，∴ΔODE≌ΔOBC（AAS），∴DE=BC，∴四边形BCDE为平行四边形，∵CE⊥BD，∴四边形BCDE为菱形．（2）（ⅰ）根据解析（1）可知，BO=DO，∴CE垂直平分BD，∴BE=DE，∵BO=DO，∴∠BEO=∠DEO，∵DE垂直平分AC，∴AE=CE，∵EG⊥AC，∴∠AEG=∠DEO，∴∠AEG=∠DEO=∠BEO，∵∠AEG+∠DEO+∠BEO=180°，∴∠CED=180°=60°．3（ⅱ）连接EF，∵EG⊥AC，∴∠EGF=90°，∴∠EFA=90°−∠GEF，∵∠AEF=180°−∠BEF=180°−∠BEC−∠CEF=180°−∠BEC−(∠CEG−∠GEF)=180°−60°−60°+∠GEF=60°+∠GEF∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，∴90°−∠GEF=60°+∠GEF，∴∠GEF=15°，∴∠OEF=∠CEG−∠GEF=60°−15°=45°，∵CE⊥BD，∴∠EOF=∠EOB=90°，∴∠OFE=90°−∠OEF=45°，∴∠OEF=∠OFE，∴OE=OF，∵AE=CE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠EAC+∠ECA=∠CEB=60°，∴∠ECA=30°，∵∠EBO=90°−∠OEB=30°，∴∠OCF=∠OBE=30°，∵∠BOE=∠COF=90°，∴ΔBOE≌ΔCOF（AAS），∴BE=CF．小提示：本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质，作出辅助线，得出∠GEF=15°，得出OE=OF，是解题的关键．18、如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，且AB＝AC，CF是∠ACB的角平分线交AB于点F，在AD上取一点E，使AB＝AE，连接BE交CF于点P．（1）求证：BP＝CP；（2）若BC＝4，∠ABC＝45°，求平行四边形ABCD的面积．答案：（1）见解析；（2）8分析：（1）设AP与BC交于H，根据平行线的性质得到∠AEB＝∠CBE，根据等腰三角形的性质得到∠ABE＝∠AEB，推出BE平分∠ABC，求得AP平分∠BAC，根据线段垂直平分线的性质即可得到结论；（2）根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的面积公式即可得到结论．解：（1）如图，设AP与BC交于H，∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∴∠ABE＝∠CBE，∴BE平分∠ABC，∵CF是∠ACB的角平分线，BE交CF于点P，∴AP平分∠BAC，∵AB＝AC，∴AH垂直平分BC，∴PB＝PC；（2）∵AH垂直平分BC，∴AH⊥BC，BH＝CH＝1BC＝2，2∵∠ABH＝45°，∴AH＝BH＝2，∴平行四边形ABCD的面积＝4×2＝8．小提示：本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，角平分线的定义，利用数形结合的思想是解题的关键．。
第18章 《平行四边形》知识点及考点典例
第十八章《平行四边形》知识点及考点典例一、平行四边形1、平行四边形的概念两组对边分别__________的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质（1）平行四边形的邻角_______，对角_______。
（2）平行四边形的对边_______且________。
推论：夹在两条平行线间的平行线段_______。
（3）平行四边形的对角线_________。
（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。
3、平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别________的四边形是平行四边形（2）定理1：两组对角分别_________的四边形是平行四边形（3）定理2：两组对边分别_________的四边形是平行四边形（4）定理3：对角线___________的四边形是平行四边形（5）定理4：一组对边_________的四边形是平行四边形二、矩形1、矩形的概念有一个角是_______的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质(边、角、对角线)；（2）矩形的四个角都是_______；（3）矩形的对角线_______；（4）矩形是______对称图形。
3、矩形的判定（1）定义：有一个角是________的平行四边形是矩形。
（2）定理1：有___________是直角的四边形是矩形。
（3）定理2：对角线相等的_______________是矩形。
4、矩形的面积S矩形=长×宽=ab三、菱形1、菱形的概念有一组___________的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质(边、角、对角线)；（2）菱形的________边相等（3）菱形的对角线________，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是________对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组___________的平行四边形是菱形（2）定理1：___________都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线___________的平行四边形是菱形4、菱形的面积S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半四、正方形1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的______________叫做正方形。
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第十八章《平行四边形》专题一点通（1）
一．平行四边形的判定与性质综合训练 1. 已知，如图，在平行四边形ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．求证： (1)△AEM≌△CFN； (2)四边形BMDN是平行四边形． 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连接DE． （1）证明：DE∥CB； （2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形． 3. 如图，张村有一个四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均有一棵大树，村民准备将池塘建成养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持大树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形，请问张村能否实现这一设想？若能，请你设计并作出图形；若不能，请说明理由． 4.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G ． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）如果 ∠G=90°，∠C=60°，BC=2， 求四边形DEBF的面积．
5.如图1，平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与
AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，
连接EG，FG，FH，EH．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）如图2，若EF//AB，GH//BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形（四边形AGHD除外）． 5.如图1，在△ABC中，AB=AC，∠ABC =，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE=AD，DAE+BAC=180°． （1）直接写出∠ADE的度数（用含的式子表示）； （2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE， ①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD=CD； ②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF． 6.王老师出了一道操作探究题：已知凸四边形ABCD（如甲图）纸片，能否
将凸四边形纸片剪两刀，分割成四块，然后再拼成一个平行四边形？小明
思考一会儿后口述他的做法：（1）找出四边的中点E、F、G、H；（2）沿
EG、FH剪两刀，分成四块；（3）在C点处（见乙图），将三块……说到这
里，王老师打断了他的表述，“我只需要听到这里，你的思路及操作非常
正确”.（1）请你补充一下小明的口述，将Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ进行怎样的变换与Ⅳ
拼在一起？（2）请你说明一下，乙图是平行四边形纸块吗？（将两个图
形进行恰当标注，以便解决问题）
图1 图2
二．特殊平行四边形的判定与性质综合训练 1. 如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，F是CD的中点，过点C作AB的平行线交BF的延长线于点E，连接AE． （1）求证：EC=DA； （2）若AC⊥CB，试判断四边形AECD的形状，并证明你的结论． 2. 在Rt△ABC中，∠BAC=90,D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）证明四边形ADCF是菱形； （3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCFD 的面积． 3. （1）已知：如图，E、F、G、H分别是菱形ABCD的各边上与顶点均不重合的点，且AE=CF=CG=AH．求证：四边形EFGH是矩形． （2）已知：E、F、G、H分别是菱形ABCD的边AB．BC．CD．AD上与顶点均不重合的点，且四边形EFGH是矩形．AE与AH相等吗？如果相等，请说明理由；如果不相等，请举反例进行说明． 4.如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ． （1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ； （2）如图，延长BP交直线DQ于点E． ①如图b，求证：BE⊥DQ； ②如图c，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由． 5.如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，
将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边
AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．
（1）如图①，当α=90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是 ；
（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条
件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE+DF=AD，请给出证明；
（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，
其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数
量关系，直接写出结论，不用加以证明．