2019版高考数学(文)一轮狂刷练：第11章算法、复数、推理与证明11-1a含解析
2019版高考数学一轮复习 第11章 算法、复数、推理与证明 11.2 数系的扩充与复数的引入习题教案 文
且z1＝z2，则λ的取值范围是( )
A.－1，1
B.－196，1
C.－196，7
D.196，7
解析 由复数相等的充要条件，可得
m＝2cosθ， 4－m2＝λ＋3sinθ，
化简得4－4cos2θ＝λ＋3sinθ，由此可得λ＝－4cos2θ－
又z＋3＝a＋3＋bi实部与虚部互为相反数，z＋
5 z
是实
数，根据题意有b1－a2＋5 b2＝0， a＋3＝－b，
因为b≠0，所以
a2＋b2＝5， a＝－b－3，
解得
a＝－1， b＝－2
或
a＝－2， b＝－1.
所以z＝－1－2i或z＝－2－i.
二、填空题 11．(2017·江苏高考)已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z的模是____1_0___．
解析 解法一：∵z＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i＋i－2＝－1 ＋3i，
∴|z|＝ －12＋32＝ 10. 解法二：|z|＝|1＋i||1＋2i| ＝ 2× 5＝ 10.
3sinθ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sinθ＋4＝4sin2θ－3sinθ＝
4
sinθ－83
2－
9 16
，因为sinθ∈[－1,1]，所以λ∈
－196，7
.故
选C.
9．对于复数z1，z2，若(z1－i)z2＝1，则称z1是z2的“错
位共轭”复数，则复数
3 2
－
C．(2)(4)
D．(2)(3)
解析 对于(1)，由定义知当z＝0时，D(z)＝0，故(1)错 误，排除A；对于(2)，由于共轭复数的实部相等而虚部互 为相反数，所以D( z )＝D(z)恒成立，故(2)正确；对于(3)， 两个复数的实部与虚部的绝对值之和相等并不能得到实部 与虚部分别相等，所以两个复数也不一定相等，故(3)错 误，排除B，D，故选C.
2019版高考数学(文)高分计划一轮高分讲义：第11章算法、复数、推理与证明 11.4 直接证明与间接证明
11．4 直接证明与间接证明[知识梳理]1．直接证明2．间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．(1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．(2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．[诊断自测]1．概念思辨(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( )2736(2)证明不等式＋＜＋最适合的方法是分析法．( )(3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．( )(4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√2．教材衍化(1)(选修A1－2P42例7)用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个是偶数”正确的反设为( )A．a，b，c中至少有两个偶数B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．a，b，c都是奇数D．a，b，c都是偶数答案 B解析 a，b，c中恰有一个偶数说明有且仅有一个是偶数，其否定有a，b，c均为奇数或a，b，c中至少有两个偶数．故选B.a b a－b(2)(选修A1－2P42T2)设a>b>0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是________．答案 m<n解析 解法一：(取特殊值法)取a＝2，b＝1，得m<n.解法二：(作差法)由已知得m >0，n >0，则m 2－n 2＝a ＋b －2－a ＋b ＝2b －2＝2－2<0，∴m 2<n 2，ab ab b 2ab ∴m <n .3．小题热身(1)若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式中恒成立的是( )A.>B.＋≤11ab 121a 1b C.≥2D.≤ab 1a 2＋b 218答案 D解析 ∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2＝16.∴a 2＋b 2≥8，∴≤.故选D.1a 2＋b 218(2)设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >2；②a 2＋b 2>2.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)答案 ①解析 取a ＝－2，b ＝－1，则a 2＋b 2>2，从而②推不出．①能够推出，即若a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1.用反证法证明如下：假设a ≤1，且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾．因此假设不成立，所以a ，b 中至少有一个大于1.题型1 分析法的应用 已知a >0，证明： －≥a ＋－2. 典例a 2＋1a 221a 本题证明时需要用分析法，在推导过程中用到平方法．证明 要证－≥a ＋－2，a 2＋1a 221a 只需证≥－(2－)．a 2＋1a 2(a ＋1a )2因为a >0，所以－(2－)>0，(a ＋1a )2所以只需证2≥2，(a 2＋1a 2)[(a ＋1a )－(2－2)]即2(2－)≥8－4，2(a ＋1a )2只需证a ＋≥2.1a 因为a >0，a ＋≥2显然成立，所以要证1a (a ＝1a ＝1时等号成立)的不等式成立．方法技巧1．分析法证明问题的策略(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．2．分析法的适用范围及证题关键(1)适用范围：①已知条件与结论之间的联系不够明显、直接．②证明过程中所需要用的知识不太明确、具体．③含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导．(2)证题关键：保证分析过程的每一步都是可逆的．见典例．冲关针对训练(2018·天津期末)已知x >y >0，m >0.用分析法证明：(2－)xy xy≤1.xy xy证明 (2－)≤1，xy xy只需2－()2≤1，xy xy只需()2－2＋1≥0，xy即(－1)2≥0，xy因为x，y>0，且(－1)2≥0成立，xy xy(2－)≤1.题型2 综合法的应用典例 已知a，b，c为互不相等的实数，求证：a4＋b4＋c4>a2b2＋b2c2＋c2a2>abc(a＋b＋c)．利用基本不等式进行整理变形，使命题得证．证明 ∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2a2c2，又a，b，c互不相等，∴上面三式中至少有一个式子不能取“＝”，∴a4＋b4＋c4>a2b2＋b2c2＋c2a2.①∵a2＋b2≥2ab，∴a2c2＋b2c2≥2abc2，同理a2b2＋a2c2≥2a2bc，b2c2＋b2a2≥2ab2c，∴a2b2＋b2c2＋c2a2>abc2＋a2bc＋ab2c.②由①，②得a4＋b4＋c4>a2b2＋b2c2＋c2a2>abc(a＋b＋c)．方法技巧1．利用综合法证题的策略用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围：(1)定义明确的问题；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．2．综合法证明问题的常见类型及方法(1)与不等式有关的证明：充分利用函数、方程、不等式间的关系，同时注意函数单调性、最值的应用，尤其注意导数思想的应用．见典例．(2)与数列有关的证明：充分利用等差、等比数列的定义通项及前n 项和公式证明．冲关针对训练(2017·黄冈模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3(n ∈N )．其中m 为常数，且m ≠－ 3.(1)求证：{a n }是等比数列；(2)若数列{a n }的公比q ＝f (m )，数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝f (b n －1)(n ∈N ，n ≥2)，求证：为等差数列．32{1bn }证明 (1)由(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3，得(3－m )S n ＋1＋2ma n ＋1＝m ＋3.两式相减，得(3＋m )a n ＋1＝2ma n ，m ≠－3，∴＝，∴{a n }是等比数列．an ＋1an 2mm ＋3(2)∵(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3，∴(3－m )a 1＋2ma 1＝m ＋3，∴a 1＝1.b 1＝a 1＝1，q ＝f (m )＝，∴当n ∈N 且n ≥2时，2mm ＋3b n ＝f (b n －1)＝·⇒b n b n －1＋3b n ＝3b n －1⇒－＝.32322bn －1bn －1＋31bn 1bn －113∴是首项为1，公差为的等差数列．{1bn }13题型3 反证法的应用 直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：＋y 2＝1相交于 典例x 24A ，C 两点，O 是坐标原点．(1)当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长；(2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形．因菱形的对角线垂直且相互平分，所以由对角线的中点求对角线的斜率，研究其是否垂直．解 (1)因为四边形OABC 为菱形，AC 与OB 相互垂直平分．可设A ，代入椭圆方程得＋＝1，(t ，12)t 2414即t ＝±，所以|AC |＝2.33(2)证明：假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0.由Error!消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则＝－，x 1＋x 224km 1＋4k 2＝k ·＋m ＝.y 1＋y 22x 1＋x 22m1＋4k 2AC 的中点为M .(－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2)因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0，所以直线OB 的斜率为－.14k 因为k ·≠－1，所以AC 与OB 不垂直．(－14k )所以四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能为菱形．方法技巧反证法的适用范围(1)否定性命题；(2)命题的结论中出现“至少”“至多”“唯一”等词语的；(3)当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆否命题又是非常容易证明的；(4)要讨论的情况很复杂，而反面情况很少．冲关针对训练(2017·济南质检)若f (x )的定义域为[a ，b ]，值域为[a ，b ](a <b )，则称函数f (x )是[a ，b ]上的“四维光军”函数．是否存在常数a ，b (a >－2)，使函数h (x )＝是区间[a ，b ]上1x ＋2的“四维光军”函数？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．解 假设函数h (x )＝在区间[a ，b ](a >－2)上是“四维光军”1x ＋2函数，因为h (x )＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，1x ＋2所以有Error!即Error!解得a ＝b，这与已知矛盾．故不存在．1．(2014·山东高考)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要作的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根答案 A解析 因为“方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 3＋ax ＋b ＝0的实根的个数大于或等于1”，因此，要作的假设是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根．故选A.2．(2017·郑州模拟)设x >0，P ＝2x ＋2－x ，Q ＝(sin x ＋cos x )2，则( )A ．P >QB ．P <QC ．P ≤QD ．P ≥Q答案 A解析 因为2x ＋2－x ≥2＝2(当且仅当x ＝0时等号成立)，2x ·2－x 而x >0，所以P >2；又(sin x ＋cos x )2＝1＋sin2x ，而sin2x ≤1，所以Q ≤2.于是P >Q .故选A.3．(2016·邹平县校级期中)若a >b >c ，则使＋≥恒1a －b 1b －c k a －c 成立的最大的正整数k 为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C解析 ∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0，且a －c ＝a －b ＋b －c .又＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4a －c a －b a －c b －c a －b ＋b －ca －ba －b ＋b －c b －c b －c a －b a －b b －c ，当且仅当a －b ＝b －c 时等号成立．∴k ≤＋，k ≤4，故k 的最大整数为4.故选C.a －c a －b a －c b －c 4．(2017·海淀区二模)一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确，第五次输入密码正确，手机解锁，事后发现前四次输入的密码中，每次都有两个数字正确，但它们各自的位置均不正确．已知前四次输入密码分别为3406,1630,7364,6173，则正确的密码中一定含有数字( )A ．4,6B ．3,6C ．3,7D ．1,7答案 D解析 若正确的密码中一定含有数字3,6，而3,6在第1,2,3,4的位置都有，与它们各自的位置均不正确矛盾．同理正确的密码中一定含有数字4,6或3,7不正确．若正确的密码中一定含有数字1,7，而3,6在第1,2,3,4的位置都有，根据它们各自的位置均不正确，可得1在第三位置，7在第四位置．故选D.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·无锡质检)已知m >1，a ＝－，b ＝－，则以下结论正确的是( )m ＋1m m m －1A ．a >b B ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 大小不定答案 B 解析 ∵a ＝－＝，b ＝－＝m ＋1m 1m ＋1＋m m m －1.而＋>＋>0(m >1)，1m ＋m －1m ＋1m m m －1<，即a <b .故选B.1m ＋1＋m 1m ＋m －12．设x ，y ，z >0，则三个数＋，＋，＋( )y x y z z x z y x z xy A ．都大于2 B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2 D ．至少有一个不大于2答案 C解析 由于＋＋＋＋＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，y x y z z x z y x z x y (y x ＋x y )(z x ＋x z )(y z ＋z y )∴＋，＋，＋中至少有一个不小于2.故选C.y x y z z x z y x z xy3．若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：<a ”索的“因”应是( )b 2－ac 3A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0答案 C解析 <a ⇔b 2－ac <3a 2⇔(a ＋c )b 2－ac 32－ac <3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c )(2a ＋c )>0⇔(a －c )(a －b )>0.故选C.4．已知a >0，b >0，如果不等式＋≥恒成立，那么m 的2a 1b m2a ＋b 最大值等于( )A ．10B ．9C ．8D ．7答案 B解析 ∵a >0，b >0，∴2a ＋b >0.∴不等式可化为m ≤(2a ＋b )＝5＋2.(2a ＋1b )(b a ＋ab )∵5＋2≥5＋4＝9，即其最小值为9，当且仅当a ＝b 时，(b a ＋a b )等号成立．∴m ≤9，即m 的最大值等于9.故选B.5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负答案 A解析 由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0.故选A.6．设a ，b ，c 为△ABC 的三边，则( )A ．a 2＋b 2＋c 2>a ＋b ＋cB ．a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋acC ．a 2＋b 2＋c 2<2(ab ＋bc ＋ac )D ．a 2＋b 2＋c 2>2(ab ＋bc ＋ac )答案 C解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴a 2＋b 2＋c 2＝2(a 2＋b 2＋c 2)－2(ab cos C ＋ac cos B ＋bc cos A )．∴a 2＋b 2＋c 2＝2(ab cos C ＋ac cos B ＋bc cos A )<2(ab ＋bc ＋ac )．故选C.7．若△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形答案 D解析 由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，且△A 2B 2C 2不可能是直角三角形．假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．由Error!得Error!则A 2＋B 2＋C 2＝，这与三角形内角和为180°相矛盾．因此假π2设不成立，故△A 2B 2C 2是钝角三角形．故选D.8．(2017·昌平区二模)四支足球队进行单循环比赛(每两队比赛一场)，每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局双方各得1分．比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则所有比赛中最多可能出现的平局场数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C解析 四支足球队进行单循环比赛(每两队比赛一场)，共比赛6场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局双方各得1分．即每场比赛若不平局，则共产生3×6＝18分，每场比赛都平局，则共产生2×6＝12分．比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则各队得分分别为：2,3,4,5或3,4,5,6.如果是3,4,5,6，则每场产生＝3分，没有平局产生，3＋4＋5＋66但是不可能产生4,5分，与题意矛盾，舍去．因此各队得分分别为：2,3,4,5.第一名得分5：5＝3＋1＋1，为一胜两平；第二名得分4：4＝3＋1＋0，为一胜一平一负；第三名得分3：根据胜场等于负场，只能为三平；第四名得分2：2＝1＋1＋0，为两平一负．则所有比赛中最多可能出现的平局场数是4.故选C.二、填空题9．(2017·南昌一模)设无穷数列{a n }，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数N ，使得n >N 时，恒有|a n －A |<ε成立，就称数列{a n }的极限为A .则四个无穷数列：①{(－1)n ×2}；②{n }；③；④.其极限{1＋12＋122＋123＋…＋12n －1}{2n ＋1n}为2的共有________个．答案 2解析 对于①，|a n －2|＝|(－1)n ×2－2|＝2×|(－1)n －1|，当n 是偶数时，|a n －2|＝0，当n 是奇数时，|a n －2|＝4，所以不符合数列{a n }的极限的定义，即2 不是数列{(－1)n ×2}的极限；对于②，由|a n －2|＝|n －2|<ε，得2－ε<n <2＋ε，所以对于任意给定的正数ε(无论多小)，不存在正整数N ，使得n >N 时，恒有|a n －2|<ε，即2不是数列{n }的极限；对于③，由|a n－2|＝＝＝<ε，|1＋12＋122＋123＋…＋12n －1－2||1×(1－12n)1－12－2|22n 得n >1－log2ε，即对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数 N ，使得n >N 时，恒有|a n －2|<ε成立，所以2是数列的极限；对于④，由{1＋12＋122＋123＋…＋12n －1}|a n－2|＝＝<ε，得n >，即对于任意给定的正数ε(无论多|2n ＋1n －2|1n 1ε小)，总存在正整数N ，使得n >N 时，恒有|a n －2|<ε成立，所以2是数列的极限．综上所述，极限为2的共有2个，即③④.{2n ＋1n}10．已知数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S 100＝41，T 100＝49，设c n ＝a n T n ＋b n S n －a n b n (n ∈N *)．那么数列{c n }的前100项和为________．答案 2009解析 ∵a n ＝S n －S n －1，b n ＝T n －T n －1，则c n ＝a n T n ＋b n S n －a n b n ＝S n T n －S n －1T n －1，∴c 100＝S 100T 100－S 99T 99，c 99＝S 99T 99－S 98T 98，…c 2＝S 2T 2－S 1T 1，c 1＝S 1T 1.∴数列{c n }的前100项和为S 100T 100＝41×49＝2009.11．设a >1，n ∈N *，若不等式－1<恒成立，则n 的最小na a －1n 值为________．答案 2解析 n ＝1时，结论不成立．n ＝2时，不等式为－1<，a a －12即2－2<a －1，a ∴(－1)2>0，a ∵a >1，则有意义，a ∴不等式恒成立．12．设非等腰△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若＋＝，则A ，B ，C 的关系是1a －b 1c －b 3a －b ＋c ________．答案 2B ＝A ＋C解析 ∵＋＝，1a －b 1c －b 3a －b ＋c ∴＝，a ＋c －2b (a －b )(c －b )3a －b ＋c 即b 2＝a 2＋c 2－ac ，则有cos B ＝＝，a 2＋c 2－b 22ac12∴B ＝60°，∴A ，B ，C 的关系是成等差数列，即2B ＝A ＋C .三、解答题13．已知函数f (x )＝a x ＋(a >1)．x －2x ＋1(1)求证：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明f (x )＝0没有负根．证明 (1)因为f (x )＝a x ＋＝a x ＋1－(a >1)，而函数x －2x ＋13x ＋1y ＝a x (a >1)和函数y ＝－在(－1，＋∞)上都是增函数．3x ＋1故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)假设函数f (x )＝0有负根x 0，即存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝.又0<ax 0<1，所以0<－<1，即<x 0<2与2－x 0x 0＋1x 0－2x 0＋112x 0<0(x 0≠－1)假设矛盾．故f (x )＝0没有负根．14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a n ＋1＋n －2，n ∈N *，a 1＝2.(1)证明：数列{a n －1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(n ∈N *)的前n 项和为T n ，证明：T n <6.3nSn －n ＋1证明 (1)因为S n ＝a n ＋1＋n －2，所以当n ≥2时，S n －1＝a n ＋(n －1)－2＝a n ＋n －3，两式相减，得a n ＝a n ＋1－a n ＋1，即a n ＋1＝2a n －1.设c n ＝a n －1，代入上式，得c n ＋1＋1＝2(c n ＋1)－1，即c n ＋1＝2c n (n ≥2)．又S n ＝a n ＋1＋n －2，则a n ＋1＝S n －n ＋2，故a 2＝S 1－1＋2＝3.所以c 1＝a 1－1＝1，c 2＝a 2－1＝2，即c 2＝2c 1.综上，对于正整数n ，c n ＋1＝2c n 都成立，即数列{a n －1}是等比数列，其首项a 1－1＝1，公比q ＝2.所以a n －1＝1×2n －1，故a n ＝2n －1＋1.(2)由S n ＝a n ＋1＋n －2，得S n －n ＋2＝a n ＋1＝2n ＋1，即S n －n ＋1＝2n ，所以b n ＝.3n2n 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n －1＋b n ＝＋＋…＋，①326223n2n 2×①，得2T n ＝3＋＋＋…＋，②623×3223n 2n －1②－①，得T n ＝3＋＋＋…＋－3232232n －13n2n＝3×－(1＋12＋122＋…＋12n －1)3n 2n ＝3×－＝6－.1－(12)n1－123n 2n 3n ＋62n 因为>0，所以T n ＝6－<6.3n ＋62n 3n ＋62n 15．若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lg＋lga ＋b2＋lg >lg a ＋lg b ＋lg c .b ＋c 2c ＋a 2证明 证法一：(分析法)lg ＋lg ＋lg >lg a ＋lga ＋b2b ＋c2c ＋a2b ＋lg c ⇐lg >lg abc ⇐··>abc .(a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2)a ＋b 2b ＋c 2c ＋a2因为a ，b ，c 是不全相等的正数，所以显然有··>abc 成立，原不等式得证．a ＋b 2b ＋c 2c ＋a2证法二：(综合法)因为a ，b ，c ∈R ＋，所以>0，≥>0，≥>0.a ＋b 2ab b ＋c 2bc a ＋c2ac 又因为a ，b ，c 不全相等，所以上述三个不等式中等号不能同时成立，即··>abc 成立．a ＋b 2b ＋c 2c ＋a2上式两边同取常用对数，得lg >lg abc ，(a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2)即lg ＋lg ＋lg >lg a ＋lg b ＋lg c .a ＋b 2b ＋c 2c ＋a2。
近年高考数学一轮复习第11章算法、复数、推理与证明11.1算法与程序框图学案理(2021年整理)
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11．1 算法与程序框图[知识梳理］1．算法的含义与程序框图（1）算法：算法是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．（2）程序框图：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．在程序框图中，一个或n个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序．(3)算法框图的图形符号及其功能2．三种基本逻辑结构及相应语句［诊断自测］1．概念思辨(1)一个程序框图一定包含顺序结构，也包含条件结构（选择结构)和循环结构．（)(2)当型循环是给定条件不成立时，执行循环体，反复进行，直到条件成立为止．( ）（3)在算法语句中，X＝X＋1是错误的．（）(4)输入语句可以同时给多个变量赋值．( ）答案（1）×(2）×（3）×（4)√2．教材衍化（1）(必修A3P13例6）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6,则判断框内可填入的条件是（）A ．s 〉错误!？B ．s >错误!？C ．s 〉错误!?D ．s >错误!？ 答案 C解析 第一次循环，s ＝1×错误!＝错误!,k ＝8；第二次循环，s ＝1×错误!×89＝错误!，k ＝7；第三次循环,s ＝1×错误!×错误!×错误!＝错误!，k ＝6，此时应退出循环输出k ＝6。
2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第11章 算法、复数、推理与证明 11-4a Word版含解析
[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·无锡质检)已知m >1，a ＝m ＋1－m ，b ＝m －m －1，则以下结论正确的是( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 大小不定答案 B 解析 ∵a ＝m ＋1－m ＝1m ＋1＋m，b ＝m －m －1＝1m ＋m －1.而m ＋1＋m >m ＋m －1>0(m >1)，∴1m ＋1＋m <1m ＋m －1，即a <b .故选B. 2．设x ，y ，z >0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋xy ( ) A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2答案 C解析 由于y x ＋y z ＋z x ＋z y ＋x z ＋x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z x ＋x z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y z ＋z y ≥2＋2＋2＝6，∴y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋xy 中至少有一个不小于2.故选C.3．若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ”索的“因”应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0答案 C 解析b 2－ac <3a ⇔b 2－ac <3a 2⇔(a ＋c )2－ac <3a 2⇔a 2＋2ac＋c 2－ac －3a 2<0⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c )(2a ＋c )>0⇔(a －c )(a －b )>0.故选C.4．已知a >0，b >0，如果不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b 恒成立，那么m 的最大值等于( )A ．10B ．9C ．8D ．7 答案 B解析 ∵a >0，b >0，∴2a ＋b >0.∴不等式可化为m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (2a ＋b )＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b . ∵5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，即其最小值为9，当且仅当a ＝b 时等号成立．∴m ≤9，即m 的最大值等于9.故选B.5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负答案 A解析 由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0.故选A.6．设a ，b ，c 为△ABC 的三边，则( ) A ．a 2＋b 2＋c 2>a ＋b ＋c B ．a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋acC ．a 2＋b 2＋c 2<2(ab ＋bc ＋ac )D ．a 2＋b 2＋c 2>2(ab ＋bc ＋ac ) 答案 C解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴a 2＋b 2＋c 2＝2(a 2＋b 2＋c 2)－2(ab cos C ＋ac cos B ＋bc cos A )． ∴a 2＋b 2＋c 2＝2(ab cos C ＋ac cos B ＋bc cos A )<2(ab ＋bc ＋ac )．故选C.7．若△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形 答案 D解析 由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，且△A 2B 2C 2不可能是直角三角形．假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1，则A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾，因此假设不成立，故△A 2B 2C 2是钝角三角形．故选D.8．(2017·昌平区二模)四支足球队进行单循环比赛(每两队比赛一场)，每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局双方各得1分．比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则所有比赛中最多可能出现的平局场数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 四支足球队进行单循环比赛(每两队比赛一场)，共比赛6场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局双方各得1分． 即每场比赛若不平局，则共产生3×6＝18分，每场比赛都平局，则共产生2×6＝12分．比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同， 则各队得分分别为：2,3,4,5或3,4,5,6.如果是3,4,5,6，则每场产生3＋4＋5＋66＝3分，没有平局产生， 但是不可能产生4,5分，与题意矛盾，舍去．因此各队得分分别为：2,3,4,5.第一名得分5：5＝3＋1＋1，为一胜两平； 第二名得分4：4＝3＋1＋0，为一胜一平一负； 第三名得分3：根据胜场等于负场，只能为三平； 第四名得分2：2＝1＋1＋0，为两平一负． 则所有比赛中最多可能出现的平局场数是4. 故选C. 二、填空题9．(2017·南昌一模)设无穷数列{a n }，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数N ，使得n >N 时，恒有|a n －A |<ε成立，就称数列{a n }的极限为A .则四个无穷数列：①{(－1)n ×2}；②{n }；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫1＋12＋122＋123＋…＋12n －1；④⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n ＋1n .其极限为2的共有________个．答案 2解析 对于①，|a n －2|＝|(－1)n ×2－2|＝2×|(－1)n －1|，当n 是偶数时，|a n －2|＝0，当n 是奇数时，|a n －2|＝4，所以不符合数列{a n }的极限的定义，即2 不是数列{(－1)n ×2}的极限；对于②，由|a n －2|＝|n －2|<ε，得2－ε<n <2＋ε，所以对于任意给定的正数ε(无论多小)，不存在正整数N ，使得n >N 时，恒有|a n －2|<ε，即2不是数列{n }的极限；对于③，由|a n －2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋12＋122＋123＋…＋12n －1－2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－2＝22n <ε，得n >1－log 2ε，即对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数 N ，使得n >N 时，恒有|a n －2|<ε成立，所以2是数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1＋12＋122＋123＋…＋12n －1的极限；对于④，由|a n －2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2n ＋1n －2＝1n <ε，得n >1ε，即对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数N ，使得n >N 时，恒有|a n －2|<ε成立，所以2是数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2n ＋1n 的极限．综上所述，极限为2的共有2个，即③④.10．已知数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S 100＝41，T 100＝49，设c n ＝a n T n ＋b n S n －a n b n (n ∈N *)．那么数列{c n }的前100项和为________．答案 2009解析 ∵a n ＝S n －S n －1，b n ＝T n －T n －1， 则c n ＝a n T n ＋b n S n －a n b n ＝S n T n －S n －1T n －1， ∴c 100＝S 100T 100－S 99T 99， c 99＝S 99T 99－S 98T 98， …c 2＝S 2T 2－S 1T 1， c 1＝S 1T 1.∴数列{c n }的前100项和为S 100T 100＝41×49＝2009.11．设a >1，n ∈N *，若不等式na －1<a －1n 恒成立，则n 的最小值为________．答案 2解析 n ＝1时，结论不成立．n ＝2时，不等式为a －1<a －12， 即2a －2<a －1， ∴(a －1)2>0， ∵a >1，则a 有意义， ∴不等式恒成立．12．设非等腰△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若1a －b ＋1c －b ＝3a －b ＋c，则A ，B ，C 的关系是________．答案 2B ＝A ＋C解析 ∵1a －b ＋1c －b ＝3a －b ＋c ，∴a ＋c －2b(a －b )(c －b )＝3a －b ＋c ， 即b 2＝a 2＋c 2－ac ， 则有cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12， ∴B ＝60°，∴A ，B ，C 的关系是成等差数列，即2B ＝A ＋C . 三、解答题13．已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)．(1)求证：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明f (x )＝0没有负根．证明 (1)因为函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1＝a x＋1－3x ＋1(a >1)，而函数y ＝a x(a >1)和函数y ＝－3x ＋1在(－1，＋∞)上都是增函数，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)假设函数f (x )＝0有负根x 0，即存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝2－x 0x 0＋1.又0<ax 0<1，所以0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2与x 0<0(x 0≠－1)假设矛盾．故f (x )＝0没有负根．14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a n ＋1＋n －2，n ∈N *，a 1＝2.(1)证明：数列{a n －1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3n S n －n ＋1(n ∈N *)的前n 项和为T n ，证明：T n <6.证明 (1)因为S n ＝a n ＋1＋n －2，所以当n ≥2时，S n －1＝a n ＋(n －1)－2＝a n ＋n －3，两式相减，得a n ＝a n ＋1－a n ＋1， 即a n ＋1＝2a n －1.设c n ＝a n －1，代入上式， 得c n ＋1＋1＝2(c n ＋1)－1， 即c n ＋1＝2c n (n ≥2)．又S n ＝a n ＋1＋n －2，则a n ＋1＝S n －n ＋2， 故a 2＝S 1－1＋2＝3.所以c 1＝a 1－1＝1，c 2＝a 2－1＝2，即c 2＝2c 1.综上，对于正整数n ，c n ＋1＝2c n 都成立，即数列{a n －1}是等比数列，其首项a 1－1＝1，公比q ＝2.所以a n －1＝1×2n －1，故a n ＝2n －1＋1.(2)由S n ＝a n ＋1＋n －2，得S n －n ＋2＝a n ＋1＝2n ＋1，即S n －n ＋1＝2n ，所以b n ＝3n2n .所以T n ＝b 1＋b 2＋...＋b n －1＋b n ＝32＋622＋ (3)2n ，① 2×①，得2T n ＝3＋62＋3×322＋ (3)2n －1，②②－①，得T n ＝3＋32＋322＋…＋32n －1－3n2n＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12＋122＋…＋12n －1－3n 2n ＝3×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－3n 2n ＝6－3n ＋62n .因为3n ＋62n >0，所以T n ＝6－3n ＋62n <6.15．若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .证明 (分析法)lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c ⇐lg⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg abc ⇐a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc . 因为a ，b ，c 是不全相等的正数，所以显然有a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc成立，原不等式得证．。
2019高考数学文科一轮分层演练：第11章复数、算法、推理与证明章末总结含解析
章末总结接证明❷了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．B．3D．5)如图，四面体ABCDAB＝BD．若E为棱BDACDE的体积比．一、选择题1．(选修1-2 P61A组T5(4)改编)i为虚数单位，则5i（2＋i）等于()A．－2－i B．－2＋i C．－1＋2i D．－1－2i解析：选D．5i（2＋i）＝5－1＋2i＝5（－1－2i）5＝－1－2i ．2．(选修1-2 P 33内文改编)有一个游戏：将标有数字1、2、3、4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片； 乙说：甲或丙拿到标有2的卡片； 丙说：标有1的卡片在甲手中； 丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示甲、乙、丙、丁4个人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片上的数字依次为( ) A ．3、4、2、1 B ．4、2、1、3 C ．2、3、1、4D ．1、3、2、4解析：选B ．由甲、丁的预测不正确可得丁拿到标有3的卡片，由乙的预测不正确可得乙拿到标有2的卡片，由丙的预测不正确可知甲拿到标有4的卡片，故丙拿到标有1的卡片，即甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片上的数字依次为4、2、1、3．3．(选修1-2 P 30练习T 2改编)如图所示的数阵中，用A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则依此规律A (15，2)为( )13 16 16 110 13 110 115 1330 1330 115 121 12 1315 12 121…A ．2942B ．710C ．1724D ．73102解析：选C ．由数阵知A (3，2)＝16＋16＝16＋23×4，A (4，2)＝16＋16＋110＝16＋23×4＋24×5，A (5，2)＝16＋16＋110＋115＝16＋23×4＋24×5＋25×6，…，则A (15，2)＝16＋23×4＋24×5＋25×6＋…＋215×16＝16＋2⎝⎛⎭⎫13－14＋14－15＋…＋115－116＝16＋2⎝⎛⎭⎫13－116 ＝16＋2×1348＝1724，选项C 正确． 4．(必修3 P 34－35案例1改编)如图所示的程序框图的算法思想源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图(图中“m MOD n ”表示m 除以n 的余数)，若输入的m ，n 分别为495，135，则输出的m ＝( )A ．0B ．5C ．45D ．90解析：选C ．该程序框图是求495与135的最大公约数，由495＝135×3＋90，135＝90×1＋45，90＝45×2，所以495与135的最大公约数是45，所以输出的m ＝45，故选C ．二、填空题5．(选修1-2 P 61A 组T 3改编)ABCD 是复平面内的平行四边形，A 、B 、C 三点对应的复数分别为1＋2i ，－i ，2＋i ，O 为复平面原点，则|OD |＝________．解析：设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )， 因为ABCD 是平行四边形， 所以AB →＝DC →，即－i －(1＋2i)＝(2＋i)－(x ＋y i)， 即－1－3i ＝(2－x )＋(1－y )i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝－11－y ＝－3，解得x ＝3，y ＝4．所以D 点对应的复数为3＋4i ． 所以|OD |＝|3＋4i|＝5， 答案：56．(选修1-2 P 44B 组T 1改编)已知sin α－cos αsin α＋2cos α＝－1，则tan 2α＝________．解析：由sin α－cos αsin α＋2cos α＝－1，可得2sin α＝－cos α，所以tan α＝－12，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－121－⎝⎛⎭⎫－122＝－43． 答案：－43三、解答题7．(选修1-2 P 35B 组T 1改编)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－23，且S n ＋1S n＋2＝a n (n ≥2)．计算S 1、S 2、S 3，并猜想S n ．解：n ＝1时，S 1＝a 1＝－23．n ＝2时，S 2＋1S 2＋2＝a 2＝S 2－S 1＝S 2＋23，所以S 2＝－34．n ＝3时，S 3＋1S 3＋2＝a 3＝S 3－S 2＝S 3＋34，所以S 3＝－45，所以猜想S n ＝－n ＋1n ＋2．8．(必修2 P 45探究、P 52B 组T 1(1)改编)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示：(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论； (3)证明：直线DF ⊥平面BEG ． 解：(1)点F ，G ，H 的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH．证明如下：因为ABCD-EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，所以BCHE为平行四边形．所以BE∥CH．又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH．同理BG∥平面ACH．又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH．(3)证明：连接FH．因为ABCD-EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH，因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG．又EG⊥FH，DH∩FH＝H，所以EG⊥平面BFHD．又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG．同理DF⊥BG．又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG．。
2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第11章 算法、复数、推理与证明 11-4a Word版含解析
[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·无锡质检)已知m >1，a ＝m ＋1－m ，b ＝m －m －1，则以下结论正确的是( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 大小不定答案 B解析 ∵a ＝m ＋1－m ＝1m ＋1＋m ，b ＝m －m －1＝1m ＋m －1.而m ＋1＋m >m ＋m －1>0(m >1)，∴1m ＋1＋m <1m ＋m －1，即a <b .故选B.2．设x ，y ，z >0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋xy ( ) A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2答案 C解析 由于y x ＋y z ＋z x ＋z y ＋x z ＋x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z x ＋x z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y z ＋z y ≥2＋2＋2＝6，∴y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋xy 中至少有一个不小于2.故选C.3．若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ”索的“因”应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0 答案 C 解析b 2－ac <3a ⇔b 2－ac <3a 2⇔(a ＋c )2－ac <3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c )(2a ＋c )>0⇔(a －c )(a －b )>0.故选C.4．已知a >0，b >0，如果不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b 恒成立，那么m 的最大值等于( )A ．10B ．9C ．8D ．7 答案 B解析 ∵a >0，b >0，∴2a ＋b >0.∴不等式可化为m ≤⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (2a ＋b )＝5＋2⎝⎛⎭⎪⎫b a ＋a b .∵5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，即其最小值为9，当且仅当a ＝b 时等号成立．∴m ≤9，即m 的最大值等于9.故选B.5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负答案 A解析 由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0.故选A.6．设a ，b ，c 为△ABC 的三边，则( ) A ．a 2＋b 2＋c 2>a ＋b ＋c B ．a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac C ．a 2＋b 2＋c 2<2(ab ＋bc ＋ac ) D ．a 2＋b 2＋c 2>2(ab ＋bc ＋ac ) 答案 C解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴a 2＋b 2＋c 2＝2(a 2＋b 2＋c 2)－2(ab cos C ＋ac cos B ＋bc cos A )． ∴a 2＋b 2＋c 2＝2(ab cos C ＋ac cos B ＋bc cos A )<2(ab ＋bc ＋ac )．故选C.7．若△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形 答案 D解析 由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，且△A 2B 2C 2不可能是直角三角形．假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1，则A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾，因此假设不成立，故△A 2B 2C 2是钝角三角形．故选D.8．(2017·昌平区二模)四支足球队进行单循环比赛(每两队比赛一场)，每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局双方各得1分．比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则所有比赛中最多可能出现的平局场数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 四支足球队进行单循环比赛(每两队比赛一场)，共比赛6场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局双方各得1分． 即每场比赛若不平局，则共产生3×6＝18分，每场比赛都平局，则共产生2×6＝12分．比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同， 则各队得分分别为：2,3,4,5或3,4,5,6.如果是3,4,5,6，则每场产生3＋4＋5＋66＝3分，没有平局产生， 但是不可能产生4,5分，与题意矛盾，舍去． 因此各队得分分别为：2,3,4,5.第一名得分5：5＝3＋1＋1，为一胜两平； 第二名得分4：4＝3＋1＋0，为一胜一平一负； 第三名得分3：根据胜场等于负场，只能为三平； 第四名得分2：2＝1＋1＋0，为两平一负． 则所有比赛中最多可能出现的平局场数是4. 故选C. 二、填空题9．(2017·南昌一模)设无穷数列{a n }，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数N ，使得n >N 时，恒有|a n －A |<ε成立，就称数列{a n }的极限为A .则四个无穷数列：①{(－1)n ×2}；②{n }；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫1＋12＋122＋123＋…＋12n －1；④⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n ＋1n .其极限为2的共有________个．答案 2解析 对于①，|a n －2|＝|(－1)n ×2－2|＝2×|(－1)n －1|，当n 是偶数时，|a n －2|＝0，当n 是奇数时，|a n －2|＝4，所以不符合数列{a n }的极限的定义，即 2 不是数列{(－1)n ×2}的极限；对于②，由|a n －2|＝|n －2|<ε，得2－ε<n <2＋ε，所以对于任意给定的正数ε(无论多小)，不存在正整数N ，使得n >N 时，恒有|a n －2|<ε，即2不是数列{n }的极限；对于③，由|a n －2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋12＋122＋123＋…＋12n －1－2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－2＝22n <ε，得n >1－log 2ε，即对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数 N ，使得n >N 时，恒有|a n －2|<ε成立，所以2是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1＋12＋122＋123＋…＋12n －1的极限；对于④，由|a n －2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2n ＋1n －2＝1n <ε，得n >1ε，即对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数N ，使得n >N 时，恒有|a n －2|<ε成立，所以2是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n ＋1n 的极限．综上所述，极限为2的共有2个，即③④.10．已知数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S 100＝41，T 100＝49，设c n ＝a n T n ＋b n S n －a n b n (n ∈N *)．那么数列{c n }的前100项和为________．答案 2009解析 ∵a n ＝S n －S n －1，b n ＝T n －T n －1， 则c n ＝a n T n ＋b n S n －a n b n ＝S n T n －S n －1T n －1， ∴c 100＝S 100T 100－S 99T 99， c 99＝S 99T 99－S 98T 98， …c 2＝S 2T 2－S 1T 1， c 1＝S 1T 1.∴数列{c n }的前100项和为S 100T 100＝41×49＝2009.11．设a >1，n ∈N *，若不等式na －1<a －1n 恒成立，则n 的最小值为________．答案 2解析 n ＝1时，结论不成立． n ＝2时，不等式为a －1<a －12， 即2a －2<a －1， ∴(a －1)2>0， ∵a >1，则a 有意义， ∴不等式恒成立．12．设非等腰△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若1a －b ＋1c －b ＝3a －b ＋c，则A ，B ，C 的关系是________．答案 2B ＝A ＋C解析 ∵1a －b ＋1c －b ＝3a －b ＋c ，∴a ＋c －2b (a －b )(c －b )＝3a －b ＋c ， 即b 2＝a 2＋c 2－ac ， 则有cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12， ∴B ＝60°，∴A ，B ，C 的关系是成等差数列，即2B ＝A ＋C . 三、解答题13．已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)．(1)求证：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明f (x )＝0没有负根．证明 (1)因为函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1＝a x＋1－3x ＋1(a >1)，而函数y ＝a x(a >1)和函数y ＝－3x ＋1在(－1，＋∞)上都是增函数，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)假设函数f (x )＝0有负根x 0，即存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝2－x 0x 0＋1.又0<ax 0<1，所以0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2与x 0<0(x 0≠－1)假设矛盾．故f (x )＝0没有负根．14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a n ＋1＋n －2，n ∈N *，a 1＝2.(1)证明：数列{a n －1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3n S n －n ＋1(n ∈N *)的前n 项和为T n ，证明：T n <6.证明 (1)因为S n ＝a n ＋1＋n －2，所以当n ≥2时，S n －1＝a n ＋(n －1)－2＝a n ＋n －3，两式相减，得a n ＝a n ＋1－a n ＋1， 即a n ＋1＝2a n －1.设c n ＝a n －1，代入上式， 得c n ＋1＋1＝2(c n ＋1)－1， 即c n ＋1＝2c n (n ≥2)．又S n ＝a n ＋1＋n －2，则a n ＋1＝S n －n ＋2， 故a 2＝S 1－1＋2＝3.所以c 1＝a 1－1＝1，c 2＝a 2－1＝2，即c 2＝2c 1.综上，对于正整数n ，c n ＋1＝2c n 都成立，即数列{a n －1}是等比数列，其首项a 1－1＝1，公比q ＝2.所以a n －1＝1×2n －1，故a n ＝2n －1＋1.(2)由S n ＝a n ＋1＋n －2，得S n －n ＋2＝a n ＋1＝2n ＋1，即S n －n ＋1＝2n ，所以b n ＝3n2n .所以T n ＝b 1＋b 2＋...＋b n －1＋b n ＝32＋622＋ (3)2n ，①2×①，得2T n ＝3＋62＋3×322＋ (3)2n －1，②②－①，得T n ＝3＋32＋322＋…＋32n －1－3n2n＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋122＋…＋12n －1－3n 2n ＝3×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12－3n 2n ＝6－3n ＋62n .因为3n ＋62n >0，所以T n ＝6－3n ＋62n <6.15．若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .证明 (分析法)lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c ⇐lg⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg abc ⇐a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc . 因为a ，b ，c 是不全相等的正数，所以显然有a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>abc 成立，原不等式得证．。
2019版高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第11章算法、复数、推理与证明 11-3a
[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·湖北华师一附中等八校联考)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁答案 D解析 若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名．若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，故丙猜测错误，即1,2,6号均不是第1名，故3号是第1名，则乙猜测错误，丁猜测正确．故选D.2．已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 2016＝( )A ．3B ．－3C ．6D ．－6答案 B解析 ∵a 1＝3，a 2＝6，∴a 3＝3，a 4＝－3，a 5＝－6，a 6＝－3，a 7＝3，…，∴{a n }是以6为周期的周期数列．又2016＝6×335＋6，∴a 2016＝a 6＝－3.故选B.3．已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋≥2，x ＋＝＋＋≥3，1x 4x 2x 2x 24x 2x ＋＝＋＋＋≥4，…，27x 3x 3x 3x 327x 3类比有x ＋≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝( )a xn A ．n B ．2n C ．n 2 D ．n n答案 D解析 第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝1，第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝4，第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33，归纳可以知道a ＝n n .故选D.4．已知a n ＝n ，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：(13)a 1a 2 a 3 a 4a 5 a 6 a 7 a 8 a 9……记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)＝( )A.67 B.68(13)(13)C.111 D.112(13)(13)答案 D解析 该三角形所对应元素的个数为1,3,5，…，那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝112.故选D.(13)5．(2017·阳山县校级一模)下面使用类比推理恰当的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“＝＋(c ≠0)”a ＋bc a c b c D ．“(ab )n ＝a n b n ”类推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”答案 C解析 对于A “若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”是错误的，因为0乘任何数都等于0；对于B “若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”，类推的结果不符合乘法的运算性质，故错误；对于C 将乘法类推除法，即由“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“＝＋”是正确的；对于D “(ab )n ＝a n b n ”类推出a ＋b c a c b c “(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”是错误的；如(1＋1)2＝12＋12.故选C.6．(2017·河北冀州中学期末)如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N *)的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则a 2017＝( )A ．502B ．503C ．504D ．505答案 D解析 由a 1，a 3，a 5，a 7，…组成的数列恰好对应数列{x n }，即x n ＝a 2n －1，当n 为奇数时，x n ＝.所以a 2017＝x 1009＝505.故选D.n ＋127．(2018·安徽江淮十校三联)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 中“…”即代表无限次重复，但原式却是个2＋2＋2＋…定值x ，这可以通过方程＝x 确定x ＝2，则1＋＝( )2＋x 11＋11＋…A. B.C. D.－5－125－121＋521－52答案 C 解析 1＋＝x ，即1＋＝x ，即x 2－x －1＝0，解得11＋11＋…1x x ＝，故1＋＝，故选C.1＋52(x ＝1－52舍)11＋11＋…1＋528．(2017·陕西一模)设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝，类比这个结论可知，2S a ＋b ＋c 四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S －ABC 的体积为V ，则R 等于( )A. B.V S 1＋S 2＋S 3＋S 42VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C. D.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 44VS 1＋S 2＋S 3＋S 4答案 C解析 设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，由平面图形中r 的求解过程类比空间图形中R 的求解过程可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，则四面体的体积为V ＝V 四面体S －ABC ＝(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，13所以R ＝.故选C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 49．(2018·鹰潭模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如：[π]＝3.S 1＝[]＋[]＋[]＝3123S 2＝[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝1045678S 3＝[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝21，9101112131415…依此规律，那么S 10等于( )A ．210B ．230C ．220D ．240答案 A解析 ∵[x ]表示不超过x 的最大整数，∴S 1＝[]＋[]＋[]＝1×3＝3，123S 2＝[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝2×5＝10，45678S 3＝[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]9101112131415＝3×7＝21，…S n ＝[]＋[]＋[]＋…＋[]＋[]n 2n 2＋1n 2＋2n 2＋2n －1n 2＋2n＝n ×(2n ＋1)，∴S 10＝10×21＝210.故选A.10．(2017·龙泉驿区模拟)对于问题：“已知两个正数x ，y 满足x ＋y ＝2，求＋的最小值”，给出如下一种解法：1x 4y ∵x ＋y ＝2，∴＋＝(x ＋y )＝，1x 4y 12(1x ＋4y )12(5＋y x ＋4x y )∵x >0，y >0，∴＋≥2＝4，y x 4x y y x ·4x y ∴＋≥(5＋4)＝，1x 4y 1292当且仅当Error!即Error!时，＋取最小值.1x 4y 92参考上述解法，已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则＋1A 的最小值为( )9B ＋C A. B. C. D.16π8π4π2π答案 A解析 A ＋B ＋C ＝π，设A ＝α，B ＋C ＝β，则α＋β＝π，＝1，α＋βπ参考题干中解法，则＋＝＋＝·(α＋β)＝1A 9B ＋C 1α9β(1α＋9β)1π1π≥(10＋6)＝，当且仅当＝，即3α＝β时等号成(10＋βα＋9αβ)1π16πβα9αβ立．故选A.二、填空题11．(2017·北京高考)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i ＝1,2,3.(1)记Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是________．(2)记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是________．答案 (1)Q 1 (2)p 2解析 设A 1(xA 1，yA 1)，B 1(xB 1，yB 1)，线段A 1B 1的中点为E 1(x 1，y 1)，则Q 1＝yA 1＋yB 1＝2y 1.因此，要比较Q 1，Q 2，Q 3的大小，只需比较线段A 1B 1，A 2B 2，A 3B 3中点纵坐标的大小，作图比较知Q 1最大．又p 1＝＝＝＝，其几何意义为线段A 1B 1的yA 1＋yB 1xA 1＋xB 12y 12x 1y 1x 1y 1－0x 1－0中点E 1与坐标原点连线的斜率，因此，要比较p 1，p 2，p 3的大小，只需比较线段A 1B 1，A 2B 2，A 3B 3中点与坐标原点连线的斜率，作图比较知p 2最大．12．(2018·湖北八校联考)二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝πr 3.应用合情推理，若四维空间中，43“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则其四维测度W ＝________.答案 2πr 4解析 在二维空间中，圆的二维测度(面积)S ＝πr 2，则其导数S ′＝2πr, 即为圆的一维测度(周长)l ＝2πr ；在三维空间中，球的三维测度(体积)V ＝πr 3，则其导数V ′＝4πr 2，即为球的二维测度(表43面积)S ＝4πr 2；应用合情推理，在四维空间中，“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则其四维测度W ＝2πr 4.13．(2017·江西赣州十四县联考)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一．并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金，第2关收税金为剩余的，第3关收税金为剩余的，第4关121314收税金为剩余的，第5关收税金为剩余的，5关所收税金之和，1516恰好重1斤，问原本持金多少？”若将“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为x ，按此规律通过第8关”，则第8关所收税金为________x .答案 172解析 第1关收税金：x ；12第2关收税金：x ＝＝；13(1－12)x 6x 2×3第3关收税金：x ＝＝；14(1－12－16)x 12x 3×4第8关收税金：＝.x 8×9x 7214．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }．可以推测：(1)b 2016是数列{a n }中的第________项；(2)b 2k －1＝________(用k 表示)．答案 (1)5040 (2)5k (5k －1)2解析 观察知这些三角形数满足a n ＝，n ∈N *，当n (n ＋1)2n ＝5k －1或n ＝5k ，k ∈N *时，对应的三角形数是5的倍数，为数列{b n }中的项，将5k －1和5k 列为一组，所以b 2016是第1008组的后面一项，即b 2016是数列{a n }中的第5×1008＝5040项；b 2k －1是第k 组的前面一项，是数列{a n }中的第5k －1项，即b 2k －1＝a 5k －1＝.5k (5k －1)2三、解答题15．(2017·未央区校级期中)阅读以下求1＋2＋3＋…＋n 的值的过程：因为(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1，n 2－(n －1)2＝2(n －1)＋122－12＝2×1＋1以上各式相加得(n ＋1)2－1＝2×(1＋2＋3＋…＋n )＋n所以1＋2＋3＋…＋n ＝＝.n 2＋2n －n 2n (n ＋1)2类比上述过程，求12＋22＋32＋…＋n 2的值．解 ∵23－13＝3·22－3·2＋1，33－23＝3·32－3·3＋1，…，n 3－(n －1)3＝3n 2－3n ＋1，把这n －1个等式相加得n 3－1＝3·(22＋32＋…＋n 2)－3·(2＋3＋…＋n )＋(n －1)，由此得n 3－1＝3·(12＋22＋32＋…＋n 2)－3·(1＋2＋3＋…＋n )＋(n －1)，即12＋22＋…＋n 2＝.13[n 3－1＋32n (n ＋1)－(n －1)]16．(2018·南阳模拟)我们知道，等差数列和等比数列有许多性质可以类比，现在给出一个命题：若数列{a n }、{b n }是两个等差数列，它们的前n 项的和分别是S n ，T n ，则＝.an bn S 2n －1T 2n －1(1)请你证明上述命题；(2)请你就数列{a n }、{b n }是两个各项均为正的等比数列，类比上述结论，提出正确的猜想，并加以证明．解 (1)证明：在等差数列{a n }中，a n ＝(n ∈N *)，那a 1＋a 2n －12么对于等差数列{a n }、{b n }有：＝＝＝.an bn 12(a 1＋a 2n －1)12(b 1＋b 2n －1)12(a 1＋a 2n －1)(2n －1)12(b 1＋b 2n －1)(2n －1)S 2n －1T 2n －1(2)猜想：数列{a n }、{b n }是两个各项均为正的等比数列，它们的前n项的积分别是X n，Y n，则2n－1＝.(anbn)X2n－1Y2n－1证明：在等比数列{a n}中，a＝a1a2n－1＝a2a2n－2＝…(n∈N*)，2n(a n)2n－1＝a1a2a3…a2n－1(n∈N*)，那么对于等比数列{a n}、{b n}有2n－1＝＝.(anbn)a1a2a3…a2n－1b1b2b3…b2n－1X2n－1Y2n－1。
2019高考数学文一轮分层演练：第11章复数、算法、推理与证明章末总结 Word版含解析
章末总结B，2D，14,T8,5分)执行如图的程序框图1,则输出的S＝()B，3D，512分)如图,四面体是直角三角形,AB＝BD，若E求四面体ABCE与四面体ACDE 一，选择题1，(选修1-2 P 61A 组T 5(4)改编)i 为虚数单位,则5i （2＋i ）等于( )A ，－2－iB ，－2＋iC ，－1＋2iD ，－1－2i解析:选D ，5i （2＋i ）＝5－1＋2i ＝5（－1－2i ）5＝－1－2i ，2，(选修1-2 P 33内文改编)有一个游戏:将标有数字1，2，3，4的四张卡片分别随机发给甲，乙，丙，丁4个人,每人一张,并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测:甲说:乙或丙拿到标有3的卡片； 乙说:甲或丙拿到标有2的卡片； 丙说:标有1的卡片在甲手中； 丁说:甲拿到标有3的卡片，结果显示甲，乙，丙，丁4个人的预测都不正确,那么甲，乙，丙，丁4个人拿到卡片上的数字依次为( )A ，3，4，2，1B ，4，2，1，3C ，2，3，1，4D ，1，3，2，4 解析:选B ，由甲，丁的预测不正确可得丁拿到标有3的卡片,由乙的预测不正确可得乙拿到标有2的卡片,由丙的预测不正确可知甲拿到标有4的卡片,故丙拿到标有1的卡片,即甲，乙，丙，丁4个人拿到卡片上的数字依次为4，2，1，3，3，(选修1-2 P 30练习T 2改编)如图所示的数阵中,用A (m ,n )表示第m 行的第n 个数,则依此规律A (15,2)为( )13 16 16 110 13 110 115 1330 1330 115 121 12 1315 12 121…A ，2942B ，710C ，1724D ，73102解析:选C ，由数阵知A (3,2)＝16＋16＝16＋23×4,A (4,2)＝16＋16＋110＝16＋23×4＋24×5,A (5,2)＝16＋16＋110＋115＝16＋23×4＋24×5＋25×6,…,则A (15,2)＝16＋23×4＋24×5＋25×6＋…＋215×16＝16＋2⎝⎛⎭⎫13－14＋14－15＋…＋115－116＝16＋2⎝⎛⎭⎫13－116 ＝16＋2×1348＝1724,选项C 正确， 4，(必修3 P 34－35案例1改编)如图所示的程序框图的算法思想源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”,执行该程序框图(图中“m MOD n ”表示m 除以n 的余数),若输入的m ,n 分别为495,135,则输出的m ＝( )A ，0B ，5C ，45D ，90解析:选C ，该程序框图是求495与135的最大公约数,由495＝135×3＋90,135＝90×1＋45,90＝45×2,所以495与135的最大公约数是45,所以输出的m ＝45,故选C ，二，填空题5，(选修1-2 P 61A 组T 3改编)ABCD 是复平面内的平行四边形,A ，B ，C 三点对应的复数分别为1＋2i,－i,2＋i,O 为复平面原点,则|OD |＝________，解析:设D 点对应的复数为x ＋y i(x ,y ∈R ), 因为ABCD 是平行四边形,所以AB →＝DC →,即－i －(1＋2i)＝(2＋i)－(x ＋y i), 即－1－3i ＝(2－x )＋(1－y )i ,所以⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝－11－y ＝－3,解得x ＝3,y ＝4，所以D 点对应的复数为3＋4i ， 所以|OD |＝|3＋4i|＝5, 答案:56，(选修1-2 P 44B 组T 1改编)已知sin α－cos αsin α＋2cos α＝－1,则tan 2α＝________，解析:由sin α－cos αsin α＋2cos α＝－1,可得2sin α＝－cos α,所以tan α＝－12,所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－121－⎝⎛⎭⎫－122＝－43， 答案:－43三，解答题7，(选修1-2 P 35B 组T 1改编)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1＝－23,且S n ＋1S n＋2＝a n (n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3,并猜想S n ，解:n ＝1时,S 1＝a 1＝－23，n ＝2时,S 2＋1S 2＋2＝a 2＝S 2－S 1＝S 2＋23,所以S 2＝－34，n ＝3时,S 3＋1S 3＋2＝a 3＝S 3－S 2＝S 3＋34,所以S 3＝－45,所以猜想S n ＝－n ＋1n ＋2，8，(必修2 P45探究，P52B组T1(1)改编)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示:(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论；(3)证明:直线DF⊥平面BEG，解:(1)点F,G,H的位置如图所示，(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下:因为ABCD-EFGH为正方体,所以BC∥FG,BC＝FG,又FG∥EH,FG＝EH,所以BC∥EH,BC＝EH,所以BCHE为平行四边形，所以BE∥CH，又CH⊂平面ACH,BE⊄平面ACH,所以BE∥平面ACH，同理BG∥平面ACH，又BE∩BG＝B,所以平面BEG∥平面ACH，(3)证明:连接FH，因为ABCD-EFGH为正方体,所以DH⊥平面EFGH,因为EG⊂平面EFGH,所以DH⊥EG，又EG⊥FH,DH∩FH＝H,所以EG⊥平面BFHD，又DF⊂平面BFHD,所以DF⊥EG，同理DF⊥BG，又EG∩BG＝G,所以DF⊥平面BEG，。
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一、选择题
1．(2015·湖南高考)执行如图所示的程序框图，如果输入n＝3，则输出的S＝
( )
A.67 B.37 C.89 D.49
答案 B
解析 当输入n＝3时，输出S＝11×3＋13×5＋15×7＝121－13＋13－15＋15－17＝
3
7
.故选B.
2．(2015·全国卷Ⅱ)如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著
《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，
则输出的a＝( )
A．0 B．2 C．4 D．14
答案 B
解析 开始：a＝14，b＝18，第一次循环：a＝14，b＝4；第二次循环：a＝
10，b＝4；第三次循环：a＝6，b＝4；第四次循环：a＝2，b＝4；第五次循环：a
＝2，b＝2.此时，a＝b，退出循环，输出a＝2.故选B.
3．(2018·江西赣州十四县联考)如图所示的程序框图，若输入x，k，b，p的
值分别为1，－2,9,3，则输出的x值为( )