正弦函数的图像与性质教案

《正弦函数的图像与性质》
教学目标：
1、理解正弦函数的周期性；

2、掌握用“五点法”作正弦函数的简图；
3、掌握利用正弦函数的图像观察其性质；
4、掌握求简单正弦函数的定义域、值域和单调区间；
教学重点
：1、用“五点法”画正弦函数在一个周期上的图像；

2、利用函数图像观察正弦函数的性质；
3、给学生逐渐渗透“数形结合”的思想
教学难点
：正弦函数性质的理解和应用

教学过程：
Ⅰ 知识回顾
终边相同角的诱导公式：
)(sin)2sin(kk

所以正弦函数是周期函数，即,6-,4-,2-,6,4,2及都是它的周期，
其中2是它的最小正周期，也直接叫周期，故正弦函数的周期为2
Ⅱ 新知识
1、用描点法作出正弦函数在最小正周期上的图象
xysin
，




2,0x

（1）、列表

x
0

6 3 2



3
2


65  67 34 23 3
5


6
11


2

y
0 21 23 1 23 21 0 -21 -23 -1 -23 -21 0
（2）、描点
（3）、连线
因为终边相同的角的三角函数值相同,所以xysin的图像在…，


4,2,2,0,0,2,2,4

，…与xysin，2,0x的图像相

同
2、正弦函数的奇偶性
由诱导公式xxsin)sin(，Rx得：
①定义域关于原点对称 ②满足)()(xfxf
所以，正弦函数为奇函数（观察上图，图像关于原点对称）
3、正弦函数单调性 、值域
由图像观察可得：
正弦函数在kk22,22是增函数，在kk223,22是减函数
得到最大值为1，最小值为-1，所以值域为1,1

Ⅲ 知识巩固
例1 作下列函数的简图
（1）xysin，2,0x （2）xysin1，


2,0x

解：（1）①列表

x
0

2




2

3



2

y
0 1 0 -1 0
②描点
③连线
（2）①列表

x
0

2




2

3



2

xsin
0 1 0 -1 0

y
1 2 1 0 1

②描点
③连线

例2 求下列函数的单调区间
（1）
)sin(xy
（2）)4sin(xy

解：（1）因
xxysin)sin(
所以函数在kk22,22是减函数，在kk223,22是增函数
（2）由题知：kxk22422kxk24324


kxk223422kxk247243

所以函数在kk243,24是增函数，在kk247,243是减函数
求函数)4sin(xy的单调性
解：由题知：


kxk22422kxk24243



kxk223422kxk24524

所以函数在kk24,243是增函数，在kk245,24是减函数

Ⅳ
小结

用“五点法”作正弦函数的图像，利用正弦函数的简图可以观察到正弦函数的一些基本性质，如奇
偶性、单调性、周期性等
正弦函数的图象与性质（二）
目标：
1、理解振幅的定义；理解振幅变换和周期变换的规律;

2、会用“五点法”画y＝Asin(ωx＋)的图象；会用图象变换的方法画y＝Asin(ωx＋)的图象；

重点：掌握函数y＝Asin(ωx＋)图象的作法和性质
一、基础梳理：
1、形如sin()yAx的函数，通常叫做正弦型函数，其周期T=__________，频率f=_________，

初相为________，值域为________，_________也称为振幅，振幅反映了sin()yAx的波动幅度
的大小。
2、正弦型函数图象的变换方式
（1）振幅变换：当A发生变化时称为振幅变换，它改变的是图象上各点的____________.
（2）周期变换：当发生变化时称为周期变换，它改变的是图象上各点的____________.

（3）相位变换：当发生变化时称为相位变换，它改变的是这个图象左右的位置。
（4）上下平移变换：对于函数y=sinx+b的图象，可以看做是把y=sinx的图象上所有的点_____(当b>0
时)或_______(当b<0时)平行移动b个单位而得到，y=sinx+b的值域是_______________.

3、正弦型函数sin()yAx的性质：定义域__________，值域___________，周期_______,单调
增区间由_________x_________求得，单调减区间由_________x_________求得。
练习：
1、函数y=sin(x-2)的最小正周期是（ ）
（A）2 （B） （C）2 （D）3

2、将函数12sin2yx的图象上所有点的横坐标和纵坐标都缩短到原来的一半，得到新的函数图象，
那么这个新函数的解析式是（ ）
（A）1sin4yx（B）4sinyx（C）sinyx（D）12sin2yx

3、sin()yAx（A>0, >0）的最大值是3，最小正周期是27，初相是6，则这个函数的解
析式为________________________.
三、典例剖析：

例1画出函数y=2sinx xR；y=21sinx xR的图象

例2 画出函数y=sin2x xR；y=sin21x xR的图象
例3 画出函数y＝sin(x＋3)，x∈R；y＝sin(x－4)，x∈R的简图
例4 画出函数y＝3sin(2x＋3)，x∈R的简图
练习
1．如图b是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋2的图象的一部分，
它的振幅、周期、初相各是( )

A3，34，－6 B1，34，－43

C 1， 32，－43D 1，34，－6
2．如图c是函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象的一段，它的解析
式为( )

A)32sin(32xy B)42sin(32xy

C)3sin(32xy D)322sin(32xy

图c
图e
3．如图e，是f（x）＝Asin（ωx＋φ），A＞0，｜φ｜＜2的
一段图象，则f（x）的表达式为
4．如图f所示的曲线是y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象的一部分，求这个函数的解析式

当x＝
3

5

5．函数y＝Asin（ωx＋φ）＋ｋ（A＞0，ω＞0）在同一周期内，

时，y有最大值为37，当x＝311时，y有最小值
－32，求此函数的解析式
1．如图b是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋2的图象的一部分，
它的振幅、周期、初相各是( )

A3，34，－6 B1，34，－43

C 1， 32，－43D 1，34，－6
2．如图c是函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象的一段，它的解析
式为( )

A)32sin(32xy B)42sin(32xy

C)3sin(32xy D)322sin(32xy
3．如图e，是f（x）＝Asin（ωx＋φ），A＞0，｜φ｜＜2的
一段图象，则f（x）的表达式为
4．如图f所示的曲线是y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图
象的一部分，求这个函数的解析式
5．函数y＝Asin（ωx＋φ）＋ｋ（A＞0，ω＞0）在同一周期内，

当x＝35时，y有最大值为37，当x＝311时，y有最小值

－32，求此函数的解析式

图f
图c
图e
图f