电路品质因数的计算

第 32 卷 第 4 期 2010 年 8 月
电气电子教学学报
JOU R NA L OF EEE
V ol. 32 N o. 4 Au g. 2010
电路品质因数的计算
田社平, 陈洪亮, 张 峰
( 上海交通大学 电子信息学院, 上海 200240)
摘 要 : 在电路课程 教学中 , 电路 的品质因数 Q 是一个十分重要 的概念 , 它有 助于对电路特性 的描述。本文 对品质因数的定 义、 各种定 义间
[ 11] [ 8]
滤波电路。定义中的
和 Q 一般与滤波器传递函
数的极点相对应, 因此它们也分别称为极点频率和 极点品质因数。 3) 对 RLC 串联电路给出品质因数的定义 对 RLC 串联电路 , 一般采用如下定义式 : 0L 1 Q= = ( 3) 0 CR R 其中, R 、 L、 C 分别为 RL C 串联电路的电阻、 电感和 电容; 0 = 1/ LC 为电路的谐振频率。 4) 对 GCL 并联电路给出品质因数的定义 对 GCL 并联电路 , 可采用如下定义式[ 1 5] : Q=
Calculation of Circuit Quality Factor
TIAN She ping, CHEN Hong l iang, ZHANG Feng
( Sc hool of El ect ri cal and E l ect ronic Eng . , S hang hai Ji ao T ong Uni v . , S hang hai 200240, China)
定义品质因数这一概念的目的在于描述电路的 储能特性和频率选择特性 [ 8] 。式 ( 1) 给出的定义侧 重于描述电路的储能特性 , 而式( 2) 给出的定义侧重 于描述电路的频率选择性。由这两种定义计算得到 的品质因数有时并不完全相同。 以例 1 所讨论的电路为例 , 假设电路的激励为 电流 , 电路的响应为电容两端的电压( 也即电路端口 电压 ) , 则电路的网络函数 ( 驱动点阻抗 ) 为 ( R + sL ) / sC ( R + sL ) / LC Zin = = 2 R + sL + 1 / sC s + sR / L + 1/ LC = 1/
上述品质因数定义的表达式尽管不同 , 但它们
之间具有 一定的联系。例如 , 图 1 为 RL C 串联电 路 , 在谐振频率 磁能总和为
[ 1 5] 2 0
= 1/
LC 处 , 电路储存的电能和 ( 5)
图2 实际电感器
W = W C + W L = LI
Q = 2 ( 电感器一个周期内储存的最大能量) 电感器一个周期内消耗的能量 = 2 LI2 L = I 2 RT R ( 12)
收稿日期 : 2009 12 02; 修回日期 : 2010 05 08
[ 1 8]
品质因数的定义。 1) 从电路能量角度给出品质因数的定义 对一个电路 , 可从能量角度给出定义式[ 9, 10] : 2 ( 电路一个周期内储存的最大能量 ) 电路一个周期内消耗的能量 上述定义描述了电路的储能效率。显然 , 电路 Q= 的储能效率越高 , Q 值越大。 2) 从电路的频率选择性给出品质因数的定义 对滤波电路可采用如下定义式 Q = 0 / BW 其中 ,
7
上述定义描述电路的频率选择性。显然 , 品质因数 Q 值越大, 电路的频率选择性越好, 这是因为对给定 的
0
, Q 值越大, 带宽 B W 越窄。式 ( 2) 主要适合于
0
带通电路 , 以电阻电压为响应 , 则 s 域转移电压比为 U R ( s) (R/ L)s H R ( s) = = 2 ( 8) U( s) s + ( R/ L ) s + 1/ ( LC ) 式( 8 ) 可表示成二阶带通滤波器的标准形式 a1 s H ( s) = 2 ( 9) 2 s + ( 0 / Q) s + 0 可知 中 心 频 率 和 品 质 因 数 分 别 为 0 = 1/ LC , Q = 0 L / R 。 这里中心频率与谐振频率一致 , 品质因数的表达式与式 ( 7) 一致。 由式 ( 9) 可知 , 0 和 Q 决定了滤波器传递函数的极点, 因此它们也称 为极点频率和极点品质因数
0 [ 6, 7]
: ( 2)
为滤波电路的中心频率, B W 为 3dB 带宽。
第一作者 : 田社平 ( 1967 ) , 男 , 博士 , 副教授 , 主要从事电路理论和动态检测技术等的教学和科研工作 , E mail : spt ian @ sit u. edu. cn
第4期
田社平 , 陈洪亮等 : 电路品质因数的计算
的相互关系 以及品质因数 的计算方法等进 行了讨论 , 并 对品质因数的教 学给出 了教学 建议。 本文的 讨论对 电路课 程的教 学具 有一定 的参 考价值。 关键词 : 电路理论 ; 品质因数; 谐振频率 ; 滤波器 中图分类号 : TM 13 文献标识码 : A 文章编号 : 1008 0686( 2010) 04 0006 04
从而得到电路( 极点 ) 品质因数为 C1 / R2 Rf C1
Q= = 1/ [
0
0C = G R2 + (
1 L G 2 0L ) R 2 0L R2 + (
0
4
0
品质因数定义的一致性
L)2
] =
0L R
( 15)
可见, 图 3( a) 电路的品质因数与电感器的品质因数 相同。 本例也可采用品质因数的第一种定义来计算, 但计算过程要复杂得多。这里采用数值计算方法来 验证第一种定义计算结果的正确性。取图 3( a) 电 路中的参数为 R = 1 , L = 10mH , C = 100!F, 求得 0 = 994. 99rad/ s。取 U = 10 ! 0 ∀V , 电路在谐振状 态下储存的电磁能量变化如图 4 所示 , 所储存的最 大能量为 W max = 0. 01J。 电路中电阻在一个周期内 消耗的能量经计算为 W R = 6 . 315 # 10 3 J, 因此电路 的品质因数为 Q = 2 W m ax / W R = 9 . 951 。 如果采用 式( 15) 算得的品质因数为 Q = 9. 950。 两者十分吻 合 , 其中的微小误差由数值计算误差引起。 [ 例 2 ] 图 5 为无限增益多路反馈二阶低通滤波 电路[ 12] , 试求该电路的品质因数。 解 : 对上述电路进行分析, 可求得电压转移比为 H u ( s) = U o ( s) / U i ( s) = R f / R1 R 2 R f C 1 C 2 s 2 + R 2 R f ( 1/ R 1 + 1/ R 2 + 1 / R f ) C 2 s + 1 ( 16)
式中 , T 为周期。 由式 ( 12) 可见 , 实际电感器的损耗
图1 RL C 串联电路
0
一个周期 T 0 = 2 / 电阻消耗的能量为 W R = RI T 0
2
内电路消耗的能量, 也即 ( 6)
电阻 R 越小 , 其品 质因数 越高。 如果损 耗电阻 为 零, 则电感器为理想电感元件 , 品质因数为无穷大。 值得注意的是, 电路器件的品质因数与该器件工作 频率有关 , 而电路品质因数中出现的频率一般指电 路的谐振频率( 谐振电路 ) 或中心频率( 滤波电路) 。
0
图5
无限增益多路反馈二阶低通滤波电 路
将该式表示为二阶低通滤波器的标准形式[ 8] : H ( s) = s2 + (
0
a0 / Q) s +
2 0 0
( 17) = 1/ R 2 R f C1 C2 , ( 18)
得到中心频率 ( 极点频率) 为 Q = ( R1 ∃ R2 ∃ Rf )
( 14)
( a)
原电路
( b)
等效电路
图4
电路在谐振状态下储存的电磁能量变化
图 3 实 际电感器与电容器并联的电路模型
解 : 图 3( a) 电路的端口等效导纳为 1 + j C= R+ j L L R ( 13) 2 2] 2 2 + j[ C R + ( L) R + ( L) 由式可知, 图 3 ( a ) 电路可等效为图 3 ( b ) 电路, 其中 R R2 + ( L ) 2 G= 2 2, L = 2 R + ( L) L Y in = 由图 3( b ) 电路 , 或令式( 13) 的虚部为零 , 可知 谐振频率满足 = 1/ LC - R 2 / L 2 而由式 ( 4) 可得品质因数为
Abstract: T he qualit y facto r is an im po rtant concept in t eaching of circuit co urse. It is helpful t o describe t he pr opert ies o f circuit s w it h qualit y f act or. T his paper has discussed t he diff er ent definitio ns of qualit y f act or, t he rel at ionships amo ng t hese def init io ns and the calculat ion of quality fact or s of cir cuits. Sug ges t ions f or t he teaching o f qualit y facto r are g iven. T he discussion is helpf ul fo r t he t eaching of cir cuit . Keywords: circuit t heo ry; qualit y f act or; resonant frequency; filt er