最全的转动惯量的计算ppt课件
合集下载
转动惯量理论力学
角用α，β，γ表示 （如图14）。
z
刚体对轴OL的转动惯量
式中
J mrL2
rL2 (OA)2 (OB)2
其中OB是矢 r =OA 在轴OL上的投影。 由矢量投影定理得
OB x cos y cos z cos
因 ( OA )2 x2 y2 z2 ，故
L α B rL A
O
β
y
J x mrx2 m( y2 z2 )
J y mry2 m(z2 x2) J z mrz2 m(x2 y2)
rz
A
O
z
x
rz
y
x
y
图2
转动惯量
§1 转动惯量的概念
4.极转动惯量
对于平面薄板，使平板表面重合于坐标平面Oxy（如图3），
如果薄板内各点的坐标 z 可以忽略，则式简写成
O
z
rz
y
x
x y
图1
在国际单位制中，转动惯量的常用单位是kg·m2 。
转动惯量
§1 转动惯量的概念
2.回转半径
刚体对于某轴z的转动惯量与其质量m之比值的平方根为一 个当量长度，称为刚体对于该轴的回转半径。因此，有关系式
z
Jz , m
J z mz2
可见，如果假想地把刚体的全部质量集中于一点，而不改变 这刚体对于该轴的转动惯量，则这个点到该轴的距离应等于回转 半径。
解：取任一半径为ζ，宽为dζ的圆环，其质量是
dm
m πr2
2πd
2m r2
d
对轴z的转动惯量元素是
dJ z
(dm)
2
2m r2
3d
于是，求得圆盘对轴z转动惯量
y
r
z
刚体对轴OL的转动惯量
式中
J mrL2
rL2 (OA)2 (OB)2
其中OB是矢 r =OA 在轴OL上的投影。 由矢量投影定理得
OB x cos y cos z cos
因 ( OA )2 x2 y2 z2 ，故
L α B rL A
O
β
y
J x mrx2 m( y2 z2 )
J y mry2 m(z2 x2) J z mrz2 m(x2 y2)
rz
A
O
z
x
rz
y
x
y
图2
转动惯量
§1 转动惯量的概念
4.极转动惯量
对于平面薄板，使平板表面重合于坐标平面Oxy（如图3），
如果薄板内各点的坐标 z 可以忽略，则式简写成
O
z
rz
y
x
x y
图1
在国际单位制中，转动惯量的常用单位是kg·m2 。
转动惯量
§1 转动惯量的概念
2.回转半径
刚体对于某轴z的转动惯量与其质量m之比值的平方根为一 个当量长度，称为刚体对于该轴的回转半径。因此，有关系式
z
Jz , m
J z mz2
可见，如果假想地把刚体的全部质量集中于一点，而不改变 这刚体对于该轴的转动惯量，则这个点到该轴的距离应等于回转 半径。
解：取任一半径为ζ，宽为dζ的圆环，其质量是
dm
m πr2
2πd
2m r2
d
对轴z的转动惯量元素是
dJ z
(dm)
2
2m r2
3d
于是，求得圆盘对轴z转动惯量
y
r
力矩转动定律转动惯量解析课件
02
CATALOGUE
转动惯量基础概念
转动惯量的定义
转动惯量
描述刚体绕固定轴转动的惯性大 小的物理量。
定义公式
I = Σ(m * r^2)，其中m为刚体的 质量，r为刚体上任意质点到转动 轴的距离。
转动惯量的性质
转动惯量只与刚体的质量分布 和转动轴的位置有关，与刚体 的运动状态无关。
对于同一刚体，不同的转动轴 位置，其转动惯量可能不同。
力矩转动定律转动 惯量解析课件
contents
目录
• 力矩转动定律概述 • 转动惯量基础概念 • 力矩与转动惯量的关系 • 转动惯量的计算方法 • 转动惯量的应用实例
01
CATALOGUE
力矩转动定律概述
力矩的定义
力矩是描述力的转动效果的物理量，其大小等于力和力臂的乘积。
力矩是一个向量，其大小等于力和力臂的乘积。力臂是从转动轴到力的垂直距离 。在二维平面中，力矩可以表示为M=F×r，其中F是力，r是力臂。
CATALOGUE
转动惯量的应用实例
飞轮的设计与优化
飞轮的设计
飞轮是利用转动惯量储存能量的重要 装置，其设计需要考虑转动惯量的大 小、质量分布、转速等因素。
飞轮的优化
为了提高飞轮的储能效率和稳定性， 需要对飞轮进行优化设计，如采用轻 质高强度的材料、优化飞轮的形状和 尺寸等。
陀螺仪的设计与优化
陀螺仪的设计
陀螺仪是利用角动量守恒原理工作的惯性导 航和姿态测量器件，其设计需要考虑转动轴 的稳定性、转动惯量的大小和分布等因素。
陀螺仪的优化
为了提高陀螺仪的测量精度和稳定性，需要 对陀螺仪进行优化设计，如采用高性能的轴 承材料、减小摩擦力矩等。
电机转子的设计与优化
最全的转动惯量的计算 ppt课件
aCX C
mg
N
NY
求N，N就Y得求maCg
maCY
，即C点的
NX
C 加速度，现在C点作圆周运动， mg 可分为切向加速度和法向加速
度但对一点来说，只有一个加
速度。故这时：
aCX ….实际上正是质心的转动的切向加速度 aCY ….实际上正是质心ppt课的件 转动的法向加速度23
N
XO N
aCX
YZ
当 l > R 2时，f < 0，静摩擦力向前。
ppt课件
16
例一静止刚体受到一等于M0（N.m)的不变力矩的 作用,同时又引起一阻力矩M1， M1与刚体转动的 角速度成正比,即| M1 |= a(Nm),(a为常数)。又
已知刚体对转轴的转动惯量为J,试求刚体角速度
变化的规律。
已知：M0 J M1= –a |t=0=
N YZ
L
已知：m，L
XO
求：，，N 解：1）以杆为研究对
象
mg
受力：mg，N（不产生 对轴的力矩）
建立OXYZ坐标系
ppt课件
19
建立OXYZ坐标系（并以Z轴为转动量的正方向）
N
Y
M
Z
L
XO
r
M mg L sin
r故取JF正值沿。13Z轴m正2L2向，(1)
mg 0则 0
/ 2则 3g / 2L
N
YZ
XO
r
d /2 3g cosd
0
0 2L
1 2
2
3g 2L
sin
0
/
2
3g 2L
mg
3g L
3）求N=？ 轴对杆的力，不影响到杆的转动，但影响质 心的运动，故考虑用p质pt课件心运动定理来解。 22
最全的转动惯量的计算
v R
4m gh 2m M R
例题3 一质量为m、半径为R的均质圆柱，在水 平外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力 的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为l，如图所 示。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。 解：设静摩擦力f的方向如 图所示，则由质心运动方程
l ac
F
圆柱对质心的转动定律：
F f maC
f
F l f R JC
纯滚动条件为： aC R
1 2 圆柱对质心的转动惯量为： J C mR 2
联立以上四式，解得：
2F (R l ) aC 3mR
由此可见
R 2l f F 3R
当 l < R 2时， > 0，静摩擦力向后； f
当 l > R 2时， < 0，静摩擦力向前。 f
例一静止刚体受到一等于M0（N.m)的不变力矩的 作用,同时又引起一阻力矩M1， M1与刚体转动的 角速度成正比,即| M1 |= a(Nm),(a为常数)。又 已知刚体对转轴的转动惯量为J,试求刚体角速度 变化的规律。 已知：M0 J M1= –a |t=0= 0 求：（t）=？ 解： 1）以刚体为研究对象； M+ 2）分析受力矩 M0 J M 1 3）建立轴的正方向； 4）列方程：
2）=？
Y Z
2）=？
N YZ
0
XO
r
mg
3g d cosd 0 2L 1 2 3g / 2 3g sin 0 2 2L 2L
/2
3g L
3）求N=？ 轴对杆的力，不影响到杆的转动，但影响质 心的运动，故考虑用质心运动定理来解。
§5转动惯量
I
J y I yy y I yx x I yzz
J z Izzz Izx x Izy y
四、惯量椭球
O为刚体定点转动的定点， 在转轴上截取OQ,满足
OQ 1 R 即 R2I 1 I
z
Qx, y, z
O
y
x
R2 I xx 2 I yy 2 I zz 2 2I xy 2I xz 2I yz 1
i
i
对y轴的轴转动惯量 I yy mi xi2 zi2 , i
对z轴的轴转动惯量 Izz mi xi2 yi2 , i
I xz Izx mi xi zi i I yz Izy mi yi zi i
I 2dm
I xx ( y2 z2 )dm I yy ( x2 z2 )dm Izz ( x2 y2 )dm
I yy y I yx x I yz z ˆj I zz z Izxx Izy y kˆ
将W、J代入
T
1
J
2
T 1 2
I
xx
2 x
I
yy
2 y
I
2
zz z
2I xyx y
2I xzxz
2I yz yz
Q点坐标
x R, y R , z R
Q点构成椭球: 惯量椭球
I xx x 2 I yy y2 I zz z 2 2I xy xy 2I xz xz 2I yz yz 1
1.如果定点O正好是刚体的质心或重心，则此椭球称中心惯 量椭球。
最全的转动惯量的计算
F f maC
f
F l f R JC
纯滚动条件为： aC R
1 2 圆柱对质心的转动惯量为： J C mR 2
联立以上四式，解得：
2F (R l ) aC 3mR
由此可见
R 2l f F 3R
当 l < R 2时， f > 0，静摩擦力向后；
当 l > R 2时， f < 0，静摩擦力向前。
（2）当转轴通过棒的一端A并与棒垂直时
A
x
O
l
dx
1 2 J 0 r dm x dx ml 0 3
2 l 2
例题2）半径为R的质量均匀分布的细圆环，质 量均为m，试分别求出对通过质心并与环面垂 直的转轴的转动惯量。
dl
R
例题3 求质量为m、半径为R、厚为h的均质圆盘 对通过盘心并与盘面垂直的轴的转动惯量。
v R
4m gh 2m M R
例题3 一质量为m、半径为R的均质圆柱，在水 平外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力 的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为l，如图所 示。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。 解：设静摩擦力 f 的方向如 图所示，则由质心运动方程
l ac
F
圆柱对质心的转动定律：
解：如图所示，将圆盘看成许多薄圆环组成。取 任一半径为r，宽度为dr的薄圆环，此薄圆环的转 动惯量为
dJ r dm
2
dm为薄圆环的质量。以 表示圆盘的质量体密度
dm dV 2rhdr
dJ 2r hdr
3
代入得
1 4 J dJ 2r hdr R h 0 2 m 2 R h
转动惯量课件 PPT
i
a (b c) b(a c) c(a b)
mi[ωri2 ri (ω ri )]
i
ri xiex yiey ziez
(1)
静止系或活
(2)
动系都可以
ω xex yey zez
(3)
(2)(3)代入(1)可得 J J xex J yey J zez
3、5、1 刚体得动量矩
做定点转动的刚体
则点集{Q1,Q2,…,Qn,…}在空间密布成一个椭球 面,此椭球称为此刚体得惯量椭球。
3、5、4 惯量张量与惯量椭球
惯量椭球得概念
求证：定点转动刚体上满足 OQ 1 所有点Q
构成一个椭球面。
I
证明: 在刚体上建立活动系O-xyz, 并设瞬轴l的方
向余弦为 , , 。
令 OQ 1 R
y
ω l 解:如图建立主轴坐
标系。
b
O
a
薄板对对角线l的转 x 动惯量，在主轴坐标
系下的计算式为
Il I1 2 I2 2 I3 2 (1)
其中I1,I2,I3分别是薄板对三个坐标轴的转动惯量， 是对角,线, l的三个方向余弦。
3、5 转动惯量
例题
对角线l得三个方向余弦分别为
y
ωl
cos a
(
I
xx
2 x
I
yy
2 y
I
zz
2 z
2I xyx y
2I yz yz
2I zxzx )
3、5、3 转动惯量得概念
由转动动能引入转动惯量
T 1
2
i
mivi vi
1 2
i
mi (ω ri ) (ω ri )
ez ω
转动惯量PPT课件
匀质球体组成的刚体，
m2 R
对Z轴的转动惯量为
Jz J杆 J球
1 3
m1l
2
2 5
m2 R 2
m2
lR
2
21
圆环： 转轴通过中心与环面垂直
薄圆盘： 转轴通过中心与盘面垂直
圆柱体： 转轴沿几何轴
细棒： 转轴通过中心与棒垂直
球体： 转轴沿直径
转轴沿直径
圆筒： 转轴沿几何轴
圆柱体： 转轴通过中心与几何轴垂直
r 2dr
整个圆盘产生的摩擦力矩为
m
M阻 dM阻
ro R
2mg R r2dr
R2 0
dr
2 mgR
3
39
根据转动定律：
M J J d
dt
其中M 为常量，将上式分离变量并积分，则
t
0
M dt J d
0
0
t
J0
1 2
平
刚体运动
动
转 动
A
c
A
c
（质点A既随质心平动又绕质心转动）
刚体运动微分方程式
质心运动定理 刚体质心运动（平动）
角动量定理 刚体的取向与方位（转动）
刚体运动积分方程式
动能定理 刚体的平动和转动 5
作用于刚体上的力
力的 两种效果
使质心平动 绕质心转动
施于刚体的力不是自由矢量
B
A
F
B
F
A
力的作用线过质心 （平动）
即
Lz J
r mi v
2、转动定理 由于刚体的转动惯量为常量，所以有
m2 R
对Z轴的转动惯量为
Jz J杆 J球
1 3
m1l
2
2 5
m2 R 2
m2
lR
2
21
圆环： 转轴通过中心与环面垂直
薄圆盘： 转轴通过中心与盘面垂直
圆柱体： 转轴沿几何轴
细棒： 转轴通过中心与棒垂直
球体： 转轴沿直径
转轴沿直径
圆筒： 转轴沿几何轴
圆柱体： 转轴通过中心与几何轴垂直
r 2dr
整个圆盘产生的摩擦力矩为
m
M阻 dM阻
ro R
2mg R r2dr
R2 0
dr
2 mgR
3
39
根据转动定律：
M J J d
dt
其中M 为常量，将上式分离变量并积分，则
t
0
M dt J d
0
0
t
J0
1 2
平
刚体运动
动
转 动
A
c
A
c
（质点A既随质心平动又绕质心转动）
刚体运动微分方程式
质心运动定理 刚体质心运动（平动）
角动量定理 刚体的取向与方位（转动）
刚体运动积分方程式
动能定理 刚体的平动和转动 5
作用于刚体上的力
力的 两种效果
使质心平动 绕质心转动
施于刚体的力不是自由矢量
B
A
F
B
F
A
力的作用线过质心 （平动）
即
Lz J
r mi v
2、转动定理 由于刚体的转动惯量为常量，所以有
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
有
l
J0
r 2dm l 2 x2dx l3
l 2
12
将 l m 代入上式，得：
J0
1 12
ml 2
2
（2）当转轴通过棒的一端A并与棒垂直时
A
xO
dx l
J0
r2dm l x2dx 1 ml 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
3
3
例题2）半径为R的质量均匀分布的细圆环，质 量均为m，试分别求出对通过质心并与环面垂 直的转轴的转动惯量。
x
9
常见刚体的转动惯量
J mr 2 J mr2 / 2 J mr2 / 2 J m(r12 r22) / 2
J ml 2 /12
J mr2 / 2
J 2mr 2 / 5 J 2mr 2 / 3
10
例题1 一长为l,质量为m的匀质细杆竖直放置, 其下端与一固定铰链o相连,并可绕其转动.当其 受到微小扰动时,细杆将在重力的作用下由静止
开始绕铰链o转动.试计算细杆转到与铅直线呈
角时的角加速度和角速度.
解:受力分析
取任一状态,由转动定律
M外
1 2
mgl sin
J
P o
J 1 ml2 3
3g sin
2l
11
d d d 3g sin d t d d t 2l
d 3g sind
16
例一静止刚体受到一等于M0（N.m)的不变力矩的 作用,同时又引起一阻力矩M1， M1与刚体转动的 角速度成正比,即| M1 |= a(Nm),(a为常数)。又
已知刚体对转轴的转动惯量为J,试求刚体角速度
变化的规律。
已知：M0 J M1= –a |t=0=
求：（t）=？
0
解： 1）以刚体为研究对象；
M0
J
d dt M 0 a J
d
t dt
0 M 0 a 0 J
M0
a
at
e J
M0
18
例）设一细杆的质量为m，长为L，一端支以
枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。
1
例题1 求质量为m，长为l的均匀细棒对下面转轴 的转动惯量：(1)转轴通过棒的中心并和棒垂直； (2) 转轴通过棒的一端并和棒垂直。
解：(1) 在棒上离轴x处，取一长度元dx（如图所 示），如果棒的质量线密度为，则长度元的质
量为dm=dx，根据转动惯量计算公式：
J r2dm
A
Ox
dx
1 (R2 Z 2 )2 dZ
2
J dJ
R 1 (R2 Z 2 )2 dZ R2
8 R5 2 mR2
15
5
m 4 R3
3
8
（1）平行轴定理
J D JC md 2
JC JD
d
C
z （2）薄板的正交轴定理
o
y
Jz Jx Jy
这时滑轮转动的角速度
4mgh
v 2m M
R
R
14
例题3 一质量为m、半径为R的均质圆柱，在水 平外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力 的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为l，如图所 示。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。
解：设静摩擦力f的方向如 图所示，则由质心运动方程
F f maC
解：对定滑轮M，由转动定律， 对于轴O，有
RT J 1 MR2
2
对物体m，由牛顿第二定律，
mg T ma
RO
M
T1
T2 a
mg h
滑轮和物体的运动学关系为 a R
13
以上三式联立，可得物体下落的加速度为 a m g mM 2
物体下落高度h时的速度
v 2ah 4mgh 2m M
2l
初始条件为：=0，=0
d
3g
s in d
0
2l 0
3g (1 cos )
2l
12
例题2 一个质量为M，半径为R的定滑轮（当作均
匀圆盘）上面绕有细绳。绳的一端固定在滑轮边 上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处 摩擦，求物体m由静止下落h高度时的速度和此时 滑轮的角速度。
圆柱对质心的转动定律：
Fl f R JC
F l ac f
纯滚动条件为： aC R
圆柱对质心的转动惯量为：
JC
1 mR2 2
15
联立以上四式，解得：
2F(R l) aC 3mR
由此可见
f R 2l F 3R
当l < R 2时，f > 0，静摩擦力向后；
当 l > R 2时，f < 0，静摩擦力向前。
dJ 2r3hdr
J dJ R 2r3hdr 1 R4h
0
2
m
R2h
代入得
J 1 mR2
2
J与h无关
一个质量为m、半径为R的实心圆柱体对其中心 轴的转动惯量也与上述结果相同。
6
例4）求一质量为m的均匀实心球对其一条直径
为轴的转动惯量。
Z
解：一球绕Z轴旋转，离球
M+
2）分析受力矩
M0 J M1
3）建立轴的正方向； 4）列方程：
M 0 M1 J 17
解：4）列方程：
M0 M1 J M 0 M1 M 0 a
M+ M0
M1=–a
d M 0 J a
dt
J
J
1 (ln M 0 a ) t
分离变量：
a
dl
R
4
例题3 求质量为m、半径为R、厚为h的均质圆盘 对通过盘心并与盘面垂直的轴的转动惯量。
解：如图所示，将圆盘看成许多薄圆环组成。取 任一半径为r，宽度为dr的薄圆环，此薄圆环的转 动惯量为
dJ r2dm
dm为薄圆环的质量。以 表示圆盘的质量体密度
dm dV 2rhdr 5
5.3 定轴转动的转动惯量
• 质量离散分布的刚体 J miri2
• 质量连续分布的刚体 J r 2dm
dm为质量元，简称质元。其计算方法如下：
质量为线分布 dm dl 质量为面分布 dm ds
质量为体分布 dm dV
J与质量大小、质量分布、转轴位置有关 演示程序： 影响刚体转动惯量的因素
Zr
d Z 心Z高处切一厚为dz的薄圆 盘。其半径为
O X
R
Y r R2 Z2
其体积：
dV r2dZ (R2 Z 2)dZ
其质量： dm dV (R2 Z 2)dZ
其转动惯量：dJ 1 r2dm 1 (R2 Z 2 )2 dZ
2
2
7
dJ 1 r 2dm 2