对数函数-人教版高中数学
4.4对数函数第一课时-人教A版(2021)高中数学必修第一册同步讲义
第四章 指数函数与对数函数4.4对数函数 第1课时对数函数的概念【课程标准】1. 理解对数函数的概念、图像及性质。
2. 会解与对数函数有关的定义域、值域、比较大小等问题【知识要点归纳】1. 对数函数的概念一般地，把函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是(0，＋∞) 2.对数函数的图像和性质定义 形如log a y x =（a 0>且1a ≠）的函数叫做对数函数定义域 ()0,+∞ 值域(),-∞+∞图像【经典例题】()()()()242213log 2log 3log 4log (1).(5)log 1x y x y x y y x y x =+＝；＝；＝5；＝＋[跟踪训练]1（1）对数函数的图象过点M (16,4)，则此对数函数的解析式为 。
（2）若对数函数y ＝f(x)满足f(4)＝2，则该对数函数的解析式为( ) A ．y ＝log 2xB ．y ＝2log 4xC ．y ＝log 2x 或y ＝2log 4xD ．不确定注意：判断一个函数是对数函数必须是形如y ＝log a x(a>0且a≠1)的形式，即必须严格满足以下条件： (1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.例2求下列函数的定义域.(1)y＝log a(3－x)＋log a(3＋x)；(2)y＝log2(16－4x).[跟踪训练]2 求下列函数的定义域．(1)y＝3log2x；(2)y＝log0.5(4x－3)；(3)y＝log0.5(4x－3)－1；(4)y＝log(x＋1)(2－x)．注意：求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1.例3画出函数y＝lg|x－1|的图象.例4 （1）函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是下图中的( )(2)函数y ＝log a (x ＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．[跟踪训练] 3 （1） 已知a>0，且a≠1，则函数y ＝a x 与y ＝log a (－x)的图象只能是( )(2)221log 21x y x -=+-图象恒过定点坐标是________．注意：(1)明确图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x 趋近于0时，函数图象会越来越靠近y 轴，但永远不会与y 轴相交．(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a 的取值范围是a>1，还是0<a<1.(3)牢记特殊点．对数函数y ＝log a x(a>0，且a≠1)的图象经过点：(1,0)，(a,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1. 【当堂检测】一．选择题（共5小题）1．下列函数是对数函数的是( ) A ．3log (1)y x =+B ．log (2)(0a y x a =>，且1)a ≠C ．y lnx =D ．2(0,1)a y log x a a =>≠且2．函数2()(5)log a f x a a x =+-为对数函数，则1()8f 等于( )A ．3B ．3-C ．3log 6-D ．3log 8-3．函数1()(2)3f x lg x x =-+-的定义域是( ) A ．(2,3) B ．(3,)+∞C ．[2，3)(3⋃，)+∞D ．(2，3)(3⋃，)+∞4．函数()(24)x f x ln =-的定义域是( ) A ．(0,2)x ∈B ．(0x ∈，2]C ．[2x ∈，)+∞D ．(2,)x ∈+∞5．已知132a =，21()3b =，21log 2c =，则( )A ．c a b <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<二．填空题（共3小题）6．已知45a ln =，22()3b =，0.15c =，将a 、b 、c 由小到大的顺序排列为 ．7．已知log 2(0a y x a =+>且1)a ≠的图象过定点P ，点P 在指数函数()y f x =的图象上，则()f x = ．8．已知函数()||f x lgx =，实数a ，()b a b ≠满足f （a ）f =（b ），则ab 的值为 ． 三．解答题（共1小题） 9．设函数2()(2)f x lg x x a =-+． （1）求函数()f x 的定义域A ；（2）若对任意实数m ，关于x 的方程()f x m =总有解，求实数a 的取值范围．当堂检测答案一．选择题（共5小题）1．下列函数是对数函数的是( )A ．3log (1)y x =+B ．log (2)(0a y x a =>，且1)a ≠C ．y lnx =D ．2(0,1)a y log x a a =>≠且【分析】根据对数函数的定义即可得出．【解答】解：根据对数函数的定义可得：只有y lnx =为对数函数． 故选：C ．【点评】本题考查了对数函数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．函数2()(5)log a f x a a x =+-为对数函数，则1()8f 等于( )A ．3B ．3-C ．3log 6-D ．3log 8-【分析】由对数函数定义推导出2()log f x x =，由此能求出1()8f ．【解答】解：函数2()(5)log a f x a a x =+-为对数函数，∴25101a a a a ⎧+-=⎪>⎨⎪≠⎩，解得2a =， 2()log f x x ∴=，211()388f log ∴==-．故选：B ．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质的合理运用．3．函数1()(2)3f x lg x x =-+-的定义域是( ) A ．(2,3) B ．(3,)+∞C ．[2，3)(3⋃，)+∞D ．(2，3)(3⋃，)+∞【分析】令对数的真数2x -大于0；分母3x -非0，列出不等式组，求出函数的定义域． 【解答】解：要使函数有意义，需满足 2030x x ->⎧⎨-≠⎩解得2x >且3x ≠ 故选：D ．【点评】求函数的定义域：常需考虑开偶次方根的被开方数大于等于0；对数的真数大于0底数大于0且不等于1；分母不为0等．注意函数的定义域一定以集合形式或区间形式表示． 4．函数()(24)x f x ln =-的定义域是( ) A ．(0,2)x ∈B ．(0x ∈，2]C ．[2x ∈，)+∞D ．(2,)x ∈+∞【分析】可看出，要使得函数()f x 有意义，则需满足240x ->，解出x 的范围即可．【解答】解：要使()f x 有意义，则：240x ->； 2x ∴>；()f x ∴的定义域为(2,)+∞．故选：D ．【点评】考查函数定义域的定义及求法，指数函数的单调性． 5．已知132a =，21()3b =，21log 2c =，则( )A ．c a b <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<【分析】利用指数式和对数式的性质，比较三个数与0或1的大小得答案． 【解答】解：10231221()03a b =>=>=>，21log 102c ==-<， c b a ∴<<．故选：C ．【点评】本题考查对数值的大小比较，关键是注意利用0和1为媒介，是基础题． 二．填空题（共3小题）6．已知45a ln =，22()3b =，0.15c =，将a 、b 、c 由小到大的顺序排列为 a b c << ．【分析】由20.1420,0()1,5153ln <<<>，即可得出a ，b ，c 的大小关系．【解答】解：4105ln ln <=，220()13<<，0.10551>=， a b c ∴<<．故答案为：a b c <<．【点评】本题考查了对数函数、指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题． 7．已知log 2(0a y x a =+>且1)a ≠的图象过定点P ，点P 在指数函数()y f x =的图象上，则()f x = 2x ．【分析】求出定点(1,2)P ，代入指数函数中，求出a ，得到()f x ．【解答】解：由a 的任意性，1x =时，2y =，故log 2(0a y x a =+>且1)a ≠的图象过定点(1,2)P ，把(1,2)P 代入指数函数()x f x a =，0a >且1a ≠，得2a =，所以()2x f x =， 故答案为：2x ．【点评】考查对数函数的定点问题，和求指数函数的解析式，基础题．8．已知函数()||f x lgx =，实数a ，()b a b ≠满足f （a ）f =（b ），则ab 的值为 1 ． 【分析】由已知条件a b ≠，不妨令a b <，又y lgx =是一个增函数，且f （a ）f =（b ），故可01a b <<<，则lga lgb =-，由此可得ab 的值． 【解答】解：f （a ）f =（b ）， ||||lga lgb ∴=．不妨设0a b <<，则由题意可得01a b <<<， lga lgb ∴=-，0lga lgb +=， ()0lg ab ∴=， 1ab ∴=，故答案为：1．【点评】本题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考查对数函数单调性的应用，属于基础题． 三．解答题（共1小题） 9．设函数2()(2)f x lg x x a =-+． （1）求函数()f x 的定义域A ；（2）若对任意实数m ，关于x 的方程()f x m =总有解，求实数a 的取值范围．【分析】（1）由真数大于0，可得222(1)10x x a x a -+=-+->，对a 分类讨论即可求得定义域；11 （2）对任意实数m R ∈，方程()f x m =总有解，等价于函数2()(2)f x lg x x a =-+的值域为R ，由△0即可求得a 的取值范围．【解答】解：（1）由2()(2)f x lg x x a =-+有意义，可得222(1)10x x a x a -+=-+->，当1a >时，()f x 的定义域为A R =；当1a =时，()f x 的定义域为{|1}A x x =≠；当1a <时，()f x的定义域为{11A x x x =+<．（2）对任意实数m R ∈，方程()f x m =总有解，等价于函数2()(2)f x lg x x a =-+的值域为R ，即22t x x a =-+能取遍所有正数即可，所以△440a =-，1a ，实数a 的取值范围(-∞，1]．【点评】本题主要考查函数的定义域与值域，考查对数函数的性质，属于中档题，。
高中数学《对数函数》课件(共14张PPT)
谢谢大家
人教版高中数学必修五
五、对数函数的应用
对数函数在数学、物理、工程等领域中广泛应用，用于处理指数运算、比例运算、数值比较等 问题。 对数函数可以用于实现数据压缩和扩展，例如在声音信号处理中，可以使用对数函数将声音信 号的动态范围进行调整，以提高声音的质量和清晰度。 对数函数还可以用于计算复利、估算自然对数的值、求解方程组等问题。 在使用对数函数时，需要注意以下几点：
a>1: 当:x>1时, 图像在y轴上方; 当0<x<1时,图像在下方;
0<a<1:
当:x>1, 图像在y轴下方；
当 0<x<1, 图像在轴上方;
函数性质
定义域：x>0
值域： R 当x=1时，y=0。
增函数 减函数
a>1: 当x>1, 则 y>0， 当0<x<1, 则y<0; 0<a<1: 当:x>1, 则y<0 当0<x<1, 则y>0;
5. 函数值分布:a>1: 当:x>1时, 图像在y轴上方; 当0<x<1时,图像在y轴下方;
函数性质 定义域：x>0 值域： R 当x=1时，y=0。
增函数
a>1: 当x>1, 则 y>0， 当0<x<1, 则y<0;
0 a 1 y loga x
x 1
图像的特征 1．图像位于y轴右侧； 2. 图像在y轴的投影占满了整个y轴； 3. 过（1.0）点 4. 单调性: 0<a<1时,图像下降; 5. 函数值分布: 0<a<1: 当:x>1, 图像在y轴下方； 当 0<x<1, 图像在轴上方;
新人教版高中数学必修一教案：第4节 对数函数
2.5对数函数及其性质【知识要点】2.反函数（回忆反函数的定义，如何求反函数）3. 对数函数的定义域（回忆求定义域的方法，对照对数函数的性质求对数函数定义域）4. 对数函数的值域（对照函数值域求法求解对数函数的值域）5. 对数函数的单调性及应用（回忆单调性的定义与证明，如何求解）6. 对数函数的综合应用【知识应用】1.方法：在解题时，要会结合函数图象解题，注意底数a 的取值范围。
当a 大于1时，函数是单调增，当a 小于1时，函数是单调减，并且恒过点（1，0），由此画出函数图象。
【J 】例1 集合A={y ∈R|y=lgx,x>1},B={-2,-1,1,2},则下列结论中正确的是（ ）A. A ⋂B={-2，-1}B. （R C A ）⋃B=（-∞，0）C. A ⋃B=（0，+∞）D. （R C A ）⋂B={-2，-1}【L 】例2 以下四个数中的最大者是（ ）A 2ln 2（） B ln （ln2） C D ln2【C 】例3 已知1<x<10，试比较2(lg )x 、2lg x lg （lgx ）的大小。
2. 方法：（1）由反函数定义可知，原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。
因此，求反函数时，首先都要对原函数的定义域和值域进行研究，对于分段函数的反函数，应先分别求出每一段函数的反函数，再将它综合成一个函数即可。
（2）反函数的求法：a..由y=f(x)解出x b.把x 与y 的位置互换 c.写出解析式的定义域（注意：并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如y=2x ；一般来说，单调函数有反函数）（3）反函数的性质：a.互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x 对称 b.若函数y=f(x)图像上有一点（a ，b ），则（b ，a ）必在其反函数图像上，反之若（b,a ）在反函数图像上，则（a ，b ）必在原函数图像上。
c.互为反函数的函数具有相同的单调性、奇偶性。
人教高中数学必修一A版《对数函数的概念》《对数函数的图象和性质》指数函数与对数函数说课教学课件
(3)在同一坐标系中,对数函数 y=log2x,y=log5x,y=log 1 x,y=log 1 x 的
2
5
图象如图所示.从图中看,对数函数图象的分布与底数有什么关系?
提示:在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴,0<a<1时,a
越小,图象越靠近x轴.
课前篇
自主预习
一
二
三
2.填表
对数函数的图象和性质
数的大小,如图所示.
2.牢记特殊点:对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象经过
(1,0),(a,1),
1
,-1 .
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
随堂演练
变式训练2作出函数y=
解:先画出函数y=lg x的图象(如图①).
再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象
思想方法
随堂演练
反思感悟 1.对数函数是一个形式定义:
2.对数函数解析式中只有一个参数a,用待定系数法求对数函数
解析式时只须一个条件即可求出.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
随堂演练
变式训练1(1)若函数f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,则a=
(2)点A(8,-3)和B(n,2)在同一个对数函数图象上,则n=
2
是
.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
随堂演练
人教版高中数学必修1《对数函数的图像与性质》PPT课件
新知运用
例 3 溶 液 酸 碱 度 是 通 过 pH 计 量 的 .pH 的 计 算 式
pH=− + ，其中 + 表示溶液中氢离子的浓度，单位是
摩尔/升.
（2）已知纯净水中氢离子的浓度为 + = − 摩尔/升，
计算纯净水的 pH 值；
【解析】 = −− = ，所以纯净水的 pH 值
反思总结
1.思想方法：
（1）数形结合：由解析式到图象（由数到形，以形读数），
由图象到性质（由形到数，以数观形）；
（2）分类整合：底数的两个范围对单调性的影响.
2.知识联系：指、对不分家！指数函数与对数函数不仅在概念、
图象与性质上有联系，在解决问题的类型上也有联系，所以
要将两者作为一个整体学习与应用.
所以. < − + < . ，即−. < + < −. ，
所以−. < + < −. ，
所以−. < + < −. ，
所以这种饮用水中氢离子的浓度范围是−. < + <
−. （单位：摩尔/升）.
x 0.5 1
log2x −
2
（2）描点画图.
3
1.6
4
5
6
7
2.3 2.6 2.8
8
新知探求
2.画函数 = 的图象.
由换底公式得 = Байду номын сангаас =
= − ，所以
函数 = 的图象与 = 的图象关于
人教版高中数学必修一对数函数及其性质课件PPT
3
2.若函数y f (x)是函数y ax (a 0且a 1)的反函数
,且f (2) 1,则f (x) _______
3.已知y
( 1 ) x的反函数y 4
f
(x),若f
(x0 )
1, 2
则x0 ______
强化补清
一的一个 y B 与之对应 ，那么就称这个对
应关系是函数的反函数.记做 f 1x
观察下列一组反函数与原函数的图像，说 出它们各是什么函数，总结反函数性质。
y 2x
y log 2 x
反函数的性质
（1）原函数定义域为反函数值域，原函数值 域为反函数定义域.
（2）反函数与原函数图像关于直线y=x对称。 （3）反函数与原函数单调性一致
（4）原函数过点x0, y0 ，则其反函数必过点
y0 , xo
例4.求下列函数的反函数
1y 3x;2y 2x 3
思考：我们之前所讲的分式函数如何求 解值域的？
目标升华
1.对数值的大小比较与幂的大小比较的类比
2.通过对反函数的理解，运用其性质解决一些 函数的值域问题
当堂诊学
1.比较大小
课程 在这里,我想讲几点最关键的策略,以帮助教师在课堂上合理安排学 生活动。今天,我们的主题简短、明确并易于实践。 目标如下: (1)帮助教师了解当学生没有事情可做时,会出现什么状况; (2)给教师提供几个规划课堂的好方法首先,以这几个问题开始
●你是否曾经在给学生布置任务时,要求所有人在同样的时间里 完成? 你是否曾注意到,布置任务时要求的时间越长,有些学生磨蹭的时间 就越长?
（2）log2 0.7 与 log3 0.7
对数函数的概念课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
深化思考 思考辨析 判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打 “√”，错误的打“×”．
(1)由 y＝logax，得 x＝ay，所以 x>0.(√ ) (2)y＝log2x2 是对数函数．(× ) (3)若 y＝logax 是对数函数，则 a>0 且 a≠1.( √ ) (4)函数 y＝loga(x－1)的定义域为(0，＋∞)．(×)
目录
概念引入
设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳14含量为y.
指数函数
y=
1
2
1 x
5730
x∈(0 , +)
x=log5730
1 2
y
(0 , y0)(0＜y0≤1)
一
唯一(x0 , y0)
一
对
应
唯一(x0 , 0) (x0≥0)
图4.4-1
x 是 y 的函数，x=log5730 1 y (0<y≤1)
目录
小结
1、对数函数、指数函数、一次函数、二次函数是我们学习的基本 初等函数，它们增长是有差异的，不同类型的数据增长应选取合适 的函数模型来刻画其变化规律.
2、判断一个函数是不是对数函数、关键是分析所给函数是否具有 y＝logax(a>0，且 a≠1)这种形式．
3、涉及对数函数的定义域问题，从对数式的真数和底数两个方面 构建不等式组，且最终结果要写成集合的形
目录
限时小练 1．下列函数是对数函数的是________(填序号)．
①y＝loga(5＋x)(a>0 且 a≠1)；②y＝log 3-1x；③y＝log3(－x)； ④y＝logx 3(x>0 且 x≠1)． 2．设函数 f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)，若 f(x1x2…x2 022) ＝6，则 f(x21)＋ f(x22)＋f(x23)＋…＋f(x22 022)的值是________． 3．已知函数 f(x)＝lg(x＋1)－lg(1－x)． (1)求函数 f(x)的定义域；(2)判断函数 f(x)的奇偶性．
高中数学人教版B必修一 第3章 3.2 3.2.2 对数函数
3.2.2对数函数学习目标：1.理解对数函数的概念、图象及性质．(重点)2.根据对数函数的定义判断一个函数是否为对数函数．(易混点)3.初步掌握对数函数的图象和性质，会解与对数函数相关的定义域、值域问题．(难点)[自主预习·探新知]1．对数函数的定义一般地，我们把函数y＝log a x(a＞0且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为(0，＋∞)．2．对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象与性质思考：函数y＝log a x(a>0且a≠1)的底数变化对图象位置有何影响？图3-2-1[提示]观察图象，总结变化规律：(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a>1时，a越大，图象越靠近x轴，0<a<1时，a越小，图象越靠近x轴．(2)左右比较(比较图象与y＝1的交点)交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．[基础自测]1．思考辨析(1)函数y＝log x 12是对数函数．()(2)函数y＝2log3x是对数函数．()(3)函数y＝log3(x＋1)的定义域是(0，＋∞)．()[解析](1)×.对数函数中自变量x在真数的位置上，且x>0，所以(1)错；(2)×.在解析式y＝log a x中，log a x的系数必须是1，所以(2)错；(3)×.由对数式y＝log3(x＋1)的真数x＋1>0可得x>－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)，所以(3)错．[答案](1)×(2)×(3)×2．函数f(x)＝x－1＋lg x的定义域是()A．(0，＋∞)B．(0,1)C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)C [∵⎩⎨⎧x －1≥x >0∴x ≥1.]3．下列不等号连接错误的一组是( ) A ．log 0.52.2>log 0.52.3 B ．log 34>log 65 C ．log 34>log 56D ．log πe>log e πD [函数y ＝log πx 在定义域上单调递增，e<π，则log πe<log ππ＝1.同理，log e π>log e e ＝1，则log πe<log e π.故D 错误．]4．函数y ＝log (3a －1)x 是(0，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是________.【导学号：60462229】⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 [由题意可得0<3a －1<1， 解得13<a <23，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23.][合 作 探 究·攻 重 难](1)①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R )；③y ＝log 8x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝log x (x ＋2)；⑥y ＝2log 4x ；⑦y ＝log 2(x ＋1)．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 (2)若对数函数f (x )的图象过点(4，－2)，则f (8)＝________.[思路探究] (1)根据对数函数的定义进行判断；(2)设出对数函数的解析式，利用条件求出其解析式，可得f (8)的值．[解析] (1)由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a ∈R 不能保证a >0，且a ≠1，∴②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为(x ＋2)，(x ＋1)，∴⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中log 4x 的系数为2，∴⑥也不是对数函数；只有③④符合对数函数的定义．(2)由题意设f (x )＝log a x ，则f (4)＝log a 4＝－2，所以a －2＝4，故a ＝12， 即f (x )＝log 12x ，所以f (8)＝log 128＝－3.[答案] (1)B (2)－3[规律方法] 1.判断一个函数是对数函数必须是形如y ＝log a x (a >0且a ≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)底数a >0且a ≠1；(2)自变量x 在真数的位置上，且x >0；(3)在解析式y ＝log a x 中，log a x 的系数必须是1，真数必须是x .2．对数函数的解析式的值中只有一个参数a ，故用待定系数法求对数函数的解析式时只需一个条件即可求出．[跟踪训练]1．若函数f (x )＝log (a ＋1)x ＋(a 2－2a －8)是对数函数，则a ＝________.【导学号：60462230】4[由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －8＝0，a ＋1>0，a ＋1≠1，解得a ＝4.]3A ．0 B ．1 C ．2D ．3(2)求下列函数的定义域： ①y ＝lg (2－x )； ②f (x )＝lg (4－x )x －3；③y ＝log (2x －1)(－4x ＋8)．[思路探究] (1)代入a 的值⇒对数运算⇒解方程． (2)对数函数的性质⇒构建不等式组⇒解不等式组． [解析] (1)∵f (a )＝1，∴log 3(a ＋1)＝1，即a ＋1＝3，∴a ＝2.故选C. [答案] C(2)①由题意得⎩⎪⎨⎪⎧lg (2－x )≥0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥1，2－x >0，也即x ≤1.故函数y ＝lg (2－x )的定义域为{x |x ≤1}． ②由⎩⎪⎨⎪⎧4－x >0，x －3≠0，得x <4且x ≠3.∴所求定义域为(－∞，3)∪(3,4)． ③由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋8>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得⎩⎨⎧x <2，x >12，x ≠1.故函数y ＝log (2x －1)(－4x ＋8)的定义域为{x ⎪⎪⎪12<x <2且x ≠1}.母题探究：1.(变条件)把本例(2)①函数变成“y＝”，结果如何？[解] 由题意可知所以⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≤1，2－x >0，即1≤x <2.故函数y ＝的定义域为{x |1≤x <2}．2．(变结论)把本例(2)①中x 的范围限定为[－8,1]，求函数的值域． [解] 因为y ＝lg (2－x )在x ∈[－8,1]上为减函数，所以y max ＝lg (2＋8)＝1，y minlg (2－1)＝0.所以函数的值域为[0,1]．[规律方法] 求与对数函数有关的定义域时应注意的两点(1)要遵循以前已学习过的求定义域的方法，如分式分母不为零，偶次根式被开方式大于或等于零等．(2)遵循对数函数自身的要求：一是真数大于零；二是底数大于零且不等于1；三是按底数的取值应用单调性，有针对性的解不等式．提醒：函数的定义域最后的结果一定要用集合的形式表示．[探究问题1．对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过哪一定点？函数f (x )＝log a (2x －1)＋2(a >0且a ≠1)的图象又过哪一定点呢？提示：对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)；在f (x )＝log a (2x －1)＋2中，令2x －1＝1，即x ＝1，则f (x )＝2，所以函数f (x )＝log a (2x －1)＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点(1,2)．2．从左向右，对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象呈上升趋势还是下降趋势？其图象是上凸还是下凸？提示：当0<a<1时，对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象从左向右呈下降趋势，此时其图象下凸；当a>1时，对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象从左向右呈上升趋势，此时其图象上凸．3．如图3-2-2，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝log a1x，y＝log a2x，y＝log a3x，y＝log a4x的图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？图3-3-2提示：作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4>a3>1>a2>a1>0.(x＋c)(a，c为常数．其中a>0，a≠1)的图象如图(1)已知函数y＝log3-2-3，则下列结论成立的是()【导学号：60462231】图3-2-3A．a>1，c>1B．a>1,0<c<1C．0<a<1，c>1D．0<a<1,0<c<1(2)已知函数f(x)＝|lg x|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是() A．(22，＋∞)B．[22，＋∞)C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)[思路探究](1)已知对数函数的图象⇒图象平移规律求解．(2)作对数函数图象⇒图象变换⇒构建关于a，b的方程⇒研究函数单调性求解．[解析](1)∵函数单调递减，∴0<a<1，当x＝1时，log a(x＋c)＝log a(1＋c)<0，即1＋c>1，∴c>0，当x＝0时，log a(x＋c)＝log a c>0，即c<1.∴0<c<1，故选D.(2)因为f(a)＝f(b)，所以|lg a|＝|lg b|所以a＝b(舍去)或b＝1a，所以a＋2b＝a＋2a，又0<a<b，所以0<a<1<b，令f(a)＝a＋2 a.由“对勾”函数的性质知f(a)在a∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)＝1＋2 1＝3.即a＋2b的取值范围是(3，＋∞)，故选C.[答案](1)D(2)C[规律方法] 1.画对数函数图象时要注意的问题(1)明确图象位置：对数函数图象都在y轴右侧，当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．(2)强化讨论意识：画对数函数图象之前要对底数a的取值范围是a>1，还是0<a<1进行判断．(3)牢记特殊点：对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象经过点(1,0)，(a,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1. 2．常见的函数图象的变换技巧(1)y ＝f (x )―――――――――――→保留y 轴右边的图象并作关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．(2)y ＝f (x )―――――――――――→保留x 轴上方的图象将x 轴下方的图象翻折上去y ＝|f (x )|.(3)y ＝f (x )―――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )． (4)y ＝f (x )―――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )． [跟踪训练]3．函数y ＝a －x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )C [∵在y ＝log a (－x )中，－x ＞0，∴x ＜0，∴图象只能在y 轴的左侧，故排除A 、D ；当a ＞1时，y ＝log a(－x )是减函数，y ＝a －x ＝⎝⎛⎭⎪⎫1a x是减函数，故排除B ； 当0＜a ＜1时，y ＝log a (－x )是增函数，y ＝a －x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 是增函数，∴C 满足条件，故选C.][当 堂 达 标·固 双 基]1．已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N 等于( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C ．{x |－1<x <1}D ．∅C [由题意得M ＝{x |x <1}，N ＝{x |x >－1}，则M ∩N ＝{x |－1<x <1}．]2．函数f(x) ＝log(x2－4)的单调递增区间是()【导学号：60462232】A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)D[函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x)是由y ＝log t与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝log t在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．] 3．若f(x)是对数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________.log2x[设f(x)＝log a x(a>0且a≠1)，则f(2)＝log a2＝2，即a＝2，所以f(x)＝log2x.]4．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域是________．(0，＋∞)[∵3x＋1>1，且y＝log2x在(1，＋∞)上单调递增，∴log2(3x＋1)>log21＝0，故函数f(x)的值域是(0，＋∞)．]5．已知f(x)＝log3x.(1)作出这个函数的图象；(2)当0<a<2时，利用图象判断是否有满足f(a)>f(2)的a值．[解](1)作出函数y＝log3x的图象如图所示：(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.由如图所示的图象知：当0<a<2时，恒有f(a)<f(2)．故当0<a<2时，不存在满足f(a)>f(2)的a值．。
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知识图谱-对数函数-指对数比较大小对数函数的概念与对数函数有关的三要素问题与对数函数有关的单调性问题与对数函数有关的奇偶性问题指对数比较大小指对数比较大小的运用第04讲_对数函数错题回顾对数函数知识精讲一．对数函数的定义（）叫做对数函数，它的定义域为，值域是．注意以下几个方面：1．定义域：因为对数函数由指数函数变化而来，对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值的取值范围，所以对数函数的定义域是；2．对数函数的底数：对数函数的底数且；3．形式上的严格性：在对数函数的定义表达式中的表达式中，前面的系数必须是，自变量在真数的位置上，否则不是对数函数；二．对数函数的图像与性质过定点，图像都在一、四象限对于相同的，函数与的图象关于轴对称．当时，当时，在上是增函数当时，；当时，在上是减函数三．对数函数与指数函数的关系1．定义：一般的，设函数的值域是，若找得到一个函数在每一处都等于，这样的函数叫做函数的反函数，记作．反函数的定义域、值域分别是函数的值域、定义域．2．对数函数与指数函数图像关于直线对称．互为反函数．3．指数方程和对数方程主要有以下几种类型：（定义法）（转化法）（取对数法）三点剖析一．方法点拨1．利用对数函数的单调性比较大小（1）如果两对数的底数相同，由对数函数的单调性（底数为增函数，为减函数）比较大小；（2）如果两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间值进行比较；（3）如果两对数的底数不同而真数相同，如与的比较（）①当时，曲线比的图像（在第一象限内）上升得慢，即当时，；当时，，即在第一象限内，越大图像越靠近轴；②当时，曲线比的图像（在第一象限内）下降得快，即当时，；当时，，即在第四象限内，越小图像越靠近轴．题模精讲题模一对数函数的概念例1.1、下列函数是对数函数的是（）A、B、C、D、例1.2、已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=log a （x﹣b）的图象是（）A、B、C、D、题模二与对数函数有关的三要素问题例2.1、已知函数f（x）=log2(x2-2x+a)的值域为[0，+∞），则正实数a等于（）A、1B、2C、3D、4例2.2、已知函数f（x）=log2（x+1），当点（x，y）在f（x）的图象上时，点(，y)是g（x）图象上的点．①求函数g（x）的解析式；②设h（x）=g（x）-f（x），求h（x）的定义域．题模三与对数函数有关的单调性问题例3.1、若函数，若f（a）＞f（﹣a），则实数a的取值范围是．例3.2、函数y=log0.1（6+x-2x2）的单调递增区间为____．例3.3、设a＞0且a≠1，函数f（x）=log a|x2-（a+）x+1|在[1，2]上是增函数，则a的取值范围（）A、a≥2+B、0＜a＜2-C、a≥2+或0＜a＜1D、a≥2+或0＜a＜2-题模四与对数函数有关的奇偶性问题例4.1、设f（x）=lg（+a）是奇函数，则使f（x）＜0的x的取值范围是（）A、（-1，0）B、（0，1）C、（-∞，0）D、（-∞，0）∪（1，+∞）例4.2、已知函数f（x）=log a是奇函数（a＞0，a≠1），则m的值等于．例4.3、已知函数f（x）=lg（a≠1）是奇函数，（1）求a的值；（2）若g（x）=f（x）+，x∈（-1，1），求g（）+g（-）的值．随堂练习随练1.1、已知a＞0且a≠1，则在下面所给出的四种图形中，正确表示函数y=a x和y=log a x的图象一定是（）A、①③B、②③C、②④D、①④随练1.2、若函数y=log a（x+1）（a＞0，a≠1）的图象过定点，则x值为（）A、-1B、0C、1D、无法确定随练1.3、求下列函数的定义域：(1)；(2)．随练1.4、若函数y=log a（ax2+3ax+2）的值域为R，则a的取值范围是____．随练1.5、若函数f（x）=lg（x2-2x+a）在[1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是____．随练1.6、若log m3＜log n3＜0，则m，n应满足的条件是（）A、m＞n＞1B、n＞m＞1C、1＞n＞m＞0D、1＞m＞n＞0随练1.7、下列区间中，函数f（x）=|lg（2-x）|在其上为增函数的是（）A、（-∞，1]B、[-1，]C、[0，)D、（1，2）随练1.8、设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A、奇函数，且在（0，1）上是增函数B、奇函数，且在（0，1）上是减函数C、偶函数，且在（0，1）上是增函数D、偶函数，且在（0，1）上是减函数随练1.9、已知f（x）是偶函数，它在[0，+∞）上是减函数，若f（lgx）＞f（1），则实数x的取值范围是（）A、（，1）B、（0，）∪（1，+∞）C、（，10）D、（0，1）∪（10，+∞）随练1.10、已知函数，，设．（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由．指对数比较大小知识精讲一. 指数大小的比较方法1. 化同底化同底后即可运用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底．2. 商比法不同底但可以化为同指数的两个数比较大小，将两数作商后与1比较大小即可迎刃而解．3. 中间值法要比较与的大小，先找一个中间值，再比较与、与的大小，由不等式的传递性得到与之间的大小．4. 图解法转化为同指数的幂后，在同一直角坐标系中作出相应指数函数图象，根据条件观察图象变化规律来判断．二．对数大小的比较方法1. 同底数的利用单调性；2. 同真数的利用图象；3. 既不同底也不同真数的借助中间量进行比较；4. 对于有多个数值的大小比较，则应先根据每个数的结构特征，以及它们与0和1的比较大小的情况进行分组，再比较各组内的数值的大小；5. 对于含有参数的两个对数值的大小比较，要注意对底数是否大于1进行分类讨论；6. 构造函数．三．指对数不等式的解法1．类型一：当时：；当时：．2．类型二：当时：；当时：．3．类型三：令得：；求使这个一元二次不等式成立的正解的范围，使在这个范围的的值的集合，就是原不等式的解集．4．类型四：令得：；求使这个一元二次不等式成立的正解的范围，使在这个范围的的值的集合，就是原不等式的解集．三点剖析一．方法点拨幂的大小比较方法点拨：1. 对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；2. 对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；3. 对于底数不同且指数也不同的幂的大小比较，则应通过中间值来比较；4. 对于三个（或三个以上）数的大小比较，则应先根据值的大小（特别是与0、1比较大小）进行分组，再比较各组数的大小即可．对数的大小比较方法与幂的大小比较方法同理．题模精讲题模一指对数比较大小例1.1、三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）A、a＜c＜bB、a＜b＜cC、b＜a＜cD、b＜c＜a例1.2、设a=log37，b=23.3，c=0.81.1，则（）A、b＜a＜cB、c＜a＜bC、c＜b＜aD、a＜c＜b例1.3、若x∈（e-1，1），a=lnx，b=2lnx，c=ln3x，则（）A、a＜b＜cB、c＜a＜bC、b＜a＜cD、b＜c＜a题模二指对数比较大小的运用例2.1、设0＜a＜1，函数f（x）=log a（a2x-2a x-2），则使f（x）＜0的x的取值范围是（）A、（-∞，0）B、（0，+∞）C、（-∞，log a3）D、（log a3，+∞）例2.2、若实数x满足不等式log2x＜x2＜2x，那么实数x的范围是____．例2.3、已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对任意正实数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）成立．则：（1）f（1）=____；（2）不等式f（log2x）＜0的解集是____．例2.4、函数的定义域为，且满足对于任意，都有．（1）求的值；（2）判断的奇偶性并证明；（3）如果，，且在上是增函数，求x 的取值范围．随堂练习随练2.1、设a=log36，b=log510，c=log714，则（）A、c＞b＞aB、b＞c＞aC、a＞c＞bD、a＞b＞c随练2.2、设，，，则（）B、A、C、随练2.3、若，，，则（）．A、B、C、若函数f （x ）=2x -的零点为a ，则log a 2与log a 3的大小关系为 ．随练2.5、设则不等式的解集为（ ） A 、 （1，2）（3，+∞）B 、 （，+∞）C 、 （1，2）（，+∞）D 、 （1，2）随练2.6、0＜a ＜1，下列不等式一定成立的是（ ） A 、 |log（1-a ）|+|log（1+a ）|＞2；B 、 |log（1-a ）|＜|log （1+a ）|；C 、|log （1-a ）+log （1+a ）|＜|log （1-a ）|+|log（1+a ）|；D 、|log （1-a ）-log （1+a ）|＞|log（1-a ）|-|log（1+a ）|随练2.7、已知函数f （x ）=log 2（x 2-x ），g （x ）=log 2（ax-a ）． （Ⅰ）求f （x ）的定义域；（Ⅱ）若g （x ）的定义域为（1，+∞），求当f （x ）＞g （x ）时x 的取值范围． 自我总结 课后作业作业1、已知正实数a ，b 满足不等式ab+1＜a+b ，则函数f （x ）=log a （x+b ）的图象可能为（ ）A 、B 、C 、D 、作业2、函数y=1+log （x-1）的图象一定经过点（ ） A 、 （1，1）B 、 （1，0）C 、 （2，1）D 、 （2，0）作业3、函数y=的定义域为（ ）A 、 （1，）B 、 [1，）C 、 （1，2]D 、 （1，2）作业4、若函数f（x）=log（a2-2a+1）的值为正数，则a的取值范围是（）A、（0，2）B、（0，）∪（1，2）C、（-∞，0）∪（2，+∞）D、（，1）∪（2，+∞）作业5、函数y=log（2x2-5x-3）的单调递增区间为____．作业6、已知函数f（x）=log2（x2-ax+3a）在区间[2，+∞）上递增，则实数a的取值范围是（）A、（-∞，4）B、（-4，4]C、（-∞，-4）∪[2，+∞）D、[-4，2）作业7、已知函数f（x）=在R上单调递增，则实数a的取值范围为．作业8、已知函数f（x）=ln（-x）+2，则f（lg5）+f（lg）=（）A、4B、0C、1D、2作业9、已知函数f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，若对任意的x都有f（x）+f（﹣x）=0，当x＞0时，f（x）=log2x，则不等式f（x）＞1的解集为（）A、（2，+∞）B、（1，+∞）C、D、（﹣1，0）∪（1，+∞）（，0）∪（2，+∞）作业10、已知函数．（Ⅰ）若，求a的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论．作业11、已知a=2，b=log2，c=log ，则（）A、a＞b＞cB、a＞c＞bC、c＞b＞aD、c＞a＞b作业12、设a=log2π，b=log π，c=π-2，则（）A、a＞b＞cB、b＞a＞cC、a＞c＞bD、c＞b＞a作业13、三个数，，的大小关系为（）A、B、C、D、作业14、已知实数a，b，c满足不等式0＜a＜b＜c＜1，且M=2a，N=5﹣b，P=lnc，则M、N、P的大小关系为（）A、P＜N＜MB、P＜M＜NC、M＜P＜ND、N＜P＜M作业15、设0＜a＜1，函数f（x）=log a（a2x-2a x-2），则使f（x）＜0的x的取值范围是（）A、（-∞，0）B、（0，+∞）C、（-∞，log a3）D、（log a3，+∞）作业16、对于0＜a＜1，给出下列四个不等式（）②log a（1+a）＜log a（1+）；②log a（1+a）＜log a（1+）；③ a1+a＜；④a1+a＜；其中成立的是（）A、①③B、①④C、②③D、②④。