控制系统状态方程求解
控制系统状态空间法
控制系统状态空间法控制系统状态空间法是现代控制理论中常用的一种方法，它描述了控制系统的动态行为，并通过状态变量来表示系统的内部状态。
在这篇文章中，我们将详细介绍控制系统状态空间法的基本概念、理论原理以及应用。
一、控制系统状态空间法的基本概念状态空间法是一种描述动态系统的方法，通过一组一阶微分方程来表示系统的动态行为。
在这个方法中，我们将控制系统看作是一个黑盒子，输入和输出之间的关系可以用状态方程和输出方程来描述。
1. 状态方程状态方程描述了系统的内部状态随时间的演化规律。
它是一个一阶微分方程组，通常用向量形式表示：ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)其中，x(t)表示系统的状态向量，A是状态转移矩阵，B是输入矩阵，u(t)是输入向量。
2. 输出方程输出方程描述了系统的输出与内部状态之间的关系。
它通常用线性方程表示：y(t) = Cx(t) + Du(t)其中，y(t)表示系统的输出向量，C是输出矩阵，D是直接传递矩阵。
3. 状态空间表示将状态方程和输出方程合并，可以得到系统的状态空间表示：ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)在状态空间表示中，状态向量x(t)包含了系统的所有内部状态信息，它决定了系统的行为和性能。
二、控制系统状态空间法的理论原理控制系统状态空间法基于线性时不变系统理论，通过分析系统的状态方程和输出方程，可以得到系统的稳定性、可控性和可观测性等性质。
1. 系统稳定性系统稳定性是判断系统是否能够在有限时间内达到稳定状态的重要指标。
对于线性时不变系统，当且仅当系统的所有状态变量都是稳定的，系统才是稳定的。
通过分析状态方程的特征值，可以判断系统的稳定性。
2. 系统可控性系统可控性表示是否可以通过选择合适的输入来控制系统的状态。
一个系统是可控的，当且仅当存在一组输入矩阵B的列向量线性组合可以使得系统的状态从任意初始条件变为目标状态。
通过分析状态转移矩阵的秩，可以判断系统的可控性。
《自动控制原理》线性定常连续系统状态方程的解
2
k!
= P −1IP + P −1 APt + 1 P −1 A2 Pt 2 + + 1 P −1 Ak Pt k +
2
k!
= P −1 (I + At + 1 A2t 2 + + 1 Ak t k + )P = P −1e At P
2
k!
因而式（9-39）成立。
性质10: 两种常见的状态转移矩阵。设 A = diag[1, 2 ,,n ]，
2. 拉普拉斯变换法。将式（9-22）取拉氏变换有
sX (s) = AX (s) + x(0)
则
(sI − A) X (s) = x(0)
X (s) = (sI − A)−1 x(0)
（9-27）
进行拉氏反变换有
x(t) = −1[(sI − A)−1]x(0)
（9-28）
与（9-25）相比有
e At = −1[(sI − A)−1 ]
进行拉氏反变换有 x(t) = −1(sI − A)−1 x(0) + −1[(sI − A)−1 BU (s)]
由拉氏变换卷积定理
−1[F1(s)F2 (s)] =
t
0 f1 (t − ) f2 ( )d
=
t
0 f1 ( ) f2 (t − )d
在此将(sI − A)−1 视为F1 (s)，将BU (s) 视为 F2 (s) ，则有
x(t) = eA(t) x(0) + t eA(t− )Bu( )d 0 t = (t)x(0) + 0 (t − )Bu( )d
结果与式（9－43）相同。上式又可表示为
现代控制理论--3控制系统的状态方程求解-离散化
0 1 0 x x u 0 2 1
近似离散化方法(4/6)—例3-12
解 由近似离散化法计算公式,对本例有
T 1 G(T ) I AT 0 1 2 T
于是该连续系统的离散化状态方程为
0 H (T ) BT T
x(( k 1)T ) Φ(T )x(kT )
( k 1)T
kT
Φ[( k 1)T τ ]dτ Bu(kT )
对上式作变量代换,令t=(k+1)T-,则上式可记为
x((k 1)T ) Φ(T )x(kT ) Φ(t )dtBu(kT )
0
T
将上式与线性定常离散系统的状态方程 x((k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT)
线性定常连续系统的离散化(2/3)
线性定常连续系统状态空间模型的离散化,实际上是指在采 样周期T下,将状态空间模型 x Ax Bu y Cx Du 变换成离散系统的如下状态空间模型:
x(( k 1)T ) G (T )x(kT ) H (T )u(kT ) y (kT ) C (T )x(kT ) D(T )u(kT )
近似离散化方法(2/6)
将上式代入连续系统的状态方程,有 [x((k+1)T)-x(kT)]/T=Ax(kT)+Bx(kT) 即 x((k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT) 将上式与线性定常离散系统状态空间模型的状态方程比 较,则可得如下近似离散化的计算公式: G(T)=I+AT H(T)=BT 将上述近似离散法和精确离散法比较知,
精确法、
线性控制理论 第2章 状态空间表达式的求解
12t 2 0 2 2 2 t 1 2! 0 2 2 n t
1 2 2 1 t t 0 1 1 2! 1 2 2 1 2 t 2 t 2! 1 2 2 0 1 n t n t 2!
1
1 2 1 m 1 t t 2! (m 1)! t （2-21） 1 2 1 t 2! t 1 mm
证明 因
12 1 1 0 1 2 ,A A 0 1 1 1 mm 21
x(t ) Φ(t ) x(0),t 0
上式表明齐次状态方程的解，在初始状 态确定情况下，由状态转移矩阵惟一确定，
即状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部
信息，完全表征了系统的动态特性。
定义2.1
线性定常系统状态转移矩阵 Φ(t t0 ) 是
满足矩阵微分方程和初始条件
(t t ) AΦ (t t ), t t Φ 0 0 0 Φ (t0 t0 ) I
(2-3)
(t ) b1 2b2t kbk t x
( k 1)
k
Ax (t ) A(b0 b1t b2t bk t )
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
比较上式两边t的同次幂可得
现代控制理论第二章
第二章 控制系统状态空间表达式的解建立了控制系统状态空间表达式之后，就是讨论求解的问题，本章重点讨论状态转移矩阵的定义，性质和计算方法，从而导出状态方程的求解公式并讨论连续时间系统状态方程的离散化的问题。
§2-1线性定常齐次状态方程的解（自由解）所谓自由解是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。
状态方程为齐次矩阵微分方程：AX X= （2－1）若初始时刻0t 时的状态给定为00)(x t x =，则式（2-1）有唯一确定解。
0)(0)(x e t x t t A -=，0t t ≥（2－2）若初始时刻从0=t 开始，即0)0(x x =，则其解为：0)(x e t x At =， 0t t ≥（2－3）证：先假设式（2-1）的解)(t x 为t 的矢量幂级数形式，即：+++++=k k t b t b t b b t x 2210)(（2－4）对上式求导： ++++=-1232132)(k k t kb t b t b b t x代人式（2-1）得：A x= ( +++++kk t b t b t b b 2210) （2－5）既然式（2-4）是（2-1）的解，则式（2-5）对任意时刻t 都成立，故t 的同次幂项的系数应相等，有：01Ab b =，0212!2121b A Ab b ==，0323!3131b A Ab b ==，… 01!11b A k Ab kb k k k ==-，… 在式（2-4）中，令0=t ，可得：00)0(x x b == 将以上结果代人式（2-4），故得：022)!1!211()(x t A k t A At t x k k +++++= （2－6）括号内的展开式是n n ⨯矩阵，它是一个矩阵指数函数，记为At e221112!!At k ke At A t A t K =+++++ （2－7）式（2-6）可表示为：0()At x t e x =再用)(0t t -代替)0(-t ，即在代替t 的情况下，同样证明0)(0)(x e t x t t A -=的正确性。
控制系统状态方程求解
第三章控制系统状态方程求解3－1 线性连续定常齐次方程求解所谓齐次方程解，也就是系统的自由解，是系统在没有控制输入的情况下，由系统的初始状态引起的自由运动，其状态方程为：………………………………………………………(3－1)上式中，X是n×1维的状态向量，A是n×n的常数矩阵。
我们知道，标量定常微分方程的解为： (3)2〕与〔3－2〕式类似，我们假设〔3－1〕的解X(t)为时间t的幂级数形式，即：………………………………(3－3) 其中为与X〔t〕同维的矢量。
将〔3－3〕两边对t求导，并代入〔3－1〕式，得：上式对任意时间t都应该成立，所以变量t的各阶幂的系数都应该相等，即：即:……………………………………………〔3－4〕将系统初始条件代入〔3－3〕，可得。
代入〔3－4〕式可得：…………………………………………………………………〔3－5〕代入〔3－3〕式可得〔3－1〕式的解为： (3)6)我们记： (3)7〕其中为一矩阵指数函数，它是一个n×n的方阵。
所以〔3－6〕变为：……………………………………………………………………〔3－8〕当〔3－1〕式给定的是时刻的状态值时，不难证明：………………………………………………………………〔3－9〕从〔3－9〕可看出，形式上是一个矩阵指数函数，且也是一个各元素随时间t变化的n×n矩阵。
但本质上，它的作用是将时刻的系统状态矢量转移到t时刻的状态矢量，也就是说它起到了系统状态转移的作用，所以我们称之为状态转移矩阵(The State Transition Matrix)，并记：……………………………………………………………〔3－10〕所以：【例3－1】，求解：根据〔3－7〕式，3－2 的性质及其求法性质1：【证】根据的定义式〔3－7〕，【证毕】性质2：①②③【证】：①：根据(3－7)式，即有：②：由性质1及其关系①，③:由②式两边同时左乘，注意本身是一个n×n的方阵，，所以：即：从上式可知，矩阵指数函数的逆矩阵始终存在，且等于。
现代控制理论--3控制系统的状态方程求解
7
小结：
1.齐次状态方程的解表示了系统在初始条件作用 下的自由运动，又称为零输入解；
2.系统状态的变化实质上是从初始状态开始的状
态转移，而转移规律取决于 eAt ，eA(t-t0) 故称其
为状态转移矩阵.一般用
x
(t) eAt (t t0) eA(tt0)
来表示。 x 0
2 ! 3 !
AA2t1A3t2L 2!
A(I At 1 A2t2 L ) 2!
AeAt eAt A
13
所以当 Φ(t)=eAt时， &(t)A(t) 又因为 Φ(t)=eAt (t=0时) eA0 =I+A0+...=I 所以 Φ(0)=I 故 eAt 是状态转移矩阵Φ(t)
（2）状态转移矩阵Φ(t)是A阵同阶的方阵，其元 素均为时间函数.
sX(s)-x0=AX(s)+BU(s)
即
X(s)=(sI-A)-1[x0+BU(s)]
其中X(s)和U(s)分别为x(t)和u(t)的拉氏变换。
对上式两边取拉氏反变换,并利用卷积分公式,则有
x ( t ) L 1 ( s A ) I 1 x 0 L 1 ( s A ) I 1 B ( s )U
1 0 3x1u
试求：x(0)=0,u(t)=1(t) 时的状态解。
解：1.求 eAt ： 由前例得：
eAt
2et 2et
e2t 2e2t
et e2t et 2e2t
25
2. 求x(t)
x(t)eA tx00 teA (t )B u ()d
t2 e (t )e 2 (t ) e (t ) e 2 (t ) 0
由于状态空间表达式由两部分组成,即 x& Ax Bu y Cx Du
实验2-状态空间控制模型系统仿真及状态方程求解
韶关学院学生实验报告册实验课程名称:现代控制理论实验项目名称:状态空间控制模型系统仿真及状态方程求解实验类型（打√）:（基础、综合、设计)院系: 物理与机电工程学院专业班级: 08自动化(1）班姓名李世文学号:指导老师: 宁宇韶关学院教务处编制一、实验预习报告内容实验预习评分：二、实验原始(数据）记录实验时间： 年 月 日(星期 第 节) 如有实验数据表格，学生在实验预习时应画好实验数据表格,供实验时填写数据（本页如 不够,可另附相同规格的纸张).（１)125.032)(2323++++++=s s s s s s s G ，求系统的零极点增益模型和状态空间模型，并求其单位脉冲响应及单位阶跃响应。
零极点增益模型： 状态空间模型:指导教师批阅及签名签名：年月日三、实验报告内容年月实验报告内容原则上应包含主要实验步骤、实验数据计算（实验操作)结果、实验结果（疑问)分析等项目。
单位脉冲响应程序及曲线：单位阶跃响应程序及曲线:nuｍ=［１ 2 １ 3］；ｄen=[1 0.５ 2 1]； num＝[1 ２ 1 ３］;ｄen=[1 ０。
5 2 1］;ｄｓtep（num,deｎ)；dｉmpulsｅ(num,deｎ）；(2)已知离散系统状态空间方程:[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+)(21)()(12)(1111221)1(kxkykukxkx，采样周期sTs05.0=。
在Z域和连续域对系统性能进行仿真、分析。
实验程序和结果如下:Ａ=［—１—2 ２;０—1 １;1 0—１］；B=［2;0;1];C=［1 2 0］；D=0;T=0。
0５;［G１,H１]＝c2d（A,Ｂ，Ｔ),[G2，H２,Ｃ２,D2]=c2ｄm(A,B，C，D，T,＇zoh’)[G3,H3，Ｃ３,D3]=c2dm(A,Ｂ,C,D,Ｔ,’fｏh’），[Ｇ4，H４,C4，Ｄ4]＝c2dｍ(Ａ，Ｂ，C,D，Ｔ,’tusｔiｎ’）注：1、如个别实验的实验报告内容多，实验报告册页面不够写，或有识图、画图要求的,学生应根据实验指导老师要求另附相同规格的纸张并粘贴在相应的“实验报告册”中。
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第2章 控制系统的状态方程求解要点：① 线性定常状态方程的解 ② 状态转移矩阵的求法 ③ 离散系统状态方程的解 难点：① 状态转移矩阵的求法 ② 非齐次状态方程的解一 线性定常系统状态方程的解1 齐次状态方程的解考虑n 阶线性定常齐次方程⎩⎨⎧==0)0()()(x x t Ax t x& （2-1） 的解。
先复习标量微分方程的解。
设标量微分方程为⎩⎨⎧==0)0(x x ax x& （2-2）对式（2-2）取拉氏变换得)()(0s aX X s sX =-移项 0)()(x s X a s =- 则 as x s X -=)(取拉氏反变换，得 000!)()(x k at x e t x k kat∑∞=== 标量微分方程可以认为是矩阵微分方程当n=1时的特征，因此矩阵微分方程的解与标量微分方程应具有形式的不变性，由此得如下定理：定理2-1 n 阶线性定常齐次状态方程（2-1）的解为000!)()(x k At x e t x k kAt∑∞=== （2-3） 式中，∑∞==0!)(k kAtk At e推论2-1 n 阶线性定常齐次状态方程⎩⎨⎧==00)()()(x t x t Ax t x& （2-4）的解为 0)(0)(x e t x t t A -= （2-5）齐次状态方程解的物理意义是)(0t t A e -将系统从初始时刻0t 的初始状态0x 转移到t 时刻的状态)(t x 。
故)(0t t A e -又称为定常系统的状态转移矩阵。
(状态转移矩阵有四种求法：即定义（矩阵指数定义）法、拉氏反变换法、特征向量法和凯来-哈密顿（Cayly-Hamilton ）法)从上面得到两个等式 ∑∞==0!)(k kAtk At e])[(11---=A sI L e At其中，第一式为矩阵指数定义式，第二式可为At e 的频域求法或拉氏反变换法2 非齐次状态方程的解设n 阶非齐次方程⎩⎨⎧=+=0)()()()(x t x t Bu t Ax t x& (2-6)将状态方程左乘At e -，有)()()(t Bu e t Ax e t xe At At At ---+=& 移项 积分，再移项左乘At e ，得 ⎰--+=tt t A t t A d Bu e x et x 00)()()(0)(τττ定理2-2 n 阶线性定常非齐次方程（2-6）的解为⎰--+=tt t A t t A d Bu e x e t x 0)()()(0)(τττ从非齐次状态方程解的表达式可以看出其解是由齐次方程的解与控制u （t ）的作用两部分结合而成。
二 矩阵指数At e 的性质1. ])[(11---=A sI L e At2. I e =03. )(ττ+=t A A At e e e4. At At e e --=1)(5. 若矩阵A ，B 满足交换律，即AB=BA ，则有t B A Bt At e e e )(+=⋅6. kAt k At e e =)(7. 设P 是与A 同阶的非奇异矩阵，则有 P e P e At APtP11-=-8.A e Ae e dtd At At At== 9. 传递性。
对任意012,,t t t ，且012t t t >>，有)()1()(0212t t A t t A t t A e e e ---=三 At e 的计算方法1. 定义法∑∞==0!)(k kAtk At e（2-6）2. 拉氏变换法])[(11---=A sI L e At （2-7） 3. 特征值法这种方法分两种情况计算。
首先，考虑A 的特征值不重时（互异），设A 的特征值为i λ),2,1(n i Λ=则可经过非奇异变换把A 化成对角标准形。
即：AP P A1ˆ-= 根据t A e ˆ的性质7写出⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=t ttt An e e e eλλλ0021ˆO（2-8） 根据定义，得ΛΛ++++=++++=---312113322ˆ)(!31)(!21ˆ!31ˆ!21ˆAPt P APt P AP P I t A t A t AI e t AP A P AP P AP P AP P AP P mmm11111)(-----=⋅=44443444421ΛΘΛ++++=∴----33122111ˆ!31!21Pt A P Pt A P APt P P P e t A P t A At I P e t A )!21(221ˆΛ+++=- P e P At 1-= 从而可得：10021-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=P e e e P et ttAtn λλλO（2-9） （2-9）式即为A 的特征值不重时，计算At e 的公式。
其中P 阵为把A 化为对角标准形的交换阵。
P 阵的特征向量的求法：（],,[1n P ξξΛ= ，0)(=-i i A I ξλ） （2-9） 若矩阵A 的具有重根时，用上述的方法也可以推导出：重根所对应的约当块A J 的矩阵指数Ajt e 的分式为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=-jtjtjtjtjt n jt jtAjte te e e e t n te e e λλλλλλλ0)!1(11M O Λ （2-10）求矩阵指数At e 的分式为：1110)!1(1---⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==P e te e e e t n te e P P Pe e jt jtjtjtjt n jt jtAjt At λλλλλλλM O Λ （2-11）式中P 是把A j 化为约当标准形的变换阵。
当A 既有j 重根又有互异的根时：1ˆ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=P e e P et A tA Atj （2-12）P 阵的特征向量的求法：],,,,,,,,[121n j j p p p P ξξΛΛ+= (2-13)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=--=-=-++-0)(0)()()(0)(111112111n n j j j j A I A I pp A I pp A I p A I ξλξλλλλM M(2-14) (注：在（2-13）式中将重根对应的特征向量j p p p ,,,21Λ可放在P 阵的前部，也可以放后，无严格规定。
)4. 莱-哈密尔顿（Cayley-Hamilton ）方法 考虑A 的特征多项式n n n n a a a A I ++++=Φ=---λλλλλ111)(Λ显然对A 的n 个特征值n i i ,,2,1,Λ=λ，有0)(=Φi λ。
根据Cayley-Hamilton 定理有0)(111=++++=Φ--I a A a A a A A n n n n Λ 这里可以看出矩阵A 与i λ具有同等地位。
移项 A a A a A a A a A n n n n n -----=--21121Λ 上式表明，I A A A A n n n ,,,,21Λ--是的线性组合。
因此，可设∑-=--+++==11110)()()()(n k n n k k AtA t A t I t A t eββββΛ （2-15）式中，)(t i β是待定系数，1,,1,0-=n i Λ。
下面分两种情况确定待定系数：（1）A 有n 个不同特征值n λλλΛ,,21,A 的特征值i λ与A 具有同等地位，则有 n i t e n k ki k ti ,,2,1)(1Λ==∑-=λβλ （2-16）这里共有n 个方程，可以唯一确定n 个待定系数)(t i β。
（2） 当A 的特征值有重时，设A 有p 个互异特征值，r 个不同的重特征值，且各重数为j m ，r j ,,2,1Λ=。
若j λ是j m 重特征值，则将j λ满足的方程kjn k k tt ej ∑-==1)(βλ对i λ求1-j m 次导，这样共有j m 个独立方程。
一般地，设A 的特征值为p λλλ,,21Λ为单特征值 1+p λ 是1m 重特征值 …………r p +λ 为r m 重特征值。
有 n m p rj j =+∑=1则 )(t i β由下面n 个独立方程确定：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧====⎩⎨⎧==∑∑∑∑-=+---=+++-=+-=+++++1011101010)(()(,2,1))(()()(,2,1)(n k k j p k m m tm m n k k jp k j p t j p n k k j p k t j n k k ik t t d d e d d rj t d d e d d t e m pi t e p n j j p j jp j j p j j p j p i λβλλλβλλλβλβλλλλΛΛΛΛΛΛ个方程个方程个方程（2-17）例4阶系统（n=4），有一个根重了3次，即j=3，用莱-哈密尔顿（Cayley-Hamilton ）方法求状态转移矩阵，即用（2-17）式推得：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-t t t t e e t te e t t t t t t t t 14111213424412113121132101620032101)()()()()(λλλλλλλλλλλλλβββββ （2-18） 然后按（2-15）式计算∑-=--+++==101110)()()()(n k n n k k AtA t A t I t A t e ββββΛ四 线性离散系统的状态空间表达式及连续系统离散化1 离散系统的状态空间模型在古典控制理论中，离散系统用差分方程描述，差分方程和描述连续系统的微分方程有着对应的关系。
事实上，对微分方程以差商来近似微分时，微分方程就可由差分方程来近似。
与连续系统相似，对n 阶离散系统的差分方程[][][][][][][][]k u b k u b m k u b m k u b k y a k y a n k y a n k y m n n n ++++-+++=++++-+++--111111011ΛΛ （2-19）若选择适当的状态变量就可将其转换成一足一阶差分方程或一阶向量差分方程，从而得到与其对应的状态空间模型。
即 [][][][][][]⎩⎨⎧+=+=+kT Du kT Cx kT y kT Gu kT Fx T k x )1( （2-20）此外对连续系统的状态空间模型离散化也可得到离散的状态空间表达式。
例 已知某离散系统的差分方程为 [][][][][]k u k y k y k y k y =++++++21233 试求其状态空间表达式。