反证法导学案
2.2.1反证法导学案
导学案§2.2.2 反证法学习目标：1.了解反证法，体会反证法的思考过程，特点2.会用反证法证明数学问题学习重点：反证法的思维过程及用反证法证明数学命题学习难点：如何提出反设以及对结论的处理学习方法：学生通过阅读课本P42—P43，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标。
一、自主学习（一）复习回顾1．直线与直线的位置关系有几种？分别为？2．直线与平面的位置关系有几种？分别为？（二）新课导读1．2．用反证法证明命题:“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤:①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为180°相矛盾,则∠A=∠B=90°不成立;②所以一个三角形中不能有两个直角;③假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角,不妨设∠A=∠B=90°.正确顺序的序号排列为.3．△ABC中,若AB=AC,P是△ABC内的一点,∠APB>∠APC,求证:∠BAP<∠CAP.用反证法证明时的假设为.4．判断下列问题，如果错误说明原因：(1)反证法属于间接证明问题的方法.( )(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理.( )(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾.( ))5．用反证法证明数学命题的步骤：否定结论——推出矛盾——肯定结论：即分三个步骤：反设—归谬—存真（1）反设——（2）归谬——（3）存真——注：归谬矛盾：（1）与矛盾；（2）与矛盾；（3）与矛盾.6．写出下面一些常见的结论的否定形式：原词语否定词原词语否定词等于大于是 小于 都是 任意的 至少有一个至多有一个二、典型例题例1．已知a ≠0，证明x 的方程ax=b 有且只有一个根．思考：反证法主要适用于什么情形？三、课堂达标检测1．求证：5,3,2 不可能成等差数列。
2．已知：∠A ，∠B ，∠C 是△ABC 的内角，求证：∠A ，∠B ，∠C 中至少有一个不小于60°。
反证法导学案
主备人：审核：包科领导：年级组长：使用时间：3反证法【教学目标】1. 结合已学过的实例，了解反证法是间接证明的一种基本方法。
2.了解反证法的思考过程与特点，能正确运用反证法进行数学证明。
3.体验自主探究、合作式学习的快乐、收获成功的快乐。
【重点、难点】重点：反证法。
难点：反证法的应用。
【学法指导】1根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；2用红笔勾出疑难点，提交小组讨论；3预习p13-p15【自主探究】不看不讲1.在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其一。
我们可先假设---------------，在这个前提下，若推出的结果与------、------、------相矛盾，或与命题中的----------相矛盾，或与假设相------、从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定--------------成立，这种证明方法叫作反证法。
2.反证法的整体步骤是：（1）作出-------------的假设；（2）进行推理，导出------------；（3）否定-----，肯定--------。
3.若证明命题“质数有无限多个”，适宜的证法是（）（A）综合法（B）分析法（C）反证法（D）逼近法4、用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（A）假设至少有一个钝角（B）假设至少有两个钝角（C）假设没有一个钝角（D）假设没有一个钝角或至少有两个钝角。
5、已知1,0<<ba，用反证法证明)1(),1(abba--不能都大于14时，反设正确的是（）A．)1(),1(abba--都大于41，B．)1(),1(abba--都小于41C．)1(),1(abba--都大于或等于14D．)1(),1(abba--都小于或等于41/【合作探究】不议不讲例1、设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直。
例2、已知函数 f(x) 是(-∞、+∞) 上的增函数，a,b ∈R.若 f(a)+f(b) ≧f(-a)+f(-b) ，求证：a+b ≧0.例3、已知：0﹤α﹤2π，0﹤β﹤2π，且sin(α+β)= 2sin α 求证：α﹤β.【巩固提高】不练不讲1、课本p15,第3、5题2、已知ab c ∈R,a+b+c =0,abc=1 ,求证：a,b,c 中至少有一个大于32.3、若a 、b 、c 、d 有a=b ，c=d 。
反证法导学案2课时
2.2.2《反证法》导学案（第1课时）主备人：徐恩战 审核人：徐恩战 使用时间：2013---03【学习目标】1.结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；2.了解反证法的思考过程、特点;3.会用反证法证明问题.【重难点】 重点：反证法的证明步骤 难点：运用反证法证题【自主探究】反证法：一般地，假设 不成立（即在 的条件下， 不成立），经过 的推理，最后得出 。
因此说明假设 ，从而证 明了 ，这样的证明方法叫做反证法（归谬法）。
反证法的过程包括以下三个步骤： （1）反设——假设所要证明的结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）归谬——由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾（与已知条件或已知 的公理、定理、定义、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾）； （3）存真——因为推理正确，产生的矛盾原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立．1.“是”的反面是2. “有”的反面是3.“等”的反面是4.“成立”的反面是5.“有限”的反面是【注意】：1.“都是”的反面是不都是，即“至少有一个不是”(不是“都不是”)2.“都有”的反面是 即“ ”(不是“ ”)3.“都不是”的反面是 即“ ”(不是“ ”)4.“都没有”的反面是 即“ ”(不是“ ”)5.至少有一个的反面是 , 至多有一个的反面是6.至少有n 个的反面是 ,至多有n 个的反面是7.对所有x 成立的反面是 ,对任意x 不成立的反面是8.P 或q 的反面是 , P 且q 的反面是【合作探究、课堂互动】（核心知识突破） 例1．（证明“至少”、“至多”型命题）若c b a ,,均为实数，且62,32,22222πππ+-=+-=+-=x z c z y b y x a 。
求证：c b a ,,中至少有一个大于0。
【点拨】本题的结论中包含的情形较多，而其反面结论只有一个，于是作出假设，导出矛盾，故假设为假，从而原命题为真.证明：假设c b a ,,都不大于0，即0,0,0≤≤≤c b a ，则有0≤++c b a ，而3)632()1()1()1()62()32()22(222222-+++-+-+-=+-++-++-=++ππππππz y x x z z y y x c b a=3)1()1()1(222-+-+-+-πz y x ∴222)1(,)1(,)1(---z y x 均大于或等于0，03>-π，∴0>++c b a ，这与假设0≤++c b a 矛盾，故c b a ,,中至少有一个大于0。
高中数学《反证法》导学案
2.2.2反证法1．反证法是□01间接证明的一种基本方法．假设原命题□02不成立，经过正确的推理，最后得出□03矛盾，因此说明假设□04错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．2．用反证法证明命题的步骤，大体上分为：(1)反设：假设命题的结论□05不成立，即假设结论的反面成立；(2)归谬：从□06假设出发，通过推理论证，得出矛盾；(3)结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．3．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与□07已知条件矛盾，或与□08假设矛盾，或与□09定义、定理、公理、事实矛盾等．反证法中的“反设”和“归谬”(1)反证法中的“反设”，这是应用反证法的第一步，也是关键一步．“反设”的结论将是下一步“归谬”的一个已知条件．“反设”是否正确、全面，直接影响下一步的证明．做好“反设”应注意：①正确分清题设和结论；②对结论实施正确否定；③对结论否定后，找出其所有情况．(2)反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是从命题结论的题设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)反证法属于间接证明问题的方法．()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．()(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．()答案(1)√(2)×(3)√2．做一做(1)已知a≠0，证明关于x的方程ax＝b有且只有一解，适宜用________证明．(2)用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有一个能被5整除”，则假设的内容是________．(3)用反证法证明命题“如果a>b，则3a>3b”时，假设的内容是________．答案(1)反证法(2)a，b都不能被5整除(3)3a≤3b探究1用反证法证明否定性命题例1已知f(x)＝a x＋x－2x＋1(a>1)，证明方程f(x)＝0没有负数根．[证明]假设x0是f(x)＝0的负数根，则x0<0，x0≠－1且ax0＝－x0－2 x0＋1，由0<ax0<1可知0<－x0－2x0＋1<1，解得12<x0<2，这与x0<0矛盾，故假设不成立．即方程f(x)＝0没有负数根．拓展提升反证法属于逻辑方法范畴，它的本质体现在“否定之否定等于肯定”，其中第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属于“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”．【跟踪训练1】已知a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1.求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.证明假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.因为ad－bc＝1，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝ad－bc.所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0.所以2a2＋2b2＋2c2＋2d2＋2ab＋2cd＋2bc－2ad＝0.所以(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＝0.所以a ＋b ＝0，b ＋c ＝0，c ＋d ＝0，a －d ＝0， 所以a ＝b ＝c ＝d ＝0，所以ad －bc ＝0，这与ab －bc ＝1矛盾，从而假设不成立，原命题成立， 即a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ≠1.探究2 用反证法证明“至多”“至少”型命题例2 已知a ，b ，c 是互不相等且均不为0的实数，求证：由y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a 和y ＝cx 2＋2ax ＋b 确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点．[证明] 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点． 由y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a ，y ＝cx 2＋2ax ＋b ，得Δ1＝(2b )2－4ac ≤0，且Δ2＝(2c )2－4ab ≤0，且Δ3＝(2a )2－4bc ≤0.同向不等式求和得4b 2＋4c 2＋4a 2－4ac －4ab －4bc ≤0， ∴2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ≤0， ∴(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2≤0，∴a ＝b ＝c . 这与题设a ，b ，c 互不相等矛盾， 因此假设不成立，从而命题得证．拓展提升常见结论词与反设词列表如下：【跟踪训练2】 求证下列三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实根时实数a 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≥－1或a ≤－32.证明若方程没有一个有实根，则⎩⎪⎨⎪⎧16a 2－4(3－4a )<0，(a －1)2－4a 2<0，4a 2＋8a <0.解得－32<a <－1.所以若三个方程至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≥－1或a ≤－32.探究3 用反证法证明唯一性命题例3 用反证法证明：过已知直线a 外一点A 有且只有一条直线b 与已知直线a 平行．[证明] 由两条直线平行的定义可知，过点A 至少有一条直线与直线a 平行． 假设过点A 还有一条直线b ′与已知直线a 平行，即b ∩b ′＝A ，b ′∥a . 因为b ∥a ，由平行公理知b ′∥b ，这与假设b ∩b ′＝A 矛盾，所以假设错误，原命题成立．拓展提升证明“唯一性”命题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便．【跟踪训练3】 已知直线m 与直线a 和b 分别交于A ，B 且a ∥b ，求证：过a ，b ，m 有且只有一个平面．证明 ∵如图，a ∥b ，∴过a ，b 有一个平面α.又m∩a＝A，m∩b＝B，∴A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α.又A∈m，B∈m，∴m⊂α.即过a，b，m有一个平面α.假设过a，b，m还有一个平面β异于平面α，则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β，这与a∥b，过a，b有且只有一个平面相矛盾．因此，过a，b，m有且只有一个平面．1.“否定结论”是反证法的第一步，它的正确与否直接影响能否正确使用反证法．否定结论的步骤是：弄清结论本身的情况；找出结论的全部相反情况；正确否定上述结论.2.反证法中引出矛盾的结论，不是推理本身的错误，而是开始假定“结论的反面是正确的”是错误的.3.在反证法证题的过程中，经常画出某些不合常理的图形，甚至是不可能存在的图形，这样做的目的是为了能清楚地说明问题．在证明过程中，每一步推理所得结论的正确性，完全由它所依据的理由来保证，而不能借助图形的直观，这与用直接法通过图形找到证题的途径是完全不一样的.1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是()A．假设三个内角都不大于60°B．假设三个内角都大于60°C．假设三个内角至多有一个大于60°D ．假设三个内角至多有两个大于60° 答案 B解析 “至少有一个不大于”的否定为“都大于”，所以选B. 2．如果两个实数之和为正数，则这两个数( ) A ．一个是正数，一个是负数 B ．两个都是正数 C ．至少有一个是正数 D ．两个都是负数答案 C解析 假设两个数都不是正数，则其和必为负数或零．所以选C.3．命题“关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)的解是唯一的”的结论的否定是________．答案 无解或至少两解解析 方程解的情况有：①无解；②唯一解；③两个或两个以上的解． 4．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是________．答案 {a |a ≤－2或a ≥－1}解析 假设两个一元二次方程均无实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝(a －1)2－4a 2<0，Δ2＝(2a )2－4(－2a )<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋2a －1>0，a 2＋2a <0，解得a 的取值集合为：{a |－2<a <－1}，所以其补集为{a |a ≤－2或a ≥－1}，即为所求的a 的取值范围．5．如果非零实数a ，b ，c 两两不相等，且2b ＝a ＋c ，求证：2b ＝1a ＋1c 不成立． 证明 假设2b ＝1a ＋1c 成立，则2b ＝a ＋c ac ＝2b ac .故b 2＝ac .又b ＝a ＋c 2，所以⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝ac ，即(a －c )2＝0，所以a ＝c ， 这与a ，b ，c 两两不相等矛盾，因此2b ＝1a ＋1c 不成立．A 级：基础巩固练一、选择题1．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数”，下列假设中正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个是偶数 答案 B解析 用反证法证明命题时，“a ，b ，c 中至少有一个是偶数”的反设为假设a ，b ，c 都不是偶数．故选B.2．设a ，b ，c 大于0，则3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 的值( ) A ．都大于2 B ．至少有一个不大于2 C ．都小于2 D ．至少有一个不小于2答案 D解析 假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 三个数都小于2，则必有a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a <6，而⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥2a ·1a ＋2b ·1b ＋2c ·1c ＝6，故二者相矛盾，所以假设不成立． 3．实数a ，b ，c 不全为0等价于( ) A ．a ，b ，c 均不为0 B ．a ，b ，c 中至多有一个为0 C ．a ，b ，c 中至少有一个为0 D ．a ，b ，c 中至少有一个不为0 答案 D解析 “不全为0”的对立面为“全为0”，故“不全为0”的含义为“至少有一个不为0”．4．设a ，b ，c 是正数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“P ·Q ·R >0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 必要性显然成立．充分性：若P ·Q ·R >0，则P ，Q ，R 同时大于零或其中两个负的一个正的，不妨设P <0，Q <0，R >0.∵P <0，Q <0，即a ＋b <c ，b ＋c <a ，∴a ＋b ＋b ＋c <c ＋a ，∴b <0，这与a ，b ，c 都是正数矛盾．故P ，Q ，R 同时大于零．5．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁答案 A解析 假如甲：我没有偷，是真的，乙：丙是小偷，丙：丁是小偷是假的，丁：我没有偷就是真的，与他们四人中只有一个人说真话矛盾；假如甲：我没有偷，是假的，即丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷，丙：丁是小偷是假的，成立，所以A 正确．6．对于定义在实数集R 上的函数f (x )，如果存在实数x 0，使f (x 0)＝x 0，那么x 0叫做函数f (x )的一个“好点”．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1不存在“好点”，那么a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 C ．(－1,1) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 A解析 假设函数f (x )存在“好点”，即x 2＋2ax ＋1＝x 有解， ∴x 2＋(2a －1)x ＋1＝0.∴Δ＝(2a －1)2－4≥0， 解之，得a ≤－12或a ≥32.∴f (x )不存在“好点”时，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.故选A.二、填空题7．已知f (x )是R 上的增函数，a ，b ∈R ，下列四个命题： ①若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )；②若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0；③若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)；④若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0.其中真命题是________(填序号)．答案①②③④解析易知①③均为真命题；②用反证法：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a，所以f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，所以f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，与条件矛盾，所以a ＋b≥0，所以②为真命题；④类似于②用反证法也可得出是真命题．8．用反证法证明命题“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为________．答案a，b都不能被3整除解析“至少有一个”的否定是“一个也没有”或“都不是”．9．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对于不同的x1，x2∈[0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，求证：|f(x1)－f(x2)|<12，那么他的反设应该是________．答案∃x1，x2∈[0,1]，使得|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，则|f(x1)－f(x2)|≥1 2解析根据题意知，反证法解题是从假设原命题不成立开始，把结论的否定作为条件，连同其他条件一起经过推断，得出与已知条件或已有原理相矛盾，从而肯定原命题的正确性．这里进行假设时，注意把函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)＝f(1)剥离出来作为已知条件．三、解答题10．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．证明假设a，b，c，d都是非负数，因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1.又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1，这与已知ac＋bd>1矛盾，所以a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．B 级：能力提升练11．已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证： (1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14. 证明 假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14 . 因为a ，b ，c ∈(0,1)，所以1－a >0,1－b >0,1－c >0. 所以(1－a )＋b 2≥(1－a )b >14＝12.同理(1－b )＋c 2>12，(1－c )＋a 2>12.三式相加得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2>32，即32>32，矛盾．所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.12．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)得b n ＝S nn ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.数学·选修2-2[A]∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧ q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾． ∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．。
导学案2.2.2反证法
2.2.2反证法[学习目标]1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．[情景引入]著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”你知道王戎运用了什么思想方法吗？提示：王戎运用了反证法的思想．[新知探究]1．反证法是___________的一种基本方法．2．假设原命题_________，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了___________，这种证明方法叫做反证法．3．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与__________矛盾，或与_______矛盾，或与________________________矛盾等．[例题讲解]例1已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n ＋3，求证：数列{a n }中任意不同的三项都不可能是等比数列．【思路启迪】 该问题是一个否定性命题，可假设在{a n }中存在某不同的三项构成等比数列，然后推得矛盾，从而证明原命题的正确性．【证明】 假设{a n }存在不同的三项a p ，a q ，a r (p 、q 、r 互不相等)构成等比数列．则a 2q ＝a p ·a r ， 即(p ＋3)·(r ＋3)＝(q ＋3)2，∴pr ＋3(p ＋r )＋3＝q 2＋23q ＋3，∴(pr －q 2)＋3(p ＋r －2q )＝0，由于p ，q ，r ∈N *，∴pr －q 2＝0且p ＋r －2q ＝0.于是pr －(p ＋r 2)2＝0，得(p －r )2＝0，故p ＝r ＝q .这与p 、q 、r 互不相等相矛盾，因此假设不成立，即{a n }中任意不同的三项都不可能是等比数列．点评：(1)当要证结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．(2)例2用反证法证明：过已知直线a 外一点A 有且只有一条直线b 与已知直线a 平行．【思路启迪】 由平行直线的定义可知过直线外一点至少可以作一条已知直线的平行线．而“只有一条”可通过假设过点A 有两条直线与直线a 平行，由平行公理推出矛盾．【证明】 由两条直线平行的定义可知，过点A 至少有一条直线与直线a 平行． 假设过点A 还有一条直线b ′与已知直线a 平行，即b ∩b ′＝A ，b ′∥a .因为b ∥a ，由平行公理知b ′∥b .这与假设b ∩b ′＝A 矛盾，所以假设错误，原命题成立． 点评：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)证明．例3已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能同时大于14.【思路启迪】 不能同时大于14，亦即至少有一个不大于14，因此可用反证法证明．【证明】 证法一：假设三式同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式相乘，得(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c >164.又(1－a )a ≤(1－a ＋a 2)2＝14.同理，(1－b )b ≤14，(1－c )c ≤14.以上三式相乘得(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤164，这与(1－a )a (1－b )b (1－c )c >164矛盾，故结论得证．证法二：假设三式同时大于14.∵0<a <1，∴1－a >0.1－a ＋b 2≥ 1－a b >14＝12.同理， 1－b ＋c 2≥12， 1－c ＋a 2≥12. 三式相加得32>32，矛盾，∴原命题成立．点评：(1)当命题出现“至多”“至少”“唯一”等形式时，适合用反证法．(2)“至多”“至少”“都”等词语的否定形式．例4 已知实数p 满足不等式(2p ＋1)(p ＋2)<0，用反证法证明：关于x 的方程x 2－2x ＋5－p 2＝0无实数根．解;假设方程x 2－2x ＋5－p 2＝0有实数根，则该方程的根的判别式Δ＝4－4(5－p 2)≥0，解得p ≥2或p ≤－2①而由已知条件实数p 满足不等式(2p ＋1)(p ＋2)<0，解得－2<p <－12②数轴上表示①②的图形无公共部分，故假设不成立，从而关于x 的方程x 2－2x ＋5－p 2＝0无实数根．[课堂小结]1．反证法是通过证明命题的否定“若p ，则綈q ”为假，从而达到证明原命题为真的目的．因此，在用反证法证题时，一定要把命题的否定求对，命题的否定是保留条件，只否定结论．2．用反证法证明问题时要注意以下三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即当把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．【当堂检测】1．否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时，正确的反设为( )A ．a ，b ，c 都是奇数B ．a ，b ，c 都是偶数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中或都是奇数或至少有两个偶数解析：对“恰有一个”的否定是“一个也没有或至少有两个”，故选D.2．如果两个实数之和为正数，则这两个数( )A ．一个是正数，一个是负数B ．两个都是正数C ．至少有一个数是正数D ．两个都是负数解析：假设两个数都是负数或零，或一负数一零，则其和必为负数或零，这与已知矛盾．故选C.3．用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设( )A ．三角形三个内角都不大于60°B ．三角形三个内角都大于60°C ．三角形三个内角至多有一个大于60°D ．三角形三个内角至多有两个大于60°解析：因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”，所以“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的否定是“三角形三个内角一个也没有不大于60°”即“三角形三个内角都大于60°”，故选B.4．命题“a ，b 是实数，若|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝b ＝1”用反证法证明时应假设为________． 解析：“a ＝b ＝1”即“a ＝1且b ＝1”，其否定为“a ≠1或b ≠1”．5．设实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a ，b ，c 中至少有一个数不小于________．解析：假设a ，b ，c 都小于13，则a ＋b ＋c <1，与a ＋b ＋c ＝1矛盾．故a ，b ，c 中至少有一个不小于13.。
(新课程)高中数学《2.2.2反证法》导学案 新人教A版选修22
学习目标1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；2. 了解反证法的思考过程、特点;3. 会用反证法证明问题.复习1：直接证明的两种方法: 和 ;复习2： 是间接证明的一种基本方法.二、新课导学学习探究探究任务：反证法问题(1)：将9个球分别染成红色或白色,那么无论怎样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个结论吗?问题(2):三十六口缸,九条船来装,只准装单,不准装双,你说怎么装?新知：一般地，假设原命题 ，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设 ，从而证明了原命题 .这种证明方法叫 .试试： 证明：5,3,2不可能成等差数列.反思：证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.典型例题例1 已知0a ≠,证明x 的方程ax b =有且只有一个根.变式：证明在ABC ∆中,若C ∠是直角,那么B ∠一定是锐角.小结：应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.例2求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.变式：求证：一个三角形中，至少有一个内角不少于60︒.小结：反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.动手试试练1. 如果12x >,那么2210x x +-≠.练2. ABC ∆的三边,,a b c 的倒数成等差数列,求证:90B <︒.三、总结提升学习小结1. 反证法的步骤：①否定结论；②推理论证；③导出矛盾；④肯定结论.2. 反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.知识拓展空城计与反证法空城计相传三国时代,蜀国丞相兼军师诸葛亮屯兵阳平时派大将魏延领兵攻打魏国,只留下少数老弱军士守城,不料魏国大都督司马懿率大队兵马杀来,靠几个老弱士兵出城应战犹如鸡蛋碰石头,怎么办?诸葛亮冷静思考之后,传令大开城门,让老弱士兵在城门口洒扫道路,自己则登上城楼,摆好香案,端坐弹琴,态度从容,琴声优雅, 司马懿来到城前见此情况,心中疑惑,他想诸葛亮一生精明过人,谨慎有余,今天如此这般与其一生表现矛盾,恐怕城内必有伏兵,故意诱我入城,决不能中计,于是急令退兵.诸葛亮正是利用司马懿这种心理上的矛盾,才以“不守城”来达到暂时“守住城”的目的，诸葛亮从问题（守住城）的反面（不守城）考虑，来解决用直接或正面方法（用少数老弱兵士去拼杀）很难或无法解决的问题，在历史上留下美谈，这就是家喻户晓的“空城计”. 学习评价当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60︒”时，反设正确的是（ ）.A ．假设三内角都不大于60︒B ．假设三内角都大于60︒C ．假设三内角至多有一个大于60︒D ．假设三内角至多有两个大于60︒2. 实数,,a b c 不全为0等价于为（ ）.A ．,,a b c 均不为0B ．,,a b c 中至多有一个为0C ．,,a b c 中至少有一个为0D ．,,a b c 中至少有一个不为03.设,,a b c 都是正数，则三个数111,,a b c b c a+++（ ）. A ．都大于2 B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于24. 用反证法证明命题“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”的反设为 .5. “4x >”是“240x x ->”的 条件.1. 已知,0x y >,且2x y +>.试证:11,x yy x ++中至少有一个小于2.2. .。
反证法 （25张PPT）学案
4.6反证法导学案班级姓名学习目标：1、了解反证法的含义。
2、了解反证法的基本步骤。
3、会利用反证法证明简单命题。
4、了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交”“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”。
学习重点：反证法的含义和步骤。
学习难点：用两种方法完成平行线的传递性的证明。
一．课前预学根据路边的李树上结满了成熟的果子，有人推断这棵树上李子的味道一定是苦的，你认为有道理吗？为什么？二、课中导学中国古代有一个《路边苦李》的故事:王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动. 有人问王戎为什么?王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?【思考】假设李子不是苦的，即李子是甜的，那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢？那么，树上的李子还会这么多吗？这与事实矛盾吗？说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？所以，李子是苦的.【总结归纳】王戎的推理方法是:提出假设推理论证得出矛盾结论成立【例】小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了，小华对小明说：“昨天晚上下雨了。
”你能对小华的判断说出理由吗？小华的理由吗：假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。
我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。
反证法定义：在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义，公理，定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.【知识拓展】用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的．这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定．既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了．【例】求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角．已知：四边形ABCD.求证：四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角．【总结归纳】反证法的步骤一、提出假设：__________________________________二、推理论证：_______________________________三、得出矛盾:_______________________________四、结论成立：_______________________________求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.(1)你首先会选择哪一种证明方法?(2)如果选择反证法,先怎样假设?结果和什么产生矛盾?【总结归纳】用反证法证题时，应注意的事项 :（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏；（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性；（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的.三、课后延学1．“a<b”的反面应是（）A．a≠b B．a>b C．a=b D．a=b或a>b2．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（）A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于cC．a⊥b D．a与b相交3．请说出下列结论的反面:（1）d是正数; （2）a≥0; （3）a<5．4．如下图，直线AB，CD相交，求证：AB，CD只有一个交点．证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有_____条直线，这与“过两点_______________________”矛盾，所以假设不成立，则______________．5．完成下列证明．如右图，在△ABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角．证明：假设结论不成立，则∠B是_________或_________．当∠B是_______时，则____________________，这与__________________________矛盾；当∠B是_______时，则__________________，这与___________________________矛盾．综上所述，假设不成立．∴∠B一定是锐角．6.用反证法证明：等腰三角形的底角都是锐角．7.（中考•温州）下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（） A．a=-2B．a=-1C．a=1D．a=28.（中考•通化）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（）A．有一个内角大于60°B．有一个内角小于60°C．每一个内角都大于60°D．每一个内角都小于60°答案：1.D2.D3.（1）d是非正数（2）a<0（3）a≥54.两有且只有一条直线原命题成立5.直角钝角直角∠A+∠B+∠C>•180°三角形的内角和等于180°钝角∠A+∠B+∠C>•180°三角形的内角和等于180°6.证明：假设等腰三角形的底角不是锐角.已知：在△ABC中，AB=AC，求证：∠B、∠C是直角或钝角.∵AB=AC , ∴∠B=∠C .∵∠B、∠C是直角或钝角 , ∴∠A+∠B+∠C≥1800 .这与三角形内角和180°矛盾，所以假设不成立，原命题正确.7.A8.C。
《2.2.2反证法》导学案(新部编)2
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.2.2反证法》导学案【学法指导】：认真自学，激情讨论，愉快收获.【学习目标】：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.【学习重点】：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.【学习难点】：根据问题的特点，选择适当的证明方法.【教学过程】：一：回顾预习案1、是间接证明的一种基本方法.2、反证法的定义：一般地，假设原命题不成立(即， )经过，最后，因此说明，从而证明了，这样的证明方法叫做反证法.3、反证法的关键是，这个关键可以是，或 .二讨论展示案合作探究，展示点评例1、(1)实数a，b，c不全为0是指( )．A．a，b，c均不为0B．a，b，c至少有一个为0C．a，b，c至多有一个为0D．a，b，c至少有一个不为0(2)用反证法证明命题“如果a＞b ( )．A成立B成立C成立D成立(3)用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是( )．A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C ．假设三内角至少有一个大于60°D ．假设三内角至多有两个大于60°(4)用反证法证明命题：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么a b c ，，中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是( )Ａ．假设a b c ，，都是偶数Ｂ．假设a b c ，，都不是偶数Ｃ．假设a b c ，，至多有一个是偶数Ｄ．假设a b c ，，至多有两个是偶数例2、(1)用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C ＞180°，这与三角形的内角和为180°矛盾，故假设错误；②所以一个三角形不能有两个直角；③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°．上述步骤的正确顺序为________．(2)下列叙述正确的有__________．(填序号)①“a ＞b ”的反面是“a ＜b ”；②“x ＝y ”的反面是“x ＞y 或x ＜y ”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．例3、课本91页练习第1题.例4、课本91页练习第2题.例5、课本91页A 组第4题.。
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反证法导学案
编写：王长德审核：朱效利日期2012.3.2
一、学习目标
知识与技能：了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题的思想，并能够运用反证法来证明一些问题。
过程与方法：理解并体会反证法的思想内涵。
情感态度与价值观：通过反证法的学习，培养辩证唯物主义观念。
二、学习重、难点
重点：反证法的证明步骤。
难点：运用反证法证题。
三、学习过程
（一）、课前思考
问题1
王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动…
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?
问题2
妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天在外地旅游.小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢!上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么?小芳全家没外出旅游.他是如何推断该命题的正确性的?
1
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（二）、课内探究
各小组根据上面的问题1与问题2的分析交流总结以下问题：
1、反证法的定义：
__________。
2、反证法的步骤：（1）先假设。
（2）然后通过，推出与、、
或，说明假设不成立，从而得到原结论正确。
（三）、典型例题
例1 说出下面的反面的假设
（1）直线与圆只有一个交点。
（2）垂直于同一条直线的两条直线平行。
（3）一个三角形中不能有两个钝角。
例2 试使用反证法证明下列结论
（1）证明线面平行的判断定理。
（2）证明2不是有理数。
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（四）、课堂检测
1、试证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线
也互相平行。
2、设p是质数，证明：p是无理数
四、课堂小结：过这节课的学习你有哪些收获与体会？
五、课后练习
试用反证法证明下列结论
1、求证在一个三角形中，如果两个角不等，那么他们所对的边也
不等。
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2、已知⊙O，直径AB与弦CD相交于E，CE≠ED试证明直径AB一
定不垂直于弦CD。
3.用反证法证明：过一点与一平面垂直的直线只有一条。
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