第四章三维几何变换
立体几何变换学习平移旋转和放缩等立体几何变换方法
立体几何变换学习平移旋转和放缩等立体几何变换方法立体几何变换学习平移、旋转和放缩等立体几何变换方法立体几何变换是一种在三维空间中改变物体位置、方向、形状和大小等属性的方法。
其中，平移、旋转和放缩是最基础的立体几何变换方法。
本文将介绍这三种方法的原理和应用。
一、平移平移是将一个物体在空间中移动到不同的位置，保持其大小和形状不变。
在二维几何中，平移是沿着平行于坐标轴的直线将物体移动到新的位置。
在三维几何中，我们可以通过向量表示物体的平移变换。
在三维空间中，设物体初始位置为P(x,y,z)，平移向量为T(a,b,c)，则物体移动到新位置P'(x',y',z')后，有以下关系：x' = x + ay' = y + bz' = z + c平移变换可以用于物体的移动和场景的布局。
在计算机图形学中，平移变换通常用于物体的位移，以及相机在场景中的位置变换。
二、旋转旋转是围绕某个中心点将物体按照特定角度进行旋转。
在二维几何中，我们可以通过角度表示旋转的大小，并通过中心点进行旋转变换。
在三维几何中，我们使用旋转矩阵来表示旋转变换。
对于一个物体P(x,y,z)在三维空间中的旋转：x' = x*cosθ - y*sinθy' = x*sinθ + y*cosθz' = z其中，θ表示旋转角度。
旋转矩阵可以通过矩阵乘法的方式来计算，将初始点P(x,y,z)与旋转矩阵相乘，得到旋转后的点P'(x',y',z')。
旋转变换可以用于物体的姿态调整、动画效果的制作等方面。
在计算机图形学中，旋转变换是非常常用的一种变换方法。
三、放缩放缩是通过改变物体的尺寸来进行变换。
在二维几何中，我们通常使用一个比例因子来表示放缩的大小。
在三维几何中，我们可以通过三个比例因子来表示物体在不同维度上的放缩。
对于一个物体P(x,y,z)在三维空间中的放缩变换：x' = kxy' = kyz' = kz其中，k表示放缩因子，可以是正数、负数或零。
《计算机图形学》习题与解答
《计算机图形学》习题与解答第一章概述1. 试描述你所熟悉的计算机图形系统的硬软件环境。
计算机图形系统是计算机硬件、图形输入输出设备、计算机系统软件和图形软件的集合。
例如：计算机硬件采用PC、操作系统采用windows2000，图形输入设备有键盘、鼠标、光笔、触摸屏等，图形输出设备有CRT、LCD等，安装3D MAX图形软件。
2. 计算机图形系统与一般的计算机系统最主要的差别是什么？3. 图形硬件设备主要包括哪些？请按类别举出典型的物理设备?图形输入设备：鼠标、光笔、触摸屏和坐标数字化仪，以及图形扫描仪等。
图形显示设备：CRT、液晶显示器（LCD）等。
图形绘制设备：打印机、绘图仪等。
图形处理器：GPU（图形处理单元）、图形加速卡等等。
4. 为什么要制定图形软件标准？可分为哪两类？为了提高计算机图形软件、计算机图形的应用软件以及相关软件的编程人员在不同计算机和图形设备之间的可移植性。
图形软件标准通常是指图形系统及其相关应用系统中各界面之间进行数据传送和通信的接口标准，另外还有供图形应用程序调用的子程序功能及其格式标准。
5. 请列举出当前已成为国际标准的几种图形软件标准，并简述其主要功能。
（1）CGI(Computer Graphics Interface)，它所提供的主要功能集包括控制功能集、独立于设备的图形对象输出功能集、图段功能集、输入和应答功能集以及产生、修改、检索和显示以像素数据形式存储的光栅功能集。
（2）GKS(Graphcis Kernel System)，提供了应用程序和图形输入输出设备之间的接口，包括一系列交互和非交互式图形设备的全部图形处理功能。
主要功能如下：控制功能、输入输出功能、变换功能、图段功能、询问功能等。
6. 试列举计算机图形学的三个应用实例。
（1）CAD/CAM（2）VISC（3）VR.第二章光栅图形学1. 在图形设备上如何输出一个点？为输出一条任意斜率的直线，一般受到哪些因素影响？若图形设备是光栅图形显示器，光栅图形显示器可以看作是一个像素的矩阵，光栅图形显示器上的点是像素点的集合。
三维空间旋转变换公式
三维空间旋转变换公式摘要：1.三维空间的基本概念2.三维空间的旋转变换公式3.旋转变换公式的应用4.总结正文：一、三维空间的基本概念三维空间是一个由三个相互垂直的维度组成的空间，通常用长、宽、高三个参数来表示。
在三维空间中，每个点都具有三个坐标值，即x、y、z，它们分别表示该点在三个维度上的位置。
三维空间广泛应用于物理、数学、工程等领域，对于研究和解决实际问题具有重要意义。
二、三维空间的旋转变换公式在三维空间中，旋转变换是一种基本的几何变换，它可以将一个点或一个物体从一个位置旋转到另一个位置。
旋转变换公式可以用来描述这种变换。
假设有一个点P(x, y, z) 在一个以原点为中心，长、宽、高分别为a、b、c 的三维空间中，现在将这个点围绕原点逆时针旋转α角度，那么旋转后的点P"(x", y", z") 可以通过以下公式计算：x" = xco sα - zsinαy" = ycosα + xsinαz" = zcosα + ysinα其中，α表示旋转的角度，x、y、z 表示点P 的坐标，x"、y"、z"表示旋转后点P"的坐标。
三、旋转变换公式的应用旋转变换公式在实际应用中具有广泛的应用，例如在计算机图形学中，利用旋转变换公式可以将一个图形从一个位置旋转到另一个位置，从而实现图形的变换；在物理学中，旋转变换公式可以用来描述物体的旋转运动，从而研究物体的运动规律；在工程领域，旋转变换公式可以用来解决各种实际问题，如机械设备的旋转、建筑物的倾斜等。
四、总结三维空间的旋转变换公式是一种基本的几何变换公式，它可以描述一个点或一个物体在一个三维空间中的旋转变换。
三维几何建模技术
局限性
无法观察参数的变化，不可 能产生有实际意义的形体
不能表示实体、图形会有 二义性 不能表示实体 只能产生正则形体 抽象形体的层次较低
实体模型
4.3 实体模型的构造方法
常常是采用一些基本的简单的实体（体素），然后 通过布尔运算生成复杂的形体。 实体建模主要包含两个方面的内容：体素的定义与 描述，体素之间的布尔运算。 体素的定义方式有两类： １）基本体素 可以通过输入少量的参数即可定义的体素。 ２）扫描体素 又可分为平面轮廓扫描体素和三维实体扫描体 素。平面轮廓扫描法是一种将二维封闭图形轮廓，沿指 定的路线平移或绕一个轴线旋转得到的扫描体，一般使 用于回转体或棱柱体上。
E:{E1, E2, E3, E4}
E2
V1 F1 E
E1
F2
E E3 V2
E
E4
4.2 几何建模技术
• 几何建模系统分类 （1）二维几何建模系统 （2）三维几何建模系统 • 根据描述方法及存储的几何信息、拓扑信 息的不同，三维几何建模系统可分为三种 不同层次的建模类型： 线框建模、表面建模、实体建模。
产品建模的步骤：
现实物体
抽象化
想象模型
格式化
信息模型 具体化 计算机内部模型
4.1 几何造型技术概述
产品建模技术的发展 20世纪60年代 几何建模技术产生 初始阶段主要采用线框结构，仅包含 物体顶点和棱边的信息。线框建模 表面建模，增加面的信息。
20世纪70年代
20世纪70年代末 实体建模，包含完整的形体几何信 息和拓扑信息。
4.2 几何建模技术
1）顶点坐标值存放在顶点表中； 2）含有指向顶点表指针的边表，用来为多边形的每 条边标识顶点； 3）面表有指向边表的指针，用来为每个表面标识其 组成边。
9-10讲 第4章 变换-几何变换及投影
当a≠c时，即x 方向的变化与y方向的变化不同时， ≠ 时 方向的变化与 方向的变化不同时， 方向的变化不同时 视图中的图形会有伸缩变化，图形变形。 视图中的图形会有伸缩变化，图形变形。 当 a=c=1， b=d=0则 Xv=Xw,Yv=Yw, 图形完全相同 。 ， 则 = , = , 图形完全相同。
14
4.2.3 窗口区和视图区的坐标变换
2. 变换过程 窗口-视图二维变换 窗口 视图二维变换
从应用程序得到 图形的用户坐标 对窗口区域 进行裁剪 窗口至视 区的变换 显示或 绘图
窗口-视图三维变换 窗口 视图三维变换
从应用程序得到图 形的三维用户坐标 投影 对窗口区 域裁剪 窗口至视 区的变换 显示或 绘图
16
4.3.1 齐次坐标
齐次坐标表示法: 维向量表示一个n维向量 齐次坐标表示法 用n+1维向量表示一个 维向量 维向量表示一个 (x,y)点对应的齐次坐标为 其中x 问题1:点对应的齐次坐标为(x 空间中的一点, 非齐次坐标表示方式唯一吗? 问题 点对应的齐次坐标为 h,yh,h), 其中 h=hx, yh=hy, 空间中的一点 非齐次坐标表示方式唯一吗 h≠0. 因此，普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多” ？ 因此，，(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条直 问题2: 空间中的一点 其齐次坐标表示方式唯一吗 问题 普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多” 这样， 这样 空间中的一点, 其齐次坐标表示方式唯一吗？ 点对应的齐次坐标为三维空间的一条直
y2 z2
5
4.1 变换的数学基础
4.1.2 矩阵基础知识
矩阵的加法运算 数乘矩阵 矩阵的乘法运算 零矩阵运算 单位矩阵 矩阵逆运算 转置运算 矩阵的基本性质
黄章进图形学 第四章 几何对象与变换
u P(α, β) = R + αu + βv
u P(α, β) = R + α(Q – R) + β(S – Q)
三角形
R
S(α)与R的凸组合 P与Q的凸组合
T(α, β)
S(α)=αP+(1-α)Q T(α, β)= βS(α)+(1- β)R
P
S(α)
当0≤α, β≤1时定义在三角形内的点
Q
向量的内积
内积或点积：u⋅v = |u| |v| cosθ, θ为两个向 量的夹角
• u⋅v=0⇔u⊥v • | u | cosθ= u ⋅ v / |v|是u在v上的正交投影
向量的外积
外积或叉积：u × v为向量，其长度等于|u| |v| sinθ, 方向垂直于u, v所在的平面，并 且保证u, v, u × v 成为右手系，其中θ为两 个向量的夹角。
高级计算机图形学
中国科学技术大学计算机学院 黄章进 zhuang@
第四章
几何对象与变换
第四章之第一节
几何
基本内容
介绍几何要素
• 标量 • 向量 •点
给出这些要素间的与坐标无关的数学运算 定义基本的几何图元
• 线段 • 多边形
坐标系
二维坐标系
三维坐标系 （右手系）
• 标量、向量、点
标量可以定义为集合中的成员，集合中具 有两种运算(加法和乘法)，运算遵从一些 基本的公理(结合律、交换律、逆) 例：实数或复数全体，通常的加法与乘法 标量自身没有几何属性
为什么需要向量？
(4,6)
CAD中的问题： 给定不共线三个点，那 么过这三点的唯一圆的 圆心在哪里？
第四章--图像的几何变换
7 9 10 11 12 13 15 16 17 18 25 27 28 29 30 31 33 34 35 36
i=[1,6], j=[1,6]. x=[1,6*06]=[1,4], y=[1,6*0.75=[1,5]. x=[1/0.6,2/0.6,3/0.6,4/0.6]=[i2,i3,i5,i6], y=[1/0.75,2/0.75,3/0.75,4/0.75,5/0.75]=[j1,j3,j4,j5,j6].
素值的填充是不连续的。 因此可以采用插值填充的方法来解决。
4.1.3.3 图像旋转的后处理
最简单的方法是行插值（列插值）方法
1. 找出当前行的最小和最大的 非背景点的坐标，记作：
(i,k1)、(i,k2)。
4.1.3.3 图像旋转的后处理
2. 在(k1,k2)范围内进行插值， 插值的方法是：空点的像素 值等于前一点的像素值。
•注意：平移后的景物与原图像相同，但“画 布”一定是扩大了。否则就会丢失信息。
4.1.2 图像的镜像
镜像分为水平镜像和垂直镜像
水平镜像计算公式如下（图像大小为M*N）：
x' y'
x
(水平镜#39; x
平移：
y
''
y '
N
1
N
1
y
123 1
2
3
-1 -2 -3 1
2
3
N 3
图像的旋转计算公式如下： x' x cos y sin y' x sin y cos
• 这个计算公式计算出的值为小数，而坐标值为正整数。 • 这个计算公式计算的结果值所在范围与原来的值所在 的范围不同。
• 因此需要前期处理：扩大画布，取整处理，平移处理
DirectX基本空间变换
vx vy vz
tips：
叉积常用于计算平面法向量的问题。
9
4.1.4 叉积
三维向量的叉积函数D3DXVec3Cross()：
10
4.2矩阵变换
11
4.2.1 基于三维坐标的三维空间变化
2. 平移矩阵
将三维点(x, y, z, 1)分别为沿x、y、z轴平移tx、ty、tz 可通过三维点(x, y, z, 1)与平移矩阵T(tx, ty, tz)相乘实现。
⎡1 0 0 0⎤
T
(tx
,
t
y
,
tz
)
=
⎢ ⎢ ⎢
0 0
1 0
0 1
0⎥⎥ 0⎥
⎢⎢⎣tx ty tz 1⎥⎥⎦
17
4.2.3 基于奇次坐标的矩阵变换
21
4.2.3 基于奇次坐标的矩阵变换
3. 旋转矩阵
2）绕x、y、z轴的组合旋转矩阵
22
4.2.3 基于奇次坐标的矩阵变换
4. 缩放矩阵
三维向量的缩放包括沿x、y、z轴方向的缩放 可通过与平移矩阵S(sx，sy，sz)的乘法操作实现三维空间的缩放。
⎡sx 0 0 0⎤
S(sx
,sy
,sz
)
=
⎢ ⎢ ⎢
三维坐标的空间变换中，缩放和旋转变换是乘法操作，而平移变换 是加法操作。当进行一系列的多次空间变换时，该方法的操作不统一性 导致计算的复杂。因此，我们引入奇次坐标（Homogeneous Coordinate） 的方法表现三维空间的点与向量，并利用其与4×4矩阵实现空间转换。
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绕任意轴的旋转
假定我们已知一个立方体，，它绕固定点P 0且由矢量P1－ P0所指定的方向轴旋转θ角度（规定：面向旋转轴的正向观 察，逆时针的转角为正θ>0;否则θ<0），如何求它的变换矩 阵呢？
Z
Y
X
Z
Y X
Z
Y
X
错切变换
1bc0
T= d 1 f 0 hi10
0001
[ X Y Z T1]= [X+dY+hZ
? 沿x含y错切 T =
1000 d100 0010 0001
bX+Y+iZ
cX+fY+Z
1 ]= [X' Y' Z' 1]
[ X Y ZT 1=][X+dY Y Z 1 ]= [X' Y' Z' 1]
计算机图形学
Computer Graphics
（第四章 三维几何变换）
本章内容简介
? 利用齐次坐标和仿射变换，可以实现所有的 三维几何变换。任何复杂的几何变换都可以 分解成为比例、剪切、反射、旋转和平移等 等简单变换的组合 。
? 本章主要介绍各类三维几何变换及组合变换 方法。
第一节 仿射变换
? 仿射变换是计算机图形学中最常用的变换。下列形式 的坐标变换称为三维仿射变换：
? 沿x含z错切 T =
1000 0100 h010 0001
[ X Y ZT 1=][X+hZ Y Z 1 ]= [X' Y' Z' 1]
? 沿y含x错切 T =
1b00 0100 0010 0001
[ X Y Z 1]
T
= [X bX+Y Z 1 ]= [X' Y' Z' 1]
? 沿y含z错切 T =
X
Y
绘图设备坐标系
X
投影面坐标系
比例变换 a000
T= 0 e 0 0 00j 0 0001
[ X Y Z T1]= [aX eY jZ 1 ]= [X' Y' Z' 1]
Z
Y X
对称变换 ? 对xoy平面对称 T =
[ X Y Z 1]
T
= [X Y -
1000 0100 0 0 -1 0 0001
0010 0001
[ X Y Z 1] = [X' Y' Z' 1]
T
= [X Y Z+fY 1 ]
旋转变换
? 绕x轴旋转?角
1 000
T=
0 cos? sin? 0 0 -sin? cos? 0
0 0 01
? 绕y轴旋转பைடு நூலகம்角
cos? 0 -sin? 0
T=
0 1 00 sin? 0 cos? 0
即：Q的坐标是P的坐标的线性组合。它可以用齐次坐标 来表示：
第二节 三维几何变换(3D Transformations) [ X Y Z T1]= [X' Y' Z' 1]
abcp
比例、错切和 旋转变换
T= d e f q hij r
透视变换
l m n s 全比例变换
平移变换
坐标系
Z
Y
Z
X 右手坐标系
相对于任意平面的反射 三维反射可以是关于给定反射轴的或者是关于给定反射平
面的。关于给定轴的反射等价于绕此轴旋转180°。而关于给 定平面的反射等价于四维空间中的180°旋转。如果反射平面 是坐标平面，可以将此变换看成是左手坐标系和右手坐标系 之间的转换。
Z 1 ] = [X' Y' Z' 1]
? 对xoz平面对称 T =
1000 0 -1 0 0 0010 0001
[ X Y Z 1]
T
= [X -
Y Z 1 ] = [X' Y' Z' 1]
-1 0 0 0
? 对yoz平面对称 T =
0 10 0 0010
0001
[ X Y Z 1]
T
= [-
X Y Z 1 ] = [X' Y' Z' 1]
1000 0100 0i10 0001
[ X Y Z 1]
T
= [X Y+iZ Z 1 ]= [X' Y' Z' 1]
? 沿z含x错切 T =
10c0 0100 0010 0001
[ X Y Z 1]
T
= [X Y Z+cX 1 ]= [X' Y' Z' 1]
1000
? 沿z含y错切 T = 0 1 f 0
0
0 01
? 绕z轴旋转?角
cos? sin? 0 0
T = -sin? cos? 0 0
0
0 10
0
0 01
Z
Y
X
绕x轴旋转90 °
平移变换
1000 T= 0 1 0 0
001 0 lmn1
[ X Y Z T1]= [X+ l Y+m Z+n 1 ]= [X' Y' Z' 1]
三维组合变换
相对于任意点的缩放 考虑一个中心位于点Pc = [xc yc zcT的1长] 方体，其六个面分别与坐标轴
变换步骤：
? 作平移变换T(-P0)，使参考点 P0点与坐标原点重合； ? 求绕矢量u=P1－P0旋转θ角的旋转变换矩阵 R(θ)； ? 作平移变换T(P0)，恢复原来的坐标系。
求R(θ)的方法： 1. 通过坐标系的一系列的旋转变换使 u与坐标系的 z轴
重合后，再绕 z轴旋转θ角度，最后再作相应的坐标 系的一系列逆旋转变换，从而得到变换矩阵 R(θ)； 2. 通过改变坐标系框架和旋转变换得到 R(θ)。