初二数学全等三角形动点专题
数学全等三角形动点问题
数学全等三角形动点问题数学这东西，听起来就有点让人打哈欠，尤其是当你碰上了全等三角形动点问题的时候，简直让人想直接躲进床底下。
不过别担心，今天咱们就来聊聊这个话题，轻松点儿，搞笑点儿，保证让你哈哈大笑，顺便脑袋里也装点儿知识。
想象一下，你跟朋友一起去游乐园，前面是个大旋转木马，大家都在排队。
这个木马就像一个个三角形，转来转去，根本停不下来。
好啦，先说说全等三角形。
全等的意思就是两个三角形一模一样，无论你怎么转、怎么动，都还是那样。
就好比双胞胎，真是一看就知道是兄弟姐妹。
你要是把这俩三角形放在一起，哦哟，简直就像是复制粘贴，连角度和边长都跟着一模一样。
这就有意思了，咱们来设想一下：如果这两个三角形有一个动点，那就像是在给它们穿上舞鞋，在舞池里翩翩起舞。
不管怎么转，这舞姿总是那么优雅，简直让人目不暇接。
想象一下这俩三角形之间的关系，简直就是一对恩爱的小情侣。
一个在这里，另一个在那儿，距离虽然不变，但感觉就像在做双人舞。
它们的边长、角度都保持着一致，这就是全等三角形的神奇之处。
想想，如果我们生活中也能有这种“全等”关系，那可真是太好了。
每天都可以找一个人一起“相约”，不管走到哪儿都不会迷路，心里总是有一份安全感。
不过，这个动点问题就有点麻烦了。
你知道，当一个三角形的某个点动起来的时候，其他的就得跟着动。
这就像你在冰箱前，想喝可乐，结果冰箱门关上了，那可真是让人捶心肝。
你得想办法把这动点的位置确定下来，不然整个三角形就乱了套，跟着你在厨房里晃悠，根本停不下来。
数学里的动点就像生活中的那些变化一样，让人琢磨不透。
你以为这个点在这儿，结果它一下子跑到那边，搞得你摸不着头脑。
想想看，谁没有遇到过这种情况呢？就像在约会时，原本想去的餐厅没了位子，你就得随便找个地方，结果最后吃到了你最讨厌的那道菜，真是让人哭笑不得。
再说说这动点问题的性质。
这个动点在三角形里游来游去，就像小猫追蝴蝶一样。
你永远不知道它下一步会往哪儿去，角度变来变去，让人眼花缭乱。
2024年人教版八年级上册数学第十二章全等三角形专题四 全等三角形中的动点问题
第十二章 全等三角形
专题四 全等三角形中的动点问题
专题四
全等三角形中的动点问题
类型1 以 U 型框为背景的动点问题
1. [2024雅安月考]如图，做一个“U”字形框架
PABQ ，其中 AB ＝42 cm， AP ， BQ 足够长， PA ⊥
AB ， QB ⊥ AB ，点 M 从点 B 出发，向点 A 运动，
10厘米， BC ＝8厘米， CD ＝12厘米，∠ B ＝∠ C ，点 E
为 AB 的中点.如果点 P 在线段 BC 上以3厘米/秒的速度由
B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CD 上由 C 点向 D 点
运动.(1)ຫໍສະໝຸດ 点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过1秒
后，△ BPE 与△ CQP 是否全等？请说明理由.
∴ BE ＝5厘米，∴ BE ＝ PC ，
＝，
在△ BPE 和△ CQP 中，ቐ∠＝∠，
＝，
∴△ BPE ≌△ CQP (SAS).
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2
3
4
专题四
全等三角形中的动点问题
(2)当点 Q 的运动速度为多少时，能够使△ BPE 与△ CQP
全等？
【解】∵△ BPE 与△ CQP 全等，
∵∠ A ＝∠ B ＝90°，
∴使△ ACM 与△ BMN 全等，可分两种情况：
情况一：当 BM ＝ AC ， BN ＝ AM 时，
∵ BN ＝ AM ， AB ＝42 cm，
∴4 t ＋3 t ＝42，解得 t ＝6，
∴ AC ＝ BM ＝3×6＝18(cm)；
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专题四
全等三角形中的动点问题
初中三角形全等、相似提高及动点——超全
三角形专题(一)【等腰三角形】1.等腰三角形的性质（1）定理：等腰三角形有两边相等；（2）定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
（“三线合一”）（3）等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写“等角对等边”。
）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
3.等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60o.它是轴对称图形，有三条对称轴。
4.等边三角形的判定：（1）有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形是等边三角形课堂练习：1．等腰三角形的对称轴是（）A．顶角的平分线B．底边上的高C．底边上的中线D．底边上的高所在的直线2．等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是（）A．17cm B．22cm C．17cm或22cm D．18cm3．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（）A．100°B．100°或40°C．40°D．80°4．正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（）A．60°B．90°C．120°D．150°5．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；•③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；•④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④6．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最准备的判断是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状7．已知△ABC中AB=AC，AD⊥BC于D，若△ABC、△ABD的周长分别是20cm和16cm，•求AD的长．8．如图，△ABC 中BA=BC ，点D 是AB 延长线上一点，DF ⊥AC 于F 交BC 于E ，• 求证：△DBE 是等腰三角形．ED CABF9. 已知：如图，ABC ∆中，AB CD AC AB ⊥=，于D 。
2023-2024学年人教版数学八年级上册第十二章全等三角形微专题——动点问题1(含解析)
2023-2024学年人教版数学八年级上册第十二章全等三角形微专题——动点问题1一、单选题1．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（）A．2B．3C．4D．52．如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，点D在AC上，CD=3，BD平分∠ABC，点P是AB 上一个动点，则下列结论正确的是（）A．PD>3B．PD≥3C．PD≤3D．PD=33．如图，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AD=3，若P是BC上的动点，则线段DP的最小值是（）A．3B．2.4C．4D．54．如图所示，在△ABC中，∠ABC=68°，BD平分∠ABC，P为线段BD上一动点，Q为边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APB的度数是（）A．118°B．125°C．136°D．124°5．如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6，延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC→CD→DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当以A、B、P为顶点的三角形和△DCE全等时，t的值为（ ）A．1B．7C．1或2D．1或76．如图，在△ABC中，∠ACB>90°，△ABC的面积为18，AB=9，BD平分∠ABC，E，F分别是BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值为（ ）A．4B．6C．7D．97．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AD=5，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB=∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（）A．2B．3C．4D．5二、填空题10．如图，在正方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，动点动点Q以3cm/s的速度从点B止移动．设移动的时间为t(与△PAB全等．12．如图，CA⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发，以随着E点运动而运动，且始终保持三角形与点A、B、C组成的三角形全等．13．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA值为．14．如图，∠ACB=90°，AC=/秒的速度沿射线AC运动，点Q秒时，△ABC与以点P，Q，C为顶点的三角形全等．三、解答题15．在平面直角坐标系中，A(−5,0)，B(0,5)．点C为x轴正半轴上一动点，过点A作AD⊥BC交y轴于点E．(1)如图①，若C(4,0)，求点E的坐标；(2)如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且OC<5．其它条件不变，连接DO，求证：DO 平分∠ADC．16．已知：△ABC中，AC=CB，∠ACB=90°，D 为直线BC上一动点，连接AD，在直线AC右侧作AE⊥AD，且AE=AD．(1)如图，当点D在线段BC上时，过点E 作EH⊥AC于H，连接DE，求证：EH=AC；(2)如图，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M．求证：BM=EM．17．如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD=BD，AC=6．(1)求BO的长；(2)F是射线BC上一点，且CF=AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ 全等时，求t的值．18．定理：三角形任意两边之和大于第三边．(1)如图1，线段AD，BC交于点E，连接AB，CD，判断AD+BC与AB+CD的大小关系，并说明理由；(2)如图2，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，在OA，OB上截取OE=OF，连接PE，PF．求证：PE=PF；(3)如图3，在△ABC中，AB>AC，P为角平分线AD上异于端点的一动点，求证：PB−PC>BD−CD．19．如图，在△ABC中，D为AB的中点，AB=AC=10cm，BC=8cm，动点P从点B出发，沿BC方向以每秒3cm的速度向点C运动；同时动点Q从点C出发，沿CA方向以每秒3 cm的速度向点A运动，运动时间是t秒．(1)在运动过程中，当点C位于线段PQ的垂直平分线上时，求出t的值；(2)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△BPD和△CQP全等，若存在，求出t的值．若不存在，请说明理由．20．在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是射线BA上一动点，连接CD，以CD为边作∠DCE=45°，CE在CD右侧，CE与过点A且垂直于AB的直线交于点E，连接DE．(1)当CD，CE都在AC的左侧时，如图①，线段BD，AE，DE之间的数量关系是_________；(2)当CD，CE在AC的两侧时，如图②，线段BD，AE，DE之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；(3)当CD，CE都在AC的右侧时，如图③，线段BD，AE，DE之间有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，不必证明．参考答案：1．B【分析】根据垂线段最短得出当PQ⊥OM时，PQ的值最小，根据角平分线性质得出PQ=PA，求出即可．【详解】解：当PQ⊥OM时，PQ的值最小，∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，∴PQ=PA=3，故选：B．【点睛】本题考查了角平分线性质，垂线段最短的应用，解题的关键是能得出使PQ最小时Q 的位置．2．B【分析】连接DP，根据角平分线的性质及垂线段最短解答即可．【详解】解：连接DP，如图所示：∵∠C=90°，BD平分∠ABC，∴当DP⊥AB时，DP=CD=3那么当DP不垂直AB时，DP>CD=3，∵垂线段最短，∴PD≥3，故选：B．【点睛】本题考查的是角平分线的性质及垂线段最短，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．3．A【分析】由垂线段最短可知当DP⊥BC时，DP最短，根据角平分线的性质即可得出结论．【详解】解：当DP⊥BC时，DP的值最小，∵BD平分∠ABC，∠A=90°，∵BD平分∠ABC，∠ABC=∠ABC ∴∠ABD=∠CBD=12∵BP=BP，∴△PBQ≌△PBE(SAS)，∵∠AEB=90°，∠CBD=34°∴∠APB=∠AEB+∠CBD=∵BD平分∠ABC，PE⊥AB，EF⊥∴PE=EF，∴CP=CE+PE=CE+EF的最小值．即CE+EF的最小值为4，故选：A．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将CE+EF的最小值为转化为CP，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．7．D【分析】根据等角的余角相等求出∠ABD=∠CBD，再根据垂线段最短可知DP⊥BC时DP最小，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP=AD．【详解】解：∵BD⊥CD，∠A=90°．∴∠ABD+∠ADB=90°，∠CBD+∠C=90°，∴∠ABD=∠CBD，由垂线段最短得，DP⊥BC时DP最小，此时，DP=AD=5．故选：D．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质并判断出DP最小时的位置是解题的关键．8．D【分析】当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA=PB，AP=BQ时，△APE≅△BQP②当AP=BP，AE=BQ时，△AEP≅△BQP，分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可．【详解】当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA=PB，AP=BQ时，△APE≅△BQP，∵AB=10cm，AE=6cm，∴BP=AE=6cm，AP=4cm，∴BQ=AP=4cm；∵动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，∴点P和点Q的运动时间为：4÷2=2s，∴v的值为：4÷2=2cm/s；②当AP=BP，AE=BQ时，△AEP≅△BQP，∵AB=10cm，AE=6cm，∵BD平分∠ABC，∴∠N′BM=∠NBM，在△MBN′与△MBN中，{BN′=BN∠N′BM=∠NBM，BM=BM×AB×CN′，此时S△ABC=12×4×CN′，可得6=12可得CN′=3，∴CM+MN的最小值为3，故答案为：3．∵AB=AD，∠ABP=∴BP=AQ，∵AQ=AB−BQ=8−3t，BP=t，∴8−3t=t，∴t=2s，当点Q在边AD时，不能构成△QAD，当点Q在边CD上时，如图2，AB+AD+DQ=3t，BP=t，∴DQ=3t−16．要使△PAB和△QAD全等，只能是△PAB≌△QAD，∴BP=DQ，∴t=3t−16，∴t=8s，故答案为：2s或8s．【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质解本题的关键是分类讨论，用方程的思想解决问题．11．5【分析】由平行线的性质可得∠EBF=∠A，由ASA证明△BEF≌△AED，得到AD=BF，最后由BF+CD=AD+CD=AC即可得到答案．【详解】解：∵BF∥AC，∴∠EBF=∠A，∵E为AB中点，∴BE=AE，在△BEF和△AED中，{∠EBF=∠ABE=AE∠BEF=∠AED，∴△BEF≌△AED(ASA)，∴AD=BF，∴BF+CD=AD+CD=AC=5，故答案为：5．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行线的性质、三角形全等的判定与性质是解题的关键．12．0或2或6或8【分析】首先分两种情况：当E在线段AB上和当E在BN上，然后再分成两种情况AC=BE和AB=EB，分别进行计算，即可得出结果．【详解】解：①当E在线段AB上，AC=BE时，△ACB≌△BED，∵AC=4cm，∴BE=4cm，∴AE=AB−BE=4cm，∴点E的运动时间为4÷2=2（秒）；②当E在BN上，AC=BE时，△ACB≌△BED，∵AC=4cm，∴BE=4cm，∴AE=AB+BE=12cm，∴点E的运动时间为12÷2=6（秒）；③当E在线段AB上，AB=EB时，△ACB≌△BDE，这时E在A点未动，因此时间为0秒；④当E在BN上，AB=EB时，△ACB≌△BDE，∵AB=8cm，∴BE=8cm，∴AE=AB+BE=16cm，∴点E的运动时间为16÷2=8（秒），综上所述，当点E经过0秒或2秒或6秒或8秒时，由点D、E、B组成的三角形与点A、B、C 组成的三角形全等，故答案为：0或2或6或8．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是注意分类讨论思想的运用．13．3【分析】过P作PE⊥OB交OB于E，当D于E重合时，PD=PE最小，即可求解．【详解】解：如图，过P作PE⊥OB交OB于E，∴当D于E重合时，PD=PE最小，∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，∴PE=PC=3，∴PD的最小值为3，故答案：3．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，垂线段定理，掌握定理是解题的关键．14．1或3或4【分析】设点P运动时间为t秒，根据已知条件分△ABC≌△PQC，△ABC≌△QPC，两种情况，根据AC=PC=4和BC=PC=2列方程求出t值即可．【详解】解：∵AC=2BC=4，∴BC=2，设点P运动时间为t秒，∵∠ACB=∠PCQ=90°，PQ=AB，∴当△ABC≌△PQC时，AC=PC=4，∴|4−2t|=4，解得：t=0（舍）或t=4；当△ABC≌△QPC时，BC=PC=2，∴|4−2t|=2，解得：t=1或t=3；综上：1秒或3秒或4秒时，△ABC与以点P，Q，C为顶点的三角形全等，故答案为：1或3或4．【点睛】本题考查直角三角形全等的判定，关键是找到所有符合题意的情况．15．(1)点E 的坐标为(0，4)；(2)见解析【分析】（1）可证明△AOE≌△BOC(ASA)，从而得出OE =OC ，进而求得；（2）过O 作OM ⊥DA 于M ，ON ⊥DC 于N ，根据△AOE≌△BOC ，得S ΔAOE =S ΔBOC ，从而得出OM =ON ，进而得证．【详解】（1）解：如图，∵AD ⊥BC ，AO ⊥BO ，∴∠AOE =∠BDE =∠BOC =90°，∴∠OAE +∠ACD =90°，∠OBC +∠ACD =90°，∴∠OAE =∠OBC ，∵A (−5，0)，B (0，5)，∴OA =OB =5．在△AOE 和△BOC 中，{∠OAE =∠OBC OA =OB ∠AOE =∠BOC，∴△AOE≌△BOC(ASA)，∴OE =OC ，∴点C 坐标为(4,0)，∴OE =OC =4，∴E (0，4)；（2）证明：如图，过O作OM⊥DA于M，ON⊥DC于由（1）知，△AOE≌△BOC，∴SΔAOE=SΔBOC，AE=BC，∴1 2×AE×OM=12×BC×ON，∴OM=ON，{∠AHE =∠C ∠AEH =∠DAC AE =DA，∴△AEH≌△DAC(AAS)，∴EH =AC ．（2）如图，作EF ⊥CM 交CM 的延长线于点F ，∵∠F =90°，∠ACD =180°−∠ACB =90°，∠DAE =90°，∴∠F =∠ACD =∠MCB ，∵∠FAE +∠CAD =90°，∠CDA +∠CAD =90°，∴∠FAE =∠CDA ，在△FAE 和△CDA 中，{∠F =∠ACD ∠FAE =∠CDA AE =DA，∴△FAE≌△CDA(AAS)，∴EF =AC ，∵AC =CB ，∴EF =AC =BC ，在△BMC 和△EMF 中，{∠MCB =∠F ∠BMC =∠EMF BC =EF，∴△BMC≌△EMF(AAS)，∵BM =EM ．【点睛】此题考查了同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．17．(1)6∵∠BOD=∠ACD，∴∠AOP=∠ACF，∵AO=CF，∴当OP=CQ时，△AOP≌△FCQ∵∠BOD=∠ACD，∴∠AOP=∠FCQ，∵AO=CF，∴当OP=CQ时，△AOP≌∴t=4t−6，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠EAP=∠CAP，在△APE和△APC中，{AE=AC（3）过点C作CF⊥CE，交AB于点F，如图，先证明△CBF≌△CAE，得到BF=AE，CF=CE，然后证明△DCE≌△DCF解题即可；【详解】（1）过点C作CF⊥CE，交AB延长线于点F，如图．∴∠ECF=∠ACB=90°．∴∠FCB=∠ECA．∵AE⊥AB，∴∠EAB=90°．∵∠CBA=∠CAB=45°，∴∠CBF=∠CAE=135°．∵BC=AC，∴△CBF≌△CAE(ASA)．∴BF=AE，CF=CE．∵∠DCE=45°，∠ECF=90°，∴∠DCE=∠DCF=45°．∵CD=CD，∴△DCE≌△DCF(SAS)．∴DE=DF．∵BD+BF=DF，∴BD+AE=DE．故答案为：BD+AE=DE．（2）图②的猜想：BD−AE=DE．证明：过点C作CF⊥CE，交AB于点F，如图②．∴∠ECF=∠ACB=90°．∴∠CBF=∠CAE．∵AE⊥AB，∴∠EAB=90°．∵∠CBA=∠CAB=45°，∴∠CBF=∠CAE=45°．∵BC=AC，∴△CBF≌△CAE(ASA)．∴BF=AE，CF=CE．∵∠DCE=45°，∠ECF=90°，∴∠DCE=∠DCF=45°．∵CD=CD，∴△DCE≌△DCF(SAS)．∴DE=DF．∵BD−BF=DF，∴BD−AE=DE．（3）过点C作CF⊥CE，交AB于点F，如图∴∠ECF=∠ACB=90°．∴∠FCB=∠ECA．∵AE⊥AB，∴∠EAB=90°．∵∠CBA=∠CAB=45°，∴∠CBF=∠CAE=45°．∵BC=AC，∴△CBF≌△CAE(ASA)．∴BF=AE，CF=CE．∵∠DCE=45°，∠ECF=90°，∴∠DCE=∠DCF=45°．∵CD=CD，∴△DCE≌△DCF(SAS)．∴DE=DF．∵BD−BF=DF，∴BD−AE=DE．故答案为：BD−AE=DE．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．。
初中数学全等三角形中的动态问题(知识点例题解析)
初中数学全等三角形中的动态问题（知识点+例题解析）初中数学中，动点问题是学习的重、难点，在三角形、矩形等一些几何图形上，设计一个或多个动点，探究全等三角形存在性问题，该类题目具有较强的综合性。
解决动点问题常见的答题思路是：1.注意分类讨论；2.仔细探究全等三角形对应边与对应角的变化；3.利用时间表示出相应线段或边的长度，列出方程求解.【典例解析】【例1－1】（2020·周口市月考）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E离开点A后，运动______秒时，△DEB与△BCA全等．【例1－2】（2020·江阴市月考）已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC－CD－DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为_____秒时，△ABP和△DCE全等．A．1B．1或3C．1或7D．3或7【变式1－1】（2020·无锡市月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高．点E从点B出发沿直线BC以2cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F.(1)试说明：∠A＝∠BCD；(2)当点E运动多长时间时，CF＝AB.请说明理由．【变式1－2】（2020·河北灵寿期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A(0，m)、B(n，0)，且|m﹣n﹣0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒．(1)求OA、OB的长；(2)连接PB，设△POB的面积为S，用t的式子表示S；(3)过点P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【例2】（2020·惠州市月考）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D．∠ACE＝90°，且AC ＝5cm，CE＝6cm，点P以2cm/s的速度沿A→C→E向终点E运动，同时点Q以3cm/s的速度从E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E→C→…运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P，Q分别作BD的垂线，垂足为M，N．设运动时间为ts，当以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为_____．【变式2－1】（2020·江阴市月考）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，点E从D 点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C 作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．（1）试证明：AD∥BC．（2）在移动过程中，小芹发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，△DEG与△BFG全等．【变式2－2】（2020·重庆巴南月考）如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在cm s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它线段AB上以1/们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的cm s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若运动速度为x/不存在，请说明理由．【变式2－3】（2020·江苏兴化月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC—CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC—CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设点P的运动时间为t（秒）：（1）当P、Q两点相遇时，求t的值；（2）在整个运动过程中，求CP的长（用含t的代数式表示）；（3）当△PEC与△QFC全等时，直接写出所有满足条件的CQ的长．【例3】（2020·惠州市月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，∠B=∠C，AD＝2BD．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP 全等？（3）若点Q以（2）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【变式3－1】（2019·山西太原月考）如图1，在长方形ABCD中，AB=CD=5cm，BC=12cm，点P从点B 出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts．（1）PC=___cm；(用含t的式子表示)（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？．（3）如图2，当点P从点B开始运动，此时点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得某时刻△ABP与以P，Q，C为顶点的直角三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．【变式3－2】（2020·四川成都）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为_____厘米/秒时，能够使△BPE与以C、P、Q 三点所构成的三角形全等．【习题精练】=，BC6=，线段PQ=AB，1．（2020·江苏东台月考）如图，有一个直角三角形ABC，∠C＝90°，AC10点Q在过点A且垂直于AC的射线AX上来回运动，点P从C点出发，沿射线CA以2cm/s的速度运动，问>，才能使△ABC≌△QPA全等．P点运动___________秒时(t0)2.（2020·江苏泰州月考）如图，AB =12，CA ⊥AB 于A ，DB ⊥AB 于B ，且AC =4m ，P 点从B 向A 运动，每分钟走1m ，Q 点从B 向D 运动，每分钟走2m ，P 、Q 两点同时出发，运动_______分钟后△CAP 与△PQB 全等．3．（2020·常州市月考）如图， ADC 中．∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ．AD ⊥AC ，AB ＝PQ ，P 、Q 两点分别在AC 、AD 上运动，当AQ ＝_____时，△ABC 才能和△APQ 全等．4.（2020·江西新余期末）如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8cm AC =，15cm BC =，点M 从A 点出发沿A C B →→路径向终点运动，终点为B 点，点N 从B 点出发沿B C A →→路径向终点运动，终点为A 点，点M 和N 分别以每秒2cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M 和N 作ME l ⊥于E ，NF l ⊥于F .设运动时间为t 秒，要使以点M ，E ，C 为顶点的三角形与以点N ，F ，C 为顶点的三角形全等，则t 的值为______.5.（2020·武城县月考）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等？6.（2020·盐城市盐都区月考）如图，有一个直角△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=3，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问：当AP=________时，才能使以点P、A、Q 为顶点的三角形与△ABC全等．7.（2020·四川青羊期中）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝90°，AH是△ABC的高，AH＝4cm，BC＝8cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接AD、AE，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）请直接写出CD、CE的长度（用含有t的代数式表示）：CD＝cm，CE＝cm；（2）当t为多少时，△ABD的面积为12cm2？（3）请利用备用图探究，当t为多少时，△ABD≌△ACE？并简要说明理由．8．（2020·郑州市月考）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点A 、B 两点的坐标分别A （m ，0），B（0，n ），且|m -n -3|=0，点P 从A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO 匀速运动，设点P 运动时间为t 秒．（1）求OA 、OB 的长；（2）连接PB ，若△POB 的面积不大于3且不等于0，求t 的范围；（3）过P 作直线AB 的垂线，垂足为D ，直线PD 与y 轴交于点E ，在点P 运动的过程中，是否存在这样的点P ，使△EOP ≌△AOB ?若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．9.（2020·宜兴市月考）如图，在△ABC 中，∠BAD ＝∠DAC ，DF ⊥AB ，DM ⊥AC ，AF ＝10cm ，AC ＝14cm ，动点E 以2cm /s 的速度从A 点向F 点运动，动点G 以1cm /s 的速度从C 点向A 点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t ．（1）求证：AF ＝AM ；（2）当t 取何值时，△DFE 与△DMG 全等；（3）求证：在运动过程中，不管t 取何值，都有2AED DGC S S =△△．10.（2020·江苏工业园区期末）如图①，将长方形纸片沿对角线剪成两个全等的直角三角形ABC、EDF，其中AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝10cm．现将△ABC和△EDF按如图②的方式摆放（点A与点D、点B与点E 分别重合）．动点P从点A出发，沿AC以2cm/s的速度向点C匀速移动；同时，动点Q从点E出发，沿射线ED以acm/s（0＜a＜3）的速度匀速移动，连接PQ、CQ、FQ，设移动时间为ts（0≤t≤5）．＝3S△BQC，则a＝；（1）当t＝2时，S△AQF（2）当以P、C、Q为顶点的三角形与△BQC全等时，求a的值；（3）如图③，在动点P、Q出发的同时，△ABC也以3cm/s的速度沿射线ED匀速移动，当以A、P、Q为顶点的三角形与△EFQ全等时，求a与t的值．11.（2019·江苏期末）如图①，在ABC ∆中，12AB =cm ，20BC =cm ，过点C 作射线//CD AB ．点M 从点B 出发，以3cm /s 的速度沿BC 匀速移动；点N 从点C 出发，以a cm /s 的速度沿CD 匀速移动．点M 、N 同时出发，当点M 到达点C 时，点M 、N 同时停止移动．连接AM 、MN ，设移动时间为t (s )．(1)点M 、N 从移动开始到停止，所用时间为s ；(2)当ABM ∆与MCN ∆全等时，①若点M 、N 的移动速度相同，求t 的值；②若点M 、N 的移动速度不同，求a 的值；(3)如图②，当点M 、N 开始移动时，点P 同时从点A 出发，以2cm /s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，到达点B 后立刻以原速度沿BA 返回．当点M 到达点C 时，点M 、N 、P 同时停止移动．在移动的过程中，是否存在PBM ∆与MCN ∆全等的情形?若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．图①图②12.如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，8AC cm =，15BC cm =，点M 从A 点出发沿A →C →B 路径向终点运动，终点为B 点，点N 从B 点出发沿B →C →A 路径向终点运动，终点为A 点，点M 和N 分别以每秒2cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M 和N 作ME l ⊥于E ，NF l ⊥于F 设运动时间为t 秒，要使以点M ，E ，C 为顶点的三角形与以点N ，F ，C 为顶点的三角形全等，则t 的值为________．13.（2019·湖北襄州）在平面直角坐标系中，点A（0，5），B（12，0），在y轴负半轴上取点E，使OA＝EO，作∠CEF＝∠AEB，直线CO交BA的延长线于点D．（1）根据题意，可求得OE＝；（2）求证：△ADO≌△ECO；（3）动点P从E出发沿E﹣O﹣B路线运动速度为每秒1个单位，到B点处停止运动；动点Q从B出发沿B﹣O﹣E运动速度为每秒3个单位，到E点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PM⊥CD于点M，QN⊥CD于点N．问两动点运动多长时间△OPM与△OQN全等？14.（2019·福建省惠安期中）如图，在△ABC中，BC＝8cm，AG∥BC，AG＝8cm，点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动，同时点E从点A出发沿线段AG以2cm/s的速度向终点G运动，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动，EF与AC交于点D，设点E的运动时间为t（秒）（1）分别写出当0≤t≤2和2＜t≤4时线段BF的长度（用含t的代数式表示）；（2）当BF＝AE时，求t的值；（3）若△ADE≌△CDF，求所有满足条件的t值．15.（2020·无锡市月考）△ABC中，AB=AC=12厘米，∠B=∠C，BC=8厘米，点D为AB的中点．如果点P 在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q 的运动速度为_____厘米/秒，△BPD与△CQP全等.16.（2020·广东龙岗期末）直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线l过点C．（1）当AC=BC时，如图①，分别过点A、B作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．求证：△ACD≌△CBE．（2）当AC=8，BC=6时，如图②，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作MD⊥l于点D，过点N 作NE⊥l于点E，设运动时间为t秒．①CM=，当N在F→C路径上时，CN=．（用含t的代数式表示）②直接写出当△MDC与△CEN全等时t的值．17.（2020·青岛市黄岛区月考）如图1，直线AM AN ⊥，AB 平分MAN ∠，过点B 作BC BA ⊥交AN 于点C ；动点E 、D 同时从A 点出发，其中动点E 以2/m s 的速度沿射线AN 方向运动，动点D 以1/m s 的速度运动；已知6AC cm =，设动点D ，E 的运动时间为t ．图1备用图（1）试求∠ACB 的度数；（2）当点D 在射线AM 上运动时满足ADB S ：2BEC S = ：3，试求点D ，E 的运动时间t 的值；（3）当动点D 在直线AM 上运动，E 在射线AN 运动过程中，是否存在某个时间t ，使得ADB 与BEC 全等？若存在，请求出时间t 的值；若不存在，请说出理由．参考答案及解析初中数学中，动点问题是学习的重、难点，在三角形、矩形等一些几何图形上，设计一个或多个动点，探究全等三角形存在性问题，该类题目具有较强的综合性。
八年级上册数学动点问题三角形全等
一、动点问题概述动点问题是数学中的一个重要概念，它涉及到物体或点在特定条件下的运动轨迹和位置变化。
在数学中，我们常常会遇到关于动点问题的题目，通过对动点的运动进行分析和建模，从而得出数学解决方案。
在八年级上册数学学习中，动点问题也是一个重要的内容，尤其是在进行三角形全等的学习中，动点问题的应用更是凸显出其重要性。
二、三角形全等的概念1. 三角形全等是指在平面解析几何中，两个三角形在形状和大小上完全相同。
当两个三角形的对应边长相等，对应角度相等时，我们就可以认为它们是全等三角形。
2. 三角形全等的性质：全等的三角形，对应边相等，对应角相等，面积相等。
三、动点问题与三角形全等的联系1. 在动点问题中，三角形全等常常被用来描述动点的运动轨迹。
一个动点在平面内作定点旋转、平移等运动时，可以利用三角形全等的性质来描述动点的位置变化。
2. 通过观察动点在三角形内的运动，我们可以将动点与三角形全等的概念进行结合，从而更深刻地理解动点问题和三角形全等。
四、动点问题三角形全等的举例分析1. 假设动点A在平面内作匀速直线运动，点B、点C分别为该平面内两个定点，且直线AB与BC共线，以BC为直线方向。
如果C到A的距离等于B到A的距离，根据三角形全等的性质，我们可以推断出△ABC与△ACB是全等三角形，即两个三角形的三边和三个角都相等。
2. 再做一个动点问题的三角形全等的举例，如果A、B、C三个点共线，并且A点到B点的距离等于B点到C点的距离。
那么，如果D是AC 上的一个任意一点，那么我们可以得出△ABD与△BCD是全等三角形。
五、动点问题三角形全等的解题方法在解决动点问题与三角形全等的题目时，我们需要遵循以下步骤：1. 观察动点在平面内的运动轨迹，分析三角形的形状和位置变化。
2. 利用三角形全等的性质，建立动点与三角形全等的关系。
3. 根据题目给出的条件和要求，构建方程或等式，求解动点问题与三角形全等。
六、动点问题三角形全等的应用举例1. 在解析几何中，我们常常会遇到这样的动点问题：一个点以一定的规律在平面内作运动，问它经过的点的轨迹是什么形状？这种问题就可以通过分析三角形全等来解决。
全等三角形动点问题典型题目
全等三角形动点问题解析全等三角形动点问题是数学中的一个常见题型，主要涉及到全等三角形的特性和动点的运动规律。
在这类问题中，我们需要根据给定的条件，寻找满足条件的动点位置。
本文将对该问题的一般解法进行详细解析。
题目背景我们先来看一个典型的全等三角形动点问题的例子。
例题：已知一直角三角形ABC，其中∠ABC=90°,AC=5。
D为BC的中点，以D为圆心作一条半径为AD的圆交于E点，连接CE。
若点P在AC上，且满足∠BPC=∠CPA，求满足上述条件的点P的位置。
解题思路要解决这个问题，我们可以采用以下步骤：步骤1：根据题目给出的条件，通过画图并标记已知条件，包括所给的角度、边长、中点等。
在这个例子中，我们可以画出直角三角形ABC，并在BC边上标记中点D。
然后以点D为圆心，将半径调整为AD，并在圆上标记点E。
步骤2：观察题目中所问的点P在AC上，并满足∠BPC=∠CPA，即点P满足圆上的某个性质。
由于已知点C和点E在圆上，我们可以利用圆的性质来解决这个问题。
步骤3：观察点P在三角形ABC中的位置，我们可以发现点P处在直角三角形ABC所在的圆外。
我们进一步观察可以发现，点P与点C的连线延长后与圆交于C的另外一个点Q。
因此，我们可以将问题转化为求点Q的位置。
步骤4：通过观察几何图形，我们可以发现点Q与点E在直角三角形ABC上具有相同的高。
根据全等三角形的性质，我们可以断言，在两个全等三角形中，所有对应的边和角都是相等的。
因此，我们可以得出∠CQD=∠EPD，进一步得出∠BPC=∠QDC。
步骤5：根据步骤4的结论，我们可以在图上得出∠BPC与∠QDC的关系。
通过分析可得，在圆上任意一点M与半径所形成的角，等于角所对应的圆心角的一∠CQD，根据已知条件∠BPC=∠QDC，我们可以得出半。
因此，我们有∠QDC=12∠CQD。
∠BPC=12步骤6：通过步骤5的推导，我们将问题转化为求点CQD的位置。
通过观察我们可以发现，点Q与点D相连并延长后，与直角三角形ABC所在的圆交于另外一个点R。
专题05 难点探究专题：全等三角形中的动态问题(解析版)
专题05 难点探究专题：全等三角形中的动态问题考点一 利用全等三角形中的动点求时间问题（利用分类讨论思想）考点二 利用全等三角形中的动点求线段长问题考点三 利用全等三角形中的动点求线段长最小值问题考点四 利用全等三角形中的动点综合问题考点一 利用全等三角形中的动点求时间问题（利用分类讨论思想）例题：（2021·山东临沂·八年级期中）如图，CA AB ⊥，垂足为点A ，射线BM AB ⊥，垂足为点B ，12cm AB =，6cm AC =．动点E 从A 点出发以3cm /s 的速度沿射线AN 运动，动点D 在射线BM 上，随着 E 点运动而运动，始终保持ED CB =．若点E 的运动时间为(0)t t >，则当 t =________ 个秒时，DEB 与BCA 全等．【答案】2或6或8【解析】【分析】分两种情况：①当E 在线段AB 上时，②当E 在BN 上，再分别分成两种情况AC =BE ，AB =BE 进行计算即可．【详解】解：①当E 在线段AB 上，AC =BE 时，ACB BED ≅AC =6，∴ BE =6，∴ AE =12-6=6，∴ 点 E 的运动时间为632÷= (秒)．②当E 在BN 上，AC =BE 时，ACB BED ≅AC =6，∴ BE =6，∴ AE =12+6=18．∴ 点 E 的运动时间为6318=÷ (秒)．③当E 在BN 上，AB =BE 时，ACB BDE ≅∴ AE =12+12=24.∴点E 的运动时间为8324=÷ (秒)④当E 在线段AB 上，AB =BE 时，ACB BDE ≅这时E 在A 点未动，因此时间为0秒不符合题意． 故答案为：2或6或8．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式训练】1．（2021·全国·七年级专题练习）已知：如图，在长方形ABCD 中，6,10AB AD ==延长BC 到点E ，使4CE =，连接DE ，动点F 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点F 的运动时间为t 秒，当t 的值为_______时，ABF 和DCE 全等．【答案】2或11【解析】【分析】分两种情况讨论，根据题意得出BF =2t =4和AF =26-2t =4即可求得答案．【详解】解：∵DCE 为直角三角形，且AB =DC ，∵当ABF ∵DCE 时，有BF =2t =CE =4，解得：t =2；当BAF △∵DCE 时，有AF =CE =4，此时2=10610-2t=26-2t AF BC CD DA t =++-++=4，解得：11t =，故答案为：2或11．【点睛】本题考查全等三角形的判定，注意到DCE为直角三角形，且AB=DC，故只有BF=2t=4和AF=26-2t=4两种情况．2．（2019·江苏·镇江实验学校八年级阶段练习）已知正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA=8cm，∵A=∵B=∵C=∵D=90°．动点P以每秒2cm的速度从点B出发沿线段BC方向运动，动点Q同时以每秒8cm的速度从B点出发沿正方形的边BA-AD-DC-CB方向顺时针作折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t．连接P A，当t的值为___________________秒时，P AB和QAD全等．【答案】0.8秒或83．【解析】【分析】分点Q在AB，AD，DC，BC边上这几种情况进行讨论，根据全等三角形的性质得出对应边相等，进而列出方程求得t的值．【详解】解：①当点Q在边AB上时，如图1，∵AB＝AD，∵ABP＝∵DAQ＝90°，要使P AB和QAD全等，只能是P AB∵QDA，∵BP＝AQ，∵AQ＝8－8t，BP＝2t，∵8－8t＝2t，∵t＝0.8，②当点Q在边AD时，不能构成QAD，③当点Q在边CD上时，如图2，同①的方法得，要使P AB和QAD全等，只能是P AB∵QAD，∵BP＝DQ，∵2t＝8t－16，∵t＝83，④当点Q在边BC时，QAD不是直角三角形，而P AB是直角三角形，所以，不能全等；即：当P AB和QAD全等时，t的值为0.8或83，故答案为：0.8或83．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是分类讨论，用方程的思想解决问题．考点二利用全等三角形中的动点求线段长问题例题：（2019·江苏·宜兴市周铁中学八年级阶段练习）已知：如图，∵B=90°AB∵DF，AB=3cm，BD=8cm，点C 是线段BD上一动点，点E是直线DF上一动点，且始终保持AC∵CE，若AC=CE ,则DE的长为______.【答案】5【解析】【分析】根据全等得出对应边相等，即可得出答案.【详解】解：∵∵B=90°，AB∵DF，∵∵D=∵B=90°，∵AC∵CE，∵∵ACE=90°，∵∵ECD +∵CED =90°，∵ACB +∵ECD =90°，∵∵ACB =∵CED ；∴在∵ABC 和∵CDE 中ACB CED B DAC CE ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝ ∵∵ABC ∵∵CDE （AAS ），∵AB =CD =3cm ，∵DE =BC =8cm -3cm =5cm故答案为5.【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．【变式训练】1．（2020·江苏·泰州中学附属初中八年级阶段练习）如图，△ABC 中，点D 在边BC 上，DE ∵AB 于E ，DH ∵AC 于H ，且满足DE =DH ，F 为AE 的中点，G 为直线AC 上一动点，满足DG ＝DF ，若AE =4cm ，则AG = _____cm ．【答案】2或6.【解析】【详解】∵DE ∵AB ，DH ∵AC ，∵∵AED =∵AHE =90°.在△ADE 和△ADH 中，∵AD =AD ,DE =DH , ∵∵ADE ∵∵ADH (HL ),∵AH =AE =4cm .∵F 为AE 的中点，∵AF =EF =2cm .在△FDE 和△GDH 中，∵DF =DG ,DE =DH , ∵∵FDE ∵∵GDH (HL ),∵GH =EF =2cm .当点G 在线段AH 上时，AG =AH -GH =4-2=2cm ;当点G 在线段HC 上时，AG =AH +GH =4+2=6cm ;故AG 的长为2或6.2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，AO∵OM，OA=7，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB 为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，则PB的长度____________．【答案】7 2【解析】【分析】根据题意过点E作EN∵BM，垂足为点N，首先证明∵ABO∵∵BEN，得到BO=ME；进而证明∵BPF∵∵MPE并分析即可得出答案．【详解】解：如图，过点E作EN∵BM，垂足为点N，∵∵AOB=∵ABE=∵BNE=90°，∵∵ABO+∵BAO=∵ABO+∵NBE=90°，∵∵BAO=∵NBE，∵∵ABE、∵BFO均为等腰直角三角形，∵AB=BE，BF=BO；在∵ABO与∵BEN中，BAO NBE AOB BNE AB BE ∠⎪∠⎧⎩∠⎪∠⎨＝＝＝，∵∵ABO ∵∵BEN （AAS ），∵BO =NE ，BN =AO ；∵BO =BF ，∵BF =NE ，在∵BPF 与∵NPE 中，FBP ENP FPB EPN BF NE ∠⎪∠⎧⎩∠⎪∠⎨＝＝＝，∵∵BPF ∵∵NPE （AAS ），∵BP =NP =12BN ，BN =AO ， ∵BP = 12AO = 12×7=72． 故答案为：72． 【点睛】本题考查三角形内角和定理以及全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形并灵活运用有关定理进行分析．考点三 利用全等三角形中的动点求线段长最小值问题例题：（2021·重庆八中八年级开学考试）如图，在Rt ∵ABC 中，∵ACB =90°，AC =6，BC =8，AB =10，AD 平分∵CAB 交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE +EF 的最小值为________．【答案】245【解析】【分析】 在AB 上取点F ′，使AF ′=AF ，过点C 作CH ∵AB ，垂足为H ．因为EF +CE =EF ′+EC ，推出当C 、E 、F ′共线，且点F ′与H 重合时，FE +EC 的值最小．【详解】解：如图所示：在AB 上取点F ′，使AF ′=AF ，过点C 作CH ∵AB ，垂足为H ．∵AD 平分∵CAB ，∵∵CAD =∵BAD ，又AE =AE ，∵∵AEF ∵∵AE F ′（SAS ），∵FE =E F ′，∵S △ABC =12AB •CH =12AC •BC ， ∵CH =•245AC BC AB =， ∵EF +CE =EF ′+EC ，∵当C 、E 、F ′共线，且点F ′与H 重合时，FE +EC 的值最小，最小值为245， 故答案为：245． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是正确的作出辅助线，明确当C 、E 、F ′共线，且点F ′与点H 重合时，CE +EF 的值最小．【变式训练】1．（2021·全国·八年级专题练习）如图，在线段AB 两侧作ABC 和ABD △，使AC AB =，ABC ABD ∠=∠，E 为BC 边上一点，满足2EAD BAC ∠=∠，P 为直线AE 上的动点，连接BP 、DP ．已知3AB =， 2.6AD =，BDE 的周长为3.6，则BP DP +的最小值为______．【答案】2.8【解析】 【分析】在BC上取CD′=BD，连接AD′，证明∵ACD′∵∵ABD，得到AD′=AD，∵CAD′=∵BAD，从而证明∵AED′∵∵AED，得到D′E=DE，∵AED′=∵AED，过A作AF∵BC，AF与BC交于点F，从而推断出BP+DP=BP+D′P最小值为P 点与E点重合时，BP与D′P共线，BP+D′P=BD′，利用勾股定理求出BD′的长度即可．【详解】解：在BC上取CD′=BD，连接AD′，∵AC=AB，∵∵C=∵ABC，∵∵ABC=∵ABD，∵∵C=∵ABD，又CD′=BD，AC=AB，∵∵ACD′∵∵ABD（SAS），∵AD′=AD，∵CAD′=∵BAD，∵∵DAD′=∵BAC，∵2∵EAD=∵BAC=∵DAD′，∵∵D′AE=∵DAE，又AD′=AD，AE=AE，∵∵AED′∵∵AED（SAS），∵D′E=DE，∵AED′=∵AED，∵D′在直线BD上，过A作AF∵BC，AF与BC交于点F，∵CD′=BD，D′E=DE，∵CD′+D′E+EB=BC=BD+DE+BE=3.6，∵P为AE上的动点，故BP+DP=BP+D′P最小值为P点与E点重合时，BP与D′P共线，BP+D′P=BD′，∵∵ABC中，AB=AC=3，BC=3.6，AF∵BC，AD′=AD=2.6，∵F为BC中点，即CF=BF=12BC=12×3.6=1.8，∵AF 2.4==，∵D′F1，∵BD′=BF+D′F=1.8+1=2.8，∵BP+DP的最小值为2.8，故答案为：2.8．【点睛】本题考查了最短路径问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键正确作出辅助线，利用全等三角形的性质得到相等线段．2．（2019·湖北·武汉大学附属外语学校八年级阶段练习）∵ABC是边长为2的等边三角形，点P为直线BC 上的动点，把线段AP绕A点逆时针旋转60°至AE，O为AB边上一动点，则OE的最小值为____．【解析】【分析】根据题意连接EC，作CH∵AB于H，首先证明CE∵AB，再求出平行线之间的距离即可解决问题．【详解】解：如图，连接EC，作CH∵AB于H．∵∵ABC是等边三角形，∵∵BAC=∵ABC=∵ACB=60°，AB=AC，∵∵P AE=∵BAC=60°，∵∵P AB=∵EAC，∵P A=EQ，BA=CA，∵∵P AB∵∵EAC(SAS)，∵∵ABP=∵ACE，∵∵ABP=180°﹣60°=120°，∵∵ACE=120°，∵∵BCE=120°﹣60°=60°，∵∵ABC=∵BCE，∵CE ∵AB ，∵点E 的运动轨迹是直线CE (CE ∵AB )，∵CB =CA =AB =2，CH ∵AB ，∵BH =AH =1，∵CH=根据垂线段最短，可知OE 的最小值=CH =【点睛】本题考查旋转变换和等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质和垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．考点四 利用全等三角形中的动点综合问题例题：（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图，在ABC 中，90,BAC AB AC ∠=︒=．点D 是直线BC 上一动点（点D 不与点B ，C 重合），90,DAE AD AE ∠=︒=，连接CE ．(1)如图1，当点D 在线段BC 上时，直接写出,BC CD 与CE 之间的数量关系；(2)如图2，当点D 在边BC 的延长线上时，请探究线段,BC CD 与CE 之间存在怎样的数量关系？并说明理由；(3)如图3，若点D 在边CB 的延长线上，且点A ，E 分别在直线的两侧，其他条件不变，若10,6CD BC ==，直接写出CE 的长度．【答案】(1)CE +CD =BC ，证明见解析(2)CE =BC +CD ，证明见解析(3)CE =4【解析】【分析】（1）根据条件AB =AC ，∵BAC =90°，AD =AE ，∵DAE =90°，判定∵ABD ∵∵ACE （SAS ），即可得出BD 和CE 之间的关系，根据全等三角形的性质，即可得到CE +CD =BC ；（2）根据已知条件，判定∵ABD ∵∵ACE （SAS ），得出BD =CE ，再根据BD =BC +CD ，即可得到CE =BC +CD ；（3）根据条件判定∵ABD ∵∵ACE （SAS ），得出BD =CE ，即可解决问题．(1)解：如图1，∵∵BAC =∵DAE =90°，∵∵BAD =∵CAE ，在∵ABD 和∵ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∵∵ABD ∵∵ACE （SAS ），∵BD =CE ，∵BC =BD +CD =CE +CD ，(2)线段BC ，CD 与CE 之间存在的数量关系为BC =CE -CD ．理由：如图2中，由（1）同理可得，∵∵BAC =∵DAE =90°，∵∵BAC +∵CAD =∵DAE +∵CAD ， 即∵BAD =∵CAE ，∵在∵ABD 和∵ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∵∵ABD ∵∵ACE （SAS ），∵BD =CE ，∵BD =BC +CD ，即CE =BC +CD ．(3)如图3，由（1）同理可得， ∵∵BAC =∵DAE =90°，∵∵BAC -∵BAE =∵DAE -∵BAE ， 即∵BAD =∵EAC ，同理，∵ABD ∵∵ACE （SAS ），∵BD =CE ，∵CD =10，BC =6，∵DB =DC -BC =4，∵CE =4．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意：全等三角形的对应边相等．【变式训练】1．（2021·河南商丘·八年级期中）如图1，ABC 中，50A ∠=︒，AB AC =，点D 、E 别在边AB 、AC 上，且DE //BC ．(1)求证：BD CE =；(2)围绕A 点旋转ADE ，使其一边AD 落在线段AC 上（如图2所示），连接CE 、BD 并延长相交于M 点．试求BMC ∠的度数．【答案】(1)证明见解析部分．(2)50°．【解析】【分析】（1）利用平行线的性质以及等腰三角形的性质证明∵ADE ＝∵AED ，推出AD ＝AE 即可解决问题．（2）证明△BAD∵∵CAE（SAS），推出∵ABD＝∵ACE，可得∵BAD＝∵CMD＝50°．(1)证明：如图1中，∵AB＝AC，∵∵B＝∵C，∵DE∵BC，∵∵ADE＝∵B，∵AED＝∵C，∵∵ADE＝∵AED，∵AD＝AE，∵AB﹣AD＝AC﹣AE，即BD＝EC．(2)解：如图2中，∵AB＝AC，∵BAD＝∵CAE，AD＝AE，∵∵BAD∵∵CAE（SAS），∵∵ABD＝∵ACE，∵∵ADB＝∵CDM，∵∵BMC＝∵BAD＝50°．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2．（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图①，点C在线段AB上（点C不与A，B重合），分别以AC，BC 为边在AB同侧作等边∵ACD和等边∵BCE，连接AE，BD交于点P．(1)观察猜想：1.AE与BD的数量关系为______；2.∵APD的度数为______；(2)数学思考：如图②，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．【答案】(1)①AE＝BD；②60°(2)上述结论成立．∵APD＝60°，证明见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件只要证明∵DCB∵∵ACE，即可证明出AE于BD的数量关系，以及∵APD的角度；（2）根据∵ACD，∵BCE均为等边三角形，可知＝AC，BC＝EC，∵DCA＝∵BCE＝60°，进而可知∵DCA＋∵ACB ＝∵ACB＋∵BCE，即∵DCB＝∵ACE，从而可证∵DCB∵∵ACE（SAS），则DB＝AE，∵CDB＝∵CAE，根据∵DCA ＝∵DP A＝60°可证∵APD＝60°．(1)解：∵∵ACD和∵CBE都是等边三角形，∵AC=DC，CE=CB，∵ACD=∵ECB=60°，∵∵ACE=∵ACD+∵DCE，∵DCB=∵DCE＋∵ECB，∵∵DCB=∵ACE，∵∵DCB∵∵ACE，∵AE=BD，∵BDC=∵CAE，又∵∵DOP=∵COA，∵∵APD=∵ACD=60°，故答案是：AE=BD，60°；(2)上述结论成立，∵∵ACD，∵BCE均为等边三角形，∵DC＝AC，BC＝EC，∵DCA＝∵BCE＝60°，∵∵DCA＋∵ACB＝∵ACB＋∵BCE，即∵DCB＝∵ACE，在∵DCB和∵ACE中，DC ACDCB ACE CB CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵DCB∵∵ACE（SAS），∵DB＝AE，∵CDB＝∵CAE，如图，设BD与AC交于点O，易知∵DOC＝∵AOP（对顶角相等），∵∵CDB＋∵DCA＝∵CAE＋∵DP A，∵∵DCA＝∵DP A＝60°，即∵APD＝60°．【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，能够熟练掌握全等三角形的性质与判定是解决本题的关键．一、选择题1．（2020·广西百色·八年级期末）如图，在长方形ABCD中，4AB=，6AD=，延长BC到点E，使2CE=．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA--方向向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当ABP△和DCE全等时，t的值是（）A．1B．1或3C．1或7D．3或7【答案】C【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出22BP t==和1622AP t=-=即可求得．【详解】解：因为AB CD=，若90ABP DCE∠=∠=︒，2BP CE==，根据SAS证得ABP DCE∆≅∆，由题意得：22BP t ==，所以1t =，因为AB CD =，若90BAP DCE ∠=∠=︒，2AP CE ==，根据SAS 证得BAP DCE ∆≅∆，由题意得：1622AP t =-=，解得7t =．所以，当t 的值为1或7秒时．ABP ∆和DCE ∆全等．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握判定方法有：ASA ，SAS ，AAS ，SSS ，HL ．2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在锐角∵ABC 中，∵BAC =45°，点B 到AC 的距离为2，∵BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．3【答案】C【分析】在AC 上截取AE =AN ，连接BE ，由AD 平分∵CAB ，可得∵EAM =∵NAM ，然后根据SAS 可证∵AEM ∵∵ANM ，可得MN =ME ,然后根据BM +MN =BM +ME ≥BE ，可得当BE ∵AC ，即BE 是点B 到AC 的距离时，BM +MN 的值最小，从而求得答案.【详解】解：如图，在AC 上截取AE =AN ，连接BE ，∵AD 平分∵CAB ，∵∵EAM =∵NAM ，在∵AEM 和∵ANM 中， ∵AE AN EAM NAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵AEM ∵∵ANM (SAS )，∵MN =ME ，∵BM +MN =BM +ME ≥BE ，【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、点到直线的距离，通过构造全等【答案】261⊥AD BC∴BG A//∴∠=GBAAB BG=∴∆≅∆ABF∴=GE BFBF CE CE CG∴+，∴当G、三点共线时，AB AC=BC=12在Rt BCG∆故答案为：【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，通过构造三角形全等，将所求【答案】2.5或1在Rt∵ABC中，AB＝10，AC＝6，∵O是AB 的中点，∵OA＝OB，在∵OAP和∵OBQ中，A OBQOA OBAOP BOQ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∵∵OAP∵∵OBQ（ASA），∵P A＝BQ＝6﹣1＝5，OQ＝OP，∵OM∵PQ，∵MQ＝MP，∵52+x2＝12+（8﹣x）2，解得x＝2.5．当点P在AC的延长线上时，同法可得72+x2＝12+（8﹣x）2，解得x＝1，综上所述，满足条件的BM的值为2.5或1．故答案为：2.5或1．【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．5．（2022·江苏·八年级单元测试）如图, 在ABC中, 90,8cm,10cmACB AC BC∠===．点C在直线l 上, 动点P从A点出发沿A C→的路径向终点C运动; 动点Q从B点出发沿B C A→→路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和2cm的运动速度同时开始运动, 其中一点到达终点时另一点也停止运动, 分别过点P和Q作PM⊥直线l于,M QN⊥直线l于N．当点P运动时间为___________秒时, PMC与QNC全等．【答案】2或6##6或2【分析】对点P和点Q是否重合进行分类讨论，通过证明全等即可得到结果；【详解】解：如图1所示：PMC ∆与QNC ∆全等，PC QC ，8102t t ∴-=-，解得∵2t =；如图2所示：点P 与点Q 重合，PMC 与QNC ∆全等，8210t t ∴-=-，解得∵6t =；故答案为∵1或6．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．三、解答题6．（2022·江西吉安·七年级期末）如图，在长方形ABCD 中，6cm,8cm AB BC ==，动点P 从点B 出发，沿BC 方向以2cm /s 的速度向点C 匀速运动：同时动点Q 从点C 出发，沿CD 方向以2cm /s 的速度向点D 匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时()()0t s t <<3．解答下列问题：(1)当点C 在线段PQ 的垂直平分线上时，求t 的值；(2)是否存在某一时刻t ，使AP PQ ⊥?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由：【答案】(1)2(2)存在某一时刻t ，使AP PQ ⊥，t =1．【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得PC CQ =，列出方程可求解；（2）证出ABP PCQ ASA ≌（），由全等三角形的性质可得AB PC =，列出方程可求t 的值．（1）解：由题意得，2BP CQ t ==，∵82PC BC BP t =-=-，若点C 在线段PQ 的垂直平分线上，∵PC CQ =，即822t t -=，∵2t =；（2）解：存在某一时刻t ，使AP PQ ⊥．∵AP PQ ⊥，90B C ∠=∠=︒，∵90PQC QPC ∠+∠=︒，∵90∠+∠=︒APB QPC ，∵APB PQC ∠=∠．又∵BP CQ =，∵ABP PCQ ASA ≌（），∵AB CP =，∵826t -=，∵1t =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，一元一次方程的应用，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．7．（2021·江苏南通·八年级期中）如图，在∵ABC 中，AB ＝AC ，∵BAC ＝90°，点D 是边BC 上的动点，连接AD ，点C 关于直线AD 的对称点为点E ，射线BE 与射线AD 交于点F ．（1）在图中，依题意补全图形，并求证：∵ABF =∵AEB ；（2）记∵DAC ＝α（α＜45°），求∵AFB 的大小；（3）若AB =BD ，猜想BE 和AD 的数量关系，并证明．【答案】（1）补全图见解析，证明见解析；（2）∵AFB＝45°；（3）AD＝BE，证明见解析【分析】（1）根据垂直平分线的性质求解即可；（2）根据三角形内角和定理计算即可；（3）连接DE，CE，AE，根据题意求得∵CAF＝22．5°，再证明∵BED∵∵ADC（ASA），即可得解；【详解】解：（1）补完图并小结如图所示；连接CE，AE，由题意可知，∵点C关于直线AD的对称点为点E，AF垂直平分CE，∵AC＝AE，∵AB＝AC，∵AB＝AE，∵∵ABF＝∵AEB；（2）如图，由题意可知，∵EAF＝∵CAD＝α，∵∵BAE＝90°﹣2α，在∵ABE中，∵BAE+∵ABF+∵AEB＝180°，∵∵ABF＝∵AEB＝45°+α，∵∵AEB＝∵EAF+∵AFB，∵EAF＝α，∵∵AFB＝45°；（3）结论：AD＝BE；证明：如备用图，连接DE，CE，AE，在∵ABC中，AB＝AC，∵ACB＝∵ABC＝45°，在∵ABD中，AB＝BD，∵BAD＝∵BDA＝67．5°，∵∵CAF＝22．5°，由（2）可知，∵ABE＝∵ABC+∵CBF＝45°+α，∵ABC＝45°，∵∵CBF＝α＝22．5°，∵∵CAF=∵CBF，∵点C关于直线AD的对称点为点E，∵ED＝DC，【点睛】本题主要考查了几何综合变换，结合全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理证明是解题的(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，∵ACP∵BPQ是否全等？PC与PQ是否垂直？请分Rt ABC C 中，出发，沿折线CA -(1)点P 在CA 上运动的过程中，当CP =______时，CPD △与CBD 的面积相等；（直接写出答案）是等腰三角形，求∠CD 所在直线上存在另一动点______．（直接写出答案）与CBD 的面积相等时，证∵PCD 45°，分两种情况：=∵PCD =45∵CPD =∵与CBD 的面积相等，理由如下：45=︒， 在PCD 和△CP CB PCD CD CD =∠=∠=与CBD 的面积相等．）得：PCD ∠分两种情况：AC 上，如图若PC PD =，则45PDC PCD ∠=∠=︒，存在DP DC =，'∥，则MP AC八年级）如图，在ABC中，（1）求线段AO的长；∵AD是高，∵CQ＝OP，∵CQ＝OP，。
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3、如图所示，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动
点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运
动，其中点P运动的速度是1m/s，点Q运动的速度是2m/s，
当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t s
，解答下列问题： （1）填空： △ABC的面积为
9
3
（2）当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明
6、如图,已知三角形ABC中,AB=AC=24厘米,角 ABC=角ACB,BC=16,点D为AB的中点。如果点P 在线段BC上从4厘米/秒的速度由B向C运动,同时, 点Q在线段CA上由C向A运动,当Q的运动速度为多 少厘米/秒时,能在某一时刻使三角形B形中存在一个或 多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一 类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静, 灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求 静. 数学思想：分类思想、数形结合思想、转化 思想
理由．
（3）在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三
角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由．
(4)当△BPQ是直角三角形时，求t的值
4、如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD ＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动， 同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t （s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时， △ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC 和线段PQ的位置关系； （2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改 “∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速 度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若 存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
全等三角形之动点问题
1、如图，在直角三角形ABC中，∠B＝90°， AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点B开始沿BA以1cm ／s的速度向点A运动，同时，点Q从点B开始沿 BC以2cm／s的速度向点C 运动．几秒后， △PBQ的面积为9cm2？
2、如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝ 8 cm，点P从点A出发沿AB边向点B以1 cm/秒的速度移动 ，点Q从点B出发沿BC边向点C以2 cm/秒的速度移动． （1）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过多长时间， △PBQ的面积为8 cm2？ （2）如果P、Q分别从A、B同时出发，当P、Q两点运动 几秒时，PQ有最小值，并求这个最小值。
5、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点P从 A点出发沿A-C-B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点 出发沿B-C-A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以 1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才 能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于 F，问：点P运动多少时间时，△PEC与QFC全等？请说明理 由。