doc1-对拟阵的初步研究
拟阵的确定
（Ｌ ） Ｃ ３ Ｃ是 幂 等 的 ， 即对 任 意 子 集 ， 有 均
ｃ ｃ ） （ （ ）： ｃ ） （ ．
１ 预备知识
下 面先介 绍一 些 预备 知识 （ 文所 涉及 的集 本
（【 ） Ｃ ４ 设 ， Ｘ． Ｙ∈ ｃＸＵ ） （ ， Ｙ∈ 若 （ 一ｃ ）
则 ∈ ｃ Ｕ Ｙ ． （ ）
．
，
一
Ｆ｝ 是 —Ｆ的一个 划分 （ 即 ＿．…，（ １， ２
—
Ｆ）＝ Ｘ—Ｆ， 当 ｉ 时 ， （ —Ｆ 且 ≠Ｊ 有 ）ｎ （ 一
Ｆ ） ）＝ ． 那么称 是 上的一个拟阵闭集族 ， 且 称（ 为拟 阵． 上拟 阵闭集族 的全体 记作 ，
Ｆ ） （ ．
定义 １２ （ 见 ［，］ 设 是有 限集 ． ． 参 １２ ）
（）如果 １ ２ 足 Ｘ满 （ Ｆ１） ∈ 舅
（ ） Ｆｌ ∈ 则 Ｆ ２∈ 若 ， ｌ Ｆ ｎ （ ３ 若 Ｆ∈ 且 ｛ ｌＦ ， ， ｝ 夕中包 含 Ｆ） Ｆ ， ２… 是 Ｆ为真子集 的全体极 小成 员 ， ｛ ｌ 则 Ｆ —Ｆ， —Ｆ，
Ｃ （ ， ｃ ３ 成立 ． ｄ 设 ，， Ａ） 即（ Ｉ ） （） ，∈ ， Ａｃ
，
若 ，∈ Ｃ （ ）一 Ｃ （ ｃ为 上 的一个 拟 阵 闭包算 子 ． 上 的拟 阵闭包算子 的全体记作 Ｃ （ ． Ｌ Ｘ） 定义 １３ 偏序 集 是一个 对 （ ． Ｐ，≤）其 中 Ｐ ， 是任 意集合 ，≤ 是 Ｐ上 的关 系且 满足 （）自反 的 ， １ 即对 每个 ∈ Ｐ都有 ｓ ．２ 反对称 的 ， （） 即 ≤
…
Ｙ Ｙ 且 时， ＝）其中 Ｙ∈ Ｐ ． ） ， （ ， ）（ 传递的， ３ 即 Ｙ且 Ｙｓ 时 ， ≤ ｚ其 中 ， ， ｚ （ Ｙ ｚ∈ Ｐ） ． 定 理 １４ 在 （ 上 规定 ｃ ≤ ｃ铮 对 任意 ． ） ｌ ２ Ａ ｃ Ｘ， 如果 ｃ在 Ａ中的每个 点 口 ｌ 处满 足 口庄ｃ（ ｌＡ 口 （ 中 口∈ Ａ ， 么 ｃ 就在 Ａ的每个点 口处 ）其 ）那 ２ 满足 口 庄 ｃ（ ２Ａ一口 （ 中 口∈ Ａ） ）其 ．
阵列信号处理概述研究背景及意义和波达方向估计技术
阵列信号处理概述研究背景及意义和波达方向估计技术1 概述阵列信号处理作为信号处理的一个重要分支，在通信、雷达、声呐、地震、勘探、射电天文等领域获得了广泛应用和迅速发展。
对所有探测系统和空间传输系统，空域信号的分析和处理是其基本任务。
将多个传感器按一定方式布置在空间不同位置上，形成传感器阵列。
并利用传感器阵列来接收空间信号，相当于对空间分布的场信号采样，得到信号源的空间离散观测数据。
阵列信号处理的目的是通过对阵列接收的信号进行处理，增强所需要的有用信号，抑制无用的干扰和噪声，并提取有用的信号特征以及信号所包含的信息。
与传统的单个定向传感器相比，传感器阵列具有灵活的波束控制、高的信号增益、极强的干扰抑制能力以及高的空间分辨能力等优点，这也是阵列信号处理理论近几十年来得以蓬勃发展的根本原因。
阵列信号处理的最重要应用包括：①信（号）源定位——确定阵列到信源的仰角和方位角，甚至距离（若信源位于近场）；②信源分离——确定各个信源发射的信号波形。
各个信源从不同方向到达阵列，这一事实使得这些信号波形得以分离，即使他们在时域和频域是叠加的；③信道估计——确定信源与阵列之间的传输信道的参数（多径参数）。
阵列信号处理的主要问题[]1包括：波束形成技术——使阵列方向图的主瓣指向所需方向；零点形成技术——使天线的零点对准干扰方向；空间谱估计——对空间信号波达方向的分布进行超分辨估计。
空间谱估计技术是近年来发展起来的一门新兴的空域信号处理技术，其主要目标是研究提高在处理带宽内空间信号（包括独立、部分相关和相干）角度的估计精度、角度分辨率和提高运算速度的各种算法。
在所有利用空间谱估计技术来实现对到达方向（DOA）估计的方法中，以R. O. Schmidt 提出的MUSIC 算法最为经典且最有代表性。
Schmidt 在MUSIC 算法中提出了信号子空间的概念，即在维数大于信号个数的观测空间中进行子空间的划分，找出仅由噪声贡献生成的空间（噪声子空间）和由信号和噪声共同作用产生的空间，根据这两个子空间的基底以及阵列流型即可得到待测方向满足的方程，由其解得到来波方向的估计。
d0116160007
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拟阵
S:
调度: 0 1 2 3 4 5
问题提出
调度: 0 1 2 3 4 5 罚款:6+8=14
di : 2 3 1 3 wi : 9 7 6 8
n个整数 d1 , d 2 ,..., d n (1 d i n ) 如果任务i的结束时刻超过截止时刻 个任务的截止时刻 d i 表示第iw 则要交付 i 的罚款。 n个正整数 w1 , w2 ,..., wn 求一个调度，使得罚款最少。 wi 表示第i个任务的罚款
X 能使A扩展 的最大元素 y T′ =T-{y}+{x} w(y) ≤w(x) w(T′ ) ≥w(T) ′ A =A∪{x}
A
T
T′
T′
第三部分 任务调度问题
问题提出
给定一个单位时间任务的集合S S有n个任务1,2,…,n 对S的一个调度规定了各任务执行的顺序。 该调度第i个任务开始于时刻i-1,结束于时刻i
对拟阵的初步研究
浙江省杭州第二中学 刘雨辰
概览
第一部分 ： 拟阵的基本概念 第二部分 ： 拟阵的最优化问题 第三部分 ： 一个任务调度问题 第四部分 ： 拟阵实例 拓展部分 ： Shannon开关游戏
第一部分：拟阵的概念
拟阵是一个二元组 M ( S , L) 1、S是一个有限集。 2、L是个以集合作为元素的集合,且它的元 素必须是S的子集
A
B
第二部分：拟阵上的最优化问题
问题提出
对于拟阵 M S , L S的元素x有一个正整数权值w(x) S的任意子集U的权值 wU xU wx 目标:求权值最大独立集。
贪心算法
Greedy(M,w) A := 空集 根据w按递减顺序对S排序 for 每个 x S 根据权wx 的递减顺序 do if ( A x L ) then A : A x return A
作战任务序列智能生成方式及其态势表征方法_概述及解释说明
作战任务序列智能生成方式及其态势表征方法概述及解释说明1. 引言1.1 概述本篇文章旨在探讨作战任务序列智能生成方式及其态势表征方法，这是一项重要的研究内容。
国防领域中，对于作战任务的规划和执行具有至关重要的意义。
然而，传统的手工制定作战任务序列与态势表征方法存在一系列问题，例如耗时、复杂度高以及缺乏灵活性等。
基于此，在现代技术的支持下，智能化生成作战任务序列和有效的态势表征方法成为了研究热点。
1.2 文章结构本文分为五个主要部分：引言、作战任务序列智能生成方式、作战态势表征方法、实验与结果分析以及结论和展望。
在引言部分，我们将介绍本文的背景和目标，并对文章结构进行简要说明。
接下来的三个部分将重点阐述作战任务序列智能生成方式和态势表征方法的不同方面。
第四部分将描述所设计实施的相关实验，并进行结果分析与模型评估。
最后，在结论和展望中，我们将总结主要结论并提出改进方向。
1.3 目的本文旨在系统地研究和探讨作战任务序列智能生成方式及其态势表征方法。
通过对现有基于规则、机器学习和优化算法等方法的综合分析，可为军事领域中作战任务序列的智能生成提供参考。
同时，我们还将介绍静态态势表征方法、动态态势表征方法以及综合态势表征方法的原理和应用场景，为军事指挥决策提供相关技术支持。
通过实验与结果分析，我们将验证所提出方法和模型的有效性，并最终总结主要结论并展望未来的研究方向。
2. 作战任务序列智能生成方式2.1 基于规则的方法：基于规则的方法是一种常见且直观的作战任务序列智能生成方式。
通过制定一系列事先定义好的规则和约束条件，来生成作战任务序列。
这些规则和约束条件可以包括作战目标、资源分配、时间限制等方面的要求。
通过在系统中应用这些规则，可以自动生成符合要求的作战任务序列。
然而，基于规则的方法存在一些局限性。
首先，由于复杂多变的作战环境和任务需求，很难设计出完备准确的规则来满足各种情况下的生成需求。
其次，随着问题规模增大，需要考虑和处理的变量和约束条件也会呈指数级增长，导致难以管理和计算，并可能无法找到满足所有约束条件的解。
北宋内臣蓝元震事迹考
年第 2 期，第 71---82 页 a 陈守忠《李宪取兰会及相关城禀逾趾考)，(西北史地)1 986 年第 1 期，第 85-90 英.该文后 收入陈藉《捋战史地考述>>(兰州i 大学出题杖 .1993 年) .第 128… 135 页 z 企盖平《蠢费曾任震挠使南非直键使)，在啻阳 学刊 )2∞5 年第 3 期，第 12 1]夜l. 又近年港、台‘大黯出版了好几种关于宦窑的通俗横辑.典中任洪新编的 ct古代在宵
〈社会科学摇) ， 2002 年第 6 期，第 120 页$黄插黯《藕襄与宋代的改革)，<<哈尔摸学院学摄》第 25 卷第 6 期 (2004 年
6 月) ，第 105 页 s 程安黯《接殊评说)，(求索 )2005 年第 4 期，第 150 页.关于董无麓进蓄的月日在歌陆修撰 t 腹党
论》酶，抑在其后，李燕 (1115← 118毒)(鳞资治通鉴条编引以下简称在长编盯在该条下之小挂云"此…节悲在修进
辨轩"。另外游彪教授与刘春税女士合著的专题研究《宋代宦官葬于及荫补制度)，也颇有
新意@。不过，北宋内臣的个案研究ห้องสมุดไป่ตู้似乎尚不多见，诸如北宋最重要的内臣如李宪 (1044一
<D
司马先撰，邓广铭、张希清按点《糠水记黯 3巷一，第 20' 页，卷六，第 113-118 页.考司马先这几刺得自蓝元震的传 惕，均为李燕t穰资部凯撒鉴长攘 2店来黯lK.势正其不准确之处.参晃《长编 )!l寄回，舵德元年二月丙成条，第 83-84 页』
曾引述熙宁初年任参知政事反对王安石00211086新法的浩蜀名臣赵拧00侃一1084的说法指称王安石曾暗中交错及摩贿蓝元震及另一神宗1048108510671085在位信任的内臣张若水1一1077当神来命蓝张工人往开封府界今河南开封市察视膏苗法班行的状况时工人就给青苗法说了好话商教掉宗支持王安石继续推行此法叭这个表爵看来1tt孚先甚显赫事坊商其实至少两度介人宋廷文臣党争的内臣其对北宋中叶政局的影响力不宜低估
集值映射的拟阵结构及其与覆盖粗糙集的关系
Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用2019，55（6）1引言拟阵的概念是1935年由Whitney 首次提出的，起初拟阵并没有引起人们的关注。
直到20世纪60年代，Rado 研究了拟阵的公理系统，同时很多研究者开始关注拟阵和格论的联系，这才使得拟阵理论进入了快速发展阶段。
拟阵是线性代数和图论中某种独立性的推广，因此拟阵理论与线性代数及图论关系密切。
此外，拟阵理论还广泛地应用于整数规划、组合优化、逻辑电路、编码理论等领域。
不同于拓扑理论主要关注于无限集上的结构性质，拟阵主要研究有限论域上的结构。
和图论联系密切，可以直观地展示某些拟阵结构；而拟阵的算法性质又使得解决其他领域的一些典型优化问题多了一种选择。
如前所述，拟阵还和格论、线性代数等学科联系密切。
拟阵的这些优点使其与其他理论的交叉研究成为很多学者关注的热点，如拟阵与概念格[1-3]、模糊集[4-5]、粗糙集[6-10]等的融合研究。
在粗糙集方面，Tsumot 和Tanaka [7，10]首次研究了粗糙集和拟阵之间的联系，他们通过拟阵方法理解三种归纳学习之间的区别和相似点。
拟阵可以通过很多方式来确定，比如独立集、基、极小圈、秩函数、闭包算子或者闭集等。
在拟阵的公理系统方面，李[11]研究了超拟阵的独立集公理、基公理和圈公理，并建立模格上的独立元公理。
很多学者利用拟阵的独立集公理、基公理、闭包公理和闭集公理研究了覆盖粗糙集和邻域粗糙集的结集值映射的拟阵结构及其与覆盖粗糙集的关系齐美兰，李小南西安电子科技大学数学与统计学院，西安710126摘要：集值映射是拓扑学中的一个重要的概念。
基于论域中的各个元素之间的关系，利用集值映射的原理在论域上导出了一种拟阵结构，对该类拟阵的独立集、相关集、极小圈、秩函数、闭包和闭集等性质进行了研究，给出了该类拟阵的对偶拟阵的独立集和极小圈的等价刻画。
利用覆盖粗糙集模型中邻域和近似算子的概念建立了集值映射下的拟阵结构和粗糙集之间的联系。
拟阵族N的分裂子M(K5)
拟 阵族 韵 分 裂子 （ ）
吕 国亮 赵 小鹏
（ 渭南师范学院数学与信息科学系 ， 渭南 ７４０ １０ ０）
摘
要
研究拟阵族 々 分裂子 （ ） 先应用分裂子定理和拟阵的单扩张定理证 明： ∥ ＝｛ Ｍ 是 二元域拟阵且 不 。 若 Ｍ： 的拟阵｝ 则 ， 是 々 一个分裂子。据 此证 明了两个 结论 ：． ∥ ＝ ｛ 是 正则拟阵且 不含 （ １若 肘：
（ｉ） ＝Ｎ。 Ｍ
（ｉ ｉ）对任意 ｘ ∈Ｅ， 都有 （ ）：ｒ（ ） 并且 ＭＸ ， ｒ（ ＭＸ
，
ｆ Ｍ ￣ ￣ 【 （ ）＋１ 若 ｃ （ 誊 。 ）＋ ， 若 ） ｌ ）
－
２
是拟阵族 的分裂子
（ ） ＝ｒ （ 。 Ｆｕ ｅ 肺 Ｆ）
１ 分裂子定理与引理
引理 １１ 设 Ｍ 是 ３ 连通拟 阵 ， Ⅳ是 中一个连 ｌ ． 而 通 和全简单 的幼阵 。假 设若 Ⅳ是轮 ， Ｊ 是 的一 则 ７ 、 ， 个极 大轮幼 阵 ； Ⅳ 是 涡 ， Ⅳ是 的一个 极 大涡 若 则 幼 阵 ， 下列命 题 的 （ｉ 或 （ ｉ 或 （ｉ） 则 ） ｉ） ｉ 必定成 立 ： ｉ
因而 Ｍ 兰 Ｐ （ Ｇ ，一ｌ ， 。 ， ）ｌ
（ ） 。 （ ）
这两个矩 阵都是 ｓ 的二元域 表示 。 Ｒ 命题 ３ 设 同构 于 证明 ＝ ｛ Ｍ 是二元域 拟阵且 Ｍ 不含 有 Ｍ： 的幼 阵 ｝则 Ｆ 是 的一个 分裂子 。 ， 是 ３连通 拟 阵 ， ． 且 有一 个幼 阵
．
含有 同构于
。
）一
幼阵 ｝， （ ）是 々 则 一个分裂子 ；． ）是 Ｅ ＿ Ｆ ， ， ） Ｅ ． 耳 ， ， ）的分裂子 ， ２ 肘（ Ｘ（ ４ ７ ， （ ， 和 Ｘ（ ４ ） ＇ （ ， ） 并得到 了这 两
【运筹学与控制论】模糊拟阵的结构研究
重庆大学硕士学位论文模糊拟阵的结构研究姓名：***申请学位级别：硕士专业：运筹学与控制论指导教师：***2001.5.1摘要本文在现有理论的基础上研究了模糊拟阵结构的四个方面，现分述如下：ｔ）通过对模糊闭包算子的性质以及一个模糊拟阵可以由它的模糊闭包算子唯一确定的条件的研究，提出了模糊闭包公理。
２）在Ｒ．Ｇｏｅｔｓｃｈｅｌ．Ｊ．Ｒ．、Ｗ．Ｖｏｘｍａｎ和Ｙｕａｎｇ．ＣｈｅｈＨｓｕｅｈ对模糊对偶拟阵研究的基础上，进一步探讨模糊对偶拟阵的存在条件以及它与原模糊拟阵之间的关系。
３）通过研究模糊超平面所具有的性质，提出了模糊超平面存在的充要条件。
另外，本人还要研究模糊拟阵可否或在什么条件下可以由模糊超平面唯一确定。
４）采用约束和收缩等方法从一个模糊拟阵中得到了一些“小“的模糊拟阵（我们称之为模糊子拟阵），并作了进一步的研究，揭示了模糊子拟阵的内在性质以及它与母拟阵的密切联系。
ｆ该论文的四个方面都是模糊拟阵的重要内容，而且除了模糊对偶拟阵已经由Ｙｕａｎｇ．ＣｈｅｈＨｓｕｅｈ等人给出定义并作了简单研究外，其他三个方面的内容都是前人未研究过的。
对这些方面的研究是进一步研究模糊拟阵理论的基础。
，１关键词ｔ模糊拟阵，模糊闭包算子。
对偶拟阵，模糊超平面，模糊子拟阵兰盎盔兰塑主兰垒兰苎一————————————．！竖ＡＢＳＴＲ＾ＣＴｏｆＩｎｔｈｉｓｐａｐｅｒｔｈｅａｕｔｈｏｒｓｔｕｄｙｏｎｔｈｅｆｏｕｒａｓｐｅｃｔｓｏｆｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅｆｏｌｌｏｗｓ：ｆｕｚｚｙｍａｔｒｏｉｄｏｎｔｈｅｂａｓｉｓｏｆｔｈｅｅｘｉｓｔｉｎｇｔｈｅｏｒｉｅｓ，ｓｔａｔｅｄａｓ１）ＡｆｔｅｒｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｏｎｆｏｒｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｆｕｚｚｙｃｌｏｓｕｒｅｏｐｅｒａｔｏｒａｎｄｆｏｒｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｔｈａｔＣａｎｂｅｕｎｉｑｕｅｌｙｄｅｆｉｎｅｄａｍａｔｒｏｉｄ，１ｔｈｅａｘｉｏｍｏｆｆｕｚｚｙｃｌｏｓｕｒｅｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄ．２、ＯｎｔｈｅｂａｓｉｓｏｆＲ．Ｇｏｅｔｓｃｈｅｌ．ＪＲ．，Ｗ．ＶｏｘｍａｎａｎｄＹｕａｎｇ－ＣｈｅｈＨｓｕｅｈ’Ｓｒｅｓｅａｒｃｈｅｓｏｆｆｕｚｚｙｄｕａｌｍａｔｒｔｏｉｄ，ｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｏｆａｎｄｉｔｓｄｕａｌｉｔｙａｒｅｆｕｚｚｙｍａｔｒｏｉｄａｎｄｒｅｌａｔｉｏｎｓｂｅｔｗｅｅｎｆｕｚｚｙｍａｔｒｏｉｄｓｔｕｄｉｅｄ．３）Ｔｈｅｎｅｃｅｓｓａｒｙａｎｄｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｆｏｒｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｆｕｚｚｙｈｙｐｅｒｐｌａｎｅｓａｌｅｐｒｏｐｏｓｅｄ，ａｎｄｉｔｓｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓａｒｅａｎａｌｙｚｅｄ．４）Ｓｏｍｅ“ｓｍａｌｌ”ｆｕｚｚｙｍａｔｒｏｉｄｓ（ｎａｍｅｄａｓｆｕｚｚｙｓｕｂｍａｔｒｏｉｄｓ）ｔｈｒｏｕｇｈｒｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎａｎｄｃｏｎｔｒａｃｔｉｏｎａｒｅａｂｔａｉｎｅｄａｎｄｔｈｅｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｔｈｅｓｅｓｕｂｍａｔｒｏｉｄｓａｒｅｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ．Ａｌｌｏｆｔｈｅｓｅｆｏｕｒａｓｐｅｃｔｓｏｆｆｕｚｚｙｍａｔｒｏｉｄａｒｅｔｈｅｉｍｐｏｒｔａｎｔｃｏｎｔｅｎｔｓｏｆｔｈｅｆｕｚｚｙｍａｔｒｏｉｄｓ，ａｎｄｔｈｅｒｅｓｅａｒｃｈｏｎｔｈｅｍｉｓｔｈｅｂａｓｉｓｆｏｒｆｕｒｔｈｅｒｓｔｕｄｙ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓｆｕｚｚｙｍａｔｒｏｉｄｆｕｚｚｙｃｌｏｓｕｒｅｏｐｅｒａｔｏｒｄｕａｌｍａｔｒｏｉｄｆｕｚｚｙｈｙｐｅｒｐｌａｎｅｆｕｚｚｙｓｕｂｍａｔｒｏｉｄ重庆大学硕士论文符号说明符号说明Ｅ非空有限集合Ｍ拟阵（模糊拟阵）Ｉ拟阵的独立集族、ｌ，模糊拟阵的独立集族Ｐ秩函数Ⅳ超平面集。
([0,1],[0,1])-模糊拟阵的基和秩函数
i
i)成立.
(
b)
(
a)
∃B2∈
因此 是一个模糊基的模糊族.
定理 8 设 是一个模糊基的模糊族.定义映射
E
E,
:
[
0,
1]
→[
0,
1]如下:∀A∈[
0,
1]
(
A)=∧{
a∈[
0,
1):∀B∈ (
a),
A ≤ B}.
则(
E, )是一个闭的完备的([
0,
1],[
0,
1])
-模糊拟
= .
证明 令 (a)=Low( (
0,
1])
f
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厦门大学学报(自然科学版)
若 是 E 上一族独立模糊集,则称(
E, )是一个
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1]
-拟阵.
定义4[11] 称逆序映射λ:
a)).因为 满足定义 10
(
条件(
i)和(
i
i),由定理3可知,
E, (a))是一个闭的完
阵,且
备的[
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对拟阵的初步研究摘要拟阵中文又称矩阵胚，英文名matroid。
1935年美国数学家Whitney首先提出了拟阵的概念。
拟阵是组合优化与图论的重要内容，在近几十年得到了空前的发展，成为了一门博大精深的学科。
本文对拟阵进行了初步探讨，第一部分引入了拟阵的概念，第二部分提出了拟阵的最优化问题，并论证了其贪心算法的正确性，这两部分都将同步讲解2个实例，力求做到严谨而生动。
第三部分讨论了一个拟阵最优化问题的实例。
这三部分是本文的重点所在。
第四部分给出一些拟阵的实例，重点是线性拟阵。
拓展部分对一个有趣问题进行了简单讨论，有相当难度。
附录I介绍了罗素悖论，附录II主要讨论第三部分中的问题如何用并查集实现。
拟阵理论非常难，需要有良好的数学功底才能深入研究。
希望本文对拟阵的初步探讨能够使读者对拟阵理论有所认识。
关键字拟阵贪心算法 Shannon开关游戏序言拟阵中文又称矩阵胚，英文名matroid。
1935年美国数学家Whitney首先提出了拟阵的概念。
拟阵是他在研究线性无关时发现的。
拟阵是组合优化与图论的重要内容，在近几十年得到了空前的发展，成为了一门博大精深的学科。
本文第一部分讨论了拟阵的的基本概念，第二部分提出了拟阵的最优化问题，并论证了其贪心算法的正确性，这两部分都将同步讲解2个实例，分别是众所周知的部分背包问题（即物品是不用整个拿，可以分割）与最小生成树问题，希望理论结合实例能够帮助读者更好地理解。
第三部分讨论了一个拟阵最优化问题的实例。
前三部分是本文的重点所在，难度适中，只要读者能够仔细读，慢慢读，反复体会，必能发现其奥妙所在。
本文的第四部分和拓展部分比较难，其中有一些结论与证明，我自己也尚未搞明白，但因为这些结论都很有趣，我还是把它们写入了本文，这两部分主要为了拓宽读者视野，对拟阵论的博大精深有个更全面的认识。
理论和实践是不分家的，但历史上却有很多理论与应用不协调的例子：有的是为了实际用途，而发现了一些新方法，但理论根据却不很清楚，过了很久才被完善，并在完善后得到了空前的发展，比如著名的微积分；有的是先有了理论研究，但一直只作为一种智力游戏，并无实际用途，但却在某样事物发明以后，大显神威，于是成为了应用的理论根据，并得到空前的发展，比如著名的数论、组合数学。
我们发现这些例子仅仅是时间上的一种暂时分离，而并不是说理论是没有用的，或实践不需要理论，只是两者被发现的早晚而已，而当两者都被发现以后，相辅相成，却能走得更快更好更远。
如果我们认为拟阵没什么实际用途，应该不是因为应用还没被发现，只是没被我们发现，因为我们的知识还不够，我们不知道，仅此而已。
拟阵是好的、美的，所以我要把它介绍给大家。
拟阵论很难，需要非常良好的数学基础才能学好，所以一般作为研究生的课程。
我在研究过程中深感自己水平有限，诸如线性代数，拓扑学等数学基础知识都不懂，无奈只得边研究边学习。
当然这样临时性的学习必然只能获得皮毛，但我还是在这种研究性学习中获得了无限乐趣。
“吾生也有涯，其知也无涯”。
知识是无穷尽的，我们要做的就是永远保持对知识的渴望，对真理的追求。
这样也就称的上一个爱智慧的人了。
正文第一部分：子集系统与拟阵的概念定义：子集系统．．．．是一个二元组),(L S M =，它须满足以下条件： 1、S 是一个有限．．集。
2、L 是由S 的一些子集组成的有限非空集3、遗传性．．．：对任意L B ∈，任意B A ⊆,有L A ∈（可知φ必须是L 的元素）。
拟阵．．是一个子集系统，它须满足： 4、交换性．．．：对任意L A ∈,L B ∈,B A <,存在一个A B x -∈,使{}L x A ∈ 。
对该定义做些解释是有益处的。
我们把S 看成一个班级所有的同学，L 看成若干张名单的集合。
一张名单记录了若干个同学，表示他们能够组成一个团队。
遗传性说明，从一张名单中选出若干个同学组成的子名单仍存在于我们的名单集合，这是一种包容性。
交换性说明，名单A 上的人数如果少于名单B ，则必然可以从B 中选出一个人，该人不属于A ，将该人加到A 里形成的新名单仍然存在于我们的名单集合中，要注意，我们加到A 中的人必须本来不是A 的，并且必须是B 的人，而不能是2张名单以外的人，外人不能干预。
当然你也可以将S 想象成别的事物组成的集合，而L 则是将这些事物的组合看成基本元素的集合。
由于是集合，万物皆可做元素（这句话严格地说是有问题的，比如著名的罗素悖论,详见附录I ，任何数学体系都有其局限性与不完备性,因此需要公理化。
在此只想说明拟阵是个抽象概念，而不是一个具体问题）。
遗传性和交换性是拟阵．．．．．．．．．．最根本的．．．．2．条性质，拟阵上的其他性质都是基于这．．．．．．．．．．．．．．．．．2．个性质发展．．．．．出来的．．．。
古人云：“君子务本，本立而道生。
”这2条性质就是拟阵的本。
拟阵是一种组合结构。
研究组合结构的意义正如研究代数结构，一旦我们发现某个问题具有拟阵结构（符合4个基本条件，前2条比较显然，因为构造时就已完成，所以后面2个本的成立是关键），则我们已研究出的有关拟阵的性质都可以直接应用于该问题，而不需重新证明。
我们来同步地看我们的两个实例：对于背包问题，我们首先进行一步转化：将体积为V ，单位价值为W 的物品变成V 个体积为1，价值为W 的物品。
这样物品就全是单位体积的了。
我们可以定义这样一个()L S M ,= ：1、 S 是所有物品的集合2、 {}MAX x S x x L ≤⊆=,: 这个M 显然满足子集系统的前两条件。
根据L 的定义，对任意L x ∈，任意x y ⊆，满足MAX x y ≤≤，有L y ∈,因此M 满足遗传性,是一个子集系统。
对任意L B L A ∈∈,，B A <，随意选取一个A B x -∈,令x A C =,显然有B A C ≤+=1，所以M 满足交换性。
因此M 也是一个拟阵。
我们称M 为背包问题的拟阵。
最小生成树问题是在无向图上进行的。
因此考虑对于无向图()E V G ,=，我们可以定义这样一个()L S M ,=：1、 S 是边集E2、 {}组成的图无环且x E x x L ⊆=:这个M 显然满足子集系统的前两条件。
根据L 的定义，对任意L x ∈，任意x y ⊆，假设y 形成环，则x 形成环，矛盾，所以y 不形成环，所以L y ∈,因此M 满足遗传性。
因此M 是一个子集系统。
接下来证明M 满足交换性：考虑任意B A L B L A <∈∈,,，我们将A 组成的森林命名为A G ,B 组成的森林命名为B G 。
A G 有A V -个连通分量，B G 有B V -个连通分量。
（这是根据一个基本事实：n 个点k 条边的森林有k n -个连通分量）。
B A <，所以A V B V -<-，所以B G 中存在一个连通分量T ，T 中的点在A G 中不连通（如果对B G 中的每个连通分量的点在A G 中也连通，则A V B V -≥-）。
那么T 中必然存在一条边x 连接A G 中不同连通分量的边，显然A x ∉且B x ∈，即A B x -∈，且{}x A 无环，即{}L x A ∈ 。
所以M 满足交换性。
因此M 是一个拟阵。
我们称M 为无向图()E V G ,=的拟阵。
为了方便以后的讨论，我们以一些命名来结束本部分：对于S U ⊆，如果L U ∈，那么称U 为独立集．．．。
对于独立集A,若存在S x ∈,满足A x ∉且L x A ∈ ，则称A 为可扩展的。
不可扩展的独立集称为极大独立集．．．．．。
对于S U ⊆，我们定义：(){}是独立集且x U x x u r ,:max ⊆=，我们称r(U)为U 的秩．，r 称为拟阵的秩函数．．．。
定理1：拟阵的极大独立集大小相同证明：假设A 和B 是拟阵的2个极大独立集，如果B A ≠,不失一般性，我们可以设B A <，那么根据交换性，A 是可扩展的，不是极大独立集，矛盾。
所以命题成立。
证毕。
第二部分：拟阵上的最优化问题上一部分我们给出了拟阵的定义，并做了一些有益的解释，同步给出了2个实例。
这部分我们将提出拟阵上的最优化问题，并论证可以用贪心法解决。
我们一旦发现了最优化问题的拟阵结构，那么就可以对该问题实施贪心算法，这是由拟阵的性质决定．．．．．．．．．．的．。
当然仍有大量可以用贪心算法解决的问题无法被拟阵结构覆盖（比如huffman 问题，最多不冲突区间问题等），但拟阵理论博大精深，这只是拟阵最简单最直接的一个应用，只是冰山一角。
况且，爱美之心，人皆有之，细心体会你会发觉拟阵是种很优美的结构。
对于拟阵()L S M ,=，我们对S 的每个元素x 赋予一个正整数权值()x w ，S 的任意子集U 的权值()()∑∈=U x x w U w ，即为其所有元素的权值和。
对于M ，我们希望求出它的一个权值最大．．．．独立集．．．。
现在我们在名单上写下分数，分数为名单上所有人的分数和。
我们的目标是找出分数最高的一张名单。
继续同步地来看我们的两个例子：背包问题是希望求出一种方案使得带走的物品价值和最大。
那么我们上面提到了我们的S 是所有物品的集合（物品是单位体积的），我们将S 的任意元素x 的权值()x w 定义为x 的价值（价值总为正的），那么问题就转化为了求背包问题的拟阵的权值最大独立集。
显然权值最大的独立集是极大独立集。
最小生成树问题乍看有一些困难，因为我们的目标是使权值最小，如何将一个权值最小问题转化为一个权值最大的问题呢？一般方法就是对权值取负，但对权值取负以后会出现负数，不满足我们拟阵权值的前提条件，怎么办？由于权值只是个相对概念．．．．，我们可以改变我们的绝对零点．．．．，使得所有权值变正。
也就是说，将所有权值先取负，然后再统一加上一个足够大的值，使得权值都是正的，那么问题就等价转化为在新的权值下求一棵最大生成树了。
即对于S 的每个元素x(x 是图的一条边)，使()()delta x g x w +-=，其中()x g 为x 的边权，1+=图中边权最大值delta 。
显然()0>x w 。
这样，求最小生成树的问题就等价为求图的拟阵的权值最大独立集了。
我们先给出求拟阵最大权值独立集的贪心算法：这个算法的输入是一个加权拟阵()L S M ,=和一个正权函数w ，返回的是一个最大权值独立集A 。
在我们的伪代码中，用[]M S 和[]M L 表示M 的组成，用w 表示权函数。
算法的基本思想是按权值的非增序来依次考虑每个元素S x ∈,如果{}x A 是独立集，就立刻把x 加入A 。
伪代码：Greedy(M,w)A := 空集;根据w 按非增长顺序对[]M S 排序for 每个[]M S x ∈,根据权()x w 的非增长顺序 doif ({}[]M L x A ∈ ) then {}x A A =:;return A;同步看我们的两个例子：按该算法做背包问题，相当于每次取价值最大的物品，如果背包还没满（说明{}[]M L x A ∈ ），那么该物品就放入背包了。