1序列的傅里叶变换(DTFT)
第八章第4讲_离散系统频率响应
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
（4）序列的线性加权
若： DTFT[x(n)] X (e j )
则：
DTFT[nx(n)]
j[
d
d
X (e j )]
时域的线性加权对应频域微分
（5）序列的反褶 若： DTFT[x(n)] X (e j )
2. 序列的傅立叶变换与Z变换的关系
X (z) x(n)z n n X (e jT ) X (z) ze jT x(n)e jnT n
因此，单位圆上的序列的Z变换为序列的傅立叶变换。
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
（2）序列的位移： 若： DTFT[x(n)] X (e j )
则： DTFT[x(n n0 )] e jn0 X (e j )
时域位移对应频域相移
（3）频域的位移： 若： DTFT[x(n)] X (e j )
则： DTFT[e jn0 x(n)] X (e j( 0 ) )
(7)时域卷积定理 若： DTFT[x(n)] X (e j )
DTFT[h(n)] H (e j )
时域卷积对应频域相乘。
则： DTFT[x(n) * h(n)] X (e j )H (e j )
(8)频域卷积定理 若： X (e j ) DTFT[x(n)]
H (e j ) DTFT[h(n)]
§8.9 序列的傅立叶变换(DTFT)
(一) 序列的傅立叶变换
1. 定义
X
(e
jT
)
x(n)e jnT
n
《DTFT变换》PPT课件
精选PPT
3
D T F T[x(n)]X(ej) x(n)ejn n
ID[X T (ej) F ]x ( T n ) 2 1 X (ej)ej n d
X (ej)ej n d [ x (m )e j m ]ej n d m
x(m)
ej(nm)d
m
ej(nm )d2(nm )
实序列的DTFT的模是偶函数，相位为 奇函数。
对于实序列，一般只需分析 0 之间的 离散时间傅里叶变换。
精选PPT
29
2.10 离散系统的系统函数、系统的频率响应
2.10.1 传输函数与系统函数
设系统初始状态为零，输出端对输入为单 位脉冲序列δ(n)的响应，称为系统的单位脉冲 响应h(n)，对h(n)进行傅里叶变换得到H(e jω)
式中a, b为常数
3. 乘以指数序列 DT[a FnxT (n)]X(1ej) a
精选PPT
12
4. 时移与频移 设X(e jω)=DTFT［x(n)］， 那么 FT[x(nn0)]ejn0X(ej) FT[ej0nx(n)]X(ej(0))
x(n)乘以复指数序列，也称调制性
精选PPT
13
5. 时域卷积定理
精选PPT
14
6. 频域卷积定理
设 y(n)=x(n)·h(n) ，
则
Y ( e j ) 2 1 X ( e j ) * H ( e j ) 2 1 X ( e j ) H ( e j( ) ) d
证明：Y(ej) x(n)h(n)ejn
n
x(n)[ 1
H(ej)ejnd]ejn
对照z变换定义，z变换收敛域应满足：| h(n)zn | n
比较得：|z|=1 ，即系统稳定要求收敛域包含单位圆。
4种傅里叶变换
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4种傅里叶变换
DFT的变换 的变换
x(nT)=x(n)
Tp = 1 F
Tp = NT
x(e jkΩ0T ) x(k)
0 T 2T 1 2
Ωs = 2 π T 1 fs = T
NT
N
Ω0 =
2 π =2 F π Tp
t n
Ωs = N 0 Ω
( )
--Ω
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4种傅里叶变换
4.离散傅里叶变换 离散傅里叶变换(DFT) 离散傅里叶变换
周期性离散时间信号从上可以推断： 周期性离散时间信号从上可以推断： 从上可以推断 周期性时间信号可以产生频谱是离散的 离散时间信号可以产生频谱是周期性的。 离散时间信号可以产生频谱是周期性的。 得出其频谱为周期性离散的 得出其频谱为周期性离散的。 周期性离散
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4种傅里叶变换
四种傅里叶变换形式的归纳
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Ω
正: X(e jω ) =
1 反 : x(n) = 2π
n=−∞
x(n)e − jnω ∑
∞
∫π
−
π
X(e jπ )e jnω dω
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4种傅里叶变换
对称性
时域信号 离散的 非周期的 频域信号 周期的 连续的
时域：非周期、离散（取样间隔为T 时域：非周期、离散（取样间隔为T） 频域：连续、周期（ 频域：连续、周期（周期为 Ω = 2π ） s
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§6.10 傅里叶变换、拉普拉斯变换、z变换之间的关系
邮
院
X
二．z变换与拉普拉斯变换的关系
Ai ˆ t L x s p i 1 i ˆ ( nT ) 也 ˆ ( t ) 进行理想抽样，得到的离散时间序列 x 对x 由N 项指数序列相加组合而成。 ˆ nT x ˆ 1 nT x ˆ 2 nT x ˆ N nT x
jω
n
电
子 工
X z
n x n z
北
程 学
院
逆变换 x n
2 j 1 2 j 1
1
z 1
X z z
n 1
dz
第 5 页
北
京
1 IDTFT X e x n 2
学
n
电
x n e jn
j K2 K 2
* 1
北
程 学
K1 K2 ω0 解： xt sinω0 t ut X s 2 2 s j ω0 s j ω0 s ω0 两个一阶极点分别为 p1 j ω0，p2 j ω0 。
电
大 学
电
子 工
序列sinω0 nT unT 的z变换。
第 7 页
大 学
北
i 1
i 1
其拉式变换为
N
北
京
邮 电
Ai ˆ t L x s p i 1 i
大
学
电
子 工
程 学
京
ˆ i t Ai e pi t u t x
电
N
电
子 工
程
学 院
N
匀抽样 x t 均 x n ,
§8.9序列的傅里叶变换(DTFT)
→
于 散 列 对 离 序 x(n)：
氏 换 傅 变 Xe
( ) = ∑x(n) ⋅ e
∞ jω n=−∞
−jnω
返回
2.频率的比较 2.频率的比较
模拟角频率Ω 量纲：弧度/ 模拟角频率Ω，量纲：弧度/秒； 数字角频率ω 量纲：弧度；是周期为2π 2π的周期函数 关系：ω = ΩΤ 关系：
(8)频域卷积定理(时域乘积，对应频域卷积。) (8)频域卷积定理 时域乘积，对应频域卷积。 频域卷积定理( 若 则 DTFT[x )]=X DTFT[x(n)]=X(ejω) DTFT[h )]=H DTFT[h(n)]=H(ejω) DTFT[x DTFT[x(n)h(n)]=1/2π [X(ejω)* H(ejω)] )]=1/2π 1 π = ∫ X e jθ H e j (ω −θ ) dθ 2π −π (9)帕塞瓦尔定理 (9)帕塞瓦尔定理
返回
一．定义
DTFT(DiscreteDTFT(Discrete-time Fourier transform)
x(t ) δT (t)
为研究离散时间系统的频率 响应作准备， 响应作准备，可从抽样信号的 傅里叶变换引出： 傅里叶变换引出：
数字信号处理____第二章 离散时间傅里叶变换(DTFT)
x a (t )e
st
e
jk
2 T
t
dt
用傅里叶级数表示
即：Z变换可看成是x(n)乘以指数序列r-n后的傅里叶变换。 2、单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换
X a ( s jk s )
k
周期延拓
z re
j
r 1 z e
j
X (z)
ze
sT
X (e
M N
y (n)
m 0
bm x (n m )
k 1
ak y (n k )
23
24
4
§2.3 离散线性移不变（LSI）系统的频域特征
2、变换域中的表述 用系统函数H(z)来表征（指明收敛域）
§2.3 离散线性移不变（LSI）系统的频域特征
用频率响应来H(ejω)表征
H (e
x ( n )e
j ( n )
]
X (e
*
j
)
满足共轭反对称性
X o (e
j
) X o (e
)
19
20
§2.2 离散时间傅里叶变换（DTFT)
4、信号的实部和虚部的傅里叶变换
x ( n ) Re[ x ( n )] j Im[ x ( n )]
§2.2 离散时间傅里叶变换（DTFT)
j
)] X e ( e
j
)
Im[ X ( e
j
)] Im[ X ( e
j
奇函数
j Im[ x ( n )]
1 2
[ x ( n ) x ( n )] 1 2
FSFTDFSDTFTDFT的联系和区别
FS FT DFS DTFT DFT 的联系和区别摘2011—09—10 22：50转载自分享最终编辑bacon7630FS FT DFS DTFT DFT 的联系和区别对于初学数字信号（DSP）的人来说，这几种变换是最为头疼的，它们是数字信号处理的理论基础，贯穿整个信号的处理。
学习过《高等数学》和《信号与系统》这两门课的朋友，都知道时域上任意连续的周期信号可以分解为无限多个正弦信号之和,在频域上就表示为离散非周期的信号,即时域连续周期对应频域离散非周期的特点,这就是傅立叶级数展开（FS）,它用于分析连续周期信号。
FT是傅立叶变换，它主要用于分析连续非周期信号，由于信号是非周期的，它必包含了各种频率的信号,所以具有时域连续非周期对应频域连续非周期的特点.FS和FT 都是用于连续信号频谱的分析工具，它们都以傅立叶级数理论问基础推导出的。
时域上连续的信号在频域上都有非周期的特点,但对于周期信号和非周期信号又有在频域离散和连续之分。
在自然界中除了存在温度,压力等在时间上连续的信号,还存在一些离散信号，离散信号可经过连续信号采样获得，也有本身就是离散的。
例如,某地区的年降水量或平均增长率等信号，这类信号的时间变量为年，不在整数时间点的信号是没有意义的.用于离散信号频谱分析的工具包括DFS，DTFT和DFT。
DTFT是离散时间傅立叶变换，它用于离散非周期序列分析，根据连续傅立叶变换要求连续信号在时间上必须可积这一充分必要条件，那么对于离散时间傅立叶变换,用于它之上的离散序列也必须满足在时间轴上级数求和收敛的条件；由于信号是非周期序列,它必包含了各种频率的信号，所以DTFT对离散非周期信号变换后的频谱为连续的，即有时域离散非周期对应频域连续周期的特点。
当离散的信号为周期序列时,严格的讲，傅立叶变换是不存在的，因为它不满足信号序列绝对级数和收敛（绝对可和）这一傅立叶变换的充要条件，但是采用DFS(离散傅立叶级数）这一分析工具仍然可以对其进行傅立叶分析。
傅里叶变换公式】
傅里叶变换公式
傅里叶变换（Fourier Transform）是一种数学运算，用于将一个函数从时域（时间域）转换到频域。
傅里叶变换的基本公式如下：
离散傅里叶变换（DTFT）：X(k) = Σ[n=0, N-1] x(n) * e^(-j * 2π * k * n / N) 其中，X(k)表示频域中的复数值，k表示频域的离散频率，x(n)表示时域中的复数值，n表示时域的离散时间，N表示时域采样点数。
如果是连续信号，可以使用连续傅里叶变换（CTFT）：
X(ω) = ∫[−∞,+∞] x(t) * e^(-j * ω * t) dt 其中，X(ω)表示频域中的复数值，ω表示频域的连续角频率，x(t)表示时域中的复数值，t表示时域的连续时间。
傅里叶变换将信号从时域变换到频域，可以揭示信号中不同频率成分的强度和相位信息，对于频谱分析、滤波、信号处理等具有重要意义。
傅里叶变换的逆变换可以将信号从频域重新转换回时域，以便还原原始信号。
需要注意的是，上述公式是傅里叶变换的基本形式，而傅里叶变换还有一些特殊形式和性质，如快速傅里叶变换（FFT）等。
这些公式和性质在信号处理、图像处理、通信等领域中有着广泛的应用。
数字信号处理期末试卷(含答案)
数字信号处理期末试卷(含答案)数字信号处理期末试卷一、填空题：（每空1分，共18分）1、数字频率ω是模拟频率Ω对采样频率fs的归一化，其值是连续Ω与数字频率ω之间的映射变换关系为Ω=2tan(ωT/2)。
用双线性变换法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω与数字频率ω之间的映射变换关系为Ω=2fsarctan(ω/fs)。
2、双边序列z变换的收敛域形状为圆环或空集。
3、某序列的DFT表达式为X(k)=∑x(n)Wkn，由此可以看出，该序列时域的长度为N，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是2π/M。
4、线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为H(z)=(8(z^2-z-1))/(2z^2+5z+2)，则系统的极点为z=1/2，z=-2；系统的稳定性为不稳定。
系统单位冲激响应h(n)的初值h(0)=4；终值h(∞)不存在。
5、如果序列x(n)是一长度为64点的有限长序列(0≤n≤63)，序列h(n)是一长度为128点的有限长序列(0≤n≤127)，记y(n)=x(n)*h(n)（线性卷积），则y(n)为64+128-1=191点的序列，如果采用基2FFT算法以快速卷积的方式实现线性卷积，则FFT的点数至少为256点。
6、用冲激响应不变法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω与数字频率ω之间的映射变换关系为Ω=2fsarctan(ω/fs)。
7、当线性相位FIR数字滤波器满足偶对称条件时，其单位冲激响应h(n)满足的条件为h(n)=h(N-1-n)，此时对应系统的频率响应H(ejω)=H(ω)ejφ(ω)，则其对应的相位函数为φ(ω)=-N/2ω。
8、巴特沃什滤波器、切比雪夫滤波器、椭圆滤波器是三种常用低通原型模拟滤波器。
二、判断题（每题2分，共10分）1、模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，只要加一道采样的工序就可以了。
（×）2、已知某离散时间系统为y(n)=T[x(n)]=x(5n+3)，则该系统为线性时不变系统。
2.1离散时间序列的傅里叶变换DTFT
jω
n = −∞ π
−
∑ x ( n )e
∫ π X (e
jω
∞
− jωn
)e
jωn
dω
2、时移与频移性 4、时域卷积定理 6、帕斯维尔定理 8、周期性
DTFT的周期性
由序列的傅里叶变换公式：
X ( e jω ) =
n取整数，可以把频率分成两部分 ω → ω + 2πM
n = −∞
∑ x(n)e − jωn
-28-
序列分成共轭对称部分和共轭反对称部分 x(n) = xe (n) + xo (n)
傅里叶变换
= X ( e jω ) DTFT = [ x ( n )] DTFT [ xe ( n ) + xo ( n )] = DTFT [ xe ( n )] + DTFT [ xo ( n )] =
n = −∞
∞ *
( )
( )
( ) ( )
DTFT性质应用举例
例2.1.7
P38
-19-
时域卷积定理
设 则
y (n ) = x(n ) * h(n )
Y (e jω )=X (e jω )H (e jω )
该定理说明，两序列卷积的DTFT，服从相乘的 关系。对于线性时不变系统输出的DTFT等于输 。 入信号的 DTFT乘以单位脉冲响应DTFT。因此 求系统的输出信号，可以在时域用卷积公式计算， 也可以在频域求出输出的DTFT，再作逆DTFT 求出输出信号。
由上式表明,共轭对称序列的实部确实是偶 函数,虚部是奇函数。
-25-
一般序列 分解为 其中
= x ( n ) xe ( n ) + xo (n )
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z变换 X z x k z k
k
对于离散序列 xk ：
s j , T , kT k
z e jω
傅氏变换 X e
jω
j kω
k
x k e
X
第
2．s平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换
13 页
σ 0, s j
H j H s s j
3. z平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏 变换（DTFT）
z 1, z e jω
X jω X z z e jω
X
与z变换之关系
j Im s
虚轴( s j )
第
14 页
j Im z
单位圆 ( z e j ) 1 Re z
k 0
x(kTs )e
k 0
- jkTs
x(k ) Z k X ( z )
k 0
e jTs Z
(B)
X
表明单位圆上的Z变换就是序列的频谱
第
2. ZT与LT的关系
Z变换也可由LT推得：
4 页
x(t ) xs (t ) X s ( s) X ( z )
LT
T ( t ) 抽样
e sTs Z
将（A)两边取LT：
X s ( s ) [ x(t ) (t kTs )]e-st dt
k 0
[ x(kTs )e skTs (t kTs )dt]
k 0
x(kTs )e
k 0
skTs
第 1 页
第三节 Z变换与傅氏变换和 拉氏变换的关系
这些变换并非孤立，在一定条件下可以相互转换
X
一．序列的ZT与FT和LT
1. ZT与FT的关系
T ( t ) 抽样
FT e jTs Z
第 2 页
x(t ) xs (t ) X s ( j ) X ( z )
10 页
X
第
1．三种变换的比较
变换名称 信号类型 变量 傅里叶变 换
x t
11 页
拉普拉斯 变换
z变换
离散信号 xkT
连续信号
j
s σ j
ze
sT
X
第
12 页
拉氏变换 X s s xkT e
k kT k
推导过程：
xs (t ) x(t ) T (t ) x(t ) (t kTs )
k 0 k 0
(A)
X s ( j ) [ x(t ) (t kTs )]e- jt dt [ x(kTs ) (t kTs )e- jkTs dt]
x(k ) Z k X ( z )
k 0
e sTs Z
以上介绍了由抽样信号的FT或LT求取Z变换的方法，只作变量替换
Z e jTs 或Z esTs
X
第
三．傅氏变换、拉氏变换、z变换的关系
1. 三种变换的比较
2.s平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换 3.z平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏变换 （DTFT） DTFT:Discrete-time Fourier transform
O Re s O
X z
k
k x k z
令z e jω , z 1,即单位圆上的 z变换
周期为 2
X e j ω X z z e j ω
X