2019届安徽省江淮十校高三年级5月考前最后一卷数学(文)试题(解析版)

（1）求曲线 的方程；
（2）记曲线 与 轴交于 两点， 是直线 上任意一点，直线 ， 与曲线 的另一个交点分别为 ，求证：直线 过定点 .
【答案】(1) ；(2)见解析
【解析】（1）由已知 ，利用椭圆的定义计算即可；
（2）设点 ，直线 的方程为: ，与 联立得： ，设点 ，则 ， ；设点 同理得 ， ；由 即可得出结论.
【解析】（1）先对函数求导，分别讨论 和 ，即可得出结果；
（2）结合（1）的结果，得到 时， 在 上单调递增，不满足条件；当 时，得到 的极大值，再由函数 的图像与 轴相切，求出 ，将原问题转为证明 即可，再构造函数 ，用导数的方法判断其单调性，结合条件，即可得出结论成立.
【详解】
（1）函数 的定义域为 ， .
化简得 ，即 ，
因为 ，所以
（2）由余弦定理得
所以 ，故 ,即 是直角三角形.
由（1）知 是等边三角形，且
，所以
在 中，
,故 两点的距离为 .
故答案为
【点睛】
本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.
18．已知三棱柱 的底面 是等边三角形，侧面 底面 ， 是棱 的中点.
（1）求证：平面 平面 ；
（1）求角 ；
（2）若 是 上的中线，延长 至点 ，使得 ，求 两点的距离.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）先由 ，根据正弦定理得到 ，即可求出结果；
（2）先由余弦定理，得到 是直角三角形，由（1）得到 是等边三角形，在 中，结合余弦定理，即可求出 的长.
【详解】
（1）在 中，由 及正弦定理得
，因为 ，
7．已知等比数列 的公比 ，该数列前9项的乘积为1，则 （）
A．8B．16C．32D．64
【答案】B
【解析】先由数列前9项的乘积为1，结合等比数列的性质得到 ，从而可求出结果.
【详解】
由已知 ，又 ，所以 ，即 ，所以 ， ，故选B.
【点睛】
本题主要考查等比数列的性质以及等比数列的基本量计算，熟记等比数列的性质与通项公式即可，属于常考题型.
【详解】
不等式满足的平面区域如图阴影部分，
其中 ，当动直线 过点 时， .
故答案为5.
【点睛】
本题考查线性规划，属于基础题。
15．已知函数 ，若 ，则 ________．
【答案】 或
【解析】先令 ，由 ，分别讨论 和 ，求出 ；再讨论 和 ，即可求出结果.
【详解】
令 ，则 ,当 时，由 ,解得 ；当 时，由 ,无解.故 ，当 时，由 ，解得 ;当 时，由 ,解得 .综上： 或 .
【点睛】
本题主要考查面面垂直的证明，以及几何体的体积的相关计算，熟记线面垂直、面面垂直的判定定理，以及几何体的体积公式即可，属于常考题型.
19．某公司为了预测下月产品销售情况，找出了近7个月的产品销售量 （单位：万件）的统计表：
月份代码
1
2
3
4
5
6
7
销售量 （万件）
但其中数据污损不清，经查证 ， ， .
8．已知直线 与圆 相交，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据直线与圆相交，得到圆心到直线的距离小于半径，根据点到直线的距离公式，即可求出结果.
【详解】
圆心到直线的距离为 ，故 ，所以选D.
【点睛】
本题主要考查直线与圆位置关系，根据直线与圆相交求参数的问题，熟记几何法判断直线与圆位置关系即可，属于常考题型.
【答案】D
【解析】根据乘法化简复数 ，根据实部为0可求解.
【详解】
由已知得 ，解得 ，故选D.
【点睛】
本题考查了复数的运算及纯虚数概念，属于基础题。
3．抛物线 的焦点坐标是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将抛物线方程化为标准形式，即可得出结果.
【详解】
抛物线的标准方程为 ，焦点坐标为 ，故选A.
【详解】
在 中，由已知， ， ，
所以设 ，
四边形 的面积为 ,
当 平面 时，四棱锥 体积最大,
此时 ，且 ,
故四棱锥 体积为 ，
，
时， ； 时， ,
所以，当 时， .
故答案为
【点睛】
本题主要考查求几何体的体积，熟记体积公式，以及导数的方法研究函数的最值即可，属于常考题型.
三、解答题
17．在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ， .
【点睛】
本题主要考查抛物线的焦点坐标，熟记抛物线的性质即可，属于常考题型.
4．已知向量 ， ， ，若 ，则实数 （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 的坐标，表示出 ，再由 ，得到 ，进而可求出结果.
【详解】
因为 ， ，
所以 ，
又 ，所以 ，
即 ，解得 .
故选C.
【点睛】
本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记运算法则即可，属于常考题型.
(2)由 及(Ⅰ)得
所以 关于 的回归方程为
（3）当 时，代入回归方程得 （万件）
第8个月的毛利润为
，预测第8个月的毛利润不能突破 万元.
【点睛】
本题主要考查线性回归分析，熟记最小二乘法求 ，以及线性回归分析的基本思想即可，属于常考题型.
20．已知 是圆 ： 上任意一点， ，线段 的垂直平分线与半径 交于点 ，当点 在圆 上运动时，记点 的轨迹为曲线 .
【答案】(1)见解析；(2) (3)见解析
【解析】(1)根据中条件，计算相关系数的值，即可得出结论；
（2）根据题中数据，计算出 ，即可得到回归方程；
（3）将 代入（2）的结果，结合题中条件，即可求出结果.
【详解】
(1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得
， ， ，
∴ ，因为
所以销售量 与月份代码 有很强的线性相关系.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】用列举法得出：抛掷三枚古钱币出现的基本事件的总数，进而可得出所求概率.
【详解】
抛掷三枚古钱币出现的基本事件共有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反8中，其中出现两正一反的共有3种，故概率为 .
故选C
【点睛】
本题主要考查古典概型，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型.
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增；
在 内有极大值点 ，极小值点为 ，满足题意；
D选项，由 得 ；
由 得 ；
所以函数 在 上单调递增；在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 内有三个极值点 ， ， ，不满足题意.
故选C
【点睛】
本题主要考查三角函数的性质，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.
由 得 ，所以切线斜率为 ，
因此，切线方程为： ，由切线过原点，得 ，
此时切线的斜率为 .
故当 时， ，直线 与 有两个交点；当 时，直线 与 有一个交点，
结合图像可得，
故选A.
【点睛】
本题主要考查由函数零点个数求参数的问题，熟记导数的几何意义，根据数形结合的思想求解，属于常考题型.
二、填空题
13．已知点 是双曲线 渐近线上一点，则其离心率是_______．
（2）求平面 将该三棱柱分成上下两部分的体积比.
【答案】(1)见证明；(2)1：1
【解析】（1）先取 的中点 ,连接 与 交于点 ，连接 ， ,由线面垂直的判定定理得到 平面 ，进而可得到面面垂直；
（2）连接 ，设三棱柱 的体积为 ，得到四棱锥 的体积，再由四棱锥 的体积 ，即可得出结果.
【详解】
（1）取 的中点 ,连接 与 交于点 ，
【答案】
【解析】先由题意得到渐近线方程，求出 ，进而可得出结果.
【详解】
因为点 是双曲线 渐近线上一点，
所以，渐近线方程为 ，所以 ，
因此， .
故答案为
【点睛】
本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.
14．若 满足约束条件 ，则 的最小值为_______．
【答案】
【解析】画出不等式满足的平面区域，结合直线斜率可得答案。
【答案】C
【解析】先由 ，得到 ， ， ，公差大于零，再由数列的求和公式，即可得出结果.
【详解】
由 得， ， ， ，所以公差大于零.
又 ， ，
，
故选C.
【点睛】
本题主要考查等差数列的应用，熟记等差数列的性质与求和公式即可，属于常考题型.
11．已知函数 的一个零点是 ，且在 内有且只有两个极值点，则（）
的斜率为
的斜率为
因为 ，所以直线 经过定点 .
【点睛】
本题考查了用定义法求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，也考查了两点的斜率，属于中档题.
21．已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 的图像与 轴相切，求证：对于任意互不相等的正实数 ， ，都有 .
【答案】(1)见解析；(2)见证明
9．如图，是一块木料的三视图，将它经过切削，打磨成半径最大的球，则该木料最多加工出球的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为侧视图直角三角形内切圆的半径r．然后判断球的个数．
【详解】
由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为侧视图直角三角形内切圆的半径r，
5．函数 的图像为（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由 ，得 的图象关于原点对称，当 时，得 ，对选项分析判断即可.
【详解】
由 ，得 的图象关于原点对称，排除C,D.
当 时，得 ，排除B.