第二章 习题课 基本不等式的应用
高中数学2-2基本不等式第2课时基本不等式的应用课时作业新人教A版必修第一册
2．2 基本不等式 第2课时 基本不等式的应用必备知识基础练1．[2022·广东惠州高一期末]若a >1，则a ＋1a －1有( ) A ．最小值为3 B ．最大值为3 C ．最小值为－1 D ．最大值为－1 2．函数y ＝x ＋16x ＋2(x >－2)取最小值时x 的值为( ) A ．6 B ．2 C ． 3 D ． 63．[2022·湖南衡阳高一期末]已知x ，y 均为正数，且x ＋y ＝1，求1x ＋4y的最值( )A ．最大值9B ．最小值9C ．最大值4D ．最小值44．在班级文化建设评比中，某班设计的班徽是一个直角三角形图案．已知该直角三角形的面积为50，则它周长的最小值为( )A ．20B ．10 2C ．40D ．102＋205．若正实数m ，n 满足2m ＋1n＝1，则2m ＋n 的最小值为( )A ．4 2B ．6C ．2 2D ．96．[2022·湖北武汉高一期末](多选)下列说法正确的是( ) A ．x ＋1x(x >0)的最小值是2B ．x 2＋2x 2＋2的最小值是 2C ．x 2＋5x 2＋4的最小值是2D ．2－3x －4x的最小值是2－4 37．若x >－1，则x ＋1x ＋1的最小值是________，此时x ＝________． 8．用一根铁丝折成面积为π的长方形的四条边，则所用铁丝的长度最短为________．关键能力综合练1．[2022·湖南长郡中学高一期末]已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝－b 2－2b ＋3(b ∈R )，则p ，q 的大小关系为( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p >qD ．p <q2．已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋2b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值是( )A ．3＋2 2B ．3－2 2C ．6－4 2D ．6＋4 23．[2022·福建莆田一中高一期末]函数f (x )＝x 2－4x ＋5x －2(x ≥52)有( )A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值24．[2022·山东薛城高一期末]已知a ，b ∈R ＋，且a ＋2b ＝3ab ，则2a ＋b 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．95．[2022·湖南雅礼中学高一期末]近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的猪肉价格分别为a 元/斤、b 元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲、乙两次平均单价分别记为m 1，m 2，则下列结论正确的是( )A ．m 1＝m 2B ．m 1>m 2C ．m 2>m 1D ．m 1，m 2的大小无法确定6．[2022·山东枣庄高一期末]设正实数m 、n 满足m ＋n ＝2，则( )A ．n m ＋2n的最小值为2 2 B ．m ＋n 的最小值为2 C ．mn 的最大值为1 D ．m 2＋n 2的最小值为27．函数f (x )＝4x 2＋1x(x >0)取得最小值时x 的取值为________．8．[2022·河北唐山高一期末]当x >0时，函数f (x )＝xx 2＋1的最大值为________．9．已知x ，y ∈R ＋，且满足x ＋2y ＝2xy ，那么x ＋4y 的最小值？xy 的最小值？10．做一个体积为48 m 3，高为3米的无上边盖的长方体纸盒，底面造价每平方米40元，四周每平方米为50元，问长与宽取什么数值时总造价最低，最低是多少？核心素养升级练1．已知a >0，b >0，1a ＋1b＝1，若不等式2a ＋b ≥m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．2＋ 3B ．3＋ 2C ．3＋2 2D ．52．一批货物随17列货车从A 市以v km/h 匀速直达B 市，已知两地铁路线长400 km ，为了安全，两列货车间距离不得小于(v20)2km ，那么这批物资全部运到B 市，最快需要________小时，(不计货车的车身长)，此时货车的速度是________ km/h.3．在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题：(1)已知正实数x 、y 满足2x ＋y ＝1，求1x ＋12y 的最小值．甲给出的解法：由1＝2x ＋y≥22x ·y ，得xy ≤24，所以1x ＋12y≥2 1x ·12y ＝2xy≥4，所以1x ＋12y 的最小值为4.而乙却说甲的解法是错的，请你指出其中的问题，并给出正确的解法；(2)结合上述问题(1)的结构形式，试求函数y ＝1x ＋12－3x (0<x <23)的最小值．第2课时 基本不等式的应用必备知识基础练1．答案：A解析：∵a >1，∴a －1>0， ∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2（a －1）·1a －1＋1＝3，当且仅当a －1＝1a －1即a ＝2时取等号，∴a ＋1a －1有最小值为3. 2．答案：B解析：因为x >－2，所以x ＋2>0， 所以y ＝x ＋16x ＋2＝x ＋2＋16x ＋2－2≥2 （x ＋2）·16x ＋2－2＝6， 当且仅当x ＋2＝16x ＋2且x >－2，即x ＝2时等号成立． 3．答案：B解析：因为x ，y 均为正数，且x ＋y ＝1， 则1x ＋4y ＝(1x ＋4y )(x ＋y )＝5＋y x ＋4xy≥5＋2y x ·4xy＝9， 当且仅当x ＝13，y ＝23时，1x ＋4y 有最小值9.4．答案：D解析：设两直角边分别为a ，b ，则斜边为a 2＋b 2， 所以该直角三角形的面积为S ＝12ab ＝50，则ab ＝100，周长为a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝20＋102，当且仅当a ＝b ＝10时等号成立，故周长的最小值为102＋20. 5．答案：D解析：正实数m ，n 满足2m ＋1n＝1，2m ＋n ＝(2m ＋n )(2m ＋1n )＝5＋2m n ＋2nm≥5＋4＝9，等号成立的条件为：m n ＝n m⇒m ＝n ＝3. 6．答案：AB解析：当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x ＝2(当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号)，A 正确； x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2，因为x 2≥0，所以x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2≥2，B 正确； x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4≥2，当且仅当x 2＋4＝1x 2＋4，即x 2＝－3时，等号成立，显然不成立，故C 错误；当x ＝1时，2－3x －4x＝2－3－4＝－5<2－43，D 错误．7．答案：1 0 解析：因为x >－1， 所以x ＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－1≥2 （x ＋1）·1x ＋1－1＝1， 当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时，等号成立， 所以其最小值是1，此时x ＝0. 8．答案：4π解析：设长方形的长宽分别为a ，b (a >0，b >0)，所以ab ＝π，所用铁丝的长度为2(a ＋b )≥4ab ＝4π，当且仅当a ＝b ＝π时取等号．关键能力综合练1．答案：A解析：因为a >2，可得p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2 （a －2）·1a －2＋2＝4， 当且仅当a －2＝1a －2时，即a ＝3时，等号成立，即p ≥4， 又由q ＝－b 2－2b ＋3＝－(b ＋1)2＋4，所以q ≤4， 所以p ≥q . 2．答案：D解析：1a ＋1b ＋1c＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (a ＋2b ＋c )＝4＋2b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋2bc ≥4＋22ba·a b＋2c a ·a c＋2c b ·2bc ＝6＋42， 当且仅当2b a＝a b ，c a ＝a c ，c b＝2bc时，等号成立， 即a 2＝c 2＝2b 2时，等号成立． 3．答案：D解析：方法一 ∵x ≥52，∴x －2>0，则x 2－4x ＋5x －2＝（x －2）2＋1x －2＝(x －2)＋1（x －2）≥2，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． 方法二 令x －2＝t ，∵x ≥52，∴t ≥12，∴x ＝t ＋2.将其代入，原函数可化为y ＝（t ＋2）2－4（t ＋2）＋5t ＝t 2＋1t ＝t ＋1t≥2t ·1t＝2，当且仅当t ＝1t，即t ＝1时等号成立，此时x ＝3.4．答案：A解析：因为a ＋2b ＝3ab ，故2a ＋1b＝3，故2a ＋b ＝13(2a ＋b )(2a ＋1b )＝13(5＋2b a ＋2a b )≥13(5＋4)＝3，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立， 故2a ＋b 的最小值为3. 5．答案：C解析：根据题意可得m 1＝20＋2020a ＋20b＝2ab a ＋b ≤2ab2ab ＝ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，m 2＝6a ＋6b 12＝a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立， 由题意可得a ≠b ，所以m 1<ab ，m 2>ab ，则m 2>m 1. 6．答案：CD解析：对于选项A ，因为m >0，n >0，m ＋n ＝2，所以n m ＋2n ＝n m＋m ＋n n＝n m ＋m n＋1≥2n m ·mn＋1＝2＋1＝3，当且仅当n m ＝m n且m ＋n ＝2，即m ＝n ＝1时取等号，则A 错误；对于选项B, (m ＋n )2＝m ＋n ＋2mn ＝2＋2mn ≤2＋m ＋n ＝4，当且仅当m ＝n ＝1时等号成立，则m ＋n ≤2，即m ＋n 的最大值为2，则B 错误；对于选项C ，m ＋n ≥2mn ，即mn ≤(m ＋n2)2＝1，当且仅当m ＝n ＝1时，等号成立，则C正确；对于选项D, m 2＋n 2＝(m ＋n )2－2mn ＝4－2mn ≥4－2(m ＋n2)2＝2，当且仅当m ＝n ＝1时，等号成立，则D 正确．7．答案：12解析：x >0，f (x )＝4x ＋1x≥24x ·1x ＝4，当且仅当4x ＝1x ⇒x ＝12时取“＝”．8．答案：12解析：∵x >0，∴f (x )＝xx 2＋1＝1x ＋1x≤12x ×1x＝12， 当且仅当x ＝1时取等号， 即函数f (x )＝xx 2＋1的最大值为12. 9．解析：x ＋2y ＝2xy ，则1x ＋12y＝1，故x ＋4y ＝(x ＋4y )(1x ＋12y )＝1＋4y x ＋x 2y ＋2≥3＋22，当且仅当4y x ＝x2y 即x ＝22y 时等号成立，x ＋4y 的最小值为3＋2 2.又1x ＋12y ＝1≥2 12xy，解得xy ≥2，当且仅当x ＝2y ＝2时等号成立，xy 的最小值为2.10．解析：设长方体底面的长为a m ，宽为b m ，显然a ，b >0，则3ab ＝48，故b ＝16a，总造价为y 元，则y ＝2(3a ＋48a )×50＋16×40＝300(a ＋16a)＋640≥300×2a ·16a＋640＝3 040，当且仅当a ＝16a，即a ＝b ＝4时等号成立，∴当底面的长与宽均为4米时总费用最少，最少为3 040元．核心素养升级练1．答案：C解析：由不等式2a ＋b ≥m 恒成立可知，只需m 小于等于2a ＋b 的最小值， 由a ＞0，b ＞0，1a ＋1b＝1，可得2a ＋b ＝(2a ＋b )(1a ＋1b )＝3＋b a ＋2ab≥3＋2b a ×2a b ＝3＋22，当且仅当b a ＝2a b时取等号，∴m ≤3＋22，∴m 的最大值为3＋2 2.2．答案：8 100解析：设这批物资全部运到B 市用的时间为y 小时，因为不计货车的身长，所以设货车为一个点，可知最前的点与最后的点之间距离最小值为16×(v20)2千米时，时间最快．则y ＝（v20）2×16＋400v ＝v 25＋400v≥2v25×400v＝8，当且仅当v 25＝400v即v ＝100千米/小时时，时间y min ＝8小时．3．解析：(1)甲的解法中两次用到基本不等式，取到等号的条件分别是2x ＝y 和x ＝2y ，显然不能同时成立，故甲的解法是错的．正确的解法如下：因为x >0，y >0，且2x ＋y ＝1， 所以1x ＋12y ＝(2x ＋y )(1x ＋12y )＝52＋y x ＋x y ≥52＋2 y x ·x y ＝92， 当且仅当y x ＝x y ，即x ＝y ＝13时取“＝”，所以1x ＋12y 的最小值为92.(2)因为0<x <23，所以0<2－3x <2，所以y ＝1x ＋12－3x＝12[3x ＋(2－3x )][1x ＋12－3x ] ＝12(4＋3x 2－3x ＋2－3x x ) ≥12(4＋2 3x 2－3x ·2－3xx)＝2＋3，当且仅当3x 2－3x ＝2－3xx ，即x ＝1－33∈(0，23)时取“＝”， 所以y ＝1x ＋12－3x (0<x <23)的最小值为2＋ 3.。
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.2基本不等式第2课时基本不等式的应用课件新人教A版必修第一
(2)由基本不等式，得 y＝x＋28x8≥24 2. 当且仅当 x＝28x8，即 x＝12 2时，等号成立， 则 y 最小值＝24 2≈34. 即最少需要约 34 米铁丝网．
2
PART TWO
易错特别练
易错点 忽略等号成立的一致性 已知 x＞0，y＞0，且 x＋2y＝1，求证：1x＋1y≥3＋2 2. 易错分析 易错解为1x＋1y＝(x＋2y)1x＋1y≥2 2xy·2 x1y＝4 2.在证明 过程中使用了两次基本不等式：x＋2y≥2 2xy，1x＋1y≥2 x1y，但这两次取 “＝”分别需满足 x＝2y 与 x＝y，自相矛盾，所以“＝”取不到．
A．60 件 B．80 件 C．100 件 D．120 件
答案 B
解析 设每件产品的平均费用为 y 元，由题意得，y＝80x0＋8x≥2 ＝20.当且仅当80x0＝8x(x>0)，即 x＝80 时“＝”成立，故选 B.
800 x x ·8
11．用 17 列货车将一批货物从 A 市以 v km/h 的速度匀速行驶直达 B 市．已知 A，B 两市间铁路线长 400 km，为了确保安全，每列货车之间的距 离不得小于2v02 km，则这批货物全部运到 B 市最快需要________h，此时货 车的速度是________km/h.
(1)记全年所付运费和保管费之和为 y 元，求 y 关于 x 的函数； (2)若要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，则每批应购入电脑多 少台？
解 (1)由题意得 y＝36x0×300＋k×3000x. 当 x＝20 时，y＝7800，解得 k＝0.04. 所以 y＝36x0×300＋0.04×3000x＝108x000＋120x(x∈N*)． (2)由(1)得 y＝108x000＋120x≥2 108x000×120x＝2×3600＝7200.当且 仅当108x000＝120x，即 x＝30 时，等号成立． 所以要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，每批应购入电脑 30 台．
高中数学第二章2.2基本不等式(第2课时)基本不等式的应用教师用书新人教A版必修第一册
第2课时 基本不等式的应用利用基本不等式证明不等式已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1.求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1≥8.【证明】 因为a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a ＋b ＋c ＝1， 所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bca，同理1b－1≥2ac b ，1c －1≥2ab c.上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．在本例条件下，求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明：因为a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a ＋1b ＋1c＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋cc＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．利用基本不等式证明不等式的思路利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的形式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换．另外，解题时要时刻注意等号能否取到．1．已知a ，b 都是正实数，且ab ＝2，求证：(1＋2a )(1＋b )≥9. 证明：因为a ，b 都是正实数，且ab ＝2，所以2a ＋b ≥22ab ＝4，当且仅当a ＝1，b ＝2时，等号成立． 所以(1＋2a )(1＋b )＝1＋2a ＋b ＋2ab ＝5＋2a ＋b ≥5＋4＝9. 即(1＋2a )(1＋b )≥9.2．已知a ，b ，c ＞0，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .证明：因为a ，b ，c ＞0，所以利用基本不等式可得a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋a ＋b ＋c ≥2a ＋2b ＋2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．利用基本不等式解实际应用题某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天支付的总费用最少？【解】 设该厂每x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨．由题意可知，面粉的保管费等其他费用为3×[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)(元)．设平均每天所支付的总费用为y 元，则y ＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800＝9x ＋900x＋10 809≥29x ·900x＋10 809＝10 989(元)，当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时，等号成立．故该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．利用基本不等式解决实际问题的思路利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的几何图形，通过相关的关系建立关系式．在解题过程中尽量向模型ax ＋bx≥2ab (a >0，b >0，x >0)上靠拢．1．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，且x >0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案：5 82．用一段长为36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为x m 、宽为y m ， 则2(x ＋y )＝36，x ＋y ＝18， 矩形菜园的面积为xy m 2. 由xy ≤x ＋y 2＝182＝9，可得xy ≤81， 当且仅当x ＝y ，即x ＝y ＝9时，等号成立．因此，这个矩形的长、宽都为9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为81 m 2.基本不等式的综合问题若不等式9x ＋a 2x ≥a ＋1(常数a ＞0)对一切正实数x 成立，求a 的取值范围．【解】 常数a ＞0，若9x ＋a 2x ≥a ＋1对一切正实数x 成立，则a ＋1≤9x ＋a 2x 的最小值，又9x ＋a 2x ≥6a ，当且仅当9x ＝a 2x，即x ＝a3时，等号成立． 故必有6a ≥a ＋1，解得a ≥15.所以a 的取值范围为a ≥15.(1)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )的最小值． (2)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )的最大值． [注]f (x )表示有关x 的代数值已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋a y ≥16对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．6解析：选 C.(x ＋y )(4x ＋a y)＝4＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4y x ＋ax y ，因为x ＞0，y ＞0，a ＞0，所以4y x ＋ax y≥24y x ·axy＝4a ，当且仅当4y x ＝axy时取等号．由已知可得4＋a ＋4a ≥16，即a ＋4a －12≥0，解得a ≥2或a ≤－6(舍去)，所以a ≥4，即a 的最小值为4.1．若a ，b ∈R ，判断大小关系：a 2＋b 2________2|ab |.( ) A ．≥ B ．＝ C ．≤D ．＞解析：选A.由基本不等式得a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a ||b |＝2|ab |，当且仅当|a |＝|b |时，等号成立．2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．解析：每年购买次数为400x次．所以总费用＝400x·4＋4x ≥2 6 400＝160，当且仅当1 600x＝4x ，即x ＝20时等号成立． 答案：203．已知a ，b ，c ，d 都是正数，求证：(ab ＋cd )(ac ＋bd )≥4abcd . 证明：由a ，b ，c ，d 都是正数，得ab ＋cd2≥ab ·cd ， ac ＋bd2≥ac ·bd ，所以（ab ＋cd ）（ac ＋bd ）4≥abcd ，即(ab ＋cd )(ac ＋bd )≥4abcd .[A 基础达标]1．设a >0，b >0，则下列不等式中不一定成立的是( ) A ．a ＋b ＋1ab≥2 2B.2aba ＋b≥ab C.a 2＋b 2ab≥a ＋bD ．(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4解析：选B.因为a >0，b >0， 所以a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab ≥22，当且仅当a ＝b 且2ab ＝1ab即a ＝b ＝22时取等号，故A 一定成立．因为a ＋b ≥2ab >0，所以2ab a ＋b ≤2ab2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， 所以2aba ＋b≥ab 不一定成立，故B 不成立． 因为2ab a ＋b ≤2ab2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， 所以a 2＋b 2a ＋b ＝（a ＋b ）2－2ab a ＋b ＝a ＋b －2ab a ＋b ≥2ab －ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以a 2＋b 2a ＋b≥ab ，所以a 2＋b 2ab≥a ＋b ，故C 一定成立．因为(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥4，当且仅当a ＝b 时取等号，故D 一定成立，故选B.2．若0<a <b ，a ＋b ＝1，则a ，12，2ab 中最大的数为( )A ．aB ．2ab C.12D ．无法确定解析：选C.因为0<a <b ，a ＋b ＝1，所以a <12，因为ab <⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，所以2ab <12，则a ，12，2ab 中最大的数为12，故选C.3．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件解析：选B.设每件产品的平均费用为y 元， 由题意得y ＝800x ＋x8≥2800x ·x8＝20. 当且仅当800x ＝x8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立，故选B.4．已知a <b ，则b －a ＋1b －a＋b －a 的最小值为( ) A ．3 B ．2 C ．4D ．1解析：选A.因为a <b ，所以b －a >0， 由基本不等式可得b －a ＋1b －a ＋b －a ＝1＋1b －a ＋(b －a )≥1＋21b －a·（b －a ）＝3， 当且仅当1b －a ＝b －a (b >a )，即当b －a ＝1时，等号成立，因此，b －a ＋1b －a＋b －a 的最小值为3，故选A.5．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选C.由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，所以2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝⎛⎭⎪⎫5＋2a b＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a时等号成立，所以9m ≤54，即m ≤6，故选C.6．已知y ＝4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________． 解析：y ＝4x ＋a x≥2 4x ·a x ＝4a (x >0，a >0)，当且仅当4x ＝a x，即x ＝a2时等号成立，此时y 取得最小值4a .又由已知x ＝3时，y 的最小值为4a ， 所以a2＝3，即a ＝36.答案：36 7．若a ＜1，则a ＋1a －1与－1的大小关系是________． 解析：因为a ＜1，即1－a >0， 所以－⎝⎛⎭⎪⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a≥2 （1－a ）·11－a＝2.即a ＋1a －1≤－1. 答案：a ＋1a －1≤－1 8．(2019·扬州期末)如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O 为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD ，其顶点A ，B 在直径上，顶点C ，D 在圆周上，则矩形ABCD 面积的最大值为________(单位：cm 2)．解析：如图所示，连接OC ，设OB ＝x (0<x <4)，则BC ＝OC 2－OB 2＝16－x 2，AB ＝2OB ＝2x ，所以由基本不等式可得，矩形ABCD 的面积为S ＝AB ·BC ＝2x ·16－x 2＝2（16－x 2）x 2≤(16－x 2)＋x 2＝16，当且仅当16－x 2＝x 2时，即x ＝22时，等号成立． 答案：169．已知x ＞0，y ＞0，z ＞0.求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥8.证明：因为x ＞0，y ＞0，z ＞0，所以y x ＋z x≥2yz x＞0，x y ＋z y ≥2xz y ＞0， x z ＋y z ≥2xy z＞0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z≥8yz ·xz ·xyxyz＝8，当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立．10．已知a ＞b ＞c 且2a －b ＋1b －c ≥ma －c恒成立，求实数m 的最大值． 解：由题意，a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0， 又2a －b ＋1b －c ≥m a －c ，即2（a －c ）a －b ＋a －c b －c ≥m ， 即2（a －b ＋b －c ）a －b ＋a －b ＋b －cb －c≥m ，又2＋2（b －c ）a －b ＋1＋a －bb －c ≥3＋22(当且仅当a －b ＝2(b －c )时取等号)．所以实数m 的最大值为3＋2 2.[B 能力提升]11．若实数x >0，y >0，且x ＋4y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．7 B ．8 C ．9D ．10解析：选C.根据题意，实数x >0，y >0，若x ＋4y ＝xy ，则1y ＋4x＝1，x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋4x ＝x y ＋4yx＋5≥2x y ×4yx＋5＝9， 当且仅当x ＝2y 时等号成立， 即x ＋y 的最小值为9，故选C.12．已知a ＞0，b ＞0，若不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b 恒成立，则m 的最大值等于( )A ．10B ．9C ．8D ．7解析：选B.因为a ＞0，b ＞0，所以2a ＋1b ≥m 2a ＋b ⇔2（2a ＋b ）a ＋2a ＋b b ＝5＋2b a ＋2a b ≥m ，由a ＞0，b ＞0得，2b a ＋2a b ≥22b a ·2ab＝4(当且仅当a ＝b 时取“＝”)．所以5＋2b a ＋2ab≥9，所以m ≤9.故选B.13．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，求1a ＋1＋1b ＋3的最小值． 解：因为a ＋b ＝4，所以(a ＋1)＋(b ＋3)＝8，所以8⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋3＝[(a ＋1)＋(b ＋3)]⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋3＝b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3＋2≥2b ＋3a ＋1·a ＋1b ＋3＋2＝4， 所以1a ＋1＋1b ＋3≥12， 当且仅当a ＋1＝b ＋3时，等号成立， 所以1a ＋1＋1b ＋3的最小值为12. 14．(2019·福建莆田八中期中考试)某品牌电脑体验店预计全年购入360台电脑，已知该品牌电脑的进价为3 000元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入x (x ∈N *)台，且每批需付运费300元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比(比例系数为k )，若每批购入20台，则全年需付运费和保管费7 800元．(1)记全年所付运费和保管费之和为y 元，求y 关于x 的函数；(2)若要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，则每批应购入电脑多少台？ 解：(1)由题意，得y ＝360x×300＋k ×3 000x .当x ＝20时，y ＝7 800，解得k ＝0.04.所以y ＝360x ×300＋0.04×3 000x ＝360x×300＋120x (x ∈N *)．(2)由(1)，得y ＝360x×300＋120x ≥2360×300x×120x ＝2×3 600＝7 200.当且仅当360×300x＝120x ，即x ＝30时，等号成立．所以要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，每批应购入电脑30台．[C 拓展探究]15．志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD ，已知点E 在边CD 上，AE ＝CE ，AB >AD ，矩形的周长为 8 cm.(1)设AB ＝x cm ，试用x 表示出图中DE 的长度，并求出x 的取值范围；(2)计划在△ADE 区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE 的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽．解：(1)由题意可得AD ＝4－x ， 且x >4－x >0，可得2<x <4， 由CE ＝AE ＝x －DE ，在直角三角形ADE 中，可得AE 2＝AD 2＋DE 2， 即(x －DE )2＝(4－x )2＋DE 2， 化简可得DE ＝4－8x(2<x <4)；(2)S △ADE ＝12AD ·DE＝12(4－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫4－8x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫6－x －8x≤2⎝⎛⎭⎪⎫6－2x ·8x ＝12－82， 当且仅当x ＝22，4－x ＝4－22， 即队徽的长和宽分别为22，4－22时， △ADE 的面积取得最大值．。
第二章 2.2基本不等式的应用 第2课时
第2课时 基本不等式的应用学习目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点 用基本不等式求最值用基本不等式x ＋y2≥xy 求最值应注意：(1)x ，y 是正数；(2)①如果xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ； ②如果x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.(3)讨论等号成立的条件是否满足． 预习小测 自我检验1．已知0<x <12，则y ＝x (1－2x )的最大值为________．答案 18解析 y ＝x (1－2x )＝12·2x ·(1－2x )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝18， 当且仅当2x ＝1－2x ，即x ＝14时取“＝”．2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________. 答案 20解析 总运费与总存储费用之和 y ＝4x ＋400x ×4＝4x ＋1 600x ≥24x ·1 600x＝160，当且仅当4x ＝1 600x ，即x ＝20时取等号．3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则该公司每台机器年平均利润的最大值是________万元． 答案 8解析 年平均利润y x ＝－x ＋18－25x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ＋18≤－225x·x ＋18＝－10＋18＝8，当且仅当x ＝5时取“＝”．4．已知x >2，则x ＋4x －2的最小值为________．答案 6解析 x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2，∵x －2>0，∴x －2＋4x －2＋2≥24＋2＝4＋2＝6.当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时取“＝”．一、利用基本不等式变形求最值例1 已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．解 方法一 ∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9xy ＋10 ≥6＋10＝16， 当且仅当y x ＝9xy，又1x ＋9y ＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.方法二 由1x ＋9y ＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)．由1x ＋9y ＝1可知x >1，y >9， ∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2(x －1)(y －9)＋10＝16，当且仅当x －1＝y －9＝3， 即x ＝4，y ＝12时上式取等号， 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.延伸探究 若将条件换为：x >0，y >0且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值． 解 方法一 由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x . ∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8， ∴x ＋y ＝x ＋2xx －8＝x ＋(2x －16)＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10≥2(x －8)×16x －8＋10＝18.当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立．∴x ＋y 的最小值是18.方法二 由2x ＋8y －xy ＝0及x >0，y >0， 得8x ＋2y＝1. ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ＝8y x ＋2xy＋10≥28y x ·2xy＋10＝18. 当且仅当8y x ＝2xy ，即x ＝2y ＝12时等号成立．∴x ＋y 的最小值是18.反思感悟 应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用基本不等式及使等号成立的条件．当连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时的条件要一致，否则也不能求出最值；特别注意“1”的代换．跟踪训练1 已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则1x ＋4y 的最小值是________．答案 9解析 ∵x ＋y ＝1， ∴1x ＋4y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝1＋4＋y x ＋4x y.∵x >0，y >0，∴y x >0，4xy >0，∴y x ＋4xy≥2y x ·4xy＝4， ∴5＋y x ＋4x y≥9.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y x ＝4x y，即x ＝13，y ＝23时等号成立．∴⎝⎛⎭⎫1x ＋4y min ＝9.二、基本不等式在实际问题中的应用例2 “足寒伤心，民寒伤国”，精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对山区乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q 万件(生产量与销售量相等)与推广促销费x 万元之间的函数关系为Q ＝x ＋12(其中推广促销费不能超过3万元)．已知加工此批农产品还要投入成本2⎝⎛⎭⎫Q ＋1Q 万元(不包含推广促销费用)，若加工后的每件成品的销售价格定为⎝⎛⎭⎫2＋20Q 元/件． 那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润＝销售额－成本－推广促销费) 解 设该批产品的利润为y ， 由题意知y ＝⎝⎛⎭⎫2＋20Q ·Q －2⎝⎛⎭⎫Q ＋1Q －x ＝2Q ＋20－2Q －2Q －x ＝20－2Q－x＝20－4x ＋1－x ＝21－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4x ＋1＋(x ＋1)，0≤x ≤3.∵21－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4x ＋1＋(x ＋1)≤21－24＝17，当且仅当x ＝1时，上式取“＝”， ∴当x ＝1时，y max ＝17.答 当推广促销费投入1万元时，利润最大为17万元．反思感悟 应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．使用基本不等式求最值，要注意验证等号是否成立． 跟踪训练2 2016年11月3日20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为是我国从航天大国向航天强国迈进的重要标志．长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新产品，甲工厂承担了某种产品的生产，并以x 千克/时的速度匀速生产时(为保证质量要求1≤x ≤10)，每小时可消耗A 材料kx 2＋9千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A 材料10千克．消耗A 材料总重量为y 千克，那么要使生产1 000千克该产品消耗A 材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A 材料最少为多少． 解 由题意，得k ＋9＝10，即k ＝1， 生产1 000千克该产品需要的时间是1 000x ，所以生产1 000千克该产品消耗的A 材料为y ＝1 000x (x 2＋9)＝1 000⎝⎛⎭⎫x ＋9x ≥1 000×29＝6 000， 当且仅当x ＝9x，即x ＝3时，等号成立，且1<3<10.故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A 材料最少，最少为6 000千克．基本不等式在实际问题中的应用典例 围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图．已知旧墙的维修费用为45 元/m ，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长度为x (单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元)．试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 解 设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a ＝225x ＋360a －360.由已知xa ＝360，得a ＝360x ，∴y ＝225x ＋3602x －360.∵x >0，∴225x ＋3602x ≥2225×3602＝10 800.∴y ＝225x ＋3602x －360≥10 440.当且仅当225x ＝3602x时，等号成立．即当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．[素养提升] 数学建模是对现实问题进行数学抽象，建立和求解模型的过程耗时费力，所以建立的模型要有广泛的应用才有价值．本例中所涉及的y ＝x ＋ax (a >0)就是一个应用广泛的函数模型．1．设x >0，则3－3x －1x 的最大值是( )A ．3B ．3－2 2C ．－1D ．3－2 3答案 D解析 ∵x >0，∴3x ＋1x≥23x ·1x ＝23，当且仅当x ＝33时取等号，∴－⎝⎛⎭⎫3x ＋1x ≤－23，则3－3x －1x≤3－23，故选D.2．已知x 2－x ＋1x －1(x >1)在x ＝t 时取得最小值，则t 等于( )A ．1＋ 2B ．2C ．3D ．4答案 B解析 x 2－x ＋1x －1＝x (x －1)＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立．3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ．6.5 m B ．6.8 m C ．7 m D ．7.2 m 答案 C解析 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．∵要求够用且浪费最少，故选C.4．已知正数a ，b 满足a ＋2b ＝2，则2a ＋1b 的最小值为________．答案 4解析 2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ×12(a ＋2b ) ＝12⎝⎛⎭⎫4＋a b ＋4b a ≥12(4＋24)＝4. 当且仅当a b ＝4b a ，即a ＝1，b ＝12时等号成立，∴2a ＋1b的最小值为4. 5．设计用32 m 2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2 m ，则车厢的最大容积是________ m 3. 答案 16解析 设车厢的长为b m ，高为a m. 由已知得2b ＋2ab ＋4a ＝32，即b ＝16－2aa ＋1，∴V ＝a ·16－2a a ＋1·2＝2·16a －2a 2a ＋1.设a ＋1＝t ，则V ＝2⎝⎛⎭⎫20－2t －18t ≤2⎝⎛⎭⎫20－22t ·18t ＝16，当且仅当t ＝3，即a ＝2，b ＝4时等号成立．1．知识清单： (1)已知x ，y 是正数．①若x ＋y ＝S (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值． ②若x ·y ＝P (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值． 即：“和定积最大，积定和最小”． (2)求解应用题的方法与步骤．①审题，②建模(列式)，③解模，④作答．2．方法归纳：注意条件的变换，常用“1”的代换方法求最值． 3．常见误区：缺少等号成立的条件．1．已知正数x ，y 满足8x ＋1y ＝1，则x ＋2y 的最小值是( )A ．18B ．16C ．8D ．10 答案 A解析 x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫8x ＋1y ＝10＋16y x ＋x y ≥10＋216＝18，当且仅当16y x ＝xy ，即x ＝4y ＝12时，等号成立．2．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5 答案 C解析 由已知，可得6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝1， ∴2a ＋b ＝6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ×(2a ＋b ) ＝6⎝⎛⎭⎫5＋2a b ＋2ba ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2ba 时，即a ＝b ＝18等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.3．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a <v <ab B ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2答案 A解析 设小王从甲地到乙地行驶的路程为s ， ∵b >a >0，则v ＝2ss a ＋s b ＝2ab a ＋b <2ab 2ab ＝ab ， 又2ab a ＋b >2ab2b＝a ，故选A. 4．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( ) A.23 B.223 C.33 D.233答案 B解析 由x 2＋3xy －1＝0，可得y ＝13⎝⎛⎭⎫1x －x . 又x >0，所以x ＋y ＝2x 3＋13x≥229＝223⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝22时等号成立. 5．已知m >0，n >0，m ＋n ＝1且x ＝m ＋1m ，y ＝n ＋1n ，则x ＋y 的最小值是( )A ．4B ．5C ．8D ．10 答案 B解析 依题意有x ＋y ＝m ＋n ＋1m ＋1n ＝1＋m ＋n m ＋m ＋n n ＝3＋n m ＋mn ≥3＋2＝5，当且仅当m ＝n＝12时取等号．故选B. 6．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C (单位：mg·L －1)随时间t (单位：h)的变化关系为C ＝20t t 2＋4，则经过_______ h 后池水中该药品的浓度达到最大．答案 2解析 C ＝20t t 2＋4＝20t ＋4t.因为t >0，所以t ＋4t ≥2t ·4t＝4 ⎝⎛⎭⎫当且仅当t ＝4t ，即t ＝2时等号成立.所以C ＝20t ＋4t≤204＝5，当且仅当t ＝4t ， 即t ＝2时，C 取得最大值．7.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.答案 20解析 设矩形花园的宽为y ，则x 40＝40－y40，即y ＝40－x ，矩形花园的面积S ＝x (40－x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋40－x 22＝400，当且仅当x ＝20时，取等号，即当x ＝20 m 时，面积最大．8．某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)满足关系y ＝－x 2＋12x －25，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大． 答案 5解析 ∵y ＝－x 2＋12x －25，∴年平均利润为y x ＝－x 2＋12x －25x＝－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ＋12≤－2x ·25x＋12＝2， 当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时，等号成立．9．已知x >0，y >0且2x ＋5y ＝20. (1)求xy 的最大值； (2)求1x ＋1y的最小值．解 (1)∵2x ＋5y ＝20，x >0，y >0， ∴2x ＋5y ≥210xy ，∴210xy ≤20，即xy ≤10，当且仅当x ＝5，y ＝2时，等号成立，∴xy 的最大值为10.(2)1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·120(2x ＋5y ) ＝120⎝⎛⎭⎫2＋5＋5y x ＋2x y ＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120(7＋210)， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．∴1x ＋1y 的最小值为120(7＋210)． 10．某人准备租一辆车从孝感出发去武汉，已知从出发点到目的地的距离为100 km ，按交通法规定：这段公路车速限制在40～100(单位：km /h)之间．假设目前油价为7.2元/L ，汽车的耗油率为⎝⎛⎭⎫3＋x 2360L /h ，其中x (单位：km/h)为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量．租车需付给司机每小时的工资为76.4元，不考虑其他费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速x 是多少？(注：租车总费用＝耗油费＋司机的工资)解 设总费用为y 元．由题意，得y ＝76.4×100x ＋7.2×100x×⎝⎛⎭⎫3＋x 2360 ＝9 800x ＋2x (40≤x ≤100)． 因为y ＝9 800x＋2x ≥219 600＝280. 当且仅当9 800x＝2x ，即x ＝70时取等号． 所以这次租车的总费用最少是280元，此时的车速为70 km/h.11．设0<x <1，则4x ＋11－x的最小值为( ) A ．10 B ．9 C ．8 D.272答案 B解析 ∵0<x <1，∴1－x >0，4x ＋11－x ＝[x ＋(1－x )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋11－x ＝4＋4(1－x )x ＋x 1－x＋1≥5＋24(1－x )x ·x 1－x＝5＋2×2＝9. 当且仅当4(1－x )x ＝x 1－x， 即x ＝23时，等号成立． ∴4x ＋11－x的最小值为9. 12．设自变量x 对应的因变量为y ，在满足对任意的x ，不等式y ≤M 都成立的所有常数M 中，将M 的最小值叫做y 的上确界．若a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1，则－12a －2b的上确界为( ) A ．－92 B.92 C.14D ．－4 答案 A解析 因为a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1，所以12a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫12a ＋2b ×(a ＋b )＝52＋⎝⎛⎭⎫b 2a ＋2a b ≥52＋2b 2a ×2a b ＝92，当且仅当b ＝2a ，即a ＝13，b ＝23时等号成立，因此有－12a －2b ≤－92，即－12a －2b 的上确界为－92. 13．一个矩形的周长为l ，面积为S ，则如下四组数对中，可作为数对(S ，l )的序号是( )①(1,4)；②(6,8)；③(7,12)；④⎝⎛⎭⎫3，12. A ．①③B ．①③④C ．②④D ．②③④答案 A解析 设矩形的长和宽分别为x ，y ，则x ＋y ＝12l ，S ＝xy .对于①(1,4)，则x ＋y ＝2，xy ＝1，根据基本不等式满足xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，符合题意； 对于②(6,8)，则x ＋y ＝4，xy ＝6，根据基本不等式不满足xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，不符合题意； 对于③(7,12)，则x ＋y ＝6，xy ＝7，根据基本不等式满足xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，符合题意； 对于④⎝⎛⎭⎫3，12，则x ＋y ＝14，xy ＝3， 根据基本不等式不满足xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，不符合题意． 综合，可作为数对(S ，l )的序号是①③.14．已知不等式2x ＋m ＋8x －1>0对任意的x >1恒成立，则实数m 的取值范围为________． 答案 {m |m >－10}解析 ∵2x ＋m ＋8x －1>0在x >1时恒成立， ∴m >－2x －8x －1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －1 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋4x －1＋1， 又x >1时，x －1>0，x －1＋4x －1＋1≥2(x －1)·4x －1＋1＝5， 当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，等号成立， ∴－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋4x －1＋1≤－2×5＝－10. ∴m >－10，∴实数m 的取值范围为{m |m >－10}．15．若不等式ax 2＋1x 2＋1≥2－3a 3(a >0)恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a ≥19 解析 原不等式可转化为a (x 2＋1)＋1x 2＋1≥23， 又a >0，则a (x 2＋1)＋1x 2＋1≥2a (x 2＋1)·1x 2＋1＝2a ， 当且仅当a (x 2＋1)＝1x 2＋1， 即a ＝1(x 2＋1)2时等号成立， 则根据恒成立的意义可知2a ≥23，解得a ≥19. 16．某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x (单位：万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位：万元)满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销量是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．那么该厂家2020年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少？解 设2020年该产品利润为y ，由题意，可知当m ＝0时，x ＝1，∴1＝3－k ，解得k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1， 又每件产品的销售价格为1.5×8＋16x x元， ∴y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫1.5×8＋16x x －(8＋16x ＋m ) ＝4＋8x －m ＝4＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29，∵m≥0，16m＋1＋(m＋1)≥216＝8，当且仅当16m＋1＝m＋1，即m＝3时等号成立，∴y≤－8＋29＝21，∴y max＝21.故该厂家2020年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元。
人教A版高中数学第一册(必修1)课时作业3：§2.2 第2课时 基本不等式的应用练习题
第2课时 基本不等式的应用1．已知x >0，则9x ＋x 的最小值为( )A ．6B ．5C ．4D ．3 『答 案』 A『解 析』 ∵x >0，∴9x＋x ≥2x ·9x＝6， 当且仅当x ＝9x ，即x ＝3时，等号成立．2．已知x >－2，则x ＋1x ＋2的最小值为( )A ．－12B ．－1C ．2D ．0『答 案』 D『解 析』 ∵x >－2，∴x ＋2>0， ∴x ＋1x ＋2＝x ＋2＋1x ＋2－2≥2－2＝0，当且仅当x ＝－1时，等号成立．3．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则ab 的最大值为( ) A ．1B ．22C ．2D ．4 『答 案』 A『解 析』 由基本不等式得，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立． 4．(多选)设y ＝x ＋1x －2，则( )A ．当x >0时，y 有最小值0B ．当x >0时，y 有最大值0C ．当x <0时，y 有最大值－4D ．当x <0时，y 有最小值－4 『答 案』 AC『解 析』 当x >0时，y ＝x ＋1x －2≥2x ·1x－2 ＝2－2＝0，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立，故A 正确，B 错误；当x <0时，y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时，等号成立，故C 正确，D 错误．5．已知x >0，y >0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16B ．25C ．9D ．36 『答 案』 B『解 析』 (1＋x )(1＋y )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋x )＋(1＋y )22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋(x ＋y )22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋822＝25， 当且仅当1＋x ＝1＋y ，即x ＝y ＝4时，等号成立． 6．已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是________．『答 案』 4『解 析』 ∵a >0，b >0， ∴1a ＋1b＋2ab ≥21ab＋2ab ≥41ab·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立． 7．若正数m ，n 满足2m ＋n ＝1，则1m ＋1n 的最小值为________．『答 案』 3＋2 2 『解 析』 ∵2m ＋n ＝1， 则1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (2m ＋n ) ＝3＋2m n ＋n m ≥3＋22，当且仅当n ＝2m ，即m ＝1－22，n ＝2－1时，等号成立，即最小值为3＋2 2.8．要制作一个容积为4m 3，高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元． 『答 案』 160『解 析』 设底面矩形的一边长为x ，由容器的容积为4m 3，高为1m ，得另一边长为4x m.记容器的总造价为y 元，则y ＝4×20＋2⎝⎛⎭⎫x ＋4x ×1×10＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ·4x＝160， 当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时，等号成立．因此当x ＝2时，y 取得最小值160， 即容器的最低总造价为160元． 9．(1)已知x <3，求4x －3＋x 的最大值；(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值．解 (1)∵x <3，∴x －3<0， ∴4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时，等号成立，∴4x －3＋x 的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋3y ·x ＋y4＝14⎝⎛⎭⎫4＋y x ＋3x y ≥1＋234＝1＋32， 当且仅当y x ＝3xy，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时等号成立．故1x ＋3y 的最小值为1＋32. 10.某农业科研单位打算开发一个生态渔业养殖项目，准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2.(1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 最大，则x ，y 的值分别为多少？ 解 (1)由题意得，xy ＝1 800，b ＝2a ， 则y ＝a ＋b ＋6＝3a ＋6，S ＝a (x －4)＋b (x －6)＝a (x －4)＋2a (x －6)＝(3x －16)a ＝(3x －16)×y －63＝xy －6x －163y ＋32＝1832－6x －163y ，其中6<x <300,6<y <300.(2)由(1)可知，6<x <300,6<y <300，xy ＝1 800， 6x ＋163y ≥26x ·163y ＝26×16×600＝480，当且仅当6x ＝163y 时等号成立，∴S ＝1 832－6x －163y ≤1 832－480＝1 352，此时9x ＝8y ，xy ＝1 800，解得x ＝40，y ＝45， 即x 为40，y 为45.11．设自变量x 对应的因变量为y ，在满足对任意的x ，不等式y ≤M 都成立的所有常数M 中，将M 的最小值叫做y 的上确界．若a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1，则－12a －2b 的上确界为( )A ．－92B.92C.14D ．－4『答 案』 A『解 析』 因为a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1， 所以12a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫12a ＋2b ×(a ＋b )＝52＋⎝⎛⎭⎫b 2a ＋2a b ≥52＋2b 2a ×2a b ＝92， 当且仅当b ＝2a ，即a ＝13，b ＝23时，等号成立，因此有－12a －2b ≤－92，即－12a －2b 的上确界为－92.12．(多选)一个矩形的周长为l ，面积为S ，则下列四组数对中，可作为数对(S ，l )的有( ) A ．(1,4) B ．(6,8) C ．(7,12) D.⎝⎛⎭⎫3，12 『答 案』 AC『解 析』 设矩形的长和宽分别为x ，y ， 则x ＋y ＝12l ，S ＝xy .由xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22知，S ≤l 216，故AC 成立．13．已知x >－1，则(x ＋10)(x ＋2)x ＋1的最小值为________．『答 案』 16『解 析』 (x ＋10)(x ＋2)x ＋1＝(x ＋1＋9)(x ＋1＋1)x ＋1＝(x ＋1)2＋10(x ＋1)＋9x ＋1＝(x ＋1)＋9x ＋1＋10，∵x >－1，∴x ＋1>0，∴(x ＋1)＋9x ＋1＋10≥29＋10＝16.当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，等号成立．14．若对∀x >－1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．『答 案』 a ≤0『解 析』 因为x >－1，所以x ＋1>0， 则x ＋1x ＋1－1＝x ＋1＋1x ＋1－2 ≥2(x ＋1)×1x ＋1－2＝2－2＝0，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时等号成立，由题意可得a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋1－1min ＝0，即a ≤0.15．若不等式ax 2＋1x 2＋1≥2－3a 3(a >0)恒成立，则实数a 的取值范围是________．『答 案』 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a ≥19 『解 析』 原不等式可转化为a (x 2＋1)＋1x 2＋1≥23，又a >0，则a (x 2＋1)＋1x 2＋1≥2a (x 2＋1)·1x 2＋1＝2a ，当且仅当a (x 2＋1)＝1x 2＋1， 即a ＝1(x 2＋1)2时，等号成立，则根据恒成立的意义可知2a ≥23，解得a ≥19.16．某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x (单位：万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位：万元)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销量是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．那么该厂家2020年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少？解 设2020年该产品利润为y ， 由题意，可知当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ，解得k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1，又每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx 元，∴y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1.5×8＋16x x －(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m ＝4＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29，∵m ≥0，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时，等号成立，∴y ≤－8＋29＝21，∴y max ＝21.故该厂家2020年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．。
高中数学人教A版必修第一册 学案与练习 基本不等式的应用(习题课)
第2课时 基本不等式的应用(习题课)利用基本不等式求解实际问题中的最值[例1] 某公司建造一间背面靠墙的房屋(长方体型)，地面面积为48 m 2，房屋正面每平方米的造价为1 200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5 800元.如果墙高为3 m ，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低?最低总造价是多少?解:设房屋地面相邻两边的边长分别为x m ，y m ，靠墙的边长为x m ，则xy=48.房屋正面面积为3x m 2;房屋侧面(两个)面积为2×3y=6y(m 2). 房屋总造价z=5 800+3x ×1 200+6y ×800 =5 800+1 200(3x+4y) ≥5 800+1 200×2√3x ·4y =5 800+4 800√3xy =5 800+4 800×12 =63 400，当且仅当{3x =4y ,xy =48,即{x =8,y =6时，取等号.综上，房屋地面相邻两边的边长分别为8 m ，6 m ，靠墙的边长为8 m ，此时房屋总造价最低.最低总造价是63 400元.建模基本不等式解决实际问题的解题思维流程(1)找到解题切入点;(2)字母表示相关量;(3)找出已知隐含的“和定值”或“积定值”;(4)根据目标量表达式的结构特点，观察目标量是否由对应的“积”或“和”决定，进而决定是否应用基本不等式(或变式)解决问题.针对训练1:某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1(阴影部分)和环公园人行道组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000 m2，人行道的宽分别为4 m和10 m.(1)若设休闲区的长A1B1=x m，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式;(2)要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计? 解:(1)由休闲区的长A1B1=x，知休闲区的宽B1C1=4000x，故ABCD的长与宽分别是x+20，4000x+8，故公园ABCD所占面积S=(x+20)(4000x +8)=4 160+8x+80000x(x>0).(2)整理(1)中解析式得，S=4 160+8x+80000x ≥4 160+2√8x·80000x=5760，当且仅当8x=80 000x，即x=100时取等号，此时宽B 1C 1=4 000x=40，答:要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长为100 m 、宽为40 m.利用基本不等式求条件最值类型一 “1”代换型[例2] 已知x>0，y>0且8x +1y =1，求x+2y 的最小值.解:因为x>0，y>0且8x +1y=1.所以x+2y=(8x +1y)(x+2y)=10+x y+16yx≥10+2√x y·16y x=18，当且仅当{8x+1y=1,xy=16y x,即{x =12,y =3时，等号成立， 故当x=12，y=3时，x+2y 取得最小值18.变式探究:(1)本例中，若把“8x +1y =1”改成“x+2y=1”，其他条件不变，求8x +1y的最小值;(2)将本例中的“8x +1y =1”改为“8x+1+1y=1”，求x+2y 的最小值;(3)将本例中的“8x +1y=1”改为“8y+x=2xy ”，求x+2y 的最小值. 解:(1)因为x>0，y>0，x+2y=1， 所以8x +1y=(x+2y)(8x +1y)=8+16y x+x y+2=10+16y x+x y≥10+2√16=18.当且仅当16y x=x y时取等号，结合x+2y=1，得x=23，y=16，所以当x=23，y=16时，8x +1y取到最小值18.(2)x+2y=(x+1)+2y-1=[(x+1)+2y](8x+1+1y)-1=(8+x+1y+16yx+1+2)-1≥(10+2√x+1y ×16yx+1)-1=18-1=17，当且仅当x+1y=16yx+1，即x+1=4y且8x+1+1y=1，也就是y=3，x=11时取等号.(3)因为8y+x=2xy，所以8yxy +xxy=2，所以8x +1y=2，所以82x +12y=1，所以x+2y=(x+2y)(82x +12y)=4+8yx+x2y+1≥5+2√8yx·x2y=9，当且仅当x=4y且8y+x=2xy，即x=6，y=32时取等号.常数代换法适用于求解条件最值问题，应用此种方法求解最值的基本步骤为(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).(2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式.(4)利用基本不等式求解最值.类型二整体代换型[例3] 已知正实数x，y满足2x+y+6=xy，求xy的最小值和2x+y的最小值.解:xy=2x+y+6≥2√2x·y+6=2√2·√xy+6，令t=√xy>0，可得t2≥2√2t+6，解得t≤-√2(舍去)或t≥3√2，所以xy≥18，当且仅当y=2x，即x=3，y=6时，取“=”，所以xy的最小值是18.又2x+y=xy-6，所以2x+y最小值为12.形如:已知axy+bx+cy+d=0，求xy或bx+cy的最值问题，当d=0时，可以通过同时除以xy化为“1”代换型，当d≠0时，可以利用整体代换，即先构建bx+cy的不等式，然后联立axy+bx+cy+d=0，可得关于bx+cy或√xy的一元二次不等式.提醒:若题目要求同时求出xy和bx+cy的最值，可以先求出一个最值，然后直接利用axy+bx+cy+d=0求出另一个的最值.针对训练2:已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值.解:因为x+2y+2xy=8，2xy=x·2y≤(x+2y)24，由上面两式得2xy=8-(x+2y)≤(x+2y)24，令x+2y=t>0，得8-t≤t 24，解得t≥4，当且仅当x=2y，即x=2，y=1时，取“=”，即x+2y的最小值为4.利用不等式求解含参数的不等式恒成立问题[例4] 若x>0时，x2-(k+1)x+2>0恒成立，求k的取值范围.解:因为x2-(k+1)x+2>0恒成立，所以(k+1)x<x2+2在x>0时恒成立，所以k+1<x+2x在x>0时恒成立，又x+2x≥2√2，当x=√2时等号成立，所以k+1<2√2，所以k<2√2-1，所以k的取值范围是{k|k<2√2-1}.含参数的不等式恒成立问题，若能分离参数，常分离参数后再求解.一般地，若a≥f(x)恒成立，则a≥f(x)的最大值(其中f(x)是关于变量x的关系式)，a≤f(x)恒成立，则a≤f(x)的最小值.若a≥f(x)有解，则a≥f(x)的最小值，a≤f(x)有解，则a≤f(x)的最大值.针对训练3:若x>0时，不等式x2+mx+4≥0恒成立，求实数m的取值范围.解:因为x2+mx+4≥0恒成立，所以mx≥-x2-4，所以-m≤x+4x.又x+4x ≥2√x·4x=4，当且仅当x=4x即x=2时取等号.所以-m≤4，所以m≥-4，所以实数m的取值范围是{m|m≥-4}.1.已知正实数x，y满足1x +9y=1，则x+y的最小值为( B )A.14B.16C.18D.20解析:因为x>0，y>0，1x +9y=1，所以x+y=(x+y)(1x+9y)=10+yx+9xy≥10+2√yx ·9xy=16，当且仅当y=3x，即x=4，y=12时，等号成立，故x+y的最小值为16.故选B.2.若a>0，b>0，且ab=9，则1a +1b的最小值是.解析:因为a>0，b>0，所以1a +1b≥2√1ab=23，当a=b时取等号.答案:233.某公司一年购买某种货物600 t，每次购买x t，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是.解析:由题意可得，一年的总运费与总存储费用之和为3600x+4x≥4×2×√900x·x=240(万元).当且仅当x=30时，取等号.答案:304.若x<0且不等式x2-ax+1≥0恒成立，则a的最小值是. 解析:因为x<0且x2-ax+1≥0恒成立，所以ax≤x2+1，所以a≥x+1x，又x<0时，(-x)+(-1x)≥2，所以x+1x≤-2，所以a≥-2.答案:-2[例1] 已知a 2+b 2=2，那么a+b 的最大值为( ) A.1 B.√2 C.2 D.2√2 解析:因为a 2+b 2=2， 所以(a+b)2=2+2ab ，2ab ≤2， 所以(a+b)2≤4， 所以-2≤a+b ≤2，所以a+b 的最大值为2.故选C.[例2] (多选题)已知正数a ，b 满足a 2+b 2=2a+2b ，若a+b ∈Z ，则a+b 的值可以是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:因为a+b 2≤√a 2+b 22，所以a 2+b 2≥(a+b )22，故a 2+b 2=2a+2b ≥(a+b )22，则(a+b)2-4(a+b)≤0，又a>0，b>0， 所以0<a+b ≤4，当a+b=1时，a 2+b 2=2，ab=-12，不符合题意;当a+b=2时，a 2+b 2=4，此时ab=0，不符合题意; 若a+b ∈Z ，则a+b 的值可以是3，4.故选BC. [例3] (多选题)设正实数a ，b 满足a+b=1，则( ) A.a 2b+b 2a ≥14 B.1a+2b +12a+b≥43C.a 2+b 2≥12D .a 3+b 3≥14解析:因为a+b=1， 所以a 2b+ab 2=ab(a+b)=ab ， 又ab ≤(a+b 2)2=14，当且仅当a=b=12时，取“=”，所以A 错误. 因为a+b=1，所以1a+2b +12a+b =1(a+b )+b +1a+(a+b )=11+b +11+a，(1+a)+(1+b)=3， 所以13[(1+a)+(1+b)]=1，所以11+a +11+b=13(11+a +11+b)[(1+a)+(1+b)] =13(2+1+b 1+a +1+a1+b) ≥13(2+2√1+a 1+b·1+b 1+a)=43，当且仅当a=b=12时，取“=”，故B 正确. 因为a+b=1，所以a 2+b 22≥(a+b 2)2=14，所以a 2+b 2≥12，当且仅当a=b=12时，取“=”，故C 正确. 因为a+b=1，所以a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 2-ab+b 2=(a+b)2-3ab=1-3ab ≥1-3(a+b 2)2=14，当且仅当a=b=12时，取“=”，故D 正确.故选BCD. [例4] (多选题)若x>0，y>0，且x+y=xy ，则( ) A.x+y ≥4 B.xy ≥2C.x+2y+xy ≥5+2√6D.2x x -1+4yy -1≥6+4√2解析:由x>0，y>0，且满足x+y=xy ，得1x +1y=1，对于A ，x+y=(x+y)(1x +1y)≥2+2√xy·yx=4，当且仅当x=y=2时，等号成立，故A 正确.对于B ，由x+y=xy ，故xy ≥4，故B 错误. 对于C ，因为x+y=xy ，所以x=y y -1，又x>0，y>0，所以y>1， 则x+2y+xy=yy -1+2y+y 2y -1=3(y-1)+2y -1+5≥2√3(y -1)·2y -1+5=5+2√6，当且仅当2y -1=3(y-1)，即y=1+√63时，取等号，所以x+2y+xy 的最小值为5+2√6，故C 正确. 对于D ，2x x -1+4y y -1=2x (y -1)+4y (x -1)(x -1)(y -1)=4x+2y=(4x+2y)(1x +1y)=6+2y x+4xy≥6+2√2yx ·4x y=6+4√2，当且仅当y=√2x 时，等号成立，故D 正确.故选ACD.[例5] 若x>0，y>0，且2x +1y=1，当且仅当x= ，y= 时，x+2y 取得最小值.解析:因为x>0，y>0，且2x +1y =1，所以x+2y=(x+2y)(2x +1y)=4+4y x+x y≥4+2√4y x·xy=8，当且仅当4y x=xy时，x+2y 取得最小值，由2x +1y=1，2y=x ，得x=4，y=2.答案:4 2选题明细表基础巩固1.已知x>0，y>0，xy=9，则x+3y的最小值为( D )A.8B.6C.8√3D.6√3解析:x+3y≥2√3xy=6√3，当且仅当x=3y=3√3时，等号成立.故选D.2.已知实数m，n满足2m+n=2，其中m>0，n>0，则1m +2n的最小值为( A )A.4B.6C.8D.12解析:由题意，实数m，n满足2m+n=2，其中m>0，n>0，则1m +2n=12×(1m+2n)(2m+n)=12×(4+nm+4mn)≥12×(4+2√nm×4mn)=4，当且仅当nm =4mn时，即m=12，n=1时，等号成立，所以1m +2n的最小值为4.故选A.3.若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值为( D )A.2B.3C.4D.5解析:因为x+3y=5xy，x>0，y>0，所以15y +35x=1，所以3x+4y=(3x+4y)(1 5y +35x)=3x5y+95+45+12y5x≥135+2√3x5y·12y5x=5，当且仅当3x5y =12y5x，即x=2y=1时，取等号.故选D.4.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车并将其投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位:万元)与营运年数x 的函数关系为y=-(x-6)2+11(x ∈N *)，则营运的年平均利润最大时，每辆客车的营运年数为( C ) A.3 B.4 C.5 D.6解析:由题意可知，yx=-(x+25x)+12≤-2√x ×25x+12=2，当且仅当x=25x时，等号成立，即x=5时，营运的年平均利润最大.故选C. 5.周长为√2+1的直角三角形面积的最大值为 . 解析:设直角三角形的两条直角边边长分别为a ，b ，则√2+1=a+b+√a 2+b 2≥2√ab +√2ab ，解得ab ≤12，当且仅当a=b=√22时取“=”，所以直角三角形面积S ≤14，即S 的最大值为14.答案:146.对任意x>0，x x 2+3x+1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围是 .解析:因为x>0，对于任意x 有x x 2+3x+1≤a 恒成立⇔a ≥(xx 2+3x+1)max ，因为x>0， 所以xx 2+3x+1=1x+1x+3≤2√x ·1x+3=15.当且仅当x=1时，取等号. 所以a ≥15.答案:a ≥15能力提升7.已知不等式(x+y)(1x +ay)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a的最小值为( B ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析:因为a>0，所以(x+y)(1x +ay)=1+a+y x+xay≥1+a+2√a ，由条件知a+2√a +1≥9，所以a ≥4.故选B.8.(多选题)(2021·山东济宁期末)若a ，b 均为正数，且a+2b=1，则下列结论正确的是( ABD ) A.ab 的最大值为18B.1a +2b的最小值为9C.a 2-b 2的最小值为-13D.a 2+b 2的最小值为15解析:因为a ，b 均为正数，且a+2b=1，所以由基本不等式可得，1=a+2b ≥2√2ab ，解得ab ≤18，当且仅当a=2b=12，即a=12，b=14时，等号成立，故A 选项正确.(1a +2b)=(1a +2b)(a+2b)=1+2b a+2a b+4≥5+2√2b a·2a b=9，当且仅当2b a=2ab，即a=b=13时，等号成立，故B 选项正确. 因为{a =1-2b >0,b >0,所以0<b <12，结合二次函数的性质可知，a 2+b 2=(1-2b)2+b 2=5b 2-4b+1≥15，故D 选项正确.结合二次函数的性质，a 2-b 2=(1-2b)2-b 2=3b 2-4b+1>-14，故C 选项错误.故选ABD.9.(2022·天津高三期中)已知a ，b 均为正实数，且a+b=1，则8a 2+1ab的最小值为 ，此时a 的值为 . 解析:因为a ，b 均为正实数，且a+b=1，所以(a+b)2=1， 所以8a 2+1ab=8a 2+(a+b )2ab=8a 2+a 2+2ab+b 2ab =9a 2+b 2ab+2=9a b+b a+2≥2√9a b·ba+2=8，当且仅当9a b=ba，即a=14，b=34时取等号，所以8a 2+1ab的最小值为8.答案:8 1410.已知a ，b>0，且ab=a+b+3. (1)求ab 的取值范围;(2)求4a+b 的最小值，并求取得最小值时a ，b 的值.解:(1)ab=a+b+3≥2√ab +3，当且仅当a=b 时，取等号，解得√ab ≥3或√ab ≤-1(舍去)， 故ab ≥9.(2)因为a ，b>0，且ab=a+b+3， 所以b=a+3a -1>0，所以a>1，所以4a+b=4a+a+3a -1=4a+a -1+4a -1=1+4a+4a -1=5+4(a-1)+4a -1≥5+2√4(a -1)·4a -1=13，当且仅当4(a-1)=4a -1，即a=2，b=5时，取等号，此时4a+b 取得最小值13.11.设矩形ABCD(AB>CB)的周长为24 cm ，把△ABC 沿AC 向△ADC 折叠，AB 折过去后交DC 于点P.设AB=x cm ，求△ADP 的最大面积及相应x 的值. 解:AB=x ，AD=12-x.设DP=y ，PC=x-y ，因为AP=PC ，所以AP=x-y. 对于Rt △ADP ，根据勾股定理，y 2+(12-x)2=(x-y)2， 整理，得y=12-72x .S △ADP =12(12-x)(12-72x)=6(12-x)(1-6x)=6[18-(x+72x)]≤6(18-2√x ·72x)=108-72√2，当且仅当x=72x ，即x=6√2时，取等号.综上，△ADP 的最大面积为108-72√2，相应x 的值为6√2.应用创新12.当0<x<12时，关于x 的不等式2x +11-2x≥m 2恒成立，求实数m 的取值范围.解:因为0<x<12，所以0<1-2x<1，所以2x +11-2x=(2x+1-2x)(42x +11-2x)=5+4(1-2x )2x+2x1-2x≥5+2√4(1-2x )2x·2x 1-2x=5+4=9. 当且仅当4(1-2x )2x=2x1-2x，即x=13时，等号成立，所以2x +11-2x的最小值为9.又关于x的不等式2x +11-2x≥m2恒成立，所以9≥m2，解得-3≤m≤3.。
2021_2022学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.2第2课时基本不等式的应用课件
【加固训练】 已知 a，b，c 为正实数，且 a＋b＋c＝1， 求证：1a－1 b1－1 1c－1 ≥8.
【解析】因为 a，b，c 为正实数，且 a＋b＋c＝1，
所以a1
－1＝1－a a
＝b＋a c
≥2
bc a
.
同理，1b
－1≥2
ac b
，c1
－1≥2
ab c
.
上述三个不等式两边均为正，相乘得：
130
130
x2
130
【解析】(1)设所用时间为 t＝ x ，则 y＝ x ×2×2＋360 ＋14× x ，
50≤x≤100.
所以，这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是
130×18 y＝ x
2×130 ＋ 360
x，50≤x≤100或y＝23x40＋1138x，50≤x≤100
.
(2)y＝130× x 18 ＋2×361030 x≥26 10 ， 当且仅当130× x 18 ＝2×361030 x， 即 x＝18 10 时等号成立． 故当 x＝18 10 千米/时时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为 26 10 元．
bc ca ab 当且仅当 a ＝ b ＝ c ，即 a＝b＝c 时取等号．
已知 x，y，z 都是正数，求证：(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz. 【证明】因为 x，y，z 都是正数，x＋y≥2 xy ，y＋z≥2 yz ，x＋z≥2 xz ， 所以(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz.
方法二：由 xy＝24，得 x＝2y4 . 所以 l＝4x＋6y＝9y6 ＋6y＝61y6＋y
16 ≥6×2 y ·y ＝48. 当且仅当1y6 ＝y，即 y＝4 时，等号成立，此时 x＝6. 故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小．
人教A版高中数学必修第一册精品课件 第2章 一元二次函数、方程和不等式 第2课时基本不等式的实际应用
的最大值.
+
解:(1)∵x<,∴5-4x>0,
∴y=4x-2+
=-
当且仅当
- +
+3≤-2+3=1,
-
5-4x=
,即 x=1 时,上式等号成立,
-
故当 x=1 时,y 取得最大值 1.
(2)∵0<x<,∴1-2x>0,
+-
旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口,如下图所示.
已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利
用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为
y(单位:元).
(1)将总费用y用旧墙长度x表示出来;
(2)试确定x的值,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求
出最小总费用.
反思感悟
1.应用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的条
件进行,若具备这些条件,则可直接运用基本不等式,若不具备
这些条件,则应进行适当的变形.
2.常见的变形技巧有:(1)配凑系数;(2)变符号;(3)拆补项.常见
形式有 y=ax+ 型和y=ax(b-ax)型.
【变式训练 1】 (1)已知 x>3,求 y=x+
x=y= 时,取等号.
=
=
,
答案:(1)2
(2)
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误
的打“×”.
(1)“x>0”是“x+ ≥2 成立”的充要条件.(