信息窗2质数与合数
质数和合数的区别
质数和合数的区别质数和合数是数论中常见的概念，它们在数学中具有重要的地位。
本文将探讨质数和合数的区别，并进一步探讨它们的性质和应用。
一、质数的定义和性质质数是指大于1且只能被1和自身整除的自然数。
例如，2、3、5、7等都是质数。
相反，能够被除了1和它自身外的其他整数整除的自然数被称为合数。
质数的性质可以总结如下：1. 质数只有两个正因数：1和自身。
这意味着除了1和质数本身，质数没有其他的因数。
2. 任何一个大于1的自然数都可以用质数的乘积表达。
这是数学基本定理的一个重要推论，即任何一个大于1的自然数都可以唯一地分解为质数的乘积。
3. 计算质数的方法不是很简单，因为没有规律可循。
我们只能通过试除法或其他复杂的算法来确定一个数是否为质数。
二、合数的定义和性质合数是指除了1和自身之外还能被其他正整数整除的自然数。
合数可以通过质数的乘积来表示，这在数论中被称为合数的因子分解。
合数的性质如下：1. 合数至少有3个正因数：1、自身和其他一个正整数。
与质数不同，合数有多个因数。
2. 合数可以分解为质数的乘积。
任何一个合数都可以通过质数的乘积来表示，而且这个质数的乘积是唯一的。
3. 对于给定的合数，我们可以通过试除法或其他算法找到它的全部因子。
三、质数和合数的区别质数和合数之间的区别主要体现在以下几个方面：1. 因数个数不同：质数只有两个因数，而合数至少有3个因数。
2. 因子分解不同：任何一个合数都可以分解为质数的乘积，而质数不能再进行分解。
3. 可以试除判断：我们可以通过试除法来判断一个数是否为质数，但无法用同样的方法判断一个数是否为合数。
因为合数的因数是复杂的，可能需要更多的计算才能确定。
四、质数和合数的应用质数和合数在数学和计算机科学中有着重要的应用。
1. 质数的应用：质数在密码学中扮演着重要的角色，例如RSA算法中使用了两个大质数的乘积的安全性。
此外，质数还在数论、组合数学等领域中得到广泛应用。
2. 合数的应用：合数的分解对于因式分解、最大公约数、最小公倍数等问题具有重要意义。
质数和合数知识点总结
质数和合数知识点总结一、质数的概念和性质1. 质数的概念：质数是指大于1的整数，除了1和本身外没有其他正因数的数。
换句话说，如果一个数只能被1和它自己整除，那么它就是质数。
例如，2、3、5、7、11等都是质数。
2. 质数的性质：任何一个大于1的整数，都可以被分解为若干个质数的乘积。
这就是所谓的唯一分解定理，也就是每个数都可以被唯一地分解为若干个质数的乘积，并且这个分解式是唯一的。
例如，24=2×2×2×3，其中2和3都是质数，24的质因数分解式就是2×2×2×3。
3. 质数的数量：质数是无限的，也就是说，质数的数量是无穷尽的。
这是由欧几里得在古希腊时期首次证明的，并且一直被数学家们延伸和证明。
4. 质数的应用：质数在数论中有着非常重要的地位，它们是数论中的基础，也是其他数学分支如代数、几何、解析等的基础。
在密码学、数据传输以及计算机科学中，质数也有着非常重要的应用。
二、合数的概念和性质1. 合数的概念：合数是指大于1的整数，除了1和本身外还有其他正因数的数。
换句话说，如果一个数可以被除了1和它自己以外的其他正整数整除，那么它就是合数。
例如，4、6、8、9等都是合数。
2. 合数的性质：合数可以被分解为若干个质数的乘积，而且这个分解式是唯一的。
这也是唯一分解定理的一个重要内容。
例如，24=2×2×2×3，其中2和3都是质数，24的质因数分解式就是2×2×2×3。
3. 合数的数量：合数是无穷的，也就是说，合数的数量是无穷尽的。
这是由欧几里得在古希腊时期首次证明的，并且一直被数学家们延伸和证明。
4. 合数的应用：合数在数论中同样有着重要的地位，它们是数论中的基础，也是其他数学分支如代数、几何、解析等的基础。
在密码学、数据传输以及计算机科学中，合数也有着非常重要的应用。
三、质数和合数的判断方法1. 判断质数：要判断一个数是不是质数，可以很简单地进行试除法。
青岛版数学五年级上册《团体操表演信息窗2：质数与合数》3课时教案
六、团体操表演信息窗2：质数与合数教学内容：义务教育课程标准实验教科书青岛版小学五年级上册第107—109页。
教学简析：本部分知识是对整数认识的一次拓展，是在学生初步认识了自然数以及初步认识因数和倍数的基础上进行学习的。
信息窗选取了体操表演这一现实性的生活素材借助学生已有的生活经验引入对知识的学习，使抽象的数论知识形象化，降低了认知难度。
在前面学习了2、3、5倍数的特征，奇数与偶数，质数与合数的基础上进行学习分解质因数与分解质因数的意义、探究分解质因数的方法。
教学目标：1.经历观察、归纳、推理，获得什么是质数和合数的数学猜想，理解质数和合数的概念，并能判断一个数是质数还是合数，体验从特殊到一般的认识发展过程。
2.使学生理解质因数和分解质因数的含义，初步掌握分解质因数的方3.培养学生自主探索、独立思考、合作交流的能力。
教学过程：第一课时质数与合数一、创设情境，导入新课。
1.谈话：明年奥运会就要在北京举行了，为弘扬奋勇拼搏的体育精神和健身意识，学校举行了团体操表演，我们一起去看一看各个班整齐的方阵。
（出示情境图）你能发现什么？2.学生会发现了排成各个方阵的人数分别是24、25、32、35、40。
问：仔细观察这些数字，它们有什么特点呢？小组讨论然后全班交流。
3.教师适时引导学生发现这些数与它们的因数的关系，帮助学生发现这些数都有两个以上的因数。
从而使学生产生疑问：有两个以上因数的都能摆成方队吗？其他数行不行？[设计意图]这样的教学,使学生悬念顿生，兴趣盎然，思维处于欲罢不能的状态。
此时教师巧妙地把握住时机，导入新课。
这样入手，激发了全体学生的兴趣,使课堂气氛顿时活跃起来.为本节课的顺利实施提供了有效的条件。
二、动手实践，探索新知。
1.针对疑问，鼓励学生大胆猜测，谈一谈自己的想法。
2.利用准备好的小方块摆一摆，看一看哪些数字能摆成方阵，哪些不能？验证自己的想法。
教师在学生操作过程中，进行巡视，适当指导。
质数与合数的认识知识点总结
质数与合数的认识知识点总结在数学的奇妙世界中，质数与合数是两个非常重要的概念。
它们就像是数字家族中的“特殊成员”，各自有着独特的性质和特点。
接下来，让我们一起深入了解一下质数与合数的相关知识。
一、质数的定义与特点质数，又称为素数，指的是一个大于 1 的自然数，除了 1 和它自身外，不能被其他自然数整除的数。
比如说，2、3、5、7、11 等都是质数。
2 是最小的质数，也是唯一的偶质数。
质数具有一些显著的特点：1、质数只有两个因数，即 1 和它本身。
2、质数在整数中相对较少。
判断一个数是否为质数，可以用试除法。
从 2 开始，依次用小于这个数的平方根的质数去除，如果都不能整除，那么这个数就是质数。
二、合数的定义与特点合数则是指一个大于 1 的整数，除了能被 1 和本身整除外，还能被其他数（0 除外）整除的数。
例如，4、6、8、9、10 等都是合数。
合数的特点包括：1、合数至少有三个因数。
2、合数的数量比质数多。
三、1 既不是质数也不是合数1 是一个比较特殊的数字。
它只有一个因数，不符合质数有两个因数的定义，也不符合合数至少有三个因数的定义，所以 1 既不是质数也不是合数。
四、质数与合数的关系质数和合数共同构成了大于 1 的自然数。
它们相互依存，又相互区别。
每一个合数都可以分解成若干个质数的乘积，这个过程叫做分解质因数。
例如，12 可以分解为 2×2×3。
而质数是构成合数的“基本元素”。
五、质数与合数在数学中的应用1、密码学：质数在密码学中有着重要的应用。
利用大质数的特性，可以设计出安全可靠的加密算法。
2、数论研究：是数论这一数学分支中的重要研究对象，有助于推动数学理论的发展。
3、优化算法：在一些计算和优化问题中，通过对质数和合数的性质的运用，可以提高算法的效率。
六、常见的质数和合数常见的较小的质数有 2、3、5、7、11、13、17、19 等。
常见的较小的合数有 4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20 等。
质数与合数的认识知识点总结
质数与合数的认识知识点总结质数和合数是数学中的两个重要概念。
质数是指只能被1和自身整除的正整数，而合数则是除了1和自身外还能被其他数字整除的正整数。
在数论中，了解质数和合数的性质和特点对于解决数学问题和应用领域具有重要意义。
本文将对质数和合数的认识进行知识点总结。
一、质数的特点质数是大于1的自然数中，除了1和自身外没有其它正因数的数。
以下是质数的一些特点：1. 质数只有两个因数，即1和自身。
2. 2是质数中唯一的偶数，其他质数都是奇数。
3. 质数不能被其他数整除，即在质数的倍数中无法找到其他质数。
二、合数的特点合数是大于1的自然数中，除了1和自身外还可以被其他正整数整除的数。
以下是合数的一些特点：1. 合数有至少三个因数，包括1、自身和其他正因数。
2. 合数可以分解成两个或多个较小的数的乘积。
3. 合数可以被质数或其他合数整除。
三、质数与合数的关系质数和合数是数论中的两个重要概念，它们之间存在一定的关系：1. 除了1之外，所有的数字都可以归类为质数或合数。
2. 质数与合数是互斥的，即一个数要么是质数，要么是合数，不会同时具备两种性质。
3. 所有的合数都可以被质数分解为若干个质数的乘积。
四、质数与合数的应用质数和合数在数学和实际应用中具有广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1. 密码学：质数的特性被广泛用于加密算法，保护数据的安全性。
2. 网络通信：质数的特点被应用于生成公钥和私钥，用于加密和解密网络通信。
3. 数学证明：质数和合数的性质被广泛应用于数学证明和推断，解决一些数论问题。
4. 数据分析：质数和合数可以用于数据分析中的分组和分类，帮助整理数据。
总结：质数和合数是数学中的两个重要概念，质数是只能被1和自身整除的正整数，合数是除了1和自身外还能被其他数字整除的正整数。
质数和合数之间存在着互斥的关系，所有的合数都可以被质数分解为若干个质数的乘积。
质数和合数在密码学、网络通信、数学证明和数据分析等领域具有广泛的应用。
二位数的质数与合数
二位数的质数与合数质数是指只能被1和自身整除的数，而合数是指除了1和自身之外，还可以被其他数整除的数。
本文将探讨二位数中的质数与合数，并分析其中的规律。
一、质数质数是数学中非常重要的概念，它拥有独特而特殊的性质。
二位数的质数共有多少个呢？我们可以列举出来：11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97根据上述列举的二位数，我们可以得出结论：二位数的质数共有21个。
二、合数合数是指除了1和自身之外，还可以被其他数整除的数。
那么二位数中有哪些合数呢？同样我们来列举一下：12、14、15、16、18、20、21、22、24、25、26、27、28、30、32、33、34、35、36、38、39、40、42、44、45、46、48、49、50、51、52、54、55、56、57、58、60、62、63、64、65、66、68、69、70、72、74、75、76、77、78、80、81、82、84、85、86、87、88、90、91、92、94、95、96、98、99经过列举，我们可以得出结论：二位数的合数共有79个。
三、质数与合数的规律通过观察上述质数与合数的列举，我们可以发现一些规律。
首先，二位数的质数比合数要少得多，这是因为质数的定义要求它只能被1和自身整除，而合数则要求它除了1和自身外还能被其他数整除。
因此，合数的范围更广泛，个数也就更多。
其次，在二位数中，所有以1、3、7、9结尾的数都是质数。
这是因为以2、4、6、8结尾的数必然能被2整除，而以5结尾的数又必然能被5整除，因此它们都不是质数。
最后，除了以上的规律外，质数与合数之间似乎没有更明显的规律。
任一二位数，要判断它是质数还是合数，就要从2开始一直除到它的平方根，如果都没有找到能够整除它的数，那么它就是质数；反之则是合数。
结语二位数的质数与合数在数学中具有重要的地位。
质数与合数的区别
质数与合数的区别质数和合数是数学中两个重要的概念。
它们代表了自然数的不同性质和特点。
本文将重点介绍质数和合数的区别。
质数是指只能被1和自身整除的自然数。
换句话说，质数没有除了1和它本身以外的其他因数。
例如，2、3、5、7是质数，因为它们不能被其他自然数整除。
而4、6、8、9不是质数，因为它们可以被2或3整除。
合数则相反，是指除了1和自身之外还有其他因数的自然数。
换句话说，合数可以被不止两个数整除。
例如，4可以被2整除，6可以被2和3整除。
合数可以拆分为几个质数的乘积。
例如，4可以拆分为2乘以2，6可以拆分为2乘以3。
而质数本身不能再进一步拆分，因为它们没有其他因数。
一个自然数要么是质数，要么是合数。
没有其他可能性。
这是因为如果一个数即不是质数也不是合数，那么它就必须可以拆分为质数的乘积，这与质数的定义相矛盾。
质数和合数对数学和数论有很重要的应用和影响。
首先，质数的概念是密码学领域中非常关键的概念。
现代加密算法中的安全性很大程度上依赖于质数的特性。
其次，质数和合数的性质广泛应用于数学证明和问题的解决中。
数学家们研究和利用质数与合数的性质，推动了数学领域的发展。
此外，质数和合数的研究还有助于深化人们对数学本质的理解。
在日常生活中，我们也经常会遇到质数和合数。
例如，计算机的算法中经常涉及到对质数的判断和利用。
此外，在质因数分解、分数的简化等数学问题中，质数和合数的概念也扮演着重要的角色。
总之，质数和合数是数学中两个重要概念，它们代表了自然数的不同性质和特点。
质数只能被1和自身整除，而合数可以被多个因数整除。
质数和合数的研究和应用对于数学和人类社会都具有重要意义。
了解并理解质数与合数的区别，有助于我们更深入地理解数学以及数学在现实生活中的应用。
数的质数与合数
数的质数与合数在数学中，“质数”和“合数”是两个非常重要的概念。
本文将介绍质数和合数的定义及特性，并探讨它们在数学中的应用。
一、质数的定义与特性质数，也叫素数，是指大于1且只能被1和自身整除的自然数。
换句话说，质数只有两个约数，即1和本身。
质数的特性如下：1. 质数大于1：质数不能是1，因为1只有一个约数。
2. 质数只能被1和自身整除：质数不会有额外的约数。
3. 质数的约数个数为2：质数的约数只有1和自身两个。
4. 质数无法拆分成更小的乘积：任何一个质数都无法被其他质数乘积表示。
常见的质数有2、3、5、7、11、13等。
二、合数的定义与特性合数是指大于1且不是质数的自然数。
换句话说，合数有除1和自身外的其他约数。
合数的特性如下：1. 合数大于1：合数不包括1，因为1只有一个约数。
2. 合数至少有3个约数：除了1和自身外，合数还有其他的约数。
3. 合数可以拆分成较小的乘积：合数可以表示为两个或多个因数的乘积。
4. 合数的约数个数大于2：合数的约数个数多于2个。
常见的合数有4、6、8、9、10、12等。
三、质数与合数的性质对比质数和合数在数学中起着不同的作用，并具备以下对比性质：1. 数的唯一分解定理：任何一个大于1的整数，都可以被唯一地分解为质数的乘积。
这个定理可以帮助我们找出一个数的全部因数。
2. 最小公倍数与最大公约数：质数和合数的性质在求解最小公倍数（LCM）和最大公约数（GCD）时发挥着重要作用。
LCM可以通过质因数分解求得，而GCD可以通过最大公约数的性质进行计算。
3. 质数的无穷性：质数有无穷多个，这是欧几里得在公元前300年左右证明的定理。
这个定理的证明过程十分巧妙，使用了反证法。
四、质数与合数在实际生活中的应用质数和合数的特性在密码学、编码和数据传输等领域有着广泛的应用：1. 质数在密码学中的应用：质数的特性使其成为密码学中重要的素材。
例如，RSA密码算法就利用了大素数的质因数分解的困难性来保护数据的安全性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
教学课题：信息窗2——团体操表演
教学目标
1.经历观察、归纳、推理，获得什么是质数和合数的数学猜想，理解质数和合数的概念，并能判断一个数是质数还是合数，体验从特殊到一般的认识发展过程。
2.使学生理解质因数和分解质因数的含义，初步掌握分解质因数的方法。
3. 培养学生自主探索、独立思考、合作交流的能力。
教学重难点
理解质因数和分解质因数的含义，掌握分解质因数的方法。
教学准备
多媒体
教学过程
教学内容：质数与合数
课时目标：
1.经历观察、归纳、推理，获得什么是质数和合数的数学猜想，理解质数和合数的概念，并能判断一个数是质数还是合数，体验从特殊到一般的认识发展过程。
2. 培养学生自主探索、独立思考、合作交流的能力。
教学过程：
一、创设情境，导入新课。
1.谈话：为弘扬奋勇拼搏的体育精神和健身意识，学校举行了团体操表演，我们一起去看一看各个班整齐的方阵。
（出示情境图）你能发现什么？
2.学生会发现了排成各个方阵的人数分别是24、25、32、35、40。
问：仔细观察这些数字，它们有什么特点呢？
小组讨论然后全班交流。
3.教师适时引导学生发现这些数与它们的因数的关系，帮助学生发现这些数都有两个以上的因数。
从而使学生产生疑问：有两个以上因数的都能摆成方队吗？其他数行不行？
二、合作探究，解决问题
1.针对疑问，鼓励学生大胆猜测，谈一谈自己的想法。
2.利用准备好的小方块摆一摆，看一看哪些数字能摆成方阵，哪些不能？验证自
己的想法。
教师在学生操作过程中，进行巡视，适当指导。
3.交流自己的发现。
通过动手摆方阵，学生可能发现（1）1、2、3、5、7、11、13、17等数字不能摆成方阵，（2）4、6、8、9、10、12、14、15等数字能摆成方阵。
小组为单位观察、讨论：这两类数字有什么特点？
4.全班交流。
引导学生发现：数字可以分成三类，有的数字只有1和它本身两个因数；有的数字含有两个以上的因数；而1只有一个因数。
5.揭示质数和合数的本质属性。
（1）我们把具有像2、3、5、7、11……特征的数叫做质数。
想一想什么叫做质数？引导学生概括：只有1和它本身两个因数的数，叫做质数。
我们把具有像4、6、8、9、10、12、14……这样的特征的数叫做合数。
想一想什么叫做合数？引导学生概括：除了1和它本身两个因数外，还有其他的因数，这样的数就叫做合数。
（2）质数和合数的区别是什么？
（3）1是质数？还是合数？为什么？
学生以小组为单位自由讨论。
全班交流、辩论，相互补充得出结论：1既不是质数也不是合数。
三、限时作业
1.把下面数中的合数圈起来。
80 7 35 23 40 56
47 94 28 43 31 9
2.在自然数11-20中，质数有（），合数有（），既是奇数又是合数的数有（）。
3.抢答游戏：老师出一个数，谁能最快的判断它是质数或是合数，进行抢答。
51 2 10 11 23 12 29 34 57 91 100 1
4.判断
（1）一个非零的自然数，不是奇数就是偶数。
（2）一个非零的自然数，不是质数就是合数。
（3）大于2的偶数都是合数。
（4）所有的质数都是奇数。
5.某校五年级各班人数情况统计如下
班别一班二班三班四班
人数40 42 48 45
各班要划分活动小组，，如果每组5人，哪个班能正好分完？每组4人或6人呢？
四、回顾反思总结提升
谈谈这节课你有哪些收获？
教后反思：
创设情境是落实新课程标准的重要措施。
新课程标准就数学学习方式提出如下建议：数学教学应“从学生的生活经验和已有知识背景出发，想他们提供充分的从事数学活动和交流的机会，促使他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识技能，数学思想和方法，同时获得广泛的数学活动经验。
”本节课利用学生熟识的体操比赛创设情景，通过研究方阵人数引入课题，激发学生的兴趣，从而使学生体会到数学与实际生活的联系。
探究、合作、讨论、自主学习是新课程标准的基本理念。
在概念教学中如何实施这一理念是这一节课的难点，教学中教师通过自己对教材的理解，对学生的了解，精心设计问题，巧妙地进行引导学生思考、讨论探索、总结发现规律。
学生通过异质的组合来讨论、探究知识，促进相互的学习，提高合作的能力，这对学生一生的发展都是有用的。
第2课时
教学内容：分解质因数
课时目标：
1.使学生理解质因数和分解质因数的含义，初步掌握分解质因数的方法。
2.培养学生自主探索、独立思考、合作交流的能力。
教学过程：
一、创设情景，复习旧知。
1．能被2、3、5整除的数的特征是什么？
2．什么叫质数，什么叫合数？
3．说出20以内的质数和合数．
4．下面哪些数是质数，哪些数是合数？它们各能被哪些数整除？
3 6 21 28 53 60 75 97
二、合作探究，解决问题
质因数与分解质因数的意义
1.导入：同学们，前面我们认识了这么多有关数的知识，下面我们一起来玩一个数字游戏好吗？玩游戏之前要交代几条游戏规则
（1）写成两个数相乘或连乘的形式，连乘的因数越多得分越高；
（2）只能用自然数；
（3）不能用1．
以小组为单位进行比赛，由老师写一个数，把能写成几个数连乘的数写成几个数连乘，例如：4＝2×2 12＝2×2×3 22＝2×11。
每正确写一个乘号得一分，写错一个乘号扣一分，最后哪组的分加起来最多这个小组获得胜利．
教师出示下面的数．
6＝21＝17= 50＝
48＝53＝5= 75＝
2.小组交流：17和5不能写成这种形式，其他数都能写成。
问：为什么17和5不能写成这种形式？
引导学生发现：质数不能写成这种形式因为他们只有1和本身，不符合游戏规则。
问:能写成这种形式的数都是什么数？
引导学生发现：只有合数才能写成几个数相乘的形式，所以我们分解质因数就重点研究如何把一个合数分解成几个数连乘的形式。
3.看看下面这些数都分解成了两个数相乘的形式，但是它们有什么不同？（师板书） 6＝2×3 28＝4×7
学生讨论发现：6分解成2×3后按游戏规则就不能再分解了；但是28分解成4×7后，4×7中的4还可以分解成2×2．
提问：你是怎样发现4还能分解的呢？
引导学生说出：因为4不是质数，所以很容易发现4还能分解．
提问：那么我们在分解一个数时，要把这个数分解到什么时候为止呢？（分解到都是质数就不再分解了）。
4.下面请同学们把30分解成几个质数相乘的形式。
学生自己动手试一试。
交流：①30=5×6 6=2×3 所以30=5×2×3
② 30
／＼
5 × 6
／＼
2 × 3
5.引导学生归纳出：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数．2、3、5叫做30的质因数。
6.介绍短除法。
谈话：刚才我们学习了一步一步地分解质因数，这样分解起来比较麻烦，为了简便，通常我们用短除法来分解质因数。
学生自学109页。
集体交流，引导学生归纳出：写出短除式──用能整除这个合数的最小质数去除──商如果是合数，照上面的方法除下去，直到商是质数为止──把除数和最后
的商写成连乘的形式．
三、限时作业
1.自主练习第七题。
2.用短除法把下面各数分解质因数。
18 25 28 34 60
3.下面各式是分解质因数吗?为什么？
8=2×4 12=2+3+7
15=3×5×1 20=2×2×5
4.你能在括号里填上合适的质数吗？
9=（）＋（）12=（）+（）
15=（）+（） 18=（）+（）
24=（）+( ) 30=（）+（）
5.小游戏：猜猜我们有多大？
（1）我的年龄是最小的质数。
（2）我们俩的年龄都是合数，和是17。
（3）我们俩的年龄都是质数，积是65。
（4）我的年龄是一个偶数，它是两位数，十位上数与个位数的积是6。
四、课堂总结
通过这节课的研究，你学到了哪些知识？
教后反思:。