2014-2015年上海市控江中学高一(上)期中数学试卷及参考答案
上海市高一(上)期中数学试卷(解析版)
2015-2016学年上海市格致中学高一（上）期中数学试卷一、填空题B= ．1．已知全集U=R，，则A∩∁U2．若函数，则f（x）•g（x）= ．3．函数y=的定义域是．4．不等式ax+b＜0的解集A=（﹣2，+∞），则不等式bx﹣a≥0的解集为．5．已知函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5在区间（，1）上为增函数，那么f（2）的取值范围是．6．已知集合A={x|x≥2}，B={x||x﹣m|≤1}，若A∩B=B，则实数m的取值范围是．7．“若a+b＞2，则a＞2或b＞2”的否命题是．8．设f（x）是R上的偶函数，f（1）=0，且在（0，+∞）上是增函数，则（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集是．9．已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是．10．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（2）=1，若f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，则实数a的取值范围是．11．已知的解集为[m，n]，则m+n的值为．二、选择题12．给出下列命题：（1）∅={0}；（2）方程组的解集是{1，﹣2}；（3）若A∪B=B∪C，则A=C；B．（4）若U为全集，A，B⊆U，且A∩B=∅，则A⊆∁U其中正确命题的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．413．“﹣2≤a≤2”是“一元二次方程x2+ax+1=0没有实根”的（）A．充要条件 B．必要非充分条件C．充分非必要条件D．非充分非必要条件14．已知a∈R，不等式的解集为P，且﹣4∉P，则a的取值范围是（）A．a≥﹣4 B．﹣3＜a≤4C．a≥4或a≤﹣3 D．a≥4或a＜﹣315．函数f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]三、解答题（8+8+10+14分）16．记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．（Ⅰ）若a=3，求P；（Ⅱ）若Q⊆P，求正数a的取值范围．17．设α：A={x|﹣1＜x＜1}，β：B={x|b﹣a＜x＜b+a}．（1）设a=2，若α是β的充分不必要条件，求实数b的取值范围；（2）在什么条件下，可使α是β的必要不充分条件．18．设函数f（x）=3ax2﹣2（a+c）x+c（a＞0，a，c∈R）（1）设a＞c＞0，若f（x）＞c2﹣2c+a对x∈[1，+∞]恒成立，求c的取值范围；（2）函数f（x）在区间（0，1）内是否有零点，有几个零点？为什么？19．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域（0，+∞）内存在x0，使函数f（x+1）≤f（x）f（1）成立；（1）请给出一个x的值，使函数；（2）函数f（x）=x2﹣x﹣2是否是集合M中的元素？若是，请求出所有x组成的集合；若不是，请说明理由；（3）设函数，求实数a的取值范围．2015-2016学年上海市格致中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题B= {0} ．1．已知全集U=R，，则A∩∁U【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合．B={x|x≤}，最后根据交集定义运算得出结果．【分析】先确定集合A={0，3}，再确定CU【解答】解：因为A={x|x2﹣3x=0}={0，3}，而B={x|x＞}，且U=R，B={x|x≤}，所以，CU所以，{x|x≤}∩{0，3}={0}，B={0}，即A∩CU故答案为：{0}．【点评】本题主要考查了集合间交集，补集的混合运算，涉及一元二次方程的解法，交集和补集的定义，属于基础题．2．若函数，则f（x）•g（x）= x（x＞0）．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的解析式化简求解即可．【解答】解：函数，则f（x）•g（x）==x，x＞0．故答案为：x（x＞0）．【点评】本题考查函数的解析式的求法，考查计算能力．3．函数y=的定义域是{x|﹣1≤x＜1或1＜x≤4}．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用分母不为0，开偶次方被开方数方法，列出不等式组求解可得函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，可得：，解得：﹣1≤x＜1或1＜x≤4．函数的定义域为：{x|﹣1≤x＜1或1＜x≤4}．故答案为：{x|﹣1≤x＜1或1＜x≤4}．【点评】本题考查函数的定义域的求法，是基础题．4．不等式ax+b＜0的解集A=（﹣2，+∞），则不等式bx﹣a≥0的解集为（﹣∞，] ．【考点】其他不等式的解法．【专题】方程思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】由题意可得a＜0，且﹣2a+b=0，解得b=2a，代入要解的不等式可得．【解答】解：∵不等式ax+b＜0的解集A=（﹣2，+∞），∴a＜0，且﹣2a+b=0，解得b=2a，∴不等式bx﹣a≥0可化为2ax﹣a≥0，两边同除以a（a＜0）可得2x﹣1≤0，解得x≤故答案为：（﹣∞，]．【点评】本题考查不等式的解集，得出a的正负是解决问题的关键，属基础题．5．已知函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5在区间（，1）上为增函数，那么f（2）的取值范围是[﹣7，+∞）．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】求得二次函数的对称轴，由题意可得≤，求得a的范围，再由不等式的性质，可得f（2）的范围．【解答】解：函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5的对称轴为x=，由题意可得≤，解得a≤2，则f（2）=4﹣2（a﹣1）+5=11﹣2a≥﹣7．故答案为：[﹣7，+∞）．【点评】本题考查二次函数的单调性的运用，考查不等式的性质，属于中档题．6．已知集合A={x|x≥2}，B={x||x﹣m|≤1}，若A∩B=B，则实数m的取值范围是[3，+∞）．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；转化思想；定义法；集合．【分析】先求出集合B，再利用交集定义和不等式性质求解．【解答】解：∵集合A={x|x≥2}，B={x||x﹣m|≤1}={x|m﹣1≤x≤m+1}，A∩B=B，∴m﹣1≥2，解得m≥3，∴实数m的取值范围是[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．7．“若a+b＞2，则a＞2或b＞2”的否命题是“若a+b≤2，则a≤2且b≤2”．【考点】四种命题．【专题】演绎法；简易逻辑．【分析】根据否命题的定义，结合已知中的原命题，可得答案．【解答】解：“若a+b＞2，则a＞2或b＞2”的否命题是“若a+b≤2，则a≤2且b≤2”，故答案为：“若a+b≤2，则a≤2且b≤2”【点评】本题考查的知识点是四种命题，熟练掌握四种命题的概念，是解答的关键．8．设f（x）是R上的偶函数，f（1）=0，且在（0，+∞）上是增函数，则（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集是（0，1）∪（2，+∞）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系先求出f（x）＞0和f（x）＜0的解集，进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，f（1）=0，且在（0，+∞）上是增函数，∴f（﹣1）=f（1）=0，则函数f（x）对应的图象如图：即当x＞1或x＜﹣1时，f（x）＞0，当0＜x＜1或﹣1＜x＜0时，f（x）＜0，则不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0等价为或，即或，即或，即x＞2或0＜x＜1，即不等式的解集为（0，1）∪（2，+∞），故答案为：（0，1）∪（2，+∞）【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系，利用数形结合求出f（x）＞0和f（x）＜0的解集是解决本题的关键．9．已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是（﹣，0）．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m 的范围．【解答】解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，故答案为：（﹣，0）．【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．10．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（2）=1，若f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，则实数a的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题．【分析】先利用f（x）是R上的偶函数，且f（2）=1，得到f（2）=f（﹣2）=1；再由f（x）在[0，+∞）上是增函数，f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，导出﹣2﹣x≤a≤2﹣x在x∈[﹣1，1]上恒成立，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，且f（2）=1，∴f（2）=f（﹣2）=1；∵f（x）在[0，+∞）上是增函数，f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，∴﹣2≤x+a≤2，即﹣2﹣x≤a≤2﹣x在x∈[﹣1，1]上恒成立，∴﹣1≤a≤1，故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查函数恒成立问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的奇偶性、单调性的灵活运用．11．已知的解集为[m，n]，则m+n的值为 3 ．【考点】根与系数的关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】利用二次函数的单调性、一元二次不等式的解法即可得出．【解答】解：解：∵ x2﹣2x+3=（2x2﹣6x+9）= [（x﹣3）2+x2]≥，令n2﹣2n+3=n，得2n2﹣9n+9=0，解得n=（舍去），n=3；令x2﹣2x+3=3，解得x=0或3．取m=0．∴m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了二次函数的单调性、一元二次不等式的解法，属于基础题．二、选择题12．给出下列命题：（1）∅={0}；（2）方程组的解集是{1，﹣2}；（3）若A∪B=B∪C，则A=C；B．（4）若U为全集，A，B⊆U，且A∩B=∅，则A⊆∁U其中正确命题的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；集合思想；数形结合法；集合．【分析】由集合间的关系判断（1）；写出方程组的解集判断（2）；由A∪B=B∪C，可得A=C或A、C均为B的子集判断（3）；画图说明（4）正确．【解答】解：（1）∅⊆{0}．故（1）错误；（2）方程组的解集是{（1，﹣2）}．故（2）错误；（3）若A∪B=B∪C，则A=C或A、C均为B的子集．故（3）错误；（4）若U为全集，A，B⊆U，且A∩B=∅，如图，则A⊆∁B．故（4）正确．U∴正确命题的个数是1个．故选：A．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了集合的表示法及集合间的关系，是基础题．13．“﹣2≤a≤2”是“一元二次方程x2+ax+1=0没有实根”的（）A．充要条件 B．必要非充分条件C．充分非必要条件D．非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】方程思想；判别式法；简易逻辑．【分析】一元二次方程x2+ax+1=0没有实根，则△＜0．解出即可判断出．【解答】解：若一元二次方程x2+ax+1=0没有实根，则△=a2﹣4＜0．解得﹣2＜a＜2．∴“﹣2≤a≤2”是“一元二次方程x2+ax+1=0没有实根”必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程有实数根与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知a∈R，不等式的解集为P，且﹣4∉P，则a的取值范围是（）A．a≥﹣4 B．﹣3＜a≤4C．a≥4或a≤﹣3 D．a≥4或a＜﹣3【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；方程思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】原不等式化为＜0，分类讨论即可得到答案．【解答】解：化为式﹣1＞0，即＞0，即＜0，当a+3＞0时，即a＞﹣3时，原不等式为x+a＜0，即x＜﹣a，∵﹣4∉P，∴a≥4；当a+3＜0时，即a＜﹣3时，原不等式为x+a＞0，即x＞﹣a，∴﹣4∉P，∴a＜﹣3；当a+3=0时，即x∈∅，∴﹣4∉P，综上所述：a的取值范围为a≥4，或a≤﹣3，故选：C．【点评】本题考查分式不等式解法的运用，关键是分类讨论，属于与基础题．15．函数f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】由分段函数可得当x=0时，f（0）=a2，由于f（0）是f（x）的最小值，则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0，则有a2≤x++a，x＞0恒成立，运用基本不等式，即可得到右边的最小值2+a，解不等式a2≤2+a，即可得到a的取值范围．【解答】解：由于f（x）=，则当x=0时，f（0）=a2，由于f（0）是f（x）的最小值，则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0，则有a2≤x++a，x＞0恒成立，由x+≥2=2，当且仅当x=1取最小值2，则a2≤2+a，解得﹣1≤a≤2．综上，a的取值范围为[0，2]．故选：D．【点评】本题考查分段函数的应用，考查函数的单调性及运用，同时考查基本不等式的应用，是一道中档题三、解答题（8+8+10+14分）16．记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．（Ⅰ）若a=3，求P；（Ⅱ）若Q⊆P，求正数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；其他不等式的解法；绝对值不等式的解法．【分析】（I）分式不等式的解法，可转化为整式不等式（x﹣a）（x+1）＜0来解；对于（II）中条件Q⊆P，应结合数轴来解决．【解答】解：（I）由，得P={x|﹣1＜x＜3}．（II）Q={x||x﹣1|≤1}={x|0≤x≤2}．由a＞0，得P={x|﹣1＜x＜a}，又Q⊆P，结合图形所以a＞2，即a的取值范围是（2，+∞）．【点评】对于条件Q⊆P的问题，应结合数轴来解决，这样来得直观清楚，便于理解．17．设α：A={x|﹣1＜x＜1}，β：B={x|b﹣a＜x＜b+a}．（1）设a=2，若α是β的充分不必要条件，求实数b的取值范围；（2）在什么条件下，可使α是β的必要不充分条件．【考点】充要条件．【专题】转化思想；集合思想；简易逻辑．【分析】（1）若α是β的充分不必要条件，则A⊊B，即，解得实数b的取值范围；（2）若α是β的必要不充分条件，则B⊊A，即且两个等号不同时成立，进而得到结论．【解答】解：（1）∵a=2，∴β：B={x|b﹣2＜x＜b+2}．若α是β的充分不必要条件，则A⊊B，即，解得：b∈[﹣1，1]；（2）若α是β的必要不充分条件，则B⊊A，即且两个等号不同时成立，即a＜1，b≤|a﹣1|【点评】本题考查的知识点是充要条件，正确理解并熟练掌握充要条件的概念，是解答的关键．18．设函数f（x）=3ax2﹣2（a+c）x+c（a＞0，a，c∈R）（1）设a＞c＞0，若f（x）＞c2﹣2c+a对x∈[1，+∞]恒成立，求c的取值范围；（2）函数f（x）在区间（0，1）内是否有零点，有几个零点？为什么？【考点】函数零点的判定定理；二次函数的性质．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意可得：二次函数的对称轴为x=，由条件可得：2a＞a+c，所以x=＜＜1，进而得到f（x）在区间[1，+∞）是增函数，求出函数的最小值，即可得到答案．（2）二次函数的对称轴是x=，讨论f（0）=c＞0，f（1）=a﹣c＞0，而f（）=﹣＜0，根据根的存在性定理即可得到答案．【解答】解：（1）因为二次函数f（x）=3ax2﹣2（a+c）x+c的图象的对称轴x=，因为由条件a＞c＞0，得2a＞a+c，所以x=＜＜1，所以二次函数f（x）的对称轴在区间[1，+∞）的左边，且抛物线的开口向上，所以f（x）在区间[1，+∞）是增函数．所以f（x）min=f（1）=a﹣c，因为f（x）＞c2﹣2c+a对x∈[1，+∞]恒成立，所以a﹣c＞c2﹣2c+a，所以0＜c＜1；（2）二次函数f（x）=3ax2﹣2（a+c）x+c图象的对称轴是x=．若f（0）=c＞0，f（1）=a﹣c＞0，而f（）=﹣＜0，所以函数f（x）在区间（0，）和（，1）内分别有一零点．故函数f（x）在区间（0，1）内有两个零点；若f（0）=c＜0，f（1）=a﹣c＞0，而f（）=﹣＜0，故函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质，以及根的存在性定理．19．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域（0，+∞）内存在x0，使函数f（x+1）≤f（x）f（1）成立；（1）请给出一个x的值，使函数；（2）函数f（x）=x2﹣x﹣2是否是集合M中的元素？若是，请求出所有x组成的集合；若不是，请说明理由；（3）设函数，求实数a 的取值范围．【考点】元素与集合关系的判断．【专题】应用题；新定义；函数思想．【分析】（1）取值带入即可；（2）根据函数f （x ）的定义求解x 0即可；（3）利用函数的思想求解．【解答】解：（1）令x 0=2，则，成立；（2）假设函数f （x ）=x 2﹣x ﹣2是集合M 中的元素，则存在x 0，使f （x 0+1）≤f（x 0）f （1）成立，即（x 0+1）2﹣（x 0+1）﹣2≤（）（﹣2），解得：， 故x 0组成的集合是：{x 0|}； （3）∵函数f （x ）=，∴，设g （x ）==，∴0＜g （x ）＜3，2a=0时显然成立，当a ＞0时，a ＞g （x ），∴a＞3；a ＜0时，a ＜g （x ），∴a＜0；综上，a≤0或a ＞3【点评】本题考查新定义及运用，考查运算和推理能力，考查函数的性质和应用，正确理解定义是迅速解题的关键，属于中档题。
【数学】上海市行知中学2014-2015学年高一上学期期中考试.docx
上海市行知中学2014—— 2015 学年度第一学期期中考试高一年级数学试卷命题人：高云审核人：赵传义一、填空题（本大题共 12 题，每题 3 分，满分 36 分）1．设全集U R ．若集合A＝{x|1＞1}，则C U A______ x2．不等式1x0 的解集是____ x23 、设全集为U，集合A U、B U ，下列关系中与 A B 等价的是。
（写出你认为正确的所有序号）（1）A B A ；（2） A B B ；（3）A C U B；（4） B C U A。
4、命题“若 x＞ 2 且 y＞3，则 x+y＞ 5”的否命题是 ______命题．（填入“真”或“假”）5．已知y f ( x) 是奇函数，若 g( x) f (x) 1且 g(1) 2 ，则 g( 1)6． f x x 2 2 a 1 x 2在,4 上是减函数，则a的取值范围7．已知f ( 2x1) x 22x ，则 f (3) =8、已知a, b(a, b N *) 满足191 ，则当a b取最小值时，a、b的值分别a b是.9．函数f x3ax在1,1上存在一个零点，则a的取值范围是. 2a 110、设集合A={0,1} ，B＝{ a2, 2a}，定义： A B { x | x x1 x2 , x1 A , x2 B } ，若集合 A B中元素的最大值为 2a1，则实数a的取值范围是。
11．若不等式x2kx k 10对 x(1，2) 恒成立，则实数k的取值范围是______.12、设函数f ( x), g( x)的定义域分别为 D f , D g，且 D f D g，若对于任意 x D f，都有 g( x) f ( x)，则称函数 g( x) 为 f ( x) 在D g上的一个延拓函数。
设f ( x)x 22x, x( ,0] ，g ( x)为f ( x)在R上的一个延拓函数，且g( x)为偶函数，则 g ( x)______________________二、选择题（本大题共 4 题，每题 4 分，满分 16 分）13．已知集合 Mx x22x 0 ， N { x |3x 0} ， UR ， 中阴影部分1 x表示的集合是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（）．A . ( ,0) ∪ (1, ) B.( , 3] ∪ (2, ) C . ( , 3) ∪(2, )D .(,0] ∪ [2,)14．f x 是 R 上的偶函数，且在， 上 减函数，若 x 0， x x 2 0 ，1 1（）A ． f x 1 f x 2B ． f x 1 f x 2C ． f x 1f x 2D ．不能确定 f x 1 与 f x 2的大小15. 下列命 中，正确的是（ ）A. x4 的最小 是 4B.2 1 的最小 是 2xx44x 2C. 如果 a ＞b ，c ＞d ，那么 a c ＜ b dD. 如果 ac 2＞ bc 2，那么 a ＞ b16、 函数 y f ( x) 与函数 yg (x) 的 像如 所示， 函数 yf ( x) g( x) 的像可能是下面的（）三 .解答 （本大 共有 5 ， 分 52 分） ,17、（本小 分 8 分）已知集合 A x | x a1 , Bx | x 25x 40 , 且 A B，求 数 a 的取范 。
2014-2015学年上学期高一期中测试数学试题(含答案)
2014-2015学年上学期高一期中测试数学试题（含答案）第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ） A ．3y x = B ． 1y x =+ C ．21y x =-+ D ． 2x y -= 2．在同一坐标系中，表示函数log a y x =与y x a =+的图象正确的是（ ）A B C D 3．若1log 12a<，则a 的取值范围是( ) A ．1(0,)(1,)2+∞ B ．1(,1)2 C ．(1,)+∞ D ．1(,1)(1,)2+∞4．已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时， ()22x f x x m =++ (m 为常数)，则(1)f -的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 5．设全集U =R ，{}|0P x f x x ==∈R （），，{}|0Q x g x x ==∈R （），，{}|0S x x x ϕ==∈R （），，则方程220f x x x ϕ=（）+g （）（）的解集为（ ）A ． P Q SB ．P QC ．P Q S （）D ． P Q S u （C ）5．设9.0log 5.0=a ，9.0log 1.1=b ，9.01.1=c ，则c b a , ,的大小关系为（ ） A ．c b a << B ．c a b << C ．a c b << D ．b c a << 6．设}3 2, ,21,31 ,1{-∈α，若函数αx y =是定义域为R 的奇函数，则α的值为（ ） A ．3 ,31 B ．3 ,31 ,1- C ．3 ,1- D ．31 ,1-7．已知函数)(x f 是奇函数，当0>x 时，)1 ,0( )(≠>=a a a x f x ，且3)4(log 5.0-=f ，则a 的值为（ ）A ．3B ．3C ．9D ．23 8．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=-)1( )23(log )1( 2)(2x x x x f x ，若4)(=a f ，则实数=a （ ）A ．2-或6B ．2-或310 C ．2-或2 D ．2或310 9．方程021231=⎪⎭⎫⎝⎛--x x 的解所在的区间为（ ） A ．) 1 ,0 ( B ．) 2 ,1 ( C ．) 3 ,2 ( D ．) 4 ,3 (10．已知函数bx ax y +=2和xbay =|)| || ,0(b a ab ≠≠在同一直角坐标系中的图象不可能．．． 是（ ）11．已知函数)3(log 221a ax x y +-=在区间) ,2[∞+上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．)4 ,(-∞B ．]4 ,4[-C ．]4 ,4(-D ．]4 ,(-∞12．若在直角坐标平面内B A ,两点满足条件：①点B A ,都在函数)(x f y =的图象上；②点B A ,关于原点对称，则称B A ,为函数)(x f y =的一个“黄金点对”．那么函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+)0( 1)0( 222x x x x x 的“黄金点对”的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，共20分.13．已知集合}06|{2=--=x x x M ，}01|{=+=ax x N ，且M N ⊆，则由a 的取值组成的集合是 ．14．若x x f =)(log 5，则=-)9log 2(log 255f ．15．已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足0)1(=-f ，并且)(x f 在)0 ,(-∞上为增函数．若0)( <a f a ，则实数a 的取值范围是 ．16．已知函数()x f 的定义域是}0|{≠∈=x R x D ，对任意D x x ∈21 ,都有：=⋅)(21x x f)()(21x f x f +，且当1>x 时，()0>x f ．给出结论：①()x f 是偶函数；②()x f 在()∞+ ,0上是减函数．则正确结论的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
【必考题】高一数学上期中试题(及答案)
【必考题】高一数学上期中试题(及答案)一、选择题1．已知函数()1ln 1xf x x -=+，则不等式()()130f x f x +-≥的解集为（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．12,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-⋃+∞，， B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，， D ．(10)(01)-⋃，， 3．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④ D ．①③4．1()xf x e x=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)25．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =A ．{}123,4，，B ．{}123，，C ．{}234，，D ．{}134，， 6．设x ∈R ，若函数f （x ）为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f （f （x ）-e x ）=e +1（e 是自然对数的底数），则f （ln1.5）的值等于（ ） A ．5.5B ．4.5C ．3.5D ．2.57．已知函数2()log (23)(01)a f x x x a a =--+>≠,，若(0)0f <，则此函数的单调减区间是（） A ．(,1]-∞-B ．[1)-+∞，C ．[1,1)-D ．(3,1]--8．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3xf x =，则()3log 54f =（ ）A ．32B ．23-C ．23D ．32-9．函数()2log ,0,2,0,x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2384g x f x f x =-+的零点个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．610．已知()()2,11,1x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()2log 7f =（ ）A ．7B ．72C ．74D ．7811．函数2y 34x x =--+的定义域为（ ）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-，D ．(11]-， 12．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，若实数a 满足()()120f a f a +->，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．()0,1C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．已知函数2()121()f x ax x ax a R =+++-∈的最小值为0，则实数a =_________.14．1232e 2(){log (1)2x x f x x x ，，-<=-≥，则f （f （2））的值为____________．15．已知1240x x a ++⋅>对一切(],1x ∞∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是______． 16．已知()f x 是定义在[)(]2,00,2-⋃上的奇函数，当0x >，()f x 的图象如图所示，那么()f x 的值域是______．17．非空有限数集S 满足：若,a b S ∈，则必有ab S ∈．请写出一个．．满足条件的二元数集S ＝________．18．已知函数42()(0)f x x ax bx c c =+++<，若函数是偶函数，且4((0))f f c c =+，则函数()f x 的零点共有________个.19．函数2()log 1f x x =-________．20．已知函数()266,34,x x f x x ⎧-+=⎨+⎩0x x ≥<，若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是__________． 三、解答题21．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x <0时，()111f x x =+-. (1)求f (2)的值；(2)用定义法判断y ＝f (x )在区间(－∞，0）上的单调性． (3)求0()x f x >时，的解析式 22．已知2256x ≤且21log 2x ≥，求函数22()log log 22x xf x =⋅的最大值和最小值． 23．已知函数()f x 对任意的实数m ,n 都有()()()1f m n f m f n +=+-,且当0x >时,有()1f x >.(1)求()0f ;(2)求证:()f x 在R 上为增函数;(3)若()12f =,且关于x 的不等式()()223f ax f x x -+-<对任意的[)1,x ∈+∞恒成立,求实数a 的取值范围. 24．计算下列各式的值：（Ⅰ)322log 3lg25lg4log (log 16)++- （Ⅱ）2102329273()( 6.9)()()482-----+25．函数是奇函数．求的解析式；当时，恒成立，求m 的取值范围．26．有一种候鸟每年都按一定的路线迁陟，飞往繁殖地产卵．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数301log lg 2100xv x =-，单位是min km ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（参考数据：lg 20.30=， 1.23 3.74=， 1.43 4.66=）（1）若02x =，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少min km ？ （2）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（3）若雄鸟的飞行速度为2.5min km ，雌鸟的飞行速度为1.5min km ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【解析】 【分析】根据题意可得函数()f x 的奇偶性以及单调性，据此原不等式转化为()()31f x f x ≥-，求解可得x 的取值范围，即可得出结论． 【详解】根据题意，函数()1ln 1xf x x-=+， 则有101xx->+，解可得11x -<<， 即函数的定义域为()1,1-，关于原点对称， 又由()()11lnln 11x xf x f x x x+--==-=--+， 即函数()f x 为奇函数， 设11xt x -=+，则y lnt =， 12111x t x x -==-++，在()1,1-上为减函数， 而y lnt =在()0,∞+上为增函数， 故()1ln1xf x x-=+在区间()1,1-上为减函数， ()()()()13013f x f x f x f x +-≥⇒≥-- ()()3131111311x x f x f x x x ≤-⎧⎪⇒≥-⇒-<<⎨⎪-<-<⎩，解可得：1223x ≤<，即不等式的解集为12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭； 故选:D ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，解题时不要忽略函数的定义域，属于中档题．2．D解析：D 【解析】由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内3．C解析：C 【解析】 【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．4．B解析：B 【解析】函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （12）2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（12，1），故选B ．点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.5．A解析：A 【解析】 由题意{1,2,3,4}AB ，故选A.点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．6．D解析：D 【解析】 【分析】利用换元法 将函数转化为f （t ）=e+1，根据函数的对应关系求出t 的值，即可求出函数f （x ）的表达式，即可得到结论 【详解】 设t=f （x ）-e x ，则f （x ）=e x +t ，则条件等价为f （t ）=e+1， 令x=t ，则f （t ）=e t +t=e+1， ∵函数f （x ）为单调递增函数， ∴t=1， ∴f （x ）=e x +1，即f （ln5）=e ln1.5+1=1.5+1=2.5， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．7．D解析：D 【解析】 【分析】求得函数()f x 的定义域为(3,1)-，根据二次函数的性质，求得()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，再由(0)0f <，得到01a <<，利用复合函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意，函数2()log (23)a f x x x =--+满足2230x x --+>，解得31x -<<，即函数()f x 的定义域为(3,1)-，又由函数()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，因为(0)0f <，即(0)log 30a f =<，所以01a <<，根据复合函数的单调性可得，函数()f x 的单调递减区间为(3,1]--， 故选D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +， 则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--， 由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．A解析：A 【解析】 【分析】通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数．【详解】 函数()()()2384g x f x f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点即方程()23f x =和()2f x =的根， 函数()2log ,0,2,0x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩的图象如图所示：由图可得方程()23f x =和()2f x =共有5个根， 即函数()()()2384g x f x f x =-+有5个零点,故选：A . 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．10．C解析：C 【解析】 【分析】根据函数的周期性以及分段函数的表达式，结合对数的运算法则，代入即可得到结论． 【详解】2222log 4log 7log 83=<<=，20log 721∴<-<，()()2log 72227log 7log 7224f f -∴=-==. 故选：C . 【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式以及函数的周期性进行转化是解决本题的关键．11．C解析：C 【解析】要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1{41x x >--<<，所以1 1.x -<<故选C12．B解析：B 【解析】 【分析】求出函数()y f x =的定义域，分析函数()y f x =的单调性与奇偶性，将所求不等式变形为()()21f a f a >-，然后利用函数()y f x =的单调性与定义域可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围. 【详解】对于函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，有1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<， 则函数()y f x =的定义域为()1,1-，定义域关于原点对称，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-，所以，函数()y f x =为奇函数，由于函数()1ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数，函数()2ln 1y x =-在区间()1,1-上为减函数，所以，函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--在()1,1-上为增函数， 由()()120f a f a +->得()()()1221f a f a f a >--=-，所以，11112121a a a a -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩，解得01a <<.因此，实数a 的取值范围是()0,1. 故选：B. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，解答的关键就是分析函数的单调性和奇偶性，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．【解析】【分析】设计算可得再结合图象即可求出答案【详解】解：设则则由于函数的最小值为0作出函数的大致图象结合图象得所以故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质考查转化思想考查数形结合思想属解析：±1. 【解析】【分析】 设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，计算可得2(),()()()2(),()()g x g x h x f x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩，再结合图象即可求出答案． 【详解】解：设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，则22()()1g x x ax h x x ⎧=+⎨=-⎩， 则()()()()()f x g x h x g x h x =++-2(),()()2(),()()g x g x h x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩， 由于函数()f x 的最小值为0，作出函数()g x ，()h x 的大致图象，结合图象，210x -=，得1x =±， 所以1a =±， 故答案为：±1． 【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题．14．2【解析】【分析】先求f （2）再根据f （2）值所在区间求f （f （2））【详解】由题意f （2）=log3（22–1）=1故f （f （2））=f （1）=2×e1–1=2故答案为：2【点睛】本题考查分段函数解析：2 【解析】 【分析】先求f （2），再根据f （2）值所在区间求f （f （2））. 【详解】由题意，f （2）=log 3（22–1）=1，故f （f （2））=f （1）=2×e 1–1=2，故答案为：2． 【点睛】本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.15．【解析】【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值【详解】可化为令由得则在上递减当时取得最大值为所以故答案为【点睛】本题考查二次函数的性质函数恒成立解析：3,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值． 【详解】1240xxa ++⋅>可化为212224xx x x a --+>-=--，令2x t -=，由(],1x ∈-∞，得1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭， 则2a t t >--，2213()24t t t --=-++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递减，当12t =时2t t --取得最大值为34-，所以34a >-． 故答案为3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查二次函数的性质、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．属中档题.16．【解析】【分析】先根据函数的奇偶性作出函数在y 轴左侧的图象欲求的值域分两类讨论：；结合图象即可解决问题【详解】是定义在上的奇函数作出图象关于原点对称作出其在y 轴左侧的图象如图由图可知：的值域是故答案 解析：][()2,33,2⋃--【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性作出函数在y 轴左侧的图象，欲求()f x 的值域，分两类讨论：0x >①；0.x <②结合图象即可解决问题．【详解】()f x 是定义在(][2,00,2-⋃上的奇函数，∴作出图象关于原点对称作出其在y 轴左侧的图象，如图．由图可知：()f x 的值域是][()2,33,2⋃--． 故答案为][()2,33,2⋃--． 【点睛】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．17．{01}或{－11}【解析】【分析】因中有两个元素故可利用中的元素对乘法封闭求出这两个元素【详解】设根据题意有所以必有两个相等元素若则故又或所以（舎）或或此时若则此时故此时若则此时故此时综上或填或【解析：{0,1}或{－1,1}， 【解析】 【分析】因S 中有两个元素，故可利用S 中的元素对乘法封闭求出这两个元素． 【详解】设{}(),S a b a b =<，根据题意有22,,a ab b S ∈，所以22,,a b ab 必有两个相等元素．若22a b =，则=-a b ，故2ab a =-，又2a a =或2a b a ==-，所以0a =（舎）或1a =或1a =-，此时{}1,1S =-．若 2a ab =，则0a =，此时2b b =，故1b = ，此时{}0,1S =． 若2b ab =，则0b =，此时2a a =，故1a =，此时{}0,1S =． 综上，{}0,1S =或{}1,1S =-，填{}0,1或{}1,1-． 【点睛】集合中元素除了确定性、互异性、无序性外，还有若干运算的封闭性，比如整数集，对加法、减法和乘法运算封闭，但对除法运算不封闭（两个整数的商不一定是整数），又如有理数集，对加法、减法、乘法和除法运算封闭，但对开方运算不封闭．一般地，若知道集合对某种运算封闭，我们可利用该运算探究集合中的若干元素．18．2【解析】因为是偶函数则解得又所以故令所以故有2个零点点睛：本题涉及函数零点方程图像等概念和知识综合性较强属于中档题一般讨论函数零点个数问题都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题本题解析：2 【解析】因为()42(0)f x x ax bx c c =+++<是偶函数，则()()f x f x -=，解得0b =，又()()4240()f f f c c ac c c c ==++=+，所以0a =，故4()f x x c =+，令4()0f x x c =+=，40x c =->，所以x =2个零点.点睛：本题涉及函数零点，方程，图像等概念和知识，综合性较强，属于中档题.一般讨论函数零点个数问题，都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题，本题由于涉及函数为初等函数，可以考虑方程来解决，转化为方程根的个数，同时注意偶函数性质在本题中的应用.19．2+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式解对数不等式得函数定义域详解：要使函数有意义则解得即函数的定义域为点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题解析：[2，+∞） 【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.20．【解析】【分析】画出分段函数的图像由图像结合对称性即可得出【详解】函数的图像如下图所示不妨设则关于直线对称所以且满足则故的取值范围是【点睛】解决本题的关键是要会画分段函数的图像由图像结合对称性经过计解析：11(,6)3【解析】 【分析】画出分段函数的图像，由图像结合对称性即可得出。
数学上学期期中试题-2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题及答案
2014-2015学年度第一学段自主检测高一数学（A ）考生注意：1、 本试卷共150分，考试时间120分钟。
2、 使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B 铅笔，要求字迹工整，笔记清晰，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效。
3、 答卷前请将密封线内的项目填写清楚第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合{|2},{|log(1)}x M x y N x y x ====-，则R M C N =（ ）A ．(],1-∞B ．(),1-∞C ．RD ．φ2、下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ）A ．()()22,()f x x g x x == B ．()()21,11x f x g x x x -==+- C ．()()2,f x x g x x == D ．()()211,1f x x x g x x =+-=-3、设()()10100,010x x f x x h x x x >⎧⎧⎪===⎨⎨⎩⎪-<⎩是有理数是无理数，则(())f h e 等于（ ） A ．1 B ．0 C ．-1 D ．e4、若()22(1)2f x x a x =--+在(],3-∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．4a > B ．4a < C ．4a ≥ D ．4a ≤5、满足“对定义域内任一实数,x y ，都有()()()f x y f x f y ⋅=+”的单调递减函数是（ ）A ．2log y x =B ．0.3log y x =C ．3x y =D ．0.1x y =6、设()f x 是定义在[]6,6-上的偶函数，且()()41f f >，则下列各式一定成立的是（ ）A ．()()06f f <B ．()()43f f >C ．()()20f f >D ．()()14f f -<7、函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是（ ）8、设0.2444,0.2,log 0.2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．b a c >>9、定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()222x x f x g x -+=-+，则()2f 等于（ ）A ．2B ．154C ．4D ．17410、已知函数()x f x e =，如果12,x x R ∈，且12x x ≠，下列关于()f x 的性质；①1212()[()()]0x x f x f x -->；②()()f x f x -=；③()()f x f x -=-； ④1212()()()22f x f x x x f --> 其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。
2014-2015学年度高一数学期中试卷(含答案解析)
第1页 共10页 ◎ 第2页 共10页绝密★启用前2014-2015学年度期中卷高一数学考试范围：必修一；考试时间：120分钟；命题人： 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．已知集合{}1,2,3M =，{}2,3,4N =，则 （ ） A ．M N ⊆ B ．N M ⊆ C ．{}1,4MN = D ．{}2,3M N =【答案】D【解析】解：因为根据已知 的集合，可以判定集合间的关系，以及集合的运算，那么显然选项D 成立。
2．设集合}1,0,1{-=M ，},{2a a N =，则使M∩N＝N 成立的a 的值是（ ） A ．1 B ．0 C ．－1 D ．1或－1 【答案】C 【解析】试题分析：由于集合中的元素互不相同，所以20,1a a a a ≠⇒≠≠.又因为M∩N＝N ，所以1a =-. 考点：集合的特征及集合的基本运算. 3．设，则（ ）A ．﹣2＜x ＜﹣1B ．﹣3＜x ＜﹣2C ．﹣1＜x ＜0D ．0＜x ＜1 【答案】A【解析】因为y=3x在R 上单调递增，又，故﹣2＜x ＜﹣1故选A4．若0.90.48 1.54,8,0.5a b c -===则（ ）A .c b a >> B. a c b >> C.b a c >> D.b c a >> 【答案】D【解析】0.9 1.80.48 1.44 1.5 1.542,82.(0.5)2.-===函数2x y =是增函数，1.8 1.5 1.44,>>所以.a c b >>故选D5．函数()f x =的定义域是 A. {x ︱34x >} B. {01x x <≤} C. {1x x ≥} D. {x ︱314x <≤} 【答案】D 【解析】略6．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f xf f +=+=则=)5(f （）A．0B ．1C ．25D ．5【答案】C【解析】令x=-1可得(1)(1)(2)(1)(2),(2)2(1)1,f f f f f f f =-+=-+∴==13(3)(1)(2)122f f f ∴=+=+=,35(5)(3)(2)122f f f =+=+=.7．某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往旅游，他先前进了a km ，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了b km(b <a ), 当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进. 则该同学离起点的距离s 与时间t 的函数关系的图象大致为 ( )【答案】C【解析】分析：本题根据运动变化的规律即可选出答案．依据该同学出门后一系列的动作，匀速前往对应的图象是上升的直线，匀速返回对应的图象是下降的直线，等等，从而选出答案． 解答：解：根据他先前进了akm ，得图象是一段上升的直线，DCBA第3页 共10页 ◎ 第4页 共10页由觉得有点累，就休息了一段时间，得图象是一段平行于t 轴的直线，由想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了bkm （b ＜a ），得图象是一段下降的直线， 由记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进，得图象是一段上升的直线， 综合，得图象是C ， 故选C ．点评：本小题主要考查函数的图象、运动变化的规律等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题． 8．函数的单调增区间为（ ）A ．B ．（3，+∞）C ．D ．（﹣∞，2）【答案】D【解析】由题意知，x 2﹣5x+6＞0∴函数定义域为（﹣∞，2）∪（3，+∞），排除A 、C ， 根据复合函数的单调性知的单调增区间为（﹣∞，2），故选D9．若函数()1(0,1)1x mf x a a a =+>≠-是奇函数，则m 为 A.1- B.2 C.1 D.2-【答案】B 【解析】 试题分析：111111x a(),()()xxxm m mf x f x aaa --=+=+-=-+--- 由于函数是奇函数，()(),f x fx ∴-=-即x a (1)1(1)2111x x x x m m m a a a a -+=-+∴=--- 所以2m =，故选：B.考点：函数的奇偶性10． 下列每组中两个函数是同一函数的组数共有（ ） （1）2()1f x x =+和2()1f v v =+(2) y =和y =(3) y=x 和321x xy x +=+ (4) y=和y(A) 1组 (B) 2组 (C) 3组 (D) 4组 【答案】C【解析】根据同意哈函数的定义可知选项A 中定义域和对应关系相同，成立，选项B 中，定义域相同，对应关系相同，选项C 中，相同，选项D 中，定义域不同，故是同一函数的 组数有3组，故选C 11．已知1a >，函数x y a =与log ()a y x =-的图像可能是（ ）【答案】B【解析】试题分析：因为根据1a >,可知指数函数递增函数，排除C ，D 选项，同时在选项A,B 中，由于对数函数log ()a y x =-的图像与log a y x =的图像关于y 轴堆成，那么可知.排除A.正确的选项为B.考点：本题主要是考查同底的指数函数与对数函数图像之间的关系的运用。
2014-2015学年上学期高一期中测试数学试题(含答案)
2014-2015学年上学期高一期中测试数学试题（含答案） 第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ）A ．3y x =B ． 1y x =+C ．21y x =-+D ． 2x y -=2．在同一坐标系中，表示函数log a y x =与y x a =+的图象正确的是（ ）A B C D3．若1log 12a<，则a 的取值范围是( ) A ．1(0,)(1,)2+∞ B ．1(,1)2 C ．(1,)+∞ D ．1(,1)(1,)2+∞4．已知函数f(x)为定义在R 上的奇函数，当x≥0时， ()22xf x x m =++ (m 为常数)，则(1)f -的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．35．设全集U =R ，{}|0P x f x x ==∈R （），，{}|0Q x g x x ==∈R （），，{}|0S x x x ϕ==∈R （），，则方程22f x x x ϕ=（）+g （）（）的解集为（ ）A ． P Q SB ．P QC ．P Q S （）D ． P Q S u （C ）5．设9.0log 5.0=a ，9.0log 1.1=b ，9.01.1=c ，则c b a , ,的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<6．设}3 2, ,21 ,31 ,1{-∈α，若函数αx y =是定义域为R 的奇函数，则α的值为（ ）A ．3 ,31B ．3 ,31 ,1- C ．3 ,1- D ．31,1- 7．已知函数)(x f 是奇函数，当0>x 时，)1 ,0( )(≠>=a a a x f x，且3)4(log 5.0-=f ，则a的值为（ ）A ．3B ．3C ．9D ．238．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=-)1( )23(log )1( 2)(2x x x x f x ，若4)(=a f ，则实数=a （ ） A ．2-或6 B ．2-或310 C ．2-或2 D ．2或3109．方程21231=⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x 的解所在的区间为（ ）A ．) 1 ,0 (B ．) 2 ,1 (C ．) 3 ,2 (D ．) 4 ,3 (10．已知函数bx ax y +=2和xb a y =|)| || ,0(b a ab ≠≠在同一直角坐标系中的图象不可能 是（ ）11．已知函数)3(log 221a ax x y +-=在区间) ,2[∞+上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．)4 ,(-∞B ．]4 ,4[-C ．]4 ,4(-D ．]4 ,(-∞12．若在直角坐标平面内B A ,两点满足条件：①点B A ,都在函数)(x f y =的图象上；②点B A ,关于原点对称，则称B A ,为函数)(x f y =的一个“黄金点对”．那么函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+)0( 1)0( 222x x x x x 的“黄金点对”的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，共20分.13．已知集合}06|{2=--=x x x M ，}01|{=+=ax x N ，且M N ⊆，则由a 的取值组成的集合是 ．14．若x x f =)(log 5，则=-)9log 2(log 255f ．15．已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足0)1(=-f ，并且)(x f 在)0 ,(-∞上为增函数．若0)( <a f a ，则实数a 的取值范围是 ．16．已知函数()x f 的定义域是}0|{≠∈=x R x D ，对任意D x x ∈21 ,都有：=⋅)(21x x f)()(21x f x f +，且当1>x 时，()0>x f ．给出结论：①()x f 是偶函数；②()x f 在()∞+ ,0上是减函数．则正确结论的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题(含答案解析)
π 3 f (a ) − f (b ) > 0 成立，则必有（ 9. 定义在 R 上的函数 f ( x ) 对任意两个不相等实数 a，b ，总有 a −b
D. f (−1) > f (−π ) > f ( ) A. 函数 f ( x ) 是先增 加后减少 C. f ( x ) 在 R 上是增函数 B. 函数 f ( x ) 是先减少后增加 D. f ( x ) 在 R 上是减函数
）个
12.定义在 [ −1,1] 的函数 f ( x) 满足下列两个条件：①任意的 x ∈ [−1,1] ，都有 f (− x) = − f ( x) ；②任意的 m, n ∈ [0,1] ，当
f ( m) − f ( n) < 0 ，则不等式 f (1 − 3 x) < f ( x − 1) 的解集是 m−n 1 1 2 1 2 B. ( , ] C. [−1, ) D. [ ,1] A. [0, ) 2 2 3 2 3 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 2 x − 1 (x ≥ 3) ，则 f ( f (− 1)) 的值是 13. 已知函数 f ( x ) = 。 1 − 3 x (x < 3) m ≠ n ，都有
[来源:学科
π 3
B. f ( ) > f (−1) > f (−π )
π 3
π 3
）
10. 如果函数 f ( x) = x 2 + 2(a − 1) x + 2 在区间 ( −∞, 4] 上单调递减，那么实数 a 的取值范围是 A. a ≥ 5 B.
a≤5
C. a ≥ −3
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20.（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x > 0 时， f ( x) = x （1）求 f ( x) 的解析式; （ 2）解关于 x 的不等式 f ( x) ≤
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2014-2015学年上海市控江中学高一（上）期中数学试卷一、填写题：（每小题3分，共30分）1．（3分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3}，B={2，3，4}，那么B∩（∁U A）=．2．（3分）“”是“”的条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答）3．（3分）已知函数f（x）=，若f（x）=10，则x=．4．（3分）已知a，b都是整数，命题P的否命题是“如果a，b都是奇数，则a+b 是偶数”，那么命题P的逆命题是．5．（3分）当x＜﹣1时，则的取值范围是．6．（3分）设全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B={y|y=x+2，x∈A}，则A∩B=．7．（3分）已知f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，且其定义域为[a﹣1，2a]，则a=，b=．8．（3分）已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，集合B={x|（x﹣1）（x﹣a）=0}，且A ∪B=A，则实数a=．9．（3分）若a＞0，b＜0，，则ab的最小值为．10．（3分）设实数x，y满足2≤•y≤3，1≤≤2，则使得a≤≤b恒成立的b的最小值是．二、选择题：（每小题3分，共12分）11．（3分）下列各组中的两个函数是同一函数的有（）A．f（x）=x与B．与C．与D．f1（x）=（）2与f2（x）=2x﹣512．（3分）若a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（）A．a2＜b2B．a2b＜ab2C．＜D．＜13．（3分）“a＞0，b＞0”是“”成立的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：“当f（x）＞x2成立时，总可以推出f（x+1）＞（x+1）2成立”．先给出以下四个命题：（1）若f（3）≥9，则f（4）≥16；（2）若f（3）=10，则f（5）＞25；（3）若f（5）=25，则f（4）≤16；（4）若f（x）≥（x+1）2，则f（x+1）≥x2．其中真命题的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个三、解答题：（第15题8分，第16题10分，第17题12分，第18题12分，第19题16分，共58分）15．（8分）解不等式组．16．（10分）已知函数．（1）当时，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f（x）为偶函数，求实数a的值．17．（12分）已知集合A={x|（x﹣1）[（a﹣1）x+1]＜0}，（1）若3∈A，求实数a的取值范围；（2）若a∈R，求集合A．18．（12分）已知a，b，x，y∈（0，+∞），（Ⅰ）求证：+≥，并指出等号成立的条件；（Ⅱ）利用（1）中的不等式求函数f（x）=+（x∈（0，））的最小值，并求出等号成立时的x值（必须使用（1）中的结论，否则不给分）．19．（16分）对于集合M，定义函数f M（x）=，对于两个集合M，N，定义集合M△N={x|f M（x）•f N（x）=﹣1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，16}．（Ⅰ）写出f A（1）和f B（1）的值，并用列举法写出集合A△B；（Ⅱ）用Card（M）表示有限集合M所含元素的个数．（ⅰ）求证：当Card（X△A）+Card（X△B）取得最小值时，2∈X；（ⅱ）求Card（X△A）+Card（X△B）的最小值．2014-2015学年上海市控江中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填写题：（每小题3分，共30分）1．（3分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3}，B={2，3，4}，那么B∩（∁U A）={4} ．【分析】运用补集的定义可得∁U A，再由交集的定义即可得到所求集合．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3}，B={2，3，4}，可得∁U A={4，5，6}，B∩（∁U A）={4}．故答案为：{4}．2．（3分）“”是“”的充分不必要条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答）【分析】由，解得x＜0或x＞．即可判断出结论．【解答】解：由，解得x＜0或x＞．∴“”是“”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．3．（3分）已知函数f（x）=，若f（x）=10，则x=3或﹣5．【分析】由分段函数可知，令x2+1=10，﹣2x=10，从而解得．【解答】解：令x2+1=10，解得，x=3或x=﹣3（舍去）；令﹣2x=10，解得，x=﹣5；故答案为：3或﹣5．4．（3分）已知a，b都是整数，命题P的否命题是“如果a，b都是奇数，则a+b 是偶数”，那么命题P的逆命题是如果a+b不是偶数，则a，b不都是奇数．【分析】根据命题P的否命题写出命题P，进而写出命题P的逆命题．【解答】解：已知a，b都是整数，命题P的否命题是“如果a，b都是奇数，则a+b是偶数”，则命题P为“如果a，b不都是奇数，则a+b不是偶数”，则命题P的逆命题是“如果a+b不是偶数，则a，b不都是奇数”．5．（3分）当x＜﹣1时，则的取值范围是（﹣∞，﹣6] ．【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：当x＜﹣1时，则=﹣﹣4≤﹣﹣4=﹣6，当且仅当x=﹣2时取等号．∴取值范围是（﹣∞，﹣6]．故答案为：（﹣∞，﹣6]．6．（3分）设全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B={y|y=x+2，x∈A}，则A∩B=（0，3）．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中函数的值域确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}={x|﹣2＜x＜3}=（﹣2，3），B={y|y=x+2，x∈A}={y|0＜y＜5}=（0，5），∴A∩B=（0，3），故答案为：（0，3）7．（3分）已知f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，且其定义域为[a﹣1，2a]，则a=，b=0．【分析】先由“定义域应关于原点对称”则有a﹣1=﹣2a，又f（﹣x）=f（x）恒成立，用待定系数法可求得b．【解答】解：∵定义域应关于原点对称，故有a﹣1=﹣2a，得a=．又∵f（﹣x）=f（x）恒成立，即：ax2+bx+3a+b=ax2﹣bx+3a+b∴b=0．故答案为：，08．（3分）已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，集合B={x|（x﹣1）（x﹣a）=0}，且A ∪B=A，则实数a=1或2．【分析】求出集合A，由A∪B=A，得B⊆A，由此能求出实数a．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣3x+2=0}={1，2}，集合B={x|（x﹣1）（x﹣a）=0}，且A∪B=A，∴B⊆A，∴a=1或a=2．故答案为：1或2．9．（3分）若a＞0，b＜0，，则ab的最小值为﹣3．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a＞0，b＜0，，∴1≥2，化为：ab≥﹣3，当且仅当a=2，b=﹣时取等号．则ab的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．10．（3分）设实数x，y满足2≤•y≤3，1≤≤2，则使得a≤≤b恒成立的b的最小值是4．【分析】通过对2≤•y≤3变形可得≤≤，利用1≤≤2可得1≤≤16，两者相乘即得结论．【解答】解：∵2≤•y≤3，∴4≤x•y2≤9，∴≤≤，∵1≤≤2，∴1≤≤16，∴1•≤•≤16•，即≤≤4，故答案为：4．二、选择题：（每小题3分，共12分）11．（3分）下列各组中的两个函数是同一函数的有（）A．f（x）=x与B．与C．与D．f1（x）=（）2与f2（x）=2x﹣5【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．【解答】解：对于A，f（x）=x的定义域为R，g（x）==x的定义域为R，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于B，f（x）==（x≥1），与g（x）=（x≤﹣1或x≥1）的定义域不同，不是同一函数；对于C，f（x）==的定义域为{x|x≠0}，与g（x）=的定义域R不同，不是同一函数；对于D，f（x）==2x﹣5的定义域为{x|x≥}，g（x）=2x﹣5的定义域为R，两函数的定义域不同，不是同一函数．故选：A．12．（3分）若a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（）A．a2＜b2B．a2b＜ab2C．＜D．＜【分析】A．取a=﹣3，b=1，即可否定；B．ab＞0时，则ab（a﹣b）＞0，即可否定；C．a，b为非零实数，且a＜b，可得，化为．D．取a=﹣2，b=1，即可否定．【解答】解：A．取a=﹣3，b=1，则a2＜b2不成立；B．ab＞0时，则ab（a﹣b）＞0，∴a2b＞ab2；C．∵a，b为非零实数，且a＜b，∴，化为．D．取a=﹣2，b=1，则．综上可得：只有C正确．故选：C．13．（3分）“a＞0，b＞0”是“”成立的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】“a＞0，b＞0”⇒“”，反之不成立，例如a=b=0时．【解答】解：“a＞0，b＞0”⇒“”，反之不成立，例如a=b=0时．∴“a＞0，b＞0”是“”成立的充分不必要条件．故选：A．14．（3分）设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：“当f（x）＞x2成立时，总可以推出f（x+1）＞（x+1）2成立”．先给出以下四个命题：（1）若f（3）≥9，则f（4）≥16；（2）若f（3）=10，则f（5）＞25；（3）若f（5）=25，则f（4）≤16；（4）若f（x）≥（x+1）2，则f（x+1）≥x2．其中真命题的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由已知中f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：“当f（x）＞x2成立时，总可以推出f（x+1）＞（x+1）2成立”．逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．【解答】解：由f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：“当f（x）＞x2成立时，总可以推出f（x+1）＞（x+1）2成立”．可得：（1）当x=3时，f（3）≥9，则f（4）≥16；（2）当x=3时，f（3）=10，则f（5）＞25；其逆否命题为：“当f（x+1）≤（x+1）2成立时，总可以推出f（x）≤x2成立”．（3）当x=5时，f（5）=25，则f（4）≤16；（4）若f（x）≥（x+1）2=x2+2x+1＞x2，则f（x+1）≥x2．故四个命题均正确，故选：D．三、解答题：（第15题8分，第16题10分，第17题12分，第18题12分，第19题16分，共58分）15．（8分）解不等式组．【分析】根据绝对值不等式以及方式不等式的解法求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵，∴，∴，∴2＜x≤5，故不等式的解集是（2，5]．16．（10分）已知函数．（1）当时，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f（x）为偶函数，求实数a的值．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断即可，（2）若函数f（x）为偶函数，则f（﹣x）=f（x），计算即可求出a的值．【解答】解：（1）当a=时，f（x）=|x﹣|+，则f（﹣x）=|﹣x﹣|+≠f（x），f（﹣x）=|﹣x﹣|+≠﹣f（x），∴f（x）为非奇非偶函数，（2）∵函数f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴|﹣x﹣a|+=|x﹣a|+，即|x+a|=|x﹣a|，解得a=0．17．（12分）已知集合A={x|（x﹣1）[（a﹣1）x+1]＜0}，（1）若3∈A，求实数a的取值范围；（2）若a∈R，求集合A．【分析】（1）把3代入求出a的范围即可，（2）对a进行分类讨论即可求出不等式的解集..【解答】解：（1）∵3∈A∴（3﹣1）[3（a﹣1）+1]＜0，解得a＜，（2）∵（x﹣1）[（a﹣1）x+1]＜0，当a=1时，解得x＜1，即A=（﹣∞，1）；当a＞1时，解得﹣＜x＜1，即A=（，1）；当0＜a＜1时，解得x＞或x＜1，即A=（﹣∞，1）∪（，+∞），当a=0时，解得x≠1，即A=（﹣∞，1）∪（1，+∞），当a＜0时，解得x＞1或x＜，即A=（﹣∞，）∪（1，+∞）．18．（12分）已知a，b，x，y∈（0，+∞），（Ⅰ）求证：+≥，并指出等号成立的条件；（Ⅱ）利用（1）中的不等式求函数f（x）=+（x∈（0，））的最小值，并求出等号成立时的x值（必须使用（1）中的结论，否则不给分）．【分析】（Ⅰ）判断+﹣的符号，得到大小关系；（Ⅱ）对f（x）变形，利用基本你打算求之．【解答】解：（Ⅰ）+﹣=…（3分）∵a，b，x，y∈（0，+∞），∴xy（x+y）＞0，（ay﹣bx）2≥0所以+≥，…（5分）等号当且仅当ay=bx时成立．…（6分）（Ⅱ）f（x）=+==25，…（10分）等号当且仅当2（1﹣2x）=3×2x即x=∈（0，）时成立，…（11分）所以，x=时，f（x）的最小值为25．…（12分）19．（16分）对于集合M，定义函数f M（x）=，对于两个集合M，N，定义集合M△N={x|f M（x）•f N（x）=﹣1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，16}．（Ⅰ）写出f A（1）和f B（1）的值，并用列举法写出集合A△B；（Ⅱ）用Card（M）表示有限集合M所含元素的个数．（ⅰ）求证：当Card（X△A）+Card（X△B）取得最小值时，2∈X；（ⅱ）求Card（X△A）+Card（X△B）的最小值．【分析】（Ⅰ）直接利用新定义写出f A（1）和f B（1）的值，并用列举法写出集合A△B；（Ⅱ）设Card（X△A）+Card（X△B）取得最小值时，X=W，（ⅰ）利用反证法证明2∈X成立；（ⅱ）同（ⅰ）可得：4∈X且8∈X．通过a∈X且a∉A∪B，以及a∈A∪B且a∉A∩B，Card（X△A）+Card（X△B）取到最小值4．【解答】（Ⅰ）解：f A（1）=1，f B（1）=﹣1，对于两个集合M，N，定义集合M△N={x|f M（x）•f N（x）=﹣1}．A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，16}．∴A△B={1，6，10，16}．…（3分）（Ⅱ）设当Card（X△A）+Card（X△B）取到最小值时，X=W．（ⅰ）证明：假设2∉W，令Y=W∪{2}．那么Card（Y△A）+Card（Y△B）=Card（W△A）﹣1+Card（W△B）﹣1＜Card（W△A）+Card（W△B）．这与题设矛盾．所以2∈X，即当Card（X△A）+Card（X△B）取得最小值时，2∈X．…（7分）（ⅱ）同（ⅰ）可得：4∈X且8∈X．若存在a∈X且a∉A∪B，则令Z=C U{a}．那么Card（Z△A）+Card（Z△B）=Card（X△A）﹣1+Card（X△B）﹣1＜Card（X△A）+Card（X△B）．所以集合W中的元素只能来自A∪B．若a∈A∪B且a∉A∩B，同上分析可知：集合X中是否包含元素a，Card（X△A）+Card（X△B）的值不变．综上可知，当W为集合{1，6，10，16}的子集与集合{2，4，8}的并集时，Card （X△A）+Card（X△B）取到最小值4．。