北航计算流体力学第8课
北京航空航天大学空气动力学 流体的属性和流体静力学
由于气体的弹性决定于声速，因此马赫数的大 小可看成是气体相对压缩性的一个指标。 当马赫数较小时，可认为此时流动的弹性影响 相对较大，即压缩性影响相对较小（或一定速 度、压强变化条件下，密度的变化可忽略不计 ），从而低速气体有可能被当作不可压缩流动 来处理。
北京航空航天大学《空气动力学》北京市精品课
2010年版本
Folie3
1、连续介质的概念
从微观的角度而言，不论液体还是气体,其分 子与分子之间都是存在间隙的，例如海平面条 件下，空气分子的平均自由程为 l=10-8 m，大 约是空气分子平均直径的170倍。液体虽然比 气体稠密得多，但分子之间仍然有相当的距离。 因此，从微观上说，流体时一种不连续的介质。
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Folie19
4、流体的粘性
由于粘性影响，原来是均匀的气流流至平板后直 接贴着板面的一层速度降为零，称为流体与板面间 无滑移。稍外一层的气流受到层间摩擦作用速度也 下降至接近于零，但由于不紧挨板面多少有些速度， 层间的互相牵扯作用一层层向外传递，离板面一定 距离后，牵扯作用逐步消失，速度分布变为均匀。
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Folie24
4、流体的粘性
2. 当 τ ≠ 0 时， du即 0无论剪应力多小，只要存在剪
应力，流体就会发生dy变形运动，因此牛顿粘性公式可 看成是易流性的数学表达。
3、当
du dy
时0 ，τ
＝
0，即只要流体静止
或无变形，就不存在剪应力，换言之，流体不存在静
等于甚至大于 1，这时气体分子就会像雨点般稀疏的流向
物体。
Kn<=0.01 连续流
0.01<Kn<=1.0 滑移流
北航实验流体力学重点
北航研究生课程实验流体力学重点第一章：相似理论和量纲分析①流体力学相似？包括几方面内容？有什么意义？流体力学相似是指原型和模型流动中，对应相同性质的物理量保持一定的比例关系，且对应矢量相互平行。
内容包括：1.几何相似—物体几何形状相似，对应长度成比例；2.动力相似—对应点力多边形相似，同一性质的力对应成比例并相互平行 （加惯性力后，力多边形封闭）；3.运动相似—流场相似，对应流线相似，对应点速度、加速度成比例。
②什么是相似参数？举两个例子并说明其物理意义必须掌握的相似参数：Ma ，Re ，St 。
知道在什么流动条件下必须要考虑这些相似参数。
相似参数又称相似准则，是表征流动相似的无量纲特征参数 。
1.两物理过程或系统相似则所有对应的相似参数相等。
例如：假定飞机缩比模型风洞试验可以真正模拟真实飞行，则原型和模型之间所有对应的相似参数都相等，其中包括C L , C D , C M ：S V LC L 221ρ=S V DC D 221ρ=SbV MC M 221ρ=风洞试验可以测得CL, CD, CM 值，在此基础上，将真实飞行条件带入CL, CD, CM 表达式，可以求得真实飞行的升力、阻力和力矩等气动性能参数。
2.所有对应的相似参数相等且单值条件相似则两个物理过程或系统相似。
例如：对于战斗机超音速风洞试验，Ma 和Re 是要求模拟的相似参数，但通常在常规风动中很难做到。
由于对于此问题，Ma 影响更重要，一般的方案是保证Ma 相等，对Re 数影响进行修正。
;R e V pM a a RTaV L l St Vρρωμ∞∞=====Ma 为惯性力与弹性力之比，在可压缩流动中考虑。
Re 为惯性力与粘性力之比，在粘性流动中考虑。
St 为无量纲频率，在周期性流动中考虑。
另，通常风洞模型试验模拟飞行器试验要满足的主要相似参数： 超音速：Ma 和Re （需要同时考虑压缩性和粘性影响）；低速（Ma<0.3 ）：Re （压缩性影响可忽略，只考虑粘性影响）。
北航理论力学部分课件
空间力系
FR y FR z
∑F =∑ F =∑ F
∑ ∑
ix iy
iz
= 0 = 0 = 0
有三个独立的平衡方程
FR = FRx i + FRy j + FRz k = 0
FR =
F
+F
2 Ry
+F
2 Rz
=0
平面力系
FRx = FRy =
F ix = 0 F iy = 0
2010-11-27 8
理论力学
§1 - 0
力学模型与力系
•共点力系 共点力系(concurrent force system):力作用线汇交于一点的力系。 力作用线汇交于一点的力系。 共点力系 力作用线汇交于一点的力系 F1 F1
Fn
Fn
A
F2
A
F2
若共点力系中，力的作用线在同一平面内，则称为平面 若共点力系中，力的作用线在同一平面内，则称为平面 共点力系(concurrent coplanar force system)。 共点力系 。 若共点力系中，力的作用线不在同一平面内，则称为空 若共点力系中，力的作用线不在同一平面内，则称为空 间共点力系(concurrent noncoplanar force system) 。 间共点力系
§1 - 0
力学模型与力系
•刚 (rigid body)：具有质量，考虑其形状和尺寸大小，其上 刚 ) 具有质量，考虑其形状和尺寸大小， 任意两点间的距离保持不变（或距离变化可以不计）的物体。 任意两点间的距离保持不变（或距离变化可以不计）的物体。
• 特点：所研究的问题与 特点： 物体的质量和姿态有关， 物体的质量和姿态有关， 其变形可以忽略不计。 其变形可以忽略不计。
计算流体力学讲义_2008
计算流体力学目录第一章引论1.1计算流体力学及其特征1.2计算流体力学发展的历史1.3计算流体力学研究内容1.4第二章流体力学方程与模型方程2.1 流体力学基本方程2.2 模型方程及其数学性质2.3 双曲型方程初边值问题第三章有限差分数值解法3.1有限差分方法3.2差分方程3.3差分解法的理论基础3.4 差分修正方程分析3.5小扰动稳定性分析方法3.6高精度格式以及精度分析第四章有限体积等方法4.1 有限体积法4.2 其他方法介绍第五章代数方程组求解5.1高斯消去法5.2追赶法5.3迭代法5.4 其他常用方法第六章可压缩流体力学方程组差分解法6.1一维方程以及Jocobin系数矩阵6.2一维Euler方程的离散6.3其他离散方法6.4多维问题差分解法6.5粘性项的差分解法第七章可压缩流体力学方程组的差分解法7.1控制方程性质分析7.2人工压缩方法7.3非定常原始变量法求解7.4涡量—流函数法第八章渗流力学方程组求解8.1 渗流力学方程组以及方程性质8.2 单相渗流力学方程求解8.3 多相渗流力学方程组求解第九章网格生成技术9.1网格理论9.2结构网格9.3非结构网格以及混合网格第十章计算流体力学在石油工程中应用10.1计算流体力学软件介绍10.2计算流体力学软件学习10.3计算流体力学软件使用实例第一章引论（3学时）1.1 计算流体力学及其特征1.1.1 定义利用数值方法通过计算机求解描述流体运动的数学方程，揭示流体运动的物理规律，研究定常流体运动的空间物理特征和非定常流体运动的时-空物理特征1.1.2 特点：1. 扩大了研究范围，原则上可以求解如何流体力学控制方程所能描述的流体力学问题2. 可以给出比较完整的定量结果3. 数值解是离散近似解放，与精确解有误差4. 对复杂问题需要与理论分析和实验研究相结合1.1.3 先导课1. 流体力学以及高等流体力学：解决流体力学基本方程建立的问题2. 数学物理方程：解决流体力学方程的数学性质分析3. 线性代数：解决流体力学方程组的矩阵运算问题4. 计算方法或数值分析：代数方程组的求解方法计算流体力学主要解决偏微分方程组向代数方程组离散方法问题1.2 计算流体力学发展历史计算流体力学的发展：促进了流体力学问题新规律、新机理的研究，也促进了相关偏微分方程组相关理论的发展。
北航水力学第三章—流体运动学
自然界和工程实际中，流体大多数处于流动状态，流体 的流动性是流体在存在状态上与固体的最基本区别。
本章介绍研究流体运动的两种方式；以及相应的运动要素表达；迹线流线 等概念；连续性方程；有旋运动与无旋运动；环量与涡量概念
第三章 流体运动学
第一节 描述流体运动的方法
描述流体运动形态和方式：拉格朗日法和欧拉法
三元流：流动参数是三个空间坐标函数, ux ux (x, y, z,t) uy uy (x, y, z,t) uz uz (x, y, z,t)
实际流动一般都是三元流动。 三元流分析时分析起来十分复杂，一般我们设法将其简化为二元流或一元 流。简化过程中要引进修正系数，修正系数可通过实验方法来确定。
ux uy uz 0 x y z
得
uz (ux uy ) 2(x y)
z
x y
积分得
uz z
dz
2(x
y)dz
得 uz 2(x y)z c 其中，c可为某一常数，也可以是与 z 无关的某一函数 f (x, y)
所以 uz 2(x y)z f (x, y)
(3)
ux 2ln(xy)
uy
3y x
uz 4
(4) ux x2 z2 5 uy y2 z2 3
解： (1)
ux uy uz 2 11 0 x y z
满足
(2)
ux uy uz 2x y 2 y 0
x y z
三维定常流：流动参数是三个空间坐标函数，与时间无关
ux ux (x, y, z) uy uy (x, y, z) uz uz (x, y, z)
计算流体力学课件-part1
2024/2/28
19
❖Computational Fluid Dynamics
计算流体流体力学
第二讲 典型模型方程的数学性质
模型方程的概念
➢完整方程
连续方程
动量方程
能量方程
2024/2/28
20
❖Computational Fluid Dynamics
沿特征线，扰动波的幅值不变，传播速度为c
则在t>0时，传播过程如下图：
2024/2/28
27
❖Computational Fluid Dynamics
计算流体流体力学
第二讲 典型模型方程的数学性质
模型方程的特征
➢单波方程
➢c>0时，传播沿x正向 ➢C<0时，传播沿x负向 ❖扰动波以有限速度传播是双曲型方程的重要 特征（波形和波幅可能会变化，此处为什么不 变？）
如何表达初始形状三角形
如何存储数据 如何积分
数值积分，HOW？
如何显示结果
TECPLOT
尝试改变几个常数，看看结果有何变化，常数反映了什么？
2024/2/28
22Biblioteka ❖Computational Fluid Dynamics
回顾
控制方程
模型方程
➢NS ➢EULER ➢Impressible NS ➢RANS
➢单波方程可以模拟EULER方程的一些特征
2024/2/28
28
❖Computational Fluid Dynamics
计算流体流体力学
第二讲 典型模型方程的数学性质
模型方程的特征
计算流体力学简明讲义.
第一章绪论第一节计算流体力学：概念与意义一、计算流体力学概述任何流体运动的规律都是由以下3个基本定律为基础的：1）质量守恒定律；2）牛顿第二定律（力＝质量×加速度），或者与之等价的动量定理；3）能量守恒定律。
这些基本定律可由积分或者微分形式的数学方程（组）来描述。
把这些方程中的积分或者（偏）微分用离散的代数形式代替，使得积分或微分形式的方程变为代数方程（组）；然后，通过电子计算机求解这些代数方程，从而得到流场在离散的时间/空间点上的数值解。
这样的学科称为计算流体（动）力学（Computational Fluid Dynamics，以下简称CFD）。
CFD有时也称流场的数值模拟，数值计算，或数值仿真。
在流体力学基本方程中的微分和积分项中包括时间/空间变量以及物理变量。
要把这些积分或者微分项用离散的代数形式代替，必须把时空变量和物理变量离散化。
空间变量的离散对应着把求解域划分为一系列的格子，称为单元体或控制体（mesh，cell，control volume）。
格子边界对应的曲线称为网格（grid），网格的交叉点称为网格点（grid point）。
对于微分型方程，离散的物理变量经常定义在网格点上。
某一个网格点上的微分运算可以近似表示为这个网格点和相邻的几个网格点上物理量和网格点坐标的代数关系（这时的数值方法称为有限差分方法）。
对于积分型方程，离散物理量可以定义在单元体的中心、边或者顶点上。
单元体上的积分运算通常表示为单元体的几何参数、物理变量以及相邻单元体中物理变量的代数关系（这时的数值方法称为有限体积方法和有限元方法）。
所谓数值解就是在这些离散点或控制体中流动物理变量的某种分布，他们对应着的流体力学方程的用数值表示的近似解。
由此可见，CFD得到的不是传统意义上的解析解，而是大量的离散数据。
这些数据对应着流体力学基本方程的近似的数值解。
对于给定的问题，CFD 研究的目的在于通过对这些数据的分析，得到问题的定量描述。
航空器设计中的计算流体力学应用
航空器设计中的计算流体力学应用在现代航空领域，航空器的设计是一项极其复杂且充满挑战的任务。
为了实现更高效的飞行性能、更低的燃油消耗以及更高的安全性，工程师们不断探索和应用新的技术和方法。
其中，计算流体力学（Computational Fluid Dynamics，简称 CFD）的应用成为了航空器设计中的关键工具，为航空工程带来了革命性的变化。
计算流体力学是一门通过数值计算和模拟来研究流体流动现象的学科。
在航空器设计中，它主要用于分析和预测飞行器周围的气流特性，包括空气的速度、压力、温度分布等。
通过对这些流动特性的深入了解，工程师们能够优化航空器的外形设计、改善气动性能，从而提高飞行效率和稳定性。
在航空器的外形设计方面，CFD 发挥着至关重要的作用。
传统的设计方法往往依赖于风洞试验，但风洞试验不仅成本高昂，而且在试验条件和模型尺寸等方面存在一定的限制。
相比之下，CFD 能够在计算机上快速模拟各种不同的外形设计方案，从而大大缩短了设计周期，降低了研发成本。
例如，在设计飞机的机翼时，工程师可以利用 CFD软件模拟不同的翼型、翼展、后掠角等参数对气流的影响，从而找到最优的设计方案。
通过 CFD 模拟，还可以发现机翼表面可能出现的气流分离和涡流等现象，提前采取措施加以避免或减轻，以提高机翼的升力和减小阻力。
除了外形设计，CFD 在航空器的发动机设计中也有着广泛的应用。
发动机内部的气流流动非常复杂，涉及到燃烧、传热、气体膨胀等多个过程。
通过CFD 模拟，工程师可以详细分析发动机进气道、压气机、燃烧室、涡轮等部件内的气流流动情况，优化部件的形状和结构，提高发动机的燃烧效率和推力。
同时，CFD 还可以帮助预测发动机在不同工况下的性能和可靠性，为发动机的维护和改进提供有力的支持。
在航空器的飞行性能评估方面，CFD 同样不可或缺。
飞行中的航空器会受到多种气动力的作用，如升力、阻力、俯仰力矩、偏航力矩等。
利用 CFD 可以准确计算这些气动力和力矩，从而评估航空器在不同飞行姿态、速度和高度下的性能。
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迁移方程
()()()()⎪⎩⎪⎨
⎧+∞<<∞-=>=∂∂+∂∂
, 0
0 x x F t x u a x u a t u
其通解为
)(),(at x F t x u -=
实际上二元函数
),(t x u 变成了以
at x -为自变量的一元函数.
由图可见,迁移方程的解是沿C at x =-的直线族随时间向下游传播的, C at x =-就是迁移方程的特征线, 一般用斜率形式表示特征线
a dt dx = (或a
dx dt 1=)
u
l 2
1h
h
h
l
x
t
∆t
∆t
a ∆t
a ∆2A
t a l ∆+2
1
t a l ∆+22
1
)
(x F )
(t a x F ∆-)
2(t a x F ∆-t
t
a l ∆+2t
a l ∆+l
x =-0
=-at x 2
l
at x =
-2
+n 1+n n 2
+n 1
+n n
2
+i 2
+i 1+i 1+i i
i
1-i 1
-i 2-i 2-i A
后差格式影响域
前差格式依赖域
前差格式影响域
后差格式依赖域
a
dx dt 1=a
dx dt 1=x
t
依赖域——如果求解域中某一点A 只受到上游某一区域内发生的扰动的影响，则称该区域是点A 的依赖域；
影响域——如果求解域中某一点A 上发生的扰动影响下游的某个区域，则称这个区域是点A 的影响域；
CFL 条件——双曲型方程显式格式收敛（或稳定）的必要条件是差分方程的依赖域包含原微分方程的依赖域（从而将特征线包含进去）。
CFL 条件经常被归纳为克朗数小于等于1， 即
1c ≤∆∆=x
t
a
一些常见的格式 对于迁移方程
0=∂∂+∂∂x
u a t u ()0>a (5-1) 1. Euler 显式格式
x
u u a t u u n i n i n i n i ∆--=∆--+1
1 (5-2) 其等价微分方程为:
()()()
3
33
3
2222,1612t x x
u c x a x u c x a x u a t u ∆∆+∂∂-∆-∂∂-∆=∂∂+∂∂ο 可见它是一阶精度格式.
稳定性条件是: 1≤c ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
∆∆=x t a c
2. Lax 格式
()11111
2
2n n n n n i i i i i u u u u u a
t
x
++-+--+-=-∆∆ (5-3) 其等价微分方程为
() +∂∂-∆-∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛-∆=∂∂+∂∂3
3
2
2221612x u c x a x
u c c x a x u a t u 稳定性条件是: 1≤c
比较Lax 格式和后差格式的误差大小:
()()
c c c c c
c x a c c x a +=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∆⎪⎭⎫ ⎝⎛-∆11112122
当5.0=c 时, 上式为3，Lax 格式的误差远大于后差格式.
3. 跳点格式(Leap Frog Method)
x
u u a t u u n i n i n i n i ∆--=∆--+-+221
111 (5-4)
其等价微分方程
()()
+∂∂-∆-∂∂-∆-=∂∂+∂∂55
443322112016x
u c x a x u c x a x u a t u 可见其精度为二阶.
稳定性条件:
1≤c
4. Lax-Wendroff 格式
2
1
12111222x
u u u a t x u u a t u u n i n i n i n i n i n i n i ∆+-∆+∆--=∆--+-++ (5-5) 或写成
()()n i n i n i n i n i n i n i u u u c
u u c u u 112
11122
2-+-+++-+--=
稳定性条件: 1≤c
5. MacCormack 格式 预测步 ()n i n i n i n i u u c u u 11-+--=
校正步
()[]
11
2
1++--+=i
i i n i n i
u u c u u u
或写成:
()n i n i n i n i u u c u u 11-+--=
()
1
1111+++++--=n i
n i n i n i u u c u u ()
11
2
1+++=n i n
i n i
u u u
其等价微分方程为(与L-W 格式相同
)
(5-6)
()() +∂∂-∆+∂∂-∆-=∂∂+∂∂44
23332212416x
u
c c x a x u c x a x u a t u
可见它是二阶精度格式.
6. Euler 隐式格式
x
u u a t u u n i n i n i n i ∆--=∆-+-+++21
1111 (5-7) 稳定性条件: 无条件稳定 等价微分方程为:
+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+∆-∂∂∆=∂∂+∂∂33223222632x
u
x a t a x u t a x u a t u 或
() +∂∂+∆-∂∂∆=∂∂+∂∂3
3
2
2221262x
u c x a x u t a x u a t u (一阶精度) 隐式格式形成三对角方程组(用追赶法求解)
n
i n i n i n i u u c u u c =++-++++-111112
2 7. Crank-Nicolson 格式
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∆-+∆--=∆-+-++-++x u u x u u a t u u n i n i n i n i n i n i 2221
111111 (5-8) 稳定性条件: 无条件稳定 其等价微分方程为:
+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+∆∆+∆-∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+∆-=∂∂+∂∂55442234332238024120612
x u
t a x t a x a x u x a t a x u a t u 可见它是二阶精度格式.。