北航计算流体力学第8课

迁移方程

()()()()⎪⎩⎪⎨

⎧+∞<<∞-=>=∂∂+∂∂

, 0

0 x x F t x u a x u a t u

其通解为

)(),(at x F t x u -=

实际上二元函数

),(t x u 变成了以

at x -为自变量的一元函数.

由图可见,迁移方程的解是沿C at x =-的直线族随时间向下游传播的, C at x =-就是迁移方程的特征线, 一般用斜率形式表示特征线

a dt dx = (或a

dx dt 1=)

u

l 2

1h

h

h

l

x

t

∆t

∆t

a ∆t

a ∆2A

t a l ∆+2

1

t a l ∆+22

1

)

(x F )

(t a x F ∆-)

2(t a x F ∆-t

t

a l ∆+2t

a l ∆+l

x =-0

=-at x 2

l

at x =

-2

+n 1+n n 2

+n 1

+n n

2

+i 2

+i 1+i 1+i i

i

1-i 1

-i 2-i 2-i A

后差格式影响域

前差格式依赖域

前差格式影响域

后差格式依赖域

a

dx dt 1=a

dx dt 1=x

t

依赖域——如果求解域中某一点A 只受到上游某一区域内发生的扰动的影响，则称该区域是点A 的依赖域；

影响域——如果求解域中某一点A 上发生的扰动影响下游的某个区域，则称这个区域是点A 的影响域；

CFL 条件——双曲型方程显式格式收敛（或稳定）的必要条件是差分方程的依赖域包含原微分方程的依赖域（从而将特征线包含进去）。

CFL 条件经常被归纳为克朗数小于等于1， 即

1c ≤∆∆=x

t

a

一些常见的格式 对于迁移方程

0=∂∂+∂∂x

u a t u ()0>a (5-1) 1. Euler 显式格式

x

u u a t u u n i n i n i n i ∆--=∆--+1

1 (5-2) 其等价微分方程为:

()()()

3

33

3

2222,1612t x x

u c x a x u c x a x u a t u ∆∆+∂∂-∆-∂∂-∆=∂∂+∂∂ο 可见它是一阶精度格式.

稳定性条件是: 1≤c ⎪⎭⎫ ⎝

⎛

∆∆=x t a c

2. Lax 格式

()11111

2

2n n n n n i i i i i u u u u u a

t

x

++-+--+-=-∆∆ (5-3) 其等价微分方程为

() +∂∂-∆-∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛-∆=∂∂+∂∂3

3

2

2221612x u c x a x

u c c x a x u a t u 稳定性条件是: 1≤c

比较Lax 格式和后差格式的误差大小:

()()

c c c c c

c x a c c x a +=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∆⎪⎭⎫ ⎝⎛-∆11112122

当5.0=c 时, 上式为3，Lax 格式的误差远大于后差格式.

3. 跳点格式(Leap Frog Method)

x

u u a t u u n i n i n i n i ∆--=∆--+-+221

111 (5-4)

其等价微分方程

()()

+∂∂-∆-∂∂-∆-=∂∂+∂∂55

443322112016x

u c x a x u c x a x u a t u 可见其精度为二阶.

稳定性条件:

1≤c

4. Lax-Wendroff 格式

2

1

12111222x

u u u a t x u u a t u u n i n i n i n i n i n i n i ∆+-∆+∆--=∆--+-++ (5-5) 或写成

()()n i n i n i n i n i n i n i u u u c

u u c u u 112

11122

2-+-+++-+--=

稳定性条件: 1≤c

5. MacCormack 格式 预测步 ()n i n i n i n i u u c u u 11-+--=

校正步

()[]

11

2

1++--+=i

i i n i n i

u u c u u u

或写成:

()n i n i n i n i u u c u u 11-+--=

()

1

1111+++++--=n i

n i n i n i u u c u u ()

11

2

1+++=n i n

i n i

u u u

其等价微分方程为(与L-W 格式相同

)

(5-6)

()() +∂∂-∆+∂∂-∆-=∂∂+∂∂44

23332212416x

u

c c x a x u c x a x u a t u

可见它是二阶精度格式.

6. Euler 隐式格式

x

u u a t u u n i n i n i n i ∆--=∆-+-+++21

1111 (5-7) 稳定性条件: 无条件稳定 等价微分方程为:

+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+∆-∂∂∆=∂∂+∂∂33223222632x

u

x a t a x u t a x u a t u 或

() +∂∂+∆-∂∂∆=∂∂+∂∂3

3

2

2221262x

u c x a x u t a x u a t u (一阶精度) 隐式格式形成三对角方程组(用追赶法求解)

n

i n i n i n i u u c u u c =++-++++-111112

2 7. Crank-Nicolson 格式

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∆-+∆--=∆-+-++-++x u u x u u a t u u n i n i n i n i n i n i 2221

111111 (5-8) 稳定性条件: 无条件稳定 其等价微分方程为:

+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+∆∆+∆-∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+∆-=∂∂+∂∂55442234332238024120612

x u

t a x t a x a x u x a t a x u a t u 可见它是二阶精度格式.