(完整版)《实变函数》期末复习提要

《实变函数》期末复习提要
内容包括集合、n R 中的点集、勒贝格测度、勒贝格可测函数、勒贝格积分等方面的知识。

第一章 集合
1．考核要求：
⑴了解集合的表示，子集，理解集合的并、交、差、补等概念，特别是一列集合的并与交的概念；
⑵掌握集合的运算律，会求一列简单集合的并、交以及上极限和下极限； ⑶熟练掌握证明两个集合相等的方法（互为子集）并会具体应用；
⑷了解单射、满射、双射及对等的概念，知道基数相等与大小的定义，会用伯恩斯坦定理；
⑸理解可列集的定义及等价条件（可排成无穷序列的形式），了解可列集的运算性质，理解有理点集是可列集；
⑹了解常见的连续集和连续集的运算，知道基数无最大者。

2．练习题
单元练习题
一、单项选择题
1.)\(\)\(C B A C B A = 成立的充分必要条件是（ ）．
(A) B A ⊂ (B) A B ⊂
(C) C A ⊂ (D) A C ⊂
2. A B B A = )\(成立的充分必要条件是（ ）．
(A) B A = (B) ∅=B
(C) B A ⊂ (D) A B ⊂
二、填空题
1.设)1,1(n n n n A n ++-=，则=∞= 1n n A ，=∞= 1
n n A ． 2.设)1,1(++-=n n n n A n ，则=∞= 1n n A ，=∞= 1
n n A ． 3.设]11,0(n
A n +=，则=∞→n n A lim ，=∞→n n A lim ．
4.设),2,1(,]211,0[,]1212,0[212 =+=--
=-n n
A n A n n ，则=∞→n n A lim ，=∞
→n n A lim ． 三、证明题
1.设)(x f 是1R 上的实值函数，证明对任意实数a ，有
∞
=+<≤==1
}1)({})({n n a x f a x a x f x 2.设)(x f 是1R 上的实值函数，对任意实数a ，证明：
∞=+<∈=≤∈1
11}1)(,{})(,{n n a x f R x x a x f R x x 第二章 n 维空间中的点集
1．考核要求：
⑴了解距离、收敛、邻域、孤立点、边界点、内核、导集、闭包等概念，会求简单集合的内核、导集和闭包，理解聚点的定义及其等价条件；
⑵掌握波尔查诺——维尔斯特拉斯定理的条件和结论；
⑶了解开集、闭集、完备集的定义以及开集、闭集在并、交运算之下的性质，开集与闭集互为补集，掌握直线上开集的构造；
⑷了解波雷尔有限覆盖定理、距离可达定理和隔离性定理的条件和结论；
⑸理解康托集的构造及其性质。

2．练习题
单元练习题
一、单项选择题
1.设 ∞=+=1
]11,0[n n M ，则M 是（ ）． (A) 非开非闭型集合 (B) 仅开非闭型集合
(C) 仅闭非开型集合 (D) 既开且闭型集合
2.任意多个闭集的并一定是（ ）．
(A) 闭集 (B) 开集
(C) 完备集 (D) 可测集
3.设E 是]1,0[中的无理点集，则（ ）．
(A) 1=mE (B) 0=mE
(C) E 是不可测集 (D) E 是闭集
4.设n R E ⊂，n R x ∈0，若0),(0=E x d ，则（ ）．
(A) E x ∈0 (B) E x '∈0
(C) 00E x ∈ (D) E x ∈0
二、填空题
1 设322}1|)0,,{(R y x y x B ⊂<+=，则______,0＝B _____,'＝B 。

________
=B
2 设1,...}1,...,21,1{R n A ⊂=，则0A ，'A ，_A 。

3.设n R E ⊂，n R x ∈0，如果0x 的任何邻域中都含有E 的 个点，则称0x 是E 的聚点．
4.设n R E ⊂，n R x ∈0，如果存在0x 的邻域),(0δx N ，使得),(0δx N E ，则称0x 是E 的内点．
三、证明题
1 设A 是中既开又闭的集合，证明∅=A 或1R A =。

2 设}|{Λ∈λλI 是1R 中一族开区间，如果它们的交非空，则它们的并必是开区间。

第三章 勒贝格测度
1．考核要求：
⑴理解勒贝格外测度的定义及其性质，知道可列集的测度为零，区间的测度等于其体积；
⑵理解可测集的（卡拉皆屋铎利）定义，了解可测集的充分必要条件以及可测集的运算性质；
⑶熟练掌握单调可测集列极限的测度；
⑷知道δG 型集、σF 型集以及波雷尔集的定义，了解常见的勒贝格可测集，掌握可测集同开集、闭集和可测集同δG 型集、σF 型集之间的关系。

2．练习题
单元练习题
一、单项选择题
1.设E 是任一可测集，则（ ）．
(A) E 是开集 (B) E 是闭集
(C) 对任意0>ε，存在开集E G ⊃，使ε<)\(E G m
(D) E 是有界集
2.设E 是]1,0[中的不可测子集，令⎩
⎨⎧∈-∈=E x x E x x x f \]1,0[,,)(，则在]1,0[上，（ ）． (A) )(x f 可测 (B) )(x f -可测 (C) )(x f 可测 (D) )(x f 是简单函数
3 直线上的有理点集Q 是( )
(A) 开集 (B) 闭集 (C) σF 型集
二、填空题
1.设E 是n R 中的点集，如果对任意点集T ，都有=T m * ，则称E 是勒贝格可测集．
2.设A 是n R 中坐标是有理数的点的全体，则=mA ．
三、证明题
认真完成教材第125页的证明题。

第四章 勒贝格可测函数
1．考核要求：
⑴知道点集上连续函数的定义和点集上连续函数列一致收敛的极限函数的连续性，了解函数列上、下极限的概念，理解“几乎处处”的概念；
⑵熟练掌握可测函数的定义及其等价条件，掌握可测函数的判定方法，理解可测函数关于四则运算和极限运算的封闭性、连续函数和简单函数皆可测以及可测函数可表示为简单函数列的极限；
⑶了解叶果洛夫定理，理解依测度收敛的定义，知道依测度收敛与几乎处处收敛二者互不包含，理解刻划依测度收敛和几乎处处收敛之间关系的勒贝格定理和黎斯定理，知道依测度收敛的极限函数是唯一的（把几乎处处相等的函数视为同一函数）；
⑷理解刻划可测函数同连续函数之间关系的鲁金定理（两种形式）。

3．练习题
单元练习题
一、单项选择题
1. 设0=mE ，)(x f 是E 上的任一函数，则)(x f 是E 上的（ ）．
A 连续函数
B 简单函数
C 不可测函数
D 可测函数
2.设+∞<mE ， ,)(,,)(,)(,)(21x f x f x f x f n 是E 上几乎处处有限的可测函数列，则)}({x f n 依测度收敛于)(x f 是)}({x f n 几乎处处收敛于)(x f 的（ ）．
(A) 充分条件 (B) 必要条件
(C) 充分必要条件 (D) 无关条件
二 设)(x f 是],[b a 上几乎处处有限的函数 ，并且对任何)],(,[b a ⊂βα，)(x f 是],[b a 上的可测函数。

试证：)(x f 是],[b a 上的可测函数。

第五章勒贝格积分
1．考核要求：
⑴知道测度有限集合上有界函数勒贝格积分的定义，理解测度有限集合上有界函数勒贝格可积的充分必要条件是有界可测；
⑵了解测度有限集合上有界函数勒贝格积分的简单性质，理解闭区间上有界函数黎曼可积必勒贝格可积且二者积分相等；
⑶了解一般集合上非负函数勒贝格积分存在和勒贝格可积的定义，非负函数积分存在的充分必要条件是非负可测；
⑷理解一般集合上一般函数勒贝格积分存在和勒贝格可积的定义，熟练掌握一般可测集上一般函数勒贝格积分的性质；
⑸理解积分极限定理，特别是勒贝格控制收敛定理及其应用；
⑹了解富比尼定理及其应用。

2．练习题
认真完成课后的所有作业。