全国青年数学教师优质课获奖教学设计：等比数列的前n项和 Word版含答案

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高二数学北师大版必修5教学教案1-3-2等比数列的前n项和 Word版含解析

课题：等比数列的前n 项和（第一课时）一教学目标:1.知识与技能目标:1)掌握等比数列求和公式,并能用之解决简单的问题。

2)通过对公式的推导,对学生渗透方程思想、分类讨论思想以及等价转化思想。

2过程与方法目标：通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题能力；体会公式探求中从特殊到一般的数学思想，同时渗透如上所说的多种数学思想。

3.情感与态度目标：通过公式的推导与简单应用，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质。

二教学重点：等比数列项前n 和公式的推导与简单应用。

三教学难点：等比数列n 项和公式的推导。

四教学方法：启发引导，探索发现（多媒体辅助教学）。

五教学过程：1．创设情境，导入新课：1）复习旧知，铺垫新知：（1）等比数列定义及通项公式；（2）等比数列的项之间有何特点？说明：如此设计目的是在于引导学生发现等比数列各项特点：从第二项起每一项比前一项多乘以q ，从而为“错位相减法”求等比数列前n 和埋下伏笔。

2）问题情境，引出课题：从前，一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来，但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元，第二天借给穷人2万元，以后每天所借的钱数都比上一天多一万；但借钱第一天，穷人还1分钱，第二天还2分钱，以后每天所还的钱数都是上一天的两倍，30天后互不相欠。

穷人听后觉得挺划算，但怕上当受骗，所以很为难。

请在座的同学思考一下,帮穷人出个主意.注：师生合作分别给出两个和式：①学生会求，对②学生知道是等比数列项前n 和的问题但却感到不会解！问1：能不能用等差数列求和方法去求？（不行）问2：怎么办？（用追问的方式引出课题）2．师生互动，新课探究：① 30321S 30 ++++=②T 29283230222221++++++=如何求和：注：（给学生时间让他们观察、思考）如果学生想不出来，师做必要启发：1）等式右边各项有什么特点？（等比数列30项和）2）公比是多少？（2）即：从第二项起每一项比前一项多乘以2.3）因此，如果两边……（教师语速放慢，看学生反应状况，再往下提示：把等式两边同乘以公比2）从而有： 3029432302222222++++++= T师：如何求30T ？（此处给学生充分的观察思考的时间，师不忙给出结论，让他们自己得出求解的方法：作差）注：①学生解出30T ，并与30S 比较（到底能不能向富人借钱）。

【精品学案】2018-2019学年高中数学苏教版必修5学案：2.3.3.1 等比数列的前n项和 Word版含解析

2.3.3 等比数列的前n 项和第1课时等比数列的前n 项和1．掌握等比数列前n 项和公式；能用公式解决一些简单问题．(重点) 2．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．(难点)3．不对q 分析范围而错用求和公式．(易错点)[基础·初探]教材整理1 等比数列的前n 项和公式阅读教材P 55～P 56，完成下列问题．设数列{a n }为等比数列，首项为a 1，公比为q ，则其前n 项和S n ＝⎩⎨⎧a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q ，q ≠1，na 1，q ＝1.1．在等比数列{a n }中，a 1＝2，S 3＝26，则公比q ＝________. 【解析】 ∵q ≠1，∴S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝2(1－q 3)1－q ＝26，∴q 2＋q －12＝0， ∴q ＝3或－4.【答案】3或－42．设{a n}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{a n}的前7项和为________．【解析】∵a5＝a1q4，∴q4＝24.∵q>0，∴q＝2，∴S7＝1－271－2＝127.【答案】127教材整理2等比数列前n项和的性质阅读教材P62第8题，完成下列问题．等比数列前n项和的性质(1)等比数列{a n}中，S m＋n＝S n＋q n S m＝S m＋q m S n.(2)等比数列{a n}中，若项数为2n，则S偶S奇＝q；若项数为2n＋1，则S奇－a1S偶＝q.(3)设数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和．①当q＝－1且k为偶数时，S k，S2k－S k，S3k－S2k不是等比数列；②当q≠－1或k为奇数时，数列S k，S2k－S k，S3k－S2k(k∈N*)是等比数列．在等比数列{a n}中，若S n是其前n项和，且S4＝3，S8＝9，则S12＝________.【解析】∵S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，∴3,6，S12－9成等比数列，∴3(S12－9)＝36，∴S12＝21.【答案】21[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问2：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问3：_________________________________________________解惑：_________________________________________________[小组合作型]n (1)若S n ＝189，q ＝2，a n ＝96，求a 1和n ； (2)若a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求a 4和S 5； (3)若q ＝2，S 4＝1，求S 8.【精彩点拨】利用公式S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q求解．【自主解答】 (1)由公式S n ＝a 1－a n q 1－q 及条件得189＝a 1－96×21－2，解得a 1＝3，又由a n ＝a 1·q n －1，得96＝3·2n －1，解得n ＝6.(2)设公比为q ，由通项公式及已知条件得⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q 3＋a 1q 5＝54，即⎩⎨⎧a 1(1＋q 2)＝10， ①a 1q 3(1＋q 2)＝54， ②∵a 1≠0,1＋q 2≠0，∴②÷①得， q 3＝18，即q ＝12，∴a 1＝8，∴a 4＝a 1q 3＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝1，S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝8×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝312.(3)设首项为a 1， ∵q ＝2，S 4＝1， ∴a 1(1－24)1－2＝1，即a 1＝115，∴S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝115(1－28)1－2＝17.1．等比数列的前n 项和公式和通项公式中共涉及a 1，a n ，q ，n ，S n 五个基本量，已知其中三个量，可以求出另外的两个量，我们可以简称为“知三求二”．2．已知a n 时用S n ＝a 1－a n q 1－q 较简便，而S n ＝a 1(1－q n )1－q 在将已知量表示为最基本元素a 1和q 的表达式中发挥着重要作用．[再练一题]1．求下列等比数列前8项的和． (1)12，14，18，…； (2)a 1＝27，a 9＝1243，q <0.【导学号：91730041】【解】 (1)因为a 1＝12，q ＝12，所以S 8＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1281－12＝255256. (2)由a 1＝27，a 9＝1243，可得1243＝27·q 8. 又由q <0，可得q ＝－13. 所以S 8＝27⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1381－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1 64081.在等比数列{a n }中，若前10项的和S 10＝10，前20项的和S 20＝30，求前30项的和S 30.【精彩点拨】法一：由⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10，S 20＝30列方程组求得q 值，整体代换求S 30；法二：利用前n 项和的性质，连续10项之和成等比数列，求S 30.【自主解答】法一：设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，显然q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 10)1－q＝10，a 1(1－q 20)1－q＝30，两式相除得1＋q 10＝3，∴q 10＝2. ∴S 30＝a 1(1－q 30)1－q ＝a 1(1－q 10)1－q (1＋q 10＋q 20)＝10×(1＋2＋4)＝70.法二：∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20仍成等比数列，又∵S 10＝10，S 20＝30，∴S 30－30＝(30－10)210，即S 30＝70.要注意等比数列前n 项和性质的使用条件，条件不具备时，性质不一定成立，如S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…满足(S 2m －S m )2＝S m ·(S 3m －S 2m )，但S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 不一定成等比数列，只有在一定的限制条件下才成等比数列．[再练一题]2．(1)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________.(2)等比数列 {a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.【解析】 (1)设公比为q ，则S 6S 3＝(1＋q 3)S 3S 3＝1＋q 3＝3，所以q 3＝2，于是S 9S 6＝1＋q 3＋q 61＋q 3＝1＋2＋41＋2＝73. (2)S 奇＝－80，S 偶＝－160，∴q ＝S 偶S 奇＝2.【答案】 (1)73 (2)2[探究共研型]【提示】所谓“复利”，即把上期的本利和作为下一期的本金．如把a 万元现金存入银行，按年息P %计算，n 年后的本利和为a (1＋P %)n －1万元．探究2 “分期付款”是怎么一回事？【提示】(1)分期付款为复利计息，每期付款数相同，且在期末付款；(2)到最后一次付款时，各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和．借贷10 000元，以月利率为1%，每月以复利计算借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051)【精彩点拨】结合分期付款的定义求解本题．【自主解答】一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104·(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝a[(1＋0.01)6－1]1.01－1＝a[1.016－1]×102(元)．由S1＝S2，得a＝1.016×1021.016－1.∵1.016＝1.061，∴a≈1 739.故每月应支付1 739元．解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S 代表本利和．[再练一题]3．在一次人才招聘会上，A ，B 两家公司分别开出的工资标准：A 公司允诺第一年月工资为1 500元，以后每一年月工资比上一年月工资增加230元；B 公司允诺第一年月工资为2 000元，以后每年月工资在上一年月工资基础上递增5%.设某人年初被A ，B 两家公司同时录取，试问：(1)若该人分别在A 公司或B 公司连续工作n 年，则他在第n 年的月工资收入分别是多少？(2)该人打算在一家公司连续工作10年，仅从工资收入总量作为应聘标准(不计其他因素)，该人应该选择哪家公司？为什么？【解】 (1)设该人在A ，B 两家公司第n 年的月工资分别为a n ，b n . 由已知，得{a n }构成等差数列，以1 500为首项，230为公差，a n ＝230n ＋1 270.{b n }构成等比数列，以2 000为首项，以(1＋5%)为公比，b n ＝2 000(1＋5%)n－1.(2)若该人在A 公司连续工作10年，则他的工资收入总额为S 10＝12(a 1＋a 2＋…＋a 10)＝12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤10×1 500＋10(10－1)2×230＝304 200(元)；若该人在B 公司连续工作10年，则他的工资收入总额为S ′10＝12(b 1＋b 2＋…＋b 10)＝12×2 000(1－1.0510)1－1.05≈301 869(元)．由于在A 公司总收入多，因此该人应选择A 公司．[构建·体系]1．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 5＝－2，a 8＝16，则S 6等于________.【导学号：91730042】【解析】 ∵q 3＝a 8a 5＝(－2)3，∴q ＝－2，∴a 1＝(－2)×(－2)－4＝(－2)－3， ∴S 6＝(－2)－3[1－(－2)6]1－(－2)＝218.【答案】 2182．等比数列的公比为2，前4项之和等于10，则前8项之和等于________．【解析】 ∵(S 8－S 4)∶S 4＝24＝16， ∴(S 8－10)∶10＝16， ∴S 8＝170. 【答案】 1703．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和为________米(结果保留到个位)．【解析】小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝ ⎛⎭⎪⎫128＝2993964≈300(米)．【答案】 3004．(2015·安徽高考)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．【解析】设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q 3＝9，a 21·q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎨⎧a 1＝8，q ＝12.又{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，∴S n ＝1－2n 1－2＝2n －1.【答案】 2n －15．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，求数列的公比q . 【解】当q ＝1时，S n ＝na 1， ∴S 3＋S 6＝3a 1＋6a 1＝9a 1＝S 9≠2S 9；当q ≠1时，a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2×a 1(1－q 9)1－q ，得2－q 3－q 6＝2－2q 9，∴2q 9－q 6－q 3＝0，解得q 3＝－12，或q 3＝1(舍去)，∴q ＝－342.我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和S 10＝________.【解析】因为3a n ＋1＋a n ＝0，所以a n ＋1a n＝－13，所以数列{a n }是以－13为公比的等比数列．因为a 2＝－43，所以a 1＝4，所以S 10＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101＋13＝3(1－3－10)．【答案】 3(1－3－10)2．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.【导学号：91730043】【解析】因为a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，且数列{a n }是递增的等比数列，所以a 1＝1，a 3＝4，q ＝2，所以S 6＝1－261－2＝63.【答案】 633．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________．【解析】易知公比q ≠1.由9S 3＝S 6，得9·a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 6)1－q ，解得q ＝2.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，∴其前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116. 【答案】 31164．已知等比数列的前n 项和S n ＝4n ＋a ，则a ＝______. 【解析】 ∵S n ＝Aq n －A ，∴a ＝－1. 【答案】－15．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝________. 【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝a 1q ＋10a 1，a 1q 4＝9，解得⎩⎨⎧q 2＝9，a 1＝19，所以a 1＝19. 【答案】196．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝3116，a 3＝14，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a4＋1a 5＝________. 【解析】设数列{a n }的公比为q ，则3116＝a 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1q 2＋1q ＋1＋q ＋q 2∴1q 2＋1q ＋1＋q ＋q 2＝314， ∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＋1a 5＝1a 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1q 2＋1q ＋1＋q ＋q 2＝31.【答案】 317．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．【解析】每天植树的棵树构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.由2n ＋1－2≥100，得2n ＋1≥102.由于26＝64,27＝128，则n ＋1≥7，即n ≥6.【答案】 68．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________．【解析】由题意可知，q ≠1， ∴S n ＝a 1(1－q n )1－q.又∵S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列， ∴2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2，即2－2q n ＝2－q n ＋1－q n ＋2，即2＝q ＋q 2，∴q ＝－2(q ＝1不合题意舍去)．【答案】－2 二、解答题9．已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n2；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．【解】 (1)证明：因为a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝13n ，S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝1－13n 2，所以S n ＝1－a n2.(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2. 所以{b n }的通项公式为b n ＝－n (n ＋1)2.10．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增长14.设n 年内(本年度为第1年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ，b n 的表达式．【解】第1年投入800万元，第2年投入800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15万元，…，第n 年投入800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15n －1万元，所以，总投入a n ＝800＋800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＋…＋800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15n －1＝4 000×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n (万元)．同理，第1年收入400万元，第2年收入400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14万元，…，第n 年收入400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14n －1万元．所以，总收入b n ＝400＋400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14＋…＋400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14n －1＝1 600×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1.[能力提升]1．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n －1, 则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于________．【解析】∵S n ＝a 1(1－q n)1－q，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 11－q ＝－1，q ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝1，∵{a n }为等比数列，∴{a 2n }也为等比数列，∴a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝1×(1－4n)1－4＝13(4n－1)．【答案】 13(4n －1)2．等比数列1，a ，a 2，a 3，…(a ≠0)的前n 项和S n ＝________.【导学号：91730044】【解析】当a ＝1时，S n ＝n ；当a ≠1时，S n ＝1－an1－a .即S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (a ＝1)，1－an 1－a(a ≠1).【答案】⎩⎨⎧n (a ＝1)，1－a n 1－a(a ≠1)3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．【解析】由已知4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)， ∴a 2＝3a 3，∴{a n }的公比q ＝a 3a 2＝13.【答案】 134．已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n≤136(n ∈N *)．【解】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1×32n .(2)证明：S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，S n ＋1S n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝⎩⎨⎧2＋12n (2n＋1)，n 为奇数，2＋12n(2n－1)，n 为偶数，当n 为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n≤S 1＋1S 1＝136.当n 为偶数时， S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n≤S 2＋1S 2＝2512.故对于n ∈N *，有S n ＋1S n≤136.。

(新教材学案)5.3.2.1等比数列的前n项和Word版含解析

5.3.2 等比数列的前n 项和新版课程标准学业水平要求1.探索并掌握等比数列的前n 项和公式,理解等比数列的通项公式与前n 项和公式的关系2.能在具体问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题1.借助教材实例了解等比数列前n 项和公式的推导过程.(数学运算)2.借助教材掌握a 1,a n ,q,n,S n 的关系.(数学运算)3.掌握等比数列的前n 项和公式、性质及其应用.(数学运算)4.能利用等比数列的通项公式、前n 项和公式解决实际问题,能解决数列求和等相关问题.(数学运算、数学建模)第1课时等比数列的前n 项和必备知识·素养奠基等比数列的前n 项和公式q=1 na 1q ≠1a 1,q,n S n =a 1,q,a n S n =对于等比数列的前n 项和S n ==一定成立吗? 提示:不一定,当q=1时不成立.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)若等比数列的首项a1=1,公比为2,则前n项和S n=. ( )(2)已知等比数列的a1,q,a n,则S n=. ( )(3)等比数列1,-1,1,-1,…的前n项和等于0. ( )提示:(1)×.S n=.(2)×.S n=.(q≠1)(3)×.S n==.2.已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n,S4=3(a1+a2),则公比q的值为( )A.2B.C.D.【解析】选D.因为S4=3(a1+a2),所以q≠1.所以=3a1(1+q),化为q2=2,解得q=(负值舍去).3.在等比数列{a n}中,a2=1,a5=8,则数列{a n}的前n项和S n=________. 【解析】因为a2=1,a5=8,所以a5=a2q3,即q3==8,即q=2,首项a1=,则数列{a n}的前n项和S n==2n-1-.答案:2n-1-关键能力·素养形成类型一等比数列前n项和的计算【典例】1.(2020·福州高二检测)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,若a2+a4=2(a1+a3),且a1a3a5=512,则S10= ( )A.1022B.2046C.2048D.40942.设S n是等比数列{a n}的前n项和,若S3=6,S6=54,则a1=________. 【思维·引】1.利用已知项的关系解出a1和q代入公式求S10.2.先求出数列的公比,代入前n项和公式求首项.【解析】1.选B.由等比数列的性质可知,a1a3a5==512,所以a3=8,因为a2+a4=2(a1+a3),所以+8q=2,整理可得,q3+q=2(1+q2),所以q=2,a1=2,S10==2 046.2.因为S3==6,S6==54,所以=1+q3=9,解得q3=8,则q=2,所以=6,解得a1=.答案:【内化·悟】本例2中的消元方法是什么?有什么优点?提示:利用两式相除消元,消去a1的同时起到了降低次数的作用.【类题·通】等比数列前n项和的运算技巧(1)注意考查条件,公比为1时是否成立.(2)涉及的基本量有a1,q,n,a n,S n共五个,“知三求二”,常常列方程组来求解.(3)消元解方程组的过程中,常常用到两式相除、整体代入的方法. 【习练·破】1.(2020·全国Ⅱ卷)记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则= ( )A.2n-1B.2-21-nC.2-2n-1D.21-n-1【解析】选B.设等比数列的公比为q,由a5-a3=12,a6-a4=24可得:⇒,所以a n=a1q n-1=2n-1,S n===2n-1,因此==2-21-n.2.(2020·吉林高二检测)已知数列{a n}是等比数列,其前n项和为S n,a1=,6=a6,则S5=________.【解析】设等比数列{a n}的公比为q.因为a1=,6=a6,所以6×=q5,解得,q=2,则S5==.答案:【加练·固】(2020·株洲高二检测)记S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=,=a6,则S4=________.【解析】设等比数列{a n}的公比为q.因为a1=,=a6,所以=q5,解得,q=2,则S4==.答案:类型二等比数列前n项和的实际应用【典例】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行数里,请公仔细算相还”.其意思为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”,请问从第几天开始,走的路程少于30里( ) A.3B.4C.5D.6【思维·引】首先判断数列类型,其次确定数列的基本量计算.【解析】选B.此人每天走的步数构成以为公比的等比数列,所以=378,解得a1=192,所以a n=192×=384×,因为384×<30,所以2n>12.8,经验证可得n≥4,即从第4天开始,走的路程少于30里.【内化·悟】从本例条件中可以提取哪些等比数列的基本量?提示:S n=378,q=,n=6.【类题·通】解答数列应用问题的方法(1)判断、建立数列模型①变化“量”是同一个常数:等差数列;②变化“率”是同一个常数:等比数列.(2)提取基本量从条件中提取相应数列的基本量a1,q(d),n,a n,S n,列出方程(组)求解.【习练·破】(2020·汕尾高二检测)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还,他们各应偿还多少?该问题中,1斗为10升,则羊主人应偿还多少升粟? ( )A. B. C. D.【解析】选C.设牛、马、羊所吃禾苗分别为a1,a2,a3,则{a n}是公比为的等比数列,所以S3==50,解得a1=,所以羊主人应偿还:a3=×=升粟.类型三等比数列前n项和的简单性质角度1 前n项和公式的函数特征【典例】已知等比数列{a n}的前n项和S n=λ·3n-1-1(λ∈R),则= ( )A.B.3C.6D.9【思维·引】利用前n项和公式的结构特征求出λ及公比,再利用S n 的表达式计算;也可由S n表示出a1,a2,a3后求λ及公比,再利用S n的表达式计算.【解析】选D.方法一:S n=λ·3n-1-1=·3n-1,所以=1,λ=3且q=3,又a1=S1=3·3n-1-1=2,==9;方法二:等比数列{a n}满足S n=λ·3n-1-1,当n=1时,有a1=S1=λ-1,有a2=S2-S1=(3λ-1)-(λ-1)=2λ,a3=S3-S2=(9λ-1)-(3λ-1)=6λ,则有6λ×(λ-1)=(2λ)2,解可得λ=3或0(舍),首项a1=2,则==9.【素养·探】等比数列的前n项和公式实质是关于n的函数,再利用其结构特征可以确定系数之间的关系,这用到了核心素养中的数学抽象.将本例中的条件变为“S n=3×2n+a”,则S5=________.【解析】数列{a n}是等比数列,①若q=1,显然S n=3×2n+a,不成立.②故数列{a n}的公比q≠1,所以S n==-q n+,故q=2,=-3,故a=-3.所以S5=3×25-3=93.答案:93角度2 前n项和的性质【典例】设等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9= ( )A.B.-C. D.【思维·引】利用S3,S6-S3,S9-S6的关系求值.【解析】选A.方法一:由等比数列前n项和的性质知S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,又a7+a8+a9=S9-S6,则S3,S6-S3,a7+a8+a9成等比数列,从而a7+a8+a9==.方法二:因为S6=S3+S3q3,所以q3==-,所以a7+a8+a9=S9-S6=S3q6=8×=.【类题·通】1.等比数列前n项和公式的特征数列{a n}是非常数数列的等比数列⇔S n=-Aq n+A(A≠0,q≠0,1,n∈N+).即指数式的系数与常数项互为相反数,其中A=.2.等比数列前n项和公式的性质等比数列的前n项和为S n,则S n,S2n-S n,S3n-S2n仍成等比数列.【习练·破】(2020·重庆高二检测)已知公比不为1的正项等比数列{a n}的前n 项和,前2n项和,前3n项和分别为A,B,C,则( )A.A+C>2BB.AC<B2C.AC>B2D.A+C<2B【解析】选B.设等比数列{a n}的公比为q,则B=A+Aq n,C=A+Aq n+Aq2n,则AC=A2(1+q n+q2n),B2=A2(1+2q n+q2n),又q>0,故AC<B2.A+C-2B=+-2·=-=,当q>1时A+C>2B,当0<q<1时A+C<2B,故A,C 不正确.【加练·固】一个等比数列的首项是1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求此数列的公比和项数.【解析】因为S偶=a2+a4+…+a2n=a1q+a3q+…+a2n-1q=(a1+a3+…+a2n-1)q=S奇·q.所以q===2.又S n=85+170=255,据S n=,得=255,所以2n=256,所以n=8.即公比q=2,项数n=8.课堂检测·素养达标1.等比数列1,a,a2,a3,…的前n项和为( )A.1+B.C. D.以上都不对【解析】选D.当a=1时,S n=n.2.在等比数列{a n}中a1+a2=1,a4+a5=27,则{a n}的前5项和为( )A.29B.C.30D.【解析】选D.设等比数列{a n}的公比为q,则,解得,因此,数列{a n}的前5项和S5===.3.数列{2n-1}的前99项和为( )A.2100-1B.1-2100C.299-1D.1-299【解析】选C.数列{2n-1}为等比数列,首项为1,公比为2,故其前99项和为S99==299-1.4.已知首项为3的等比数列{a n}的前n项和为S n,若2S2=S3+S4,则a2020的值为________.【解析】设等比数列{a n}的公比为q.因为a1=3,2S2=S3+S4,当q=1时显然不成立,故q≠1,所以=+,整理可得,q2+q-2=0,解得,q=-2或q=1(舍),则a2 020=3×(-2)2 019=-3×22 019.答案:-3×22 019【新情境·新思维】已知等比数列{a n}的各项均为正数,设其前n项和为S n,若a n a n+1=4n(n∈N+),则S5= ( )A.30B.31C.15D.62【解析】选B.因为等比数列{a n}的各项均为正数,且a n a n+1=4n(n∈N+),所以a1a2=4,a2a3=16,且q>0,a1>0,解得q=2,a1=,所以S5==31.。

等比数列的前n项和公式学案(含答案)

第四章数列4.3.2 等比数列的前n 项和公式学案一、学习目标1. 理解等比数列的前n 项和公式的推导方法；2. 掌握等比数列的前n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题. 二、基础梳理1.等比数列的前n 项和公式：当1q ≠时， ()11(1)1n n a q S q q-=≠-或1(1)1n n a a qS q q-=≠-. 2.等比数列的前n 项和的性质（1）当q =1时，n m s m s n =，当1q ≠±时，11nn mm s q s q-=-. （2）m n n m m n n m s s q s s q s +=+=+.（3）设s 偶与s 奇分别是偶数项的和与奇数项的和，若项数为2n ，则s q s =偶奇，若项数为2n +1，则1s a q s -=奇偶.（4）当1q ≠-时，连续m 项的和（232m m m m m s s s s s --⋅⋅⋅，，，）仍成等比数列，公比为2m q m ≥，，注意：连续m 项的和必须非零才能成立. 三、巩固练习1.已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，正项等比数列{}n b 满足1134,1b a b a ==+，则使61n b S +≥成立的n 的最大值为( ) A.5B.6C.7D.82.已知数列{}n a 为等比数列，11a =，2q =，且第m 项至第()n m n <项的和为112，则m n +的值为( ) A.11B.12C.13D.143.记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知{}n a 和{}n S k - (k 为常数)均为等比数列,则k 的值可能为( )A.1aB.2aC.3aD.13a a +4.5个数依次组成等比数列,且公比为2-,则其中奇数项和与偶数项和的比值为( ) A.2120-B.2-C.2110-D.215-5.已知n S 是等比数列{}n a 的前 n 项和,若存在*m ∈N ,满足22519,1m m mm S a m S a m +==-,则数列{}n a 的公比为( ) A.2-B.2C.3-D.36.已知等比数列{}n a 的公比2q =,前100项的和10090S =,则246100a a a a ++++=( )A.15B.30C.45D.607.（多选）已知等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，且满足11a >，9910010a a ->，99100101a a -<-，则以下结论正确的是( ) A.01q << B.9910110a a -<C.100T 的值是n T 中最大的D.使1n T >成立的最大正整数数n 的值为1988. （多选）设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件11a >，201920201a a ⋅>，20192020101a a -<-，则下列结论中正确的是( ) A.20192020S S <B.2019202110S S ⋅-<C.2019T 是数列{}n T 中的最大值D.数列{}n T 无最大值答案以及解析1.答案：D解析：设等比数列{}n b 的公比为q ，由题意可知当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-；当1n =时，112a S ==，2,1,21,2,n n a n n =⎧∴=⎨-≥⎩213412,18b b a b q ∴==+==. 0n b >，2,2n n q b ∴=∴=，66264b ∴==，2651n ∴≥+，8n ∴≤，∴n 的最大值为8，故选D.2.答案：B解析：由已知，得()()11121121121212n m -⨯-⨯--=--，即()11422127m n m --+⋅-=⨯，则14122217m n m --+⎧=⎨-=⎩，解得57m n =⎧⎨=⎩，所以12m n +=，故选B. 3.答案：C解析：若公比1q =,则{}1,n n S k na k S k -=--不可能为等比数列,因此1q ≠,此时1111111n nn a q a q S k a k k q q q ⎛⎫---=-=+- ⎪---⎝⎭,只需101a k q -=-即可.A 选项,{}1n S a -的首项为0,不满足题意；B 选项, 1211011a a a q q q ⎛⎫-=-=⎪--⎝⎭,即211300124q q q ⎛⎫-=⇒-+= ⎪-⎝⎭不成立；C 选项,21311011a a a q q q ⎛⎫-=-= ⎪--⎝⎭,即23210101q q q q -=⇒-+=-,该方程必然有解,成立；D 选项,()2113111011a a a a q q q ⎛⎫-+=--= ⎪--⎝⎭,即()221101001q q q q q q--=⇒-+=⇒=-,不成立. 4.答案：C解析：由题意可设这5个数分别为,2,4,8,16a a a a a --,其中0a ≠,故奇数项和与偶数项和的比值为416212810a a a a a ++=---,故选C.5.答案：B解析：设数列{}n a 的公比为 q ,若1q =,则22mmS S =,与题中条件矛盾,故1q ≠.()()21211119,811m m mm m m a q S q q q S a q q--==+=∴=--.2132111518,3,8,21m m m m m a a q m q m q q a a q m --+====∴=∴=∴=-. 6.答案：D 解析：1001210090S a a a =+++=,设1399S a a a =+++,则241002S a a a =+++,100290,30S S S S ∴+==∴=,故24100260a a a S +++==.故选D.7.答案：ABD解析：9910010a a ->，991001a a ∴>，0q ∴>.99100101a a -<-，()()99100110a a ∴--<，又11a >，01q ∴<<.故A 正确.由A 选项的分析可知991a >，10001a <<，2991011001a a a ∴=<，9910110a a ∴-<，1009910099T T a T =<，故B 正确，C 不正确.()()()()99198121981198219799100991001T a a a a a a a a a a a ===>，()()()1991991219819911992198991011001001T a a a a a a a a a a a a ===<，∴使1n T >成立的最大正整数数n 的值为198，故D 正确. 8.答案：AC解析：由题意，得20191a >，202001a <<，所以01q <<，等比数列{}n a 是各项都为正数的递减数列，即122019202010a a a a >>>>>>>.因为2020201920200S S a -=>，所以20192020S S <，故A 正确；因为20191220191S a a a =+++>，所以()()22201920212019201920202021201920192020202120191S S S S a a S S a a S ⋅=⋅++=+⋅+>>，即2019202110S S ⋅->，故B 错误；根据122019202010a a a a >>>>>>>，可知2019T 是数列{}n T 中的最大项，故C 正确，D 错误.故选AC.。

数学讲义：第2章 2.3 2.3.2 第1课时等比数列的前n项和 Word版含答案

2.3.2 等比数列的前n 项和第1课时等比数列的前n 项和等比数列的前n 项和公式思考：等比数列求和应注意什么？ [提示] 公比q 是否等于1.1．在公比为整数的等比数列{a n }中，a 1－a 2＝3，a 3＝4，则{a n }的前5项和为( )A ．10B ．212 C ．11D ．12C [设公比为q (q ∈Z )，则a 1－a 2＝a 1－a 1q ＝3，a 3＝a 1q 2＝4，求解可得q ＝－2，a 1＝1，则{a n }的前5项和为1－(－2)51－(－2)＝11.]2．已知等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 3a 2＝( )A ．3B ．4C ．72D ．132C [易知等比数列{a n }的首项为a 1，则S 3a 2＝a 1(1－23)1－2a 1×2＝72.]3．在等比数列{a n }中，a 1＝2，S 3＝26，则公比q ＝________.3或－4 [∵S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝2(1－q 3)1－q ＝26，∴q 2＋q －12＝0，∴q ＝3或－4.]4．等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝44，则a 1＝________. 4 [由S 5＝a 1[1－(－2)5]1－(－2)＝44，得a 1＝4.]n (1)若q ＝2，S 4＝1，求S 8；(2)若a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求a 4和S 5. [解] (1)法一：设首项为a 1， ∵q ＝2，S 4＝1，∴a 1(1－24)1－2＝1，即a 1＝115，∴S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝115(1－28)1－2＝17.法二：∵S 4＝a 1(1－q 4)1－q＝1，且q ＝2，∴S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝a 1(1－q 4)1－q(1＋q 4)＝S 4·(1＋q 4)＝1×(1＋24)＝17.(2)设公比为q ，由通项公式及已知条件得⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q 3＋a 1q 5＝54.即⎩⎨⎧a 1(1＋q 2)＝10， ①a 1q 3(1＋q 2)＝54， ②∵a 1≠0,1＋q 2≠0，∴②÷①得，q 3＝18，即q ＝12， ∴a 1＝8.∴a 4＝a 1q 3＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝1，S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝8×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝312.1．解答关于等比数列的基本运算问题，通常是利用a 1，a n ，q ，n ，S n 这五个基本量的关系列方程组求解，而在条件与结论间联系不很明显时，均可用a 1与q 列方程组求解．2．运用等比数列的前n 项和公式要注意公比q ＝1和q ≠1两种情形，在解有关的方程组时，通常用两式相除约分的方法进行消元．1．在等比数列{a n }中，其前n 项和为S n . (1)S 2＝30，S 3＝155，求S n ； (2)已知S 4＝1，S 8＝17，求a n .[解] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝30，a 1(1＋q ＋q 2)＝155，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝5，q ＝5或⎩⎨⎧a 1＝180，q ＝－56，从而S n ＝14×5n ＋1－54或S n ＝1 080×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56n 11.(2)设{a n }的公比为q ，由S 4＝1，S 8＝17知q ≠1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 4)1－q＝1， ①a 1(1－q 8)1－q ＝17， ②①÷②得 11＋q4＝117，解得q ＝±2，所以⎩⎨⎧a 1＝115，q ＝2或⎩⎨⎧a 1＝－15，q ＝－2.所以a n ＝2n －115或a n ＝(－1)n ×2n －15.笫二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元(1.016≈1.061,1.015≈1.051)?[解] 法一：设每个月还贷a 元，第1个月后欠款为a 0元，以后第n 个月还贷a 元后，还剩下欠款a n 元(1≤n ≤6)，则a 0＝10 000，a 1＝1.01a 0－a ，a 2＝1.01a 1－a ＝1.012a 0－(1＋1.01)a ， …a 6＝1.01a 5－a ＝…＝1.016a 0－(1＋1.01＋…＋1.015)a ．由题意，可知a 6＝0，即1.016a 0－(1＋1.01＋…＋1.015)a ＝0，a ＝1.016×1021.016－1.因为1.016≈1.061，所以a ≈1.061×1021.061－1≈1 739(元)．故每月应支付1 739元．法二：一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S 1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．另一方面，设每个月还货a 元，分6个月还清，到货款还清时，其本利和为S 2＝a (1＋0.01)5＋a (1＋0.01)4＋…＋a ＝a [(1＋0.01)6－1]1.01－1＝a (1.016－1)×102(元)．由S 1＝S 2，得a ＝1.016×1021.016－1≈1 739(元)．故每月应支付1 739元．解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S ＝P (1＋r )n ，其中P 代表本金，n 代表存期，r 代表利率，S 代表本利和．2．一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？[解] 用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度，由题意，得a n ＋1＝45a n ，因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝45的等比数列．热气球在前n 分钟内上升的总高度为：S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1(1－q n)1－q ＝25×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n 1－45＝125×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n <125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.[探究问题]1．由项数相等的等差数列{n }与等比数列{2n }相应项的积构成新的数列{n ·2n }是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前n 项和S n 的表达式是什么？[提示] 由等差数列及等比数列的定义可知数列{n ·2n }既不是等差数列，也不是等比数列．该数列的前n 项和S n 的表达式为S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n .2．在等式 S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n 两边同乘以数列{2n }的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求S n 的问题转化为等比数列的前n 项和问题吗？[提示] 在等式S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，① 两边同乘以{2n }的公比可变形为2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，② ②－①得：S n ＝－1·21－22－23－24－…－2n ＋n ·2n ＋1 ＝－(21＋22＋23＋…＋2n )＋n ·2n ＋1.此时可把求S n 的问题转化为求等比数列{2n }的前n 项和问题．我们把这种求由一个等差数列{a n }和一个等比数列{b n }相应项的积构成的数列{a n b n }前n 项和的方法叫错位相减法．【例3】设数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋n ，数列{b n }的通项公式为b n ＝x n－1(x ≠0)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n .[思路探究] 由a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2完成第(1)问；由题设知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，因此可用错位相减法求T n .[解] (1)∵a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n ，n ≥2.当n ＝1时，a n ＝2n 也成立，∴a n ＝2n ，即数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由a n ＝2n ，b n ＝x n －1且c n ＝a n b n 可得c n ＝2nx n －1， T n ＝2＋4x ＋6x 2＋8x 3＋…＋2nx n －1，① 则xT n ＝2x ＋4x 2＋6x 3＋8x 4＋…＋2nx n .②①－②，得(1－x )T n ＝2＋2x ＋2x 2＋…＋2x n －1－2nx n . 当x ≠1时，(1－x )T n ＝2×1－x n 1－x－2nx n ，∴T n ＝2－2(n ＋1)x n ＋2nx n ＋1(1－x )2. 当x ＝1时，T n ＝2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n 2＋n .错位相减法的适用范围及注意事项：(1)适用范围：它主要适用于{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和．(2)注意事项：①利用“错位相减法”时，在写出S n 与qS n 的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出(1－q )S n 的表达式．②利用此法时要注意讨论公比q 是否等于1的情况．3．12＋12＋38＋…＋n2n ＝________.2n ＋1－n －22n [令S n ＝12＋24＋38＋…＋n2n ，① 则12S n ＝14＋28＋316＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，②由①－②得，12S n ＝12＋14＋18＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－n2n ＋1，得S n ＝2－22n －n 2n ＝2n ＋1－n －22n.]1．本节课的重点是等比数列前n 项和公式的基本运算．2．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．3．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即当q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求等比数列{a n }的前n 项和时可直接套用公式S n ＝a 1(1－q n )1－q 来求．( )(2)首项为a 的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n 项和为S n ＝na ．( ) (3)若某数列的前n 项和公式为S n ＝－aq n ＋a (a ≠0，q ≠0且q ≠1，n ∈N ＋)，则此数列一定是等比数列．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ 2．数列 {2n －1}的前99项和为( ) A ．2100－1 B ．1－2100 C ．299－1D ．1－299C [数列{2n －1}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S 99＝1－2991－2＝299－1.]3．已知等比数列{a n }中，q ＝2，n ＝5，S n ＝62，则a 1＝________. 2 [∵q ＝2，n ＝5，S n ＝62， ∴a 1(1－q n )1－q ＝62，即a 1(1－25)1－2＝62，∴a 1＝2.]4．已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．[解] (1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2.所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n ＝3n －1. (2)由(1)知a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，得b n ＋1＝b n3，因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列．记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n1－13＝32－12×3n －1.。

全国青年教师素养大赛一等奖等比数列前n项和教学设计

等比数列的前n项和（第一课时）焦作市第一中学柴艳丹教材：北师大版高中数学必修五第一章第三节一、教材分析从教材的编写顺序上来看，等比数列的前n项和是第一章“数列”第三节的内容，一方面它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系，另一方面它又为进一步学习数学归纳法等内容作准备.就知识的应用价值上来看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数列求和问题中有着广泛的应用；另外它在实际问题的计算中也经常涉及到，比如“分期付款”的相关计算.就内容的人文价值上来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的思维能力和创新意识,同时，也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．教师教学用书安排“等比数列的前n项和”这部分内容授课时间2课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系.二、教学目标依据新课程标准，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下：知识与技能目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法（错位相减法）；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题．过程与方法目标：通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．情感与态度目标：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美．三、教学重点和难点重点：等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用．从教材体系来看，它为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；从知识特点而言，蕴涵丰富的思想方法；就能力培养来看，通过公式推导教学可培养学生的运用数学语言交流表达的能力.突出重点方法：“抓三线、突重点”，即(一)知识技能线：问题情境→公式推导→公式运用；（二）过程与方法线:特殊到一般、猜想归纳→错位相减法等→转化、方程思想；（三）能力线：观察能力→数学思想解决问题能力→灵活运用能力及严谨态度.难点：等比数列的前n 项和公式的推导．从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数学语言交流的能力还有待提高.从知识本身特点来看，等比数列前n 项和公式的推导方法和等差数列的的前n 项和公式的推导方法可比性低，无法用类比的方法进行，它需要对等比数列的概念和性质能充分理解并融会贯通，而知识的整合对学生来说又是比较困难的，而且错位相减法是第一次碰到，对学生来说是个新鲜事物.突破难点手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导. 四、教学方法利用计算机和实物投影等辅助教学，采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式. 大家来想一下：高利贷商人能否笑到最后？142+(观察数字特征，引出课题解决情境问题：实际问题数学化，建立数学模型。

(完整版)等比数列的前N项和优秀教案.docx

等比数列的前n 项和一．教材分析1.在教材中的地位和作用在《数列》一章中，《等比数列的前n 项和》是一项重要的基础内容，从知识体系来看，它不仅是《等差数列的前 n 项和》与《等比数列》的顺延，也是前面所学函数的延续，实质是一种特殊的函数。

而且还为后继深入学习提供了知识基础，同时错位相减法是一种重要的数学思想方法，是求解一类混合数列前 n 项和的重要方法，因此，本节具有承上启下的作用。

等比数列的前 n 项和公式的推导过程中蕴涵了基本的数学思想方法，如分类讨论、错位相减等在数列求和问题中时常出现。

在实际问题中也有广泛的应用，如储蓄、分期付款的有关计算。

2.教材编排与课时安排提出问题——解决问题——等比数列的前n 项和公式推导——强化公式应用（例题与练习）二．教学目标知识目标：理解并掌握等比数列前n 项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。

能力目标：通过启发、引导、分析、类比、归纳，并通过严谨科学的解题思想和解题方法的训练，提高学生的数学素养。

情感目标：通过解决生产实际和社会生活中的实际问题了解社会、认识社会，形成科学的世界观和价值观。

三．教学重点与难点：教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的应用。

教学难点：公式的推导方法(“错位相减” )和公式的灵活运用。

四．教学过程：（一）、复习回顾：（1）等比数列及等比数列通项公式。

复习回顾例题1：a n为等比数列，请完成下表除s n外的所有项a1a2a3a4⋯⋯q a n s n127⋯⋯11⋯⋯22241 3⋯⋯3答案如下：a1a2a3a4⋯⋯qa n s n133227⋯⋯33n11111⋯⋯11222232422n3111⋯⋯1133233n2（2）回等差数列前n 和公式的推程，是用什么方法推的。

（二）、情境入：国象棋起源于古代印度 .相国王要国象棋的明者 .个故事大家听？“ 在第一个格子里放上 1 麦粒，第二个格子里放上 2 麦粒，第三个格子里放上 4 麦粒，以此推 .每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的 2 倍.直到第 64 个格子 .我足的麦粒以上述要求 .” 就是国象棋明者向国王提出的要求。

等比数列的前n项和(含解析)

等比数列的前n 项和班级___________ 姓名_____________ 学号__________层级一学业水平达标1．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 等于( ) A ．1 B ．0 C ．1或0D ．－12．已知数列{a n }是公比为3的等比数列，其前n 项和S n ＝3n ＋k (n ∈N *)，则实数k 为( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．23．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( ) A ．31 B ．33 C ．35D ．374．已知在递增的等比数列{a n }中，a 2＝6，a 1＋1，a 2＋2，a 3成等差数列，则该数列的前6项和S 6＝( )A ．93B ．189 C.18916D ．3785．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝2，S 10＝6，则a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20等于( ) A ．8 B ．12 C ．16D ．246．等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________.7．等比数列{a n }中，若a 1＋a 3＋…＋a 99＝150，且公比q ＝2，则数列{a n }的前100项和为________．8．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.9．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .10．已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n2； (2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．层级二应试能力达标1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－112．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5C.3116D.1583．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝( )A ．(2n －1)2 B.13(4n －1)C.13(2n －1) D ．4n －14．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．1935．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________. 6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎫n ，S n n (n ∈N *)均在直线y ＝x ＋12上．若b n ＝3a n ＋12，则数列{b n }的前n 项和T n ＝________.7．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－1，S 10S 5＝3132. (1)求等比数列{a n }的公比q ；(2)求a 21＋a 22＋…＋a 2n. 答案解析1．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 等于( )A ．1B ．0C ．1或0D ．－1解析：选A 因为S n －S n －1＝a n ，又{S n }是等差数列，所以a n 为定值，即数列{a n }为常数列，所以q ＝a na n －1＝1. 2．已知数列{a n }是公比为3的等比数列，其前n 项和S n ＝3n ＋k (n ∈N *)，则实数k 为( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．2解析：选C 由数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋k (n ∈N *)，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋k ；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋k －(3n －1＋k ) ＝2×3n －1.因为数列{a n }是公比为3的等比数列，所以a 1＝2×31－1＝3＋k ，解得k ＝－1. 3．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( ) A ．31 B ．33 C ．35D ．37解析：选B 根据等比数列性质得S 10－S 5S 5＝q 5，∴S 10－11＝25，∴S 10＝33. 4．已知在递增的等比数列{a n }中，a 2＝6，a 1＋1，a 2＋2，a 3成等差数列，则该数列的前6项和S 6＝( )A ．93B ．189 C.18916D ．378解析：选B 设数列的公比为q ，由题意可知q >1，且2(a 2＋2)＝a 1＋1＋a 3，即2×(6＋2)＝6q＋1＋6q ，整理可得2q 2－5q ＋2＝0，则q ＝2或q ＝12(舍去)．∴a 1＝62＝3，该数列的前6项和S 6＝3×(1－26)1－2＝189.故选B.5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝2，S 10＝6，则a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20等于( ) A ．8 B ．12 C ．16D ．24解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 2n －S n ＝q n S n ，所以S 10－S 5＝q 5S 5，所以6－2＝2q 5，所以q 5＝2，所以a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝a 1q 15＋a 2q 15＋a 3q 15＋a 4q 15＋a 5q 15＝q 15(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)＝q 15S 5＝23×2＝16.6．等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________.解析：设{a n }的公比为q ，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1，偶数项之和与奇数项之和分别为S 偶，S 奇，由题意S 偶＋S 奇＝3S 奇，即S 偶＝2S 奇，因为数列{a n }的项数为偶数，所以q ＝S 偶S 奇＝2. 答案：27．等比数列{a n }中，若a 1＋a 3＋…＋a 99＝150，且公比q ＝2，则数列{a n }的前100项和为________．解析：由a 2＋a 4＋…＋a 100a 1＋a 3＋…＋a 99＝q ，q ＝2，得a 2＋a 4＋…＋a 100150＝2⇒a 2＋a 4＋…＋a 100＝300，则数列{a n }的前100项的和S 100＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋…＋a 100)＝150＋300＝450.答案：4508．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由S 6≠2S 3，得q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝74，S 6＝a 1(1－q 6)1－q＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝14，则a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案：329．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .解：设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3.当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝3(2n －1)；当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝3n －1.10．已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n2； (2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：因为a n ＝13×⎝⎛⎭⎫13n －1＝13n ，S n ＝13⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＝1－13n2，所以S n ＝1－a n2. (2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2.所以{b n }的通项公式为b n ＝－n (n ＋1)2. 层级二应试能力达标1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－11解析：选D 设{a n }的公比为q .因为8a 2＋a 5＝0. 所以8a 2＋a 2·q 3＝0.所以a 2(8＋q 3)＝0. 因为a 2≠0，所以q 3＝－8.所以q ＝－2.所以S 5S 2＝a 1(1－q 5)1－q a 1(1－q 2)1－q＝1－q 51－q 2＝1＋321－4＝33－3＝－11.故选D.2．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5C.3116D.158解析：选C 由题意，q ≠1，由9S 3＝S 6，得9×a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 6)1－q ，解得q ＝2，故a n ＝a 1q n －1＝2n －1，1a n＝⎝⎛⎭⎫12n －1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，其前5项和为1×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝3116.3．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝( )A ．(2n －1)2 B.13(4n －1)C.13(2n －1) D ．4n －1解析：选B 由a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，得a 1＝1，a 2＝2，所以{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，所以{a 2n }是以1为首项，4为公比的等比数列，所以a 21＋a 22＋…＋a 2n＝1×(1－4n )1－4＝13(4n－1)． 4．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．193解析：选C 设最下面一层灯的盏数为a 1，则公比q ＝12，n ＝7，由a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1271－12＝381，解得a 1＝192.5．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________. 解析：依题意得a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝4，a 4＝－8，所以a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝15. 答案：156．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎫n ，S n n (n ∈N *)均在直线y ＝x ＋12上．若b n ＝3a n ＋12，则数列{b n }的前n 项和T n ＝________.解析：依题意得S n n ＝n ＋12，即S n ＝n 2＋12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫n 2＋12n －[(n －1)2＋12(n －1)]＝2n －12；当n ＝1时，a 1＝S 1＝32，符合a n ＝2n －12，所以a n ＝2n －12(n ∈N *)，则b n ＝3a n ＋12＝32n ，由b n ＋1b n ＝32(n ＋1)32n ＝32＝9，可知{b n }为等比数列，b 1＝32×1＝9，故T n ＝9(1－9n )1－9＝9n ＋1－98.答案：9n ＋1－987．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－1，S 10S 5＝3132. (1)求等比数列{a n }的公比q ；(2)求a 21＋a 22＋…＋a 2n. 解：(1)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1，知公比q ≠1，S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12. (2)由(1)，得a n ＝(－1)×⎝⎛⎭⎫－12n －1，所以a 2n＝⎝⎛⎭⎫14n －1，所以数列{a 2n}是首项为1，公比为14的等比数列，故a 21＋a 22＋…＋a 2n＝1×⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝43⎝⎛⎭⎫1－14n .。

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课题：等比数列的前n项和一、教材分析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（必修5）》（北师大版）第一章第三节第一课时。

从在教材中的地位与作用来：看《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

二、学情分析从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。

不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。

教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨。

三、设计思想本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，深入探讨。

让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。

设计思路如下：四、教学目标1、掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。

2、通过等比数列的前n 项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。

3、通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、应用价值，发展数学的理性思维。

五、教学重点与难点重点：掌握等比数列的前n 项和公式，能用等比数列的前n 项和公式解决相关问题。

难点：错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。

六、教学过程（一）复习回顾 1、（提问）等比数列的定义？通项公式？性质？ 2、（提问）等差数列前n 项和公式是什么？（二）创设问题情景引例：“一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来,但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元,第二天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多1万;但借钱第一天,穷人还1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难。

”请在座的同学思考讨论一下,穷人能否向富人借钱? [设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上进入到研究者的角色中来！启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。

]学生直觉认为穷人可以向富人借钱，教师引导学生自主探求，得出：穷人30天借到的钱：465230)301(3021'30=⨯+=+++= S （万元）穷人需要还的钱：=++++=292302221 S ? [直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!]教师紧接着把如何求=++++=292302221 S ？的问题让学生探究：292302221++++= S ①若用公比2乘以上面等式的两边，得到 302923022222++++= S ②若②式减去①式，可以消去相同的项，得到：1073741823123030=-=S (分) ≈1073(万元) ＞ 465（万元）答案:穷人不能向富人借钱（三）引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律。

提出问题:如何推导等比数列前n 项和公式？（学生很自然地模仿以上方法推导）学生A ：)1(11212111--+++++=n n n q a q a q a q a a S)2(111211n n n q a q a q a q a qS ++++=-（1）-（2）有nn q a a S q 11)1(-=-学生B ：112111--++++=n n n q a q a q a a s()()qa qs a a s q a qs a q a q a a q a n n n n n n -+=-+=+=++++=--111121111 qa a qs s n n n -=-∴1)1(11≠--=∴q qqa a s n n推导等比数列前n 项和n S 的公式，引导学生类比前面的特例完成以上推导课本上的推导方法后，教师：还有没有其他推导方法？（经过几分钟的思考，有学生举手发言）学生C ： q a a a a a a n n ====-12312q a a a a a a n n =++++++∴-12132即 q a s a s n n n =--1)1(11≠--=∴q q qa a s n n 。

[“特例→类比→猜想”是一种常用的科学的研究思路！教师让学生进行各种尝试，探寻公式的推导的方法，同时抓住机会或创设问题情景调动了学生参与问题讨论的积极性，培养学生的探究能力，发挥了组织者、推进者和指导者的作用，而学生却是实实在在的主体活动者、成为发现者、创造者！让学生享受成功的喜悦！ ] 【基础知识形成性练习】1．在公比为q 的等比数列}{n a 中 (1)若31,321==q a ，则=nS ________；（2）若8,2,21===n q a ，则=n S ________；（3）若21,2,81===n a q a ，则=n S ________； 2．判断正误：（1）1111+++12422n n =-（）（2)21)21(1)2(84211--⨯=-++-+--n n（3)21)21(12222132--⨯=+++++nn⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==1,11)1(1,111q q q a a q q a q na S n n n121c(1)(4)1-nn n c c c c c c--++++=(四)新知应用例1、求等比数列 ,161,81,41,21的前8项的和．变式1：求等比数列 ,161,81,41,21的第6项到第10项的和．例2、求数列)0(1132≠+++++-a a a a a n 的前n 项和。

变式2：求n xx x 111x 132++++ 的值[例1例2教师板演示范，强调解题的规范。

变式1，变式2学生分析解法，学生不会时要分析出不会做的症结所在，然后再由学生板演出解题过程。

] （五）课堂小结[由学生完成课堂总结，教师完善，点评] （六）布置作业六、教学反思本节课授课对象为实验班的学生，学习基础较好。

所以采用了探究教学的方式，大部分内容由学生自行探究讨论完成。

教学设计从学生的角度出发，采用“教师设计问题与活动引导”与“学生积极主动探究”相结合的方法分成五个步骤层次分明（1）创设问题情景、布疑激趣（2）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型（3）探寻特例、提出猜想（4）数学应用（5）知识评估。

学生在未经预习不知等比数列求和公式和证明方法的前提下，在教师预设的思路中，一步步发现了公式并推导了公式，感受到了创造的快乐，激发了学习数学的爱好，教学的知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。

导学案:等比数列的前n项和班级________姓名_________ 【知能目标】1.掌握等比数列的前n项和公式的推导方法--错位相减法，并能用其思想方法求某类特殊数列的前n项和.2.掌握等比数列前n项和公式以及性质，并能应用公式解决有关等比数列前n项的问题.在应用时，特别要注意q=1和q≠1这两种情况.3.能够利用等比数列的前n项和公式解决有关的实际应用问题.【重难点】重点：掌握等比数列的求和公式，会用等比数列前n项和公式解决有关问题.难点：错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握.【学习过程】一、复习回顾1、等比数列的定义？通项公式？性质？2、等差数列前n项和公式是什么？二、情境导入引例：“一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来,但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元,第二天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多1万;但借钱第一天,穷人还1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难。

”请在座的同学思考讨论一下,穷人能否向富人借钱?三、自主探究推导：等比数列的前n 项和公式方法1（主要重点方法：错位相减法）方法2（提取公因式法）方法3（等比定理法）四、辨析练习1．在公比为q 的等比数列}{n a 中 (1)若31,321==q a ，则=n S ________；（2）若8,2,21===n q a ，则=n S ________；（3）若21,2,81===n a q a ，则=n S ________； 2．判断正误：（1）1111+++12422n n =-（）121c(1)(4)1-n n nc c c c c c--++++=五、新知应用例1、求等比数列 ,161,81,41,21的前8项的和．（2)21)21(1)2(84211--⨯=-++-+--nn（3)21)21(12222132--⨯=+++++nn变式1：求等比数列 ,161,81,41,21的第6项到第10项的和．例2、求数列)0(1132≠+++++-a a a a a n 的前n 项和。

变式2：求n xx x 111x 132++++ 的值六、课时小结（由学生完成课堂总结，教师完善，点评）七、自测自评1、在等比数列{}2n中，前n 项和n S = （）(A) 2n -1 (B) 2n-2 (C) 2n+1-1 (D) 2n+1-22、在等比数列{}n a 中，公比q=2，且前5项和为1，那么前5项和等于(A) 31 (B) 33 (C) 35 (D) 37 3、数列(){}21n +-中，前n 项和为nS ，则S2009_____________4、在等比数列{}n a 中：（1）已知,26,231==S a 求q 和3a ；（2）已知q=21，8735=S ，求1a 与4a思考题：求和.23n x+2x +3x ++nx。