第8讲 刚体角动量典型例题
解 子弹、细棒系统的角动量守恒
mv0 y J
y
其中
J
J棒
J子弹
1 3
ML2
my2
mv0 y 1 ML2 my2
3
v0
m
15
刚体转动的典型例题
例10.上题中，若子弹和杆共同偏转30o，子弹的质量为 m ,速度为 v0 。 求 子弹的初速度v0 。
解 由机械能守恒有
1 J2 mgy L Mg (mgy L Mg )cos
11 M Jω0 (t1 t2 )
22
刚体转动的典型例题
例16.求一半径R 50cm 的飞轮对过其中心轴的
转动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳末端挂一重物, 其
质量 m1 8.0kg 的让其从 h 2.0m 处静止下落,
测得下落时间 t1 16s ；若用质量 m2 4.0kg 的
重物时, t2 25s , 假定摩擦力矩 Mf 是一个常量 ,
m
S 1 r r sin
F
G
ms m
r
r3
t 2 t
lim S 1 rvsin 1 L
t0 t 2
2m
L C 所以相等的时间内扫过相等的面积。
26
刚体转动的典型例题
例18. 一滑冰者开始转动时 Ek0 J002 2 ，然后
将手臂收回，使转动惯量减少为原来的 1/3，求此时的
转动角速度.
由因为： v2 2ah v 2 mgh
M 2m
6
刚体转动的典型例题
解2 圆盘受力矩 FTR 作用
利用刚体的动能定理, 得
0
FT Rd
1 2
J 2
1 2
J02
绳与圆盘间无相对滑动 v = Rω
v0 0 0 0
由质点的动能定理：
mgh
R FT d
0
1 2
mv2
1 2
v
mv02
2
m m J / R2
上面绕有细绳, 绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一
质量为m的物体而下垂。忽略轴处摩擦。 求 物体 m 由静止下落高度 h 时的速度。
M OR
解1:利用刚体的转到定律求解
m
牛顿第二定律（质点） 转动定律（刚体） 线量和角量的关系
mg FT ma
h
FT
R
1 2
MR2
a R
a 2mg (M 2m)
刚体转动的典型例题
例1 长为 l ,质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平面内转动, 初
始时它在水平位置。求 它由此下摆 角时的 。
解1：利用转到定律求解
O•
ml x
重力矩： M mg l cos
2
转到惯量： J 1 ml 2 3
•C
由转到定律： 1 mgl cos 1 ml 2
2
19
刚体转动的典型例题
例13. 一长为 l，重为W 的均匀梯子，靠墙放置，
墙光滑，当梯子与地面成 角时处于平衡状态，求梯
子与地面的摩擦力。
解：刚体平衡的条件
Fi 0 Mi 0
Ff N2 0 P N1 0
以支点O为转动中心，梯子受
的合外力矩：
N2
l
P Ff
N1
o
P
l cos
2
N2l sin
求飞轮的转动惯量.
解：受力分析、坐标如图
R
R
T
m1
m2
Mf
T mg
y
h
h
23
刚体转动的典型例题
已知：R 50cm h 2.0m
T
m1 8.0kg t1 16s
m2 4.0kg t2 25s
Mf C 求：J
m1g T1 m1a1
T1R M f
J
a1 R
h
1 2
a1t12
Mf
解 处理这类碰撞问题与过去质点运动相似但又有区别，将分阶
段进行讨论。（1）杆自由下落到将和 m2碰撞，由机械能守
恒得
m1g
l 2
1 2
J
2
3g
l
o m1 ,l
（2）杆和物体m碰2 撞过程 ，由角动量守恒
J J m2l2
1 3
m1l
2
3g l
1 3
m1l
2
m2l
2
m1
3g l
m2
m1 3m2
T
mg
y
m2 g T2 m2a2
T2 R M f
J
a2 R
h
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 2
a2t
2 2
a1
2h t12
0.0156
m/s
2
a2
2h t22
0.0064
m/s 2
24
刚体转动的典型例题
已知：R 50cm h 2.0m
m1 8.0kg t1 16s
m2 4.0kg t2 25s
Mf
T
T
mgh M 2m
2gh
M OR
FT FT
m
h
7
刚体转动的典型例题
解3. 根据机械能守恒定律
mgh 1 J 2 1 mv2
2
2
v R
v 2 mgh M 2m
M OR
FT FT
m
h
8
刚体转动的典型例题
例4 一长为l、质量为m均质细杆AB，用摩擦可忽略的柱铰链悬挂于A处，
见图。欲使静止的杆AB自铅垂位置恰好能转至水平位置，求必须给杆的 最小初角速度。
1 t2 10rad
2
n 1.6
2π
求（3） t 1s 时轮缘上一点的加速度.
a
r 0.5m at
at a 0.4ms2
t 0.8rad s1
an r 2 0.32m s2
r
an
a
a at2 an2 0.51m s2
arctan(an at ) 38.7
（3）物体m沿2 水平面运动直到静止,由质点的动能定理得
0
1 2
m2v2
m2 gs
v l
s
3lm12
2m1 3m2
17
刚体转动的典型例题
例12. 一条缆索绕过一定滑轮拉动一升降机，滑轮
半径r 0.5m , 如果升降机从静止开始以a 0.4m s2
加速度上升, 求 （1）滑轮角加速度；（2）t 5s 时
O 转动。试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角
加速度和角速度。
（方法一）应用转到定理求ω
m,l
θ mg
O
解： 细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定理得
1 mglsin 1 ml2 得 3g sin
2
3
2l
4
刚体转动的典型例题
（方法二）应用动能定理求ω
l mg sind 1 (1 ml2 )2
3
g cos l d l d d l d
2
3 dt 3 d dt 3 d
mg
φr
mg
d 3g cos d
2l
d 3g
cos d
0
2l 0
(3gsin )1/2
l
1
刚体转动的典型例题
解2：利用动能定理求解
M 1 mglcos
2
J 1 ml 2 3
O•
ml x
•C
W
0
Md
0
02
23
A 1 J2
2 解得 ω
3g (1 cos θ) l
（方法三）应用机械能守恒求ω
重力势能转化为动能
mg l 1- cos 1 (1 ml2)2 ω 3g (1 cos θ)
2
23
l
m,l θ mg
O
5
刚体转动的典型例题
例3 一个质量为M , 半径为 R 的定滑轮 (当作均匀圆盘 )
2
W dW 0 mg l sin d
π/2
2
mg l 2
p
B
x
11
刚体转动的典型例题
例6. 机器上的两飞轮A和B，通过摩擦啮合后以相同的转速一起转动。A和 B对轴的转动惯量分别为JA和JB ，啮合前的角速度分别为ω10和ω20，求啮 合后二轮的共同角速度ω 。 解：以两飞轮作为研究系统，所受外力为轴力和重力， 对转轴的力矩都为零，故对转轴角动量守恒
l mgcos d
2
lmg sin
2
0
mg
由动能定理
lmg 2
sin
0
1 2
J 2
0
lmg sin 1 J2 2 3gsin
2
2
l
(3gsin )1/2
l
2
刚体转动的典型例题
解3：利用机械能守恒定律求解 运动过程中只有重力做功，故系统机械能守恒
O•
ml
x
。取初始的水平位置为重力势能零点，则有：
求面 θ角及着陆滑行时的速度多大？
m
解
引力场（有心力）系统的机械能守恒 质点的角动量守恒
v0 r0
R
M
O
1 2
mv
2 0
GMm r0
1 2
mv 2
GMm R
mv0r0sin(π ) mv R
v
v0r0sin
R
4v0sin
sin
1 4
1
3GM 2 Rv 0 2
1/ 2
1/ 2
v
v01
3GM
0
Ff
N2
P cot
2
20
刚体转动的典型例题
例14. 一质量为m、长为L的均匀细棒，可在水平桌
mv0 y J
y
其中
J
J棒
J子弹
1 3
ML2
my2
mv0 y 1 ML2 my2
3
v0
m
15
刚体转动的典型例题
例10.上题中，若子弹和杆共同偏转30o，子弹的质量为 m ,速度为 v0 。 求 子弹的初速度v0 。
解 由机械能守恒有
1 J2 mgy L Mg (mgy L Mg )cos
11 M Jω0 (t1 t2 )
22
刚体转动的典型例题
例16.求一半径R 50cm 的飞轮对过其中心轴的
转动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳末端挂一重物, 其
质量 m1 8.0kg 的让其从 h 2.0m 处静止下落,
测得下落时间 t1 16s ；若用质量 m2 4.0kg 的
重物时, t2 25s , 假定摩擦力矩 Mf 是一个常量 ,
m
S 1 r r sin
F
G
ms m
r
r3
t 2 t
lim S 1 rvsin 1 L
t0 t 2
2m
L C 所以相等的时间内扫过相等的面积。
26
刚体转动的典型例题
例18. 一滑冰者开始转动时 Ek0 J002 2 ，然后
将手臂收回，使转动惯量减少为原来的 1/3，求此时的
转动角速度.
由因为： v2 2ah v 2 mgh
M 2m
6
刚体转动的典型例题
解2 圆盘受力矩 FTR 作用
利用刚体的动能定理, 得
0
FT Rd
1 2
J 2
1 2
J02
绳与圆盘间无相对滑动 v = Rω
v0 0 0 0
由质点的动能定理：
mgh
R FT d
0
1 2
mv2
1 2
v
mv02
2
m m J / R2
上面绕有细绳, 绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一
质量为m的物体而下垂。忽略轴处摩擦。 求 物体 m 由静止下落高度 h 时的速度。
M OR
解1:利用刚体的转到定律求解
m
牛顿第二定律（质点） 转动定律（刚体） 线量和角量的关系
mg FT ma
h
FT
R
1 2
MR2
a R
a 2mg (M 2m)
刚体转动的典型例题
例1 长为 l ,质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平面内转动, 初
始时它在水平位置。求 它由此下摆 角时的 。
解1：利用转到定律求解
O•
ml x
重力矩： M mg l cos
2
转到惯量： J 1 ml 2 3
•C
由转到定律： 1 mgl cos 1 ml 2
2
19
刚体转动的典型例题
例13. 一长为 l，重为W 的均匀梯子，靠墙放置，
墙光滑，当梯子与地面成 角时处于平衡状态，求梯
子与地面的摩擦力。
解：刚体平衡的条件
Fi 0 Mi 0
Ff N2 0 P N1 0
以支点O为转动中心，梯子受
的合外力矩：
N2
l
P Ff
N1
o
P
l cos
2
N2l sin
求飞轮的转动惯量.
解：受力分析、坐标如图
R
R
T
m1
m2
Mf
T mg
y
h
h
23
刚体转动的典型例题
已知：R 50cm h 2.0m
T
m1 8.0kg t1 16s
m2 4.0kg t2 25s
Mf C 求：J
m1g T1 m1a1
T1R M f
J
a1 R
h
1 2
a1t12
Mf
解 处理这类碰撞问题与过去质点运动相似但又有区别，将分阶
段进行讨论。（1）杆自由下落到将和 m2碰撞，由机械能守
恒得
m1g
l 2
1 2
J
2
3g
l
o m1 ,l
（2）杆和物体m碰2 撞过程 ，由角动量守恒
J J m2l2
1 3
m1l
2
3g l
1 3
m1l
2
m2l
2
m1
3g l
m2
m1 3m2
T
mg
y
m2 g T2 m2a2
T2 R M f
J
a2 R
h
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 2
a2t
2 2
a1
2h t12
0.0156
m/s
2
a2
2h t22
0.0064
m/s 2
24
刚体转动的典型例题
已知：R 50cm h 2.0m
m1 8.0kg t1 16s
m2 4.0kg t2 25s
Mf
T
T
mgh M 2m
2gh
M OR
FT FT
m
h
7
刚体转动的典型例题
解3. 根据机械能守恒定律
mgh 1 J 2 1 mv2
2
2
v R
v 2 mgh M 2m
M OR
FT FT
m
h
8
刚体转动的典型例题
例4 一长为l、质量为m均质细杆AB，用摩擦可忽略的柱铰链悬挂于A处，
见图。欲使静止的杆AB自铅垂位置恰好能转至水平位置，求必须给杆的 最小初角速度。
1 t2 10rad
2
n 1.6
2π
求（3） t 1s 时轮缘上一点的加速度.
a
r 0.5m at
at a 0.4ms2
t 0.8rad s1
an r 2 0.32m s2
r
an
a
a at2 an2 0.51m s2
arctan(an at ) 38.7
（3）物体m沿2 水平面运动直到静止,由质点的动能定理得
0
1 2
m2v2
m2 gs
v l
s
3lm12
2m1 3m2
17
刚体转动的典型例题
例12. 一条缆索绕过一定滑轮拉动一升降机，滑轮
半径r 0.5m , 如果升降机从静止开始以a 0.4m s2
加速度上升, 求 （1）滑轮角加速度；（2）t 5s 时
O 转动。试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角
加速度和角速度。
（方法一）应用转到定理求ω
m,l
θ mg
O
解： 细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定理得
1 mglsin 1 ml2 得 3g sin
2
3
2l
4
刚体转动的典型例题
（方法二）应用动能定理求ω
l mg sind 1 (1 ml2 )2
3
g cos l d l d d l d
2
3 dt 3 d dt 3 d
mg
φr
mg
d 3g cos d
2l
d 3g
cos d
0
2l 0
(3gsin )1/2
l
1
刚体转动的典型例题
解2：利用动能定理求解
M 1 mglcos
2
J 1 ml 2 3
O•
ml x
•C
W
0
Md
0
02
23
A 1 J2
2 解得 ω
3g (1 cos θ) l
（方法三）应用机械能守恒求ω
重力势能转化为动能
mg l 1- cos 1 (1 ml2)2 ω 3g (1 cos θ)
2
23
l
m,l θ mg
O
5
刚体转动的典型例题
例3 一个质量为M , 半径为 R 的定滑轮 (当作均匀圆盘 )
2
W dW 0 mg l sin d
π/2
2
mg l 2
p
B
x
11
刚体转动的典型例题
例6. 机器上的两飞轮A和B，通过摩擦啮合后以相同的转速一起转动。A和 B对轴的转动惯量分别为JA和JB ，啮合前的角速度分别为ω10和ω20，求啮 合后二轮的共同角速度ω 。 解：以两飞轮作为研究系统，所受外力为轴力和重力， 对转轴的力矩都为零，故对转轴角动量守恒
l mgcos d
2
lmg sin
2
0
mg
由动能定理
lmg 2
sin
0
1 2
J 2
0
lmg sin 1 J2 2 3gsin
2
2
l
(3gsin )1/2
l
2
刚体转动的典型例题
解3：利用机械能守恒定律求解 运动过程中只有重力做功，故系统机械能守恒
O•
ml
x
。取初始的水平位置为重力势能零点，则有：
求面 θ角及着陆滑行时的速度多大？
m
解
引力场（有心力）系统的机械能守恒 质点的角动量守恒
v0 r0
R
M
O
1 2
mv
2 0
GMm r0
1 2
mv 2
GMm R
mv0r0sin(π ) mv R
v
v0r0sin
R
4v0sin
sin
1 4
1
3GM 2 Rv 0 2
1/ 2
1/ 2
v
v01
3GM
0
Ff
N2
P cot
2
20
刚体转动的典型例题
例14. 一质量为m、长为L的均匀细棒，可在水平桌
合集下载
刚体的角动量
2
l M z mg sin 2
19
棒的角加速度 就是由该力矩引起的。所以， 根据转动定理有
M z J
l 1 2 mg sin ml 2 3
解得棒的角加速度为
3g sin 2l
角加速度的方向与力矩的方向同向，他们都与 角速度的方向相反。
20
例题7 一根长度为L、质量为m的均匀棒放置在水平
3939当人站在平台中心时刚体组的转动惯量等于平台本身的转动惯量即40如图所示细杆的水平轴转动从水平位置自由释放在竖直位置与物体相撞后物体沿水平地面滑行一段mglmgl杆物相碰l守恒gsml杆向右摆杆向左摆42二基本特征回转仪绕对称轴高速旋转陀螺对称轴高速定点外力对定点求力矩对称轴绕定点旋转高速旋转重力对定点每瞬时外力矩只改变角动量的方向不改变角动量的大小mg一进动现象已经自转的物体在外力矩的作用下自转轴绕另一轴转动的现象称为进动mdtdl角动量定理44sindl而且mdtdldtdlsinsin以上只是近似讨论只适用高速自转即角动量定理陀螺仪定向原理应用不受外力矩作用高速旋转的陀螺由于角动量守恒因而其转动轴的方向不变
在任一位置时棒的角加速度。 解：（1）要求转动动能Ek，必
须求出均匀细棒相对于通过过 端点轴的转动惯量J,
l x
17
1 J ml 2 3 棒通过平衡位置时低端的线速度为v，则棒
此时角速度为
v l
此时棒的转动动能为
1 1 1 2 v 2 1 2 2 Ek J ml ( ) mv 2 2 3 l 6
vi
Lz l zi ( ri mi ) J
Lz等于转动惯量与角速度的乘积。
26
注意：
1. 与质点动量表达式对比
角动量——精选推荐
⾓动量⾓动量、刚体习题4-1 如本题图，⼀质量为m的质点⾃由降落，在某时刻具有速度v．此时它相对于A、B、C三参考点的距离分别为d1、d2、d3。
求：(1)质点对三个点的⾓动量；(2)作⽤在质点上的重⼒对三个点的⼒矩。
4-2 ⼀质量为m的粒⼦位于(x，y)处，速度为v=v x i+ v y j，并受到⼀个沿-x⽅向的⼒f．求它相对于坐标原点的⾓动量和作⽤在其上的⼒矩。
4-3 电⼦的质量为9.1×10-31kg，在半径为5.3×10-11m的圆周上绕氢核作匀速率运动。
已知电⼦的⾓动量为h/2π，(h为普朗克常量，等于6.63×10-34J?s)，求其⾓速度。
4-4 如本题图，圆锥摆的中央⽀柱是⼀个中空的管⼦，系摆锤的线穿过它，我们可将它逐渐拉短。
设摆长为l1时摆锤的线速度为v1，将摆长拉到l2时，摆锤的速度v2为多少？圆锥的顶⾓有什么变化？4-5 如本题图，在⼀半径为R、质量为m的⽔平转台上有⼀质量是它⼀半的玩具汽车。
起初⼩汽车在转台边缘，转台以⾓速度ω绕中⼼轴旋转。
汽车相对转台沿径向向⾥开，当它⾛到R/2处时，转台的⾓速度变为多少，动能改变多少？能量从哪⾥来？4-6 在上题中若转台起初不动，玩具汽车沿边缘开动，当其相对于转台的速度达到v时，转台怎样转动？4-7 两质点的质量分别为m1、m2(m1> m2)，拴在⼀根不可伸长的绳⼦的两端，以⾓速度ω在光滑⽔平桌⾯上旋转。
它们之中哪个对质⼼的⾓动量⼤？⾓动量之⽐为多少？4-8 在上题中，若起初按住m2不动，让m1绕着它以⾓速度ω旋转。
然后突然将m2放开，求以后此系统质⼼的运动，绕质⼼的⾓动量和绳中的张⼒。
设绳长为l。
4-9 两个滑冰运动员，体重都是60kg，他们以6.5m/s的速率垂直地冲向⼀根10m长细杆的两端，并同时抓住它，如本题图所⽰。
若将每个运动员看成⼀个质点，细扦的质量可以忽略不计。
(1)求他们抓住细杆前后相对于其中点的⾓动量；(2)他们每⼈都⽤⼒往⾃⼰⼀边收细杆，当他们之间距离为5.0m时，各⾃的速率是多少？(3)求此时细杆中的张⼒；(4)计算每个运动员在减少他们之间举例的过程中所作的功，并证明这功恰好等于他们动能的变化。
角动量例题
1 mL2
o
L
3
（2）如图所示，以过中点垂直于棒的oo 为轴，沿棒长方向为x 轴，原点在轴上，在
棒上取长度元 dx ，则由转动惯量的定义有:
o
x dx B x
A
dm
L
L
2o2
J端点
x2dm
m
L 2 L 2
x2
m L
dx
1 12
mL2
2.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆环 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量.
解法二 利用动能定理求解.
对于物体m 利用质点的动能定理有
mgh
Th
1 2
mv
2
1 2
mv
2 0
其中 v0 和 v 是物体的初速度和末速度.
对于滑轮由刚体定轴转动的转动定理有
TR
1 J 2
2
1 2
J
2 0
其中 是在拉力矩TR 的作用下滑轮转 过的角度，0和 是滑轮的初末角速度.
a2 GM
T2R T1R
M阻
J
1 2
mR
2
据题意可知，绳与滑轮间无相对滑动， 所以滑轮边缘上一点的切向加速度和物体的 加速度相等，即
a a1 a2 a R
联立以上三个方程，得
(M m)g M阻
a
R M m m
2
(2M m)mg mM阻
解 作示意图如右,由于质 量连续分布，所以由转动 惯量的定义得
J R2dm m
2R 0
R2
刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
典型例子
[例题]如图(a)表示半径为R的放水弧形闸门，可绕图中
左方质点转动，总质量为m,质心在距转轴
7 9
2 处，闸 R 3
门及钢架对质点的总转动惯量为 I mR 2 ,可用钢丝 绳将弧形闸门提起放水，近似认为在开始提升时钢架 部分处于水平，弧形部分的切向加速度为a=0.1g，g为 重力加速度,不计摩擦,不计水浮力.
图(a)
（1）求开始提升时的瞬时，钢丝绳对弧形闸门的拉力 和质点对闸门钢架的支承力. （2）若以同样加速度提升同样重量的平板闸门[图(b)]
需拉力是多少？
FT
W
图(b)
[解]（1）以弧形闸门及钢架 为隔离体，受力如图(a)所示. 建立直角坐标系Oxy， 根据质心运动定理 FT FN W mac 向x及y轴投影得
考虑到
t
12v0 dr g 7lg v cos t cos( t) dt 2 24v0 7l
例：圆盘（R，M），人（m）开始静止，人
走一周，求盘相对地转动的角度.
1 I 2 MR 2 2
解： 系统对转轴 角动量守恒
M=0
I11 () I 22 0
I1 mR
2
人— ，盘— （对地的角位移） d d m 1 2 dt dt
I1d I 2 d
1 2 0
2
1 M 2
I d I d
0
2m 2 2m M
例：
圆盘质量M,半径R,J=MR2/2, 转轴光滑,人的质量m,开始时， 两者静止．求：人在盘上沿边 缘走过一周时，盘对地面转过 的角度．
in ex
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
刚体习题及答案
解法二:
用角动量定理求解
0-10s: 0-90s:
(M M r )t1 J 1 0
(M r t2 ) 0 J1
联立得： Mt1t2 J1 (t1 t2 )
J Mt1t2 / 1 (t1 t2 ) 54kg m2
例4.一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴 o 以角速度 按图示方 向转动，若射来两颗完全相同的子弹，方向相反并在同一条直 线上，子弹射入圆盘并留在其中，则子弹射入后的瞬间，盘的 角速度 （A）增大;（B）减小; （C）不变;（D）不能确定。
解： (1)dM dm g r
m M dM 2 rdr 1 mgl 0 l 4 (2)由角动量定理：
1 2
m m dr g r rdr l l
Mt J J 0 J 0
J 0 0 l t 3mg M
人: Mg T 2 Ma
1 1 物 : T1 - Mg = Ma 2 2
B
T2
o
T1
2 a g 7
A
Mg
B
a
轮： (T2 T1 ) R J
1 Mg 2
a R
例2.两个匀质圆盘，一大一小，同轴地粘结在一起，构成一个 组合轮。小圆盘的半径为r，质量为m；大圆盘的半径r’＝2r， 质量为m’=2m。组合轮可绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水 平固定轴O转动，对O轴的转动惯量J＝9mr2/2。两圆盘边缘上 分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为m的物体A和B，如 图所示。这一系统从静止开始运动，绳与盘无相对滑动，绳的 长度不变。已知r = 10 cm．求： (1) 组合轮的角加速度； (2) 当物体A上升h＝40 cm时，组合轮的角速度ω。
理论力学之刚体力学例题
M J
1 mgl cos
2
3 ml 2
3g cos
2l
dω dt
d d
ω
d
0
θ 0
3gcos
2l
d
3gsin
l
例7 圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止
求 到圆盘静止所需时间
解 取一质元 dm ds 2π rdr
R
dM rdf r gdm
摩擦力矩 由转动定律
M
而使它们的加速度a和 都较小，这样就能较精确地测出a来。
例 题 12 一 个 飞 轮 的 质 量 m=60kg ， 半 径 R=0.25m ， 正 在 以
ω0=1000 r·min-1的转速转动。现在要制动飞轮，要求在t=5.0s
内使它均匀减速而最后停下来。求闸瓦对轮子的压力N为多大? 假定闸瓦与飞轮之间的滑动摩擦系数为μk=0.8，而飞轮的质量 可以看作全部均匀分布在轮的外周上 。
例6 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平
面内转动，初始时它在水平位置
求 它由此下摆 角时的
O•
ml x
解 取一质元 M xdm g g xdm
•C dm
M mgxC
M 1 mgl cos
2
xdm mxC mg
重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩
已知棒长l质量m在摩擦系数为如以重量p98n的物体挂在绳端试计算飞轮的角加速两者区别mg一轻绳绕在半径r20cm的飞轮边缘在绳端施以f98的拉力飞轮的转动惯量j05kgm飞轮与转轴间的摩擦不计见图质量为m的均匀细直棒可绕轴o在竖直平面内转动初始时它在水平位置重力对整个棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩dmmlmglmrmgr由转动定律摩擦力矩一个刚体系统如图所示已知转动惯量由质心运动定理mamgflml打击中心质心运动定理与转动定律联用质点系由转动定律解
动量与角动量经典例题
设人蹬墙的时间为△t，因△t 很小，则静摩擦力的冲量远大于人体重力的冲 量，即 I f I G ，由动量定理得： I f N t m y 而在水平方向同样由动量定理可知： N t m x m x mo cos 人蹬墙后获得竖直向上的速度： y y y 0 sin 人蹬墙后再上升的高度
乘积， 即 F ma c ， 其质心加速度：a c
m a
i
i
M
。 定理只给出质心运动情况，
并不涉及质点间的相对运动及它们绕质心的运动。 3．碰撞问题 ⑴弹性碰撞：碰撞时无机械能损失．
m110 m220 m11 m22 1 1 1 1 2 2 2 m110 m220 m112 m22 2 2 2 2 （m m2）10 2m220 由①②可得： 1 1 ， m1 m2
人体重心上升的总高度： H h1 h2 令 tanφ=μ，则
02 (sin cos ) 2
2g
s0
对 0 、s0 一定时，当 即 arctan
2
时 H 最大．
1
时，人体的重心总升高最大．
类型二、动量守恒定律的问题最基本的特征就是和外力为零或某一方向上和 外力为零，当物体系内质点数量比较多时利用质心守恒是解决此类问题的重 要手段之一，解答过程，会比较简单。 例 2．如图 5—4 所示，在光滑的水平地面上静止放有一块质量 m3=2 kg，长 度 L=0. 6 m 的木板，板的左右两端分别放置质量 m1=2 kg，m2=4 kg 的两物 块， 并分别以初速度 1 =0.4 m/s, 2 =0.2 m/s 时相向运动．M1 , m2 和 m3 间 的滑动摩擦因数均为μ=0.22.试求： （1）m2 在木块上的最大位移； （2）m1 在木块上的最大位移； （3）m3 的最大位移． 分析和解：物体 1、2 可能会相碰，可能不会相碰，要予以讨论。讨论后利 用动量守恒（和质心守恒）解答本题，会比较简单。 （1）假设物块 1 、2 在木板上不会相碰，当 2 3 时，2 相对于 3 有最大位 移，则 2 a2t a3t 同
乘积， 即 F ma c ， 其质心加速度：a c
m a
i
i
M
。 定理只给出质心运动情况，
并不涉及质点间的相对运动及它们绕质心的运动。 3．碰撞问题 ⑴弹性碰撞：碰撞时无机械能损失．
m110 m220 m11 m22 1 1 1 1 2 2 2 m110 m220 m112 m22 2 2 2 2 （m m2）10 2m220 由①②可得： 1 1 ， m1 m2
人体重心上升的总高度： H h1 h2 令 tanφ=μ，则
02 (sin cos ) 2
2g
s0
对 0 、s0 一定时，当 即 arctan
2
时 H 最大．
1
时，人体的重心总升高最大．
类型二、动量守恒定律的问题最基本的特征就是和外力为零或某一方向上和 外力为零，当物体系内质点数量比较多时利用质心守恒是解决此类问题的重 要手段之一，解答过程，会比较简单。 例 2．如图 5—4 所示，在光滑的水平地面上静止放有一块质量 m3=2 kg，长 度 L=0. 6 m 的木板，板的左右两端分别放置质量 m1=2 kg，m2=4 kg 的两物 块， 并分别以初速度 1 =0.4 m/s, 2 =0.2 m/s 时相向运动．M1 , m2 和 m3 间 的滑动摩擦因数均为μ=0.22.试求： （1）m2 在木块上的最大位移； （2）m1 在木块上的最大位移； （3）m3 的最大位移． 分析和解：物体 1、2 可能会相碰，可能不会相碰，要予以讨论。讨论后利 用动量守恒（和质心守恒）解答本题，会比较简单。 （1）假设物块 1 、2 在木板上不会相碰，当 2 3 时，2 相对于 3 有最大位 移，则 2 a2t a3t 同
刚体角动量
注意：该定律不仅适用于刚体，同样也适用于绕 定轴转动的任意物体系统。 说明： 物体绕转轴转动时，转动惯量可以改变，由于角
动量为恒量
I 00 I
I 可变，ω 亦可变，但仍有Iω=常数
解题步骤
1. 确定研究对象，选系统。
2. 判断守恒条件。
M 0 ，用角动量定理 M 0 ，用角动量守恒
3mv 0l 9mv 0 4I 4 Ml
v0
m v
2
M r f
M＝ f r R NR
1 2 M J mR 2
1 2 NR mR 2
1 m R N 2
刚体的角动量定理 角动量守恒定律 一、刚体的角动量
质点的角动量：
ri
vi
L r P r mv
刚体上任选一质元的角动量
dm
gdm
重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质 心所产生的力矩一样
1 m glcos M 3g cos 2 1 I 2l m l2 3
d d d d dt d dt d
3g 3 g sin cos d d 0 2l 0 l
转动定律
M I
解题类型
1．转动惯量和力矩，求角加速度；
2．已知转动惯量和角加速度，求力矩。
解题步骤： 1. 确定研究对象； 2. 受力分析； 3. 转轴上选择正方向 ；
4. 列运动方程或转动方程；
5. 解方程；
注意：
1．力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的；
2. 对同一转轴转动惯量可叠加
例4、一个飞轮的质量为69kg，半 径为0.25m,正在以每分1000转的转 速转动。现在要制动飞轮，要求在 5.0秒内使它均匀减速而最后停下 来。求闸瓦对轮子的压力N为多大？ 摩擦系数为 解：设转轴垂直向里为正 飞轮制动时有角加速度 fr N
动量为恒量
I 00 I
I 可变，ω 亦可变，但仍有Iω=常数
解题步骤
1. 确定研究对象，选系统。
2. 判断守恒条件。
M 0 ，用角动量定理 M 0 ，用角动量守恒
3mv 0l 9mv 0 4I 4 Ml
v0
m v
2
M r f
M＝ f r R NR
1 2 M J mR 2
1 2 NR mR 2
1 m R N 2
刚体的角动量定理 角动量守恒定律 一、刚体的角动量
质点的角动量：
ri
vi
L r P r mv
刚体上任选一质元的角动量
dm
gdm
重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质 心所产生的力矩一样
1 m glcos M 3g cos 2 1 I 2l m l2 3
d d d d dt d dt d
3g 3 g sin cos d d 0 2l 0 l
转动定律
M I
解题类型
1．转动惯量和力矩，求角加速度；
2．已知转动惯量和角加速度，求力矩。
解题步骤： 1. 确定研究对象； 2. 受力分析； 3. 转轴上选择正方向 ；
4. 列运动方程或转动方程；
5. 解方程；
注意：
1．力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的；
2. 对同一转轴转动惯量可叠加
例4、一个飞轮的质量为69kg，半 径为0.25m,正在以每分1000转的转 速转动。现在要制动飞轮，要求在 5.0秒内使它均匀减速而最后停下 来。求闸瓦对轮子的压力N为多大？ 摩擦系数为 解：设转轴垂直向里为正 飞轮制动时有角加速度 fr N
刚体的角动量守恒刚体的角动量定理若刚体的合外力矩等于零
刚体是一种特殊的质点组。任意质点间相对位置不变
刚体
4/13/2021 4:00 PM
无穷质点组合 （质点组）
刚体运动
质点组的 运动
2
2.
刚体的受力模型
第 i 个质点受力 Fi FiE
f ij
ji
整个质点组（刚体）受力
=0
F Fi FiE
fij 内力演示
i
i
i ji
FiE
i
y
刚体受到的力矩 相对O点的力矩
9
2. 平行轴定理
刚体对任一转动轴 的转动惯量 等于 刚体过质心且平行 这一转动轴的转动 惯量 再加上刚体
I Ic md2
I
Ic
I
dm ( x2 y2 )
o
x
d
oc dm y
dm [(xc x)2 ( yc y)2 ]
质量乘上两平行轴
之间的距离的平方。
dm [(xc2 Ic md2
F
mi ai mac
i
刚体的平动
刚体在合外力作用下，其运动特征类似于一个质量等
于刚体质量的质点的运动。
运动特征：
miai
miai
ac
i
m
i
mi
对应质点位置矢量：
i mi ri
rc
i
m
更一般表述：
rc
rdm
rdV
4/13/2021 4:00 PM
dm dV
刚体的 质心
5
2 刚体绕某点（如质心）
20
例3.10 陀螺仪与进动 END 4/13/2021 4:00 PM
Mgl
L
Mgl L d L
8第八讲 质点角动量,角动量守恒定律
解： L r p r mv d mv LA d1mv sin 1 2 LB d2 mv sin
d2 mv sin(
A
d1 d2
m
v
d2 mv cos d1mv
LC 0
2
)
B
d3
C
例2：（P80例5-2）质量为2.0kg的质点位于 1 v ( 1 . 0 i 3 . 0 j ) m s x=2.0m,y=1.0m处时，速度为 ， 作用在质点上的力为 F (2.0i 3.0 j ) N ，求质点对 原点O角动量和力 F 对原点的力矩。 解：该质点的位置矢量 r xi yj (2.0i 1.0 j )m 质点的动量 p mv 2.0(1.0i 3.0 j )kg m s1
i
j
k
例题：（P80例5-2）质量为2.0kg的质点位于 1 v ( 1 . 0 i 3 . 0 j ) m s x=2.0m,y=1.0m处时，速度为 ， 作用在质点上的力为 F (2.0i 3.0 j ) N ，求质点对 原点O角动量和力 F 对原点的力矩。
M x yFz zFy
力矩在各坐标轴的分量为： M y zFx xFz
i
j
k
M z xFy yF
如：力对O点的力矩 M 在通过O点的任一轴线（如 z 轴）上的分量，叫做力对 z 轴的力矩，用 M z表示。
2、质点的角动量（动量矩） 质点对定点O的角动量 质量为 m 的质点在t时刻 以速度 v 运动，质点相对于原 点的角动量定义为：
Mdt 角冲量：