第1讲：捷联惯导系统(1-1)Allan方差

捷联惯导系统 的关键问题捷联系统的导航任务关键问题（光学陀螺捷联惯导系统）： （一）惯性器件误差的分析与补偿1．随机误差2．温度漂移误差（二）初始对准初始对准的任务是确定捷联矩阵的初始值。

初始对准的误差将会对捷联惯导系统的工作造成难以消除的影响，导致对准误差的主要因素：1．惯性器件误差；2．干扰运动。

因此，滤波技术对捷联系统尤为重要。

（三）姿态解算中的动态误差补偿高频动态环境下，必须补偿如下的整流误差：1．圆锥误差（姿态误差）2．划船误差（速度误差）3．涡卷误差（位置误差）第一部分惯性器件误差的 分析与补偿1．光学陀螺的数学模型与主要性能指标 1.1 光学陀螺的工作原理Sagnac环形干涉仪1.2 数学模型与性能指标由IEEE 标准给出的光学陀螺输入输出模型为160]101][[)/(−−+++=∆∆K D E I t N S ε （1-1）式中：为标称的标度因子，单位：（角秒/脉冲数）；0S /P "t N ∆∆/为输出脉冲速率，单位：（脉冲数/秒）； s /P I 为输入角速度，单位：（角秒/秒）；s /"E 为环境敏感误差，主要由温度变化引起，单位：； s /"D 为漂移误差，单位：；s /"k ε为标度因子误差，单位：。

ppm 表征光学陀螺的主要性能指标有标度因数、零偏、零漂、随机游走系数，其中后三项用于描述光学陀螺输出中的漂移误差。

标度因数：陀螺仪输出量与输入角速度的比值，通常取/P′′（脉冲数/角秒）的量纲。

零偏：是当输入角速度为零时陀螺仪的输出，以规定时间内测得的输出量平均值相应的等效输入角速度表示，习惯上取（度/小时）的量纲。

h/o零漂：又称为零偏稳定性。

通常，静态情况下光学陀螺长时间稳态输出是一个平稳随机过程，即稳态输出将围绕零偏起伏和波动，表示这种起伏和波动的标准差被定义为零漂，其单位用表示。

h/o随机游走系数：由白噪声产生的随时间积累的输出误差系数，其量纲为h/o，它反映了光学陀螺输出随机噪声的强度。

由于零偏与标度因数受环境温度影响很大，所以在测试这两项指标时需要考虑温度因素。

静基座上三轴光纤陀螺的角速度测量值2．光学陀螺随机漂移误差的Allan方差分析光学陀螺的随机误差主要包括：量化噪声、角度随机游走、零偏不稳定性、角速率随机游走、速率斜坡和正弦分量。

对于这些随机误差，利用常规的分析方法，例如计算样本均值和方差，并不能揭示出潜在的误差源。

另一方面，虽然自相关函数和功率谱密度函数分别从时域和频域描述了随机误差的统计特性，但是在实际工作中通过对自相关函数和功率谱密度函数加以分析将随机误差分离出来是很困难的。

Allan方差法是20世纪60年代由美国国家标准局的David Allan 提出的，它是一种基于时域的分析方法，不仅可以用来分析光学陀螺的误差特性，而且还可以应用于其它任何精密测量仪器。

Allan方差法的主要特点是能非常容易地对各种误差源及其对整个噪声统计特性的贡献进行细致的表征和辨识，而且具有便于计算、易于分离等优点。

2.1 Allan 方差的定义与计算（1）基于角速率测量值的Allan 方差设以采样时间0τ对陀螺仪输出角速率进行采样，共采样了N 个点，把所获得的N 个数据分成组，K M N K =，每组包含M ()()21−≤N M 个采样点44443444421L L 444344421L 4434421L Kk N M N M N k M M M k M =+−+−=++=ωωωωωωωωω,,,,,,,2,122,2,11,2,1 图1-1每一组的持续时间0ττM M =称为相关时间，每一组的平均值计算如下()()K k M M M i i M k k ,,2,1111L ==∑=+−ωω （1-2） Allan 方差定义为()()()()()()()()∑−=++−−=−≡112121212121K k k k k k M A M M K M M ωωωωτσ （1-3） 式中，表示求总体平均。

（2）基于角度测量值的Allan 方差光学陀螺直接输出的实际上是角度测量值()()∫′′=t t d t t ωθ （1-4）设采样时间为0τ，则角度测量值是在离散时刻()N k k t k ,,2,10L ==τ上进行的，简记为)(0τθθk k =。

时刻k t 与τ+k t 间的平均角速率为()τθθτωkm k k −=+ （1-5）式中，0ττm =。

则由角度测量值定义的Allan 方差为()()()()()()∑−=++++−−=−=m N k k m k m kk k A m N m m 21222212222121θθθτωωτσ （1-6）Allan 方差的平方根()τσA 通常被称为Allan 标准差。

（3）Allan 方差与功率谱密度的关系由Allan 方差的定义可以看出，它是光学陀螺稳定性的一个度量，它和影响陀螺仪性能的固有的随机过程统计特性有关。

Allan 方差与原始测量数据中噪声项的双边功率谱密度（PSD）()f S ω存在关系()()()()df f f f S A ∫∞=0242sin 4τπτπτσω （1-7） 上式说明：当通过一个传递函数为()()24sin τπτπf f 的滤波器时，Allan 方差与陀螺仪输出的噪声总能量成正比。

由此，Allan 方差提供了一种方法，能够识别并量化存在于数据中的不同噪声项。

2.2 随机噪声的Allan 方差（1） 量化噪声量化噪声是由光学陀螺输出的数字特性引起的，代表了光学陀螺的最低分辨率水平。

量化噪声的Allan 方差为：()2223ττσQ Q =量化噪声的Allan 标准差在()τσA -τ的双对数图中是斜率为-1的直线，量化噪声可以在3=τ处读出。

量化噪声()τσ-τ双对数图量化噪声具有短的互相关时间，相当于具有很宽的带宽。

在许多应用中，量化噪声因为载体运动的低带宽而被滤掉了，在光学陀螺中不是主要的误差源。

但在瞄准和跟踪等系统中，由于要求采样速度很快，量化噪声会成为主要的噪声源，需要采取措施抑制。

（2）角度随机游走光学陀螺具有速率积分的特性，由角速率随机白噪声积分引起的误差角增量具有随机游动的特性，这一误差被称为光学陀螺的角度随机游走。

f和这一误差的主要来源是：光子的自发辐射（导致两波频率cwf有一波动）、探测器的散粒噪声、机械抖动；另外，其它相关时间ccw比采样时间短得多的高频噪声，也引起光学陀螺的角度随机游走。

对于采用抖动偏频的激光陀螺来说，由于交变偏频使激光陀螺频繁通过锁区，产生较大的角度随机游走误差，该误差成为激光陀螺的主要误差源。

角度随机游走噪声的带宽一般低于10Hz，处于大多数姿态控制系统的带宽之内。

因此，若不能精确确定角度随机游走，它有可能成为限制姿态控制系统精度的主要误差源。

角度随机游走的特征是具有角速率白噪声功率谱2)(N f S =ω，对其进行如式（1-7）的积分，得到Allan 方差：()ττσ22Narw =角度随机游走()τσ-τ双对数图（3）零偏不稳定性（f 1噪声、闪烁噪声）这种噪声是角速率数据中的低频零偏波动。

这种噪声的来源是光学陀螺中的放电组件、等离子体放电电路噪声，或环境噪声。

另外，产生随机闪烁的部件也可引起零偏不稳定性。

这一噪声的Allan 方差为()()()()02232216648.042cos 4sin 2sin 2ln 2f B x Ci x Ci x x x x x B b >>⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++−=τπτσ式中，B 为零偏不稳定性系数，τπ0f x =，为余弦积分函数，为截止频率。

Ci 0f在)(τσ-τ双对数图中，01f >>τ时，零偏不稳定性的Allan 方差达到稳定，其值可以用来估计零偏不稳定的极限以及估计可能存在的闪烁噪声的截止频率。

由曲线的平直部分可估计出零偏不稳定性系数。

B零偏不稳定性()τσ-τ双对数图（4）角速率随机游走角速率随机游走是带宽角加速度信号的功率谱密度积分的结果。

其来源不太确定，可能是具有长相关时间的指数相关噪声的极限情况，也可能是由于晶体振荡器的老化效应。

这一噪声的Allan 方差为()322ττσK rrw =上式表明，角速率随机游走可由()τσ-τ双对数图中一条斜率为21的直线表示，而且角速率随机游走系数的值可在K 3=τ时估计出。

角速率随机游走()τσ-τ双对数图（5）速率斜坡速率斜坡本质上是一种确定性误差，而不是随机噪声。

它在陀螺仪数据中出现，可能是由于光学陀螺光强在长时间内有非常缓慢的单调变化，也可能是由于在同一方向上平台保持非常小的加速度，并持续很长时间，或者是由于外界环境引起光学陀螺的温度变化，从而表现为光学陀螺的真实输入Rt t =)(ω 式中，R 是速率斜坡系数。

对包含由上式给出的输入数据进行Allan 方差分析，可得到()2222ττσR rr =上式表明在()τσ-τ双对数图中，速率斜坡噪声的斜率为1，而且速率斜坡系数R 的值可在2=τ处估计出。

速率斜坡()τσ-τ双对数图（6）指数相关噪声指数相关噪声，即马尔柯夫过程，用具有有限相关时间的指数衰减函数描述，其可能噪声源是随机机械抖动。

因为抖动机构的谐振特性，使得不允许所有的频率等幅作用在陀螺体上。

这样随机抖动就引起陀螺仪的相关噪声。

这种噪声的Allan 方差为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+−−=−−)43(21)()(222c c T T c c Mee T qT τττττσ 式中，为噪声幅度，c q c T 为马尔柯夫过程的相关时间。

在τ比过程相关时间c T 长的多时，有()()ττσ22c c MT q =，c T >>τ这就是角度随机游走下的Allan 方差，其中c c T q N =为角度随机游走系数。

在τ比过程相关时间c T 短的多时，有()ττσ322cM q =，c T <<τ这就是速率随机游走的Allan 方差，便为速率随机游走系数。

c q指数相关噪声的()τσ-τ双对数图（7）正弦噪声这种噪声用一组特定的频率函数描述。

其高频噪声可能来自于激光放电中的等离子体振荡，而低频噪声是由于环境的周期性变化引起测试平台的缓慢运动而造成的。

包含单一频率的正弦噪声的Allan 方差为2002202)(sin )(⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=τπτπωτσf f s式中，0ω为速率幅度，0f 为噪声的频率。

正弦噪声的()τσ-τ双对数曲线图中，当01f <<τ时，()τσs 正比于τ，斜率为+1；而当01f >>τ，就表现为以斜率-1衰减的具有许多峰值的正弦式波形。

正弦噪声的()τσ-τ双对数图在光学陀螺数据中，辨别和估算出正弦噪声要求观察到几个峰值，但是正如图所见到的，连续峰值的振幅下降很快，并可能被其它更高阶的频率掩盖，使观察变得很困难。