2019年高考数学(文)一轮复习第十八单元 圆锥曲线 ---精校Word版含答案
3．【答案】C
【解析】由双曲线的方程 ，可得一条渐近线的方程为 ，
所以 ，解得 ，所以双曲线的实轴长为 ，故选C．
4．【答案】C
【解析】设椭圆的右焦点为 连接 ， ，
因为 ， ，所以四边形 是平行四边形．
所以 ，所以 ，故选C．
5．【答案】A
【解析】由题意，椭圆满足 ， ，
由椭圆的定义可得 ， ，解得 ， ，
（2）若 的面积为 ，求直线 的方程．
21．（12分）如图，过抛物线 的焦点 作一条倾斜角为 的直线与抛物线相交于 ， 两点．
（1）用 表示 ；
（2）若 求这个抛物线的方程．
22．（12分）已知中心在原点的双曲线 的右焦点为 ，右顶点为 ，（ 为原点）
（1）求双曲线 的方程；
（2）若直线 ： 与双曲线恒有两个不同的交点 和 ，且 ，求 的取值范围．
【解析】由抛物线定义可知： ， ，设 ，
∵ ，∴ ，作 交 于 ，则
在 中， ，∴直线 的倾斜角为 ，故选C．
12．【答案】C
【解析】设 ， 的坐标为 ， ， ， ，
， 的方程为 ，
由 ， ，可得 ，
切线 ， 都过点 ， ， ，
故可知过 ， 两点的直线方程为 ，
当 时， ，直线 恒过定点 ，故选C．
A．4B．5C．8D．10
8．已知双曲线 的离心率为 ，其左焦点为 ，则双曲线 的方程为（）
A． B． C． D．
9．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ， ， 分别是双曲线 的左、右焦点，点 在双曲线 上，且 ，则 （）
A．1B．3C．1或9D．3或7
10．双曲线 的离心率是 ，过右焦点 作渐近线 的垂线，垂足为 ，若 的面积是1，则双曲线 的实轴长是（）
教育单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（A）
第十八单元圆锥曲线
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】B
【解析】因为双曲线方程为 ，所以焦点坐标可设为 ，
因为 ， ，所以焦点坐标为 ，选B．
2．【答案】A
【解析】双曲线 的焦距等于离心率．可得： ，
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．双曲线 的焦点坐标是（）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．若双曲线 的焦距等于离心率，则 （）
A． B． C． D．
3．若双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则此双曲线的实轴长为（）
单元训练金卷▪高三▪．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】根据题意，抛物线 的标准方程为 ，
其焦点坐标为 ，准线方程为 ，
则其焦点到准线的距离为 ，故答案为 ．
13．抛物线 的焦点到准线的距离为__________．
14．已知 为双曲线 的一个焦点，则点 到 的一条渐近线的距离为______．
15．设椭圆 的右焦点与抛物线 的焦点相同，离心率为 ，则此椭圆的方程为__________．
16．设抛物线 的焦点为 ，过点 且倾斜角为 的直线 与抛物线相交于 ， 两点， ，则该抛物线的方程为__________．
∴ ， ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴双曲线 的标准方程为 ，故选D．
9．【答案】C
【解析】由双曲线的方程，渐近线方程可得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
由双曲线的定义可得 ，所以 或 ，故选C．
10．【答案】D
【解析】因为 ， ，所以 ，故 ，即 ，
由 ，所以 ，即 ，故 ， ，双曲线的实轴长为2．故选D．
11．【答案】C
又 ，解得 ，所以椭圆的短轴为 ，故选A．
6．【答案】C
【解析】由题意得 ，∴ ，
又双曲线 的渐近线方程为 ，
∴双曲线的渐近线方程是 ，即 ，故选C．
7．【答案】A
【解析】由抛物线的方程 ，可得 ， ，准线方程为 ，
设 ，则 ，即 ，不妨设 在第一象限，则 ，
所以 ，故选A．
8．【答案】D
【解析】∵双曲线 的离心率为 ，其左焦点为 ，
A．2B．4C．18D．36
4．设椭圆 的左焦点为 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，则 的值是（）
A．2B． C．4D．
5．设 、 是椭圆的两个焦点，点 为椭圆上的点，且 ， ，则椭圆的短轴长为（）
A．6B．8C．9D．10
6．双曲线 的离心率为2，则双曲线的渐近线方程是（）
A． B． C． D．
7．已知抛物线 的焦点为 ，准线 与 轴的交点为 ，抛物线上一点 ，若 ，则 的面积为（）
A． B． C．1D．2
11．如图， 为经过抛物线 焦点 的弦，点 ， 在直线 上的射影分别为 ， ，且 ，则直线 的倾斜角为（）
A． B． C． D．
12．已知抛物线 ，过点 作该抛物线的切线 ， ，切点为 ， ，若直线 恒过定点，则该定点为（）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 ，求弦长 ．
19．（12分）已知点 在抛物线 上， 为焦点，且 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）过点 的直线 交抛物线 于 ， 两点， 为坐标原点，求 的值．
20．（12分）抛物线 上的点 到点 的距离与到直线 的距离之差为1，过点 的直线 交抛物线于 ， 两点．
（1）求抛物线的方程；
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）设命题 ：对任意实数 ，不等式 恒成立；命题 :方程 表示焦点在 轴上的双曲线．
（1）若命题 为真命题，求实数 的取值范围；
（2）若 是 的充分条件，求实数 的取值范围．
18．（12分）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 、 ，焦距为2，过点 作直线交椭圆 于 、 两点， 的周长为 ．
高考数学圆锥曲线专题复习
圆锥曲线一、知识结构 1.方程的曲线在平面直角坐标系中,如果某曲线C 看作适合某种条件的点的集合或轨迹 上的点与一个二元方程fx,y=0的实数解建立了如下的关系：1曲线上的点的坐标都是这个方程的解；2以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.点与曲线的关系 若曲线C 的方程是fx,y=0,则点P 0x 0,y 0在曲线C 上⇔fx 0,y=0；点P 0x 0,y 0不在曲线C 上⇔fx 0,y 0≠0两条曲线的交点 若曲线C 1,C 2的方程分别为f 1x,y=0,f 2x,y=0,则 f 1x 0,y 0=0 点P 0x 0,y 0是C 1,C 2的交点⇔f 2x 0,y 0 =0方程组有n 个不同的实数解,两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解,曲线就没有 交点.2.圆圆的定义：点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝,其中定点O 为圆心,定长r 为半径. 圆的方程： 1标准方程圆心在ca,b,半径为r 的圆方程是x-a 2+y-b 2=r 2圆心在坐标原点,半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 22一般方程当D 2+E 2-4F ＞0时,一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程,圆心为-2D ,-2E,半径是24F-E D 22+.配方,将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为x+2D 2+y+2E 2=44F -E D 22+当D 2+E 2-4F=0时,方程表示一个点-2D ,-2E; 当D 2+E 2-4F ＜0时,方程不表示任何图形.点与圆的位置关系 已知圆心Ca,b,半径为r,点M 的坐标为x 0,y 0,则 ｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内,｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上,｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内,其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +. 3直线和圆的位置关系①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交⇔有两个公共点 直线与圆相切⇔有一个公共点 直线与圆相离⇔没有公共点②直线和圆的位置关系的判定 i 判别式法ii 利用圆心Ca,b 到直线Ax+By+C=0的距离d=22C Bb Aa BA +++与半径r 的大小关系来判定.3.椭圆、双曲线和抛物线基本知识4.圆锥曲线的统一定义平面内的动点Px,y到一个定点Fc,0的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数ee＞0,则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点Fc,0称为焦点,定直线l称为准线,正常数e称为离心率.当0＜e＜1时,轨迹为椭圆,当e=1时,轨迹为抛物线当e＞1时,轨迹为双曲线5.坐标变换坐标变换在解析几何中,把坐标系的变换如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向叫做坐标变换.实施坐标变换时,点的位置,曲线的形状、大小、位置都不改变,仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.坐标轴的平移坐标轴的方向和长度单位不改变,只改变原点的位置,这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移,简称移轴.坐标轴的平移公式设平面内任意一点M,它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y,在新坐标系x ′O′y′中的坐标是x′,y′.设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy 中的坐标是h,k,则x=x′+h x′=x-h1 或2y=y′+k y′=y-k公式1或2叫做平移或移轴公式.中心或顶点在h,k的圆锥曲线方程见下表.方程焦点焦线对称轴椭圆22h)-(xa+22k)-(yb=1 ±c+h,k x=±ca2+hx=hy=k 22h)-(xb+22k)-(ya=1h,±c+k y=±ca2+kx=hy=k双曲线22h)-(xa-22k)-(yb=1 ±c+h,k=±ca2+kx=hy=k 22k)-(ya-22h)-(xb=1 h,±c+h y=±ca2+kx=hy=k抛物线y-k2=2px-h2p+h,k x=-2p+h y=ky-k2=-2px-h -2p+h,k x=2p+h y=kx-h2=2py-k h,2p+k y=-2p+k x=hx-h2=-2py-k h,-2p+k y=2p+k x=h二、知识点、能力点提示一曲线和方程,由已知条件列出曲线的方程,曲线的交点说明在求曲线方程之前必须建立坐标系,然后根据条件列出等式进行化简 .特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形,是否满足已知条件,只有这样求出的曲线方程才能准确无误.另外,要求会判断曲线间有无交点,会求曲线的交点坐标.三、考纲中对圆锥曲线的要求：考试内容：. 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程；. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质；. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质；考试要求：. 1掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,理解椭圆的参数方程；. 2掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质；. 3掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质；. 4了解圆锥曲线的初步应用;四．对考试大纲的理解高考圆锥曲线试题一般有3题1个选择题, 1个填空题, 1个解答题, 共计22分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查以圆锥曲线的基本概念和性质为主, 难度在中等以下,一般较容易得分,解答题常作为数学高考中的压轴题,综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力,重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 往往结合平面向量进行求解,在复习应充分重视;求圆锥曲线的方程复习要点求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点,主要考查识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力,解决好这类问题,除要求熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外,命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题,解决这类问题常用定义法和待定系数法.一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤.定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时,可设方程为mx 2+ny 2=1m ＞0,n ＞0.定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系,通过解方程得到量的大小. 例题【例1】 双曲线2224b y x =1b ∈N 的两个焦点F 1、F 2,P 为双曲线上一点,|OP |＜5,|PF 1|,|F 1F 2|,|PF 2|成等比数列,则b 2=_________.解：设F 1－c ,0、F 2c ,0、Px ,y ,则 |PF 1|2+|PF 2|2=2|PO |2+|F 1O |2＜252+c 2, 即|PF 1|2+|PF 2|2＜50+2c 2,又∵|PF 1|2+|PF 2|2=|PF 1|－|PF 2|2+2|PF 1|·|PF 2|, 依双曲线定义,有|PF 1|－|PF 2|=4, 依已知条件有|PF 1|·|PF 2|=|F 1F 2|2=4c 2 ∴16+8c 2＜50+2c 2,∴c 2＜317,又∵c 2=4+b 2＜317,∴b 2＜35,∴b 2=1.【例2】 已知圆C 1的方程为()()3201222=-+-y x ,椭圆C 2的方程为12222=+b y a x ()a b >>0,C 2的离心率为22,如果C 1与C 2相交于A 、B 两点,且线段AB 恰为圆C 1的直径,求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程;解：由,2,22,22222b c a a c e ====得设椭圆方程为.122222=+b y b x设).1,2().,().,(2211由圆心为y x B y x A 又,12,12222222221221=+=+b y b x b y b x两式相减,得.022222122221=-+-b y y b x x 又.1.2.421212121-=--=+=+x x yy y y x x 得即3+-=x y 将得代入,1232222=++-=b y b x x y由.3204)(222122121=-+=-=x x x x x x B A 得.3203722422=-⋅b 解得 .82=b 故所有椭圆方程.181622=+y x【例3】 过点1,0的直线l 与中心在原点,焦点在x 轴上且离心率为22的椭圆C 相交于A 、B 两点,直线y =21x 过线段AB 的中点,同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称,试求直线l 与椭圆C 的方程. 解法一：由e =22=a c ,得21222=-a b a ,从而a 2=2b 2,c =b .设椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2,Ax 1,y 1,Bx 2,y 2在椭圆上. 则x 12+2y 12=2b 2,x 22+2y 22=2b 2,两式相减得,x 12－x 22+2y 12－y 22=0,.)(221212121y y x x x x y y ++-=--设AB 中点为x 0,y 0,则k AB =－02y x , 又x 0,y 0在直线y =21x上,y 0=21x 0,于是－02y x =－1,k AB =－1,设l 的方程为y =－x +1.右焦点b ,0关于l 的对称点设为x由点1,1－b 在椭圆上,得1+21－b 2=2b 2,b 2=89,1692=a .∴所求椭圆C的方程为2291698y x + =1,l的方程为y =－x +1.解法二：由e =21,22222=-=a b a a c 得,从而a 2=2b 2,c =b .设椭圆C 的方程为x 2+2y 2=2b 2,l 的方程为y =kx －1, 将l 的方程代入C 的方程,得1+2k 2x 2－4k 2x +2k 2－2b 2=0, 则x 1+x 2=22214k k +,y 1+y 2=kx 1－1+kx 2－1=kx 1+x 2－2k =－2212k k +.直线l ：y =21x 过AB 的中点2,22121y y x x ++,则2222122121k k k k +⋅=+-, 解得k =0,或k =－1.若k =0,则l 的方程为y =0,焦点Fc ,0关于直线l 的对称点就是F 点本身,不能在椭圆C 上,所以k =0舍去,从而k =－1,直线l 的方程为y =－x －1,即y =－x +1,以下同解法一.解法3：设椭圆方程为)1()0(12222>>=+b a by ax直线l 不平行于y 轴,否则AB 中点在x 轴上与直线AB x y 过21=中点矛盾; 故可设直线)2()1(-=x k y l 的方程为)()(2211y x B y x A ，，设,22222212ba k a k x x +=+知：21221=+-x x k k ,212222222=+⋅-∴a k b a k k k ,2122=--∴ka b k k ,22=e 又122)(22222222-=+-=--=-=∴e a c a a b k ,x y l -=∴1的方程为直线,222b a =此时,02243)3(22=-+-b x x 化为方程,0)13(8)1(241622>-=--=∆b b33>∴b ,)4(22222b y x C =+的方程可写成：椭圆,2222b b a c =-=又,)0(，右焦点b F ∴,)(00y x l F ，的对称点关于直线设点,则b y x b x y b x y -=-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==-11212100000，, 得：在椭圆上，代入，又点)4()11(b -22)1(21b b =-+,3343>=∴b ,1692=∴b , 892=a 所以所求的椭圆方程为：11698922=+y x 【例4】 如图,已知△P 1OP 2的面积为427,P 为线段P 1P 2的一个三等分点,求以直线OP 1、OP 2为渐近线且过点P 的离心率为213的双曲线方程.解：以O 为原点,∠P 1OP 2的角平分线为x 轴建立如图所示的直角坐标系. 设双曲线方程为2222by ax -=1a ＞0,b ＞0由e 2=2222)213()(1=+=a b a c ,得23=a b .∴两渐近线OP 1、OP 2方程分别为y =23x 和y =－23x设点P 1x 1, 23x 1,P 2x 2,－23x 2x 1＞0,x 2＞0,则由点P 分21P P 所成的比λ=21PP PP =2,得P 点坐标为22,322121x x x x -+,又点P 在双曲线222294ay ax -=1上, 所以222122219)2(9)2(a x x a x x --+=1,即x 1+2x 22－x 1－2x 22=9a 2,整理得8x 1x 2=9a 2 ①即x 1x 2= 29②由①、②得a 2=4,b 2=9 故双曲线方程为9422y x -=1.【例5】 过椭圆C ：)0(12222>>=+b a b x a y 上一动点P 引圆O ：x 2 +y 2 =b 2的两条切线P A 、P B ,A 、B 为切点,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于M 、N 两点;1 已知P 点坐标为x 0,y 0 并且x 0y 0≠0,试求直线AB 方程；2 若椭圆的短轴长为8,并且1625||||2222=+ON b OM a ,求椭圆C 的方程；3 椭圆C 上是否存在点P,由P 向圆O 所引两条切线互相垂直若存在,请求出存在的条件；若不存在,请说明理由; 解：1设Ax 1,y 1,Bx 2, y 2切线P A ：211b y y x x =+,P B ：222b y y x x =+ ∵P 点在切线P A 、P B 上,∴202022101b y y x x b y y x x =+=+∴直线AB 的方程为)0(00200≠=+y x b y y x x2在直线AB 方程中,令y =0,则M 02x b ,0；令x =0,则N0,2y b∴1625)(||||22220220222222==+=+ba b x a y b a ON b OM a ①∵2b =8 ∴b =4 代入①得a 2 =25, b 2 =16 ∴椭圆C 方程：)0(1162522≠=+xy x y 注：不剔除xy ≠0,可不扣分3 假设存在点P x 0,y 0满足P A ⊥P B ,连接O A 、O B 由|P A |=|P B |知,四边形P A O B 为正方形,|OP|=2|O A | ∴220202b y x =+ ① 又∵P 点在椭圆C 上 ∴22202202b a y b x a =+ ②由①②知x2222202222220,)2(b a b a y b a b a b -=--=∵a >b >0 ∴a 2－b 2>01当a 2－2b 2>0,即a >2b 时,椭圆C 上存在点,由P 点向圆所引两切线互相垂直； 2当a 2－2b 2<0,即b <b 时,椭圆C 上不存在满足条件的P 点【例6】 已知椭圆C 的焦点是F 1－3,0、F 23,0,点F 1到相应的准线的距离为33,过F 2点且倾斜角为锐角的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点,使得|F 2B|=3|F 2A|.1求椭圆C 的方程；2求直线l 的方程. 解：1依题意,椭圆中心为O0,0,3=c点F 1到相应准线的距离为1333,322=⨯=∴=b cb, a 2=b 2+c 2=1+3=4∴所求椭圆方程为1422=+y x2设椭圆的右准线l '与l 交于点P,作AM ⊥l ',AN⊥l ',垂足分别为M 、N. 由椭圆第二定义, 得||||||||22AM e AF e AM AF =⇒=同理|BF 2|=e|BN| 由Rt △PAM ～Rt △PBN,得||2||2||21||2AM e A F AB PA ===…9分 l ePA AM PAM ⇒=⨯===∠∴33232121||||cos 的斜率2tan =∠=PAM k .∴直线l 的方程062)3(2=---=y x x y 即【例7】 已知点B －1,0,C1,0,P 是平面上一动点,且满足.||||CB PB BC PC ⋅=⋅1求点P 的轨迹C 对应的方程；x2已知点Am,2在曲线C 上,过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE,且AD ⊥AE,判断：直线DE 是否过定点试证明你的结论.3已知点Am,2在曲线C 上,过点A 作曲线C 的两条弦AD,AE,且AD,AE 的斜率k 1、k 2满足k 1·k 2=2.求证：直线DE 过定点,并求出这个定点.解：1设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得代入【例8】 已知曲线332)0,0(12222=>>=-e b a by ax 的离心率,直线l 过A a ,0、B0,－b 两点,原点O 到l 的距离是.23 Ⅰ求双曲线的方程；Ⅱ过点B 作直线m 交双曲线于M 、N 两点,若23-=⋅ON OM ,求直线m 的方程. 解：Ⅰ依题意,,0,1=--=-+ab ay bx byax l 即方程 由原点O 到l 的距离为23,得2322==+c ab ba ab 又332==ac e 3,1==∴a b故所求双曲线方程为1322=-y xⅡ显然直线m 不与x 轴垂直,设m 方程为y =k x －1,则点M 、N 坐标11,y x 、22,y x 是方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=13122y x kx y 的解 消去y ,得066)31(22=-+-kx x k ① 依设,,0312≠-k 由根与系数关系,知136,136221221-=-=+k x x k k x x =1)()1(21212++-+x x k x x k =113613)1(62222+---+k k k k =11362+-k23-=⋅ON OM ∴11362+-k =－23,k=±21 当k=±21时,方程①有两个不等的实数根 故直线l 方程为121,121--=-=x y x y 或【例9】 已知动点P 与双曲线13222=-y x 的两个焦点1F 、2F 的距离之和为定值,且21cos PF F ∠的最小值为91-．1求动点P 的轨迹方程；2若已知)3,0(D ,M 、N 在动点P 的轨迹上且DN DM λ=,求实数λ的取值范围． 解：1由已知可得： 5=c ,912)2(2222-=-+a c a a ∴ 4,92222=-==c a b a∴ 所求的椭圆方程为 14922=+y x . 2方法一：由题知点D 、M 、N 共线,设为直线m,当直线m 的斜率存在时,设为k,则直线m 的方程为 y = k x +3 代入前面的椭圆方程得 4+9k 2 x 2 +54 k +45 = 0 ① 由判别式 045)94(4)54(22≥⨯+⨯-=∆k k ,得952≥k . 再设M x 1 , y 1 , N x 2 , y 2,则一方面有))3(,()3,()3,(222211-=-==-=y x y x DN y x DM λλλλ,得另一方面有 2219454kk x x +-=+,2219445k x x += ②将21x x λ=代入②式并消去 x 2可得94)1(532422+=+k λλ,由前面知, 536402≤<k ∴ 581)1(532492≤+<λλ,解得 551<<λ.又当直线m 的斜率不存在时,不难验证：551==λλ或, 所以 551≤≤λ为所求;方法二:同上得设点M 3cos α,2sin α,N 3cos β,2sin β 则有⎩⎨⎧-=-=)3sin 2(3sin 2cos cos βλαβλα由上式消去α并整理得)(1251813sin 22λλλλβ-+-=, 由于1sin 1≤≤-β∴ 1)(1251813122≤-+-≤-λλλλ, 解得551≤≤λ为所求. 方法三：设法求出椭圆上的点到点D 的距离的最大值为5,最小值为1. 进而推得λ的取值范围为551≤≤λ;求圆锥曲线的方程练习一、选择题1．已知直线x +2y －3=0与圆x 2+y 2+x －6y +m =0相交于P 、Q 两点,O 为坐标原点,若OP ⊥OQ ,则m 等于B.－3D.－12．中心在原点,焦点在坐标为0,±52的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21,则椭圆方程为二、填空题3．直线l 的方程为y =x +3,在l 上任取一点P ,若过点P 且以双曲线12x 2－4y 2=3的焦点作椭圆的焦点,那么具有最短长轴的椭圆方程为_________.4．已知圆过点P 4,－2、Q －1,3两点,且在y 轴上截得的线段长为43,则该圆的方程为_________.三、解答题5．已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,它的一个焦点为F ,M 是椭圆上的任意点,|MF |的最大值和最小值的几何平均数为2,椭圆上存在着以y =x 为轴的对称点M 1和M 2,且|M 1M 2|=3104,试求椭圆的方程.6．某抛物线形拱桥跨度是20米,拱高4米,在建桥时每隔4米需用一支柱支撑,求其中最长的支柱的长.7．已知圆C 1的方程为x －22+y －12=320,椭圆C 2的方程为2222by ax +=1a ＞b ＞0,C 2的离心率为22,如果C 1与C 2相交于A 、B 两点,且线段AB 恰为圆C 1的直径,求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程.参考答案一、1.解析：将直线方程变为x =3－2y ,代入圆的方程x 2+y 2+x －6y +m =0, 得3－2y 2+y 2+3－2y +m =0.整理得5y 2－20y +12+m =0,设Px 1,y 1、Qx 2,y 2 则y 1y 2=512m +,y 1+y 2=4.又∵P 、Q 在直线x =3－2y 上, ∴x 1x 2=3－2y 13－2y 2=4y 1y 2－6y 1+y 2+9 故y 1y 2+x 1x 2=5y 1y 2－6y 1+y 2+9=m －3=0,故m =3. 答案：A2.解析：由题意,可设椭圆方程为：2222b x a y + =1,且a 2=50+b 2,即方程为222250b x b y ++=1.将直线3x －y －2=0代入,整理成关于x 的二次方程. 由x 1+x 2=1可求得b 2=25,a 2=75. 答案：C二、3.解析：所求椭圆的焦点为F 1－1,0,F 21,0,2a =|PF 1|+|PF 2|.欲使2a 最小,只需在直线l 上找一点P .使|PF 1|+|PF 2|最小,利用对称性可解.答案：4522y x + =14.解析：设所求圆的方程为x －a 2+y －b 2=r 2则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-+--=--+-222222222)32(||)3()1()2()4(ra rb a r b a ⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⇒2745130122r b a r b a 或由此可写所求圆的方程.答案：x 2+y 2－2x －12=0或x 2+y 2－10x －8y +4=0三、5.解：|MF |ma x =a +c ,|MF |min =a －c ,则a +ca －c =a 2－c 2=b 2, ∴b 2=4,设椭圆方程为14222=+y a x ① 设过M 1和M 2的直线方程为y =－x +m② 将②代入①得：4+a 2x 2－2a 2mx +a 2m 2－4a 2=0③设M 1x 1,y 1、M 2x 2,y 2,M 1M 2的中点为x 0,y 0, 则x 0=21x 1+x 2=224a m a +,y 0=－x 0+m =244a m +.代入y =x ,得222444amam a +=+,由于a 2＞4,∴m =0,∴由③知x 1+x 2=0,x 1x 2=－2244aa +,又|M 1M 2|=31044)(221221=-+x x x x ,代入x 1+x 2,x 1x 2可解a 2=5,故所求椭圆方程为：4522y x + =1.6.解：以拱顶为原点,水平线为x 轴,建立坐标系,如图,由题意知,|AB |=20,|OM |=4,A 、B 坐标分别为－10,－4、10,－4 设抛物线方程为x 2=－2py ,将A 点坐标代入,得100=－2p ×－4,解得p =, 于是抛物线方程为x 2=－25y .由题意知E 点坐标为2,－4,E ′点横坐标也为2,将2代入得y =－,从而|EE ′|=－－－4=.故最长支柱长应为米.7.解：由e =22,可设椭圆方程为22222b y b x +=1,又设Ax 1,y 1、Bx 2,y 2,则x 1+x 2=4,y 1+y 2=2, 又2222222212212,12by bx by bx +=+=1,两式相减,得22221222212by y bx x -+-=0,即x 1+x 2x 1－x 2+2y 1+y 2y 1－y 2=0. 化简得2121x x y y --=－1,故直线AB 的方程为y =－x +3, 代入椭圆方程得3x 2－12x +18－2b 2=0. 有Δ=24b 2－72＞0,又|AB |=3204)(221221=-+x x x x ,得3209722422=-⋅b ,解得b 2=8.故所求椭圆方程为81622y x +=1.直线与圆锥曲线复习要点直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉开考生“档次”,有利于选拔的功能.1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题,实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题,此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.2.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题,常用“韦达定理法”设而不求计算弦长即应用弦长公式；涉及弦长的中点问题,常用“差分法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活转化,往往就能事半功倍. 例题【例1】 已知椭圆的中心在坐标原点O ,焦点在坐标轴上,直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ,且OP ⊥OQ ,|PQ |=210,求椭圆方程.解：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1m ＞0,n ＞0,Px 1,y 1,Qx 2,y 2 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1122ny mx x y 得m +nx 2+2nx +n －1=0,Δ=4n 2－4m +nn －1＞0,即m +n －mn ＞0,由OP ⊥OQ ,所以x 1x 2+y 1y 2=0,即2x 1x 2+x 1+x 2+1=0, ∴nm nn m n --+-2)1(2+1=0,∴m +n =2①又2)210()(4=+-+nm mn n m 2, 将m +n =2,代入得m ·n =43②由①、②式得m =21,n =23或m =23,n =21 故椭圆方程为22x +23y 2=1或23x 2+21y 2=1.【例2】 如图所示,抛物线y 2=4x 的顶点为O ,点A 的坐标为5,0,倾斜角为4π的直线l 与线段OA 相交不经过点O 或点A 且交抛物线于M 、N 两点,求△AMN 面积最大时直线l 的方程,并求△AMN 的最大面积.解：由题意,可设l 的方程为y =x +m ,－5＜m ＜0. 由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=xy mx y 42,消去y ,得x 2+2m －4x +m 2=0……………①∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ,∴方程①的判别式Δ=2m －42－4m 2=161－m ＞0, 解得m ＜1,又－5＜m ＜0,∴m 的范围为－5,0设Mx 1,y 1,Nx 2,y 2则x 1+x 2=4－2m ,x 1·x 2=m 2, ∴|MN |=4)1(2m -. 点A 到直线l 的距离为d =25m +.∴S △=25+m m -1,从而S △2=41－m 5+m 2 =22－2m ·5+m 5+m ≤235522mm m ++++-3=128.∴S △≤82,当且仅当2－2m =5+m ,即m =－1时取等号. 故直线l 的方程为y =x －1,△AMN 的最大面积为82.【例3】 已知双曲线C ：2x 2－y 2=2与点P 1,2;1求过P 1,2点的直线l 的斜率取值范围,使l 与C 分别有一个交点,两个交点,没有交点;2若Q 1,1,试判断以Q 为中点的弦是否存在.解：1当直线l 的斜率不存在时,l 的方程为x =1, 与曲线C 有一个交点.当l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y －2=kx －1, 代入C 的方程,并整理得2－k 2x 2+2k 2－2kx －k 2+4k －6=0………………ⅰ当2－k 2=0,即k =±2时,方程有一个根,l 与C 有一个交点 ⅱ当2－k 2≠0,即k ≠±2时Δ=2k 2－2k 2－42－k 2－k 2+4k －6=163－2k①当Δ=0,即3－2k =0,k =23时,方程有一个实根,l 与C 有一个交点.②当Δ＞0,即k ＜23,又k ≠±2,故当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k ＜23时,方程有两不等实根,l 与C 有两个交点.③当Δ＜0,即k ＞23时,方程无解,l 与C 无交点.综上知：当k =±2,或k =23,或k 不存在时,l 与C 只有一个交点；当2＜k ＜23,或－2＜k ＜2,或k ＜－2时,l 与C 有两个交点；当k ＞23时,l 与C 没有交点.2假设以Q 为中点的弦存在,设为AB ,且Ax 1,y 1,Bx 2,y 2,则2x 12－y 12=2,2x 22－y 22=2两式相减得：2x 1－x 2x 1+x 2=y 1－y 2y 1+y 2又∵x 1+x 2=2,y 1+y 2=2 ∴2x 1－x 2=y 1－y 1 即k AB =2121x x y y --=2但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB 与C 无交点,所以假设不正确,即以Q 为中点的弦不存在.【例4】 如图,已知某椭圆的焦点是F 1－4,0、F 24,0,过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ,且|F 1B |+|F 2B |=10,椭圆上不同的两点Ax 1,y 1,Cx 2,y 2满足条件：|F 2A |、|F 2B |数列.1求该弦椭圆的方程； 2求弦AC 中点的横坐标；3设弦AC 的垂直平分线的方程为y =kx 求m 的取值范围.解：1由椭圆定义及条件知,2a =|F 1B |+|F 2B |=10,得a =5,又c =4,所以b =22c a -=3.故椭圆方程为92522y x +=1.2由点B 4,y B 在椭圆上,得|F 2B |=|y B |=59.因为椭圆右准线方程为x =425,离心率为54,根据椭圆定义,有|F 2A |=54425－x 1,|F 2C |=54425－x 2,由|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列,得54425－x 1+54425－x 2=2×59,由此得出：x 1+x 2=8.设弦AC 的中点为Px 0,y 0,则x 0=221x x +=4.3解法一：由Ax 1,y 1,Cx 2,y 2在椭圆上.得⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+25925925925922222121y x y x①－②得9x 12－x 22+25y 12－y 22=0, 即9×)()2(25)2(21212121x x y y y y x x --⋅+++=0x 1≠x 2 将kx x y y y y y x x x 1,2,422121021021-=--=+==+ k ≠0代入上式,得9×4+25y 0－k1=0k ≠0即k =3625y 0当k =0时也成立.由点P 4,y 0在弦AC 的垂直平分线上,得y 0=4k +m , 所以m =y 0－4k =y 0－925y 0=－916y 0.由点P 4,y 0在线段BB ′B ′与B 关于x 轴对称的内部, 得－59＜y 0＜59,所以－516＜m ＜516.解法二：因为弦AC 的中点为P 4,y 0,所以直线AC 的方程为y －y 0=－k1x －4k ≠0③将③代入椭圆方程92522y x +=1,得9k 2+25x 2－50ky 0+4x +25ky 0+42－25×9k 2=0 所以x 1+x 2=259)4(5020++k k =8,解得k =3625y 0.当k =0时也成立①以下同解法一.【例5】 已知双曲线G 的中心在原点,它的渐近线与圆2210200x y x +-+=相切．过点()4,0P -作斜率为14的直线l ,使得l 和G 交于,A B 两点,和y 轴交于点C ,并且点P 在线段AB 上,又满足2PA PB PC ⋅=． 1求双曲线G 的渐近线的方程； 2求双曲线G 的方程；3椭圆S 的中心在原点,它的短轴是G 的实轴．如果S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分,求椭圆S 的方程．解：1设双曲线G 的渐近线的方程为：y kx =, 则由渐近线与圆2210200x y x +-+==所以,12k =±．双曲线G 的渐近线的方程为：12y x =±． 2由1可设双曲线G 的方程为：224x y m -=．把直线l 的方程()144y x =+代入双曲线方程,整理得2381640x x m ---=． 则8164, 33A B A B mx x x x ++==-∵ 2PA PB PC ⋅=,,,,P A B C 共线且P 在线段AB 上, ∴ ()()()2P A B P P C x x x x x x --=-,即：()()4416B A x x +--=,整理得：()4320A B A B x x x x +++= 将代入上式可解得：28m =．所以,双曲线的方程为221287x y -=． 3由题可设椭圆S的方程为：(222128x y a a+=>．下面我们来求出S 中垂直于l 的平行弦中点的轨迹．设弦的两个端点分别为()()1122,,,M x y N x y ,MN 的中点为()00,P x y ,则2211222222128128x y a x y a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩． 两式作差得：()()()()121212122028x x x x y y y y a-+-++=由于12124y y x x -=--,1201202,2x x x y y y +=+= 所以,0024028x y a -=, 所以,垂直于l 的平行弦中点的轨迹为直线24028x ya-=截在椭圆S 内的部分． 又由题,这个轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分,所以,211122a =．所以,256a =,椭圆S 的方程为：2212856x y +=． 点评：解决直线与圆锥曲线的问题时,把直线投影到坐标轴上也即化线段的关系为横坐标或纵坐标之间的关系是常用的简化问题的手段；有关弦中点的问题,常常用到“设而不求”的方法；判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具．【例6】 设抛物线过定点()1,0A -,且以直线1x =为准线．1求抛物线顶点的轨迹C 的方程；2若直线l 与轨迹C 交于不同的两点,M N ,且线段MN 恰被直线12x =-平分,设弦MN 的垂直平分线的方程为y kx m =+,试求m 的取值范围．解：1设抛物线的顶点为(),G x y ,则其焦点为()21,F x y -．由抛物线的定义可知：12AF A x ==点到直线的距离＝．所以2=．所以,抛物线顶点G 的轨迹C 的方程为：2214y x += ()1x ≠．2因为m 是弦MN 的垂直平分线与y 轴交点的纵坐标,由MN 所唯一确定．所以,要求m 的取值范围,还应该从直线l 与轨迹C 相交入手．显然,直线l 与坐标轴不可能平行,所以,设直线l 的方程为1:l y x b k=-+,代入椭圆方程得：由于l 与轨迹C 交于不同的两点,M N ,所以,()22222441440b k b k k ⎛⎫+∆=--> ⎪⎝⎭,即：()222410 0k k b k -+>≠．又线段MN 恰被直线12x =-平分,所以,2212241M N bk x x k ⎛⎫+==⨯- ⎪+⎝⎭．所以,2412k bk +=-．代入可解得：() 022k k -<<≠． 下面,只需找到m 与k 的关系,即可求出m 的取值范围．由于y kx m =+为弦MN 的垂直平分线,故可考虑弦MN 的中点01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭．在1:l y x b k=-+中,令12x =-,可解得：2011412222k y b k k k k +=+=-=-． 将点1,22P k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入y kx m =+,可得：32k m =-．所以,0m m <<≠． 从以上解题过程来看,求m 的取值范围,主要有两个关键步骤：一是寻求m 与其它参数之间的关系,二是构造一个有关参量的不等式．从这两点出发,我们可以得到下面的另一种解法：解法二．设弦MN 的中点为01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭,则由点,M N 为椭圆上的点,可知：22224444M M N N x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩． 两式相减得：()()()()40M N M N M N M N x x x x y y y y -++-+= 又由于01121, 2, 2M N M N M N M N y y x x y y y x x k -⎛⎫+=⨯-=-+=- ⎪-⎝⎭＝,代入上式得：02y k =-．又点01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭在弦MN 的垂直平分线上,所以,012y k m =-+． 所以,001324m y k y =+=． 由点01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭在线段BB ’上B ’、B 为直线12x =-与椭圆的交点,如图,所以,'0B B y y y <<．也即：0y <<所以,3333044m m -<<≠且 点评：解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时,对于消元后的一元二次方程,必须讨论二次项系数和判别式,有时借助图形的几何性质更为方便．涉及弦中点问题,利用韦达定理或运用平方差法时设而不求,必须以直线与圆锥曲线相交为前提,否则不宜用此法．从构造不等式的角度来说,“将直线l 的方程与椭圆方程联立所得判别式大于0”与“弦MN 的中点01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆内”是等价的．【例7】 设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ,经过点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点．又M 是其准线上一点．试证：直线MA 、MF 、MB 的斜率成等差数列．证明 依题意直线MA 、MB 、MF 的斜率显然存在,并分别设为1k ,2k ,3k 点A 、B 、M 的坐标分别为A 1x ,1y ,B 2x ,2y ,M 2p -,m由“AB 过点F 2p ,0”得 AB l ：2p ty x +=将上式代入抛物线px y 22=中得：0222=--p pty y可知221p y y -=⋅又依“1212px y =及2222px y =”可知 因此22221121p x my p x m y k k +-++-=+而p m p p m k -=---=)2(203故3212k k k =+即直线MA 、MF 、MB 的斜率成等差数列．【例8】 已知a =x,0,b =1,y )3()3(b a b a -⊥+1求点Px,y 的轨迹C 的方程；2若直线l ：y=kx+mkm ≠0与曲线C 交于A 、B 两端,D0,－1,且有|AD|=|BD|,试求m 的取值范围;解：1)3,3(),1(3)0,(y x y x a +=+=+∵((a a -⊥+∴((a a -⋅+=0∴0)3(3)3)(3(=-⋅+-+y y x x 得1322=-y x∴P 点的轨迹方程为1322=-y x2考虑方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=1322y x m kx y 消去y,得1－3k 2x 2－6kmx －3m 2－3=0 显然1－3k 2≠0 △=6km 2－4－3m 2－3=12m 2+1－3k 2>0设x 1,x 2为方程的两根,则221316kkmx x -=+ 故AB 中点M 的坐标为2313k km -,231k m-∴线段AB 的垂直平分线方程为：)313)(1(3122k kmx k k m y ---=--将D0,－1坐标代入,化简得：4m=3k 2－1故m 、k 满足⎪⎩⎪⎨⎧-=>-+134031222k m k m ,消去k 2得：m 2－4m>0 解得：m<0或m>4又∵4m=3k 2－1>－1 ∴m>－41 故m ),4()0,41(+∞⋃-∈.直线与圆锥曲线练习一、选择题1．斜率为1的直线l 与椭圆42x +y 2=1相交于A 、B 两点,则|AB |的最大值为B.554C.5104D.51082．抛物线y =ax 2与直线y =kx +bk ≠0交于A 、B 两点,且此两点的横坐标分别为x 1,x 2,直线与x 轴交点的横坐标是x 3,则恒有=x 1+x 2=x 1x 3+x 2x 3 +x 2+x 3=0+x 2x 3+x 3x 1=0二、填空题3．已知两点M 1,45、N －4,－45,给出下列曲线方程：①4x +2y －1=0,②x 2+y 2=3,③22x +y 2=1,④22x －y 2=1,在曲线上存在点P 满足|MP |=|NP |的所有曲线方程是_________.4．正方形ABCD 的边AB 在直线y =x +4上,C 、D 两点在抛物线y 2=x 上,则正方形ABCD 的面积为_________.5．在抛物线y 2=16x 内,通过点2,1且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________.三、解答题6．已知抛物线y 2=2pxp ＞0,过动点Ma ,0且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ,且|AB |≤2p .1求a 的取值范围.2若线段AB 的垂直平分线交x求△NAB 面积的最大值.7．已知中心在原点,顶点A 1、A 2在x e =321的双曲线过点P 6,6.1求双曲线方程.2动直线l 经过△A 1PA 2的重心G ,与双曲线交于不同的两点M 、N ,问：是否存在直线l ,使G 平分线段MN ,证明你的结论.8．已知双曲线C 的两条渐近线都过原点,且都以点A 2,0为圆心,1为半径的圆相切,双曲线的一个顶点A 1与A 点关于直线y =x 对称.1求双曲线C 的方程.2设直线l 过点A ,斜率为k ,当0＜k ＜1时,双曲线C 的上支上有且仅有一点B 到直线l 的距离为2,试求k 的值及此时B 点的坐标.直线与圆锥曲线参考答案一、1.解析：弦长|AB |=55422t -⋅⋅≤5104.答案：C2.解析：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==bkx y ax y 2,得ax 2－kx －b =0,可知x 1+x 2=ak ,x 1x 2=－ab ,x 3=－kb ,代入验证即可.答案：B二、3.解析：点P 在线段MN 的垂直平分线上,判断MN 的垂直平分线于所给曲线是否存在交点.答案：②③④4.解析：设C 、D 所在直线方程为y =x +b ,代入y 2=x ,利用弦长公式可求出|CD |的长,利用|CD |的长等于两平行直线y =x +4与y =x +b 间的距离,求出b 的值,再代入求出|CD |的长.答案：18或505.解析：设所求直线与y 2=16x 相交于点A 、B ,且Ax 1,y 1,Bx 2,y 2,代入抛物线方程得y 12=16x 1,y 22=16x 2,两式相减得,y 1+y 2y 1－y 2=16x 1－x 2.即⇒+=--21212116y y x x y y k AB =8. 故所求直线方程为y =8x －15. 答案：8x －y －15=0三、6.解：1设直线l 的方程为：y =x －a ,代入抛物线方程得x －a 2=2px ,即x 2－2a +px +a 2=0∴|AB |=224)(42a p a -+⋅≤2p .∴4ap +2p 2≤p 2,即4ap ≤－p 2又∵p ＞0,∴a ≤－4p .2设Ax 1,y 1、Bx 2,y 2,AB 的中点 Cx ,y , 由1知,y 1=x 1－a ,y 2=x 2－a ,x 1+x 2=2a +2p , 则有x =222,2212121ax x y y y p a x x -+=+=+=+=p .∴线段AB 的垂直平分线的方程为y －p =－x －a －p ,从而N 点坐标为a +2p ,0点N 到AB 的距离为p a p a 22|2|=-+从而S △NAB =2222224)(4221p ap p p a p a +=⋅-+⋅⋅当a 有最大值－4p 时,S 有最大值为2p 2.7.解：1如图,设双曲线方程为2222b y a x -=1.由已知得321,16622222222=+==-ab a e b a ,解得a 2=9,b 2=12.所以所求双曲线方程为12922y x -=1.2P 、A 1、A 2的坐标依次为6,6、3,0、－3,0, ∴其重心G 的坐标为2,2假设存在直线l ,使G 2,2平分线段MN ,设Mx 1,y 1,Nx 2,y 2.则有34912441089121089122121212122222121==--⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-x x y y y y x x y x y x ,∴k l =34∴l 的方程为y =34x －2+2,由⎪⎩⎪⎨⎧-==-)2(3410891222x y y x ,消去y ,整理得x 2－4x +28=0.∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l 不存在. 8.解：1设双曲线的渐近线为y =kx ,由d =1|2|2+k k =1,解得k =±1.即渐近线为y =±x ,又点A 关于y =x 对称点的坐标为0,2. ∴a =2=b ,所求双曲线C 的方程为x 2－y 2=2.2设直线l ：y =kx －20＜k ＜1),依题意B 点在平行的直线l ′上,且l 与l ′间的距离为2.设直线l ′：y =kx +m ,应有21|2|2=++k m k ,化简得m 2+22k m=2. ②把l ′代入双曲线方程得k 2－1x 2+2mkx +m 2－2=0, 由Δ=4m 2k 2－4k 2－1m 2－2=0. 可得m 2+2k 2=2③②、③两式相减得k =2m ,代入③得m 2=52,解设m =510,k =552,此时x =2212=--k mk ,y =10.故B 22,10.。
2019年高三数学理一轮复习典型题专项训练：圆锥曲线
7、（广州市海珠区2018届高三综合测试（一）且过点．()2,1A (Ⅰ) 求椭圆的方程；C (Ⅱ) 若不经过点的直线A l PQ是椭圆上的动点，从原点向圆的斜率存在，并分别记为在平面直角坐标系中，已知点，，动点不在轴上，直线、的斜率之积．（Ⅰ）求动点的轨迹方程；（Ⅱ）经过点的两直线与动点的轨迹分别相交于、两点。
是否存在常数，使得任意满足的直线恒过线段的中点？请说明理由．的离心率为是和）求曲线的方程；）倾斜角为的直线过原点且与交于两点，倾斜角为的直线过且与交于若，求）因为,,故,所以,故.又圆的标准方程为,从而,所以.由题设得,,,由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（））当与轴不垂直时设的方程为,,.由得.则,.所以.过点且与垂直的直线：,到的距离为,所以.故四边形的面积.可得当与轴不垂直时,四边形面积的取值范围为.当与轴垂直时,其方程为,,,四边形的面积为12.综上,四边形面积的取值范围为.4、5、、14、解：（Ⅰ）设（），则，，……2分由得，，……4分化简整理得，动点的轨迹方程为（）……5分（Ⅱ）动点的轨迹与轴的两个交点为、，猜想时，直线恒过线段的中点……7分（猜想存在1分，猜想存在且2分）记，则直线：，解得……9分当时，，则直线：，同理可得……11分线段的中点是线段的中点，所以直线恒过线段的中点……12分15、【解析】（1）由题可知，椭圆中，解得，所以椭圆的方程是；。
5分（2）设倾斜角为的直线为，倾斜角为的直线，①当时，由，知，则，于是，此时；。
6分）当时，由，知，且这两条直线的斜率互为相反数，设，则，由，可得，则，由可得：，由于，设与椭圆的两个交点坐标依次为，于是，∴。
，综上所述总有．16、解：。
高考数学专题复习-完美版圆锥曲线知识点总结
高考数学专题复习-完美版圆锥曲线知识点总结1.椭圆的概念椭圆是平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a （大于|F1F2|）的点的轨迹。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。
若M为椭圆上任意一点，则有|MF1|+|MF2|=2a。
椭圆的标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0，焦点在x轴上）或x^2/b^2+y^2/a^2=1（a>b>0，焦点在y轴上）。
2.椭圆的性质①范围：由标准方程得知，椭圆位于直线x=±a，y=±b所围成的矩形里。
②对称性：椭圆关于x轴、y轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心。
③顶点：椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
④离心率：椭圆的焦距与长轴的比e=c/a。
其中，c表示焦距，a表示长半轴长。
椭圆的离心率可以通过长轴和短轴的长度计算得出。
由于长轴大于短轴，因此离心率e的值介于0和1之间。
当离心率接近1时，短轴b的长度会越来越小，导致椭圆变得越扁；反之，当离心率接近0时，短轴b的长度会越来越接近长轴a的长度，此时椭圆会趋向于圆形。
当长轴和短轴的长度相等时，椭圆的两个焦点重合，这时椭圆就变成了圆形，其方程为x+y=a。
双曲线是平面上距离两个定点距离之差绝对值等于常数2a的动点轨迹。
需要注意的是，这里的距离差的绝对值是小于焦距F1F2的。
当距离差等于2a时，得到的是双曲线的一支；当距离差等于-2a时，得到的是双曲线的另一支（含F1的一支）。
当距离差等于0时，得到的是两条射线；当距离差大于2a时，得不到任何图形。
双曲线的焦点是F1和F2，焦距为F1F2.双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1.由此可以看出，双曲线在坐标系中的范围为两条直线x=±a的外侧。
2019全国高考,圆锥曲线部分汇编(2021年整理精品文档)
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2019全国高考 - 圆锥曲线部分汇编(2019北京理数) （4）已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则（A)a 2=2b 2（B ）3a 2=4b2(C ）a =2b (D ）3a =4b(2019北京理数） （18）（本小题14分）已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点(2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程;（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．(2019北京文数） （5)已知双曲线2221x y a-=(a >0)a =（ （B)4（C ）2（D)12(2019北京文数） （11）设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．(2019北京文数） （19）（本小题14分）已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若｜OM ｜·｜ON ｜=2，求证：直线l 经过定点．（2019江苏) 7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3，4),则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .（2019江苏） 17．(本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ,连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．(2019全国Ⅰ理数) 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，(),过F 2的直线与C 交于A ，B两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=(2019全国Ⅰ理数) 16．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =,120FB F B ⋅=,则C 的离心率为____________．(2019全国Ⅰ理数） 19．（12分）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1)若｜AF |+｜BF ｜=4，求l 的方程； (2）若3AP PB =，求|AB ｜．（2019全国Ⅰ文数） 10．双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒(2019全国Ⅰ文数） 12．已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C 交于A ，B两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=(2019全国Ⅰ文数） 21.（12分）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称,│AB │ =4，⊙M 过点A ,B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上,求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │-│MP │为定值？并说明理由．(2019全国Ⅱ理数)1. 若抛物线13)0(2222=+>=py p x p px y 的焦点是椭圆的一个焦点，则p=________A 。
（完整版）圆锥曲线知识点+例题+练习含答案（整理）.docx
（完整版）圆锥曲线知识点+例题+练习含答案（整理）.docx圆锥曲线⼀、椭圆：（ 1）椭圆的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的和等于常数（⼤于| F1 F2 |）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意： 2a | F1F2 | 表⽰椭圆；2a | F1F2|表⽰线段F1F2； 2a| F1F 2 |没有轨迹；（2）椭圆的标准⽅程、图象及⼏何性质：中⼼在原点，焦点在x 轴上中⼼在原点，焦点在y 轴上标准⽅程图形x2y2y2x2a2b 21( a b 0)a 2b21(ab 0)yB 2yB 2P F2 PA 1 A 2x A 1xA 2OF1O F21B 1FB 1顶点对称轴焦点焦距离⼼率通径2b2aA1 (a,0), A2 (a,0)A1( b,0), A2 (b,0)B1 (0, b), B2(0, b)B1( 0,a), B2 (0, a) x 轴，y轴；短轴为2b，长轴为2aF1 (c,0), F2(c,0)F1 ( 0,c), F2 (0,c)| F1 F2 | 2c(c 0)c2 a 2 b 2(0 e 1) （离⼼率越⼤，椭圆越扁）a（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3．常⽤结论：（1）椭圆x2y21(a b 0) 的两个焦点为F1, F2，过F1的直线交椭圆于A, B两a2 b 2点，则ABF 2的周长=（2）设椭圆x2y2221( a b 0)左、右两个焦点为 F1, F2，过 F1且垂直于对称轴的直线a b交椭圆于 P, Q 两点，则 P, Q 的坐标分别是| PQ |⼆、双曲线：（ 1）双曲线的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的差的绝对值等于常数（⼩于| F1F2 | ）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意： | PF1 || PF2 | 2a 与 | PF2 | | PF1 |2a （ 2a| F1F2 | ）表⽰双曲线的⼀⽀。
一轮复习圆锥曲线
高考一轮复习圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
如已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+by a x （0a b >>）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。
高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义全
高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义全-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIANⅠ复习提问一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）代入圆锥曲线C 的方程F （x ，y ）=0，消去y （也可以消去x ）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩消去y 后得20ax bx c ++= （1）当0a =时，即得到一个一元一次方程，则l 与C 相交，有且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 抛物线的对称轴平行。
（2）当0a ≠时，0∆>，直线l 与曲线C 有两个不同的交点；0∆=，直线l 与曲线C 相切，即有唯一公共点（切点）；0∆<，直线l 与曲线C 相离。
二、圆锥曲线的弦长公式相交弦AB的弦长1212AB AB AB x y y ⎧⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-==-⎪⎪⎩三、中点弦所在直线的斜率（1）若椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>时，以P 00（x ,y ）为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =-≠00x y ，即22op b k k a =-；若椭圆方程为22221(0)y x a b a b +=>>时，相应结论为202(0)a k y b =-≠0x y ，即22op a k k b =-；（2）P 00（x ,y ）是双曲线22221x y a b -=内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =≠0x y ，即22op b k k a =； 若双曲线方程为22221y x a b -=时，相应结论为202(0)a k y b =≠0x y ，即22op a k k b =；（3））P 00（x ,y ）是抛物线22y px =内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率0(0)pk y =≠0y ；若方程为22x py =时，相应结论为k p=0x 。
高考一轮复习圆锥曲线
年 级 高三 学科数学内容标题 圆锥曲线 编稿老师胡居化一、学习目标：1. 理解椭圆、双曲线、抛物线的定义及其定义的应用2. 掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程形式及标准方程的求法.3. 掌握椭圆、双曲线、抛物线的简单的几何性质及其简单的应用.二、重点、难点：1. 椭圆、双曲线、抛物线的定义的应用.2. 椭圆、双曲线、抛物线标准方程的求法.3. 椭圆、双曲线、抛物线的简单的几何性质的应用三、考点分析：在新课标高考中，圆锥曲线知识点是极其重要的考点，根据考试说明的要求，对圆锥曲线的定义、标准方程、简单的几何性质要熟练的掌握.考试的题型有选择题、填空题、综合题，对圆锥曲线的基础知识的考查形式主要是选择题、填空题.综合知识的考查以大题形式出现.一、椭圆的有关知识1. 定义：平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数a 2 （大于|F 1F 2|）的点的集合叫椭圆.21,F F 是椭圆焦点，|c F F 2|21=， 点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a>|F 1F 2|}注：（1）当c 2a 2=即a=c ，时点的集合是线段21F F . （2）当时即c a c <<2a 2，点的集合是空集. 2. 椭圆的标准方程：)0(,12222>>=+b a by a x （焦点在x 轴上），22221).0,(),0,(c b a c F c F =--.)0(,12222>>=+b a ay b x （焦点在y 轴上），22221).,0(),,0(c b a c F c F =--. 注：点),(00y x P 与椭圆)0(,12222>>=+b a by a x 的位置关系.点1)0(1),(220220222200<+⇔>>=+by a x b a b y a x y x P 内在椭圆.点1by a x 0b a 1b y a x y x P 22220222200=+⇔>>=+上在椭圆)(),(.点1by ax 0b a 1by ax y x P 22022222200>+⇔>>=+外在椭圆)(),(.椭圆的参数方程：椭圆12222=+b y a x 上任意一点P （x ，y ），则R ）（b y a x ∈θ⎩⎨⎧θ=θ=,sin cos .3. 椭圆的几何性质：焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形性质范围 |x|≤a ，|y|≤b|x|≤b ，|y|≤a对称性 关于x 轴、y 轴、坐标原点对称 顶点A 1（-a ，0） A 2（a ，0）B 1（0，-b ） B 2（0，b ） A 1（0，-a ） A 2（0，a ） B 1（-b ，0） B 2（b ，0） 离心率e=ac，0<e<1，（焦距与长轴的比） （对椭圆定型） 准线 x=ca 2±y=ca 2±焦半径公式|0201||,|ex a PF ex a PF -=+=|0201||,|ey a PF ey a PF -=+=轴上两种情形或把所求的椭圆标准方程设为：),0,0(,122B A B A By Ax ≠>>=+.（2）与椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 共焦点的椭圆可设为：kb y k a x +++2222 =1，（a>0，b>0）（3）椭圆上任意一点P 到焦点F 的距离的最大值是|PF|=a+c ，最小值是|PF|=a-c . （4）椭圆上任意一点P 到两焦点距离之积的最大值是a 2，此时P 点与椭圆短轴的两端点重合.二、抛物线的有关知识1. 抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不过F 点）距离相等的点的集合叫抛物线.定点F 叫抛物线的焦点，定直线l 叫抛物线的准线.2. 抛物线的标准方程形式：px y 22= （p>0） px y 22-= （p>0） py x 22= （p>0） py x 22-= （p>0） P:称为焦准距（焦点到准线的距离）3. 抛物线的几何性质：对称性，范围，顶点，离心率（以px y 22=为例）4. 抛物线的通径：过抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交，两交点之间的距离是抛物线的通径，长度是2p .5. 有关的重要结论：设过抛物线px y 22=的焦点的直线的倾斜角是θ，与抛物线交于A （),(),,2211y x B y x .则有下列结论（1）|AB|=p x x ++21，|AB|=θ2sin 2p ，（显然当90=θ时，|AB|最小，最小值是2p ，此时|AB|是抛物线的通径.）（2）=21x x 2212,4p y y p -=， （3）θsin 22p S AOB =∆（4）pBF AF 2||1||1=+ （5）以|AB|为直径的圆与准线相切．三、双曲线的有关知识1. 双曲线的定义：定义：平面内到两定点21,F F 距离之差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的集合叫做双曲线.定点21,F F 叫双曲线的焦点，两焦点间的距离是焦距.M=|}|2,2|||||||{2121F F a a PF PF P <=-.注意：（1）在定义中：若2a=||21F F ，则点的集合是以21,F F 为端点的射线，若2a>||21F F ，则点的集合是空集.（2）在定义中：当a PF PF 2||||21=-，则点的集合是双曲线的右支（如图1），当a PF PF 2||||12=-，则点的集合是双曲线的左支（如图2）.2. 双曲线的标准方程（1）)0,0(,12222>>=-b a b y a x ，焦点在x 轴上（实轴在x 轴上），222c b a =+（2）)0,0(,12222>>=-b a bx a y ，焦点在y 轴上（实轴在y 轴上），222c b a =+3. 双曲线的几何性质图形对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称范围 a x -≤ 或a x ≥a y -≤或a y ≥顶点 A 1（-a ，0） A 2（a ，0）实轴：2a ，虚轴：2bA 1（0，-a ） A 2（0，a ）实轴：2a虚轴：2b离心率 1>=ace （e ：确定双曲线的开口程度） 渐近线x ab y ±= x ba y ±=焦半径（1）P （),00y x 点在右支上01||ex a PF +=，02||ex a PF +-=（2）P ),(00y x 点在左支上，（1）),(00y x P 点在上支上201||,||ey a PF ey a PF +-=+=（2）P ),(00y x 点在下支上aex PF a ex PF +-=--=0201||,||aey PF a ey PF +-=--=0201||||，注：（1）已知渐近线方程0=±ay bx ，可设双曲线方程是=-y a x b ，确定的值.（2）不能确定双曲线的焦点位置时，可设方程为：)0(,122<=+mn ny mx（3）与双曲线)0,0(,12222>>=-b a by a x 共焦点的双曲线方程设为：)(,1222222a k b kb y k a x <<-=+-- 4. 几种特殊的双曲线（1）等轴双曲线：222a y x =-，（等轴双曲线的离心率是2）（2）共轭双曲线：1122222222-=-=-by a x b y a x 与互为共轭双曲线.性质：①互为共轭双曲线的四个焦点共圆， ②离心率倒数平方之和等于1， ③有相同的渐近线5. 双曲线中的基本三角形：（1）如图：,tan ,||,||,|OA |a b AOB b AB c OB a AOB =∠===∆中，AOBe ∠=cos 1（2）焦点三角形21PF F ∆的面积：2cot2θb S =，（θ=∠21PF F ）知识点一：椭圆、抛物线、双曲线的标准方程例1. 把下列正确命题的序号填在题后的横线上.（1）平面内到定点),(),(03F ，03F 21-的距离之和为6的点的轨迹是椭圆.（2）平面内有),(),(03，F 03F 21-两点，动点P 满足：4||||21=-PF PF ，则P 点的轨迹是双曲线.（3）P 是椭圆)0(,122>>=+b a by a x 上任意一点，则||||21PF PF ⋅的最大值是2a .（4）双曲线192522=-y x 与椭圆13522=+y x 有相同的焦点和焦距. （5）以抛物线)0(22>=p px y 过焦点F 的弦为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是相切.（6）”“0n m >>是方程“1ny mx 22=+表示焦点在y 轴上的椭圆”的充分必要条件. 正确的命题是_____________. 【思路分析】（1）（2）根据椭圆和双曲线的定义判断.（3）（4）（5）通过计算判断.（6）利用充要条件定义判断. 【解题过程】（1）根据椭圆的定义知：点的轨迹是以21,F F 为端点的线段.命题（1）错. （2）由双曲线的定义知：点的轨迹是双曲线的一支（右支），故命题（2）错. （3）由椭圆的定义知：,2||||21a PF PF =+222121)2||||(||||a PF PF PF PF =+≤⋅∴，等号成立的条件是：||||21PF PF =.故命题正确.（4）由椭圆方程和双曲线的方程知：它们的焦点都在x 轴上，且相等，是),(),(034F ，034F 21-，焦距显然相等.故命题正确.（5）如图：M 是过焦点F 的弦AB 的中点，则|)||(|21||111BB AA MM +=，由抛物线的定义知：|||||,|||11BF BB AF AA ==||||AB 21MM 1=∴，故以|AB|为直径的圆的圆心M ||21AB（6）若m>n>0则nm 11<，方程化为：11122=+n y m x ，故焦点在y 轴上.反之，方程11122=+ny m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则必有n m 11<，即m>n>0成立.是充要条件.故命题正确.【解题后的思考】上述命题主要考查圆锥曲线的定义，圆锥曲线的标准方程等基础知识.掌握圆锥曲线的定义很关键，它给解决圆锥曲线的有关问题带来很大的方便.例2. 根据下列条件求圆锥曲线的标准方程.（1）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过)2,3(),1,6(21--P P 两点，求椭圆的标准方程.（2）求与双曲线19y 16x 22=-有相同的渐近线，且过点M （-2，29）的双曲线的方程. （3）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M （m ，-3）到焦点的距离是5，求抛物线的方程. 【思路分析】（1）对于本题求椭圆的标准方程关键是确定焦点的位置及a ，b 的值.若不能确定焦点的位置，要讨论焦点在x 轴上和焦点在y 轴上两种情形.或设方程为)0,0(,122>>=+B A By Ax 可避免讨论，简化运算.（2）设所求的双曲线方程为λ=-9y 16x 22，确定λ的值. （3）因顶点在原点，对称轴是y 轴，点M （m ，-3）位于第三、四象限.故可设抛物线方程是)0(,22>-=p py x . 【解题过程】（1）解法一：①当焦点在x 轴上时，设椭圆方程为)0(,12222>>=+b a by a x由已知得：⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+39123116222222b a b a b a 即所求的椭圆方程是13922=+y x ②当焦点在y 轴上时，设椭圆方程为)0(,12222>>=+b a a y b x ，由已知得：⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+1231162222a ba b 解得b 2=9，a 2=3，与a>b 矛盾.此种情形不存在.综合上述知：所求的椭圆方程是13922=+y x解法二：由已知设椭圆的标准方程是122=+By Ax ，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+319112316B A B A B A即所求的椭圆标准方程是13922=+y x . （2）设所求的双曲线的方程是λ=-9y 16x 22，)0(≠λ把M （-2，29）代入求得2-=λ，即所求的双曲线的方程是18x 29y 22=-（3）解法一：设所求的抛物线的方程为)0(,22>-=p py x ，则焦点为F )2,0(p -),(3m M -点 在抛物线上，且|MF|=5，⎩⎨⎧±==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=∴6245)23(6222m p p m pm ，故抛物线的方程为.82y x -= 解法二：设抛物线的方程为：py x 22-=（p>0）焦点F （0，-)2p ，准线L:y=2p，作MN l ⊥，垂足是N ，则|MN|=|MF|=5而|MN|=3+2p ，故3+2p=5，即p=4，故抛物线的方程是. 【解题后的思考】求圆锥曲线的标准方程是新课标高考常见的题型之一，掌握圆锥曲线的标准方程的形式是解题的突破口，求标准方程要选择标准方程的形式，可由已知条件确定.选择恰当的圆锥曲线方程的形式，可简化运算.如：椭圆经过两点A ，B 求标准方程：可设方程为，0，B 0A ，1By Ax 22)(>>=+与椭圆12222=+by a x )0(>>b a 共焦点的椭圆标准方程可设为：)0(,12222>>=+++b a kb y k a x 已知渐近线方程为0=±ay bx ，可设双曲线方程是λ=-2222y a x b ，确定λ的值即可.已知双曲线过两点，设方程为：)0(,122<=+mn ny mx ，与双曲线)0,0(,12222>>=-b a by a x 共焦点的双曲线方程设为：)(,1222222a k b kb y k a x <<-=+--等.例3. （1）已知圆1)3(:221=++y x C 和圆9)3(:222=+-y x C .动圆M 同时和圆C 1，C 2相外切，求动圆的圆心M 的轨迹方程.（2）有一张长为8宽为4的矩形纸片ABCD ，按图示的方法进行折叠使每次折叠后的点B 都落在AD 上，此时将B 记为'B ，（注：EF 为折痕，点F 也可落在边CD 上，过'B 作CD T B //'交EF 于T 点，求点T 的轨迹方程.【思路分析】（1）根据动圆与两定圆相外切的条件可得|MC 2|-|MC 1|=定值，再根据双曲线的定义写出M 点的轨迹方程.（2）在折叠的过程中：||||'BT T B =，由CD T B //'知：AD T B ⊥'，故T 点到直线AD 的距离等于它到定点B 的距离.根据抛物线的定义知：T 点的轨迹是以B 点为焦点，AD 为准线的抛物线的一部分. 【解题过程】（1）定圆C 1（-3，0），半径r 1=1，定圆C 2（3，0），半径r 2=3，设动圆的圆心M （x ，y ），半径是r ，由题意知：|MC 1|=r+1，|MC 2|=r+3，故|MC 2|2||1=-MC <6||21=C C ，由双曲线的定义知：动点M 的轨迹是以)0,3(),0,3(21C C -为焦点的双曲线的左支，即8,3,122222=-===⇒=a c b c a a ，故M 点的轨迹方程是)1(,1822-≤=-x y x . （2）以AB 的中点O 为原点，AB 所在的直线为y 轴，建立坐标系.（如图），设T （x ，y ）.由|AB|=4知：定点B 到直线AD 的距离是4，根据建立的坐标系设抛物线的方程是py x 22-=，则p=4，∴抛物线的方程为y x 82-=，因为在折叠的过程中：线段'AB 的长度||'AB 在[0，4]范围内变化.40≤≤∴x 故所求T 点的轨迹方程是：)40(,82≤≤-=x y x【解题后的思考】本题是圆锥曲线定义的应用.利用圆锥曲线的定义求动点的轨迹是求轨迹常用的方法，因此掌握圆锥曲线的定义使解决有关的轨迹问题很方便，同时，建立适当的坐标系，要根据图形中的条件抓住题中隐含的“等量关系”，灵活运用定义解答.但要注意不要漏掉x 的范围的限制条件.例4. 已知椭圆中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为4，椭圆上一点P 到两焦点的距离满足：||||||232121PF PF F F += （1）求椭圆方程；（2）设椭圆在y 轴正半轴上的焦点为2F ，又点A 和点B 在椭圆上.且有B F AF 222=，求线段AB 所在直线的方程.【思路分析】（1）由椭圆的焦点在y 轴上及已知条件可求a ，c 的值.（2）先判断直线AB 的斜率是否存在.在确定斜率存在的情况下，设直线方程为：22【解题过程】（1）设椭圆方程为12222=+bx a y ，由2c=4得c=2，又32=a c ，故a=3 5222=-=c a b ∴所求的椭圆方程为22195y x +=.（2）若直线AB 的斜率k 222≠BF ，故k 存在，则设直线AB 的方程为：y=kx+2又设A )()(2211，y x B ，yx 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=195222y x kx y 得02520)59(22=-++kx x k ，1222095kx x k -+=+…①1222595x x k -⋅=+…②∵点F 2坐标为F 2（0，2） ∴)2,(),2,(222112-=--=y x B F y x AF 由B F AF 222=得：)2,(2)2,(2211-=--y x y x ⇒212x x -= ∴把212x x -=代入①、②得222095k x k =+…③ 22225295x k =+…④ 由③、④ 得 22202()95k k =+22595k + ∴213k =，33k =± ∴线段AB 所在直线的方程为：233+±=x y . 【解题后的思考】向量概念的引入，使这类问题的解决显得简洁而流畅.通过向量的坐标运算解决这类问题开辟了新的解题途径.知识点二：椭圆、双曲线、抛物线的几何性质及其应用例5. 解答下列各小题（1）设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是_____________.（2）设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为____________.（3）点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则FP OP ⋅的最大值为_______________. （1）考查抛物线的定义，求P 点到抛物线的准线的距离就是求P 点到抛物线的焦点的距离.（2）不妨设双曲线的焦点在x 轴上，根据直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，其斜率之积为-1，建立关于a ，c 的等量关系.（3）设点),(00y x P ，由向量的坐标运算：2000(1)OP FP x x y ⋅=++，再根据P 点在椭圆上得⋅关于0x 的二次函数，利用二次函数求最大值.【解题过程】（1）P 点到抛物线的准线的距离是624=+P，故点P 到该抛物线焦点的距离是6.（2）不妨设双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，则一个焦点为()()b 0B 0c F ,,,点，一条渐近线的斜率为：b a ，直线FB 的斜率为：bc-， ()1b ba c ∴⋅-=-，2b ac ∴=220c a ac --=，解得512c e a+==.（3）由题意知，F （-1，0），设点P 00(,)x y ，则有2200143x y +=， 解得22003(1)4x y =-，00(1,)FP x y =+，00(,)OP x y = 所以2000(1)OP FP x x y ⋅=++=()1x x 00++203(1)4x -=20034x x ++， 因为022x -≤≤，所以当02x =时，OP FP ⋅取得最大值222364++=. 【解题后的思考】新课标高考中的选择、填空中的圆锥曲线问题通常考查圆锥曲线的定义与基本性质，这部分内容是高考的热点内容之一，常考查圆锥曲线方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识掌握的熟练程度以及对知识的综合应用能力和运算能力.例6. 已知椭圆2222by a x 的长、短轴端点分别为A 、B ，从椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，向量与是共线向量.（1）求椭圆的离心率e ；（2）设Q 是椭圆上任意一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，求∠21QF F 的取值范围.【思路分析】（1）由AB 与OM 共线得：AB OM k k =，得出a ，b ，c 的关系.（2）利用余弦定理和基本不等式求cos ∠21QF F 的范围. 【解题过程】（1）∵a b y cx c F M M 21,),0,(=-=-则，∴acb k OM 2-=. ∵AB OM a b k AB与,-=是共线向量，∴a b ac b -=-2，∴b=c ，故22=e .（2）设1122121212,,,2,2,FQ r F Q r F QF r r a F F c θ==∠=∴+==22222221212122121212124()24cos 11022()2r r c r r r r c a a r r r r r r r r θ+-+--===-≥-=+ 当且仅当21r r =时，cosθ=0，∴θ]2,0[π∈.【解题后的思考】由于共线向量与解析几何中的平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题.求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题.圆锥曲线的知识是新课标高考考查的重点内容之一，考查的题型有选择、填空、综合题等，对圆锥曲线的定义、标准方程、简单的几何性质的基础知识的考查以选择、填空题为主，在第一轮复习中，掌握这些基础知识是很重要的，不可盲目的做难题.掌握这些基础知识是解决综合性试题的前提，在解决综合性问题时，要充分理解数学思想和数学方法的应用.由于圆锥曲线试题中的计算量较大，所以要掌握处理圆锥曲线的基本方法和运算中的技巧，尽量减少繁琐的运算量.（答题时间：45分钟）一、选择题1. 到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹是（ ） A . 椭圆B . 线段C . 双曲线D ． 两条射线2. 方程11122=-++ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（ ）A . 11<<-kB . 0>kC . 0≥kD ． 1>k 或1-<k3. 双曲线14122222=--+my m x 的焦距是（ ） A . 4B . 22C . 8D ． 与m 有关4. 设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为3-，那么PF =（ ）A . 43B . 8C . 83D . 165. 已知抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，则p 的值为（ ） A .12B . 1C . 2D . 46. 椭圆C ：22221x y a b +=（a>b>0）的离心率为32，过右焦点F 且斜率为k （k>0）的直线与C 相交于A 、B 两点，若3AF FB =，则k = （ ）A . 1B . 2C . 3D . 2二、填空题7. 若椭圆的两个焦点坐标为F 1（－1，0），F 2（1，0），长轴的长为10，则椭圆的方程为 .8. 椭圆2222by a x +＝1的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当021=⋅PF PF 时，离心率的取值范围是_____.三、计算题9. 已知双曲线与椭圆125922=+y x 共焦点，它们的离心率之和为514，求双曲线的方程.10. P 为椭圆122=+y x 上一点，1F 、2F 为左右焦点，若︒=∠6021PF F （1）求△21PF F 的面积； （2）求P 点的坐标．11. 点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥.（1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.一、选择题1. D 解析：双曲线的定义2. D 解析：由已知得：110)1)(1(-<>⇒<+-k k k k 或.3. C 解析：由双曲线的方程得：416,04,122222222=⇒=+=>-=+=c b a c m b m a 焦距2c=8.4. B 解析：抛物线的焦点为F （2，0），直线AF 的方程为3(2)y x =--，所以点(2,43)A -、(6,43)P ，|PF|等于P 点到准线的距离，故|PF|=6+2=8.5. C 解析：抛物线y 2＝2px （p >0）的准线方程是2px -=.圆（x －3）2＋y 2＝16的圆心为M （3，0），半径是4，故423=+p，即p=2. 6. B 解析：1122(,),(,)A x y B x y ，∵ 3AF FB =，∴ 123y y =-，∵23=e ，设22,3,2t b t c t a =⇒==则，∴ 椭圆方程是：044222=-+t y x . 直线AB 的斜率为k ，则t sy x ks t y k x t x k y 3,1,31)3(+==+=⇒-=则令. 代入椭圆方程消去X 得，032)4(222=-++t sty y s 432221+-=+∴s sty y ，42221+-=s t y y ， 4322+=∴s st y ，432222+=s t y 4)43(32222+=+⇒s t s st 2,212==⇒k s 即. 二、填空题7.1242522=+y x 8. )1,22[解析：由椭圆的方程知：),(),,()0,(),0,(00200121y x c PF y x c PF c F c F --=---=∴-021=⋅PF PF 220202202022)1(,0)(c x a b y y x c =⇒-==+--⇒ 122121202)2(002222222222222<≤⇒<≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-⇒<-≤⇒<≤e e ca c a c a c a a c a x三、计算题9. 解:由于椭圆焦点为F （0，±4），离心率为e=45，所以双曲线的焦点为F （0，±4），离心率为2，从而c=4，a=2，3所求双曲线的方程为：221412y x -= 10. 解：∵a ＝5，b ＝3∴c ＝4.（1）设11||t PF =，22||t PF =，则1021=+t t ①2212221860cos 2=︒⋅-+t t t t ②，由①2－②得1221=t t ，3323122160sin 212121=⨯⨯=︒⋅=∴∆t t S PF F . （2）设P 点坐标为),(y x ，由||4||22121y y c S PF F ⋅=⋅⋅=∆得 433||=y 433||=∴y 433±=⇒y ，将433±=y ， 代入椭圆方程解得4135±=x ，)433,4135(P ∴或)433,4135(-P 或)433,4135(-P 或)433,4135(--P . 11. 解：（1）由已知可得点A （－6，0），F （4，0），设点P 坐标为（x ，y ），则AP =（x +6，y ），FP =（x －4，y ），由已知可得22213620(6)(4)0x y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-+=⎩则22x +9x －18=0，x =23或x =－6.由于y >0，只能x =23，于是y =235， ∴点P 的坐标是（23，235） （2）直线AP 的方程是x －3 y +6=0.设点M 坐标为（m ，0），则M 到直线AP 的距离是26+m ，于是26+m =6-m ，又－6≤m ≤6，解得m =2. )0,2(M ∴， 椭圆上的点（x ，y ）到点M 的距离d 有，222222549(2)4420()15992d x y x x x x =-+=-++-=-+，由于－6≤x ≤6，∴当x =29时，d 取得最小值15.。
2019版高考数学文科一轮复习：10.5 圆锥曲线的综合问题
由 OP
· PQ
=1得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.
所以 OQ · PF =0,即O Q ⊥ PF .
又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
证法二:设Q(-3,t),P(m,n),则m2+n2=2,且O P =(m,n), PQ =(-3-m,t-n).
将方程y=kx与椭圆C的方程联立,
得B
2
, 2k
(不失一般性,都取“+”号),
1 2k2 1 2k2
方程ky=-x与y=2联立,得A(-2k,2).
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7
∴|AB|2=|OA|2+|OB|2
=4+4k2+
高考文数 (北京市专用)
§10.5 圆锥曲线的综合问题
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1
五年高考
A组 自主命题·北京卷题组
考点一 定点与定值问题
x2 y2
(2016北京,19,14分,0.51)已知椭圆C: a2 + b2 =1过A(2,0),B(0,1)两点.
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2.(2016山东,21,14分)已知椭圆C: ax22 + by22 =1(a>b>0)的长轴长为4,焦距为2 2 .
2019版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：9.8 圆锥曲线的综合问题 第1课时 Word版含答案
§9.8圆锥曲线的综合问题最新考纲考情考向分析1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法．2.了解圆锥曲线的简单应用．3.理解数形结合的思想.以考查直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系为背景，主要涉及弦长、中点、面积、对称、存在性问题．题型主要以解答题形式出现，属于中高档题.1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.3．圆锥曲线的综合问题的解决大多需要具备方程(组)思想：引参—列方程(组)—消参—求值，或围绕函数思想求范围、最值．或根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量解决定值、定点问题．知识拓展过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l 与抛物线y 2＝2px 只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( × )(2)设点P (x 0，y 0)为双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1上的任一点，则|x 0|≥a .( × ) (3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的点到焦点距离的最大值是a ＋c .( √ ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( √ )(5)过点(2,4)的直线与椭圆x 24＋y 2＝1只有一条切线．( × ) (6)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y 2＝2px (p >0)上，且直线AB 过抛物线的焦点，则y 1y 2＝－p 2.( √ )题组二 教材改编2．[P71例6]过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 答案 C解析 过(0,1)与抛物线y 2＝4x 相切的直线有2条，过(0,1)与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点．。