2017届上海市嘉定区高三二模数学卷(含答案)

2017届度嘉定区高三年级第二次质量调研数 学 试 卷考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．函数1)2(sin 22-=x y 的最小正周期是________________． 2．设i 为虚数单位，复数i2i21+-=z ，则=||z ____________． 3．设)(1x f-为12)(+=x x x f 的反函数，则=-)1(1f _____________． 4．=++++∞→nn n n n 3232lim11_______________． 5．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是______________． 6．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若3535=a a ，则=35S S___________． 7．直线⎩⎨⎧-=+=t y t x 4,2（t 为参数）与曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=θθsin 25,cos 23y x （θ为参数）的公共点的个数是______________．8 ．已知双曲线1C 与双曲线2C 的焦点重合，1C 的方程为1322=-y x ，若2C 的一条渐近线 的倾斜角是1C 的一条渐近线的倾斜角的2倍，则2C 的方程为__________________． 9．若2131)(--=xx x f ，则满足0)(>x f 的x 的取值范围是_______________．10．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为32和53．现安排甲 组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立 ，则至少有一种 新产品研发成功的概率为______________．11．设等差数列}{n a 的各项都是正数，前n 项和为n S ，公差为d ．若数列{}nS 也是公差为d 的等差数列，则}{n a 的通项公式为=n a _____________．12．设R ∈x ，用][x 表示不超过x 的最大整数（如2]32.2[=，5]76.4[-=-），对于给定的*N ∈n ，定义)1][()1()1][()1(+--+--=x x x x x n n n C xn ，其中),1[∞+∈x ，则当⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈3,23x 时，函数xC x f 10)(=的值域是____________________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．命题“若1=x ，则0232=+-x x ”的逆否命题是………………………………（ ）．（A ）若1≠x ，则0232≠+-x x （B ）若0232=+-x x ，则1=x （C ）若0232=+-x x ，则1≠x （D ）若0232≠+-x x ，则1≠x 14．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，M 、E 是AB 的三等分点，G 、N 是CD 的三等分点，F 、H 分别是BC 、MN 的中点，则四棱锥EFGH A -1的左视图是…………………………………………（ ）．（A ） （B ） （C ） （D ）15．已知△ABC 是边长为4的等边三角形，D 、P 是△ABC 内部两点，且满足)(41AC AB AD +=，BC AD AP 81+=，则△ADP 的面积为…………………（ ）． （A ）43 （B ）33 （C ）23 （D ）3 16．已知)(x f 是偶函数，且)(x f 在),0[∞+上是增函数，若)2()1(-≤+x f ax f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21x 上恒成立，则实数a 的取值范围是……………………………………（ ）．（A ）]1,2[- （B ）]0,2[- （C ）]1,1[- （D ）]0,1[-D A B CD 1F H EMN GA 1B 1C 1三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2=-b a ，4=c ，B A sin 2sin =．（1）求△ABC 的面积S ；（2）求)2sin(B A -的值．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，8=AB ，5=BC ，41=AA ，平面α截长方体得到一个矩形EFGH ，且211==F D E A ，5==DG AH ．（1）求截面EFGH 把该长方体分成的两部分体积之比；（2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）过点⎪⎭⎫⎝⎛23,1，两个焦点为)0,1(1-F 和)0,1(2F ．圆O 的方程为222a y x =+．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过1F 且斜率为k （0>k ）的动直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，与圆O 交于P 、Q 两点（点A 、P 在x 轴上方），当||2AF ，||2BF ，||AB 成等差数列时，求弦PQ 的长．A BCDEF HG A 1 B 1 1D 120．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）如果函数)(x f y =的定义域为R ，且存在实常数a ，使得对于定义域内任意x ，都有)()(x f a x f -=+成立，则称此函数)(x f 具有“)(a P 性质”． （1）判断函数x y cos =是否具有“)(a P 性质”，若具有“)(a P 性质”，求出所有a 的值的集合；若不具有“)(a P 性质”，请说明理由；（2）已知函数)(x f y =具有“)0(P 性质”，且当0≤x 时，2)()(m x x f +=，求函数)(x f y =在区间]1,0[上的值域；（3）已知函数)(x g y =既具有“)0(P 性质”，又具有“)2(P 性质”，且当11≤≤-x 时，||)(x x g =，若函数)(x g y =的图像与直线px y =有2017个公共点，求实数p 的值．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）给定数列}{n a ，若满足a a =1（0>a 且1≠a ），对于任意的*,N ∈m n ，都有m n m n a a a ⋅=+，则称数列}{n a 为指数数列．（1）已知数列}{n a ，}{n b 的通项公式分别为123-⋅=n n a ，nn b 3=，试判断}{n a ，}{n b 是不是指数数列（需说明理由）；（2）若数列}{n a 满足：21=a ，42=a ，n n n a a a 2312-=++，证明：}{n a 是指数数列；（3）若数列}{n a 是指数数列，431++=t t a （*N ∈t ），证明：数列}{n a 中任意三项都不能构成等差数列．2016学年度嘉定区高三年级第二次质量调研数学试卷参考答案与评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1．2π 2．1 3．1 4．3 5．6π 6．25 7．1 8．1322=-y x 9．),1(∞+ 10．1513 11．412-n 12．(]45,15320,5 ⎥⎦⎤⎝⎛二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 13．D 14．C 15．A 16．B三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）因为B A sin 2sin =，所以由正弦定理得b a 2=， ……………………（1分） 又2=-b a ，故4=a ，2=b ， ……………………………………………（3分）所以412cos 222=-+=bc a c b A ，因为),0(π∈A ，所以415sin =A ．………（5分）所以154154221sin 21=⋅⋅⋅==A bc S ．………………………………（6分） （2）因为415sin =A ，41cos =A ，所以815cos sin 22sin ==A A A ，87sin cos 2cos 22-=-=A A A ，……………（4分）815sin 21sin ==A B ，因为a b <，所以B 为锐角，所以87cos =B （或由c a =得到A B 2-=π，872cos )2cos(cos =-=-=A A B π）．………………………………（5分） 所以，32157sin 2cos cos 2sin )2sin(=-=-B A B A B A ． ………………………（8分）18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） （1）由题意，平面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱，7054)52(21)(211111=⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅=-AD A A AH E A V FG DD EH AA ， ………………（2分）9054)63(21)(211111=⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅=-BC B B E B BH V CGFC BHEB ，…………………（4分） 所以，971111=--CGFC BHEB FG DD EH AA V V ．………………………………………………………………（6分）（2）解法一：作EH AM ⊥，垂足为M ，由题意，⊥HG 平面11A ABB ，故AM HG ⊥，所以⊥AM 平面α． ………………………………………………………………（2分） 因为141=EH AA S 梯形，41=∆E AA S ，所以10=∆AEH S ，）因为5=EH ，所以4=AM ． ……………………………………………………（4分） 又532121121=++=F D D A AA AF ， ……………………………………………（6分）设直线AF 与平面α所成角为θ，则1554sin ==AF AM θ．………………………（7分）所以，直线AF 与平面α所成角的正弦值为1554． …………………（8分） 解法二：以DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则)0,0,5(A ，)0,5,5(H ，)4,2,5(E ，)4,2,0(F ， ………………………（2分）故)0,0,5(=FE ，)4,3,0(-=HE ， …………………………………（3分）设平面α一个法向量为),,(z y x n = ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0HE n FE n 即⎩⎨⎧=+-=,043,05z y x所以可取)3,4,0(=n． ……………………………………………………………（5分）设直线AF 与平面α所成角为θ，则1554||||sin ==AF n AFθ． ……………………（7分） 所以，直线AF 与平面α所成角的正弦值为1554． ………………………………（8分） 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）由题意，1=c ， ………………………………………………………………（1分）设椭圆C 的方程为112222=-+a y a x ，将点⎪⎭⎫⎝⎛23,1代入， 1)1(49122=-+a a ，解得42=a （412=a 舍去）， ………………………………（3分） 所以，椭圆C 的方程为13422=+y x ． ………………………………………………（4分） （2）由椭圆定义，4||||21=+AF AF ，4||||21=+BF BF ，两式相加，得 8||||||22=++BF AF AB ，因为||2AF ，||2BF ，||AB 成等差数列，所以||2||||22BF AF AB =+，于是8||32=BF ，即38||2=BF ． …………………（3分）设),(00y x B ，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-,134,964)1(20202020y x y x 解得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--315,34B ，…………………（5分） （或设)sin 3,cos 2(θθB ，则964sin 3)1cos 2(22=+-θθ，解得32cos -=θ，35sin -=θ，所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛--315,34B ）．所以，15=k ，直线l 的方程为)1(15+=x y ，即01515=+-y x ，……（6分）圆O 的方程为422=+y x ，圆心O 到直线l 的距离415=d ， ………………（7分） 此时，弦PQ 的长2742||2=-=d PQ ． …………………………………………（8分） 20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）（1）由题意，)cos()cos(x a x -=+，即x a x cos )cos(=+对于任意实数x 成立， …………………………………………（1分） 由诱导公式x k x cos )2cos(=+π，函数x y cos =具有“)(a P 性质”，且所有a 的值的集合为},2{Z ∈=k k a a π． ……………………………………………………………（4分） （2）因为函数)(x f y =具有“)0(P 性质”，所以)()(x f x f -=，即)(x f y =是偶函数． ………………………………………………………………（1分） 所以当0≥x 时，0≤-x ，22)()()()(m x m x x f x f -=+-=-=． ……………（2分） 当0≤m 时，函数)(x f y =在]1,0[上递增，值域为])1(,[22m m -． ……………（3分） 当210<<m 时，函数)(x f y =在],0[m 上递减，在]1,[m 上递增，0)(min ==m f y ，2max )1()1(m f y -==，值域为])1(,0[2m -． …………………………………（4分）同理，当121≤≤m 时，0)(min ==m f y ，2max )0(m f y ==，值域为],0[2m ．…（5分）当1>m 时，函数)(x f y =在]1,0[上递减，值域为],)1[(22m m -． ……………（6分） （3）由题意)()(x g x g -=，函数)(x g y =偶函数，又)()()2(x g x g x g =-=+，所以函数)(x g y =是以2为周期的函数． …………………………………………（1分） 因为当11≤≤-x 时，||)(x x g =，所以当31≤≤x 时，121≤-≤-x ，|2|)2()(-=-=x x g x g ， …………………………………………………………（2分） 一般地，当1212+≤≤-k x k （Z ∈k ）时，|2|)(k x x g -=． …………………（3分） 作出函数)(x g y =的图像，可知，当0=p 时，函数)(x g y =与直线px y =交于点)0,2(k (Z ∈k )，即有无数个交点，不合题意． …………………………………（4分） 当0>p 时，在区间]2016,0[上，函数)(x g y =有1008个周期，要使函数)(x g y =的图像与直线px y =有2017个交点，则直线在每个周期内都有2个交点，且第2017个交点恰好为)1,2017(，所以20171=p ．同理，当0<p 时，20171-=p ．综上，20171±=p ． ……………………………………………………（6分）（p 的值漏掉一个扣1分）21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） （1）对于数列}{n a ，31=a ，62=a ，123=a ，因为21213a a a a ⋅≠=+，所以}{n a 不是指数数列． ………………………………………………………………………………（2分）对于数列}{n b ，对任意*,N ∈m n ，因为m n m n m n m n b b b ⋅=⋅==++333，所以}{n b 是指数数列． ……………………………………………………………………………………（4分）（2） 由题意，)(2112n n n n a a a a -=-+++，所以数列}{1n n a a -+是首项为212=-a a ，公比为2的等比数列． ……………………………………………………………………（2分）所以nn n a a 21=-+．所以，2222)()()(21112211++++=+-++-+-=----- n n n n n n n a a a a a a a an n 2221)21(21=+--=-，即}{n a 的通项公式为n n a 2=（*N ∈n ）． ………………（5分）所以m n m n mn m n a a a ⋅=⋅==++222，故}{n a 是指数数列． …………………………（6分）（3）因为数列}{n a 是指数数列，故对于任意的*,N ∈m n ，有m n m n a a a ⋅=+，令1=m ，则n n n a t t a a a ⋅++=⋅=+4311，所以}{n a 是首项为43++t t ，公比为43++t t 的等比数列，所以，nn t t a ⎪⎭⎫⎝⎛++=43． …………………………………………………………………………（2分）假设数列}{n a 中存在三项u a ，v a ，w a 构成等差数列，不妨设w v u <<，则由w u v a a a +=2，得wu v t t t t t t ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++4343432，所以u w u w u v vw t t t t ----+++=++)3()4()3()4(2， ………………………………（3分）当t 为偶数时，u v vw t t --++)3()4(2是偶数，而u w t -+)4(是偶数，u w t -+)3(是奇数，故u w u w u v vw t t t t ----+++=++)3()4()3()4(2不能成立； …………………………（5分）当t 为奇数时，u v vw t t --++)3()4(2是偶数，而u w t -+)4(是奇数，u w t -+)3(是偶数，故u w u w u v vw t t t t ----+++=++)3()4()3()4(2也不能成立．…………………………（7分）所以，对任意*N ∈t ，u w u w u v vw t t t t ----+++=++)3()4()3()4(2不能成立，即数列}{n a 的任意三项都不成构成等差数列． ……………………………………………………（8分）（另证：因为对任意*N ∈t ，u v vw t t --++)3()4(2一定是偶数，而4+t 与3+t 为一奇一偶，故uw t -+)4(与uw t -+)3(也为一奇一偶，故等式右边一定是奇数，等式不能成立．）。