回归分析概述
统计学中的回归分析
统计学中的回归分析在统计学中，回归分析是一种重要的数据分析方法。
它用于探索自变量与因变量之间的关系，帮助我们理解变量之间的相互作用以及预测未来的趋势。
本文将介绍回归分析的基本概念、原理和应用。
一、回归分析的基本概念回归分析是通过建立数学模型来描述自变量与因变量之间的关系。
自变量是我们在问题中感兴趣的变量，而因变量是我们想要预测或解释的变量。
回归分析可以帮助我们确定自变量如何影响因变量，并找到最佳的拟合曲线或平面来描述这种关系。
回归分析的基本假设是，自变量与因变量之间存在线性关系，并且观测误差服从正态分布。
基于这个假设，我们可以使用最小二乘法来拟合回归模型，使得观测值与预测值之间的残差平方和最小化。
二、回归分析的原理1. 简单线性回归简单线性回归是最基本的回归分析方法，用于研究只包含一个自变量和一个因变量的情况。
我们可以通过绘制散点图来观察两个变量之间的关系，并使用最小二乘法拟合一条直线来描述这种关系。
2. 多元线性回归多元线性回归适用于包含多个自变量和一个因变量的情况。
通过拟合一个多元线性模型，我们可以同时考虑多个自变量对因变量的影响，并研究它们之间的相互作用。
3. 非线性回归非线性回归用于描述自变量与因变量之间的非线性关系。
在这种情况下，我们可以根据问题的特点选择适当的非线性回归模型，并使用最小二乘法进行参数估计。
三、回归分析的应用回归分析在各个领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：1. 经济学中的回归分析经济学家常常使用回归分析来研究经济现象。
例如，他们可以通过回归分析来研究GDP与各种经济指标之间的关系，以及利率、通胀率等因素对经济增长的影响。
2. 医学研究中的回归分析医学研究中的回归分析可以用于探索治疗方法与患者恢复速度之间的关系。
通过收集患者的相关数据，如年龄、性别、治疗时间等，可以建立多元线性回归模型来预测患者的康复时间。
3. 市场营销中的回归分析市场营销人员可以利用回归分析来确定产品价格与销量之间的关系。
回归分析的基本概念与应用
回归分析的基本概念与应用回归分析是一种重要的统计方法，用于研究两个或多个变量之间的关系。
它可以帮助我们理解和预测变量之间的因果关系，并进行相应的预测分析。
本文将介绍回归分析的基本概念和应用，并探讨其在实际问题中的应用。
一、回归分析的基本概念1.1 变量在回归分析中，我们需要研究的对象通常称为变量。
变量可以是因变量（被解释变量）或自变量（解释变量）。
因变量是我们希望解释或预测的变量，自变量是我们用来解释或预测因变量的变量。
1.2 简单线性回归简单线性回归是回归分析中最简单的一种情况，它研究的是两个变量之间的线性关系。
在简单线性回归中，我们假设因变量和自变量之间存在一个线性关系，并通过最小二乘法来拟合一条直线，以最好地描述这种关系。
1.3 多元回归多元回归是回归分析中更为复杂的情况，它研究的是多个自变量对因变量的影响。
在多元回归中，我们可以考虑多个自变量对因变量的影响，并建立一个多元回归模型来预测因变量。
二、回归分析的应用2.1 经济学中的应用回归分析在经济学中有着广泛的应用。
例如，我们可以利用回归分析来研究商品价格与销量之间的关系，从而优化定价策略。
另外，回归分析还可以用于分析经济增长与就业率之间的关系，为制定宏观经济政策提供依据。
2.2 医学研究中的应用回归分析在医学研究中也有着重要的应用。
例如，研究人员可以利用回归分析来探索某种药物对疾病的治疗效果，并预测患者的生存率。
此外，回归分析还可以用于分析不同因素对心脏病发作风险的影响，为预防和治疗心脏病提供科学依据。
2.3 营销策划中的应用回归分析在营销策划中也有着广泛的应用。
例如，我们可以利用回归分析来分析广告投入与销售额之间的关系，从而优化广告投放策略。
此外，回归分析还可以用于研究消费者行为和购买决策等问题，为制定更有效的市场营销策略提供指导。
三、回归分析的局限性尽管回归分析在实际问题中有着广泛的应用，但也存在一些局限性。
首先，回归分析基于变量之间的线性关系假设，对于非线性关系的研究需要采用其他方法。
概率论与数理统计(回归分析)
调整R方值 考虑到自变量数量的R方值，用 于比较不同模型之间的拟合优度。 调整R方值越接近于1，说明模型 拟合优度越好。
残差图 通过观察残差与实际观测值之间 的关系，判断模型是否符合线性 关系、是否存在异方差性等。
05
逻辑回归分析
逻辑回归模型
01
逻辑回归模型是一种用于解决 二分类问题的统计方法，基于 逻辑函数将线性回归的预测值 转换为概率形式。
多元非线性回归模型
在多个自变量X1, X2, ..., Xp的条件下，预测因变量Y的非线性数 学模型。模型形式为Y = f(β0, β1*X1, β2*X2, ... , βp*Xp)，其
中f表示非线性函数。
多元逻辑回归模型
用于预测分类结果的多元回归模型，适用于因变量Y为二分 类或多分类的情况。
多重共线性问题
非线性回归模型是指因变量和自 变量之间的关系不是线性的，需 要通过变换或参数调整来拟合数 据。
形式
非线性回归模型通常采用指数函 数对数函数、多项式函数等形 式来表达。
适用范围
非线性回归模型适用于因变量和 自变量之间存在非线性关系的情 况，例如生物医学、经济学、社 会学等领域。
常用非线性回归模型
指数回归模型
线性回归模型假设因变量和自变 量之间存在一种线性关系，即当 一个自变量增加或减少时，因变 量也会以一种恒定的方式增加或 减少。
最小二乘法
01
02
03
最小二乘法是一种数学 优化技术，用于估计线
性回归模型的参数。
最小二乘法的目标是找 到一组参数，使得因变 量的观测值与预测值之
间的平方和最小。
最小二乘法的数学公式为： β=(XTX)^(-1)XTY，其中 X是自变量的数据矩阵，Y 是因变量的数据向量，β
第一章 回归分析概述
4 随机误差
由人们无法控制且难以解释的干 扰所导致的误差作为随机误差归入随 机误差项.
线性回归模型的一般形式为
y 0 1x1 2 x2 L p xp
其中0，1，2，L
，
为未知参数（称为回归参数）
p
如果（xi1,xi2,L ,xip;yi）,i=1,2,L ,n是变量
（x1,x2,L ,xp;y）的一组观测值，则线性回归模型的 数据形式可表示为
数据整理不仅要把一些数据进行换 算，差分，甚至将数据标准化，有时也要 剔除一些“异常值”或利用插值的方法补 齐空缺的数据。
（三）确定理论回归模型 的数学形式
要确定回归模型的数学形式，我们首
先 应 将 收 集 的 样 本 数 据 绘 制 关 于 yi 与 xi (i 1, 2,L , n) 的样本散点图。根据散点
yi 0 1xi1 2 xi2 L p xip i , i 1, 2,L , n
为了估计模型参数的需要,一般线 性回归模型应满足以下几个基本假设:
1
解释变量 x1, x2,L
,
x
是非随机变量；
p
2 高斯-马尔可夫条件(简称G-M条件)
E（i）=0,i=1,2,L ,n
Cov(
i
,j
)=
民的收入 x 与消费支出 y 就呈现出某种不确
定性。
我们将上海市城镇居民可支配收入与支 出的数据（1985 年~2001 年）用散点图表示，
可以发现居民的收入 x 与消费支出 y 基本上
呈现线性关系，但并不完全在一条直线上。 附数据与图形。
年份
1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993
第一章 回归分析概述
回归研究分析方法总结全面
回归分析方法总结全面————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：一、什么是回归分析回归分析(Regression Analysis)是研究变量之间作用关系的一种统计分析方法，其基本组成是一个（或一组）自变量与一个（或一组）因变量。
回归分析研究的目的是通过收集到的样本数据用一定的统计方法探讨自变量对因变量的影响关系，即原因对结果的影响程度。
回归分析是指对具有高度相关关系的现象，根据其相关的形态，建立一个适当的数学模型(函数式)，来近似地反映变量之间关系的统计分析方法。
利用这种方法建立的数学模型称为回归方程，它实际上是相关现象之间不确定、不规则的数量关系的一般化。
二、回归分析的种类1.按涉及自变量的多少，可分为一元回归分析和多元回归分析一元回归分析是对一个因变量和一个自变量建立回归方程。
多元回归分析是对一个因变量和两个或两个以上的自变量建立回归方程。
2.按回归方程的表现形式不同，可分为线性回归分析和非线性回归分析若变量之间是线性相关关系，可通过建立直线方程来反映，这种分析叫线性回归分析。
若变量之间是非线性相关关系，可通过建立非线性回归方程来反映，这种分析叫非线性回归分析。
三、回归分析的主要内容1.建立相关关系的数学表达式。
依据现象之间的相关形态，建立适当的数学模型，通过数学模型来反映现象之间的相关关系，从数量上近似地反映变量之间变动的一般规律。
2.依据回归方程进行回归预测。
由于回归方程反映了变量之间的一般性关系，因此当自变量发生变化时，可依据回归方程估计出因变量可能发生相应变化的数值。
因变量的回归估计值，虽然不是一个必然的对应值(他可能和系统真值存在比较大的差距)，但至少可以从一般性角度或平均意义角度反映因变量可能发生的数量变化。
3.计算估计标准误差。
通过估计标准误差这一指标，可以分析回归估计值与实际值之间的差异程度以及估计值的准确性和代表性，还可利用估计标准误差对因变量估计值进行在一定把握程度条件下的区间估计。
回归分析法概念及原理
回归分析法概念及原理回归分析是一种统计学方法，用于研究两个或多个变量之间的关系。
它的主要目的是通过建立一个数学模型来预测一个或多个自变量对因变量的影响。
回归分析可以用来解答诸如“给定一组自变量的值，可以预测因变量的值吗？”或者“自变量之间是否存在一种关系，可以用来解释因变量的变化？”等问题。
回归分析的原理基于最小二乘法。
根据最小二乘法，我们希望建立一个模型，使得模型预测值与真实观测值之间的残差最小。
回归分析可以分为简单线性回归和多元线性回归两种类型。
简单线性回归是指只有一个自变量和一个因变量的回归分析。
在简单线性回归中，我们假设自变量和因变量之间存在一种线性关系。
简单线性回归可以用下面的方程表示：Y=β0+β1*X+ε，其中Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
多元线性回归是指有两个或更多个自变量和一个因变量的回归分析。
与简单线性回归类似，多元线性回归的目的是建立一个数学模型来预测因变量。
多元线性回归可以用下面的方程表示：Y=β0+β1*X1+β2*X2+...+βn*Xn+ε，其中Y是因变量，X1到Xn是自变量，β0到βn是回归系数，ε是误差项。
回归分析的关键步骤包括模型建立、估计参数、模型检验和模型应用。
在模型建立阶段，我们选择适当的自变量和函数形式，并根据给定的数据集拟合回归模型。
在估计参数阶段，我们计算回归系数的估计值。
常用的估计方法有最小二乘法、最大似然估计法等。
在模型检验阶段，我们通过假设检验、方差分析等方法来评估模型的拟合程度和回归系数的显著性。
在模型应用阶段，我们根据模型来进行预测或推断。
除了简单线性回归和多元线性回归，还有其他类型的回归分析方法，如非线性回归、广义线性回归、岭回归等。
这些方法可以用来解决不同类型的问题，如非线性关系、离散因变量、多重共线性等。
回归分析在许多领域中被广泛应用。
例如，在经济学中，回归分析可以用来研究经济变量之间的关系，预测未来的经济趋势；在医学中，回归分析可以用来研究疾病发生的风险因素，预测患者的生存率；在市场营销中，回归分析可以用来研究产品销售量和广告投入之间的关系，制定市场营销策略。
回归分析方法总结全面
一、什么是回归分析回归分析(Regression Analysis)是研究变量之间作用关系的一种统计分析方法，其基本组成是一个（或一组）自变量与一个（或一组）因变量。
回归分析研究的目的是通过收集到的样本数据用一定的统计方法探讨自变量对因变量的影响关系，即原因对结果的影响程度。
回归分析是指对具有高度相关关系的现象，根据其相关的形态，建立一个适当的数学模型(函数式)，来近似地反映变量之间关系的统计分析方法。
利用这种方法建立的数学模型称为回归方程，它实际上是相关现象之间不确定、不规则的数量关系的一般化。
二、回归分析的种类1.按涉及自变量的多少，可分为一元回归分析和多元回归分析一元回归分析是对一个因变量和一个自变量建立回归方程。
多元回归分析是对一个因变量和两个或两个以上的自变量建立回归方程。
2.按回归方程的表现形式不同，可分为线性回归分析和非线性回归分析若变量之间是线性相关关系，可通过建立直线方程来反映，这种分析叫线性回归分析。
若变量之间是非线性相关关系，可通过建立非线性回归方程来反映，这种分析叫非线性回归分析。
三、回归分析的主要内容1.建立相关关系的数学表达式。
依据现象之间的相关形态，建立适当的数学模型，通过数学模型来反映现象之间的相关关系，从数量上近似地反映变量之间变动的一般规律。
2.依据回归方程进行回归预测。
由于回归方程反映了变量之间的一般性关系，因此当自变量发生变化时，可依据回归方程估计出因变量可能发生相应变化的数值。
因变量的回归估计值，虽然不是一个必然的对应值(他可能和系统真值存在比较大的差距)，但至少可以从一般性角度或平均意义角度反映因变量可能发生的数量变化。
3.计算估计标准误差。
通过估计标准误差这一指标，可以分析回归估计值与实际值之间的差异程度以及估计值的准确性和代表性，还可利用估计标准误差对因变量估计值进行在一定把握程度条件下的区间估计。
四、一元线性回归分析1.一元线性回归分析的特点1)两个变量不是对等关系，必须明确自变量和因变量。
回归分析方法总结全面
回归分析方法总结全面回归分析是一种统计分析方法，用于研究变量之间的作用关系。
它由一个或多个自变量和一个或多个因变量组成。
回归分析的目的是通过收集样本数据，探讨自变量对因变量的影响关系，即原因对结果的影响程度。
建立一个适当的数学模型来反映变量之间关系的统计分析方法称为回归方程。
回归分析可以分为一元回归分析和多元回归分析。
一元回归分析是对一个因变量和一个自变量建立回归方程。
多元回归分析是对一个因变量和两个或两个以上的自变量建立回归方程。
回归方程的表现形式不同，可以分为线性回归分析和非线性回归分析。
线性回归分析适用于变量之间是线性相关关系的情况，而非线性回归分析适用于变量之间是非线性相关关系的情况。
回归分析的主要内容包括建立相关关系的数学表达式、依据回归方程进行回归预测和计算估计标准误差。
建立适当的数学模型可以反映现象之间的相关关系，从数量上近似地反映变量之间变动的一般规律。
依据回归方程进行回归预测可以估计出因变量可能发生相应变化的数值。
计算估计标准误差可以分析回归估计值与实际值之间的差异程度以及估计值的准确性和代表性。
一元线性回归分析是对一个因变量和一个自变量建立线性回归方程的方法。
它的特点是两个变量不是对等关系，必须明确自变量和因变量。
如果x和y两个变量无明显因果关系，则存在着两个回归方程：一个是以x为自变量，y为因变量建立的回归方程；另一个是以y为自变量，x为因变量建立的回归方程。
若绘出图形，则是两条斜率不同的回归直线。
回归方程的估计值；n——样本容量。
在计算估计标准误差时，需要注意样本容量的大小，样本容量越大，估计标准误差越小，反之亦然。
5.检验回归方程的显著性建立回归方程后，需要对其进行显著性检验，以确定回归方程是否具有统计学意义。
常用的检验方法是F检验和t检验。
F检验是通过比较回归平方和与残差平方和的大小关系，来判断回归方程的显著性。
若F值大于临界值，则拒绝原假设，认为回归方程显著。
t检验则是通过对回归系数进行假设检验，来判断回归方程中各回归系数的显著性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2002 2420 4950 11495 16445 19305 23870 25025 21450 21285 15510
•
由于不确定因素的影响，对同一收入水平X，不同家庭的
消费支出不完全相同；但由于调查的完备性，给定收入水平X
• 解释变量（Explanatory Variable）或自变量
（Independent Variable）。
• 回归分析构成计量经济学的方法论基础，其 主要内容包括：
– （1）根据样本观察值对经济计量模型参数 进行估计，求得回归方程；
– （2）对回归方程、参数估计值进行显著性 检验；
– （3）利用回归方程进行分析、评价及预测。
统计依赖关系
正相关 线性相关 不相关 相关系数：
负相关 1 XY 1
正相关 非线性相关 不相关
负相关
有因果关系 回归分析 无因果关系 相关分析
• 注意 ①不线性相关并不意味着不相关。
②有相关关系并不意味着一定有因果关系。
③回归分析/相关分析研究一个变量对另一个 （些）变量的统计依赖关系，但它们并不意 味着一定有因果关系。
共计
表 2.1.1 某社区家庭每月收入与消费支出统计表 每月家庭可支配收入X（元）
800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500 561 638 869 1023 1254 1408 1650 1969 2090 2299 594 748 913 1100 1309 1452 1738 1991 2134 2321 627 814 924 1144 1364 1551 1749 2046 2178 2530 638 847 979 1155 1397 1595 1804 2068 2266 2629
1500 2000 2500 3000 每月可支配收入X（元）
3500 4000
在给定解释变量Xi条件下被解释变量Yi的期 望轨迹称为总体回归线（population regression line），或 更一般地称为总体回归曲线（population regression curve）。 相应的函数：
935 1012 1210 1408 1650 1848 2101 2354 2860 968 1045 1243 1474 1672 1881 2189 2486 2871
1078 1254 1496 1683 1925 2233 2552 1122 1298 1496 1716 1969 2244 2585 1155 1331 1562 1749 2013 2299 2640 1188 1364 1573 1771 2035 2310 1210 1408 1606 1804 2101
§1 回归分析概述
一、基本概念 二、总体回归函数（PRF） 三、随机扰动项 四、样本回归函数（SRF）
什么是回归分析：
计量经济学是对实际的经济和商业现象 进行数量化度量和分析的学科，它旨在对理 论关系进行量化分析。
而回归分析就是计量经济学中至今为止应 用最多的一种方法。
一、基本概念
1. 变量间的关系
• 含义：总体回归函数（PRF）说明被解释变量 Y的平均状态（总体条件期望）随解释变量X 变化的规律。——用例子解释
对总体回归函数的进一步说明：
第一，我们的最终目标是 EY ；
第二， 条件 X Xi 的作用在于限制Y的可能取值
范围，以便于提高搜索Y的精确度；
第三，总体回归函数的建立与回归分析无关。方 程中的“=”反映的不是统计依赖关系(即不是统计 学上的相关关系)，而是由经济理论分析所确定的一 种因果关系。——这是统计学与经济学中所使用的 回归分析之间最大的不同！（切记！！！）
二、总体回归函数
• 例2.1：一个假想的社区有100户家庭组成，要 研究该社区每月家庭消费支出Y与每月家庭可 支配收入X的关系。 即如果知道了家庭的月收 入，能否预测该社区家庭的平均月消费支出水 平。
为达到此目的，将该100户家庭划分为组内收 入差不多的10组，以分析每一收入组的家庭消
费支出。
每 月 家 庭 消 费 支 出 Y （元）
E(Y|X=Xi)。
该例中：E(Y | X=800)=561 描出散点图发现：随着收入的增加，消费“平均地说”也
在增加，且Y的条件均值均落在一根正斜率的直线上。这条直 线称为总体回归线。
3500
每 月 消 费 支 出 Y （元）
பைடு நூலகம்
3000 2500 2000 1500 1000
500
0
500
1000
的消费支出Y的分布是确定的，即以X的给定值为条件的Y的条
件分布（Conditional distribution）是已知的，例如：
P(Y=561|X=800）=1/4。 因此，给定收入X的值Xi，可得消费支出Y的条件均值
（conditional mean）或条件期望（conditional expectation）：
E(Y | X i ) f (X i )
称为（双变量）总体回归函数（population regression function, PRF）。
函数形式：可以是线性或非线性的。称
E(Y | X i ) 0 1 X i
为一线性函数。其中，0，1是总体未知参数，
称为回归系数（regression coefficients）。
（1）确定性关系或函数关系：研究的是确定现 象非随机变量间的关系。
圆面积 f ,半径 半径2
（2）统计依赖或相关关系：研究的是非确定现 象随机变量间的关系。
农作物产量 f 气温, 降雨量, 阳光, 施肥量
对变量间统计依赖关系的考察主要是通过相关分
析(correlation analysis)或回归分析(regression analysis)来完成 的
2. 回归分析
回归分析(regression analysis)关心的是根据 解释变量的已知或给定值，考察被解释变量 的总体均值，即当解释变量取某个确定值时， 与之统计相关的被解释变量所有可能出现的 对应值的平均值
• 被解释变量（Explained Variable）或应变量 （Dependent Variable）。