梁在简单载荷作用下变形的
各种梁的弯矩剪力计算(大全)表
表1 简单载荷下基本梁的剪力图与弯矩图注：外伸梁= 悬臂梁+ 端部作用集中力偶的简支梁表2 各种载荷下剪力图与弯矩图的特征表3 各种约束类型对应的边界条件常用截面几何与力学特征表表2-5 .......资料.注：1．I 称为截面对主轴（形心轴）的截面惯性矩（mm 4）。
基本计算公式如下：⎰•=AdA yI 22．W 称为截面抵抗矩（mm 3），它表示截面抵抗弯曲变形能力的大小，基本计算公式如下：maxy I W =3．i 称截面回转半径（mm ），其基本计算公式如下：AIi =4．上列各式中，A 为截面面积（mm 2），y 为截面边缘到主轴（形心轴）的距离（mm ），I 为对主轴（形心轴）的惯性矩。
5．上列各项几何及力学特征，主要用于验算构件截面的承载力和刚度。
2．单跨梁的内力及变形表（表2-6~表2-10）（1）简支梁的反力、剪力、弯矩、挠度表2-6（2）悬臂梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-7（3）一端简支另一端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-8（4）两端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-9（5）外伸梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-103．等截面连续梁的内力及变形表（1）等跨连续梁的弯矩、剪力及挠度系数表（表2-11~表2-14）1）二跨等跨梁的内力和挠度系数表2-11注：1．在均布荷载作用下：M ＝表中系数×ql 2；V ＝表中系数×ql ；EI w 100ql 表中系数4⨯=。
2．在集中荷载作用下：M ＝表中系数×Fl ；V ＝表中系数×F ；EIw 100Fl 表中系数3⨯=。
2）三跨等跨梁的内力和挠度系数 表2-12注：1．在均布荷载作用下：M ＝表中系数×ql 2；V ＝表中系数×ql ；EIw 100ql 表中系数4⨯=。
2．在集中荷载作用下：M ＝表中系数×Fl ；V ＝表中系数×F ；EIw 100Fl 表中系数3⨯=。
各类梁的弯矩剪力计算汇总表
表1 简单载荷下基本梁的剪力图与弯矩图表2 各种载荷下剪力图与弯矩图的特征表3 各种约束类型对应的边界条件注：力边界条件即剪力图、弯矩图在该约束处的特征。
常用截面几何与力学特征表表2-5注：1．I 称为截面对主轴（形心轴）的截面惯性矩（mm 4）。
基本计算公式如下：⎰•=AdA yI 22．W 称为截面抵抗矩（mm 3），它表示截面抵抗弯曲变形能力的大小，基本计算公式如下：m axy I W =3．i 称截面回转半径（mm ），其基本计算公式如下：AIi =4．上列各式中，A 为截面面积（mm 2），y 为截面边缘到主轴（形心轴）的距离（mm ），I 为对主轴（形心轴）的惯性矩。
5．上列各项几何及力学特征，主要用于验算构件截面的承载力和刚度。
2．单跨梁的内力及变形表（表2-6~表2-10）（1）简支梁的反力、剪力、弯矩、挠度表2-6（2）悬臂梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-7（3）一端简支另一端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-8（4）两端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-9（5）外伸梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-103．等截面连续梁的内力及变形表（1）等跨连续梁的弯矩、剪力及挠度系数表（表2-11~表2-14）1）二跨等跨梁的内力和挠度系数表2-11注：1．在均布荷载作用下：M ＝表中系数×ql 2；V ＝表中系数×ql ；EIw 100ql 表中系数4⨯=。
2．在集中荷载作用下：M ＝表中系数×Fl ；V ＝表中系数×F ；EIw 100Fl 表中系数3⨯=。
2）三跨等跨梁的内力和挠度系数 表2-12注：1．在均布荷载作用下：M ＝表中系数×ql 2；V ＝表中系数×ql ；EIw 100ql 表中系数4⨯=。
2．在集中荷载作用下：M ＝表中系数×Fl ；V ＝表中系数×F ；EIw 100Fl 表中系数3⨯=。
建筑力学专业习题集
东北农业大学网络教育学院建筑力学作业题（一）一、单项选择题（将正确答案字母序号填入括号里，每小题1分，共5分）1、平面力系向点1简化时，主矢F R ＝0，主矩M 1≠0，如将该力系向另一点2简化，则（ ）。
A ：F R ≠0，M 2≠0；B ：F R ＝0，M 2≠M 1；C ：F R ＝0，M 2＝M 1；D ：F R ≠0，M 2＝M 1。
2. 大小相等的四个力，作用在同一平面上且力的作用线交于一点C ，试比较四个力对平面上点O 的力矩，哪个力对O 点之矩最大（ ）A ．力P 1B ．力P 2C ．力P 3D ．力P 4 3. 两端铰支的等直压杆，其横截面如图所示。
试问压杆失稳时，压杆将绕横截面上哪一根轴转动？( ) Py 1Z 1yZA. Z 轴B. Y 轴C. Z 1轴D. Y 1轴4. 如图所示矩形截面，判断与形心轴z 平行的各轴中，截面对哪根轴的惯性距最小以下结论哪个正确？（ ）A. 截面对Z 1 轴的惯性矩最小B. 截面对Z 2 轴的惯性矩最小C. 截面对与Z 轴距离最远的轴之惯性矩最小D. 截面对Z 轴惯性矩最小5. 指出以下应力分布图中哪些是正确的（ ）• ·C P 1 P 2 P 3A. 图(a)(b) 正确B. 图(b)(c) 正确C. 图(c)(d) 正确D. 图(b) (d) 正确二、判断题（每小题1分，共5分）1. 作用在一个物体上有三个力，当这三个力的作用线汇交于一点时，此力系必然平衡。
（ ）2. 一空间力系，若各力作用线平行某一固定平面，则其独立的平衡方程只有3个。
（ ）3. 压缩与弯曲的组合变形，在进行强度计算时，如考虑附加弯矩的影响，结果是偏于安全的。
（ ）4. 下图为几何不变体系且无多余约束。
（ ）5. 矩形截面梁受横向力作用而弯曲时，其横截面上最大剪应力的大小是平均剪应力的3倍。
（ ）三、填空题（每空1分；共15分。
）1. 横截面面积A=10cm 2的拉杆，P=40KN ，当α=60°斜面上的σ = ，σα= ，τα= 。
§8-6 提高梁的刚度的措施
§8-6 提高梁的刚度的措施
影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关,而且还与梁 的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。所以,要想提高弯曲刚度,就应 从上述各种因素入手： 一、调整加载方式 二、减小跨度或增加支座 三、选择合理截面 四、合理选用材料
§8-6 提高梁的刚度的措施 一、合理安排梁的约束与加载方式
矩形木梁的合理高宽比 ( h/b= ) 1.5
b
英(T.Young)于1807年著«自然哲学与机械技术讲义 »一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 为
h 2 时,强 度 最 大; h 3 时,刚 度 最 大.
b
b
§8-6 提高梁的刚度的措施
三、选择合理截面
bh2 Wz 6
h2 d 2 b2
Wz
机械加工，镗孔，尾架，减少挠度。
§8-6 提高梁的刚度的措施
跨度为l 的简支梁，承受均布载荷q作用，如果将梁两端的铰支座各向 内移动 l/4，最大挠度将仅为前者的8.75%。
§8-6 提高梁的刚度的措施 三、选择合理截面
§8-6 提高梁的刚度的措施 三、选择合理截面
矩形木梁的合理高宽比
h 北宋李诫于1100年著«营造法式 »一书中指出:
b 6
(d 2
b2 )
d 2b b3 6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dW 0 db
d 2 3b2 0
b d 3
h d 2 b2 d 2 d 2 2d 33
h b
2d
3 d
23 2
3
h
b
§8-6 提高梁的刚度的措施 四、合理选用材料
各种材料的弹性模量E差别不大。 选用高强度材料，只能提高许用应力 同类的材料，“E”值相差不多，故换用同类材料只能提高强度，不能提高 刚度。
梁的变形与刚度计算
查表，得
y
C
y
4
Cq
y
Cm
l
q
A
2 5ql ml 384EI 16 EI
()
Bq
θA θAq θAm
3 ml ql 24 EI 3EI
Aq
m
A
C y cq
(
)
Bm
Am
C ycm
θB θBq θBm
3 ml ql 24 EI 6 EI
(
2
3
ml 16 EI
ml 3EI ml 3EI 一、梁的刚度条件
w
max
L
w L
max
1 1 w (对土建工程: ( ~ )) 250 1000 L
其中[]称为许用转角；[w/L]称为许用挠跨比。通常依此 条件进行如下三种刚度计算： 、校核刚度：
梁的变形及刚度计算 一、基本概念（挠度、转角、挠曲线） 取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为 x 轴 ，横截面的铅垂对称轴为 y 轴 ， x y 平面为纵 向对称平面
x
A
y
B
一、基本概念（挠度、转角、挠曲线）
度量梁变形后横截面位移的两个基本量 1、挠度（ y）: 横截面形心 C (即轴线上的点)在垂直于 x
例题求图示梁截面B的挠度
q A EIz
a C
B
L
解法1：为了利用附录IV表中的结果，可将原荷载视 为图(1)和图(2)两种情况的叠加
q A EIz
a C
B
L L c q (2) B
q A c L (1) B A
a
q
梁的变形与刚度计算
(e) 结果（转角和挠度方程）。 AC段
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Pb 2 2 EIv1 ' EI 1 (l b 2 3x1 ) 6l (0 x1 a) EIv Pb (l 2 b 2 x 2 ) 1 1 6l
CB段
Pb 2 2 3l 2 2 EIv2 ' EI 2 6l l b 3x b x 2 a (a x 2 l ) EIv Pb l 2 b 2 x 2 x l x a 3 2 2 2 6l b
例9-4。图示杆系中，AB和CD梁的抗弯为EI，BD杆的拉压刚度是EA，不计剪切变形的影响，求BD
杆的内力。
A
B l/2
解(a) 确定静不定梁的基本结构 取D为多余约束
A
R'D
B
C
l
D
D (1)
RD
C
(2)
D
(b) 求变形几何关系
vD1 vD2
(c) 求物理关系
l 3 RD l 2 R l l D 3EI EA 3EI 2 EA R' D l 3 ql 4 8 EI 3EI
第 9 章
梁的变形与刚度设计
DESIGN OF BEAMS FOR BENDING DEFLECTIONS
一。 弯曲变形概念
y
θ
P
受载荷作用后，梁的轴线将弯曲成为一条光滑的连续曲线 在平面弯曲的情况下，这是一条位于载荷所在平面内的平 面曲线。梁弯曲后的轴线称为挠曲线。
x
O
v
梁截面有沿垂直方向的线位移v，称为挠度；相对于原截面转过的角位移θ，称为转角 挠曲线是一条连续光滑平面曲线，其方程是
建筑力学13-梁的变形
再积分一次，可以得到挠曲线方程
y 1 EI z [ ( M ( x ) dx ) dx Cx D )
【例 10.1】简支梁受均布荷载q作用，如图10.3所示，EI为常数。 试求此梁的转角和挠曲线方程，以及此梁的最大挠度ymax(通常用 符号f表示)和两端截面的转角θA和θB。 【解】(1) 列出挠曲线的近似微分方程 RA=RB= ql/2 M(x)= qlx/2 - qx2/2 EId2y/dx2 =-M(x)=- qlx/2 +qx2/2 (2) 积分 将上式连续积分两次，可以得到 EI dy/dx =EIθ=- qlx2/4 + qx3/6 +C EIy=- qlx3/12 + qx4/24 +Cx+D
(3) 确定积分常数 为了确定积分出现的四个积分常数，除了要利用边界条件外， 还要利用相邻两段梁在交接外变形的连续条件。 边界条件： x1=0，y1=0 x2=l，y2=0 连续条件： x1=x2=a，θ1=θ2y1=y2 将以上条件代入式(a)、(b)、(c)、(d)，联立求解，可得积分 常数 D1=D2=0C1=C2= Pb/6l (l2-b2)
【例11.5】一简支梁由18号工字钢制成，受均布荷载q的作用，如 图10.7所示。已知材料的E=210GPa，［σ］=150MPa，［f/l］ =1/400。试校核梁的强度和刚度。 【解】(1) 由型钢表查得18号工字钢 Wz=185cm3=185×103mm3 Iz=1660cm4=1660×104mm4 (2) 强度校核 Mmax= ql2/8 = 24×32/8kN· m=27kN· m σmax= Mmax/Wz = 27×106/185×103MPa=146MPa<［σ］
理论力学11梁的位移计算
dvM dxEI ( z x)
θ ( x) = = ∫
⎛ M ( x) ⎞ v( x) = ∫ dxEI ⎜∫ z
dx + C
dx ⎟dx + Cx + D C,D 为积分常数，由梁的位移约束条件确定。 ⎝ EI z⎠ 挠曲线近似微分方程通解的积分常数确定以后，就得 到了挠曲线方程和转角方程，这种求梁变形的方法称为积 分法。
本章小结
挠曲线、挠度、转角、挠曲线方程、转角方程
v = f ( x)
θ = θ ( x)
挠曲线微分方程
dv θ ≈ tgθ = dx
dv ±
2
2
dx dv 2 ⎤⎡ 1+ ( ) ⎥⎢ dx ⎦⎣
将b处约束去掉基本静定系静定基相当系统加上q及约束力变形协调条件marblqlvbeirb39梁的位移计算本章小结挠曲线挠度转角挠曲线方程转角方程dx挠曲线微分方程dxdv40梁的位移计算积分法求梁的位移边界条件和连续条件dvmdxdx叠加法求梁的位移梁的刚度条件4041梁的位移计算提高梁的刚度的主要措施增大截面惯性矩
23
梁的位移计算
24
梁的位移计算
25
梁的位移计算
思考：
应用叠加法求梁的位移，必须满足的条件是什么？ 答：小变形，材料符合胡克定律。
26
梁的位移计算
4 3
已知图1B点的挠度和转角分别为 ql / 8 EI ， ql / 6 EI ， 图2C截面的转角为多少？
q
A
l
B
ql / 8 EI
3
q
A B
3
16
例
３
求简支梁最大挠度，Ｆ已知，EI为常数。
解
１、建立挠曲线微分方程
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工程中虽然经常是限制弯曲变形，但在另 一些情况下，常常又利用弯曲变形达到某 种要求。例如，叠板弹簧应有较大的变形， 才可以更好地起缓冲减振作用。弹簧扳手 要有明显的弯曲变形，才可以使测得的力 矩更为准确。 弯曲变形计算除用于解决弯曲刚度问题外， 还用于求解静不定系统和振动计算。所以 弯曲变形的研究是非常的重要的。
悬臂梁受集中力的情况
悬臂梁受集中力偶的情况
悬臂梁受分布力的情况
绞支梁受集中力的情况
绞支梁受集中力偶的情况
绞支梁受分布力的情况
四、用叠加法求弯曲变形：
1. 叠加法原理（力的独立性原理）： 在小变形前提下，当构件或结构同时作用几 个载荷时，如果各载荷与其产生的效果(支 反力，内力，应力和位移、变形等)成线性 关系(互不影响，各自独立)，则它们同时作 用所产生的总效果等于各载荷单独作用时 所产生的效果之和(代数和、矢量和)：
2. 求梁的弯曲变形的叠加法是：
分别求出各载荷单独作用时的变形(位移)，然 后把各载荷在同一处引起的位移进行叠加 (代数叠加)。
谢谢观赏！
梁在简单载荷作用下变形学在学习工程中的查询。
工程中对某些受弯杆件除强度要求外，往往还有 刚度要求，即要求它变形不能过大。以机床主轴 为例，若其变形过大，将影响齿轮的啮合和轴承 的配合，造成磨损不匀，产生噪音，降低寿命， 还会影响加工精度；以吊车梁为例，当变形过大 时，将使梁上小车行走困难，出现爬坡现象，还 会引起较严重的振动；再以化工厂的管道为例， 弯曲变形如果超过容许数值，就会造成物料的淤 积，影响输送；较长的回转滚筒，弯曲变形过大， 就会引起脆性材料的开裂；电机转子的轴变形过 大，可能导致与定子相碰。所以，若变形超过允 许数值，即使仍然是弹性的，也被以为是一种失 效。