商不变的规律
商不变的规律
被除数 除数 商
24 4 6
120 20 6
240 40 6
2400 400 6
4800 800 6
在除法里，被除数和除数同时缩小相同倍数，商不变。
在除法里，被除 数和除数同时扩大 (或缩小）相同的倍 数，商不变。
下列说法对不对？
（1）被除数24扩大2倍，除数4 缩小2倍，商不变。
× √
（2）被除数24扩大100倍，除数 4扩大100倍，商不变。
（3）被除数24扩大10倍，除数4 增加10，商不变。
×
例 11 3600÷600＝6
缩 小 一 百 倍 缩 小 一 百 倍
商 不 变
36 ÷ 6 = 6
3600
600
例 11
缩 小 一 百 倍
4800÷400＝ 12
48 ÷ 4＝ 12
缩 小 一 百 倍
商 不 变
4800 400
做一做 72÷9＝8 36÷3＝ 12 720÷90＝8 360÷30＝ 12 7200÷900＝8 3600÷300＝ 12 80 ÷ 4= 20 800 ÷ 40= 20 8000 ÷ 400= 20
例 12 8760÷120=
12个十
876 0 120）
876个十
非常欢迎各位同行指导！
4800缩小2倍是( 2400 ) 800缩小（
2
ห้องสมุดไป่ตู้
）倍是 400
4800缩小（20）倍是 240 800缩小（
20 ）倍是 40
`
商不变的规律
扩大
被除数 24 除数 4 商 6
120 20 6
240 2400 4800 40 400 800 6 6 6
商不变的性质和积不变的性质
积和商的“变与不变”规律
㈠、积的变化规律：
⑴、一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几，积就相应的乘（或除以）几。
字母表示：如果a×b=c ，则(a×3)×b=c×3
举例：a×b=12 如果(a×3)则积就是12×3=36.
⑵、一个数乘一个比1大的数，积比原数大；
⑶、一个数乘一个比1小的数，积比原数小。
㈡、积不变规律：
一个因数乘（或除以）几，另一个因数相应的除以(或乘)几，积不变。
字母表示：如果a×b=c 则（a×5）×（b÷5）=c
㈢、商的变化规律：
⑴被除数不变，除数乘几商就除以几，除数除以几商就乘几。
字母表示：如果a÷b=c ，则a÷（b×3）=c÷3
举例：a÷b=12 如果(b×3)则商就是12÷3=4
⑵除数不变，被除数乘商就相应的乘几，被除数除以几商就除以几。
字母表示：如果a÷b=c ，则(a×3)÷b=c×3
举例：a÷b=12 如果(a×3)则商就是12×3=36.
被除数大于除数，商就大于1；
被除数小于除数，商就小于1.
一个数除以一个比1大的数，商比被除数要小；
一个数除以一个比1小的数，商比被除数要大。
㈣、商不变规律：
被除数和除数同时乘或除以几，商不变。
北师大版四年级上册数学商不变的规律教案
北师大版四年级上册数学商不变的规律教案（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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运用“商不变的规律”巧解数学问题
运用“商不变的规律”巧解数学问题□王凤菊小朋友，你知道商不变的规律吗？运用这个规律，可以解决以下问题：被除数和除数同时变，且变化相同，商的变化；被除数和除数同时变，且变化相同，余数的变化；被除数和除数仅一方变，商的变化；被除数和除数同时变，且变化不同，商的变化。
在学习时，你要注意掌握一些运算技巧和解决问题的策略方法，发展思维，提高计算能力、分析能力和解决问题的能力。
我是这样解的16406404024240竖式1一、被除数和除数同时变，且变化相同时，商的变化例1.计算：640÷40。
利用“商不变的规律”，可以简化整十、整百的数除以整十数的计算。
把被除数和除数同时除以10，商不变（如竖式1）。
例2计算：240÷5。
我是这样解的利用“商不变的规律”，根据数的特点，把除数转化成10来计算。
因为除数是5，把被除数和除数同时乘2，商不变。
240÷5＝（240×2）÷（5×2）＝480÷10＝48例3.计算：300÷25。
我是这样解的利用“商不变的规律”，根据数的特点，把除数转化成100来计算。
因为除数是25，把被除数和除数同时乘4，商不变。
300÷25＝（300×4）÷（25×4）＝1200÷100＝12例4.计算：750÷125。
我是这样解的利用“商不变的规律”，根据数的特点，把除数转化成1000来计算。
因为除数是125，把被除数和除数同时乘8，商不变。
750÷125＝（750×8）÷（125×8）＝6000÷1000＝6我是这样解的我是这样解的二、被除数和除数同时变，且变化相同时，余数的变化例5.计算：650÷40。
利用“商不变的规律”，计算过程中，被除数和除数的末尾同时划掉一个0（如竖式2），也就是同时除以10，商不变，但余数发生变化。
商不变的规律
1、 除数不变，被除数乘几或除以几 ，商也乘几或除以几。
2、 被除数不变，除数乘几或除以几（0除
外）， 商就除以几或乘几。
二、探究新知
先从上往下观察，再从下 往上观察，你发现了什么？ （3）计算并观察下面的题。
6 60 600 ÷ ÷ ÷ ÷ 3 30 300 ＝ ＝ ＝ ＝
被除数 除 商 数
14 2
140 20
280 40
560 80
5600 800
通过今天的学习， 你有哪些收获？ 快告诉大家吧！
四、布置作业
作业：第89页练习十七，第1题、第4题。 第90页练习十七，第5题。
（36×4）÷（12 ÷ 4）………………… （ × （36×6）÷（12 ÷ 6）………………… （ × （36＋12）÷（12＋12）……………… （ × （36×5）÷（12×5）………………… （ √ （36 ÷ 2）÷（12 ÷2）……………… （ √
） ） ） ） ）
4、 填一填。
（1）在除法里，除数乘8，被除数乘8，商（不变 ），被除 数除以70，除数除以70，商（ 不变 ）。 （2）在除法里，被除数不变，除数乘20，商（除以20）， 除数除以12，商（乘12 ） （3）在除法里，被除数和除数同时乘15，商（ 不变 ）。 （4）如果被除数和除数都扩大100倍，那么商就( 不变 )。
2
2 2 2
6000
3000
被除数和除数都乘或除以一个 相同的数（0除外），商不变 。
二、探究新知
通过观察上组题，我们有了这个 发现，你能举例验证这发现吗？
被除数和除数都乘或除以一个相同的数 （0除外），商不变。
×7 20 140 ÷7 ÷ ÷ ×7 10 ＝2 ÷7 70 ＝2
使用商不变的规律
通过商不变规律，我们可以简化分数的加减法运算， 提高计算效率。
与比例关系综合运用
01
比例关系中，两组数的比值是 相等的，而商不变规律可以确 保在运算过程中比值保持不变 。
02
通过综合运用商不变规律和比 例关系，我们可以解决复杂的 比例问题，如比例分配、比例 缩放等。
03
在解决比例问题时，商不变规 律可以帮助我们快速找到等价 的比例表达式，从而简化问题 求解过程。
04
数学表达式与符号
数学表达式
如果被除数为a，除数为b，商为c，则有 a ÷ b = c。根据商不变规律，有 (a × k) ÷ (b × k) = c 或 (a ÷ k) ÷ (b ÷ k) = c，其中k为非零数。
符号
在数学表达式中，通常使用字母来表示未知数或变量，如a、b、c等。同时，使 用÷表示除法运算，×表示乘法运算。
05 总结归纳与拓展延伸
关键知识点回顾总结
商不变的规律定义
在除法中，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0 除外），商不变。
商不变的规律应用
利用商不变的规律，可以进行简便运算，解决一些实际问 题。
注意事项
在应用商不变的规律时，需要注意被除数和除数必须同时 扩大或缩小相同的倍数，且倍数不能为0。
拓展延伸：探索更广泛应用领域
在数学领域
商不变的规律不仅适用于整数除法，还可以推广到小数除法、分数除法等更广泛的数学领域中。
在实际生活中的应用
利用商不变的规律，可以解决一些实际问题，如分配问题、比例问题等。通过灵活运用商不变的 规律，可以提高解决问题的效率。
在其他学科中的应用
商不变的规律还可以应用到其他学科中，如物理、化学等。在这些学科中，可以利用商不变的规 律进行一些计算和分析。
商的变化规律
1.被除数乘2，除数不变，商就（ 乘2 )。 2.除数乘3，被除数不变，商就（ 除以3）。
3.被除数不变， 除数乘4，商就（ 除以4 ）。
4.除数不变，被除数除以3，商就（除以3）。
4.除数不变，商要乘3，被除数应（乘3 ）。
5.被除数不变，商要除以2，除数应（ 乘2 ）。 6.两个数的商是12，如果被除数不变，除数
判断： ①48÷12=（48×3）÷（12×4）……（
x）
x √ x
）
②48÷12=（48×3）÷（12÷4）……（
③被除数不变（0除外），如果除数乘3， 商会缩小3倍。……………………………（
）
④两数相除，商是20，被除数和除数都 扩大2倍，商是40。………………………（
）
3、判断
(1)被除数和除数同时乘以相同的数,商不 变。 ( ×) (2)72÷24=(72÷6)÷(24÷6) ( √ ) (3)因为被除数和除数同时除以不是0的 数,商不变;所以被除数和除数同时减去 不是0的数,商也不变。 (× ) (4)A÷B=C,如果A除以10,要使商还是C, 那么B也要除以10. 72÷12=6 36÷12=( 3 ) 72÷6=(12 ) 72÷18=( 4 ) 36÷(18 )=2 ( 72 )÷18=4
A÷B=30 A÷(B×2)=30
A× 3÷ B=(
) )
) )=( )
(A÷2) ÷ (B÷2)=(
(A×2) ÷ (B÷2)=( (A ) ÷ (B
5600 ÷700 =9 560÷70= 9 56÷7= 9
1、被除数不变，除数扩大3倍，商（ 反而缩小3倍 ）。 2、被除数不变，除数缩小4倍，商（反而扩大4倍 ）。 3、两个数相除，商是12，如果被除数不变，除数缩 小3倍，商会变成（ 36 ）。 4、两个数相除，商是12，如果除数不变，被除数缩 小3倍，商会变成（ 4 ）。
商不变的规律
商不变的规律及扩展一、被除数与商的关系。
【图1】①被除数扩大6÷2=360÷2=30600÷2=300【结论】:在除法里，(除数)不变，(被除数)扩大多少倍，商(也扩大)相同的倍数。
②被除数缩小600÷2=30060÷2=306÷2=3【结论】:在除法里，(除数)不变，(被除数)缩小多少倍，商(也缩小)相同的倍数。
【强调】:不能扩大或缩小零倍。
③商与被除数的关系【总结】:在除法里，除数不变，被除数扩大(或缩小)多少倍(0除外)，商也扩大(或缩小)相同的倍数。
【结论】:商与被除数同向变化。
二、除数与商的关系①除数扩大800÷2=400800÷20=40800÷200=4【结论】:在除法里，(被除数)不变，(除数)扩大多少倍，商(反而缩小)相同的倍数。
②除数缩小800÷200=4800÷20=40800÷2=400【结论】:在除法里，(被除数)不变，(除数)缩小多少倍，商(反而扩大)相同的倍数。
【强调】:0除外。
③商与被除数的关系【总结】:在除法里，被除数不变，除数扩大(或缩小)多少倍(0除外)，商反而缩小(或扩大)相同的倍数。
【结论】:商与被除数反向变化。
三、商不变的规律①同时扩大8÷2=480÷20=4800÷200=4【结论】:在除法里，(被除数和除数)同时(扩大)多少倍(0除外)，商(不变)。
②同时缩小800÷200=480÷20=48÷2=4【结论】:在除法里，(被除数和除数)同时(缩小)多少倍(0除外)，商(不变)。
③商不变的规律【总结】:在除法里，(被除数和除数)同时(扩大或缩小)多少倍(0除外)，商(不变)。
【结论】:被除数与除数【同向变化】——商不变。
四、商不变的应用1，【图2】填空。
2，如果A÷B=12，下面各式应该是多少？【图3】3，①、填空。
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开发区小学2015-2016学年度上学期数学四年级第五单元设计人：张辉年级班姓名
课题第五单元《商不变的规律》学案相关连接
预
习
过
程检查人评价：_______________(优良差)
预习过程学习过程：
一、自主学习先填表再回答问题。
被除数200 200 200
除数 2 20 40
商
被除数16 160 320
除数8 8 8
商
（1）观察第一个表格，从上往下看我发现：( )不变，除数依次扩大
( )倍、( )倍，商( )，从下往上看，除数依次缩小
( )倍、( )倍，商( )。
（2）观察第二个表格，从上往下看我发现：( )不变，被除数依次扩大( )
倍、( )倍，商( )，从下往上看，被除数依次缩小( )倍、( )
倍，商( )。
二、合作探究
1、填写课本72页表格
2、通过填表我发现，( )和( )都有变化，但是( )却没有变化，
从左往右看，第三列和第二列比较被除数扩大( )，除数也( )，商
( )；第四列和第二列比较被除数扩大( )，除数也( )，商
( )；第五列和第二列比较被除数扩大( )，除数也( )，商
( )。
从右往左看，第五列和第四列比较，被除数缩小( )，除数也( )，商( )；
第四列和第三列比较，被除数缩小( )，除数也( )，商( )。
3、我能总结出商的变化规律：
_______________________________________________________________________
_ ____________________________________________________________________
4、这是不是一条普遍规律呢，让我们一起来验证一下：填写课本72页图表并交
流。
5、讨论：这条规律的使用有什么条件？我们发
现：
三、梳理拓展
1、知识梳理。
(1)被除数和除数同时扩大或缩小( )，商不变。
(2)被除数不变，除数扩大或缩小几倍，商( )。
(3)除数不变，被除数扩大或缩小几倍，商( )。
2、说一说本节课你有什么收获。
四、达标检测
1、根据第一题的商写出下面两题的商。
72÷9＝ 36÷3＝ 80÷4＝ 720÷90＝ 360÷30＝
800÷40＝ 7200÷900＝ 3600÷300＝ 8000÷400＝
2、判断(对的打“√”，错的打“×”)。
48÷12＝(48×5)÷(12×5) ( )
45÷15＝(45×3)÷(15×4) ( )
80÷16＝(80×4)÷(16÷4) ( )
75÷25＝(75÷5)÷(25÷5) ( )
3、看算式填空。
(4×2)÷(2×______)＝2 (3×2)÷(1×______)＝3 (90÷10) ÷(30÷
______)＝3 (28÷______)÷(7÷______)＝4
4、根据商的变化规律直接写出下列各题的答案。
420÷35＝12 (420×3)÷35＝ (420×5)÷(35×5)＝
(420÷5)÷(35÷5)＝420÷(35×4)＝ 420÷(35×6)＝
5、菜市场运来西红柿240千克，是黄瓜的16倍，两种蔬菜共多少千克？。