高一数学弧度制检测试题
高一数学(必修一)《第五章-任意角和弧度制》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第五章 任意角和弧度制》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、多选题1．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（ ） A ．1 B ．4C ．2D ．3二、单选题2．终边与直线y x =重合的角可表示为（ ） A ．45180,k k Z ︒︒+⋅∈ B ．45360,k k Z ︒︒+⋅∈ C ．135180,k k Z ︒︒+⋅∈ D ．225360,k k Z ︒︒+⋅∈3．下列角中与116π-终边相同的角是（ ） A ．30-︒B ．40-︒C ．20︒D ．390︒4．下列说法正确的是（ ）A ．长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度B ．若tan 0α≥，则()2k k k Z ππαπ≤≤+∈C ．若角α的终边过点()()3,40P k k k ≠，则4sin 5α D ．当()224k k k Z ππαπ<<+∈时，则sin cos αα<5．已知一个母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于240︒，则该圆锥的侧面积为（ ）A B ．881πCD ．23π6．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4πm肩宽约为8πm ，“弓”所在圆的半径约为5m 41.414≈和1.732）（ ）A ．1.012mB ．1.768mC ．2.043mD ．2.945m三、填空题7．6730'︒化为弧度，结果是______.8．已知扇形的周长为20cm ，面积为92cm ，则扇形的半径为________.9．折扇最早出现于公元五世纪的中国南北朝时代，《南齐书》上说：“褚渊以腰扇障日．”，据《通鉴注》上的解释，“腰扇”即折扇．一般情况下，折扇可以看作从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的弧长为l ，扇形所在的圆的半径为r ，当l 与r 的比值约为2.4时，则折扇看上去的形状比较美观.若一把折扇所在扇形的半径为30cm ，在保证美观的前提下，此折扇所在扇形的面积是_______2cm ．10．设地球半径为R ，地球上北纬30°圈上有A ，B 两点，点A 在西经10°，点B 在东经110°，则点A 和B 两点东西方向的距离是___________.四、解答题11．将下列各角化成360,,0360k k βαα=+⋅︒∈︒≤<︒Z 的形式，并指出它们是第几象限的角：（1）1320︒；（2）315-︒；（3）1500︒；（4）1610-︒．12．根据角度制和弧度制的转化，已知条件：1690α=︒(1)把α表示成2k πβ+的形式[)()Z,02k βπ∈∈，；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且()4,2θππ∈--．13．已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积． 14．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l. (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)已知扇形的周长为10 cm ，面积是4 cm 2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，则这个扇形的面积最大？ 15．已知扇形的周长为c ，当扇形的圆心角为多少弧度时，则扇形的面积最大．16．某商场共有三层楼，在其圆柱形空间内安装两部等长的扶梯Ⅰ、Ⅱ供顾客乘用，如图，一顾客自一楼点A 处乘Ⅰ到达二楼的点B 处后，沿着二楼地面上的弧BM 逆时针步行至点C 处，且C 为弧BM 的中点，再乘Ⅱ到达三楼的点D 处，设圆柱形空间三个楼面圆的中心分别为半径为8m ，相邻楼层的间距为4m ，两部电梯与楼面所成角的正弦值均为13.(1)求此顾客在二楼地面上步行的路程； (2)求异面直线AB 和CD 所成角的余弦值.17．某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的)．已知2OA =米，OB x =米()02x <<，线段BA 、线段CD 与弧BC 、弧AD 的长度之和为6米，圆心角为θ弧度．(1)求θ关于x 的函数解析式；(2)记该宣传牌的面积为y ，试问x 取何值时，则y 的值最大?并求出最大值．参考答案与解析1．AB【分析】利用扇形的弧长与面积公式建立方程组求解，再利用圆心角公式.【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S ，圆心角为α，则212l r +=，182S lr ==解得2r =和8l =或4r =和4l ，则4lrα==或1．故C ，D 错误. 故选：AB ． 2．A【分析】根据终边相同的角的概念，简单计算即可.【详解】终边与直线y x =重合的角可表示为45180,k k Z +⋅∈． 故选：A. 3．D【分析】由角度制与弧度制的互化公式得到113306π-=-︒，结合终边相同角的表示，即可求解. 【详解】由角度制与弧度制的互化公式，可得113306π-=-︒ 与角330-︒终边相同的角的集合为{|330360,}A k k Z αα==-︒+⋅︒∈ 令2k =，可得390α=︒所以与角330α=-︒终边相同的角是390α=︒. 故选：D. 4．D【分析】利用弧度制、三角函数值的正负、三角函数的定义和三角函数线的应用逐一判断选项即可. 【详解】对于A ，长度等于半径的弦所对的圆心角为3π弧度，A 错误； 对于B ，若tan 0α≥，则()2k k k ππαπ≤<+∈Z ，B 错误；对于C ，若角α的终边过点()()3,40P k k k ≠，则4sin 5α=±，C 错误；对于D ，当()224k k k ππαπ<<+∈Z 时，则sin cos αα<，D 正确.故选D.5．D【分析】根据扇形的圆心角、弧长和半径的关系以及扇形的面积求解. 【详解】解：将圆心角240︒化为弧度为：43π，设圆锥底面圆的半径为r 由圆心角、弧长和半径的公式得：4213r ππ=⨯，即23r =由扇形面积公式得：22133S ππ=⨯⨯=所以圆锥的侧面积为23π. 故选：D. 6．B【分析】由题意分析得到这段弓形所在的弧长，结合弧长公式求出其所对的圆心角，双手之间的距离，求得其弦长，即可求解.【详解】如图所示，由题意知“弓”所在的弧ACB 的长54488l ππππ=++=，其所对圆心角58524ππα==则两手之间的距离()522sin 1.768m 44AB AD π==⨯⨯≈．故选：B ．7．38π【解析】根据角度制与弧度制的关系180π︒=，转化即可. 【详解】180π︒= 1180π︒∴=36730'67.567.51808ππ︒∴︒==⨯=故答案为：38π 【点睛】本题主要考查了弧度制与角度制的转化，属于容易题. 8．9cm【分析】由题意设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，由扇形的周长、面积可得1(202)92r r -=，解出r 后，验证即可得解.【详解】设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，圆心角为θ ∵220l r +=，∴202l r =-∴192lr =，即1(202)92r r -=，解得1r =或9r = 当1r =时，则18l =，则181821l r θπ===>，不合题意，舍去； 当9r =时，则2l =，则229l r θπ==<，符合题意. 故答案为：9cm.【点睛】本题考查了扇形弧长及面积公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 9．1080【分析】首先求出弧长，再根据扇形面积公式计算可得；【详解】解：依题意30r =cm ， 2.4lr=所以 2.472l r ==cm ，所以117230108022S lr ==⨯⨯=2cm ；故答案为：108010 【分析】求出,O A O B ''的长度，确定AO B ∠'的大小，再由弧长公式求得A,B 两地的东西方向的距离. 【详解】如图示，设O '为北纬30°圈的圆心，地球球心为O则60AOO '∠= ,故AO '=,即北纬30°R由题意可知2π1203AO B '∠==故点A 和B 两点东西方向的距离即为北纬30°圈上的AB 的长故AB 的长为2π3R =11．（1）132********︒=︒⨯+︒，第三象限； （2）()315360145-︒=︒⨯-+︒，第一象限； （3）1500360460︒=︒⨯+︒，第一象限； （4）()16103605190-︒=︒⨯-+︒，第三象限．【分析】先将各个角化为指定形式，根据通过终边相同的角的概念判断出角所在象限.【详解】（1）132********︒=︒⨯+︒，因为240︒的角终边在第三象限，所以1320︒是第三象限角； （2）()315360145-︒=︒⨯-+︒，因为45︒的角终边在第一象限，所以315-︒是第一象限角； （3）1500360460︒=︒⨯+︒，因为60︒的角终边在第一象限，所以1500︒是第一象限角； （4）()16103605190-︒=︒⨯-+︒，因为190︒的终边在第三象限，所以1610-︒是第三象限角. 12．(1)254218α=⨯π+π； (2)4718θπ=-.【分析】(1)先把角度数化成弧度数，再表示成符合要求的形式. (2)由(1)可得252,(Z)18k k θππ=+∈，再按给定范围求出k 值作答. (1)依题意，169251690169081801818παπππ=︒=⨯==+ 所以254218α=⨯π+π. (2)由(1)知252,(Z)18k k θππ=+∈，而(4,2)θππ∈--，则25422,()18k k Z ππππ-<+<-∈，解得2k =- 所以254741818θ=-π+π=-π. 13．80π【分析】先求出弧长，再利用扇形的面积公式直接求解. 【详解】设扇形弧长为l ，因为圆心角272721805ππ︒⨯=＝rad 所以扇形弧长2·2085l r παπ⨯=＝＝ 于是，扇形的面积S ＝12l ·r ＝12×8π×20＝80π. 14．（1）103π；（2）12；（3）=10,=2l α 【分析】（1）根据扇形的弧长公式进行计算即可．（2）根据扇形的周长公式以及面积公式建立方程关系进行求解 （3）根据扇形的扇形公式结合基本不等式的应用进行求解即可． 【详解】(1)α＝60°＝rad ，∴l ＝α·R ＝×10＝(cm).(2)由题意得解得 (舍去)，故扇形圆心角为. (3)由已知得，l ＋2R ＝20.所以S ＝lR ＝ (20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，则S 取得最大值25 此时l ＝10，α＝2.【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式和面积公式的应用，根据相应的弧长公式和面积公式建立方程关系是解决本题的关键．15．当扇形的圆心角为2rad 时，则扇形的面积最大.【解析】设扇形的半径为r ，弧长为l ，利用周长公式，求得2l c r =-，代入扇形的面积公式，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l 则2l r c +=，即2(0)2c l c r r =-<<由扇形的面积公式12S lr =，代入可得222111(2)()22416c S c r r r cr r c =-=-+=--+当4c r =时，则即22cl c r =-=时，则面积S 取得最小值此时2l rad r α==，面积的最小值为2c 16.【点睛】本题主要考查了扇形的周长，弧长公式，以及扇形的面积公式的应用，其中解答中熟记扇形的弧长公式和面积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 16．(1)2πm【分析】（1）过点B 作一楼地面的垂线，垂足为B '，则B '落在圆柱底面圆上，结合题意计算出1BO M ∠的大小，再利用扇形的弧长公式即可得出结果.（2）建立空间直角坐标系，求出异面直线AB 和CD 的方向向量，再由异面直线所成角的向量公式代入即可得出答案. （1）如图，过点B 作一楼地面的垂线，垂足为B '，则B '落在圆柱底面圆上 连接B A '，则B A '即为BA 在圆柱下底面上的射影 故BAB '∠即为电梯Ⅰ与楼面所成的角，所以1sin 3BAB '∠=.因为4BB AM '==，所以AB '=在AOB '中8OA OB ='=，所以AOB '是等腰直角三角形 连接1O ，B ，1O M ，则1π2BO M AOB '∠=∠= 因为BC CM =，所以BC 的长为π82π4⨯= 故此顾客在二楼地面上步行的路程为2π m . （2）连接2OO ，由（1）可知所在直线两两互相垂直.以O 为原点OB '，OA 和2OO 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则()8,0,4B ()0,8,0A 与()C 和()D -，所以()8,8,4AB =- ()4CD =-. 设异面直线AB 和CD 所成角为θ，则·42cos cos ,=9AB CD AB CD AB CDθ==故异面直线AB 和CD 17．(1)22(02)2x x x θ+=<<+； (2)当12x =时，则y 的值最大，最大值为94．【分析】(1)根据弧长公式和周长列方程得出θ关于x 的函数解析式；(2)根据面积公式求出y 关于x 的函数表达式，根据二次函数性质可得y 的最大值． (1)根据题意，弧BC 的长度为x θ米，弧AD 的长度2AD θ=米2(2)26x x θθ∴-++=∴22(02)2x x x θ+=<<+． (2)依据题意，可知2211222OAD OBC y S S x θθ=-=⨯-扇扇 化简得：22y x x =-++ 02x <<∴当12x =，则2max 1192224y ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭．∴当12x =时，则y 的值最大，且最大值为94．。
高一任意角与弧度制题型练习(全)
任意角知识梳理一、角的概念的推广1.角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角．①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角．例如，画出下列各角：，，．2.在直角坐标系中讨论角：①角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角．二、终边相同的角的集合设表示任意角，所有与终边相同的角，包括本身构成一个集合，这个集合可记为．集合的每一个元素都与的终边相同，当时，对应元素为．例如，如图，角、角和角都是以射线为终边的角，它们是终边相同的角．特别提醒：为任意角，“”这一条件不能漏；与中间用“”连接，可理解成；当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差的整数倍．终边不同则表示的角一定不同．三、区间角、区域角1.区间角、区域角的定义介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如．终边介于某两角终边之间的角的几何叫做区域角，显然区域角包括无数个区间角．2.区域角的写法（1）若角的终边落在一个扇形区域内，写区域角时，先依逆时针方向由小到大写出一个区间角，然后在它的两端分别加上“”，右端末注明“”即可．（2）若角的终边落在两个对称的扇形区域内，写区域角时，可以先写出终边落在一个扇形区域内的一个区间角，在此区间角的两端分别加上“”，右端末注明“”即可．例如，求终边落在图中阴影内（包括边界）的角的集合，可先求落在第一象限内的区间角，故终边落在图中阴影内（包括边界）的角的集合为．3.各象限角的集合象限角象限角的集合表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角四、倍角和分角问题已知角的终边所在的象限，求的终边所在象限．1.代数法由的范围求出的范围．通过分类讨论把写成的形式，然后判断的终边所在的象限．2.几何法画出区域：将坐标系每个象限等分，得个区域．标号：自轴正向起，沿逆时针方向把每个区域依次标上、、、，如图所示（此时）．确定区域：找出与角的终边所在象限标号一致的区域，即为所求．题型训练题型一任意角的概念1.下列四个命题中，正确的是（）A．第一象限的角必是锐角B．锐角必是第一象限的角C．终边相同的角必相等D．第二象限的角必大于第一象限的角2.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③锐角一定是第一象限的角；④小于的角一定是锐角；⑤终边相同的角一定相等．其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．43.设集合，，则?题型二终边相同的角的集合1.下列各个角中与2020°终边相同的是（）A．-150°B．680°C．220°D．320°2.写出终边在图中直线上的角的集合．3.写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．4.下列各组中，终边相同的角是（）A．和（）B．和C．和D．和5.若角与的终边关于轴对称，且，则所构成的集合为．6.与2021°终边相同的最小正角是．7.写出角的终边在阴影中的角的集合．题型三象限角的定义1.在，，，，这五个角中，属于第二象限角的个数是（）A．2B．3C．4D．52.若是第四象限角，则一定是第几象限角？3.已知，则所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第一或第二象限D．第三或第四象限题型四角所在象限的研究1.已知α为第二象限角，则所在的象限是（）A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限2.已知θ为第二象限角，那么是（）A．第一或第二象限角B．第一或四象限角C．第二或四象限角D．第一、二或第四象限角3.若是第二象限角，则，是第几象限角？弧度制知识梳理一、弧度制和弧度制与角度制的换算1.角度制角可以用度为单位进行度量，度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．2.弧度制①弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．②弧度制定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．记法：用符号表示，读作弧度．特别提醒：（1）用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可，如角可写成．而用度为单位表示角的大小时，“度”或“°”不可以省略．（2）不管是以弧度还是以度为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值．二、角度与弧度的换算1.弧度与角度的换算公式(1)关键:抓住互化公式rad=180°是关键;(2)方法：度数弧度数；弧度数度数2.一些特殊角的度数与弧度数的对应表：【注意】①在同一问题中，角度制与弧度制不能混用；②弧度制下角可以与实数可以建立一一对应的关系，所以弧度制表示的角的范围可以用区间表示，如，但角度制表示的角的范围一般不用区间表示，即不用表示，因为区间表示的是数集，但角度数不是实数．三、弧长公式、扇形面积公式如图，设扇形的半径为，弧长为，圆心角为．1.弧长公式：．注意：在应用弧长公式时，要注意的单位是“弧度”，而不是“度”，如果一直角是以“度”为单位的，则必须先把它化为以“弧度”为单位，再代入计算．2.扇形面积公式：．3.弧长公式及扇形面积公式的两种表示角度制弧度制弧长公式扇形面积公式注意事项是扇形的半径，是圆心角的角度数是扇形的半径，是圆心角的弧度数题型训练题型一弧度制与角度制互化1.与角终边相同的最小正角是？（用弧度制表示）2.若四边形的四个内角之比为，则四个内角的弧度数依次为．3.对应的弧度数为4.把化为弧度的结果是5.如图，用弧度制表示终边落在下列阴影部分的角．6.若θ=-3rad，则θ的终边落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限题型二扇形的弧长、面积、与圆心角问题1.半径为，中心角为的角所对的弧长为（）A．B．C．D．2.已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（）A．2B．4C．6D．83.已知扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为？4.一个扇形的弧长与面积都是，则这个扇形圆心角的弧度数为（）A．B．C．D．5.已知弧度的圆心角所对的弦长为，那么，这个圆心角所对的弧长是（）A．B．C．D．6.半径为，圆心角为的扇形的弧长为（）A．B．C．D．7.设扇形的弧长为，半径为，则该扇形的面积为?8.已知扇形的周长为，面积为，则扇形圆心角的弧度数为?。
角度与弧度制测试题
角度与弧度制测试题1、与1 角终边相同的角的集合是( )A ．{360,}180k k π⋅+∈Z B ．{360,}180k k π⋅+∈ZC ．{2,}180k k ππ+∈Z D ．{2,}180k k ππ+∈Z2、设sin 2cos2M =⋅，则M 的值为（ ）A 、正B 、负C 、零D 、不能确定3、计算3cos 25sin 3sin 10cos 22ππππ+-+的值为（ ）A 、1B 、-1C 、0D 、1±5、当32a ππ<<时，|sin ||cos |sin cos αααα+的值为（ ）A 、0B 、2C 、-2D 、不能确定6、终边在直线y x =上的角的集合是（ ）A 、|2,4k k z πααπ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭ B 、|2,4k k z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭C 、|,4k k z πααπ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭ D 、|,4k k z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭7、函数2()ln x f x x =- 的零点所在的大致区间是 （)A.（1，2）B.（2，3）C.（3，4）D.（4，5）8、求函数lg(2sin 1)y x =-的定义域23-23-2121-)(,54cos 30sin 6,8-4、、、、的值为则）且（的终边过点、已知角D C B A m m P -=-αα9、方程x x lg sin =的解的个数为__________.10．若角α的终边上一点()m P ,6且54sin -=α，则=αcos 11、若函数()122log (2log )0y x =--∞的值域是，，则其定义域是12、已知函数sin y a x b =+的最大值是2，最小值是0，则实数a =13.⑴计算4233522sin cos 6tan sin cos 42463πππππ-++； ⑵化简：()()()()παπααπαπαπαπ---⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-sin 3cos 2cos 23cos 3sin 2cos14. (12分)已知一扇形的圆心角是α,半径为R,弧长为l .(1)若60α= ,100R cm =,求扇形的弧长l ;(2)若扇形周长为20cm ,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大?。
高一数学任意角和弧度制试题
高一数学任意角和弧度制试题1.角α的终边经过点（﹣3，0），则角α是（）A．第二象限角B．第三象限角C．第二或第三象限角D．不是象限角【答案】D【解析】直接判断角的终边上的点所在位置，即可判断角所在象限．解：∵点（﹣3，0）在x轴的非正半轴上，∴角α的终边与x轴的非正半轴重合，故角α不是象限角．故选：D．点评：本题考查角的终边所在的象限的求解，判断点的位置是解题的关键．2.有小于360°的正角，这个角的5倍角的终边与该角的终边重合，这个角的大小是（）A．90°B．180°C．270°D．90°，180°或270°【答案】D【解析】利用终边相同的角，通过k的取值求出角的大小．解：设这个角为α，则5α=k•360°+α，k∈Z，α=k•90°，又∵0°＜α＜360°，∴α=90°，180°或270°．故选：D点评：本题考查终边相同角的表示方法以及求解，基本知识的考查．3.在角的集合{α|α=k•90°+45°，k∈Z}中：（1）有几种终边不相同的角？（2）有几个适合不等式﹣360°＜α＜360°的角？（3）写出其中是第二象限角的一般表示法．【答案】（1）四种，与45°、135°、225°、315°对应；（2）8个；（3）k•360°+135°，k∈Z．【解析】（1）可以在直角坐标系中画一画 4个一循环；（2）解不等式﹣360°＜k•90°+45°＜360°即可得出答案；（3）根据（1）可知得出结果．解：（1）在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种，与45°、135°、225°、315°对应．（2）由﹣360°＜k•90°+45°＜360°得﹣＜k＜．又k∈Z，故k=﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3．∴在给定的角的集合中适合不等式﹣360°＜α＜360°的角共有8个．（3）其中是第二象限角可表示成k•360°+135°，k∈Z．点评：此题考查了象限角、轴线角，属于基础题、4.一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆（半径为1的圆）上爬动，若两只蚂蚁均从点A（1，0）同时逆时针匀速爬动，若红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角（其中0°＜α＜β＜180°），如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值．【答案】α=（）°，β=（）°．【解析】确定α=•180°，β=•180°，m，n∈Z，利用2α，2β均为钝角，即可得到结论．解：根据题意可知：14α，14β均为360°的整数倍，故可设14α=m•360°，m∈Z，14β=n•360°，n∈Z，从而可知α=•180°，β=•180°，m，n∈Z．又由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，则2α，2β在第二象限．又0°＜α＜β＜180°，从而可得0°＜2α＜2β＜360°，因此2α，2β均为钝角，即90°＜2α＜2β＜180°．于是45°＜α＜90°，45°＜β＜90°．∴45°＜•180°＜90°，45°＜•180°＜90°，即＜m＜，＜n＜．又∵α＜β，∴m＜n，从而可得m=2，n=3．即α=（）°，β=（）°．点评：本题考查任意角的概念，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．5.（2分）若角α、β的终边关于y轴对称，则α、β的关系一定是（其中k∈Z）（）A．α+β=πB．α﹣β=C．α﹣β=（2k+1）πD．α+β=（2k+1）π【答案】D【解析】由α，β角的终边关于y轴对称，得到=+kπ，（k∈Z），从而得出α与β的关系．解：∵α，β角的终边关于y轴对称，∴=+kπ，（k∈Z），即α+β=π+2kπ，（k∈z），故选：D．点评：本题考查终边相同的角的表示方法，α，β角的终边关于y轴对称即=+kπ，（k∈Z）．6.（5分）已知cosθ•tanθ＜0，那么角θ是第象限角．【答案】第三或第四【解析】本题考查了正、余弦函数与正切函数转化关系以及由三角函数值判断角所在的象限．根据cosθ•tanθ＜0，结合同角三角函数关系运算，及三角函数在各象限中的符号，我们不难得到结论．且cosθ≠0∴角θ是第三或第四象限角故答案为：第三或第四点评：准确记忆三角函数在不同象限内的符号是解决本题的关键，其口决是“第一象限全为正，第二象限负余弦，第三象限负正切，第四象限负正弦．”7.（5分）已知角α终边上一点P的坐标是（2sin2，﹣2cos2），则sinα=．【答案】﹣cos2【解析】由任意角的三角函数定义知先求得该点到原点的距离，再由定义求得．解：由任意三角函数的定义：sinα=故答案是﹣cos2点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义．8.（5分）α是第二象限角，P（x，）为其终边上一点，且cosα=，则sinα=．【答案】【解析】先求PO的距离，根据三角函数的定义，求出cosα，然后解出x的值，注意α是第二象限角，求解sinα．解：由题意|op|=，所以cosα==，因为α是第二象限角，解得：x=﹣，cosα=﹣，sinα==故答案为：点评：本题考查任意角的三角函数的定义，象限角、轴线角，考查计算能力，是基础题．9.（5分）与610°角终边相同的角表示为．【答案】k•360°+250°（k∈Z）【解析】根据终边相同的角的表示方法，直接写出与610°角终边相同的角．解：与610°角终边相同的角为：n•360°+610°=n•360°+360°+250°=（n+1）•360°+250°=k•360°+250°（k∈Z，n∈Z）．故答案为：k•360°+250°（k∈Z）点评：本题是基础题，考查终边相同的角的表示方法，定义题，送分题，注意化简．10.（5分）已知角α的终边落在直线y=﹣3x（x＜0）上，则﹣= ．【答案】2【解析】在直线y=﹣3x（x＜0）上取一点P（x0，﹣3x）（x＜0），根据象限三角函数值的符号去掉绝对值符号，化简即可．解：∵角α的终边落在直线y=﹣3x（x＜0）上，在角α的终边上取一点P（x0，﹣3x）（x＜0），∴﹣3x＞0，∴p在第二象限，∴﹣=﹣=1+1=2．故答案为：2点评：本题考查终边相同的角，三角函数的化简求值，象限三角函值的符号，本题可以直接判断α所在象限即可解答；本题是基础题．。
高一数学第五章弧度制与三角函数 章末质量评估
第五章 章末质量评估 (时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在[0,2π]范围内，与角－4π3终边相同的角是( C ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．4π3解析：与角－4π3终边相同的角是2k π＋⎝⎛⎭⎫－4π3，k ∈Z ，令k ＝1，可得[0,2π]内与角－4π3终边相同的角是2π3.故选C.2．与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是( C ) A ．x ＝π2B ．y ＝π2C ．x ＝π8D ．y ＝π8解析：令2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )．令k ＝0，得x ＝π8.3．sin 600°＋tan 240°的值等于( B ) A ．－32B ．32C ．－12＋ 3D ．12＋ 3解析：sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32，tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝3，因此sin 600°＋tan 240°＝32. 4．若角α的终边过点(1，－2)，则sin 2α＝( D ) A ．35B ．－35C ．45D ．－45解析：x ＝1，y ＝－2，r ＝x 2＋y 2＝5，所以sin α＝－25，cos α＝15， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－25×15＝－45.5．屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代．某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风(如图)，扇环外环弧长为2.4 m ，内环弧长为0.6 m ，径长(外环半径与内环半径之差)为0.9 m ，若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为( C )A ．1.20 m 2B ．1.25 m 2C ．1.35 m 2D ．1.40 m 2解析：设扇环的圆心角为α，内环半径为r 1，外环半径为r 2，则r 2－r 1＝0.9.由题意可知，αr 1＝0.6，αr 2＝2.4，所以α(r 1＋r 2)＝3，所以扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为S ＝12α(r 22－r 21)＝12α(r 1＋r 2)·(r 2－r 1)＝12×3×0.9＝1.35(m 2)．6．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( B ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.∵sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝－cos 2x ， ∴f (x )＝－cos 2x .又f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )， ∴f (x )是最小正周期为π的偶函数．7．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6，将函数f (x )的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若g (x )为偶函数，则φ的最小值是( A )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解析：函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6，将函数f (x )的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度，得到函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ－5π6的图象．若g (x )为偶函数，则2φ－5π6＝k π＋π2，k ∈Z ，令k ＝－1，求得φ的最小值为π6.故选A.8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，ω>0的图象在y 轴右侧的第一个最高点为P ⎝⎛⎭⎫π6，1，在原点右侧与x 轴的第一个交点为Q ⎝⎛⎭⎫5π12，0，则f ⎝⎛⎭⎫π3的值为( C ) A ．1 B ．22 C ．12D ．32解析：由题意，得T 4＝5π12－π6，解得T ＝π，所以ω＝2，则f (x )＝sin(2x ＋φ)．将点P ⎝⎛⎭⎫π6，1的坐标代入f (x )＝sin(2x ＋φ)，得sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1，所以φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又|φ|<π2，所以φ＝π6，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6(x ∈R )，所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π6＝sin 5π6＝12.故选C. 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．下列结论正确的是( BC ) A ．－7π6是第三象限角B ．若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为3π2C ．若角α的终边上有一点P (－3,4)，则cos α＝－35D ．若角α为锐角，则角2α为钝角解析：选项A 中，－7π6＝－2π＋5π6是第二象限角，A 错误；选项B 中，设半径为r ，则π3·r ＝π⇒r ＝3⇒S ＝12×π3×32＝3π2，B 正确；选项C 中，(－3)2＋42＝5，∴cos α＝－35，C正确；选项D 中，α＝30°是锐角，但2α＝60°不是钝角，D 错误．故选BC.10．已知函数f (x )＝cos 2x －1sin 2x ，则有( BCD )A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称B ．函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称 C ．函数f (x )是奇函数 D ．函数f (x )的最小正周期为π解析：因为f (x )＝cos 2x －1sin 2x ＝－2sin 2x 2sin x cos x ＝－tan x ⎝⎛⎭⎫x ≠k π2，k ∈Z ，所以函数f (x )是周期为π的奇函数，图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称．故选BCD.11．如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是( BCD )A ．该质点的运动周期为0.7 sB ．该质点的振幅为5 cmC ．该质点在0.1 s 和0.5 s 时运动速度为零D ．该质点的运动周期为0.8 s解析：由题图可知，振动周期为2×(0.7－0.3)＝0.8 s ，故A 错，D 正确；该质点的振幅为5 cm ，B 正确；由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3 s 和0.7 s 时运动速度最大，在0.1 s 和0.5 s 时运动速度为零，故C 正确．故选BCD.12．已知函数f (x )＝sin x cos x －cos 2x ，下列命题正确的是( BC ) A ．f (x )的最小正周期为2π B ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π8上单调递增 C ．直线x ＝3π8是函数f (x )图象的一条对称轴D ．函数f (x )的图象可由函数y ＝22sin 2x 的图象向右平移π8个单位长度得到 解析：f (x )＝12sin 2x －1＋cos 2x 2＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－12，显然A 错；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π8时，2x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，函数f (x )单调递增，故B 正确；令2x －π4＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝38π＋k π2，k ∈Z ，显然x ＝3π8是函数f (x )图象的一条对称轴，故C 正确；y ＝22sin 2x 的图象向右平移π8个单位得到y ＝22sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，故D 错． 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．质点P 的初始位置为P 1(3，1)，它在以原点O 为圆心，半径为2的圆上逆时针旋转150°到达点P 2，则质点P 经过的弧长为5π3；点P 2的坐标为__(－2,0)__． 解析：根据弧长公式可得l ＝|α|r ＝⎪⎪⎪⎪5π6×2＝5π3.设OP 1与x 轴的夹角为θ，则tan θ＝33，解得θ＝30°，所以旋转后点P 2刚好在x 轴的负半轴，所以P 2的坐标为(－2,0)．14．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则ω＝__2__，函数f (x )的单调递增区间为 ⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z .解析：由题中图象知T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，则T ＝π.由2πω＝π，得ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)．由五点法，得2×⎝⎛⎭⎫－π6＋φ＝0，解得φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，即函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z .15．求值：cos 40°＋sin 50°(1＋3tan 10°)sin 70°1＋cos 40°＝2 .解析：原式＝cos 40°＋sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°sin 70°×2cos 20°＝cos 40°＋sin 50°×2cos (60°－10°)cos 10°sin 70°×2cos 20°＝cos 40°＋sin 100°cos 10°sin 70°×2cos 20°＝2cos 220°2cos 220°＝ 2. 16．设函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a (a 为实数)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－4，则a 的值等于__－4__.解析：f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，∴f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋a ＋1＝－4，∴a ＝－4.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知角α是第三象限角，tan α＝12.(1)求sin α，cos α的值； (2)求1＋2sin (π－α)cos (－2π－α)sin 2(－α)－sin 2⎝⎛⎭⎫5π2－α的值．解：(1)tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1，故⎩⎨⎧ sin α＝55，cos α＝255或⎩⎨⎧sin α＝－55，cos α＝－255，而角α是第三象限角，则sin α＜0，cos α＜0，故⎩⎨⎧sin α＝－55，cos α＝－255.(2)原式＝1＋2sin αcos αsin 2α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2(sin α＋cos α)(sin α－cos α) ＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1.∵tan α＝12，∴原式＝tan α＋1tan α－1＝－3.18．(12分)已知把函数g (x )＝2sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数f (x )的图象．(1)求f (x )的最小值及取最小值时x 的取值集合； (2)求f (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时的值域． 解：(1)由已知，得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1.当sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝－1时，f (x )min ＝－2＋1＝－1，此时2x －π3＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝k π－π12，k ∈Z ，故f (x )取最小值时x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π12，k ∈Z .(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，从而－3＋1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1≤3，即f (x )的值域为[－3＋1,3]． 19．(12分)已知函数f (x )＝4cos ωx sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋a (ω＞0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间． 解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋a ＝4cos ωx ·⎝⎛⎭⎫32sin ωx ＋12cos ωx ＋a ＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1＋a . 当sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a ，又f (x )图象上最高点的纵坐标为2，所以3＋a ＝2，所以a ＝－1.又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π， 所以f (x )的最小正周期T ＝π，所以ω＝2πT ＝2.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z . 令k ＝0，得π6≤x ≤2π3，所以函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π6，2π3.20．(12分)在①tan(π＋α)＝2，②sin(π－α)－sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos(－α)，③2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题．问题：已知________． (1)求3sin α＋2cos αsin α－cos α的值；(2)当α为第三象限角时，求sin(－α)－cos(π＋α)－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫α－3π2的值． 解：若选择①：tan(π＋α)＝tan α＝2. (1)3sin α＋2cos αsin α－cos α＝3tan α＋2tan α－1＝3×2＋22－1＝8.(2)由tan α＝2及α为第三象限角，得sin α＝2cos α<0， 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝－255，cos α＝－55，所以sin(－α)－cos(π＋α)－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α·sin ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α＋cos α＋sin αcos α＝255－55＋⎝⎛⎭⎫－255×⎝⎛⎭⎫－55＝2＋55. 若选择②：由sin(π－α)－sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos(－α)，得sin α＝2cos α. (1)3sin α＋2cos αsin α－cos α＝3×2cos α＋2cos α2cos α－cos α＝8.(2)由α为第三象限角可知，sin α＝2cos α<0，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝－255，cos α＝－55，所以sin(－α)－cos(π＋α)－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α·sin ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α＋cos α＋sin αcos α＝255－55＋⎝⎛⎭⎫－255×⎝⎛⎭⎫－55＝2＋55. 若选择③：由2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，得2cos α＝sin α. (1)3sin α＋2cos αsin α－cos α＝3×2cos α＋2cos α2cos α－cos α＝8.(2)由α为第三象限角可知，sin α＝2cos α<0， 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝－255，cos α＝－55.所以sin(－α)－cos(π＋α)－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α·sin ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α＋cos α＋sin αcos α＝255－55＋⎝⎛⎭⎫－255×⎝⎛⎭⎫－55＝2＋55. 21．(12分)将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图所示的坐标系中，轮胎以角速度ω rad/s 做圆周运动，P 0是气针的初始位置，气针(看作一个点P )到原点O 的距离为r .(1)求气针P 的纵坐标y 关于时间t 的函数解析式，并求出P 的运动周期； (2)当φ＝π6，r ＝ω＝1时，作出其图象．解：(1)过点P 作x 轴的垂线，设垂足为M ，则MP 就是正弦线． ∴y ＝r sin(ωt ＋φ)，因此T ＝2πω. (2)当φ＝π6，r ＝ω＝1时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫t ＋π6，其图象可由y ＝sin t 的图象向左平移π6个单位长度得到，如图所示．22．(12分)已知函数f (x )的图象是由函数g (x )＝cos x 的图象经如下变换得到：先将g (x )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度．(1)求函数f (x )的解析式，并求其图象的对称轴方程．(2)已知关于x 的方程f (x )＋g (x )＝m 在[0,2π)内有两个不同的解α，β. ①求实数m 的取值范围； ②证明：cos(α－β)＝2m 25－1.解：(1)将g (x )＝cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y ＝2cos x 的图象，再将y ＝2cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π2的图象，故f (x )＝2sin x ．从而函数f (x )＝2sin x 图象的对称轴方程为x ＝k π＋π2(k ∈Z )．(2)①f (x )＋g (x )＝2sin x ＋cos x ＝5⎝⎛⎭⎫25sin x ＋15cos x ＝5sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝15，cos φ＝25. 依题意，sin(x ＋φ)＝m5在[0,2π)内有两个不同的解α，β，当且仅当⎪⎪⎪⎪m 5＜1，故m 的取值范围是(－5，5)．②证明：因为α，β是方程5sin(x ＋φ)＝m 在[0,2π)内的两个不同的解，所以sin(α＋φ)＝m 5，sin(β＋φ)＝m5. 当1≤m ＜5时，α＋β＝2⎝⎛⎭⎫π2－φ，即α－β＝π－2(β＋φ)； 当－5＜m ＜1时，α＋β＝2⎝⎛⎭⎫3π2－φ，即α－β＝3π－2(β＋φ)． 所以cos(α－β)＝－cos 2(β＋φ)＝2sin 2(β＋φ)－1＝2⎝⎛⎭⎫m 52－1＝2m 25－1.。
高中试卷-5.1 任意角和弧度制(含答案)
5.1任意角和弧度制1. 任意角；2. 终边相同的角；3. 终边在某条直线上的角的集合；4. 区域角的表示；5. 分角、倍角所在角限的判断；6. 有关“角度”与“弧度”概念的理解；7. 角度制与弧度制的转化；8. 用弧度制表示区域角；9. 求扇形面积最值的函数思想.一、单选题1．（2021·伊美区第二中学高一月考）300-o 化为弧度是（ ）A ．43p-B ．53p -C ．23p -D ．56p -【答案】B 【解析】300530023603pp -=-´=-o 2．（2021·广东高一期末）下列各角中，与2021°终边相同的角为（ ）A ．41°B ．129°C ．219°D ．﹣231°【答案】C 【解析】因为20195360219=´+o o o ，所以219o 与2021°终边相同.故选：C.3．（2021·永昌县第四中学高一期末）若α是第四象限角，则180°＋α一定是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】B 【解析】∵α是第四象限角，∴k·360°－90°<α<k·360°.∴k·360°＋90°<180°＋α<k·360°＋180°. ∴180°＋α在第二象限，故选B.4．（2021·江西省铜鼓中学高一期末）一个扇形的圆心角为150°，面积为53π，则该扇形半径为（ ）A ．4B ．1C D ．2【答案】D 【解析】圆心角为51506pa ==o，设扇形的半径为R ，2215152326S R R p p a =×Þ=´，解得2R =.故选：D5．（2021·永州市第四中学高一月考）在0360~°°的范围内，与510°-终边相同的角是（ ）A ．330°B ．210°C ．150°D ．30°【答案】B 【解析】因为510720210°-=-+o o ,则在0360~°°的范围内，与510°-终边相同的角是210°,故选：B.6．（2021·山西平城·大同一中高一月考）已知扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，则此扇形的面积为（ ）．A ．8cm 2B ．10cm 2C ．12cm 2D ．14cm 2【答案】A 【解析】设扇形的半径为r cm ，∵扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，∴2412r r +=，得2r =，∴此扇形的面积214282S =´´=（cm 2），故选：A ．7．（2021·河南林州一中高一月考）已知集合A ＝{α|α小于90°}，B ＝{α|α为第一象限角}，则A∩B＝( )A ．{α|α为锐角}B ．{α|α小于90°}C ．{α|α为第一象限角}D ．以上都不对【答案】D【解析】∵A＝{α|α小于90°}，B ＝{α|α为第一象限角}，∴A∩B＝{小于90°且在第一象限的角}，对于A ：小于90°的角不一定是第一象限的，不正确，比如﹣30°；对于B ：小于90°的角且在第一象限的角不一定是0°～90°的角，不正确，例如﹣300°；对于C ：第一象限的角不一定是小于90°的角且在第一象限的角，不正确，例如380°，故选D ．8．（2021·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高一期末）已知半径为1的扇形面积为38p，则扇形的圆心角为（ ）A ．316p B ．38p C ．34p D ．32p 【答案】C 【解析】由212S r a =得231182p a =´´，所以34pa =，故选：C.9.（2021·山东潍坊·高一期末）已知某扇形的半径为4cm ，圆心角为2rad ，则此扇形的面积为（ ）A ．232cm B ．216cm C ．28cm D ．24cm 【答案】B【解析】由题意，某扇形的半径为4cm ，圆心角为2rad ，根据扇形的面积公式，可得22211241622S r cm a ==´´= 所以此扇形的面积为216cm .故选：B.10．（2021·四川德阳·高三其他（理））将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图所示是分别以A 、B 、C 为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线G （又称莱洛三角形），下列关于曲线G 的描述中，正确的有（ ）（1）曲线G 不是等宽曲线；（2）曲线G 是等宽曲线且宽为线段AB 的长；（3）曲线G 是等宽曲线且宽为弧AB 的长；（4）在曲线G 和圆的宽相等，则它们的周长相等；（5）若曲线G 和圆的宽相等，则它们的面积相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】若曲线G 和圆的宽相等，设曲线G 的宽为1，则圆的半径为12，（1）根据定义，可以得曲线G 是等宽曲线，错误；（2）曲线G 是等宽曲线且宽为线段AB 的长，正确；（3）根据（2）得（3）错误；（4）曲线G 的周长为1326p p ´´=，圆的周长为122p p ´=，故它们的周长相等，正确；（5）正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为2166p p´=，正三角形的面积1112S =´´=，则一个弓形面积6S p=，则整个区域的面积为3(62pp -=-而圆的面积为2124p p æö=ç÷èø，不相等，故错误；综上，正确的有2个，故选：B.二、多选题11.（2021·涟水县第一中学高一月考）下列四个选项正确的有（ ）A ．75-°角是第四象限角B ．225°角是第三象限角C ．475°角是第二象限角D ．315-°是第一象限角【答案】ABCD 【解析】对于A 如图1所示，75-°角是第四象限角；对于B 如图2所示，225°角是第三象限角；对于C 如图3所示，475°角是第二象限角；对于D 如图4所示，315-°角是第一象限角.故选：ABCD .12．（2021·全国高一课时练习）下列与412°角的终边相同的角是（ ）A ．52°B ．778°C ．308-°D ．1132°【答案】ACD 【解析】因为41236052=°°+°，所以与412°角的终边相同角为36052,k k Z b =´°+°Î，当1k =-时，308b =-°，当0k =时，52b =°，当2k =时，772b =°，当3k =时，1132b =°，当4k =时，1492b =°，综上，选项A 、C 、D 正确.故选：ACD.13．（2021·全国高一课时练习）下列条件中，能使a 和b 的终边关于y 轴对称的是（ ）A ．90a b +=oB ．180a b +=oC ．()36090k k Z a b °°+=×+ÎD ．()360k k Z a b °+=×ÎE.()()21180k k Z a b +=+×Îo【答案】BE【解析】假设a 、b 为0180o o :内的角，如图所示，因为a 、b 的终边关于y 轴对称，所以180a b °+=，所以B 满足条件；结合终边相同的角的概念，可得()()36018021180Z k k k a b +=×+=+×Îooo，所以E 满足条件，ACD 都不满足条件．故选：BE.14．（2021·重庆高一月考）设a 是第三象限角，则2a所在象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】BD【解析】a Q 是第三象限角，360180360270k k a \×°+°<<×°+°，k Z Î，则180901801352k k a×°+°<<×°+°，k Z Î，令2k n =，n Z Î有360903601352n n a×°+°<<×°+°，n Z Î；在二象限；21k n =+，n z Î，有3602703603152n n a×°+°<<×°+°，n Z Î；在四象限；故选：B D ．三、填空题15．（2021·宁县第二中学高一期中）已知角a 的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么a Î________.【答案】{}|180********,n n n a a ×°+°<<×°+°ÎZ .【解析】在0360o o :范围内，终边落在阴影内的角a 满足：30150a <<o o 或210330a <<o o\满足题意的角a 为：{}{}30360150360210360330360k k k k a a a a +×<<+×È+×<<+×oo o o o o o o{}{}302180150218021021803302180k k k k a a a a =+×<<+×È+×<<+×o o o o o o o o{}()(){}3021801502180302118015021180k k k k a a a a =+×<<+×È++×<<++×o o o o o o o o{}30180150180n n a a =+×<<+×o o o o ，k Z Î，n ZÎ本题正确结果：{}30180150180,n n n Za a +×<<+×Îoooo16．（2018·福建高一期中）已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为 ．【答案】4【解析】设扇形半径为r ，弧长为l ，则142{2lr l r==，解得4{2l r ==．17．（2021·上海杨浦·复旦附中高一月考）一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是________弧度【答案】12【解析】设扇形的所在圆的半径为r ，圆心角为a ，因为扇形的面积为1，弧长也为1，可得21121r r a a ì×=ïíï=î，即221r r a a ì×=í=î，解得12,2r a ==.故答案为：12四、双空题18．（2021·上海高一课时练习）24°=_________弧度；49p 弧度=________.【答案】215p 80° 【解析】根据角度制与弧度制的互化公式1801,1180rad pp==oo，可得2180241245pp °==´，441808099p =´=o o .故答案为：215p ，80o .19．（2021·全国高一课时练习）（1）给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角或直角或锐角.其中正确说法的序号为________.(把正确说法的序号都写上)（2）将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________.【答案】② 120-° 【解析】（1）①锐角的范围为()0,90°°是第一象限的角，命题①正确；②第一象限角的范围为()()360,90360k k k Z ×°°+×°Î，故第一象限角可以为负角，故②错误；③根据任意角的概念，可知小于180°的角，可以为负角，故③错误；故答案为：②（2）将时针拨快20分钟，则分针顺时针转过120°，即转过的度数为120-°故答案为：120-°20．（2021·浙江柯城·衢州二中高三一模）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB 长是__________，弧田的面积是__________．【答案】 【解析】∵如图，弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，过O 作OC AB ^，交AB 于D ，根据圆的几何性质可知，OC 垂直平分AB .∴α＝∠AOB＝46p ＝23p ，可得∠AOD＝3p，OA ＝6，∴AB＝2AD ＝2OAsin3p＝2×66，∴弧田的面积S ＝S 扇形OAB ﹣S △OAB ＝12´4π×6﹣132´．故答案为：．21．（2021·宁波市北仑中学高一期中）已知扇形的周长为40，当它的圆心角为____时，扇形的面积最大，最大面积为____.【答案】2 100【解析】设扇形半径为r ，则其弧长为402r -，4020,20r r -><，∴020r <<．∴221(402)20(10)1002S r r r r r =-=-+=--+，∴10r =时，max 100S =．此时圆心角为40210210-´=．故答案为：2；100．五、解答题22．（2021·全国高一课时练习）写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．【答案】{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}；元素β见解析【解析】与α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1910°，k∈Z}．∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，∴1111363636k £< (k∈Z)，故取k ＝4,5,6.k ＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°；k ＝5时，β＝5×360°－1910°＝－110°；k ＝6时，β＝6×360°－1910°＝250°.23.（2021·全国高一课时练习）写出终边在直线y x =上的角的集合.【答案】{|=,}6k k Z pb b p +Î【解析】直线y x=的倾斜角为6p a =，所以终边在直线y x=上的角为=2,6k k Z p b p +Î或7=2,6k k Z p b p +Î，=2(21),66k k k Z ppb p p p ++=++Î，综合得终边在直线y x =上的角为=,6k k Z p b p +Î，所以终边在直线y x =上的角的集合为{|=,}6k k Z p b b p +Î.24.（2021·全国高一课时练习）已知a 为第二象限角，则2a 是第几象限角？【答案】第一或第三象限角【解析】∵a 是第二象限角，∴+2+22k k k Z p p a p p <<Î，，∴++422k k k Zpapp p <<Î，.当k 为偶数时，2a 是第一象限角；当k 为奇数时，2a 是第三象限角．所以2a第一或第三象限角.点睛:确定2()*n n N n a³Î，终边位置的方法步骤：(1)用终边相同角的形式表示出角a 的范围；(2)写出n a的范围；(3)根据k 的可能取值讨论确定n a的终边所在位置25．（2021·全国高一课时练习）已知如图．（1）写出终边落在射线OA 、OB 上的角的集合；（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．【答案】（1）终边落在射线OA 上的角的集合为{}210360,k k Z a a =+×Îo o ，终边落在射线OB 上的角的集合为{}300360,k k Z a a =+×Îo o ；（2）{}210360300360,k k k Z a a +×££+×Îo o o o .【解析】（1）终边落在射线OA 上的角的集合是{}210360,k k Z a a =+×Îo o ，终边落在射线OB 上的角的集合{}300360,k k Z a a =+×Îo o ；（2）终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是{}210360300360,k k k Z a a +×££+×Îo o o o .26．（2021·全国高一课时练习）已知扇形AOB 的圆心角α为23p ，半径长R 为6，求：（1）弧AB 的长；（2）扇形所含弓形的面积.【答案】（1）4π；（2）12π－【解析】（1）l ＝α·R＝23π×6＝4π，所以弧AB 的长为4π.（2）S 扇形OAB ＝12lR ＝12×4π×6＝12π.如图所示，过点O 作OD⊥AB，交AB 于点D ，23π＝120°，所以∠AOD＝60°，∠DAO＝30°，于是有S △OAB ＝12×AB×OD＝12×2×6cos 30°×3＝所以弓形的面积为S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－.所以弓形的面积是12π－.27．（2021·浙江高一课时练习）已知一扇形的圆心角为(0)a a >，所在圆的半径为R.（1）若60a °=，10R cm =，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角a 等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?【答案】（1）103cm p ，()2503cm p æ-çè；（2）2rad a =.【解析】（1）设扇形的弧长为l ，弓形面积为S ，则603pa °==，10R =，101033l cm pp =´=，()22110501010233S cm p p æ=´´-=-çè.（2）设扇形弧长为l ，则220l R +=，即10202101l R R p æö=-<<ç÷+èø，∴扇形面积2211(202)10(5)2522S IR R R R R R ==-×=-+=--+，∴当5R cm =时，S 有最大值225cm ，此时10l cm =，2rad l Ra ==.因此当2rad a =时，这个扇形面积最大.点睛:12,2C l R S lR =+=当周长C 为定值时可得面积()211222S C R R R CR =-=-+当面积S 为定值时可得周长22S C R R =+.。
苏教版数学高一《弧度制》精品测试
1．下列常见角0°，30°，45°，60°，90°，120°，135°，150°，180°，将它们用弧度制分别表示为________．答案：0，π6，π4，π3，π2，2π3，3π4，5π6，π 2．α＝－2 rad ，则α的终边在________．解析：－2 rad ＝－2×(180π)°≈－57.30°×2＝－114.60°， ∴α为第三象限角．答案：第三象限3．已知圆内1 rad 的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长为________．解析：首先求出圆的半径r ＝1sin 12，再利用弧长公式求弧长． 答案：1sin 124．设集合M ＝{α|α＝k π2－π3，k ∈Z}，N ＝{α|－π＜α＜π}，则M ∩N ＝________. 解析：分别取k ＝－1,0,1,2，得α＝－5π6，－π3，π6，2π3. 答案：{－5π6，－π3，π6，2π3}一、填空题1．下列结论不正确的是________．(只填序号)①π3rad ＝60°；②10°＝π18rad ；③36°＝π5rad ；④5π8rad ＝115°. 解析：5π8 rad ＝5π8×(180π)°＝112.5°，所以④错． 答案：④2．集合A ＝{x |x ＝k π＋π2，k ∈Z}与集合B ＝{x |x ＝2k π±π2，k ∈Z}之间的关系是________． 解析：因为角的集合{x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z}与{x |x ＝2k π－π2，k ∈Z}分别表示终边落在y 轴的正、负半轴上的角的集合，所以B 表示终边落在y 轴上的角的集合，所以A ＝B .答案：A ＝B3．已知A ，B 是半径为2的圆O 上两点，∠AOB ＝2弧度，则劣弧AB 的长度是________． 解析：根据弧长公式l ＝|α|·r 知劣弧AB 的长度为2×2＝4.答案：44．若长为30 cm 的弧所对圆心角为72°，则这条弧所在的圆的半径为________．(精确到1 cm)解析：∵72°＝72×π180＝2π5，∴这条弧所在的圆的半径为30÷2π5＝75π≈24 (cm)． 答案：24 cm5．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________. 解析：∵角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，∴α＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z)，∴角α的集合为{α|α＝2k π＋π3，k ∈Z}．∵α∈(－4π，4π)，∴－4π＜2k π＋π3＜4π，k ∈Z ，∴－136＜k ＜116.∵k ∈Z ，∴k ＝－2，－1,0,1，∴α＝－11π3，－5π3，π3，7π3. 答案：－11π3，－5π3，π3，7π36．在(－4π，4π)内与－58π7角的终边相同的角是________． 解析：首先写出与－587π角的终边相同的角的集合{α|α＝2k π－587π，k ∈Z}．然后再写出(－4π，4π)内的角α.答案：－16π7，－2π7，12π7，26π77．已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段弧所对的圆心角的弧度数为________．解析：设圆的半径为r ，这段弧所对的圆心角为α，则正方形边长为2r ，则2r ＝r ·α，即α＝ 2.答案： 28．已知一扇形的圆心角为π3rad ，半径为R ，则该扇形的内切圆面积与扇形面积之比为________．解析：先求出圆的半径r 与扇形半径R 的比为1∶3，再求它们的面积的比．答案：2∶3二、解答题9．已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求：(1)AB 的长；(2)扇形所含弓形的面积．解：(1)∵120°＝120180π＝23π， ∴l ＝|α|·r ＝6×23π＝4π， ∴AB 的长为4π.(2)∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π， 如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于D 点，于是有S △OAB ＝12×AB ×OD ＝12×2×6cos30°×3＝9 3. ∴弓形的面积为S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3.∴弓形的面积是12π－9 3.10．一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形面积是多少？解：设弧长为l ，所对圆心角为α，则l ＋2r ＝πr ，即l ＝(π－2)r .∵|α|＝l r ＝π－2，|α|＝(π－2)·(180π)°≈65.41°. ∴α的弧度数是π－2，度数为65.41°.从而S 扇形＝12lr ＝12(π－2)r 2. 11．设集合A ＝{x |k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z}，B ＝{x |x 2≤36}，试求集合A ∩B . 解：由集合A ＝{x |k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z}，可知A ＝…∪[－9π4，－7π4]∪[－5π4，－3π4]∪[－π4，π4]∪[3π4，5π4]∪[7π4，9π4]∪….由B ＝{x |x 2≤36}，可得B ＝{x |－6≤x ≤6}，在数轴上将两个集合分别作出，如图．可得集合A ∩B ＝[－6，－7π4]∪[－5π4，－3π4]∪[－π4，π4]∪[3π4，5π4]∪[7π4，6]．。
2016-2017学年高一数学4练习：1.3 弧度制 含解析
§3弧度制A组1.将分针拨慢10分钟，则分针转过的弧度数是()A。
π3B.—π3C。
π5D。
-π5解析:因为分针每分钟转过的角度为-6°,所以将分针拨慢10分钟，则分针转过的弧度数为π3。
答案:A2.下列转化结果错误的是(）A.60°化成弧度是π3B.—10π3化成度是—600°C.-150°化成弧度是-7π6D.π12化成度是15°解析：—150°=-150×π180 rad=—5π6rad，故C项错误.答案:C3.—29π12的终边所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D。
第四象限解析:—29π12=—2π-5π12。
因为-5π12是第四象限角，所以-29π12的终边所在的象限是第四象限。
答案：D4.圆的半径是6 cm ，则15°圆心角与圆弧所围成扇形的面积等于（ )A 。
π2cm 2B.3π2cm 2 C 。
π cm 2 D 。
3π cm 2解析：所求面积S=12×15×π180×62=3π2cm 2。
答案:B5.已知扇形的周长为12 cm ，面积为8 cm 2,则扇形圆心角的弧度数为（ ） A 。
1B.4C.1或4 D 。
2或4解析:设扇形的弧长为l ，半径为r ,因为扇形的周长为12 cm ，面积为8 cm 2,所以{l +2r =12,12lr =8,解得{r =2,l =8或{r =4,l =4,所以α=1或4.答案：C6.已知4π〈α〈6π，且角α与角—2π3的终边相同，则α= . 解析:∵α=2k π-2π3(k ∈Z ）,且4π<α<6π, ∴令k=3,得α=6π—2π3=16π3. 答案:16π37为 .解析：330°可看成-30°，即—π6,而75°=75×π180=5π12，∴{θ|2kπ-π6<θ<2kπ+5π12,k∈Z}.答案:{θ|2kπ-π6<θ<2kπ+5π12,k∈Z}8。