有关群的相关问题探究

摘要群论是代数学的重要组成部分，群作为一个非常重要的研究对象，其应用已经发展到各个学科领域，本文对群的相关基本概念和性质进行了探究．首先介绍了群的由来和发现；然后给出群的几个等价定义及其证明，并且对子群、正规子群、共轭、Sylow 子群、同态和同构等重要概念及相关性质进行了探讨；最后对交换群、循环群、变换群、二面体群和四元数群等几类特殊的群的构造和相关性质进行了探讨．关键词：群；子群；正规子群；Sylow子群；二面体群；四元数群.AbstractThe group theroy is an important part of algebra. As a very important research subject, the applications of groups has been developed to various disciplines. In this paper, the related concepts and properties of the group are discussed. Firstly, the origin and discovery of groups are introduced. Secondly, the several equivalent definitions and proofs of the group are given, and then some important concepts and properties of the group are discussed , such as subgroups, normal subgroups, conjugate, sylow subgroups, homomorphics and isomorphics, and so on. Finally, the structures and properties of the abelian groups, cyclic groups, transformation groups, Dihedral group and Quaternion group are analyzed.Keywords: group; subgroup ; normal subgroup; Sylow subgroup; Dihedral group;Quaternion group目录第一章群的由来和发现 (1)第二章群的基本概念 (3)2.1 群的定义 (3)2.1.1群的等价定义及其证明 (3)2.1.2群的阶及元素的阶 (7)2.2 子群 (9)2.3 正规子群 (10)2.4 共轭 (12)2.5 同态与同构 (12)2.6 Sylow子群 (13)第三章几类特殊的群 (14)3.1 交换群 (14)3.2 循环群 (15)3.3 变换群和置换群 (16)3.4 线性群 (18)3.5 二面体群 (19)3.6 四元数群 (19)3.7 欧式空间的正交变换群 (20)参考文献 (22)谢辞 (23)代数学是数学的一部分，而群论又是近世代数的重要研究对象，群是现代代数最基本和最重要的概念之一．数是数学研究的基本对象，数的基本运算与各种性质组成一个代数系统，因此群论的研究就变得非常有意义.对于群的概念，虽然定义很简单，但只有真正理解了才能深刻体会到探究群的意义及其重要性.群已经渗透到了各个数学学科分支，群与数、高等代数、线性方程、几何等都有联系与应用，甚至与物理中的运动群，晶体群，量子力学都有应用研究，群论已经成为了研究对称性的有力工具．第一章 群的由来与发现群的发现追溯于19世纪代数中高次方程求解的问题，群概念的发现时代数学的一个新突破．由于代数对象出现扩张，导致群的发现，除了伽罗瓦的有限置换群，克莱因的无限置换群，还有离散的群、无限群、连续群．随着研究的逐步深入，数学家们慢慢认识到代数系统中的元素有代数运算及其规则，于是得出了群的普遍概念．关于群的概念是有法国数学家伽罗瓦首先提出来的，当时是为了解决代数高次方程根式解的问题，形如110(5)n n n x a x a n -+++=≥ 的代数方程．其最初的萌芽是由猜测的提出与论证所产生出来的，拉格朗日第一个明确宣布“不可能用根式解四次以上的方程”，但是从中看出方程的根与置换的关系，第一个提出了预解式的概念．以一元二次方程为例:二次方程 02=++c bx ax 的求根公式显然2124x x ac b -=-，则()2121x x x x -=-ϕ称02=++c bx ax 的预解式，结合韦达定理得出：()0422=--ac b ϕ所以得出 ac b 42-=ϕ拉格朗日还研究出三次方程和四次方程的预解式，但当解决五次方程时，他发现这种方法行不通了，于是当时的数学家就怀疑有可能是五次以上的代数方程根本不存在根式求解[1]．在预解式的研究中，拉格朗日第一次正确地指出方程的根的排列与置换的理论，也是解五次以上代数方程的关键所在．后来挪威数学家阿贝尔证明了对于一般的五次方程和五次以上的方程根式解不可能．后来法国数学家伽罗瓦就解决这样一个问题：什么样的特殊方程能够用根式来求解? 于是就在他的论文中，建立了判别方程根式可解的充分必要条件. 伽罗瓦证明了方程根式解的充分必要条件是方程的群为可解群. 其思想是将一个n 次方程02211=++++--n n n n a x a x a x的n 个根n x x x ,,,21 作成一个整体，将它们进行排列，也就是进行置换．这些置换的全体构成的集合，并且其中任意两个置换的乘积在这个集合内，伽罗瓦称为“群”，即方程的置换群，称之为“伽罗瓦群”，其中伽罗瓦提出的群的概念并不是现在我们所说的抽象的群概念，而是置换群的概念[2]．这是数学史上最早的“群”的定义．伽罗瓦就是根据他所提出的群的概念来解决方程根式可解性问题的，伽罗瓦证明，当且仅当方程的群满足一定的条件，即方程的群是可解群，方程才是根式可解的[2]．伽罗瓦群刻画了方程的根的对称性，一直到现在群都是作为研究对称性的有力工具．伽罗瓦的工作是代数学的新开端，最重要的是群的概念的引进导致了代数学在对象、内容、方法上的深刻变革．到19世纪后半叶，数学家们又认识到，“群”可以是一个更加普遍的概念，而不仅仅限于置换群[2]．从拉格朗日建立置换概念，伽罗瓦成功地运用群的性质解决方程根式解问题起，群概念作为一种思想与基本工具，已逐步成为数学研究的一种常用手段与方法[3]．伽罗瓦提出群概念后，英国数学家凯莱就意识到群的一般性，于1949年引入“抽象群”的概念，他指出矩阵在乘法下、四元数在加法下都可构成群，于是具体群的研究有了较深入广泛的发展．凯莱之后，德国数学家戴德金又一个给出了抽象群定义，他由置换群出发引导出有限群的抽象定义，还给出了抽象的有限交换群的定义．1870年，数学家克隆尼克类似凯莱抽象群概念给出了相当于有限Abel 群的抽象定义．他规定了抽象的元素和抽象的运算，说明运算具有封闭性、结合性和交换性以及一元素的逆元存在且唯一[1]．其中一位法国数学家若尔当给出了许多重要的抽象代数的概念，比如：商群、同构、同态、Abel 群等，他还在物理学家布拉维斯关于运动群的理论的启发下开展了无限群的系统的研究[3]．这有影响了克莱因对无限变换群的研究，以及挪威数学家李又研究了无限连续变换群，也就是李群的研究．19世纪末，数学家们已经对各类不同的群的研究有了一定的积累，已基本认清了群的本质，群作为整体它是具有某种联系的元素的一个集合，我们无需认识这些元素是什么，也无需知道具体是哪一种联系，只需明确这些元素间的联系具备怎样的基本规则，于是就形成了抽象群的概念[3]．经过抽象定义的群，群是一个这样的集合，带有一个运算，即乘法运算，满足封闭性与结合律，即集合中的任意两个元素运算后仍在这个集合内，且在这个集合内有单位元与逆元的存在．也就是公认的定义的群:一个非空集合G 对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，这种运算满足:1、封闭性，即,,G b a ∈∀都有ab G ∈;2、结合性，即,,,G c b a ∈∀都有()()a bc ab c =;3、存在单位元e ，使G a ∈∀都有ea ae a ==;4、对于G a ∈∀，存在唯一的逆元1-a ，使得11a a aa e --==．第二章 群的基本概念2.1 群的定义2.1.1 群的等价定义及其证明对于群的定义有很多个，下面就给出群的几个等价定义及其证明．定义2.1.1.1 (群的第一定义) 设一个非空集合G 定义了一个叫做乘法的代数运算，且满足:(1)乘法封闭，即,,G b a ∈∀都有G ab ∈;(2)结合律成立，即,,,G c b a ∈∀都有()()a bc ab c =;(3)G b a ∈∀,，方程b ax =和b ya =在G 里都有解，则称G 对于这个乘法的代数运算作成一个群．定义2.1.1.2 (群的第二定义) 设一个非空集合G 定义了一个叫做乘法的代数运算，且满足:(1)乘法封闭，即,,G b a ∈∀都有G ab ∈;(2)结合律成立，即,,,G c b a ∈∀都有()()a bc ab c =;(3)在G 中至少存在一个左单位元e ，使得G a ∈∀都有ea a =;(4)G 中的每一个元a 至少都存在一个左逆元1-a ，使得`1a a e -=,则称G 对于这个乘法的代数运算作成一个群．定义2.1.1.3 (群的第三定义) 设一个非空集合G 定义了一个叫做乘法的代数运算，且满足:(1)乘法封闭，即,,G b a ∈∀都有ab G ∈;(2)结合律成立，即,,,G c b a ∈∀都有()()a bc ab c =;(3)在G 中至少存在一个右单位元e ，使得G a ∈∀都有ae a =;(4)G 中的每一个元a 至少都存在一个右逆元1-a ，使得1aa e -=,则称G 对于这个乘法的代数运算作成一个群．定义2.1.1.4 (群的第四定义)[4]设一个非空集合G 定义了一个叫做乘法的代数运算，且满足:(1)乘法封闭，即,a b G ∀∈，都有G ab ∈;(2)结合律成立，即,,a b c G ∀∈，都有()()a bc ab c =;(3)在G 中至少存在一个单位元e ，使得a G ∀∈，都有ea ae a ==;(4)G 中的每一个元a 至少都存在一个逆元1-a ，使得11a a aa e --==,则称G 对于这个乘法的代数运算作成一个群．命题2.1.1.1 群的上述四个定义是相互等价的.证明: 1) 第一定义与第四定义等价.首先证明第一定义可以推导出第四定义.由第一定义知第四定义中(1)，(2)成立.现在来证明第四定义中(3)，(4)成立.事实上，设G b ∈，由第一定义中(3)知方程b yb =有解，设其解e y =，即方程b eb =成立．可以证明e 为G 中的单位元.事实上，由第一定义中(3)知方程a bx =在G 中有解，设其解为c ，即a bc =,于是a bc c eb bc a ea ====)()(.又由第一定义中(3)知方程b yb =在G 中有解，设其解为e '，即e b b '=，于是 ()()ae bc e c be cb bc a '''=====.从而ea ae a '==，,ee e ee e '''==，故e e '=.即a G ∀∈都有ea ae a ==.即G 中存在单位元，第四定义中(3)成立．下证G 中有逆元．由第一定义中(3)知方程e ax =与e ya =在G 中有解，设其解为,x a y a '''==，即 ,aa e a a e '''==.从而()()a ea a a a a aa a e a ''''''''''''=====于是aa a a e '''==，即第四定义中(4)成立[5]．再证第四定义可以推导出第一定义.对,,a b G ∀∈第四定义中(4)知存在a G '∈，使得aa a a e ''==.设x a b '=，且x G ∈，则()()ax a a b aa b eb b ''====.所以ax b =.即ax b =在G 中有解x a b '=.同理可证ya b =在G 中有解y ba '=.故第一定义等价于第四定义.2) 证明第一定义与第二定义等价.由第一定义中(3)知方程yb b =在G 中有解，设解y e =，则eb b = ，ea a =.又因为bx a =在G 中有解，设解为x c =，有bc a =.从而()()ea e bc eb c bc a ====,即在G 中至少存在一个左单位元e ，使得对任一a G ∈,都有.a ea =得证．现来证有左逆元存在．由第一定义中(3)知方程ya e =有解，解为y a '=.即a a e '=.从而第一定义等价于第二定义．3) 证明第二定义等价第三定义.首先证明左单位元也是右单位元.设e 是群G 的左单位元，G a ∈∀,有G a a ∈'-,1，使e a a e a a ='=--11,,从而a ea a a a a a a e a eea e a a a ae a a ae e ae =='='='='='='==----)()()()()(1111即左单位元也是右单位元[6]．下证群中元素a 的左逆元1-a 也是a 的右逆元.根据第二定义中(4)有e a a =-1.设e a a ='-1，于是11111111()()()aa e aa a a aa a a a a a ea a a e --------''''======.从而e aa a a ==--11,即左逆元等于右逆元[7]．故第二定义等价与第三定义．4) 证明第三定义与第四定义等价.因为已证明第一定义等价第四定义，第一定义等价第二定义，第二定义等价第三定义，所以显然第三定义等价第四定义．因此，群的四个定义都相互等价．例2.1.1.1 设G 是全体整数的集合，则G 对于普通加法来说作成一个群． 解:(1)两个整数相加还是一个整数，满足封闭性．(2),,a b c ∀∈整数，()()a b c a b c ++=++，满足结合性．(3),a b ∀∈整数时，,a x b y a b +=+=都有整数解．例2.1.1.2 设{},G a b =，则,a b 对于运算来说作成一个群． 解:(1),,,a a a a b b b a b b b a ==== ，任意两个数相乘仍在G 内，满足封闭性．(2),a b G ∀∈，(),()a a a a a a a a a a a a ==== ，()()a a a a a a = (),()a a b a b b a a b a b b ==== ，()()a a b a a b =()a b a b a b == ，()a b a a b b == ，()()a b a a b a =()a b b b b a == ，()a b b a a a == ，()()a b b a b b =()b a a b a b == ，()b a a b a b == ，()()b a a b a a =()b a b b b a == ，()b a b b b b == ，()()b a b b a b =()b b a a a a == ，()b b a b b a == ，()()b b a b b a =()b b b a b b == ，()b b b a b b == ，()()b b b b b b =所以，满足结合律．(3),a b G ∀∈，方程,ax b ya b ==在G 都有解．例2.1.1.3 集合{}0在数的普通加法之下做成一个群.例2.1.1.4 所有正有理数的集合在数的乘法之下作成一个群.例2.1.1.5 全体n 阶可逆矩阵作成一个群．定理2.1.1.1 设G 是一个群，则(1)G 中的单位元存在且唯一.(2)G 中的任意元素的逆元存在且唯一.(3)G 中满足消去律.证明:(1)先证存在性，前面在证第一定义等价第四定义时，已经证明了存在单位元,即单位元存在已证明．现再证唯一性，设e 和e '是群G 的单位元，则有e e e e '='=,因此e e '=, 唯一性得证．(2) 存在性已证.现证唯一性，设a a ''',都是群G 中的a 的逆元，则有a a e a a a a a a e a a ''=''='''='''='=')()(因此a a ''='.唯一性得证．(3)设x a ax '=，同时在等式的两边左乘1-a ，于是)()(11x a a ax a '=--, x a a x a a '=--)()(11 .因为e a a =-1,所以x x '=.同理，由a y ya '=，同时在等式的两边右乘1-a ，于是有 11)()(--'=a a y a ya ,)()(11--'=aa y aa y .因为 e a a =-1,所以 y y '=.2.1.2 群的阶及元素的阶如果一个群的元素的个数是一个有限整数的话，那么这个群就叫做有限群．如果不是，那么就叫做无限群．定义 2.1.2.1(有限群的另一定义) 一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足:（1）封闭性，即,,G b a ∈∀都有G ab ∈;（2）结合性，即,,,G c b a ∈∀都有()()a bc ab c =;（3）消去律，若x a ax '=，那么x x '=;若a y ya '=，那么y y '=,定义2.1.2.2 若一个有限群的元的个数为n ，则n 叫做这个群的阶，记为G n =.无限群的阶称为无限，大于任意的正整数．定义2.1.2.3[8] 设a 是群G 的一个元，若存在使m a e =的最小正整数m ，就把m 叫做a 的阶；若不存在这样的m ，即对于任意正整数n ，都有n a e ≠，则称a 的阶无限．元素a 的阶常用a 表示．性质2.1.2.1 一个有限群的每一个元的阶是有限的．证明:设G a n G ∈∀=,,且e a ≠.则0121,,,,,n n a a a a a G -∈从而存在正整数,i j ，i j <，使得i j a a =，于是有i i j i a a a --=，即j i a e -=.故存在正整数j i -使得j i a e -=成立.因此，一定存在最小的正整数m ，使得m a e =成立，即a 的阶有限．性质2.1.2.2 在一个有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数．证明:设G 是一个有限群.对任一a G ∈，且2a n =>,有na e =,()1.n a e -= 设正整数m n <，()1m a e -=，同样可得m a e =，这与a n =矛盾．因为n a =-1得出a a ≠-1，所以 21a aa e -==.这与2n >矛盾，这样，就有a 和1-a 两个元不同的阶大于2. 设任一b G ∈，且1,b a b a -≠≠，2b >，同样12b ->，由11e aa bb --==，b a ≠可得11--≠a b . 所以，除a 和1-a 外，还有一对不同的阶大于2的元b 和1-b ．因此在一个有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数．性质2.1.2.3[7] 设群G 中元素a 的阶是n ，则m n e a m /⇔=.证明:设e a m =，并令n r r nq m <≤+=0，，因此可得 ()r qr q n r nq m a e a a a a e =====+)(, 因为,0a n r n =≤<，所以得出0r =.又0m nq r r n =+≤<，，所以/n m .反之，设m n /，且令nq m =，a n =，则e a a q n m ==)(.由此可知，e a n a n =⇔=且若e a m =,则m n /. 性质2.1.2.4 设G 是一个有限群，a G ∈，则aG ．证明:设a 是有限群G 的一个n 阶元素，则{}1,,,-=n a a e H 是G 的一个n 阶子群，易知n a =整除群的阶G ，即Gn . 2.2 子群定义2.2.1 群G 的一个子集H 叫做G 的一个子群，如果它对于群G 的运算也构成一个群．例2.2.1 G 是一个群，{}e G ≤ ，G G ≤.例2.2.2 正有理数乘群是非零有理数乘群的一个子群，正实数乘群又是非零实数乘群的子群．定理2.2.1[7] 群G 的一个非空子集H 作成子群的充要条件是:(1)H ab H b a ∈⇒∈,;(2)H a H a ∈⇒∈-1.证明:1) 封闭性，由(1)知运算封闭．因为H G ≤，所以G 的代数运算也就是H 的代数运算，所以有H ab H b a ∈⇒∈,成立;2)结合律，因为G 满足结合律，所以H 也满足结合律;3)在H 中至少有一个元a ，由(2)，H 总也有元1-a ，由(1)，所以有H e aa ∈=-1;4)对H a ∈∀，有H a ∈-1，使得e aa =-1，所以H 是G 的子群．定理2.2.2[7] 群G 的非空子集H 作成子群的充要条件是：G ab G b a ∈⇒∈-1,.证明:设G H ≤，若H b a ∈,，由定理2.2.1中(1)，知H b ∈-1，从而H ab ∈-1.若1,a b H ab H -∈∈，.特别地，取H a b ∈=，则H e aa ∈=-1;取H e a ∈=，则111a b e b b H ---==∈.于是有(2)成立．若H b a ∈,，有H b ∈-1，H ab b a ab ∈==--11)(，所以成立．定理 2.2.3[7] 群G 的一个非空有限子集H 作成子群的充要条件是:G ab G b a ∈⇒∈,.证明: 1)代数运算封闭;2)G 中的运算满足结合律，因此H 中的运算也满足结合律;3)G 中的运算满足消去律，因此H 中的运算也满足消去律,所以，G H ≤.例2.2.1 设G 是一个群，并且 {}()()Z G a G b g ab ba =∈∀∈=,容易证明()Z G G ≤，称()Z G 为G 的中心．性质2.2.1 设G 是群，12,H H G ≤,则12H H G ≤ ．证明:设G H ≤1，G H ≤2且∅≠21H H .令单位元G e ∈，那么21,H e H e ∈∈，则21H H e ∈.对21,H H b a ∈∀，有1,H b a ∈，2,H b a ∈,由11a b H -∈ ，21H b a ∈- ，112a b H H -∈ ，得12()H H G ≤ .因此，群G 的两个子群的交()21H H 是群G 的子群． 性质 2.2.2(拉格朗日定理) 设H 是有限群G 的一个子群,如果N G =,H n =,并且[]j H G =:,那么nj N =.证明:因为N G =是有限整数,H n =也是有限整数,所以[]j H G =:也是有限整数.由[]j H G =:可知H 在G 被分成个左陪集或右陪集,其中G 的左陪集分解为123=j G a H a H a H a H , 则123=====j a H a H a H a H H n = ,所以j H a G j ⋅=,即N nj =.2.3 正规子群定义2.3.1[7] 设H 是群G 的一个子群，G a ∈.则称群G 的子集{}H x ax aH ∈=为G 关于子群H 的一个左陪集.而称{}H x xa Ha ∈=为群G 关于子群H 的一个右陪集.我们得出了陪集的定义，陪集还有一些重要的性质.1)a aH ∈;2)a H aH H ∈⇔=;3)b aH aH bH ∈⇔=;4)aH bH =，,a b 都在左陪集的;5)若aH bH ≠∅ ，则aH bH =;6)一个子群的右陪集的个数与左陪集的个数相等，它们要么都是无限大，要么都是有限且相等;7)一个子群H 与H 的每一个左陪集Ha 之间都存在一个一一映射的关系[7]． 定义 2.3.2[7] 一个群G 的一个子群N 叫做一个正规子群，假如对于G 的每一个元a 都有aN Na = ，即N aNa =-1，则称N 是G 的一个正规子群，记为G N . 设N G ，又N H G ≤≤，那么显然N 也是H 的一个正规子群．群G 的平凡子群e 与G ，都是G 的正规子群，并且称其为群G 的平凡正规子群． 定理 2.3.1[4] 群G 的一个子群N 是一个正规子群的充分必要条件是：对1,a G aNa N -∀∈⊆.定理 2.3.2[4] 群G 的一个子群N 是一个正规子群的充分必要条件是:1,a G n N ana N -∀∈∀∈⇒∈．注[7]:正规子群的正规子群不一定是原来那个群的正规子群．群G 的一个正规子群N 的全体陪集所作成的一个群，就叫做G 关于N 的商群，用符号G N 来表示.这是商群的定义.例2.3.1 设G 是一个群，则()Z G G .性质2.3.1 设G 是群，12,H H G ,则12H H G ．证明:设21H H ，是G 的两个正规子群，G H ≤1，G H ≤2且∅≠21H H ,则对任一a G ∈，任一12,n H n H ∈∈,所以12n H H ∈ .又11H ana ∈-，21H ana ∈-，所以112ana H H -∈ ，由12,a G n H H ∈∈ ，得112ana H H -∈ ，12H H G .所以,21H H 是群G 的正规子群．性质2.3.2 群G 的一个正规子群与一个子群的乘积是一个子群;两个正规子群的乘积仍然是一个正规子群．2.4 共轭定义2.4.1[9] 设G 是群，G g a ∈,，我们规定ag g a g 1-=，并称g a 为a 在g 之下的共轭变形．对于G 的子群或子集H ，我们同样规定Hg g H g 1-=，也叫做H 在g 下的共轭变形．共轭变形运算满足以下几条:(1)h g gh a a )(=；(2)g g g b a ab =)(；(3)g g a a )()(11--=．如果存在元素G g ∈，使得b a g =，则称群G 的元素b a ,在G 中共轭.如果存在元素G g ∈，使得K H g =，则称群G 的子群或子集K H ,在G 中共轭.性质2.4.1 共轭关系都是等价关系.设G 是一个群，根据群G 的所有元素的共轭关系可以分成多个互不相交的等价类(共轭类)12,,,k C C C ，且12k G C C C = ，其中G 的类方程为12k G C C C =+++ ，k 为G 的类数，共轭i C 类包含的个数i C 叫i C 的长度. 性质2.4.2[9] 设G 是一个群，H 是G 的一个子集，g G ∈，若g H H =，则称元素g 正规化H ，而称G 中所有正规化H 的元素的集合(){}g G N H g G H H =∈=为H 在G 中的正规化子. 性质2.4.3[9] 若元素g 对所有h H ∈都恒有g h h =，则称元素g 中心化H ，而称G中所有中心化H 的元素的集合(){},g G G H g G h h h H =∈=∀∈为H 在G 中的中心化子.其中规定()()G Z G G G =为群G 的中心.2.5 群的同态与同构设G 与G 是两个群，若G 到G 的映射ϕ保持运算，即,,()()()a b G ab a b ϕϕϕ∀∈=则称ϕ为群G 到群G 的一个同态映射．若ϕ为满射是，则称群G 与群G 同态，用~G G 来表示;若ϕ为一一映射时，则ϕ为群G 到群G 的一个同构映射，这时称群G 与群G 同构，用G G ≅来表示．定理2.5.1[4] 如果群G 与G 对于一个乘法的代数运算来说同态，那么G 也是一个群．定理 2.5.2[4] 设G 与G 是两个群，则在G 到G 的一个同态满射之下，G 的单位元e 的象是G 的单位元e ，G 的元a 的逆元1a -的象是a 的象的逆元;子群的象是子群，正规子群的象还是正规子群．定理2.5.3 群G 到群G 的同态映射ϕ是单射的充分必要条件是，群G 的单位元e 的逆象只有e .定理2.5.4(同态基本定理) 假设G 与G 是两个群，且群G 与群G 同态，那么这个同态满射的核N ，ker N ϕ=，N 是G 的一个正规子群，且G G N≅. 定理2.5.5(第一同构定理) 设G M G N ,，且M N ≤，则M G N N，且 ()()G G M N N M ≅. 定理 2.5.6(第二同构定理) 设G K G H ,≤，则H K H )(，且()HK H K H K ≅ [9]. 2.6 Sylow 子群我们都知道拉格朗日定理，若G 是有限群，H 是G 的子群，则H 是G 的因子．但是若果反过来呢？若n G ，那G 中是不是一定存在n 阶子群呢?定义 2.6.1 设G 是一个有限群，并且s G p m =⨯，其中p 是质数，0s ≥是非负整数，且p 不整除m ，则称G 的s p 阶子群为G 的一个Sy lo w p -子群.有时也简称Sylow 子群.定理2.6.1(引理) [10] 任一p -群具有非平凡的中心.定理2.6.2(Sylow 定理) 设G 是有限群，s G p m =⨯，其中p 为素数，1)设/n p G ，则G 中必存在n p 阶子群，叫G 的Sylow p -子群;2)G 中的任意两个Sylow p -子群都在G 中共轭，即所有Sylow p -子群 相互共轭;3)若G 中的Sylow p -子群的个数有k 个，则()1mod k p ≡;4)G 中的任意一个p -群包含于一个Sylow p -子群.第三章 几类特殊的群3.1 交换群(Abel 群)设G 是一个群，若,,G b a ∈∀都满足ba ab =，则G 称为Abel 群(交换群)．Abel 群是具有交换律的群.定理3.1.1 若群G 的每个元都满足方程2x e =，那么G 是交换群．证明: (方法一)因为2x e =，可得出1x x -=.,a b G ∀∈，a b G ∈ ,有 2()()()a b a b a b e == ，即22()()()a b b a a b b a a b a a e a a e =====()()()()a b a b a b b a =a b b a =所以G 是交换群．(方法二)对,a b G ∀∈，由e x =2，得x x =-1，又2a e =，2b e =，有 1a a -=，1b b -=成立.对a b G ∀∈ ，有1()a b a b -= ，故有111()a b a b b a b a ---===因此a b b a = , 即G 是交换群．定理 3.1.2[7] 设G 是一个交换群，G 中的所有元素有最大阶m . 则G 中每个元素的阶都是m 的因数，从而群G 中的每个元素都满足方程n x e =.定理 3.1.3[11] 设G 是一个群，则G 是交换群当且仅当映射G G →，其中()G g g g ∈→-1是G 的一个自同构.定理3.1.4 设N 是G 的正规子群，那么 NG 是交换群的充分必要条件是N G ≤. 定理3.1.5[12] 设G 是交换群，则b a ,是G 中的元素，它们的阶分别为n m ,，如果n m ,互素，那么ab 的阶数为mn .性质3.1.1 交换群的子群仍是交换群.性质3.1.2 交换群的任意两个子群的乘积必定为子群.例3.1.1[13] (1)任何一个数域在加法运算下作成一个交换群.(2)全体整数集合在加法运算下作成的交换群，叫整数加法群.例 3.1.2 设()+∈Z i U i 是全体i 次单位根对普通乘法作成的群，即i 次单位根群.令 ∞==1i i U U ，则由于一个m 次单位根与一个n 次单位根的乘积必是一个mn 次单位根，所以U 对于普通乘法作成一个交换群.3.2 循环群设G 是群，M 是G 的子集，则称G 的所有包含M 的子群的交为由M 生成的子群，记作M ，如果G M =，我们称M 是G 的一个生成系，仅由一个元素a 生成的群a G =叫做循环群.定理3.2.1 n 阶群G 是循环群的充分必要条件是G 中有n 阶元．证明: 必要性: a G =，n a G ==，知G 中有n 阶元，至少n a =.充分性: 对a G ∀∈，n a G ==，则{}G e a a a a G n ⊆='-,,,,,132其中G '中有n 个互不相同的元，得G G a '==.所以，n 阶群G 是循环群的充分必要条件是G 中有n 阶元．定理3.2.2 循环群的子群仍为循环群．证明:设H 是循环群a 的任一子群．若{}e H =，那么H 为循环群．若{}e H ≠，当H a m ∈时必定就有H a m ∈-，所以可以设m a 为H 中a 的最小正整数幂,于是H a m ⊆.任取H a s ∈，使m r r mq s <≤+=0,,由H a a m s ∈，，有H a a a a q m s m q s r ∈⋅==--)(;但m a 为H 中a 的最小正整数幂，故可推出0=r .可知m q m s a a a ∈=)(,又m a H ⊆,因此m a H =, 即子群H 也是循环群．性质3.2.1 由有限群元素的阶是群的阶的因数，可知素数阶群一定是循环群． 性质3.2.1 循环群必是交换群.3.3 变换群与置换群定义 3.3.1 一个集合A 上的若干个一一变换对于规定的乘法作成的一个群叫做这个集合A 的一个变换群．定理3.3.1 一个变换群的单位元一定是恒等变换．证明:设G 是集合A 上的双射变换群，ε是G 的单位元．G A a ∈∀∈∀τ,，τεττε==,()ττεετa a a ==,即可得 a a ε=（τ是单射），所以，ε是恒等变换. 定理3.3.2[4] 一个集合的所有一一变换作成一个变换群．证明:设集合A 的所有一一变换作成一个变换群G .群G 适合群的定义的(1)(2)、(3)、(4)四个条件.(1)若21,ττ是一一变换，那么21ττ也是一一变换．对任一a A ∈，因为2τ是一一变换，所以a 在A 里有2τ： 2τa a a '=→' 由1τ是一一变换，所以a ''在A 里有1τ： 1τa a a ''='→'' 21ττ： ()a a a a ='=''→''221τττ所以21ττ是A A 到的满射.设b a ≠，那么212111)()(,ττττττb a b a ≠≠, 2121ττττb a ≠所以21ττ是一一变换．(2)一般的变换都满足结合律，所以一一变换也满足结合律．(3)G ∈ε，是群G 的单位元，ε是一一变换．(4)G ∈τ，1-τ是τ的逆变换，且1-τ是τ的逆元 τ： τa a → 1-τ： 1-→τa a ()a a =-ττ1 ττ1-： ()a a a a ==→--ττττ11 εττ=-1 所以，G 是一个变换群．定理3.3.3[4] 任何一个群都同变换群同构． 证明:设G 是一个群，G x ∈∀，有x τ： G G →x g g →{} ,,,c b a S τττ=，下证S 对变换的乘法作成一个变换群. φ： S G →()x x x φτ=→ φ是满射：对于x S τ∈,存在x G ∈，使得()x x ϕτ= 都有,x y G ∈,且x y ≠,y x g y ≠ 又y x ττ≠,有()()y x φφ≠所以ϕ是单射，φ是一一映射．对任一g G ∈，()()y x y x x xy g g y g y x g y x g g ττττττ===== )(，所以可得x y x y τττ= ，()()()x y x y ϕϕϕ= .所以φ是同态映射．因此，()(),,G S ≅ .所以S 是一个群．下面来证明S 是一个变换群．e G ∈，是G 的单位元.()S e e ∈=τφe τ： G G →g e g g =→s e ∈=ετε是单位元，是一个恒等变换，所以由定理可知，S 中的所有变换都是一一变换．所以，S 是一个变换群．于是群G 与变换群S 同构,即任何一个群都同变换群同构．定义3.3.2 一个有限集合的若干个置换作成的一个群叫做一个置换群． 定理3.3.4 每一个n 个元的置换都可以写成多个互相没有相同数字的、不相连的循环置换的乘积．定理3.3.5 k -循环置换的阶是k ，互不相连的循环置换的乘积的阶是各因子的阶的最小公倍数．定理3.3.6 每一个有限群都与一个置换群同构．性质3.3.1 置换群是变换群的一种特例，是有限集合上的变换群．3.4 线性群设V 是域F 上n 维线性空间，则V 的所有可逆线性变换对乘法组成一个群，它同构于F 上全体n 阶可逆方阵组成的乘法群．这个群记作(,)GL n F ，叫做F 上的n 级全线性群．记(,)SL n F 为所有行列式为1的n 阶方阵组成的集合，则(,)SL n F 是(,)GL n F 的子群，叫做F 上的n 级特殊线性群．显然可知，(,)S Ln F 是(,)GL n F 的正规子群，并且由同构定理得，#(,)(,)(,)GL n F SL n F F ≅⋅．设Z 为所有n 阶非零纯量阵组成，所以称Z F n GL F n PGL /),(),(=为F 上n 级射影线性群;又称)),(/(),(),(F n SL Z F n SL F n PGL =为F 上n 级特殊射影线性群． 设)(q GF F =为包含q 个元素的有限域，那么上述的群即可分别记为()()()(),,,,,,,GL n q SL n q PGL n q PSL n q ．性质3.4.1[9] (1)()()()()1,1n n n n GL n q q q q q q -=--- ;(2)()()()(),=,,1SL n q PGL n q GL n q q =-; (3)()()(),,,1PSL n q SL n q n q =-．3.5 二面体群平面上正n 边形(3)n ≥的全体对称的集合2n D ，其中它包含n 个旋转和n 个反射(沿n 条不同的对称轴)，2n D 对于变换的乘法，即对于变换的连续施加来说作成一个群，叫做二面体群2n D ，其中它包含n 2个元素．为了弄清楚二面体群的构造，以a 表示绕这个正n 边形的中心沿逆时针方向旋转2nπ的变换，则2n D 中所有旋转都可以表示成i a 的形式，其中0,1,,1i n =- ．它们组成2n D 的一个n 阶正规子群a ，再以b 表示沿某指定的对称轴l 所坐的反射变换，于是有2111,1,n a b b ab a --=== (1) 最后一式表示为先作反射b ，接着旋转2n π，又作反射b ，也就是相当于向反方向旋转2n π．于是容易得出{}2,0,1;0,1,2,,1j i n D a b b a j i n ====- ． 其中2n D 中的乘法仍然满足：()1si t j i s t j s b a b a b a -++⋅=.事实上，2n D 由,a b 生成并且满足关系 (1)即可以唯一确定群.所以(1)就叫做群2n D 的定义关系[9]．例3.5.1[9] 设,G a b =，定义关系组为()221n a b ab ===,则2n G D ≅.解:因为,=,G a b ab b =，而()()1111b ab b b a ab ab ----==∈, 所以,a b G .,=G ab b ab b =⋅,G 中每个元都可以表示成()()0,1,,1;0,1i j ab b i n j =-= 的形式.因此可得2G n ≤.另外,2n 阶二面体群2112=,1,n n D x y x y y xy x --===,对另一组生成系1xy -,y 有()()21211nxy y xy y --==⋅=,所以2n D 为G 的同态像.又因为已有2n G D ≤,所以只能有2G n ≤,并且2n G D ≅.3.6 四元数群哈密顿四元数的单位在乘法下组成一个8阶群，{}8=1,,,,1,,,Q i j k i j k ----，叫做。